Дробные ступени дифференциальных операторов, коммутирующих со сдвигами или растяжениями и вращениями, в пространствах суммируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ИШЖй! ГОСУДАРСТВЕШШЙ УШВЕРСШЕТ

Специализированный совет К 063.52.13 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

АБРАШН Анш Владимировна

ДРОЙШ СТЕШИ ДИФФЕШЩШЫШ ОПЕРАТОРОВ, КОММУТИРУЮЩИХ СО СДВИГАМИ ИЛИ РАСТЯЖЕНИЯМИ И ВРАЩЕНИЕМ!, Б ПРОСТРАНСТВАХ СУМШРУЫ.ШХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ ' диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 I 4

Ростов-иа-Дону 1994

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научные руководителя: доктор физико-математических наук,

профессор С.Г.САМКО,

кандидат физико-математических наук, додент В.А.НОГИН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор КАЛЯШН Г.А.,

кандидат физико-математических наук, доцент САЗОНОВ Л.И.

Ведущая организация: Белорусский государственный университет.

Защита состоится 17 января 1995 г. в 16 час. на заседании специализированного Совета К 063.52.13 по присуждению уче -ной степени кандидата физико-математических наук в Ростовском государственном университете по адресу: 344104, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге, 5, РТУ, механико-математический факультет, ауд.239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИТ по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул.Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 3 декабря 1994 г.

Секретарь специализированного Совета К 063.52.13, доцент .

tty

В.Д.КЕЯКВНН

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБО'Ш

Цель работы - построение и исследование дробных степеней произвольного эллиптического дифференциального оператора второго

порядка с постоянными (вещественными) коэффициентами в / -прост* Р

раьсхьал. а опэраторл ± / X ^— г г о с растя-

} ^ *

Л * 4

яениями, и оператора -1X1 й, коммутирующего с растяжениями и вращениями •

Актуальность теыы. В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных исследованию дробных степеней многомерных дифференциальных операторов (в основном специального вида и не со -

держащих младших членов дифференцирования), коммутирушях со сдвигаш в рамках -пространств (С.Г.Сачко, В.А.Ногин, А.В.Ско-риксв, Б.С.Рубин и др.). Первые работы в этом направлении принадлежат С.Г.Самко, построившему пологштельше степени оператора - Д ( Д - оператор Лапласа) в виде гиперсингулярних интегралов (ГСП). 3 то же время, случай произвольного неоднородного дифференциаль -ного оператора второго порядка с вещественными коэф^пциентш/ш ранее не рассматривался.

Дробше ехеяели иногомерных дифференцяальихх операторов,ком-мутирухида с растяжениями в /р-пространствах, ранее изучались

мало. Здесь могло отметить лишь работы В.А.Ногина и Г.П.Емгушевой,

с* 2

в которых рассматривались дробные степени оператора -¿_ (х- -— ) •

л

Б то же время, дробше степени оператора х-^ рассматривались еще Адамароы. Дробине степени дифферешщалышх операторов, коммутирующих с растяжениями я вращениями в № , в ¿^-пространствах ра -нее, по-видиыому, не изучались.

Актуальность указанной тематики обусловлена в первую очередь

связью с интегралами типа потенциала: отрицательные степени указанных операторов реализуются как операторы типа потенциала, положительные - как обратные к ним операторы.

Методика исследования. В работе используются методы теории функций: интегральные представления, сингулярные интегралы, максимальные функции, Фурье-мультипликаторы. Широко используются обобщенные функции, в особенности над вдассом ^ П.И.Лизоркина.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получено интегральное представление операторов Ис =

с .символом (. где - произвольная эллиптиче-

ская положительно определенная квадратичная фррма с вещественными коэффициентами. Изучено действие операторов в пространствах. Построено обращение и получено описание потенциалов Я? Р с / -плотностями.

с р

2. Построено обращение и дано описание образа операторов

« , гг

(Ц^ ) , коммутирующих с растяжениям, в рамках

пространств * (70=[£-

3. Получено интегральное представление для отрицательных • степеней ^<(>0. Доказана ограниченность отих

операторов в Построено обращение и дано описание потенци-

алов /К*^

Перечисленные результаты являются новыми, они могут быть использованы в теории дробных степеней дифференциальных операторов, в теории интегральных уравнений, в прикладных задачах, приводящих к многомерном интегральным уравнениям первого рода.

Апробация работа. Результаты диссертации докладав;ишс?гиа~ ---------------

семинаре профессора Бурепкова ii.II. в Университете дружбы пародов (г.Москва), на семинаре профессора Симоношсо И.Б. в Ростовском университете и многократно, та семинаре профессора Сашш С.Г. "Линейные операторы и функциональные пространства" (г.Ростов-на-Дону) .

ПУДЛККЧГ'ЛИ ♦ ООНОЬШО риЗуЛЬТаТП ЯПубЛНК«тМН Н ¡.аООлал / I-б /,.список которых приводится в конце автореферата. Работы / 2-4,6 / выполнены совместно с В.А.Ногиным, / 5 / - совместно с В.А.Ногшшм и С.Г.Саико. Их .результаты принадлежат каждому из авторов в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (17 параграфов) и приложения. В приложение вынесены те моменты доказательств, которые хотя и требуют зачастую кронотли-вых выкладок, но представляют чисто технический интерес. Обьен работы - IC8 стр. машинописного текста; в списке литературы ьО названии.

СОДКГЛШШ РАБОТЫ '

В первой главе исследуются дробные степени дифференциальных операторов - . .

тельно определенная квадратичная форг.:а с вещественными icoo;>i ишт— ентами, , в рамках пространств 1рШ ). Отрицательные

степени указанных операто^в определяются в образах >урье равен-

/

где V' принадлежит классу f П.И.Лизоркина, состоящее из швар-цевих фушсций,ортогональных г.шогочлопаи (преобразования Фурье функций иа Ф имеют в начале координат нуль бесконечного поряд-

X , «OÍA

ка). Отдельно рассматриваются оператору с символами Í7|7 ,

реализующие отрицательные степени оператора -Д +С-®, Справедливо равенство

(Е?<е)(Х)*(В'1№с б v)(x), ReJ>o, ÍD

где (bf)(X)~ ) • & ~ матрица линейного преобразо -

ваши, приводящего квадратичную форму Р(Х,Х) к каноническому виду, т.е. Р(Вх,Вх)~ 1X1^ . В соответствии с (I) исследование операторов проводится по следующей схкле: вначале устанавливаются

v л

утверждения, касающиеся операторов^ , а затем, с помощью (I), эти утверждения переносятся на операторы Ис . Исследование yica -эашшх операторов связано с преодолением существенных трудностей принципиального характера (в особенности это касается построения обращения), обусловленных неоднородностью их символов.

§ I носит вспомогательный характер. 13 нем собраны необходимые -для дальнейшего обозначения, вспомогатсльше сведения и ут -верздешш. " . '

В § 2 получено интегральное представление для оператора , определяемого в образах ¿урье равенством •

Показано, что

г,

ICI

ii-ít

} (Х)~ „п-J п 'l'lnt* \ 2 fr "(р

г

функция Макдональда порядка . Оператор определен

на функциях из 1р , . и ограничен из

в шш из в / с весом, привязанным к бесконечности. Р г Р Р ±

Получено такие представление оператора ис в виде одномерного интеграла от некоторой полугруппы, сильно непрерывной в ¿^ .

Ъ § 3 результаты,- полученные в ^ ^ для оператора , переносятся с учетом (I) на оператор Л*.

В § 4 дза основе связи потенциалов ^ с бесселевыми потенциалам.;! С\ ^ '■ п

г&)ю-Ш (С £

где

(яс Ф)* ехр ?

строится обращение потенциалов V9 с / -плотностями в виде 1"СИ с обойденными взвешенными разностями. Фактически речь идет о пост! оешш явного выражения для положительной степени ¿"'Ъ. Закгтнм, ч-.о идея клиомгасьан if.il е. осюбдоьны-.ли 1«:>1к,лл'яки как с^дстпг, оснащения операторсъ гика потенциала аряшддегет Г.А.Ка-лябину. При оСрапениИ беееелявкх потенциалов эта лдол бн.та реа -лизенапа ь ;аОота>: Б.С. Г'убипа. С учетом результатов этих работ обратный к $^ оператор строится в виде

Ш>£ № ^3)

.\до

Г(^) ~Г 1 1 с

Предел в (3) понимается по норме пространства ~

I Л*

или почти всюду. Заметим, одна!со, что обращение удалось построить при неестественных ограничениях на р : ГЛОХ * /

Кроме того, не удалось обосновать сходимость Ш1 (3) в метрике ¿р (такал трактовка сходимости естественна по самой постановке задачи обращения потенциалов Г с / -плотностями). Указашше недостатки в конечном счете обусловлена неоднородностью символа оператора Д, (отражение« этого является разное поведение ядра

с IX) в нуле и на бесконечности) и преодолеть их в рамках ме -тода ГСИ нам не представляется возможным.

Показано также, что урезашге в (3) можно заменить

урезанием IH \Q£ , где же - "достаточно произвольное"

семейст-

во областей, содержащее начало координат (этот ({акт используется в дальнейшем при реализации поло:глтелы,'нх степеней опе]>атора'

Лдлее, на. основе (I), строится обращение потенциалов Ii^ V , Ч>С J , методом IUI. '

и1* тт * _

В § 5 построено обращение операторов V ,М С , О < Не</</1*1,

в ра'-нкох ¿^ ft+^j методом апнрокекмативних обратных

операторов (Л00), применявшемся ранее при обращения интегралов типа потенциала

Iк

а таккс потенциалов с лоренцевьм расстоянием (О.А.Ногин, ш.;,!.3а-волженский., Е.В.Сушшн, О.Д.Ллисултанова). Так в рамках аппрок-

' 9 ы

ситуативного подхода обращение потенциалов 4~)jc ¥tO<Red<[\+¿-(¿^

<l+Red~-L ' строится в шде где ^---------

«Д гхр(-т\ ) (к) =

(JJt) Z\x+ftlT J 13Г

о I

предел в (5) понимается по ^,-норме или почти всвду.

Заметим, что операторы Jfc можно рассматривать как потенциалы (4) с характеристика!.«!

■ J. J ' I '

При о(л мы iu.,aui даю с эллиптическим случае;когда символ

'(lil Cf) не вырождается в ^ * {С) . Обращение потенциалов (4) с ^-плотностями в эллиптическом случае рассмат -ривалось во многих работах (С.Г.Самко, В.А.Ногин, С.М.Умархадал-ев и др.). Наиболее общий результат в этом направло1Ш1 получен в работах В.А.Ногина и Н.М.Завол:;;енского, В.А.Ногина и Э.Д.Али -султановой, где в эллиптическом случае в рамках /^-пространств било построено обращение потенциалов (4) с характеристиками класса ^

А*1 - {вы ■■ I Увм\* SPP' V"' *171J

методами А00 при Pi >(~-i-[Red}+i и ГСИ при rn>n+2RtЫ соответственно (в последнем случае при KccL И I, 2, 3,...). Однако характеристик. Git) (7) не принадлежат /l* , tn^-l , поэтому потенциалы не попадают под действие теорем об обращении из указан -них работ.

Теорема об обращении операторов Jjc переносится затем на операторы Е. .

В § 6 дано описание образов Jjc и

в терминах обращающих конструкций.

Развитый ь диссертации подход, основакш'й на методе А00, позволяет охватить также некоторые гипоэллиптические операторы. Taic, в § 7 рассматриваются дробные степени оператора теплопроводности -й в ¡Rn*'. Отрицательные степени этого оператора х &t

представимы параболическими потенциалами Джонса-Сэмпсога. Положительные степени были реализованы в работах В.А.Ногина, а также В.А.Ногина и E.G.Рубина в виде ГСИ (со взвешенными разностями).

В диссертации положительные степени » 0<Rerf<n+'Z,

строятся с помощью А00.

Во второй главе исследуются дробные степени дифференциальных

а i Yt 1 I

операторов ir/X- —, в рамках пространств IR+). Отрицательные степени А указашшх операторов определяются равенства!.«!

(IRtviW-fe^JaQWW,. (6)

ud.

Ke</>0 , где

— * X^ ^/2

— «»О

л=(I,X) ел ^=Г/7Г, * -М Ш-Шх\

, -п 1

А - врацешо з " , переводящее ышиор X 2 пс"тор ^ так. что

• Операторы удовлетворяют в образах Медлинп (ни "хороших" функциях) соотношениям

где

¿Г

г

На основе (в), (9) результаты, полуденные з главе I .%ся операторов (2), переносятся на операторы .

ф л

В § 8 доказана тесреиа об o¿ рангченпости оператора из

в или из в с гссом Ш1?ПХ1) Получено также

предст.-шление потенциала в виде одномерного интеграла от

некоторой полугруппы. '

В § 9 методой ТС И на основе (3) строится обращение потенада-

1П.

г П _1гъ_ 7

лов f=JR_ {Р) , 0*Яеи<П+1,1*р<гпт { ^ ) ,

Л

в виде * л _ а Ск >4

(¿р/ю-й* Сл,шТ а ^-К

где предел погашается, по норме пространства ^п ~ {/М) ПРИ? * Р & п Г/Т

или почти вевду. Меж-

С

да тем возникает вопрос: можно ли урезание в (II) заслонить более простым и естествен!дел, вырезая шар ?

11а основе результатов, полученных в § 4, на этот вопрос дается положительный ответ. Заметим, однако, что недостатки метода ГСИ, отмочешше в § 4, переносятся и на обращение потенциалов 1К. V . Эти недостатки удалось преодолеть, используя метод ЛОО. Па основе (5) обращение потенциалов

1• строится в виде

(и*5 «.„ЩЩЩ, (12,

где К ядро (6); предел в (12) понимается по £ -норме или

почти вевду.

В § 10 дано описание образа ¡К~Ир) в терминах обращающих

конструкций. •

Я* / • /2

В § II изучаются свойства оператора" В. - (Л )

Л. от

в с символом ) , определяемого равенством

(10). Получено представление потенциала ¿}+ ™ в ШдС свертки с

ядром, представимым сингулярным интегралом, и доказана теорема о

действии оператора А в А-пространствах. Построено обращение

потенциалов ^. V . в "замкнутой форле" аппроксимативным

методом (на основе (5), (10) обращение моено построить в^вида

композиции) и установлено совпадешь образов (¿р)а $а (¿р).

В § 12, на основе (9), полученные для оператора ^^ в § II

результаты переносятся на оператор . ?

г (Г

В § 13 рассматриваются дробные степеш оператора X на

олуоси, представимые в виде одномерних дробных интегралов и роизводних.

гА

В главе И исследуются дробные степени оператора -1X1 А в

ространствах ¿р(!ЯП). Отправляясь от радиальпо-сферичсского

азлоташя (ГС -изложения)

ос </п(т) г / _ \

1 I 7 т Ц ¡у! ЬпЛг

^ V*')"'' -------

неделим отрицательные степени указанного оператора на функциях з 10 о равенствами ^ \ ^

к'ф> I К<«'>5 'И

оС

;е X =

, } 0Г. , (X ; I - полная ортопормированная

/х' ' "У"

ютп.ма с,-о[.ич1.(:г.их гац.юнпк на сшш'чио!!. с^о^-чэ ;

- размерность п«дп;юст|пнстпа сфериче

- преобра

их гармоник порядка

• .и»

ваше ."еллина фушат V ; V ~

V " <- У

ло

одащиснта Рурьс-Лапласи фунвдш V7 ; С£2~С00(1& ) - класс скоиечно дифференцируемых в Л \ (Г'] фушаип! с компактным но-телем, не содерхшиш начала координат.

В § 14 показано, что при дС ~ £ справедли-

неравенство // ' Ст1рШ, ЯЫ>0, .

Г г '

В соответствии с этой оценкой оператор ¡К ка функциях из /

понимается как продолжение по ограниченности оператора (13) с

/ х***"9 - /г

плотного в ¿р множества ^ 00 . При Л^З . - -- <, получен

явный, вид указанного продолжения в виде оператора РС-свертки:

1де ./ I £¿¿¿1

^ Л5- 9 л*

^'¡ЦГЩ) Г }

3 § 15 изучается подгруппа , , построенная по ин-

фшштезшлальиому оператору 1X1Д . Получеш оценки для нормы IIТ^ и доказана сильная непрерывность в 1р полугруппы

Лдя получено представление

и

" |-1

(К ^ (ТьЧ>)'(х)сН; (14)

«I

В § 16 на основе (14) ^.троится обращение потенциалов 1К У

¿о . Тем самим, речь фактячесш! вдет о явной реализация по -^ 2 ложителышх степеней оператора -/X/ Л • Эта реализация дана в ви-

де

/О

Кео(>0, I

~ьг

КсоС

>

é \

где (ßj(X-) - обобщенная разность функции .

В § .17 дано описание образа lK*(ip)в терминах обращшщх конструкций.

Автор выражает глубокую признательность своим научным руко-юдиталям: профессору С.Г.Пямкл и доцект?.' В.А.Нэтчг::у са поста 'от:у задач, Пистишауи аоддедхку и ашвтче к раооте.

СПИСОК РАБОТ, 0ПУ&Ж01ШПШ ПО TEJE ;j;CCE?rAl¡lii

1. Абрамян A.B. О дробных степенях диффере шщаяыiux операто-)в, инвариантных относительно растяжешш // Рук.деп. в В1ШШ '.0G.92, ID84-B92. - 43 с.

2. Абрюш A.B., Иогиц В.Л. О дробных степенях пекотирш ■I*ÍK;peinuiujibiaix операторов, коммутирующих с рас'гя::'.ешн:.ш // ii. ^ BüIíiTü 14.07.93, Ii I&öQ-iÄ3. - Ü7 с.

3. Лб[л-1'лш A.B., Поган Б.А. Дробные степени псоднороадцх Мереицщыышх операторов второго порядка с постоянна :л »нтш // Гун. ДСП. в Ш1ШЦ 23.II.S3,' & 28Ш-ВУЗ. - lite о.

4. Абр&'лнн A.B., L'onni В.А. 0 дробгагс стонолх hukuvo¡ü.4 v.eí-ciL'U'.a.Ti.'niK оне}<1то1>ов, кошутидовдих с растя; гсишси // ob. Г.'лт. '1У2-4. i'? 4. - С.79-83.

5. Абрамян A.B., Ногин В.А., Самко С.Г. Дробшс степени они-эра -/-С/ 4 в /р-пространствах // ГУк. деп. в 1йПС!?п

38.34, ÍS 2015-JJ04. - 85 с, ,

с. adui/nijun а.У,Уо^п v.ä.inUyia? .nzctéd ц/Zth f't£utiona¿ реп сг á ор- nonhí>mCfj£ri¿>.<s Ссч entlaß opeuitcts ¿a t>pa.ces // /tifotm* and bpectciB ралс&опь. i 99 4. 'Ы. Z. . P i-