Достаточные признаки сходимости и устойчивости интегральных цепных дробей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

пЗ 0Л

1 1 нов ^96

МШ1СТЕРСТВО ОСВ1Т11 УКРАШИ ЛЬВШСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УШВЕРСИТЕГ 1М. ШАНА ФРАНКА

На правах рукопису

Антонова Тамара МиколаЪшя

ДОСГА ПИ ОЗНАКИ ЗБЩНОСП 1 СТ1ЙКОСТ! ШТЕГРАЛМШХ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОНШ

01.01.01 - математнишй аналк)

Ангорсферат днсертаии на здобутгя наукоиогм ступени кандидата фЬико-математлчнмх наук

ЛЬВШ - 19.%

Диссрташею е рукопне

Робота внконана на кафедр1 прнкладтл математики

державного ушверентету "Лынвська иолтехшка"

Науков! кер1в1111ки: доктор физнко-математнчних наук, професор СЯВАВКО Мар'ян Степанович, доктор ф1зико-мдтсмап1Чних наук, старший науковий ствробггник БОДНАР Дшпро 1льковнч

Оф|Ц1ЙП1 ононентнг доктор ф13ико-математичних наук, доцейг МОХОНЬКО АиатолШ Захарович кандидат ф1зико-математичних наук, доцент СТОРОЖ Олег ГеоргШовкч

Нрмндиа оргамзащх: 1мстптут математики 11АН Укранга, м Кит

Захист дисертацн »¡дбудегься "££" ошрбтилтб року. о 15 год. 30 хв. на зас'щашн спешал1зоваио1 вчено! ради Д.04.04.01 при Лымвгькому державному ушверситст! |м. 1п.Франка за адресою:

290602, м.Лыыв, вул. Ушверситетська, I, ауд. 377.

3 дисертащею можна ознайомитись у б^блютецг Льв1оського державного ушверентету ¡м. 1в.Франка за адресою: м.Лмип, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розгслано 199^'року

Вчсмий секретар спе!им1Эовано| вчено! ради

я.в.микнткж

ЗЛГАЛЬНЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Акплуальлпсть___тематики. Неперервш (лаишогош) дроби

булн об'ектом вивчешгя i зясобом пауков их. доелщжень багатьох аидатиих математики! ми пул ого. За 'допомогою неперервиих дробш рози'язано пажлиш з:шач! reopii функпш i диференшалъних pinmnib, ■reopit чисел i обчислюпалыюУ математики. JTanmoroni дроби злеюсовуються, зокрема, для зображеиия лпергеометрнчиих функшй, для poju'iiiynaiDiii проблем и момент!, для побудови анал ¡тачного продолжения функпш, заданих у внгляш рядш. Деталышй ¡сторичний огляд, присиячелий неперерпним дробам, викладсно у монографц У.В.Джоунса i В.Дж.Тропа {Джоунс У., Грои В. Непрерывные дроби. Аналитическая теории.и приложения: Пер. с англ. - М: Мир, 1985. -414 с.).

Гоиорячи про неперервш дроби, а таком; ricno пов'язаш з ними аироксимацп Паде, ix иортшоютъ з такими засобами зображеиия аналггнчшк функшй, як ряди або нескшченш добутки. Я кто степенешш ряд, шо являе собою аналпичну функшю, збц-аеться у круз1, рад]ус якого визначаегься шддаллю до найблнжчого полюса, i розбп'аетьсм зоши пього круга, то розпннення оеновни.ч елемемтарних функпш и ламинита» дроби, як правило, збтаються у ucirt комилекешй площиш,- за ипн.чтком полюап функтш. Тому непереиш дроби викликають не тшьки теоретичная-nrrepec, ате н е пажлишш апаратом обчислюпсшьно1 ' ма тематики, [ишою причиною лерспектшшост! застосувань ллшпогоких дроб!» у обчиелювалыпи математиид е аластишеть i"x обчпслювальио! crifncocTi (миле накопиченн.ч лочиоок V nponeei оичпслень). '

Щоб зро0пг!1 ьеперершп дроби oi;ib>:i зруч.чимп для обчиелень, no'rpiCiio якомога бмьше знати про швнлюсгь Ух збисиоеп i про Ух обчислюпальну стпшсть. Основою для рози'язушнн;! цп.ч проблем мишилась feopiii збгжностк. mo була розробленл вмключно з иозишй рочшпку апалглпно! reopii' ланцюгових дроби).

За остани) 30 рок!в сам« поняпя лаишогопого дробу розшнрнлось, Т.чиились т а к! пужлиш для застосувань понптгя. s!K операторш (у »обоих I'.Wynn, W.Fair, T.L.Uayden, F.A.Roach) i шлясп ланцюгоа! .роб» (у роботах В.Я.Скоробсаап.ка, Г1Л.1)однарчука, ДЛ.-Бодиара, Х.И.КучмшськоУ, М.О.НелашкоБськсю, A.Cuyt, W.Sicniaszko, J.Murphy, M.R.O'l)onohoe). В ocuooi ци.1 понять лежать phui щеУ yaai тиеиич звичайиого ланиюгоного дробу. Запропоноианий М.С.Сявапком иопий не.'нншшш математичиий а парат операториих ¡нтегральних ланцюгових дроби) по Mipi охоилюс; piaiii вили ланшогови.ч л роб in ( за рахуиок пибору Niipii нсгегрувания, влбору множни, по иких. велегьен иггегрунаиня, пибору алгебрн, а також за рахунок шдбору компонент дробу ). '

Застосування апарату неперервних дроб1в для побудови чиселышх метод ¡в розв'язувашш конкретно! задач! вимагае пибору того чи ¡итого р13новиду такого дробу: звнчайного, матричного, операторного, пллястого, штегрального тощо. Пллястий ■ ланцюговий дрШ вшграс стосовно до функцш багатьох змшних таку ж роль, як звичайний леперернний др]б ншюспо функцй о/^е! змшноГ (Скороиоттько В.Я. Теория.ветвящихся цепных дробен и ее применение в вычислительной математике.- М.: Наука, 1983,- 312 е., Бодшр Д.И. • Ветвящиеся цепные дроби. - К.-. Наук, думка, 1986. - 176 е.). 1нтегральний ланцюговий др1б як деяке неперервне узагальнення дискретного поняття пллястого ланцюгового дробу дае мож.чишеть шйсшовати . дробово-аналпичне зображення фунюионал1В (оператор1в). В деяких випадках використання штегр&шшх ланцюгових дроб1в для наближення розв'язкАв матричних, ¡нтегральних, штегро-диференшальних р1внянь мае пеши перс ваш перед використанням для цМ мети ште.гро-степеневих рндш Вольтерри.

У монографн М.С.Сявавка {Сявавко М.С. Ытегральш ланцюгот дроби. - К.: Наук, думка, 1994. - 206 с.) наведено велику кшьк1сть приклад'ш застосувань ¡нтегральних ланцюгових дроб1в. Розв'язки багатьох задач математнчно! 1 теоретично/ ф1зики формально подано у пигляд1 ¡нтегральних даншогових дроб1в. Разом з гим питания про збЬкшсть злачно! кЬчькосТ! таких розвинень е вщкритим.

Тому не викликае сумшву актуальшеть подальшо1 розробки аналогично! теорй [нтегральних ланцюгових дроб;в, зокрема, теор;У зСижносп, доел¡джепня обчиелювально! стШкосгп (спйкост! до збурепь) р1зних кпас1в ¡нтегральних ланцюгових дроб1в.

Метою дисерпшцшног роботы с встановлення ефектшших достатшх ознак збЬкност1 ¡нтегральних. ланцюгових дробш з дШсннми та комплексними • компонентами, видшення клаав ¡нтегральних ланцюгових дробт, що мають властишсть обчиелювально!. стп'тост! (стшкосп до збурень).

М ст о ди к и д о сл / д,-к сщ>. 13 дисертацшжн - робот! викорис-товуються методи математичного анализу, теорн функши комплексно! змп)но!, аналогично! теорн ланцюгових дробт та к узагальнеиь.

НаукшаАштюш^шйопшлюлтае

- у дослщженш ¡нтегральних ланцюгових дроб1в з1 змшнпми межами жтегрування (вюиочаючи ! нескшченш межО;

- у встановлеши. рекурентних формул для дшено! 1 уявно! частин залишшв ¡нтегральних ланцюгових дроб1в;

у застосуаашп методу фундаментальних нершюстей для дослщження зб1жност1 ¡нтегральних ланнюювих дроб'ш з комплексними компонентами;

у встаномленш ефективних достатшх ознак ¡нтегральних ланцюгових дробт з оцнжами похибок апроксимаци;

- у розробш методик:» дооцдження . обчислювальнод criitaeocTi (ст1йкосп до збурень) ¡нтегральних ланцюгових дробш з дшсними i комплесиими компонентами та а застосувашп.

Иаукпиа та _ практична . ¡{ititiicmb.fiofionnu Робота мае теоретнчний характер,.i и результати сформульоваш у виглош теорем. Отримаш результат можуть бути використаш для подальшого розвитку ana.'iiririiioi Teopii пллястих , та ¡нтегральних ланцюгових дробт. Розроблена методика дослщження множини значень ¡нтегральних ланцюгових дробен, шнпдкосп ix зб1жносп та обчислювальноТ criflKOCTi може бути застосована для анализу розн'язк1в задач математичноТ i Tcopcui'iiioi фгнки, знайдених за допомошю шиш стих та ¡нтегральних ланцюгових дробш. . ■

Ocnoeiii положения дисертаци. що виносяться на захист:

- нсганоилепмя напбишш загальноТ (серед вщомих на даннй час) достатньоТ ознаки зб1жносп ¡нтегральних ланцюгових дроб1в з дшеннми компонентами i аналога тдореми Слеппгаського-ПршгСгеима, якпй включае в себе pariime доведен! ознака зб1жносп даиого типу (як пллястих, так i ¡нтегральних ланцюгових дроб1в'з комплекснимн компонентами);

- попа методика дослижспия збЬкносп ¡нтегральних ланцюгових дробш з комплекснимн компонентами, яка базуеться на використашй формул для ;ийсио1 i уявноТ часгин залинпав ¡нтегральних лаишогових дробш, i отримаш з П догюмогою достатш ознакн зб^жносп ¡нтегральних ланцюгових дробш;

- дослщження властнвост! обчнелювальцо! ctIhkocti (cTÜiKocri до збурень) p'uwix клаав ¡нтегралышх ланцюгових дробив з дшеннми i комплекснимн компонентами.

Особчстий вклад dueepmattma. Bei наведеш в диссрташТ ocnöBiii результати оде ржа и i самостийно. Ь епшьнях poöit викорисгано лише Ti результати, яю одержан! дисертантом.

Ацробащя_роботи. Результата дисерташйно-! роботи ■

доиовщались на семшарах з аналогично! Teopii ланцюгових дробш, та Гх узагальнень (кер1вники: ДЛ.Боднар, проф. В.Я.Скоробогатько), на YIIL Республ i канськш конференш! "Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей" (Донецьк, 1991р.), на мЫигароджй. lHKO.ii-ceMinapi "Jlaimroroni дроби, ix узагальнення та застосування" (Верхне Синевидне, 1994 р.), на ВсеукраТнсьый науковн! конферении "Застосування об'Шслювально! техшкй, матсматичного моделювання та магематичлих м_етод!в у наукових дослйяженнях" (Льпш, 1995 р.), на Всеукрашськш таукопМ конференци "Розробка та застосування магемагичних метод in в науково-техшчних дослшженнях",

присвичешй 70-Р1ЧЧЮ вщ дня народження проф. П.С.Каз1\прського (Лшв, 1995 р.).

Публгкаци. Осиовш результати дисертаци опуб.'пковано в роботах [1-8].

Ст]>уКП1УРО X _о6сяг, Днсерташя складапься 31 пступу, 8-ми параграф!в, об'еднаннх у два роздшн, висновыв та списку лггсратурн, що метить 58 найменувапь. Загальний обсяг роботи - 141 сторшка.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У встуЫ подано короткий 'огляд положень, шо безпосередньо стосуються теми роботи, викладено осиовш результати дисертаци.

Перший позли! присвячено питаниям з61жпое.п ппегралыгих ланшогових дробш.

У § 1.1 з'ясовусться поняття штегральпого ланцюгового дробу та деяких основних понять теори зб1жпосп.

Нехаи . областх (¡¡. С Як {к = 1, 2, ... ) характеризуются такими сшввйцющешшми:

= {ц: а, < г, < Д},

С* = {(Гр — .Ь): (г,.....еС^.р

«^Г!..... Гк-\) ^ Рк(Т\>--->Тк-\)}> _

де а„ Д - стал!, ар{ Г,,...,^,), /?Д Г„...,Г^,) (р = 2,со) -

неперервш на функци. Вважаються також можливими випадки

(один з них або дошльма 1.x комбшашя), коли а{ — —со,. /?, = со,

ССр(т1,...,тр_1) = -оо, Рр{ту,...,тр_х)=<х>. При цьому нестроп

нершносп у сшввцшошеннях (1) замшяються на вщповщш строп нер1вносп.

Означения 1.1. Ытсгральним ланцюговим дробом (1ЛД) називаеться послшошпсть вираз1в вигляду

к-\ к-\ !}к(.г ) ак(т )

=6оЛ—---

аЧфх)+ \ ---------^

А,(т" ')

+

I

№ (2)

( я = 1,2,... ), г* =(г„..:,т4) еб,, />0 - стала, «Л г*), ЬА(г*) належать простору неперервнмх на С* функшй ( к = 1, я ).

Для скороченого запису несюнченнош ¡нтегрального ланцюгового пробу використаемо позначення

I (3) »-'«.(.'-'У к*(г >

Функцн а,(г1), а2(г2), . ... називаються частинними

чисельниками ШД (3), ¿Дг1), Ь2(г2), ... - його частинними знаменниками; скшченний ¡ЛД вигляду (2) називаеться /7-м пщхщним цробом або /7-ю апроксимаитою 1ЛД (3). Вважатимемо, що ва частинш зиаменники 1ЛД вщмшш вщ нуля на областях .

Означения 1.2. Нескшченний штегральний ланцюговий др!б (3), цлл якого ¡снуе синченна границя К послщовносп {/п} пцрвдних пробив, називаеться збжним. . Тод! вважаеться, що значения 1ЛД поршнюе Ц1Й грашпн. Р1зниця К - fn називаеться похибкою зпроксимацп П-го падхщного дробу.

Покпадемо

П Р) ✓ Щ\ л

влгк)=ыг*)+ в / ,, У" тк<п),

о:(тпУ=Ьп(Т"). (4)

Вирази Г* ) назвемо залишками 1ЛД (3).

Еквшалентне перетворення штегральних ланцюгових дробив - це перетворення, що не змниое величина пщхщних дроб1в. За допомогою :кв1вапентного перетворення 1ЛД (3) иожна звести до вигляду

00 Л<*4"'> ,¿4 ,

6o + Z) J StiL^lL; (5)

Означения 1.3. 1нтегральний ланшогсший ;ipi6 (3) збкаеться

СО

абсолютно, якщо е збЬкним ряд fk— _, |.

<t=l

Вважатимемо, що для 1ЛД (3) виконуються фундаментальщ nepiBHOCTi, якщо юнують таи додатш егшп рк (к > 1), що для

довкьНих натуральних к, р (р> к) при тк е Gk справджуються стввщношення

(6)

А

+г <

«Hi(^)

AV ' J пр

• Наведено теорему 1Л.1, у якш сформульовано достани умони зШжностч1ЛД, для яких справджуються фупдаментатып нершносп.

У § 1.2 вивчаються питания зб1Жност1 штегр;ъ.ы1их ланцюгоиих дроб'ш з дШсними компонентами. Можна лрйпустити, що на частинш знаменнлки таких штегральних ланщоговнх дроб1в додатш. У шших випадках цього завжди можна досягти, помножуючи вщповщш частинш .чисельники 1 знаменники на -1. Частинш чиселышки 1ЛД з дШсннми компонентами можна записати у нигляд1

ак{тк) = ак\(тк)+ак~(тк),

де

Теорема 1.2Л. Нехай для ¡нтегральиого ланцюгового дробу (3) ¡енують таю неперервш функцн gp(rp), що

И°'(г1)1 и '

у—г- м < (?)

О <8р{тр)<>Ър(тр), тр еСр, р> 1; (8)

при ВС1Х г*"1 {к £ 2) виконуються умови

ТИ^.1'» (Л

I - , <~ьк-\(т ), (9)

«1(Д->> } 2

АС'*"1)

а*

(г*-1) I «,+,<г') )

-1

атк-

I

«»(г*"') }

(10)

га ¡снують так1 лодатш сташ кк > 2), що

) т*т~ Ьк-1 «»(г*-1) а1г; V

АО"1"')

«Иг*"1) } /

'«Л^г*

-I

(11)

*к

То/н ШД (3) е зб!жнцм, ягаио ряд ^ пк розб|'гасться. Швидюсть

к=2

зб1жност! характеризуется нершшстю

(12)

к = \

Ця теорема е найбмьш загальною (серед вщомих на даний час) досгатньою ознакою зб1жпост11ЛД з дЫсними компонентами. Але умоиу (10) иерешрити не завжди просто. Тому в робоп наведено бшьш ефективну, але менш загальну теорему 1.2.2, де розглядаються 1ЛД ¡з скшченними межами штегрування (починаючи з друго! ланки), а умови (8)-(11^ замшело жорсткшшми умовами. При вибор!

gp(тp) = (l + (гр )/2 (0 <Р <1/4) теореми 1.2.1, 1.2.2

можна розглядати як коцтинуальш узагальнення ознаки збжносп пллястих ланцюгових дроб1в з дшсними компонентами, встановлено! Д.ГБоднарои, Х.Й.Кучмшською.

У § 1.3 ¡лтоструеться застосування методу мажорант для досл1дження зб1жност1 штегральних ланцюгових дробт, частинш чисельники 1 знаменникн яких - комплекснозначш функшТ. Означения 1.4. 1нтегральнин ланцюговий др1б

00

*0 + П | -тот

або звичайний ланнюговий др1б

¿=1 ьк

(13)

(И)

з комплекс ни ми компонентами називаеться мажорантою штегральногс ланцюгового дробу (3), якщо icnye такий номер т0 i додатиа стала'Лг Що для будь-я ко i о натурального т, т > пц

\fm+l-fm\¿N\fm + l-~fm\, (15;

де /„,- т-й пщхщний др1б ]ДД (13) або (14).

Теорема 1.3.1. Якщо ¡снують таи неперервш з додагними значениями на Gk функци г^), що справджуеться умова (7) i при bcíx тк е Gk (к > 1) виконуються умови

M+lJ

I ■ Ti^f (16)

то 1ДД (3) е абсолютно збЬкним, i область його значень i значень bcíx його пщхщних jipoGifl належить кругу

ft

«1

И.

Цю теорему можна ¡нтерпретувати як найбишш загальний континуальний аналог ознаки Слешинського-Пршгсгейма. При р1зних

способах вибору функцш (зокрема, ) = 1,

gJt(rt) = ) можиа отримати ознаки, що були доведен! ранще

Р.1.Михапьчуком, М.С.Сявавком.

Використовуючи метод мажорант i першу штерпретащю фундаментальных нер1вностей для звичайних ланцюгових дроб1в (Wall H.S. Analytic theory of'continued fractions. - New York: Van Nostrand.- 1948,433 рЛ, доведено теореми 1.3.2, 1.3.3, у яких дослщжено зб1жшсть 1ЛД вигляду (5) i встановлено облает! ix значень.

§ 1.4 присвячено доведению деяких достатнк ознак зб1жносп ¡нтегральних ланцюгових ;ipo6iB певного вигляду за допомогою методу фундаментальних нер1вностей, що paнiшe застосовувався тшьки при дослщженш гшлястих та ¡нтегральних ланцюгових дробш з дшеними компонентами. При цьому вперше дослщжуються множини значень

дайсно! икп[тк^ та уявно! частин залишюв

Для. ¡нтегральних ланцюгових дроб1в вигляду

¿0+1—---,-;-08)

«.1.1/ . \ - Л(7 } ' К<**К

'МЛехр/^г1) + £> [

де / - уявна одиниця, встановлено таи формул и

и„\г") = \ь„(т")\со5<рп{т"), (19)

иАг*)=|^(г*)|ссмр*(г4) + я -рк* 1(г*) /'тСг'"-1) и • !в

+ 1 | - / ^005^(0 П , ^ <2°>

='+1 «,+,сг*) «„(г-1).

(у припущены), шо ()"р{тр) * О, /? = к + 1, л; к = 1, и - 1 ).

За допомогою них формул отримано деяы оцшки для ик"(тк), Vк'\тк), [к = 1, я), сформульоваш в лемах 1.4 - 1.8.

Лема 1.6. Яйцо при всгх натуральних к, т {к <т)

+ (1*6<7„ г"бОж). (22)

то мае \нсце оцшка

(1£.к й л). (23)

Лема 1.7. Нехай при вслх натуральних р компонента ШД (18)

задовольшноть там умови

-~<<р2р(г^)< 0. (24)

Тод1 для вах натуральних П, п"2-1р мае мкце ощнка (23) 1

У1(г^)<\ь2р(т2фп<р2р(^): (25)

Встанонлеш в лемах оцшки використовуються при доведешп достатшх ознак зб^жносл ]ЛД (18). Теорема 1.4.1. Сукупшсть умов

Р\

I

«I

«1

Ытх = М < со;

/I

(26)

(27)

(28)

достатня для абсолютно! збЬшост! 1ЛД (18) 1 для виконання нер1вност1

\К-/„\<Му", . (29).

де К - значения 1ЛД (18).

Теорема 1.4.2. Якщо компонента щтегрального ланцюгового дробу (18) задовольняють умови (24), (27), атакож

«к

¡снують додатш стал1 7Ск (к > 2), таи, що

с/Гь

№

л-1

(31)

1 ряд 71^ с розб1ЖНИм, то 1ЛД (18) збпаеться, причому швидюсть А=2

збЬкност1 характеризуется нер1вшстю

Для штегральних ланшоговнх лpoGin вигляду А ' a,(rl)rfr

----------——--;--, (33)

"Чьи* п(r'hPbK^b

■ .....~WT~

ле i - уявна олинипя, побудов'аш (формули для дшсно! i уяпноТ частин -шпшшв iJ1Д, на ochoni яких истаноплено он'шки множили значень

залишкт Q/¡"[r'< j (леми 1.8 - 1.12), а також доетптш ознаки iGíjkhoctí

(теореми 1.4.3 - 1.4.5).

Лсма 1.9. Нехай компонент!! 1ЛД (33) таю, що для bcíx натуральних р (р> 2)

■ 0<^(г')<| ■ (r'^G,); (34)

°р(т'Р)- °р+*(тР*1) (тРеСр. (35)

Тод1 для hcíx натуральних к, П (\ < к < и)

' п"(И)>0. (36)'

Лема 1.10. Нехай компонент ¡ЛД (33) taki, шо для bcíx натуральних р (р > 2)

-^.<вр(г'>)< 0 (rpeGp) (37)

вр(тР) £ 0/'+i(rP+1) (r" efV rP+1 бС>4 <38>

Год! для bcíx натуральних к, П (l < к < п)

V,"(H)<0. (39)

Теорема 1.4.3. Нехай компонента !ЛД (33) при ¡icix г* е Gk (А > 2) задовольняють умови (34) (або (37)), (35) (або (38)), (27), (28). Год'| 1ЛД (33) е абсолютно збикиим, i виконуеться nepiunicTb (29), де К- значения 1ЛД (33), fn - його П-й нщхщний др1б.

Теорема' 1.4.4. Нехай компонент» 1ЛД (33) задовольняють умову (27), а також при bcíx тк е Gk (к > 2) справджуються умови (30), (31),

(34) (або (37) ) i |0t(r4)| > |0t+1(r*+,)|. Тод! 1ЛД (33) зйгатся, i шпидюсть його гзб!жност| характеризусться nepinnic-гю (32).

13

Леми 1.9.-1.12, теореми 1.4.3.-1.4.а присвячеш дослцщенню 1ЛД вигляду (33), частинш чисельники яких (за винятком, можливо, першого) мають иевщ'емну ддйсну частину. Встановлено також деяы ознаки зб!жност) 1ЛД вигляду (33); область значень частинних чисельник!в яких (за винятком, можливо, першого) знаходиться у другому чи третьему квадранп (леми 1.13, 1.14, теорема 1.4.6).

Доведено також одну достатню ознаку збЬкност! штегральних ланцюгових дробт вигляду (5), яку можна штернретувати як деякий континуальный аналог теореми про. парабол1чну область зб1жност1 (теорема. 1.4.7). Попередньо доведено лему 1.15 про ошнку значения д1йсно1 частшш запишку 1ЛД цього класу.

У § 1.5 розглядаються период hhhj 1ЛД вигляду

Ь0Л--, (40)

де а, ß - сталь

Теорема 1.5.1. Якщо ншуютьтак! функцн ¿fi(ri), g(r, q), що при г 6 [а, ß\, £ е [а, т] неперершп, набувають додатних значень i при Bcix натуральних к, S (1< к < S)

|&4ri)| ^ *i(ri) |ß*'(r*-i. rk)\ 2* g(rÄ_lf rk)

( Ту e[a,ßl ?к е[а, ), ■ (41)

то 1ЛД (40) зб1гаеться абсолютно, причому швидккть його зб1жносп характеризуется нер!вн1стю

М- «

де К - значения 1ЛД (40), fn - йоге /1-й пщхшшй др1б,

m, = min gtfo), ra= min g(r, f). (43)

a&t&ß äi^rüß

Використовуючи оцшки значень (l <, к, £ и), одержан! у

§§ 1.2 - 1.4, конкретизуеться cnociö вибору функцШ g|(rj), g(r, £).

И

У другому роздцц викладено результати дослщження одше! зажливо!' властивосп а'парату штегральних ланшогових дроб1в -иластшюсп обчислювальноГ стшкост1 (стшкос'П до збурен

Якшо компонент й0, а/с(г*)> зб1жного |ЛД

ьо + 0 I '~ГГТГ (44)

Чг)

замшено деякимн значениям» ¿0, <7^тк\, то значения К

¡нтегральпого ланцюгоного дробу

+ Я ) ~Т(ТГ (45)

* = Чг)

(я кто вш збп асться) може дуже суттево вцр1знятись вщ значения К 1ЛД (44).

Нсхай ЛЬ0, ¿\Ьк{тк^ - похибки обчислення (збурення)

компонент ¡ЛД (44), тобго

ЛЬ{) = 60 - 60, Лак[тк) = ак(тк) - ак(хк),

ЛЪк[тк) = Ьк{тк)-Ьк(тк) (кЫ), (46)

Хм /л - шдхаш лроби п -го порядку штегральних ланцюгових дроб]в (44) ] (45) »¡дпоишо, Л/п =/„-/„• Вважатимемо похибки обчислення (збурення) компонент 1ЛД (44) обмеженнми, тобто

\лак(гк1<Ах\ \льк(т")\<А2\

яе

- додатш стал1. .

Означения 2.1. Якщо ¡снують таи нсзалежш вьа п додагш числа СС2, шо

,|4/;| <\лъ^схР +с2Аг\ (47)

то вважатимемо, що 1ЛД (44) мае властишсть обчислювально! ст]йкост1 (сгшкосп до збуреиь).

У § 2.) виведело формул», що встаноилююгь зв'язок м!ж иохибкою обчислення (збуренням) пшхщних дроби» ¡нтефального ланшогового дробу (44) 1 похибками обчислення (збуреннями) його компонент, на основ1 лких дослшжено стшюсть до збурень штегральних ланшогових дроб1в загального вигляду.

15

Теорема 2.1.1. Припустимо, то. ¡спукхн, 7,1 к1 лодатш стал! Л/, Л/, Н, Н, О, О, р, р (рр < 1), що для штегральних ланцюгових дроб.1 (44) \ (45) для дошльпих натуральних П, к, р (1 < к < п, 1 < р < п

при г* еС^., тр €.<3р виконуються такгумоии /'1 1а,(г'| /'! ,

<48

¡^'(^1 >//-', ■ ¡2/(^1 >//-'; (49 Г _£?£+!_<5 Г____А±!_<п. /50

Ды(г*) 1я /г^'Ьг АиИ I /г*+1\|. .•

а- ' |а*+1(г _ ' |°*+1(г ¡¡с1тк+1

Тол! для -похибки обчислепня (¡бурения) ишхшного дробу /7-го порядку )ЛД (44) мае мкце така оцшка

де Д,,,/1', - додатш (невщемш) стан, таи, що при тк бСц

(т < к < п)

^(г4^^'). (53)

1 1ЛД (44) е сп'иким.

У § 2.2 розглянуго умовн обчислювально! сгшкост] штегралышх ланцюгових дробш з дшеними компонентами, що задовольняють умови теоремн 1.2.1. Отримано двостороыж оцшкн похибки обчислення (збурення) для 1ЛД з додатними компонентами у прииущенш, що похибки обчислепня (збурення) компонент е знакосгалимн для вах ланок шгегральното ланцюгового дробу.

§ 2.3 присвячено дослшженню обчислювально! стшкост! (стшкосп до збурснь) штегралышх ланцюгових дроб1в з комплсксними компоненты», достатш ознаки збЬкносп яких доведено у §§ 1.3 - 1.4. Остановлено також ошнку збурення значеиь пшшшх дроб1в перюдичного 1ЛД вигляду (40).

висновкм

У днсертаци'ппп робот1 для штеграшшх ланцюшвих дроб!в ai змшнимн межами штегрупанпя встаною^;! ознакн loiauiocTi ¡нтегральних ланшогоних дроб1В з дШсними^ компонентами; використовуючи метод мажорант, остановлено найбшли загалъний континуалышй аналог теореми Слеиншського-Пршгсгейма про абсолютну збЬкнють неперершшх дробт; встаноплеш формули для дшсно'/ i уявноТ частипн залншкчп ¡нтегральних ланцюгових дробш з комплекеинми чаетинними зпаменликами або з комплексними чаетинними чпсельниками, на баз! них формул отримано oiiiiiKH для модул1В з&пишкш ¡нтегральних ланцюгових дроСмв, ïx aîhciuix та уявних частин, шо дас можлигйсть зиаптп области зиачень ¡нтегральних ланшогових дpoбiв; • використовуючи метод фундаментальных нертностеП; встаноплеш достапп озшки зб1жносп ¡нтегральних ланшогових дроб'т з комплексними компонентами, наведено оцшки ïx швидкосп зб^жностг, ■ дослщжено питания зб1жносл важлнвого для застосуваш. класу перюдпчних ¡нте.ралышх ланцюгових дробив si 3MiiiHHMii верхшми межами штегрування; отримано формули, що р-станошпоють зв'язок. мЬк похибкою обчислення (збуренням) сличенного ипегрального ланцюгопого дробу i похпбками обчислення (збуреннями) lioro компонент; дослщжено властшясгь обчислюв;иьно1 стшкоа i (спйкосп до зоурень) ргзних Kiiacia ¡нтегральних ланшогових npoGiiî з AiiicHHMK та комплексними компонентами.

.Дисерташя мктпть noni обгрунгоиаш теоретичш результата, snci е вагЬмим ннеском в аналпичну reopiio ¡нтегральних ланцюгових дробям i можуть буги BiiKôpitcTaiii для ïï подалыиого розвитку.

Осиоонг результант dticcpnumiï опуб/iiKpaani о роботах

1. Однооодовя Т.Н. Оценка погрешности вычисления одного класса интегральных цепных дробей // Вести. Льном, политехи, ин-та. -

■ 1984,-№ 182,-С. 96 - 98.

2. Однополойл Т.Н. Некоторые оценки погрешности иыч! :ления интегральных цепных дробей // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1984. -№ 7,- С. 19 - 22.

3. Однополою Т.Н. О сходимости одного класса интегральных цепных дробей // Вести. Львов, политехи, ин-та. - 1985.- №'192.'-

С. 86 - 88'. ......

4. Лптонот Т.М. Про даЬкжсть та обчпелювальну спйюсть одного класу ¡нтегральних ланцюгових дробш з комплексними компонентами // Bien. Льшв. полггехп. in-ту. - 1990. - № 242. - С. 4 - 6.

5. Лнтоноил Т.М. Про збшнеть до функии и формального розкладу

и штегральннй ланцюговий apio // Bicn. Льв1в. пол'пехн. in-ту. -1902.261. - С. 10 - 14.

6. Антонова Т.М. Розв'язування диференщалышх ршиянь Абеля за допомогою штетральних лаицюгових дроб(в // В1сн. Лылв. полггехн. in-ту. --1993. - № 269. - С. 8 -11.

7. Антонова Т.М. Один багатовиийрний аналог теореми про piBiio-MipHy просту гтраболнну область зыжност ланшогових дроб!В // Волииський маге.матпчний вюнмк. - Вии.2 - Ршне, 1995. - С. 6-8.

8. Антонова Т.Н., Сявавко М.С. О сходимости интегральных ценны х дробей с компонентами, удовлетворяющими условиям. типа Прингсгейма // Тез. доюь YIU Республиканской конференции

"Нелинейные задачи математической физики и задачи со свобод. ной границей" (3-8 сентября 1991 г.). - Донецк, 1991. - С. П..

Antonova T.N. Sufficient criteria of convergence am, stability of integral continued fractions.

Thesis for the Candidate's Degree (Physics and Mathematics), speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Lviv State University, Lviv, 1996.

8 scientific papers containing theoretical studies in the analytic theory о integral continued fractions are defended. The effective sufficient convergence criteria of integral continued fractions with real and complex elements art established, truncation error estmiates for such fractions are obtained. Classe: of stable integral continued fractions are finded. . '

Антонова Т.Н. Достаточные признаки сходимости i устойчивости интегральных цепных дробей.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - • математическл; анализ. Львовский государственный университет. Львов, 1996.

Защищается 8 научных работ, которые содержат теоретические исследования в области аналитической теории интегральных- иёпны> дробей.. Установлены эффективные достаточных условия сходимости интегральных цепных дробей с действительными и комплексным!: компонентами, выделены классы интегральных ценных- дробей, устойчивых к возмущениям.

К Л № ч vx>i С л Odd!' ¡нтегральн it й ланцюювий дрШ, шдхщпий др'16. мажоранта, ' фундаментальш nepiBHOcri, залишю?, збшисть, нохибк: ипрокснмацн,. CTifiKicib до збурень.