Дополнительные степени свободы в задачах о самосинхронизации вибровозбудителей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ШКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

005020004

ПОТАПЕНКО Мария Александровна

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЗАДАЧАХ О САМОСИНХРОНИЗАЦИИ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ

01.02.01 - Теоретическая механика

На нравах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2012

005020004

Работа выполнена в Федеральном Государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем машиноведения Российской Академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор БЛЕХМАН Илья Израилевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,про феееор ПАСЫНКОВА Инна Анатольевна (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор технических наук, профессор АНДРИЕВСКИЙ Борис Ростиславич (Федеральное Государственное бюджетное учреждение пауки ИПМаш РАН)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

политехнический Университет

Защита состоится 19 апреля 2012 года в 15 часов 00 минут на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр.. 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан 4fnJMiAni 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вибрационные машины с начала прошлого века все шире применяются в различных отраслях промышленности - при добыче и переработке полезных ископаемых, в строительстве, металлургии, ¡лицевой промышленности и в других производствах. В настоящее время вибрационная техника продолжает существенно совершенствоваться, возникают все новые области ее эффективного применения. Быстро развивается новый раздел прикладной теории колебаний - теория вибрационных процессов и устройств. Создание новых машин невозможно без исследования их динамики на основе современной теории нелинейных колебаний.

Одним из перспективных направлений совершенствования вибрационных машин является введение дополнительных степеней свободы в их колебательную часть и в вибровозбудптелп. Между тем этому направлению еще не уделяется достаточного внимания. Восполнению этого пробела и посвящена настоящая диссертация.

Цель работы состоит в изучении п обосновании возможностей улучшения динамических свойств вибрационных устройств с механическими ( дебалаисными) вибровозбуднтслями путем введения дополнительных степеней свободы в вибровозбудители и в колебательную часть системы. При этом основное внимание уделяется устройствам с самоеинхронизи-рующимпся инерционными возбудителями.

Основные задачи исследования состоят в следующем:

• В исследовании возможностей обеспечения устойчивости требуемой синфазной фазнровки синхронного вращения роторов двух дебалапеных впбровозбудптелей в случае, когда она "естественно" неустойчива, путем использования вибровозбудителей с дополнительной степенью свободы.

• В изучении влияния дополнительных степеней свободы колебательной части системы на характер устойчивой фазнровки вращения роторов впбровозбудптелей при пх самосинхронизации.

• В определении условий, при которых фазнровки нескольких роторов в синхронных режимах вращения являются устойчивыми при различных вариантах соединения роторов в парах.

• В исследовании медленных колебаний неуравновешенных роторов впбровозбудптелей при возмущении режимов самосинхронизации (эффекта "внутренних маятников" в нестационарных режимах вращения роторов).

Методы исследования. При решении рассматриваемых в диссср-

тацни задач динамики используются методы теории нелинейных колебаний и устойчивости движения, в частности, теория синхронизации динамических систем. Используется также; подход вибрационной механики и метод прямого разделения движений. Широко применяется современная вычислительная техника.

Основные результаты,выносимые на защиту: • Численно исследовала система шести нелинейных дифференциальных уравнении второго порядка, описывающих поведение двух соосных деба-лансных вибровозбудителей со внутренней степенью свободы, установленных на мягко впброизолироваиноы твердом теле "носителе". Главные из результатов этого исследования состоят в следующем:

а) Рассмотрен случай, когда изучаемый синфазный режим самосинхронизации неустойчив при отсутствии внутренней степени свободы. Показало,что введение внутренней степени свободы обеспечивает лишь временную (гироскопическую) устойчивость, при которой диссипация приводит к нарушению устойчивости через определенный промежуток времени.

б) Найдена зависимость времени сохранения синфазного режима от интенсивности диссипации.

в) Рассмотрен способ обеспечения "обычнон"устойчнвостн этого режима путем импульсного воздействия на одни из роторов.

• Рассмотрены варианты присоединения к несущему телу дополнительных масс, закрепленных на упругих элементах, обеспечивающих устойчивость желаемой фазировки вращения возбудителей, которая при отсутствии этих масс неустойчива.

• Найдены условия, при которых фазировки роторов в синхронных режимах вращения двух пар соосных дебаланспых вибровозбудитслей, установленных на взаимно перпендикулярных гранях мягко вибропзо-лироваиной платформы, совершающей плоские колебания, являются устойчивыми при различных вариантах соединения вибраторов в парах. В каждом случае установлен характер колебаний платформы.

• Выполнен анализ "медленных"колебаш1й роторов при возмущении устойчивого режима, самосинхронизации нескольких инерционных вибровозбудителей.

Научная новизна работы состоит

- В исследовании особенностей динамики нелинейной системы при временной (гироскопической) устойчивости режима. В частности - в установлении зависимости времени сохранения режима от интенсивности диссипации и в анализе способа обеспечения обычной (ляпуновской)

устойчивости нутом импульсного воздействия.

- В обнаружении и исследовании .медленных "маятниковых" колебаний неуравновешенных роторов при возмущении режима самосинхронизации. В установлении связи этих результатов с результатами исследования "качаний " одного ротора в режимах пуска и выбега1.

Практическая значимость работы состоит

- В расширении возможностей использования явления самосинхронизации при создании новых вибрационных .машин. В частности,

а) путем обеспечения устойчивости требуемой фазировки вращения роторов посредством использования вибровозбудителей с дополнительной степенью свободы

б) путем определенного видоизменения колебательной части системы

- В установлении особенностей колебаний (качаний) роторов в машинах с несколькими инерционными вибровозбудителями при возмущении режима самосинхронизации.

- В использовании результатов при совершенствовании установки для уплотнения формовочного леска на заводе Арматуры контактной сети (Санкт-Петербург).

Глава 4 выполнена при поддержке РФФИ (грант 07-08-00241),глава 5 выполнена при поддержке РФФИ (грант Л'« 05-08-01500) и грата Президента Российской Федерации по поддержке ведущих научных школ NSH-5649.2006.8.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на Всесоюзной конференции "Проблемы виброизоляции машин и приборов," (Иркутск, 1989); III и IV Конференциях молодых ученых и специалистов ЛФИМАШ, (Ленинград, 1989,1990); Первых Окуневских чтениях, (СПб, 1997); па VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); на международных научных конференциях "Control of Oscillations and Chaos ",(СПб, 1997, 2000); "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий",(СПб, 1999); 'Tools for Matliematic Modelling", (СПб,2001); "Динамика систем, механизмов и машин", (Омск, 2002); "Общие проблемы управления и их приложения", (Тамбов, 2003); на XXXIV, XXXVI Международных летних школах-семинарах ученых-механиков " Advanced Problems in Mechanics " , СПб, 2006. 2008,2009, 2010; VI EUROMECH Conference ЕМОС'2008.(СПб 2008); Physcon 2009

1И.И.Бло.чмал. Д.А.Иадейцев, А.Л.Фрадков Медленные движения в системах с инерционным возбуждением колебаний, 2008.

(Italy).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 16 работ, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, (87 наименований па русском и иностранных языках). Текст работы изложен па 110 страницах. Диссертация содержит 14 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы основные задачи исследования, дано описание методики исследования, содержания работы, а также результаты, выносимые на защиту.

В первой главе работы дай аналитический обзор литературы.

Вторая глава работы посвящена изучению численными методами самосинхронизации вибровозбудителей с внутренней екшеныо свободы. Известно, что увеличение тем или иным способом числа степеней свободы механической системы ( особенно - нелинейной системы) может привести к существенному изменению ее поведения. Поэтому в работах И.И.Блехмана и Л. Шперлинга. 2 была поставлена задача о самосинхронизации неуравновешенных роторов с внутренними степенями свободы, т.е. роторов, содержащих некоторую массу, связанную с ними упругими элементами. Целыо главы является исследование устойчивых синхронных вращений роторов, содержащих подвижную массу, связанную с ними пружиной. Они существенно отличаются от режимов синхронного вращения сплошных роторов, а при определенных условиях устойчивыми становятся фазпровки, "благоприятные "с практической точки зрения (например, синфазные вращения роторов), тогда как для сплошных роторов устойчивы противофазные вращения.

Рассматривается виброустановка с двумя дебалансами, имеющими подвижные центры масс. Схема установки представлена на Рис. 1. на котором обозначено:!. - носитель - твердое тело, установленное на пружинах с известными характеристиками и совершающее плоские колебания. На нем жестко закреплены два соосных дебаланса - 2. Внутри каждого дебаланса закреплена на пружине дополнительная масса - 3, способная совершать колебательные движения в радиальном направлении. Таким

2I.I.Blekhman, L.Sperling Selected Topics in Vibrational Mechanics, World Scientific, New Jersey-London, 2004.

Рис. 1: Виброустройство с роторами, имеющими внутреннюю степень свободы

образом, носитель устройства имеет две координаты X и Y, каждый г-тый дебаланс - по одной вращательной ip¿ п одной поступательной координате, определяющей расстояние p¿ дополнительной массы or оси ротора.

Для стационарного синфазного режима движения системы с одинаковыми возбудителями = V2 — wí; р\ = р-2 = р" = const; о\ s а% = 0; uii = и.'2 = ш», с учетом силы упругости и демпфирования всех пружин получаем равнения движения носителя и роторов с дополнительными массами:

[т0е + m(r + р„)](Х sinut + Ycoewt) = К{ш - и») 2

MX = ]T[mee + m.(r + pi)]u2eoswt - 0xX - CxX (1)

i=l

MY = + m(r + р,)](-ы2 sillUjt) - ßyY - CUY

2=1

ujp = (r + ps)u£ - (Xcoswt — yänwi)

где = ,y/ = м° + 2-/»0 + 2m.

Здесь М - масса всей установки;М° - масса носителя:т0 - масса дебаланса; т - дополнительная подвижная масса внутри дебаланса; е -эксцентриситет массы дебаланса - расстояние от точки подвеса О до центра тяжести С: г - длина ненапряженной пружины внутри ротора: р - отклонение подвижной массы от положения, соответствующего недеформированиой пружине внутри дебаланса; X - смещение центра тяжести носителя по горизонтали: У - смещение центра тяжести носителя по вертикали;« - синхронная (установившаяся) угловая скорость роторов;^ - угол поворота ротора от состояния покоя: ¡Зх = 0у = ,8 -коэффициенты затухания колебаний носителя вдоль соответствующих осей; Сх = Су = С - коэффициенты жесткости пружин, на которых установлена платформа;^ - коэффициент жесткости пружины внутри ротора:/? - коэффициент электрического демпфирования двигателя: ы{ - парциальная скорость возбудителя.

Для случая одинаковых парциальных скоростей и>\ = «2 и для стационарного режима из уравнений (1) найдены выражения для координат носителя, а затем выражение для координаты р дополнительной массы в стационарном режиме:

га)д [(А/о;2 - С)2 + /32«2] - 2ц4(т„е + тг){Мш2 - С) (^-ш!){Шш2 - С)2 + /Ри2] + 2и-Чп(Ми>2 - С)

На Рис.2а) показано изменение во времени разности фаз вращения ро-

Рис. 2: Разность фаз вращения роторов

торов в отсутствие дополнительных масс в возбудителях. Кривые соответствуют следующим параметрам установки : М° — 2 кг. т„ = 1 кг, г = 0.01м, Д, = 84і, Сх ш Су = 12.6 = 300 Рис.2б) отражает

поведение той же установки при наличии подвижных масс т — 1 кг внутри каждого ротора.

В работе показало, что при матом отношении -Ц- третье условие Блехмана-Шперлинга, полученное в работе всегда выполняется.

Таким образом доказано,что для виброустановки с двумя дебаланса-ии временная устойчивость синфазного вращении обеспечивается введением дополнительной подвижной массы внутри каждого ротора.

Проведенные исследования показывают, что влияние сопротивления на характер возникающих колебаний значительно. Полученные результаты перекликаются с решением классической задачи об устойчивости "спящего волчка" и вращения снаряда. В этих системах устойчивость также обеспечивается за счет гироскопических членов, при их отсутствии соответственно волчок и снаряд неустойчивы. Показано, что "нормальная "устойчивость этого режима может быть обеспечена путем импульсного воздействия на один из роторов.

Третья глава работы посвящена изучению влияния дополнительных степеней свободы колебательной части системы на самосинхронизацию механических вибровозбудителей.

Рис. 3: Виброустановка с дополнительными степенями свободы носителя

Динамическая схема аппарата представлена на Рис. 3, на котором 1 - твердое несущее тело, где симметрично установлено два одинаковых инерционных вибровозбудителя 2. К телу посредством упругих элемен-

3I.I.Blekhinan, L.Sperling Selected Topics in Vibrational Mechanics, World Scientific, New Jersey-London, 2004.

тов жесткости с® и Су прикреплены две массы тх и ту -3, которые; могут перемещаться в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Несущее тело может совершать плоские колебания перпендикулярно осям вращения роторов. Центр тяжести тела расположен посередине между осями вращения. Тело считается мягковибропзолпрованпым, т.е. упругие элементы, связывающие его с неподвижным основанием, предполагаются имеющими пренебрежимо малую жесткость Со (при условии, что рассматриваются установившиеся вынужденные колебания тела). Парциальные скорости вращения внбровозбудителей предполагаются одинаковыми и положительными. За обобщенные координаты приняты смещение центра инерции платформы X п У от положения равновесия системы на упругих элементах,у гол поворота платфомы </>,отсчитываемый от направления оси ОХ по ходу часовой стрелки и смещения <?1 и масс тт и ту от их положений равновесия.

Рассмотрен случай самосинхронизации вибровозбудителей. При самосинхронизации разность фаз в устойчивом синхронном движении зависит от параметров системы и может быть найдена с использованием интегрального критерия устойчивости синхронных движений, согласно которому устойчивые синхронные движения соответствуют точкам грубых минимумов потенциальной функции системы В.

В соответствии с этим критерием, установленным И.Н.Блехманом и Б.П.Лавровым, считается, что роторы вращаются по закону

1р1 = = о!(иЛ + 01); 1р2 = <р° = 02{иЛ + а2) (2)

Здесь ш -абсолютная величина средней угловой скорости вращения роторов; а,-постоянные начальные фазы вращения, а каждая из неличин а1 равна либо 1, либо -1; при а,- одинаковых по знаку осуществляется движение роторов в одном направления, а при разных знаках а г - в противоположных направлениях.

В работе получено выражение для потенциальной функции О:

П =< Г- II >=д<теа (3)

Здесь скобки < > указывают на осреднение за период колебаний Т = тт. а координаты х, у и \р соответствуют установившимся вынужденным колебаниям платформы, при условии, что роторы равномерно вращаются с одинаковой частотой и и с произвольными начальными фазами о». Устойчивым стационарным режимам синхронного вращения роторов соответствуют грубые минимумы функции В по соответствующим разностям фаз.

Выражение для (} носит достаточно сложный характер. Для его упрощения уравнения движения приведены к безразмерной форме и на основе анализа принятых на практике значений параметров системы и характера се движения отброшены малые слагаемые.Окончательио:

п ~ О* — М { 1 4- 0102 \ - г2<71а- I

* 4 2 х (М + т^2 (М + тх)2 > 2(7 + тх12 + т,ДУ

т*ш2 т\ы2а\ап

2(И + ту)ЦСх - т.гш2) 2(М + тх)ЦС„ - туш2)

Дтя устойчивости синфазного вращения необходимо п достаточно, чтобы при о=0 функция О* = <5* соя а имела минимум. Это приводит к УСЛОВИЮ

< о (4)

Рассмотрены некоторые частные случаи:

1) дополнительные массы отсутствуют (тх = гпу = 0). Тогда после преобразований получается

А/г2

-у- > 1 + сг1<т2 (5)

Это неравенство.как п должно быть.совпадает с полученным в кии-

ге

2) отсутствует одна пз дополнительных масс (тт = 0), тогда неравенство (4) сводится к условию:

^иР-а^аг Мг2(г 1<т2

1 + ОхО-2 + ,, '-Т7 < —-рт (С)

М(Су-тушг) J + myЩ

Если <71 (То = 1. т.е. требуется обеспечить синфазный режим, то должно быть:

Мг2 , т2ш2

->2-1----—

3 + гпуЦ Л/(С,, - туи12)

т.е. при послсрезоиансной настройке должно удовлетворяться более мягкое условие И может оыть гораздо меньше.

В четвертой главе рассматривается самосинхронизация четырех механических вибровозбудителей при различных вариантах их кинематической связанности.

^Блсхмаи li.II.Вибрационная механика М, 1994

Схема системы представлена на Рис. 4. Жесткая платформа 1 массы М установлена на виброизолирующих пружинах 2 весьма малой жесткости С и совершает плоские колебания. На торцах платформы установлены две пары соосных механических вибровозбудителей. Эксцентриситеты роторов возбудителей е и неуравновешенные массы то в каждой паре считаются одинаковыми (соответственно $н и ек,гп11 и т1:). Все вибровозбудители считаются обладающими одинаковыми положительными парциальными угловыми скоростями ш. Через Ь и к обозначены расстояния осей роторов от центра масс платформы. За обобщенные координаты принимаются горизонтальное смещение ж и вертикальное смещение у платформы от положения, соответствующего ненапряженным упругим элементам, угол поворота платформы (р, отсчитываемый против часовой стрелки от линии горизонта, а также углы поворотов роторов <¿>8-

>1д

_ 1

Рис. 4: Система с двумя парами дебалансных роторов

В результате вычисления было получено выражение для функции В.

Рассмотрено несколько случаев кинематической связанности роторов в парах:

1. Верхние и боковые роторы связаны таким образом, что каждая пара обеспечивает прямолинейную вынуждающую силу соответственно в вертикальном и горизонтальном направлениях. Этому случаю соответствуют параметры: а\ = —<72 = 1; — 03 = —04 - 1; ая — о^+ж

2. Верхние и боковые роторы связаны так, что обе пары возбуждают вертикальную вынуждающую силу.

Тогда ох = — <Г2 = 1; сх\ = а»; 03 = —0а = 1; «з = <*4 В каждом случае установлен характер колебаний платформы.

Исследованное устройство может найти применение в различных случаях, когда необходимы как горизонтальные, так и вертикальные колебания рабочего органа. Примером могут служить установки литейного производства.

Пятая глава работы посвящена исследованию медленных колебаний неуравновешенных роторов вибровозбудптелей при возмущении режимов самосинхронизации. Рассматриваемое устройство состоит из жесткой платформы, связанной с неподвижным основанием посредством упругого элемента с жесткостью с и линейного демпфирующего элемента с коэффициентом демпфирования в. Платформа может совершать колебания вдоль направления х( Рис. 5). На платформе установлено два де-балансвых вибровозбудителя - неуравновешенных ротора, приводимых во вращение, от электродвигателей асинхронного типа; оси роторов перпендикулярны направлению колебаний платформы.

0

Рис. 5: Платформа с двумя вибровозбудителями Уравнения движения описанной системы могут быть записаны: Іціра = Ь,{фа) - Яя(фх) + тпеєв(х8Ігира + дсов!рх), 5 = 1.2 2

Мх +рх + сх = вту^ + ф* сов<р}) (7)

3=1

где тпя и 1„ - масса и момент инерции ротора 5-го вибровозбудителя относительно оси, проходящей через его центр тяжести; Ьц - вращающий момент асинхронного электродвигателя; Іія - момент сил сопротивления, обусловленный сопротивлением в подшипниках; є - эксцентриситет

ротора; М - масса всей системы; 9,, - углы поворота роторов, отсчитываемые от оси ох по ходу часовой стрелки; х - смещение платформы от положения, соответствующего ненапряженному упругому элементу.

Как показало в работах И.И.Блехмана, система (7) при определенных условиях допускает устойчивые стационарные решения вида:

¡рв — + а., + ^«(ыЬ), х = ш£)

где а,, -постоянные; х — 2п -периодические функции т = шЬ с нулевыми средними но этому аргументу: эти решения соответствуют синхронному вращению роторов возбудителей со средней частотой ш. Дчя разности фаз а = ац — 02 в работе получено уравнение:

(теш2)2 р2-ы2 . ,.,.

1а 4- ка Н--—— --, , вт а = 0 (8)

М (р2 - и2)2 + Лп2ш2

Это уравнение, описывающее медленные взаимные колебания роторов, имеет два стационарных решения а = = 0 и а = ап = я. Первое решение а = О! = 0 устойчиво в дорезонапсной области ш < р, а второе а = а-2 = тс - в послерезоиансной области и > р.

Частота относительных свободных колебаний роторов в обоих случаях, согласно уравнению (8), определяется выражением:

:,.....т';ш2 , VIР2- ^ (9)

\Ш р2 - и2У + 4п2^ у

Примечательно, что эта частота в у/2 раз больше частоты полумедленных колебаний одного ротора, найденных в работе 1. Такой результат допускает простую физическую интерпретацию: частота свободных колебаний свободной системы пз двух одинаковых масс, соединенных пружиной, как раз в \/2 раз больше частоты колебаний одной из масс, соединенной пружиной той же жесткости.

Основные результаты работы

• Рассмотрена система из двух еоосных дебаланеных вибровозбудителей со внутренней степенью свободы, установленных на мягко внброизолированиом твердом теле. Система описывается шестью существенно нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка. При этом получены следующие результаты:

а) Проанализированы условия временной устойчивости в малом синхронно-синфазного режима движения возбудителей в такой системе, полученные И.И.Блехмапом и Л.Шперлиигом.

б) Условия устойчивости Блехмана-Шперлинга выражены непосредственно через параметры системы; показана их непротиворечивость, доказано, что удовлетворение первых двух при обычных для практики значениях параметров гарантирует выполнение третьего.

в) С целью изучения глобального поведения системы составлена компьютерная модель, описывающая ее движение. На основе использования этой модели доказано,что время сохранения синфазного режима увеличивается при уменьшении интенсивности диссипации. Показана возможность обеспечения "обычной"устойчивости синфазного режима за счет импульсной коррекции двнжеипя одного из роторов.

• Показано, что путем введения дополнительных степеней свободы носителя обеспечивается устойчивость желаемой фазпровкн вращения возбудителей, которая при отсутствии этих степеней свободы неустойчива.

• Определены условия, при которых фазировки роторов в синхронных режимах вращения являются устойчивыми при различных вариантах соединения вибраторов в парах.

• Исследованы медленные колебания неуравновешенных роторов внб-ровозбудителей при возмущении режимов самосинхронизации. Показано, что частота этих колебаний в \/2 раз превышает частоту "полумедленных" колебаний одного ротора в режиме пуска и остановки. Дана физическая пптепрстация этого факта.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в рецензируемых журналах и изданиях:

1. Потапенко М.А. Медленные колебания неуравновешенных роторов вибровозбудителей при возмущении режимов самосинхронизации, Проблемы машиностроения и надежности машин N3,2008, с.27-29.

Другие публикации:

2. Potapenko M.A. The mathematical model of the vibrational stand motion,// Proc. COC '97, v. 3, p.163, 1997.

3. Потапенко M.A. Агрегативная модель динамики вибростенда,// Первые Окуневскне чтения, С.Пб, 1997.

4. Потапенко М.А. Исследование динамики вибростеида с двумя неуравновешенными роторами, Междунар. конф. "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий "с.37, СПб, 1999.

5. Potapenko M.A. Oil simple synchronous motions of two debalanced vibroexciters, // Proc COC'2000 SPb, v.l, p.173, 2000.

6. Потапенко M.A. Анализ результатов модели[»вашга изменения разности углов вращения роторов вибростеида, Междунар. конференция 'Математика в Вузе "с.211-212, Псков, 2001.

7. Потапенко М.А. Компьютерное моделирование движения вибростеида при постоянных внешних воздействиях, Труда третьей международной конференции "Tools for Mathematic Modelling с. 109, С.-Петербург, 2001.

8. Потапенко М.А. Математическая модель колебаний вибростенда, VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, с.496-497, Пермь, 2001.

9. Потапенко М.А. Синхронизация неуравновешенных роторов вибростенда, 4 Междунар. конф. "Динамика систем, механизмов и машин", с.91-92, Омск, 2002.

10. Потапенко М.А. Управление колебаниями вибростеида изменением жесткости удерживающих пружин, Труды Междунар. коне}). "Общие проблемы управления и их приложения", Тамбов,2003.

11. Potapenko М.А. Effect of tlie additional degrees of freedom of the system on self-synchronization of mechanical vibro-exciters, XXXIV APM'2006, SPb.

12. Potapenko M.A. Self-synchronization of four mechanical vibroexciters at various variants of kinematical connection, XXXVI APM'2008,SPb.

13. Potapenko M.A.Slow oscillations of the unbalanced rotors when perturbing the self-synchronizing regimes, 6th ENOC 2008,Russia.

14. Potapenko M.A. The self-synchronization of two coaxed unbalanced vibroexriters with inner degree of freedom and the "asleep"gyroscope problem, XXXVII APM'2009,Russia.p.72.

15. Potapenko M.A. The study of self-synchronization of vibroexcitors with inner degree of freedom using numerical methods. 4th International Scientific Conference on Physics and Control - Physcon'2009, Italy.

10. Potapenko M.A. Improvement of the dynamic behaviours of the plant with self synchronizing vibro- exciters by means of additional degrees of freedom", XXXVIII APM'2010,Russi^p.81.

Подписано к печати 06,03.2012.Формат 60x90/10 Бумага офсетная-Печать офсстая.Заказ 87. Тираж 100 Объем 1 ц.л. ПМЛ С.П6ГУ 199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова, 6

61 12-1/1040

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЗАДАЧАХ О САМОСИНХРОНИЗАЦИИ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ

01.02.01 - теоретическая механика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук И. И. Блехман

На правах рукописи

Потапенко Мария Александровна

Санкт-Петербург — 2012

Оглавление

1 Библиографический обзор. Основные задачи и результаты

работы. 3

1.1 О явлении синхронизации механических вибровозбудителей

и других динамических объектов. Обзор исследований. ... 3

1.2 Современное состояние и актуальные задачи теории синхронизации вибровозбудителей................... 16

1.3 Постановка задали и краткие результаты работы...... 23

2 Исследование численными и аналитическими методами самосинхронизации вибровозбудителей с внутренней степенью свободы 29

2.1 Предварительные замечания.................. 29

2.2 Описание системы........................ 32

2.3 Система уравнений, описывающих поведение виброустановки с внутренними степенями свободы неуравновешенных роторов ................................ 34

2.4 Аналитическое выражение для координаты подвижной массы 39

2.5 Проверка выполнимости и анализ условий гироскопической устойчивости Блехмана-Шперлинга.............. 41

2.6 Компьютерная модель установки с внутренними степенями свободы роторов......................... 49

2.7 Определение влияния уровня демпфирования на время сохранения временной устойчивости............... 53

'2.8 О возможности обеспечения устойчивости синфазного вращения путем импульсного воздействия на роторы...... 55

2.9 Основные результаты главы 2.................. 57

3 Влияние дополнительных степеней свободы колебательной части системы на самосинхронизацию механических вибровозбудителей 59

3.1 Описание системы, постановка задачи, метод ее решения . . 59

3.2 Кинетическая и потенциальная энергии колебательной части системы........................................................62

3.3 Уравнения движения............................................64

3.4 Упрощение уравнений движения и выражение для кинетической энергии колебательной части системы..................65

3.5 Потенциальная функция системы и условия устойчивости фазировок..............................68

3.6 Обеспечение устойчивости синфазного вращения..............70

3.7 Основные результаты главы 3..................................73

4 Самосинхронизация четырех механических вибровозбудителей при различных вариантах кинематической связанности 74

4.1 Введение............................................................74

4.2 Схема системы....................................................75

4.3 Решение задачи с использованием интегрального критерия устойчивости. Потенциальная энергия системы..............77

4.4 Случаи кинематической связанности роторов в парах .... 79

4.5 Случай кинематически несвязанных роторов..................82

4.6 Основные результаты главы 4....................................83

5 Медленные колебания неуравновешенных роторов вибровозбудителей при возмущении режимов самосинхронизации 85

5.1 Схема и описание системы ................... 86

5.2 Уравнение движения внутреннего маятника (полумедленных колебаний) ..................................................88

5.3 Частота иолумедленных колебаний: сравнение с результатами работы [26]..................................................90

5.4 Основные результаты главы 5....................................91

Заключение 92

Литература 95

Глава 1

Библиографический обзор. Основные задачи и результаты работы.

1.1 О явлении синхронизации механических вибровозбудителей и других динамических объектов. Обзор исследований.

Под синхронизацией в наиболее общем случае понимают согласованность

(или в теории управления согласование) в том или ином смысле движения двух или нескольких объектов. Наиболее общее математическое определение синхронизации дано в работе [13].

Под частотной ("Гюйгенсовой") синхронизацией ( а также взаимной или внутренней синхронизацией) в наиболее общем случае понимается ситуация, когда в результате взаимодействия "равноправных" автоколебательных объектов устанавливаются определенные частотные соотноше-

пия между их движениями. В случае, когда один из объектов считается настолько мощным, что он навязывает свой ритм движения (предполагаемый заранее заданным неизменным) другим автоколебательным системам, говорят о захватывании или внешней синхронизации. В .литературе под синхронизацией часто понимается только захватывание.

Синхронизация динамических объектов осуществляется посредством имеющихся в системе связей (в широком смысле этого слова). При этом в некоторых случаях синхронизация и фазировка имеют место в силу уже присутствующих в системе естественных связей. Так, например, в задаче о синхронизации генераторов электрических или механических колебаний синхронизация зачастую осуществляется за счет свойств самой системы генератор-нагрузка. Такой тип синхронизации обычно называют самосинхронизацией. В других случаях эффект синхронизации и фазировки достигается путем введения дополнительных синхронизирующих элементов (принудительная синхронизация).

Важнейшими примерами современных прикладных задач о синхронизации являются:

1. Получение условий синхронизации и требуемой фазировки меха-

иических вибраторов - одна из важнейших проблем, возникающих при разработке новых типов современных вибрационных машин (грохотов, конвейеров, дробилок, мельниц и других).

2. Исследование условий устойчивой параллельной работы нескольких синхронных электрических генераторов на общую нагрузку; эта задача приобретает особое значение в связи с объединением сложных энергетических систем.

3. Получение условий синхронизации и определенной фазировки автоколебаний, возбуждающихся в нескольких ламповых или молекулярных генераторах.

К этому же классу задач приводит исследование работы некоторых типов ускорителей заряженных частиц, изучение совместных изгибно- крутильных колебаний вращающихся валов с неуравновешенными дисками, анализ динамики специальных автоматических балансиров для компенсации быстро вращающихся роторов, изучение поведения нескольких неуравновешенных машин, установленных на общем фундаменте или на связанных между собою опорных сооружениях, исследование принципов работы ряда акустических приборов, в частности особенностей звучания некото-

рых музыкальных инструментов, исследование совместного функционирования нескольких взаимно связанных однотипных биологических систем.

Наиболее разработанной в настоящее время является теория частотной синхронизации механических вибровозбудителей.

В большинстве современных вибрационных машин в качестве привода используются механические вибровозбудители, представляющие собой неуравновешенные роторы, приводимые во вращение асинхронными электродвигателями .

Под механическим вибратором (вибровозбудителем) понимается некоторое тело, кинематически связанное с другим телом (называемым несущим телом). Первое тело может совершать относительно второго периодические движения (обычно колебательного или вращательного характера). При таких движениях на несущее тело со стороны вибратора действуют некоторые силы инерционного происхождения. Движение вибратора но отношению к несущему телу обеспечивается внутренними или внешними по отношению к системе "вибратор- несущее тело "силами, развиваемыми двигателем того или иного типа.

В технике под механическим вибратором часто понимают устрой-

ство, включающее не только указанное выше твердое тело, но также и приводной двигатель. Здесь и в дальнейшем термин "механический вибратор "будет использоваться в обоих указанных смыслах; особо будет оговариваться о чем идет речь, лишь в тех случаях, когда такая неоднозначность терминологии может привести к недоразумениям.

Различают несколько типов механических вибраторов.

Простейшим является так называемый механический дебалансный вибратор, представляющий собой неуравновешенный вал, приводимый во вращение тем или иным способом. Дебалансные вибраторы, развивающие вращающий момент, широко применяются в качестве приводных устройств вибрационных машин и установок.

Дебалансными вибраторами снабжены, в частности, вибрационные грохоты, конвейеры и питатели различных типов, виброразгрузчики вагонов и вагонеток, вибрационные дробилки и мельницы, виброплощадки и другие устройства для уплотнения материалов, а также вибропогружатели свай, шпунта и оболочек.

Наряду с обычными дебалансными вибраторами, находят применение вибраторы планетарного типа. Основным элементом планетарного

вибратора является тело вращения, которое может катиться по поверхности полости корпуса вибратора под действием тем или иным образом передаваемого вращающего момента двигателя.

Помимо описанных выше вибраторов, предназначенных для создания вращающего возмущающего усилия, широкое применение находят механические возбудители направленного действия.

В поршневом вибраторе возмущающая сила развивается массой т, возвратно-поступательно движущейся в полости корпуса. Колебательно движение массе ("поршню") сообщается либо посредством кривошипно-шатуиного механизма от обособленного двигателя, либо пневматическим приводом. Известны вибраторы, выполненные на базе обычного поршневого двигателя, в которых роль инерционной массы играет утяжеленный поршень.

Наиболее часто для создания возмущающей силы постоянного направления используются два дебалансных вибратора, роторы которых связаны зубчатым зацеплением с передаточным отношением, равным единице (зачастую такая кинематическая связь не обязательна, так как желаемый эффект достигается автоматически благодаря явлению самоеинхро-

низации вибраторов). Такой составной вибратор иногда называют самобалансным. Развиваемое им возмущающее усилие наплавлено вдоль прямой, перпендикулярной плоскости, в которой лежат оси вращения неуравновешенных валов.

Все рассмотренные выше вибраторы можно назвать одночастотны-ми (иногда их называют также моногармоническими). Встречаются также и многочастотные (полигармонические) механические вибраторы, генерирующие возмущение нескольких (наиболее часто- двух) частот. Они представляют собой, например, дебалансные вибраторы, валы которых связанны зубчатыми зацеплениями с передаточными отношениями, отличными от единицы.

В последнее время были предложены так называемые гироскопические вибраторы, основой которых служит быстровращающийся ротор. Ось ротора совершает относительно несущего тела заданное периодическое движение ( например, вращение вокруг некоторой оси, связанной с этим телом) [4, 56, 41]. Если ротор уравновешен, то такой вибратор развивает гироскопический момент, вектор которого изменяется в зависимости от характера движения оси ротора. В более сложном случае ротор и про-

межуточное тело, в котором закреплена его ось, не уравновешены, и тогда генерируются также и неуравновешенные силы.

Явление самосинхронизации механических дебалансных вибраторов, установленных на одном вибрирующем органе, было обнаружено в 19471948 гг. в СССР; через несколько лет- в 1950-1956 гг. появились первые публикации ( в виде патентных описаний) и за рубежом. Оказалось, что вибраторы, представляющие собой в простейшем случае неуравновешенные роторы, приводимые в движение от каких либо двигателей асинхронного типа, при определенных условиях работают синхронно, несмотря на возможное различие параметров вибраторов и на отсутствие каких-либо кинематических и,ли электрических связей между их роторами.

Впервые в Советском Союзе задача о поведении нескольких неуравновешенных вращающихся масс, установленных на общем основании, а также разработка нелинейной теории вибрационных процессов была поставлена еще в 1947-48 гг. при проведении работ по созданию вибрационных машин в Ленинградском институте Механобр под руководством Д.А. Плисса [541. Там же выполнено большинство теоретических исследований и экспериментально-конструкторских разработок устройств с самосиихро-

низирующимися вибровозбудителями; этому институту и его сотрудникам выдано свидетельство на научное открытие явления синхронизации вращающихся тел (роторов) [1].

Большой вклад в развитие теории синхронизации принадлежит И. И. Блехману. В 1953 году он физически объяснил и математически описал явление самосинхронизации механических вибровозбудителей [15]. При этом были использованы методы малого параметра и теории устойчивости движения Пуанкаре и Ляпунова. Обзор и изложение основных результатов, полученных И.И. Блехманом и его последователями, дано в книгах [3, 38, 39, 40] и справочнике [43].

Эффекты взаимной синхронизации были обнаружены и в поведении био,логических объектов. Н. Винер полагал, что явление синхронизации лежит в основе возникновения альфа-ритмов головного мозга, а также высказал предположения о роли этого явления в процессах самоорганизации и самовоспроизведения некоторых биологических объектов, в частности развития злокачественных опухолей [33, 34, 35].

Таким образом, проблема синхронизации рано или поздно возникает всюду, где имеются колебательные процессы; от эффективности решения

этой проблемы зачастую существенно зависит прогресс в определенной области техники. Этим определяется ее большое практическое и теоретическое значение.

Из конкретных проблем синхронизации до недавнего времени наибольшее число исследований было посвящено задаче о совместной параллельной работе нескольких синхронных электрических машин.

В этих исследованиях был получен ряд весьма существенных результатов, однако многие важные стороны проблемы, ввиду их крайней сложности, до сих пор остаются неизученными. В частности, почти не рассмотрены несимметричные режимы работы машин и вообще случаи, когда переходные процессы описываются уравнениями с периодическими коэфф ициентами.

Краткий обзор соответствующих работ приведен в монографиях [16, 17, 45].

В связи с созданием приборов и устройств, основанных на использовании квантовых генераторов радио- и оптического диапазона ( так называемых лазеров и мазеров), появились исследования, посвященные синхронизации подобных генераторов. Одной из первых работ в этой области

-15 -

была статья П.К. Манешина и Р.В. Хохлова [50] в 1958г.

Для последнего времени характерно также совершенствование и развитие основного математического аппарата теории синхронизации динамических систем- теории периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, а также асимптотических методов. В статье И.И. Блехмана [11]в 1955г. была доказана теорема об устойчивости для квазилинейных неавтономных систем. Доказательство ряда аналогичных теорем для периодических и почти периодических решений неавтономных систем более общего вида было дано в монографии И.Г. Малкина [49], вышедшей в 1956 году.

К работам, в основе которых лежат классические сочинения А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова, примыкают труды, посвященные изучению синхронизации отдельных общих классов динамических объектов.

Анализу различных частных задач и постановке общей задачи о синхронизации динамических систем посвящена работа И.И. Блехмана |12].

Основные факты и результаты, полученные в монографии И.И. Блехмана [16], повлияли на дальнейшее развитие теоретических исследований в области синхронизации. Впервые была сформулирована общая постанов-

ка задачи и проанализированы плавные особенности задачи о синхронизации динамических систем; разработан математический аппарат теории синхронизации с детальным изложением так называемого интегрального критерия устойчивости синхронных движений; изложены основные закономерности синхронизации динамических объектов; внесен значительный вклад в решение задачи о синхронизации механических вибраторов; разрешена проблема синтеза вибрационного поля и синтеза вибрационных устройств с механическими вибраторами; изучен вопрос о стабильности синхронного режима колебаний системы, возбуждаемых самосинхронизирующимися вибраторами; рассмотрены приложения теории синхронизации механических вибраторов; исследован вопрос о взаимодействии механического вибратора с колебательной системой, а также о вращении неуравновешенного ротора под действием колебаний его оси; рассмотрен вопрос о синхронизации некоторых систем с вращающимися роторами и синхронизации систем типа слабо связанных квазилинейных осцилляторов.

Одной из главных закономерностей синхронизации является отсутствие порога синхронизации: как бы слаба ни была связь между автоколе-

бательными объектами, их самосинхронизация непременно наступит, если только достаточно мало различие между парциальными частотами объектов. При этом вхождение в синхронизм сопровождается установлением вполне опреде,ленных фазовых соотношений между колебаниями, тогда как при