Дополнительные степени свободы в задачах о самосинхронизации вибровозбудителей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Потапенко Мария Александровна

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЗАДАЧАХ О САМОСИНХРОНИЗАЦИИ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ

01.02.01 - Теоретическая механика 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2011

2 6 МАЙ 2011

4847903

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институте проблем машиноведения РАН и Научно-производственном комплексе "Механобр-техника"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Блехман Илья Израилевич

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Пасынкова Инна Анатольевна

- доктор технических наук, профессор Андриевкий Борис Ростиславич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Защита диссертации состоится 16 июня 2011 года в 14ч.00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при ИПМаш РАН по адресу: 199178, г.Санкт-Петербург, Большой пр.В.О.,д.61, ИПМаш РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН.

Автореферат разослан 16 мая 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук,

профессор

Дубаренко В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вибрационные машины с начала прошлого века все шире применяются в различных отраслях промышленности - при добыче и переработке полезных ископаемых, в строительстве, металлургии, пищевой промышленности и в других производствах. В настоящее время вибрационная техника продолжает существенно совершенствоваться, возникают все новые области ее эффективного применения. Быстро развивается новый раздел прикладной теории колебаний - теория вибрационных процессов и устройств. Создание новых машин невозможно без исследования их динамики на основе современной теории нелинейных колебаний.

Одним из перспективных направлений совершенствования вибрационных машин является введение дополнительных степеней свободы в их колебательную часть и в вибровозбудители. Между тем этому направлению еще не уделяется достаточного внимания. Восполнению этого пробела и посвящена настояшая диссертация.

Цель работы состоит в изучении и обосновании возможностей улучшения динамических свойств вибрационных устройств с механическими ( дебалансными ) вибровозбудителями путем введения дополнительных степеней свободы в вибровозбудители и в колебательную часть системы. При этом основное внимание уделяется устройствам с самосинхронизирующимися инерционными ( дебалансными ) возбудителями.

Основные задачи исследования. В соответствии с поставленной целью основные задачи работы состоят в следующем:

• В исследовании возможностей обеспечения устойчивости требуемой синфазной фазировки синхронного вращения роторов двух дебалансных вибровозбудителей в случае, когда она "естественно" неустойчива, путем использования вибровозбудителей с дополнительной степенью свободы.

• В изучении влияния дополнительных степеней свободы колебательной части системы на характер устойчивой фазировки вращения роторов вибровозбудителей при их самосинхронизации.

• В определении условий, при которых фазировки нескольких роторов в синхронных режимах вращения являются устойчивыми при различных вариантах соединения роторов в парах.

• В исследовании медленных колебаний неуравновешенных роторов вибровозбудителей при возмущении режимов самосинхронизации (эффекта "внутренних маятников" в нестационарных режимах вращения роторов).

Методы исследования. При решении рассматриваемых в диссертации задач динамики используются методы теории нелинейных колебаний и устойчивости движения, в частности, теория синхронизации динамических систем. Используется также подход вибрационной механики и метод прямого разделения движений. Широко применяется современная вычислительная техника.

Основные результаты,выносимые на защиту:

• Численно исследована система шести нелинейных дифференциальных

уравнений второго порядка, описывающих поведение двух соосных деба-лансных вибровозбудителей со внутренней степенью свободы, установленных на мягко виброизолированном твердом теле "носителе". Главные из результатов этого исследования состоят в следующем:

а) Рассмотрен случай, когда изучаемый синфазный режим самосинхронизации неустойчив при отсутствии внутренней степени свободы, а введение внутренней степени свободы обеспечивает лишь временную (гироскопическую) устойчивость, при которой диссипация приводит к нарушению устойчивости через определенный промежуток времени.

б) Найдена зависимость времени сохранения синфазного режима от интенсивности диссипации.

в) Рассмотрен способ обеспечения "обычной"устойчивости этого режима путем импульсного воздействия на один из роторов.

• Рассмотрены варианты присоединения к несущему телу дополнительных масс, закрепленных на упругих элементах, обеспечивающих устойчивость желаемой фазировки вращения возбудителей, которая при отсутствии этих масс неустойчива.

• Найдены условия, при которых фазировки роторов в синхронных режимах вращения двух пар соосных дебалансных вибровозбудителей, установленных на взаимно перпендикулярных гранях мягко виброизолированной платформы, совершающей плоские колебания, являются устойчивыми при различных вариантах соединения вибраторов в парах. В каждом случае установлен характер колебаний платформы.

• Выполнен анализ колебаний роторов при возмущении устойчивого

режима самосинхронизации нескольких инерционных вибровозбудителей. Ранее такие колебания были обнаружены и изучены в более простой системе - при пуске и остановке инерционного вибровозбудителя, установленного на упруго опертой жесткой платформе и приводимого во вращение двигателем асинхронного типа. Для случая двух возбудителей получено уравнение полумедленных колебаний соответствующего "внутреннего маятника".

Научная новизна работы состоит

- В исследовании особенностей динамики нелинейной системы при временной (гироскопической) устойчивости режима. В частности - в установлении зависимости времени сохранения режима от интенсивности диссипации и в анализе способа обеспечения обычной (ляпуновской) устойчивости путем импульсного воздействия.

- В обнаружении и исследовании медленных "маятниковых" колебаний неуравновешенных роторов при возмущении режима самосинхронизации. В установлении связи этих результатов с результатами исследования "качаний " одного ротора в режимах пуска и выбега1.

Практическая значимость работы состоит

- В расширении возможностей использования явления самосинхронизации при создании новых вибрационных машин. В частности,

а) путем обеспечения устойчивости требуемой фазировки вращения роторов посредством использования вибровозбудителей с дополни-

1И.И.Блехман, Д.А.Индейцев, А.Л.Фрадков Медленные движения в системах с инерционным возбуждением колебаний, 2008.

тельной степенью свободы

б) путем определенного видоизменения колебательной части системы

- В установлении особенностей колебаний (качаний) роторов в машинах с несколькими инерционными вибровозбудителями в режимах пуска и выбега с целью создания эффективного преодоления резонансных зон.

- В использовании при совершенствовании установки для уплотнения формовочного песка на заводе Арматуры Контактной сети (Санкт-Петербург) .

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на Всесоюзной конференции "Проблемы виброизоляции машин и приборов," (Иркутск, 1989); III и IV Конференциях молодых ученых и специалистов ЛФИМАШ, (Ленинград, 1989,1990); VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах",(Свердловск, 1990); Первых Окуневских чтениях, (Санкт-Петербург, 1997); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); на международных научных конференциях "Control of Oscillations and Chaos ", (Санкт- Петербург, 1997, 2000); "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий", (Санкт-Петербург, 1999); 'Tools for Mathematic Modelling", (Санкт-Петербург, 2001); "Динамика систем, механизмов и машин", (Омск, 2002); "Общие проблемы управления и их приложения", (Тамбов, 2003); на XXXIV, XXXVI Международных летних школах-семинарах ученых-механиков " Advanced Problems in Mechanics " , Санкт-Петербург, 2006, 2008,2009, 2010; VI EUROMECH Conference ENOC' 2008, ( Санкт-

Петербург 2008); Physcon 2009 (Italy).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 18 работ, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, (69 наименований на русском и иностранных языках). Текст работы изложен на 95 страницах. Диссертация содержит 15 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы основные задачи исследования, дано описание методики исследования, содержания работы и приведен обзор литературы по рассматриваемой проблеме.

Первая глава работы представляет собой аналитический обзор литературы.

Вторая глава работы посвящена изучению численными методами самосинхронизации вибровозбудителей с внутренней степенью свободы. Известно, что увеличение тем или иным способом числа степеней свободы механической системы ( особенно - нелинейной системы) может привести к существенному изменению ее поведения. Поэтому в работах И.И.Блехмана и JI. Шперлинга 2 была поставлена задача о самосинхро-

2I.I.Blekhman, L.Sperling Selected Topics in Vibrational Mechanics, World Scientific, New Jersey-London, 2004.

низации неуравновешенных роторов с внутренними степенями свободы, т.е. роторов, содержащих некоторую массу, связанную с ними упругими элементами. Целью такой постановки задачи является исследование устойчивых синхронных вращений описанных роторов. Они существенно отличаются от режимов синхронного вращения сплошных роторов, а при определенных условиях устойчивыми становятся фазировки, "благоприятные "с практической точки зрения (например, синфазные вращения роторов), тогда как для сплошных роторов устойчивы противофазные вращения.

Рассматривается виброустановка с двумя дебалансами, имеющими подвижные центры масс. Схема установки представлена на Рис. 1, на котором обозначено: 1 - носитель - твердое тело, установленное на пружинах с известными характеристиками и совершающее плоские колебания. На носителе жестко закреплены два соосных дебаланса - 2. Внутри каждого дебаланса закреплена на пружине дополнительная масса - 3, способная совершать колебательные движения в радиальном направлении.

Таким образом, носитель устройства имеет две координаты X и У, каждый г-тый дебаланс - по одной вращательной щ и одной поступательной координате, определяющей расстояние рг дополнительной массы от оси ротора.

В работе 2 были получены уравнения Лагранжа второго рода для системы с двумя вибровозбудителями, имеющими внутри себя дополнительные массы, способные перемещаться в радиальных направлениях.

Су Щ Ö ßv

ww^wwvTwww

Рис. 1: Виброустройство с роторами, имеющими внутреннюю степень свободы

Для стационарного синфазного режима движения одинаковых роторов в одном направлении, т. е. фд = и) = const; ps = 0 с учетом силы упругости и демпфирования всех пружин уравнения движения носителя и роторов с дополнительными массами могут быть записаны в виде:

[то£ + m{r + /9s)](Xsinwí + Y cos tut) = K(u) — cjs) 2

MX = ^[m0e + m(r + рг)}ы2 cosut - ßxX - CxX (1)

¿=1 2

MY = ^[m0e + m(r + Pi)](-co2 sin tot) - ßyY - CyY i=1

Ш1Р = (r + Pa )ws — (X COS Lüt + Y Sin Lüt)

где ш2р = М = М° + 2т0 + 2т

Здесь то - дополнительная подвижная масса внутри дебаланса; т -масса дебаланса (ротора); М - масса всей установки; е - эксцентриситет массы дебаланса - расстояние от точки подвеса О до центра тяжести С; г - длина ненапряженной пружины внутри ротора; р - отклонение подвижной массы от положения, соответствующего недеформированной пружине внутри дебаланса; X - смещение центра тяжести носителя по горизонтали; У - смещение центра тяжести носителя по вертикали; и -синхронная (установившаяся) угловая скорость роторов; (р - угол поворота ротора от состояния покоя; ¡Зх — (Зу = ¡3 - коэффициенты затухания колебаний носителя вдоль соответствующих осей; Сх = Су = С - коэффициенты жесткости пружин, на которых установлена платформа; Ср - коэффициент жесткости пружины внутри ротора; К - коэффициент электрического демпфирования двигателя ; - парциальная скорость возбудителя.

Для случая одинаковых парциальных скоростей и>\ = ш2 и для стационарного режима из уравнений (1) находим:

^ 2(то£ + т(г 4- р))и (С — Мш ) ^ 2(т0£ + т(г + р))ш3 Р . х

Х — -7Тг 9-, т о-СОЭи}Ь~\~ „- _ - 9 8111 шЬ

(Мш2 - С)2 + /32ш2 (Мш2 - С)2 + Р2ш2

2(т0£ + т{г + р))и3р 2(т0е + т(г + р))ш2(Мш2 - С) . х

(Ми!2 - С)2 + ¡32ш2 (Мш2 - С)2 + /32и>2

Полученные выражения позволяют найти аналитическое выражение для

координаты р дополнительной массы в стационарном режиме:

_ гш2[{Мш2 - С)2 + 02и)2} - 2и)4(т0е + тг){Мш2 - С) Р ~~ (о;2 - и/2) [(Ми;2 - С)2 + /32и>2] + 2ш4т(Мы2 - С)

Рис. 2: Разность фаз вращения сплошных роторов

На Рис. 2 показано изменение во времени разности фаз вращения роторов в отсутствие дополнительных масс в возбудителях. Кривые соответствуют следующим параметрам установки : Мо = 2 кг, то = 1 кг, г = 0.01м, рх = 84^, Сх = Су = 12.6 ^, с^ = 300 Рис.3 отражает поведение той же установки при наличии подвижных масс т = 1 кг внутри каждого ротора.

В работе 2 произведена линеаризация исходных уравнений движения с последующим применением метода разделения движений для анализа устойчивости по Ляпунову. Это позволило сформулировать три условия существования временной ( гироскопической ) устойчивости:

1. и > Шр 3. с2 +

Здесь е* = 1 — 2 -Ц-; 1° = J+ т0£2 + т(г + р)2.

Выполнения 1 и 2 условия временной устойчивости можно всегда достичь выбором шр и других начальных данных. Далее в работе показано, что третье условие выполняется всегда.

Рис. 3: Разность фаз вращения роторов при наличии внутренней массы

Иначе говоря, доказано, что для виброустановки с двумя дебаланса-ми временная устойчивость синфазного вращения обеспечивается введением дополнительной подвижной массы внутри каждого ротора.

Проведенные исследования показывают, что влияние сопротивления на характер возникающих колебаний значительно. По мере уменьшения сопротивления амплитуда колебаний и длительность синфазного режи-

Рис. 4: Разность фаз вращения роторов при уменьшении диссипации

ма увеличивается. Но полностью отбрасывать слагаемые, отражающие влияние затухания, нельзя. Игнорирование их вклада приводит к нарушению колебательных процессов системы и разрушению синхронизации вибровозбудителей. На Рис.3 для значения ¡Зх = 84^, а на Рис.4 ¡5Х = 15^ построены зависимости от времени разности фаз ц>2 — Полученные результаты хорошо перекликаются с решением классической задачи об устойчивости "спящего волчка" и вращения снаряда.

В этих системах устойчивость также обеспечивается за счет гироскопических членов, при их отсутствии соответственно волчок и снаряд неустойчивы. В классическом учебнике 3 приведено необходимое условие устойчивости "спящего волчка":

^ш2 > 4ЮЛ (2)

3Л.Г.Лойцянский, А.И.Лурье Курс теоретической механики, 2т., М, 1957г.

Здесь шг - проекция угловой скорости на ось г; Jl, - главные моменты инерции; С - вес; / - расстояние от центра тяжести С до точки опоры.

Обычно считается, что выполнение этого условия обеспечивает устойчивость и волчок падает при его нарушении вследствие уменьшения скорости вращения из-за действия сил трения. Можно предполагать, что прежде чем нарушится это условие, произойдет потеря временной устойчивости вследствие действия тех же диссипативных сил, как и в рассматриваемой задаче.

6 5

и 4 1

Рис. 5: Разность фаз вращения роторов при импульсной коррекции

Показано, что "нормальная"устойчивость этого режима может быть обеспечена путем импульсного воздействия на один из роторов Рис.5. Основная идея импульсной коррекции состоит в периодическом подключении источника питания к двигателю. Это вызывает непрерывное изменение скорости двигателя. Указанные переключения могут осуществ-

ляться при помощи механических переключателей, контакторов, реле, магнитных усилителей в релейном режиме, ионных приборов и т.п. За счет введения периодического импульсного воздействия на один из роторов наблюдается требуемый устойчивый синфазный режим.

Третья глава работы посвящена изучению влияния дополнительных степеней свободы колебательной части системы на самосинхронизацию механических вибровозбудителей.

Рис. 6: Виброустановка с дополнительными степенями свободы носителя

Динамическая схема аппарата представлена на Рис. 6, на котором 1 - твердое ( несущее тело), где симметрично установлено два одинаковых инерционных вибровозбудителя 2. К телу посредством упругих элемен-

тов жесткости cx и cy прикреплены две массы тх и ту -3, которые могут перемещаться в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Несущее тело может совершать плоские колебания перпендикулярно осям вращения роторов. Центр тяжести тела расположен посередине между осями вращения. Тело считается мягковиброизолированным, т.е. упругие элементы, связывающие его с неподвижным основанием предполагаются имеющими пренебрежимо малую жесткость о (при условии, что рассматриваются установившиеся вынужденные колебания тела). Парциальные скорости вращения вибровозбудителей предполагаются одинаковыми и положительными. За обобщенные координаты приняты смещение центра инерции платформы X и Y от положения равновесия системы на упругих элементах,угол поворота платфомы у?,отсчитываемый от направления оси ОХ по ходу часовой стрелки и смещения q\ и qi масс тх и ту от их положений равновесия.

Рассмотрен случай самосинхронизации вращения вибровозбудителей. При самосинхронизации разность фаз в устойчивом синхронном движении зависит от параметров системы и может быть найдена с использованием так называемого интегрального критерия (экстремального свойства) устойчивости синхронных движений, согласно которому устойчивые синхронные движения соответствуют точкам грубых минимумов потенциальной функции системы D.

В соответствии с этим критерием, установленным И.И.Блехманом и Б.П.Лавровым, считается, что роторы вращаются по закону

<¿>1 = ¥>i = CTi(wi + ai); <Р2 = tpi = a2(u}t + а2) (3)

Здесь из -абсолютная величина средней угловой скорости вращения роторов; «¿-постоянные начальные фазы вращения, а каждая из величин <7г равна либо 1, либо -1; при а г одинаковых по знаку осуществляется движение роторов в одном направлении, а при разных знаках а^ - в противоположных направлениях.

Выражения для кинетической и потенциальной энергии колебательной части системы с точностью до квадратичных членов относительно обобщенных координат запишутся в виде:

Т = у (х2 + у2) + ^Зф2 + + 1\ф2 + 2хдг + 2 Ьуф)+

7УХ

+ +2уд2-212хф) (4)

П = | в? + (5)

Здесь М = М + тх + тоу,где М - масса несущего тела с роторами.

В работе получено следующее выражение для потенциальной функции £>:

£>=<Т-П>=<2со8а: (6)

Выражение для <2 носит достаточно сложный характер. Однако, поскольку интерес представляет случай, когда колебания дополнительных масс происходят вблизи парциальных частот 4 Аж = и Ху =

4 Под парциальными частотами здесь понимаются частоты свободных колебаний дополнительных масс при неподвижном несущем теле.

т - ,то всеми членами выражения для потенциальной функции, содер-

Шу

жащими тх и т.у, но не содержащими знаменатели тхи2—сх, туш2—су, можно пренебречь. Тогда

О ~ р2( М + Ма1(72 ц. т2хту11г2и2(Т1СГ2

{2(М + ту)2ш2 2(М + тх)2ш2 2(М + тх)2(су — туш2)32

_т^рхкы2_ _т2о-]СТ2_

2(М + тх)2(М + ту)2(су - туш2)2Р (М + тх)2(су - туш2)

тхту11ГШ2а1(Т2 + т^т2^г2ш2(г 1<т2 (М + тпх)27(су - ШуШ2)2 2(М + тпу)2^(сх — тпхш2)

гпхи2(тпу12 - ,72(М + ту)2) ш^2г2°'10'2

7ТТ ! \ ,1 / то

(М + тпу)4(сх — тхи>2)2^ 12{М + ту) т^гПуЦг2а1СГ2 т2(,/(М + ту) - т2/2)

72(М + ту)2(сх - тхиз2) (М + ту)3(сх - шхш2) 1

т2ту12г2(71С72 тхту11г(тх + ту)с71(Т2

(М + тх)2<72(су - туш2) (М + тх)23{су - туы2)

_т2хт3у1Щ_

1(М + тх)2(М + ту)2(су - туы2)

гп^сгхст2 т^Щ г2 а 1ст2.

+ {М + тх)2{су-туи2) + ТЩ+^уй2 ~ 13ь:2 '

Здесь Г = теш2 - амплитуда вынуждающей силы,развиваемой каждым вибровозбудителем. Для устойчивости синфазного вращения необходимо и достаточно, чтобы при а=О функция И имела минимум. Это приводит к условию

<3 < 0 (7)

Рассмотрены частные случаи:

1) Дополнительные массы отсутствуют (тх = гпу — 0).

М Р2 р2 р2г2 р2г2

д = + Жёа1СТ2 + лМ°1а2}~ (8)

После преобразований из <5 < 0 получается:

Мг2 ,

-— > 1 + СГ1СТ2

и

2) Отсутствует одна из дополнительных масс (тпх = 0) После преобразований неравенство <5 < 0 сводится к условию

Мг2 2т2о;2с71<72

> 1 + (71СТ2 + —

3 М{су — тпуш2)

Или, для случая синфазного вращения <71<Т2 = 1 -

Мг2 2гп2ш2 -->2 +-------------у

3 М(су — тпуи:2)

Т.е., если условие устойчивости синфазного вращения > 2 не выполняется при отсутствии массы ту,то оно может быть выполнено при наличии этой массы. Для этого должно быть: су — туи2 > 0 или

ш<ху = УЩ-

Приведенные соотношения позволяют выбирать величины дополнительных масс и жесткостей для обеспечения устойчивости требуемой фазировки роторов в их синхронном вращении.

В четвертой главе рассматривается самосинхронизация четырех механических вибровозбудителей при различных вариантах их кинематической связанности.

Схема системы представлена на Рис. 7. Жесткая платформа 1 массы М установлена на виброизолирующих пружинах 2 весьма малой жесткости С и совершает плоские колебания. На торцах платформы установлены две пары соосных механических вибровозбудителей. Эксцентриситеты роторов возбудителей е и неуравновешенные массы т в каждой паре считаются одинаковыми (соответственно еь и еь,,т}1 и ш„). Все вибровозбудители считаются обладающими одинаковыми положительными парциальными угловыми скоростями и. Через Ь и к обозначены расстояния осей роторов от центра масс платформы. За обобщенные координаты принимаются горизонтальное смещение х и вертикальное смещение у платформы от положения, соответствующего ненапряженным упругим элементам, угол поворота платформы <р, отсчитываемый против часовой стрелки от линии горизонта, а также углы поворотов роторов (ра.

//////;;//////////у/////,

X

Рис. 7: Система с двумя парами дебалансных роторов

Целью исследования является определение условий, при которых фа-зировки роторов в синхронных режимах вращения являются устойчивыми при различных вариантах соединения вибраторов в парах. Исследование выполнено с использованием интегрального критерия устойчивости. В каждом случае установлен характер колебаний платформы.

При совпадении парциальных угловых скоростей дебалансных вибровозбудителей, мягкой виброизолированности платформы и линейности колебательной части системы потенциальная функция D совпадает с осредненной кинетической энергией платформы

^ m М, о о, I .о

D =< Т0 >=< — (х2 + у2) + -у2 >

Здесь скобки < > указывают на осреднение за период колебаний Т = Zj-, а координаты х, у и <р соответствуют установившимся вынужденным колебаниям платформы, при условии, что роторы равномерно вращаются с одинаковой частотой и и с произвольными начальными фазами as. Устойчивым стационарным режимам синхронного вращения роторов соответствуют грубые минимумы функции D по соответствующим разностям фаз.

Уравнения малых колебаний платформы при указанных условиях имеют вид |

Мх = m/le/lo;2(sin ip\ + sin <р2) + mv£vuj2( sin tp$ + sin <£>4)

My = m^ehU)2 (cos <pi + eos <¿>2) + mvev cj2(cos щ + cos 934) (9)

ICp = m/í£/,w2/i(sin'</?i + sin y>2) + mvevcj2b{cosip3 + eos <^4)

где <ра = as(uit + as),

S = 1,...A

(10)

а величины as задают направления вращения роторов:сг, = 1 - против часовой стрелки, os = — 1 по часовой стрелке.

В результате вычисления было получено выражение для функции D.

Рассмотрено несколько случаев кинематической связанности роторов в парах:

1. Верхние и боковые роторы связаны таким образом, что каждая пара обеспечивает прямолинейную вынуждающую силу соответственно в вертикальном и горизонтальном направлениях. Этому случаю соответствуют параметры:

2. Верхние и боковые роторы связаны так, что обе пары возбуждают вертикальную вынуждающую силу. Тогда

В обоих случаях функции И не зависят от углов а3 , т.е. пары вибраторов динамически не связаны. Ни самосинхронизации, ни самофази-ровки в этом случае не происходит. Роторы вращаются с "собственными "(парциальными) угловыми скоростями и шь-В первом случае колебания происходят по закону:

0~1 = —(72 = 1; С*1 = «25 <Тз = — 04 = 1; "3 = «4 + К

о\ = — 02 = 1; a i = «2! 0з = — 04 = 1; аз =

У

X =

<р = 0

а во втором

2 т/г£/

м

В первом случае для обеспечения того же характера движения роторов нет надобности кинематически связывать роторы в обеих парах: это достаточно сделать только для одной пары. Другая пара самосинхронизируется с теми же фазами.

В наиболее общем случае кинематически несвязанных роторов исследование возможных устойчивых режимов синхронного вращения роторов сводится к нахождению точек строгого минимума общего выражения для потенциальной функции Б. В работе получено следующее выражение для этой функции

+(т1<тзтьтуеь£уы2 сова 3 — зтаз^ + +<т2о'зтйтг,е/г£г,ш2 сов{а1 - - ^-Ыгвт^ - а^) ) +

,2

21

+а2е4тнту£11£уЫ'

,2

где а\ — «2 — сц; а^ = аз — а\] а4 — 01.

Исследованное устройство с самосинхронизирующимися вибровозбудителями может найти применение в различных случаях, когда необходимы как горизонтальные, так и вертикальные колебания рабочего органа. Примером могут служить установки, используемые в литейном производстве.

Пятая глава работы посвящена исследованию медленных колебаний неуравновешенных роторов вибровозбудителей при возмущении режимов самосинхронизации. Рассматриваемое устройство состоит из жесткой платформы, связанной с неподвижным основанием посредством упругого элемента с жесткостью с и линейного демпфирующего элемента с коэффициентом демпфирования /3 ( Рис. 8). На платформе установлено два дебалансных вибровозбудителя - неуравновешенных ротора, приводимых во вращение от электродвигателей асинхронного типа; оси роторов перпендикулярны направлению колебаний платформы.

Уравнения движения описанной системы могут быть записаны в виде:

1яфя = Ь$(ф3) - 113(ф3) + т8£3(хзт<р3 + дсоз1рв), в = 1,2

2

Мх + /Зх + сх = ^ ^.¿е^ (ф^ 8П1 щ + ф? соэ (11)

¿=1

I ' ■()

/' ,• / : / "," v

ЭГ

V /¿//У/ // /////////;/// / // /// ✓

П

а

Рис. 8: Платформа с двумя вибровозбудителями

где т3 и - масса и момент инерции ротора а-го вибровозбудителя относительно оси, проходящей через его центр тяжести; Ь3 - вращающий момент асинхронного электродвигателя; Я3 - момент сил сопротивления вращению, обусловленный сопротивлением в подшипниках; е - эксцентриситет ротора; М - масса всей системы; ¡р8 - углы поворота роторов, отсчитываемые от оси ох по ходу часовой стрелки; х - смещение платформы от положения, соответствующего ненапряженному упругому элементу.

Как показано в работах И.И.Блехмана система (11) при определенных условиях допускает устойчивые стационарные решения вида:

где а8 -постоянные; х—2тг -периодические функции г = шЬ с нулевыми средними по этому аргументу; эти решения соответствуют синхронному вращению роторов возбудителей со средней частотой и. Для двух

<ра=1>Л + аа+,фа{иЬ), х =

одинаковых вибраторов вблизи стационарного значения as = const фазовые сдвиги as представляют собой медленно изменяющиеся функции времени t, удовлетворяющие уравнениям:

т2е2ш2

loci + ка 1 = —2МЛ tsin(ai ~~ ai ~ ^ + sin(Qi ~ а2 ~ 7)] (12)

т2е2ш2

la2 + ка2 = —2МД — ai _ 7) + sin(a2 - а2 - 7)]

Здесь Д = V(1 - А2)2 + An2 , А = п = = y/ft и sin7 = -f

cos 7 = —1 дЛ , а А; - суммарный коэффициент демпфирования. Предполагается,что ds «ш.

Очевидно, что синхронным движениям соответствуют стационарные значения медленных переменных a„ = const.

Если ввести разность фаз а = ai — а2 то, вычитая из первого уравнения системы (12) второе, получим:

(теш2)2 р2-и>2 . „ /ч„.

Ia + ka-1--——7-5--sin a = 0 (13)

М (р2 - ш ) + 4п2ш2 4 '

Это уравнение имеет два стационарных решения а — ai = 0 и а = а2 = 7г. Первое решение а — а\ = 0 устойчиво в дорезонансной области ш < р, а второе a = с*2 = 7Г - в послерезонансной области ш > р.

Частота относительных свободных колебаний роторов в обоих случаях, согласно уравнению (13), определяется выражением:

теш2 v/| Р2

92 -

у/Ш у/(р2 - ш2)2 + 4n2w2

Примечательно, что эта частота в \[2 раз больше частоты полумедленных колебаний одного ротора, найденных в работе 1. Такой результат допускает простую физическую интерпретацию: частота свободных колебаний свободной системы из двух одинаковых масс, соединенных пружиной, как раз в у/2 раз больше частоты колебаний одной из масс, соединенной пружиной той же жесткости.

Основные результаты работы

• На основе использования методов теории нелинейных колебаний и устойчивости движения изучен случай самосинхронизации двух соосных дебалансных вибровозбудителей со внутренней степенью свободы,установленных на мягко виброизолированном твердом теле

• Определены условия, обеспечивающие временную устойчивость синфазного режима двух дебалансных возбудителей за счет введения внутренней степени свободы. Проведено сравнение с известными классическими результатами исследования устойчивости быстро-вращающихся тел

• Найдены зависимости времени сохранения синфазного режима от интенсивности диссипации. Получены результаты компьютерного моделирования обычной устойчивости синфазного режима за счет импульсной коррекции вращения одного из роторов.

• Показано, что путем введения дополнительных степеней свободы носителя обеспечивается устойчивость желаемой фазировки вращения возбудителей, которая при отсутствии этих степеней свободы неустойчива.

• Определены условия, при которых фазировки роторов в синхронных режимах вращения являются устойчивыми при различных вариантах соединения вибраторов в парах.

• Исследованы медленные колебания неуравновешенных роторов вибровозбудителей при возмущении режимов самосинхронизации. Показано, что частота этих колебаний в л/2 раз превышает частоту "полумедленных" колебаний одного ротора в режиме пуска и остановки. Дана физическая интерпретация этого факта.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Потапенко М.А., "Разработка высокоадекватной модели механики системы "стенд-маховики" 3 Конференция молодых ученых ЛФИ-МАШ, Ленинград, 1989.

2. Потапенко М.А.,"Компьютерная модель сложной механической системы," 4 Конференция молодых ученых ЛФИМАШ, 1990.

3. Potapenko M.A.,"The mathematical model of the vibrational stand motion", Proc. COC '97, v. 3, p.163, 1997.

4. Потапенко M.A. "Агрегативная модель динамики вибростенда," Первые Окуневские чтения, С.Пб, 1997.

5. Потапенко М.А. "Исследование динамики вибростенда с двумя неуравновешенными роторами," Междунар. конф. "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий "с.37, СПб, 1999.

6. Potapenko М.А." On simple synchronous motions of two debalanced vibroexciters ", // Proc COC'2000 SPb, v.l, p.173, 2000.

7. Потапенко М.А."Анализ результатов моделирования изменения разности углов вращения роторов вибростенда," Междунар. конференция "Математика в Вузе "с.211-212, Псков, 2001.

8. Потапенко М.А."Компьютерное моделирование движения вибростенда при постоянных внешних воздействиях," Труды третьей международной конференции "Tools for Mathe matic Modelling с. 109, С.-Петербург, 2001.

9. Потапенко М.А."Математическая модель колебаний вибростенда," VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, с.496-497, Пермь, 2001.

10. Потапенко М.А."Синхронизация неуравновешенных роторов вибростенда," 4 Междунар. конф. "Динамика систем, механизмов и машин", с.91-92, Омск, 2002.

11. Потапенко М.А."Управление колебаниями вибростенда изменением жесткости удерживающих пружин," Труды Междунар. конф. "Общие проблемы управления и их приложения", Тамбов,2003.

12. Potapenko M.A."Effect of the additional degrees of freedom of the system on self-synchronization of mechanical vibro-exciters," XXXIV APM'2006, SPb.

13. Потапенко M.A.,"Медленные колебания неуравновешенных роторов вибровозбудителей при возмущении режимов самосинхронизации," Проблемы машиностроения и надежности машин N3,2008,c.27-29.

14. Potapenko М. A., "Self-synchronization of four mechanical vibroexciters at various variants of kine- matical connection," XXXVI APM'2008,SPb.

15. Potapenko M.A."Slow oscillations of the unbalanced rotors when perturbing the self-synchronizing regimes ", 6th ENOC' 2008,Russia.

16. Potapenko M.A., "The self-synchronization of two coaxed unbalanced vibroexciters with inner degree of freedom and the "asleep"gyroscope problem," XXXVII APM'2009,Russia.

17. Potapenko M.A. "The study of self-synchronization of vibro- exciters with inner degree of freedom using numerical methods", 4th International Scientific Conference on Physics and Control - Physcon'2009, Italy.

18. Potapenko M.A., "Improvement of the dynamic behaviours of the plant with self synchronizing vibro- exciters by means of additional degrees of freedom," XXXVIII APM'2010,Russia.