Дискретный спектр в лакунах непрерывногопри возмущении дифференциального операторавторого порядка неотрицательным операторомвысокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный университет

Дискретный спектр в лакунах непрерывного при возмущении дифференциального оператора второго порядка неотрицательным оператором высокого порядка

Специальность 01.01.0-3 — математическая физика

на правах рукописи

Са_

Слоущ Владимир Анатольевич

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена на кафедре математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор М. Ш. Бирман доктор физико-математических наук В. И. Васюшш

доктор физико-математических наук, профессор В. II. Дергузов

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук (ПОМИ РАН)

Защита диссертации состоится «_?1» ^^ $ 2000 г. в ^ ча-

сов в ауд. п на заседании диссертационного Совета К 063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан «_?_» ^2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ¿¿¿^^^ Манида С.II.

В ^ О*

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. D диссертации исследуется дискретный спектр, появляющийся в спектральной лакуне (a,ß) эллиптического дифференциального оператора (ДО) второго порядка

А = —divд(х) grad + р(х), х 6 Krf, (1)

при возмущении неотрицательным ДО с убывающими коэффициентами. Знак возмущения оказывает существенное влияние как на характер обнаруживаемых эффектов, так и на выбор технических средств. Случай неположительных или пезпакоопределенных возмущающих потенциалов изучен в некоторых отношениях полнее (см., например, [4|, [1]). Но дискретность спектра в лакуне заведомо нарушается при незнакоопределепных возмущениях даже второго порядка. В случае неотрицательных возмущении содержательный анализ дискретного спектра возможен для возмущающих ДО сколь угодно высокого порядка..

Основным предметом исследования является считающая функция, которая в случае неотрицательных возмущений определяется как

Л'(А, А, W, т) := ]Г dimKer(A + tWW ~ XI), А 6 (q, ß), г > 0, (2)

ге(о,т]

т.е. как число собственных значений оператора B(t) = Л + tW*W, прошедших через точку «наблюдения» А при увеличении t от 0 до г. При этом представляет интерес асимптотика считающей функции по большой константе связи т. Также интересны условия конечности спектра оператора B(t) в спектральной лакуне (а, ß) оператора А и асимптотика считающей функции, когда точка наблюдения выводится на левый край лакуны; тогда по определению

Лг(а, А. \ V,t) := lim N(X,A,W,t), т > 0. (3)

До сих пор подобные вопросы изучались при возмущении вещественным убывающим потенциалом (см., например, [5], [6], [lj, [2J) или неотрицательным ДО второго порядка (см. [3]). Были получены старший член степенной асимптотики

считающей функции по константе связи и, для некоторых задач, условия конечности спектра оператора B(t) в лакуне (а, ¡3). Возникает естественный вопрос о распространении этих результатов на случай возмущения неотрицательным ДО высокого порядка с убывающими коэффициентами. Положительным результатам на этот счет посвящена предлагаемая диссертация.

Цель работы. Найти условия, при которых спектр оператора B(t) в лакуне (а,/3) 1) дискретен; 2) не накапливается к правому краю; 3) конечен. Указать оценку сверху для считающей функции N(\, A,W,t), А 6 [а,13), т > О, и для полного числа собственных значений (с учетом кратности) оператора B(t) в лакуне (a, fi). Найти асимптотику считающей функции N{\A,W,t) по большой константе связи т.

Научная новизна. В рамках абстрактной операторной теории были получены следующие новые результаты. 1) Найдены некоторые абстрактные условия дискретности спектра оператора B{t) в спектральной лакуне (а, ¡3) оператора А и ненакопления этого спектра к правому краю лакуны. 2) Задача о спектре оператора B(t) в [a, fi) сведена к задаче о возмущении компактным оператором части оператора А, отвечающей спектру оператора А, лежащему левее лакуны (а,/3). 3) Задача об оценках и асимптотике считающей функции N(\,A,W,t) сведена к задаче о спектральных оценках и спектральной асимптотике некоторого самосопряженного компактного оператора.

Для дифференциальных операторов получены следующие новые результаты. 4) При возмущении эллиптического ДО (1) оператором WW, где W — ДО вида

W = л/ф)(-А)т, <р>0, m 6 N, (4)

получены условия а) сохранения существенного спектра: Ь) ненакопления спектра B(t) к правому краю лакуны. Кроме того при некоторых условиях на р, g и tp получены верхние оценки считающей функции (2). 5) В ситуации, когда А — периодический эллиптический ДО (1), a W — ДО вида (4), найдены условия

конечности спектра оператора ¡3(1) в лакуне (а, в) и, при этих условиях, получены оценки величины Лг(а, А, IV, т). С) Для периодического эллиптического ДО А вида (1) и возмущения 1УИ', имеющего некоторый специальный вид (см. ниже гл.4), согласованный с оператором А, получен старший член степенной асимптотики считающей функции Л^А, Л, И7, т), Л € (а,/3). При некоторых дополнительных ограничениях получена асимптотика и в точке А = а. Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования возмущений ДО (1) оператором произвольного дифференциального порядка. Результаты об оценках и асимптотике считающей функции Л^А, Л, И7, г) могут быть использованы, например, в теории твердого тела при изучении изменений 15 структуре спектра кристалла, возникающих при введении примеси. Возмущения в виде ДО отвечают «потенциалам, зависящим от импульса».

Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседании кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ; на семинаре по спектральной теории кафедры математики Технического университета Стокгольма, январь 2000.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статье [С2] и сообщениях [01], [СЗ], [С4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, и списка литературы. Каждая глава разделена на два параграфа — «формулировки» и «доказательства». Параграфы, введение и список обозначений разбиты на пункты. При ссылках на пункты из других параграфов используется тройная нумерация. Объем диссертации — 75 страниц. Список литературы содержит 17 наименований.

Автор благодарит своего научного руководителя М. Ш. Бирмана за постановку задачи и помощь в работе.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. В п.1 кратко излагается общая постановка задачи. В п.2 обсуждаются известные результаты для случаев возмущения потенциалом и ДО второго порядка. Пункты 3^6 посвящены обсуждению результатов диссертации, технике их доказательств и сравнению с результатами других авторов. В п.7 сформулированы основные положения, вынесенные на защиту. Список обозначений содержит необходимые определения и обозначения. 1. Для линейного плотно определенного оператора М через ВогаЛ/, А/*, д(М) и а(М) обозначаются соответственно его область определения, сопряженный оператор, резольвентное множество и спектр. Для самосопряженного оператора Т и борелевского множества 5 С Ж через Ег(5) обозначается спектральный проектор оператора У, через тгт{8) — размерность подпространства Ет(5)'Н; <те(У) — существенный спектр оператора Т. Если оператор У полуограничен снизу, то его точная нижняя грань обозначается тт.

Ниже А — самосопряженный полуограниченный снизу оператор в сепара-белыюм гильбертовом пространстве 'Н. Спектр оператора Л имеет внутреннюю лакуну (а,/}) (тод < а < /3). Если при возмущении оператора А оператором £ > 0, (см. ниже п. 1.1.2) спектр возмущенного оператора В(1) = А + , I > 0, в лакуне (а,Р) дискретен, то через Д'(А,/1Д1', г), А £ (а,/3), г > 0, обозначается считающая функция (2). В точке А = п считающая функция определяется равенством (3). Для краткости обозначим Ел[тА, а] =: Еи Ел[!3, +оо) =: Е2; ЕкП =: Нк, I \н„~. /*, к = 1,2; Л |м, =: Л,.

Положим при подходящем д > О

Ад(\,А,№):=11т*ирт-т(\,А,иг,т), А £ [а,/?), (5)

т—*оо

¿,(А, А, И") := НттГ т~®Лг(А, А, IV. г), А 6 [а,/?).

(6)

2. Через В(Н) обозначается класс ограниченных оператороп в 'Н. Через S^H) —■ класс компактных операторов. Для компактного оператора Т вводятся s-числа Sk(T), fc £ N, и функция распределения i-чнсел

n(.s,T) := £ N : sfc(T) > s}.

Стандартным образом [7] вводятся классы компактных операторов Sp, £р, р>0. Норма в Sp обозначается через || • J|p. В 5Р используется квазинорма \'Г\Р := sups>0snI/p(.s,r). На Ер определяются непрерывные функционалы

ЛДТ) := limsnp ^п^Т), 5Р( Г) liminfspn(s,T), Т 6 Ер, р > 0.

J-+ + 0 5->+0

Подпространство £р С Ер выделяется условием ДР(Т) — 0.

3. Пусть (X, р) — сепарабелытое пространство с cr-конечной мерой д. Наряду с пространством Lp(X,g), р > 0, вводятся слабые классы LP^(X, д), р > 0. Норма в Lp обозначается через || ■ ||р. В используется квазинорма |/jp : = supJ>0s/<yp(«), где f.if(.s) = q{x 6 A' : |/(-т)| > «}, s > 0. Сепарабелыюе подпространство Lpco С LPt00 выделяется условием -4 0, .я +0, s —» -hoc. Слабые классы на множестве Zd обозначаются через р > 0, а их сепарабелыюе подпространство соответственно через l°rx(Zd). Пусть [0, l)d, d > 1; := Qd + п, п € Zd. Для / е LiM(Rd) положим

HI) ~ K(/)Kez', V*(/) := (^J\f(x)\2d.}j , n 6

Класс GPiC>0(Kd), р > 0 выделяется условием t;(/) 6 /p.cc(Zli), а класс G'°i<x Р > 0, - условием v(/) € iJl00(Zd). При этом |v(/)|p =: |||/|||р. Глава 1. Основные абстрактные результаты. Получены результаты, которые являются опорными как для абстрактного исследования асимптотики считающей функции, так и для результатов о дифференциальных операторах. Ниже на протяжении глав 1, 2 оператор Л = Л* положительно определен (тА > 0), спектр сг(А) содержит внутреннюю лакуну (а,/?) (гид < а < /3).

У

§1. Формулировки.

1. Условия дискретности спектра возмущенного оператора в лакуне невозмущенного. В качестве основного результата здесь можно выделить теорему 1.1.4.

Теорема 1.1.4. Пусть В = В* и В > А в слшсле квадратичных форм. Если

(В-1 - А~1)Е1 € SooiW),

то ае(В) П (а, ¡3} = 0 и (В — £,/3) С ё{В) при некотором z > 0.

2. Возмущенный оператор. Здесь вводится возмущение конкретного вида, для которого и будут сформулированы все дальнейшие (абстрактные) результаты глав 1, 2. Пусть а — форма оператора A, <i[a] — ее область определения. Пусть W0 — плотно определенный в % оператор, допускающий замыкание И7; DomW ц С d[al ■ Определим форму

6о(ОК v] = a[u, v] •+ t(W0u, W^v), u, v 6 DomW'o, t > 0.

Форма b0(t) допускает замыкание b(i). При этом d[b(i)] =: d не зависит от /, > 0 и J С rf[a] П DomW. Определим возмущенный оператор B(t), I > 0, как самосопряженный в И оператор, порожденный формой b(t), t > 0. Всюду ниже предполагается выполненным условие

E,4cd, WEi 6 SaoCH). (7)

При выполнении (7) пара операторов /1, B(t) удовлетворяет условиям теоремы 1.1.4 при любом t > 0. Следовательно, спектр оператора B(t), t > 0, в лакуне (а,/9) дискретен и не накапливается к правому краю.

3. Вычисление N(X,A,W, г) в терминах вспомогательной задачи. Пусть 6i(i), t > 0, — сужение формы b(t) на линеал d Г) Форма b2(t), t > 0, плотно задана, положительно определена (6j(f) > ¡3) и замкнута в Пусть Bi(t) — самосопряженный оператор в W.2, порожденный формой b2(t). Корректно

определена действующая в И неотрицательная оператор-функция

F(t, А) := t2(\VEiy{W(B2(t) - AI2)~1/2E2) х

x{W(B2(t)-\[2y1/2E2yWEu t> О, А <

Оператор F(t, A), t > О, А < в компактен. Кроме того, F(t,Х)Н2 = {0}, а потому RanF(i, А) С Положим Qt := (WEtfWEx |я,;

Fi(/,A) := F(t,\) |Ml; Г(А,<) := Ai +tQi - Fi(i, A). (8)

Следующее утверждение является центральным результатом главы 1. Теорема 1.1.7. Пусть выполнено условие (7) u А 6 (а,/?). Тогда

#{1Е (0, г] : А е a(B(t))} < +00, ,V(A, А, Иг, г) = тгг(Л,г)[Л, +00), Vr > 0. (9)

4. Следствия теоремы 1.1.7. Из формул (8), (9) вытекают оценки

А7(А, < -.4l+(Ql[A,+co), t > 0, (10)

< ^1+(Qi(q,+oo), t > 0. (И)

Введем оператор-функцию, действующую в пространстве 7i,

Х(А) := -WEtiAt - \h)-l(WEiy, А > о. (12)

Неотрицательная оператор-функция Д'(А) не возрастает на интервале (о,+сс). Предположим, что она имеет компактную мажоранту:

Х(А) < хо G Soo(W), А>а. (13)

Условия конечности спектра В{1.) в лакуне (а,/3) и оценку jV(o, Л, IV, t) дает Теорема 1.1.11. Пусть выполнены условия (7) и (13). То?да (i) при любом t > 0 правая часть в (11) конечна, а следовательно, спектр

оператора B{t) в лакуне {а, в) конечен; (и) при любом t > 0 величина N{a,A,W,t) конечна и справедлива оценка

N(a, Л, IV, t) < TT-Jr1, +00), t > 0.

§2. Доказательства. Теорема 1.1.4 доказывается сведением задачи к случаю знакоопределенного компактного возмущения. Для обоснования теоремы 1.1.7 необходимо комбинировать вариационные методы и аналитическую теорию возмущений. Оценки (10), (11) вытекают из теоремы 1.1.7. Теорема 1.1.11 вытекает из теоремы 1.1.7 и принципа Бирмана-Швингера, выражаемого в данном случае равенством:

7r^l+<Ql[À,-foo) = -х(л)[Г], +оо), Л > a, t> 0. (14)

Глава 2. Асимптотика считающей функции. Здесь обсуждаются абстрактные условия, при которых оценка (10) превращается в асимптотическое (при t —» +оо) равенство. При этом старший член степенной асимптотики считающей функции вычисляется в терминах оператора (12). § 1. Формулировки.

1. Асимптотика считающей функции внутри лакуны. Предполагается, что кроме (7) выполнены включения

WE{H С BomW", WWEi 6 q > 0, (15)

ЕА\р,^(AW'W - W'WA)El 6 V7 > ¡3. (16)

Из (15) вытекает включение x(A) G Eg('H). Из (10) и (14) следует

Д9(А,Л,И/)< Д,(Х(А)), 5в(М,И')<гв(х(А)), А е(а,р). (17)

Основным результатом главы 2 является

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия (7), (15), (1С) и А £ (а,/3). Тогда

Д,(А,А,1У) = Л,Ц'(А)), 54{X,A,W) = Sq{X{X)). (18)

2. Асимптотика на левом краю лакуны.

Следствие 2.1.3. Пусть выполнены условия (7), (13), (15) и (16). Тогда при любом t > 0 величина N(а, А, IV, t) конечна, и верны неравенства

Dg(X(X)) < Dg{a,A,W) < Dg(Xo), VA € (q,/?), D = Д, S.

Если дополнительно при А о+О имеет место Ед-сходилюстъ \(Л) к \о, то справедливы равенства Д,,(о, Л,ИЛ) = Д,(\о), ^(о, А, W) =Sg(\0). §'2. Доказательства. Теорема 2.1.1 выводится из равенства (9) вариационными методами. Следствие 2.1.3 вытекает из теоремы 2.1.1 и монотонности считающей функции N(-, A, W, t) на интервале (а,¡3).

Глава 3. Оценки считающей функции для ДО. Здесь применяются результаты главы 1 к дифференциальным операторам.

§1. Формулировки. Дается точная постановка задачи и формулируются основные результаты для ДО.

1. Дифференциальные операторы. Пусть И = ¿■.¡(R'O, d > 1; g(x), р(х) - измеримы и вещественны; д(х) — симметричная ограниченная равномерно эллиптическая (d х с/)-матрица-функция; для функции р выполнено

sup / \p(y)\"dy < +ос, где

T&d J

\г-у\<1

Самосопряженный в И оператор /1 = — divд[х) grad + р(х) определяется через квадратичную форму. Добавляя к р(х) постоянную, можно считать гггд > 0.

Пусть неотрицательная функция y?(jr) удовлетворяет следующему условию. Условие 1. Функция (р 6 ¿.»(Ж1*) и найдутся измеримые множества П„ С п £ N, такие что

V |п„> £п > 0, mes(fin \ intf!u) = 0, п 6 N,

Rd = {х G ЖЛ ■ ф) = 0} U [J Пп.

neN

Пусть \\'0и = )ти, и 6 Cg°(Rd), m 6 N. Положим l>0(i)[u, у] =

й[», ;•]-(- t(Wau, Wqv), u,v 6 C,5°(R'i), t > 0. При условии 1 оператор W0 допускает замыкание VF, а тогда (ср. и. 1.1.2) и форма b0(t) допускает замыкание b(i). Возмущенный оператор B(t) определяется как самосопряженный оператор в И, порожденный формой b{t). Формально

B{t) = —divg{x)grad + p{x) + t(-A)mip(x)(-A)m, t > 0.

a = 1, d = l, a > dj'l, d > 2.

2. Условия сохранения существенного спектра. Предположим, что кроме условия 1 выполнены следующие условия.

"Условие 2. Матрица-функция д(х) равномерно непрерывна в

Условие 3. Найдется последовалгелъностъ вещественных функций {pn}neN>

таких что: дар„ € Lx(Rd), 0 < |о| < 2т, п g N;

sup I Ыу) - p{y)\°dy-► О, Г ~ ^

x&L" J n->0° 1 ст > а/ 2, d > 2.

¡Г-!/|<1

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия 1-3, и ip(x) —» 0, |.г| —>• оо, по мере Лебега. Тогда при всех t > 0 <те(Л) — ae(D(t)); если (аив) — лакуна в сг(А), то дискретный спектр оператора B(l) е (а, /3) не накапливается к точке ¡3.

Заметим, что все результаты главы 2 справедливы и при m — 0. Однако этот случай изучался в литературе при менее жестких условиях (см. [5], [6]).

3. Оценки считающей функции. Пусть выполнено одно из условий

¥> 6 q> 1; (19а)

9 6(0,1]. (19Ь)

Ниже условия 2, 3 заменяются более жескими

еТр е d"g е Lx(Rd), \x\<Mi, (20)

где число Aíi выбирается достаточно большим (оно зависит от m, с/, а также от q из условий (19)). Как и выше, {a, ¡i) —- лакуна в о(А).

Теорема 3.1.2. Пусть tp удовлетворяет условию 1, выполнено одно из условий (19), р, g удовлетворяют условию (20) u Л G {а,/3). Тогда #{f € (0, г] : Л 6 a(B(t))} < -feo при всех т > 0, и для считающей функции верны оценки: (i) Если выполнено (19а), то Л'(А, A, W, т) < Если дополнительно

pv(s) = ois-*), s -»■ 0, то N(X,A,W,t) ~ о{тч), т +оо. (Ü) Из (19Ь) следует Л'(А, A, W,т) < Если ç> е Glx(Ed), то

N{\,A,W,t) = о{г<1), г ->■ +оо.

Обозначим < х >:— (1 + |.т|2)'/2. Для «степенной шкалы» теорема 3.1.2 дает Следствие 3.1.3. Если функция if удовлетворяет условию 1 и выполнено

О < ф) < С < х >~\ 7 > О,

то верна оценка Д;(Д, Л, И7, г) < С0(\)тЛ/~<, т > 0.

4. Спектральное разложение оператора А с периодическими коэффициентами. Всюду ниже (включая главу 4) оператор А предполагается Zd-периодическим. В настоящем пункте описано спектральное разложение оператора А. Пусть — ячейка двойственной решетки (2irZ)li. Стандартным образом [5] вводятся зонные функции {Es(k)}seN- k G Т'', и блоховские решения {ii's(-c, &)}j6N> 1 € Q^) к G Td. Ниже (в том числе и в главе 4) предполагается, что спектральная лакуна (а, в) (та < а < (3) удовлетворяет следующему условию: для некоторого I > 2

а= maxEi_i(/v), ¡3 = min ЕАк). (21)

Введем определение регулярности левого края лакуны (см., например, [5]). Будем говорить, что левый край лакуны (а,/3) регулярен, если maxfc Ei^{k) < о, к £ и первое равенство в (21) достигается в конечном числе точек kj £ Td, j = 1,...,Л/, каждая из которых есть невырожденная точка максимума для Ei-1, т.е. а — E|_i(fc) = qj(k — kj) + 0(\k - fc,)3), k —J- kj, j = 1,..., M, где qj —- положительно определенная квадратичная форма.

5. Конечность спектра оператора B(t) в лакуне (а,/9) и оценка

Дг(а, Л, W, t) в периодическом случае. Результаты относятся к случаю d > 3. Теорема 3.1.4. Пусть el > 3, выполнено (20), и левый край лакуны регулярен. Пусть (р удовлетворяет условию 1, и ip € L^t®1')- Тогда при любом t > 0 спектр оператора B(t) в лакуне (о, (3) конечен, и справедлива оценка

N(a,AJV,t) = o(td/2), t-^+oо.

При дополнительных условиях на ip последнюю оценку уточняет

Следствие 3.1.6. Пусть d > 3, выполнено (20), и левый край лакуны (cx,ß) регулярен. Пусть удовлетворяет условиям 1 и (19а) при 1 < q < d/2. Тогда при любом t > 0 спектр оператора B(t) в лакуне (a,ß) конечен, и

N[a,A,W,t)<C M'i».

§2. Доказательства. Утверждения главы 3 доказываются применением результатов главы 1 к случаю дифференциальных операторов. Доказательство теоремы 3.1.1 сначала проводится для случая гладких р{х) и д{х), после чего, с помощью подходящих апроксимаций, переносится на общий случай. Теорема 3.1.4 опирается на теорему 1.1.11; при этом используется подход развитый в [5j. Глава 4. Асимптотика считающей функции для ДО. Здесь обсуждаются применения результатов главы 2 к дифференциальным операторам. §1. Формулировки. Условия (20), (21) сохраняются. Рассматривается возмущение специального вида. Именно,

Wou = (—div/i(.T)grad + г{х))ти, и 6 т £ N;

здесь k(x) — вещественная симметричная (d х ¿)-матрица-функция, г(х) — вещественная функция. При этом k(x) и г(х) имеют асимптотику

d"(h(x)~ < х >-1 у(х)) = о(< ж |у:| оо,

(22)

д"(г(х)~ < X >~1 р(х)) = о(< X >-"'), |ж| оо, \х\ <М2, 7 > 0,

где Mi достаточно велико. Оператор Wo допускает замыкание IF. Как в н. 2.1.1, через квадратичную форму определяется семейство возмущенных операторов B(t) — A + tW"W, t > 0. Следующее утверждение дает асимптотику считающей функции N(\,A, IV, г), т +оо, Л € (a,ß), при 7 6 (0,d/(2m)). Теорема 4.1.1. Пусть выполнены условия (20), (22). Тогда спектр оператора B(t) в лакуне (a,ß) дискретен и не накапливается к правому краю лакуны при

любом I > 0. Если при этом ц := с]/(2т~/) > 1, то справедлива асимптотика

где ¡¿<¡-1 — площадь единичной сферы в КА

Укажем теперь условия справедливости асимптотики на левом краю лакуны. Следствие 4.1.3. Пусть й > 3, выполнены условия теоремы 4.1.1, левый край лакуны регулярен, и д 6 (1,с1/2). Тогда асимптотика (23) справедлива и для

Отметим, что условия согласованности (22) появляются из-за условия (10) теоремы 2.1.1. Похожие условия согласованности имеются в работе [3]. За их счет удается вычистить асимптотический коэффициент 11т4_>+00 1~я А, IV, 1) только в терминах оператора А.

§2. Доказательства утверждений главы 4 опираются на результаты главы 2. Кроме того используется результат работы [б]. Публикации по теме диссертации

|С1] В. Л. Слоущ. Дискретный спектр в лакунах спектра самосопряженного оператора при неограниченных возмущениях. Записки научных семинаров ПОМП, том 247, СПб, 1997, 237-241.

[С2] В. А. Слоущ. Дискретный спектр, возникающий в спектральных лакунах при сильных знакоопределенных возмущениях. Труды Санкт-Петербургского математического общества, 1998, том 6, 213-241, Новосибирск, «Научная книга».

[СЗ] В. А. Слоущ. Асимптотика дискретного спектра по большой константе связи при сильных неотрицательных возмущениях. Записки научных семинаров

А = о.

ПОМП, том 270, СПб, 2000, 217-224.

[С4] В. А. Слоущ. Дискретный спектр дифференциальных операторов в спектральных лакунах при неотрицательных возмущениях высокого порядка. Записки научных семинаров ПОМИ, том 270, СПб, 2000, 225-236.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] О. Л. Сафронов. Дискретный спектр в лакунах непрерывного при незнакоопределенных возмущениях с большой константой связи. Алгебра и анализ. Том 8 (1996), вып. 2, 162—194.

[2] S.Alama, P.A.Deift, R.Hempel: Eigenvalue Branches of the Schrodinger Operator H — ЛИ' in a Gap of cr(H). Commun. Math. Phys. 121, 291-321 (1989).

[3] S.Alama, M.Avellaneda, P.A.Deift, R.Hempel: On the Existence of Eigenvalues of Divergence Form Operator A + \B in a Gap of it (A). Asymptotic Analysis 8(4) (1994), 311-344.

[4] M. Sh.Birman. Discrete spectrum in the gaps of a continuous one for perturbation with large coupling constant, Estimates and Asimptotics, for Discrete Spectra of Integral and Differential Equations, Adv. Soviet Math., 7, Amer. Math. Soc., Providence, Ш, 1991, pp. 57-73.

[5] M. Sh. Birman. The discrete spectrum in gaps of the perturbed periodic Schrodinger operator. I. Regular perturbations, Adv. Partial Differential Equations, 2, Akademie Verlag, Berlin, 1995, pp.334-352.

[6] M. Sh. Birman. Discrete spectrum of the periodic Schrodinger operator for non-negative perturbations. Mathematical results in quantum mechanics (Blossin, 1993), 3-7. Operator theory Advances and Applications, Vol. 70 Birkhauser, Basel, 1994.

[7] M. Sh. Birman, M. Z. Solomyak. Spectral theory of selfadjoint operators in Hilbert space, pp. xvi+301. Mathematics and its Applications (Soviet Series). D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1987.

Подписано к печати 26.10.2000 г. Заказ 1586. Тираж 100 экз. Объем 1 п.л.

ЛР №040815 от 22.05.97.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СГ16ГУ с оригинал-макета заказчика. 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.