Структура решений теории гравитации, основанной на изометрических вложениях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет»

Структура решений теории гравитации, основанной на изометрических вложениях

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Шейкин Антон Андреевич

1 5 КЮП 2015

Санкт-Петербург - 2015

005570474

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный

университет»

Научный руководитель:

Пастон Сергей Александрович, к. ф.-м. н., доцент, доцент

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ахмедов Эмиль Тофикович, д. ф.-м. н., доц., вед. науч. сотр. Института теоретической и экспериментальной физики им. А. И. Алиха-нова,

Красников Сергей Владиленович, д. ф.-м. н., ст. науч. сотр. Главной астрономической обсерватории РАН,

Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга Московского государственного университета

Защита состоится «(» 2015 г. в Ц. )0на заседании диссертаци-

онного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., В.О., д. 41/43, ауд. 304

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького

СПбГУ и на сайте

http://spbu.ru/science/disser

Автореферат разослан УД-^ЛД_2015 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по адресу 198504, Санкт-Петербург, Ульяновская ул., д.1, корпус И, каб. 417.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н.

Аксёнова Елена Валентиновна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Общая теория относительности (ОТО) Эйнштейна на сегодняшний день, бесспорно, является наиболее хорошо разработанной теорией гравитационного взаимодействия, дает очень хорошее согласие с экспериментом и позволяет объяснить огромное множество физических явлений при очень небольшом количестве исходных предположений. Однако при попытках ее квантования неизбежно возникновение крайне серьезных технических и методологических трудностей. Многие из них возникают в первую очередь потому, что общая теория относительности является динамической теорией пространства-времени, и по самому ее построению в ней отсутствуют необходимые для квантования объекты, в частности, выделенная ось времени, необходимая для построения гамильтонова формализма. С отсутствием выделенной оси времени связана также проблема энергии гравитационного поля — гамильтониан сводится к связям, а ненулевой вклад дают только поверхностные члены. Отсутствует также фиксированная фоновая метрика, необходимая для записи канонических коммутационных соотношений. С ее отсутствием связана проблемы причинности в квантовой гравитации: мы не можем определить, связаны ли причинно две области пространства-времени, потому что в определение квадрата интервала входит метрика, которая сама является квантовым оператором.

По этим причинам представляется интересным изучение альтернативных формулировок теории гравитации, свободных от вышеперечисленных трудностей. В качестве основного объекта изучения рассматривается теория гравитации на базе изометрических вложений, предложенная Редже и Тейтельбоймом в 1975 году [6]. Успех, достигнутый при использовании вложений для описания физических процессов (релятивистская механика частиц, теория струн, гравитация Арновитта-Дезера-Мизнера), вдохновил их разработать подход к гравитации как к динамике вложенной поверхности.

Этот подход также достоин внимания в связи с экспериментально обнаруженными отклонениями астрофизических и космологических данных от предсказаний ОТО Эйнштейна. Напомним, что в современной космологии существуют две главных проблемы [7]: объяснение скрытой массы во Вселенной и кривых вращения галактик — т.н. проблема темной материи, и объяснение ускоренного расширения Вселенной и параметров этого ускорения — проблема темной энергии. В рамках теории Эйнштейна эти явления пока не находят удовлетворительного описания. Однако множество решений уравнений Редже-Тейтельбойма шире эйнштейновского; это позволяет искать в них объяснение вышеупомянутым феноменам.

ъ

Степень разработанности темы исследования. Уравнения Редже-Тей-тельбойма, как и обычные уравнения Эйнштейна, легче всего поддаются решению при наличии достаточной группы симметрии (достаточной для того, чтобы уравнения с частными производными превратились в обыкновенные). Среди решений с высокой симметрией наибольший физический интерес представляют, разумеется, статические сферически-симметричные решения и модель Фридмана. Уравнения Редже-Тейтельбойма анализировались прежде всего в рамках симметрии таких типов. Случай симметрии Фридмана анализировала, в частности научная группа Дэвидсона в [8], [9], [10], и Рохас с сотрудниками (см., напр. [11] и [12]). Сферически-симметричные уравнения изучались в работах Тапиа [13] и Эстабрука [14], но анализ, проведенный в обеих этих работах, не был полным.

Целью данной работы является исследование неэйнштейновских решений уравнений Редже-Тейтельбойма при наличии физически обусловленной симметрии. Изучение структуры этих решений на различных масштабах позволит сделать выводы о степени достоверности, с которой планетарная, галактическая и космологическая динамика может быть описана посредством уравнений Редже-Тейтельбойма. В тех ситуациях, где предсказания эйнштейновской теории совпадают с наблюдениями (к примеру, в планетарной динамике) необходимо найти объяснение отсутствия лишних решений, а в тех, где предсказания расходятся с наблюдениями (темная энергия и темная материя) — изучить возможность объяснения их при помощи теории вложения.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построение всех явных вложений 5"0(3) х Г!-симметричной метрики в 6-мерное объемлющее пространство, обладающих такой же группой симметрии.

2. Изучение ограничений, налагаемых вакуумными уравнениями Редже-Тейтельбойма на вид индуцируемой такими вложениями метрики.

3. Изучение порождаемой уравнениями Редже-Тейтельбойма динамики масштабного фактора метрики Фридмана, с учетом предположения, что в начальный период развития Вселенной реализовался инфляционный сценарий.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации получены впервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных журналах, и включают следующее:

1. Впервые построена полная классификация симметричных вложений метрик Шварцшильда в объемлющее пространство минимальной размерности, при этом два из шести возможных вложений оказались новыми, не описанными ранее в литературе.

2. Впервые найдено вложение метрики Шварцшильда, являющееся асимптотически плоским, т.е. переходящее во вложение плоскости при г —> оо.

3. Впервые получены минимальные вложения метрик Коттлера и Райс-снера-Нордстрёма, гладко покрывающие оба горизонта.

4. Впервые проведен полный анализ всех допускаемых симметрией минимальных вложений, удовлетворяющих уравнениям Редже-Тейтельбойма для точечного источника, порождающих асимптотически плоскую метрику.

5. Показано, что в модели Фридмана с начальными данными, находящимися в ситуации общего положения, «лишние решения» оказываются экспоненциально подавлены после окончания инфляционного периода.

Научная и практическая значимость. Построенные вложения могут использоваться для изучения различных свойств черных дыр, к примеру, для проверки универсальности обсуждаемого в [15] соответствия между температурой Хокинга и температурой Унру.

Асимптотически плоское вложение метрики Шварцшильда может использоваться для решения задачи многих тел в подходе Редже-Тейтельбойма.

Доказанное отсутствие «лишних решений» в нескольких физически интересных случаях говорит о том, что теория вложения, по крайней мере на классическом уровне, согласуется с экспериментальными данными, и позволяет рассматривать ее в качестве возможной основы для поиска удобной для квантования теории гравитации.

Методология и методы исследования. Для получения и исследования вложений конкретных метрик в работе активно используется предложенный С. А. Пастоном метод построения явных вложений, наследующих от метрики имеющуюся у нее симметрию. Данный метод позволяет классифицировать и конструировать все возможные вложения заданной метрики в объемлющее пространство заданной размерности.

Исследование уравнений Редже-Тейтельбойма проводилось в предположении, что вложения, удовлетворяющие этим уравнениям, обладают симметрией рассматриваемой физической задачи.

Достоверность результатов обеспечивается использованием математически корректного метода поиска явных вложений, известных методов исследования дифференциальных уравнений и сравнением с результатами, полученными ранее для различных частных случаев.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новые глобальные минимальные вложения метрик Шварцшильда, Котт-лера и Райсснера—Нордстрёма, построенные и классифицированные при помощи метода, предложенного в [2].

2. Отсутствие «лишних решений» вакуумных уравнений Редже-Тейтель-бойма, если рассматривается обладающее 50(3) <g> Т1 симметрией вложение четырехмерной поверхности в плоское шестимерное объемлющее пространство, а индуцированная метрика обладает той же симметрией и является асимптотически плоской.

3. Наличие экспоненциального подавления «лишних решений» во фридма-новском приближении теории вложения, если на ранних стадиях развития Вселенной присутствовал инфляционный режим, а состояние Вселенной до начала инфляции описывалось начальными данными общего вида.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная студенческая конференция «Science & Progress — 2011» (СПб, 2011); 50th International school of subnuclear physics, (Erice, Italy, 2012); VIII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященная 155-летию со дня рождения К. Э. Циолковского «Молодежь и наука» (Красноярск, 2012); IV международная конференция «Модели квантовой теории поля», посвященная А. Н. Васильеву (СПб, 2012); The XXI International Workshop «High Energy Physics and Quantum Field Theoiy» (SPb, 2013); II Russian-Spanish Congress «Particle and Nuclear Physics at all Scales and Cosmology» (SPb, 2013); Международная зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии «Петровские чтения-2014» (Казань, 2014); а также на научных семинарах Петербургского отделения Математического института, Государственного астрономического института им. П. К. Штернберга, Московского государственного университета и Высшей школы экономики.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 печатных изданиях [1-5], индексируемых базами данных «Web of Science» и/или «SCOPUS» и включенных в перечень ВАК.

Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавтором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 109 страниц с 9 рисунками. Список литературы содержит 80 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, описаны методология и методы исследования, степень разработанности темы исследования, а также показана научная значимость полученных результатов и представлены выносимые на защиту научные положения.

Кроме этого, во Введении кратко излагаются известные из римановой геометрии результаты, касающиеся возможности изометрического вложения. Основной теоремой, управляющей вложением, является теорема Фридмана (1961): Произвольное n-мерное псевдориманово пространство может быть локально изометрически вложено в произвольное объемлющее псевдориманово пространство размерности N > п(п + 1)/2 и подобающей сигнатуры. Метрика вкладываемого пространства становится индуцированной и выражается формулой

9tAx) = дцуа(х)д„уь(х)даь, (1)

где = 0... п, (jab — метрика объемлющего пространства размерности N, так что а, Ъ = 0... N — 1. В рамках данного исследования рассматриваются вложения в пространство Минковского, так что даь = ЧаЬ-

Первая глава посвящена построению явных вложений различных рима-новых метрик с симметрией. После краткого обзора литературы, связанной с построением и использованием вложений общерелятивистских метрик, а также изложения метода построения явных вложений, предложенного С. А. Пас-тоном, в ней при помощи этого метода классифицируются и конструируются вложения конкретных метрик.

Основная идея метода заключается в следующем. Получить вложение cl-мерного псевдориманова пространства-времени, обладающего симметрией, задаваемой группой G, можно путем построения (/-мерной поверхности с такой же симметрией в плоском пространстве-времени. Под симметричностью поверхности A4 относительно группы G понимается свойство ЛЛ переходить

в саму себя под действием некоторой подгруппы группы движений V плоского пространства-времени (т.е. многомерной группы Пуанкаре), изоморфной группе G. Такое определение симметрии поверхности можно понимать как требование совпадения внутренней и внешней геометрии у областей, которые переходят друг в друга, будучи подвергнуты преобразованию симметрии. Если это требование выполняется, то такие области можно совместить друг с другом при помощи поворотов и сдвигов в объемлющем пространстве.

Рассматривается метрика невращающейся черной дыры

j2 / 2т Q2 Лг2\ о Л 2771 Q2 Лr2\~\ 2 2 - ч ds + — + ^ + (2)

где 772 — масса, Q — заряд, Л — космологическая постоянная, в случаях решения Шварцшильда (Q = А 0), неэкстремального решения Райсснсра — Нордстрёма (Л = 0, Q < т) и Коттлера (Q = 0,0 < Л < Атах). В силу того, что минимальная размерность объемлющего пространства, в которое можно вложить метрику вида (2), равно 6, ищутся вложения в шестимерное пространство. Поскольку вложения могут покрывать разные области черной дыры, главным объектом интереса являются те из них, которые покрывают возможно большую часть всего многообразия.

В итоге для черной дыры Шварцшильда оказывается возможным построить шесть возможных типов вложений, отвечающих различным типам реализации трансляционной инвариантности по координате t. Четыре из них отвечают известным ранее вложениям, а два являются новыми, не описанными ранее в литературе. Одно из новых вложений обладает замечательным свойством — оно стремится к вложению четырехмерной плоскости при г —> со (здесь R = 2т):

y° = t,

1 /27 R3 . t I (г + 3 Rf

у =v—smvrn-y-m?r>

2 /27Л3 t l(r + 3 R)3

y =V —'

у3 = r cos в, у4 = г sin в cos <р, у5 = г sin в sin ср.

Ни одно из известных ранее вложений этим свойством не обладало. Также оба новых вложения допускают прямое обобщение на случай метрики Коттлера, т.е. включения положительной космологической постоянной, и гладко покрывают при этом оба горизонта данной метрики.

Для неэкстремальной черной дыры Райсснера—Нордстрёма (Q < т) найдено три новых вложения, гладко покрывающих оба горизонта. Стоит отме-

тить, что ни одного вложения этой метрики, обладающего таким свойством, ранее также известно не было. Кроме того, все известные ранее вложения метрики Райсснера—Нордстрёма, гладко покрывающие хотя бы один горизонт, имели размерность N > б, т.е. не являлись минимальными.

Полученные вложения могут использоваться для изучения различных свойств черных дыр, и уже нашли свое применение в работах [16-18], посвященных исследованию соответствия между температурой Хокинга для метрик с горизонтом и температуры Унру, фиксируемой наблюдателем, движущимся в объемлющем пространстве по поверхности вложения этой метрики.

Вторая глава начинается с обзора литературы по теме использования переменных вложения в качестве динамических переменных различных физических теорий. Излагается подход Редже и Тейтельбойма к описанию гравитации как теории четырехмерной поверхности, изометрически вложенной в десятимерное объемлющее пространство. Основные уравнения теории выводятся из действия Эйнштейна—Гильберта, в котором проделана замена (1), а варьирование производится по функции вложения уа{х^). Они и называются уравнениями Редже-Тейтельбойма:

Обсуждаются различные свойства этих уравнений. Особое внимание уделяется тому факту, что уравнения (4) могут удовлетворяться и в том случае, когда Сш — яТ!Ш ф 0, т.е. допускают неэнштейновские, «лишние» решения. Эти решения являются главным объектом исследования во второй и третьей главе. Во второй главе исследуется возможность устранения «лишних решений» вакуумных уравнений Редже-Тейтельбойма в случае сферически симметричного статического распределения материи (аналог решения Шварцшильда в ОТО). Отправной точкой исследования служит тот факт [19], что при наложении т.н. эйнштейновских связей

где _1_ означает направление, ортогональное поверхностям постоянного времени, на начальные данные, решения уравнений Редже-Тейтельбойма совпадают с эйнштейновскими и во все другие моменты времени. В данном случае исследуется возможность устранения лишних решений при наложении эйнштейновских связей не на начальные, а на граничные данные.

В анализе используется также то обстоятельство, что для произвольной статической сферически симметричной метрики тензор Эйнштейна может быть приведен к диагональному виду, а во всех симметричных функциях

0,(^9(0"" - нТПЬтП = 0.

(4)

= о,

(5)

вложения, соответствующих этой метрике, присутствует хотя бы одна компонента у*, соответствующая вложению (i — г) -блока метрики, такая, что до у* не зависит от времени. В этом случае одно из двух независимых уравнений Ре-дже-Тейтельбойма может быть проинтегрировано и принимает очень простой вид:

где h' = д\у*. «Лишними решениями», таким образом, управляет всего одна константа С. В предположении асимптотической плоскостности метрики, порождаемой искомыми вложениями, компонента О11 —> 0 при г —> оо, поэтому на пространственной бесконечности С должна обращаться в ноль. После

строгого доказательства этого факта далее доказывается, что если С = 0, то £11 = G00

= 0 не только на пространственной бесконечности, но и во всем пространстве.

Основной результат, полученный в этой главе, звучит так: единственной статической сферически симметричной метрикой, плоской на пространственной бесконечности и соответствующей решениям уравнений Редже-Тейтель-бойма, является метрика Шварцшильда, при условии, что размерность объемлющего пространства 7V = 6, а искомые вложения наследуют от метрики симметрию 50(3) ® Т1 в смысле, указанном выше.

Это, таким образом, приводит предсказания уравнений Редже-Тейтель-бойма в согласие с наблюдательными данными, свидетельствующими о том, что в окрестности сферического тяготеющего тела отклонений от предсказаний ОТО не наблюдается.

В заключении главы также показывается, что этот результат находится в согласии с уже известными результатами для конкретных вложений [13,14].

В третьей главе изучается возможность трактовки наблюдаемых отклонений от эйнштейновской теории как следствий наличия «лишних решений» уравнений Редже-Тейтельбойма. Эти «лишние решения» возникают вследствие замены переменных в действии (1), содержащей дифференцирование. Преимущества модификации гравитации такой заменой переменных в последнее время интенсивно обсуждаются в литературе, см. к примеру, [20], где предложена модель, имитирующая темную материю — т.н. «mimetic dark matter». В силу того, что теория Редже-Тейтельбойма также располагает возможностью расширения эйнштейновской динамики, рассматривается возможность объяснения темной материи неэнштейновской динамикой.

Уравнения Редже-Тейтельбойма можно привести к виду

y/-gGuh' = С,

(6)

д^у/Чт^д^) = О, GT - хТ'ш = xt>iv.

(7)

(8)

Благодаря тому, что г'"' в силу следствий тождеств Бьянки = 0 и ко-

вариантиого постоянства тензора энергии-импульса 01,Т1Ш = 0 также кова-риантно постоянно, «лишние решения» оказывается возможным интерпретировать как наличие дополнительного вклада в тензор энергии-импульса, подчиняющегося уравнениям (7). Значение величин г'1", таким образом, характеризует степень отклонения предсказаний теории Редже-Тейтельбойма от эйнштейновских.

Ключевая идея, лежащая в основе исследования, заключается в следующем. Уравнение по форме является законом сохранения для некоторого набора токов:

Величины ^ управляют поведением лишних решений.

Обратимся к современным космологическим представлениям. На данный момент принято считать [7], что с достаточной степенью вероятности стадии горячего расширения Вселенной предшествовала стадия экспоненциального расширения (стадия инфляции), за время которой характерный радиус Вселенной вырос не менее чем в е60 ~ 1026 раз. Поскольку определитель метрики пространства пропорционален объему этого пространства, он также должен экспоненциально возрасти. Однако если ]а1' в (9) — сохраняющиеся величины, а у/—д экспоненциально возрастает, то компоненты хт1'" = — хТ>ш должны так же экспоненциально убывать (в координатах, соответствующих фридмановской симметрии) и становиться крайне малыми по сравнению с ^'"(поскольку плотность энергии инфлатона Л с ростом масштабного фактора убывает очень медленно), так что к концу инфляции предсказания теории вложения должны практически совпадать с предсказаниями ОТО.

Эти интуитивные соображения приводят нас к вопросу о поведении масштабного фактора Вселенной в теории Редже-Тейтельбойма при различных уравнениях состояния материи, заполняющих эту Вселенную. Данная часть работы посвящена исследованию динамики а(£) и величин г'1" для различных эпох: эпохи инфляции, эпохи излучения, эпохи холодной материи и эпохи темной энергии.

Поставленная задача сводится к решению системы уравнений:

а= о, г" =

(9)

С1" - кТ'ш = д1Х\/—дт'а'01,уа) = О,

ЮцТ1'1' = О, = 0

(10) (П) (12) (13)

в рамках симметрии Фридмана. Используются известные функции вложения метрики Фридмана, а также тот факт, что других вложений, наследующих от метрики симметрию (50(4), 50(1,3) и 50(3) > Т3 для закрытой, открытой и пространственно-плоской модели соответственно), не существует. Размерность объемлющего пространства берется равной 5, доказывается также, что увеличение числа измерений объемлющего пространства при условии сохранения симметрии функции вложения приводит к тем же самым уравнениям. Тензор энергии-импульса обычной материи Т'"' и фиктивной r-материи т'ш берется в виде тензора энергии-импульса идеальной жидкости

Т"" = (р + p)v?uv - рд(14) т"" = (рг + рг)//-М"", (15)

поскольку только такой вид допускается симметрией Фридмана.

С учетом всего этого система уравнений (10)-(13) сводится к следующей:

(à\2 it, „ е

а) =Ъ{Р + Рт)-^ (16)

до(а3Рту/&+е) = 0, (17)

д0{ра3)+рд0(а3) = 0, (18)

до(рта3)+ртдо{а3) = 0, (19)

где s = 1, —1 и 0 для закрытой, открытой и пространственно-плоской модели соответственно, a(t) ф const и à2 +£ > 0 (по построению функции вложения).

Рассмотрение начинается со случая материи, имитирующей лямбда-член:

р = —р = Л = const. (20)

Изучается поведение масштабного фактора a(t) в зависимости от начальных данных: значения масштабного фактора ain и его производной о!П в начале инфляции, а также Л.

При задании начальных данных предполагается, что сначала Вселенная подчинялась некоторым квантовым законам, но в какой-то момент времени ее характерные размеры стали достаточно велики, чтобы квантовые эффекты перестали играть заметную роль и начали достаточно точно выполняться классические уравнения движения. В отличие от обычного подхода в рамках ОТО, считаем, что ими являются не уравнения Эйнштейна, а уравнения Редже-Тей-тельбойма (9). Состояние Вселенной, случайно возникшее в указанный момент времени, играет роль начальных данных для дальнейшего развития по классическим уравнениям. Оно описывается заданными в этот начальный момент времени функцией уа(х), задающей геометрию поверхности, значениями полей материи на ней, а также производными этих величин по времени.

Логично предположить, что в указанный начальный момент времени все размерные характеристики Вселенной не более чем на несколько порядков отличаются от своих планковских значений, например, масштабный фактор Вселенной а не слишком сильно отличается от планковской длины /рь Из такого предположения следует, что отношение плотности «т»-материи к плотности обычной материи

- = Р (21)

Р

в момент выхода из режима квантовой гравитации не слишком сильно отличается от единицы (с той же точностью до нескольких порядков), поскольку и р, т. е. плотность материи, и величина рт = г00 = С?00/и — р, зависящая также от кривизны пространства, имеют приблизительно планковские значения.

Результатом исследования может служить следующий график, изображающий множество начальных данных:

Рис. 1. Множество начальных данных, соответствующих инфляционному режиму

Горизонтальная штриховка обозначает то множество начальных данных, которые соответствуют экспоненциальному возрастанию масштабного фактора, т.е. инфляционному режиму, для закрытой Вселенной (для открытой и пространственно-плоской оно еще больше). Как можно видеть, начальные данные не требуют тонкой подстройки, чтобы инфляционный режим реализовался, поэтому можно заключить, что теория Редже-Тейтельбойма находится в согласии с инфляционной теорией.

Поскольку реализуется инфляционный режим, величина /3, характеризующая отклонение динамики от эйнштейновской, начинает убывать в силу вышеуказанных соображений, и если в начале инфляционного режима /3 ~ 1, то к концу /3 ~ Ю-104. На протяжении последующих эпох, однако, в возрастает, и грубая оценка сверху дает для нее значение порядка 10~44 к концу периода холодной материи. Далее, в эпоху доминирования лямбда-члена, /3 опять начинает убывать.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод, что в течение всего этого времени величина т'1" является лишь очень малой поправкой к Т'ш, т. е. в рамках симметрии Фридмана с очень хорошей точностью выполняются уравнения Эйнштейна.

Для того чтобы понять, с какой точностью будут выполняться уравнения Эйнштейна после инфляции в теории вложения вне рамок симметрии Фридмана, необходимо проанализировать поведение флуктуаций величины т1Ш. Как упоминалось ранее, если эйнштейновские связи точно выполняются в некоторый момент времени, то это приводит к точному выполнению всех уравнений Эйнштейна при дальнейшем развитии системы. Это дает основания надеяться, что, поскольку уравнения Эйнштейна (а значит, в частности, эйнштейновские связи) выполняются с очень хорошей точностью в моменты времени, когда отклонения от симметрии Фридмана малы, то они будут достаточно точно выполняться и во все последующие моменты времени. Таким образом, кажется наиболее вероятным, что флуктуации т,ш будут всегда очень малы.

Существует, однако, другой взгляд на возможность имитации темной материи лишними решениями. В статье [8] Дэвидсон и сотрудники рассматривают поздний период существования Вселенной и трактуют т-материю как темную материю. Предполагая, что ¡3 — Г2¿атк ~ 0.3, они изучают динамику рт на протяжении периодов доминирования темной энергии, холодной материи и излучения. В результате они получают решение солитонного вида: стартуя от некоторого малого значения на стадии радиационного доминирования, рт степенным образом возрастает и достигает максимума непосредственно перед началом лямбда-доминирования. Затем оно начинает экспоненциально убывать, достигая желаемого значения в наше время.

К сожалению, этот анализ не учитывает наличия инфляционной стадии развития Вселенной. Расчеты, приведенные выше, показывают, что для /3 ~ 1 в наше время необходимо, чтобы в начале классического режима Вселенной /3 была крайне велика, что представляется неестественным в силу случайного характера выхода Вселенной из режима квантовой гравитации. Таким образом, результат этой главы можно сформулировать следующим образом: без тонкой подстройки начальных данных не удается интерпретировать «лишние

решения» как темную материю, но удается показать, что их вклад при наличии инфляции во все времена после ее окончания пренебрежимо мал.

В Заключении диссертации представлены основные результаты и выводы, а также благодарности и список использованной литературы.

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Сергею Александровичу Пастону за помощь в подготовке диссертационного исследования, а также преподавателям, сотрудникам и студентам кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета за многочисленные полезные обсуждения.

Список публикаций по теме диссертации из перечня ВАК

1. Paston S. A., Sheykin A. A. From the Embedding Theory to General Relativity in a result of inflation // Int. J. Mod. Phys. D. 2012. Vol. 21, no. 5. P. 1250043.

2. Paston S. A., Sheykin A. A. Embeddings for Schwarzschild metric: classification and new results // Class. Quant. Grav. 2012. Vol. 29. P. 095022.

3. Paston S. A., Sheykin A. A. Global embedding of the Reissner-Nordstrom metric in the flat ambient space // SIGMA. 2014. Vol. 10. P. 003.

4. Sheykin A. A., Grad D. A., Paston S. A. Embeddings of the black holes in a flat space // Proceedings of QFTHEP 2013, Saint Petersburg Area, Russia. Proceedings of Science, PoS(QFTHEP2013)091.

5. Sheykin A. A., Paston S. A. The approach to gravity as a theory of embedded surface // AIP Conference Proceedings. 2014. Vol. 1606. P. 400.

Цитируемая литература

6. Regge Т., Teitelboim С. General relativity a la string: a progress report // Proceedings of the First Marcel Grossmann Meeting, Trieste, Italy, 1975 / Ed. by R. Ruffini. North Holland, Amsterdam: 1977. P. 77-88.

7. Горбунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной. М.: Красанд, 2009.

8. Davidson A., Karasik D., Lederer Y. Cold Dark Matter from Dark Energy. arXiv:gr-qc/0111107.

9. Davidson A. Class. Quant. Grav. 1999. Vol. 16. P. 653.

10. Davidson A., Karasik D„ Lederer Y. Phys. Rev. D. 2005. - Sep. Vol. 72. P. 064011.

11. Cordero R., Molgado A., Rojas E. Phys. Rev. D. 2009. Vol. 79. P. 024024.

12. Cordero R., Cruz M„ Molgado A., Rojas E. Gen. Rel. Grav. 2014. Vol. 46. P. 1761.

13. Tapia V. Class. Quant. Grav. 1989. Vol. 6. P. L49.

14. Estabrook F. SIGMA. 2013. Vol. 9. P. 012.

15. Deser S., Levin O. 1999. Phys. Rev. D. Vol. 59. P. 064004.

16. Paston S. A. Hawking into Unruh mapping for embeddings of hyperbolic type (in print). 2015. Class. Quant. Grav.

17. Paston S. A. 2014. JHEP. V. 6. P. 122 (9 pp).

18. Пастон С. А. Связь между квантовыми эффектами в ОТО и в теории вложения // 2015. ТМФ (в печати).

19. Пастон С. А., Франке В. А. Гравитация как теория вложения пространства-времени в плоское пространство большего числа измерений // Proceedings of the 15 International V.A. Fock school for advances of physics 2005 / Под ред. V. Novozhilov. СПб: Изд-во СПбГУ, 2006. С. 34.

20. Chamseddine А. Н., Mukhanov V. 2013. JHEP. P. 2013:135.

Подписано в печать 09.09.2014г. Формат А5, цифровая печать. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ЦОП «Невский» Россия, г. Санкт-Петербург, наб канала Грибоедова

тел./факс: 438-38-05 e-mail: nev@copy.spb.ru