Дуальные квазиаппелевы системы в задачах негауссовского бесконечномерного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ "КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТ ИТУТ”

На правах рукопису

КАЧАНОВСЬКИЙ Микола Олександрович

ДУАЛЬНІ КВАЗІАППЕЛЕВІ СИСТЕМИ У ЗАДАЧАХ НЕГАУССОВОГО НЕСКІНЧЕННОВИМІРНОГО АНАЛІЗУ

01.01.01 - Математичний аиаліо

Автореферат дисертації па одобуття наукового ступеня кандидата фіонко-иатематнчних наук '

Київ - 1997

Дисертацією с рукопис

Робота виконана на кафедрі математичних методів системного аналіоу Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут”

Науковая керівник:

доктор технічних наук, професор РОМАНЕНКО В. Д.

Науковая консультант:

кандидат фіомко-математичних наук, доцент УС Г. Ф.

Офіційні ооовеята:

Доктор фіоико-математичиих наук, професор КОНДРАТЬЄВ Ю. Г. Канд. фіоико-математичиих наук, доцент КОНСТАНТИНОВ О. Ю.

Провідна установа: .

Фіоико-технічний інститут ниоьких температур ім. В. І. Всркіна ПАН України, м. Харків

Захист відбудеться ■±-лм_ .1997 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 01.66.01 при Інституті математики НАН України оа адресою: 252601 Київ-4, МСП, вуя. Тсреіцснківська, 3. .

З дисертацією можна оонайомитк^ь в бібліотеці інституту

Автореферат рооклаио . 0,^__________1997, р.

Вчений секретар

спеціаліоованої вченої ради ■

доктор фіо.-мат. наук ^ * ГУСАК Д. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність тами. Робота містить дослідження л нескінчен-новймірпого аналізу, і хни с одіган о актуальних напрямків сучасного функціонального аналізу та його застосувань.

Аналіз функцій нескінчепновиміріюго аргументу, оаночаткова-шш в роботах В. йольтерра, М. Фрєшс, Р. Гіто, II. Лоні, ÍI. Віне-ра, в останні ЗО років роовпвався під оначліш впливом актуальної проблематики сучасної математичної фіоккп, о одного боку, і сто-хастзчааго аналізу та теорії (зображень нескінчєнношшіршіх груп,

о другого. Найбільш рооробнешш рооділом тіескінчснноішмірпого апаліоу о чисяешпши оастосувалнямн с гауссінськпй і, оокрема, так сзашш алаліо білого шуму. Під останнім рооумісться детальна т(к-сріл узагальнених функцій нескінченної кількості омішшх іо спаріо-аапалм осгшпшіх та узагальнених функцій ра допомогою іптегрукші-пя відносна гауссової міри (див. монографії Ю. М. Бер саамського та Ю. Г. Кондратьева "Спектральные методи в бесконечномерном гшалтісг”,'Т. Хідп, Г.-Г. Куо, Ю. Поттгоффа та JI. Штрайта "White Noise. Au Ínfinite-Dime^ioncil Calculus”). Разом о тем п останні 5-10 років істотно оріс інтерес до псгауссіпського пссчітепнопимірного апаліоу. Так, рісші питаная ауассонівсьшго апаліоу та ного 'застосувань досліджувалися п роботах II. Іто та І. Кубо, II. Кре, А. Дсрмуна та Л.-М. By, Г. Ф. Уса, Ф. Е. Бепта, Л. Штрайта. Значного пр^і росу в рооробці пегауссіиського аналізу досягнуто а рамках спектрального підходу, оапропапопапого в 1991 році ІО. М. Керсоанським і ро-овипутого в подг'льпніх роботах ІО. М. Версоапського та його учніп. Зокрема, цей підхід дооволпп деталіоунатя побудовану в 1970-ті ргь кп ІО. М. Береоанським, ІО. Г. Копдратьсвим та ІО. С. Самоилепко теорію уоагальненнх фупкцій оі спарюванням підносно нсгауссових мір. ІЗ тому ж 1991 році ІО. Л. Далеііьклй запропонував буд}'пати аналіо оа гладкими мірами оа допомогою нескінчетювпмірнпх

І

апологів многочленів Лгшслл та біортогональпої системи функцій нескінченної кількості оміннах. Рооробці та узагальненню цього, так ованого біортогонального, підходу в негауссівському нескінчеи-новимірному аналіоі та його оастосуваннях присвячено велику серію робіт 1992-1996 рр. С. Альбеверіо, Ю. Л. Далецького.К). Г. Кондратьева, Л. Штрайта, Г. Ф. Уса, В. Вестеркампа, Й.-Л. Ява та інших. Біортогопальний аналіо, пов’яоаний о гіпергрунами та операторами узагальненого осуву, в 1995-1996 рр. вивчався Ю. М. Бе-реоанськнм та Ю. Г. Кондратьсвим в модельному одповимірпому випадку та Ю. М. Бсреоанським в нескінчсішовнмірпому.

Данна робота присвячена побудові одного о варіантів узагальнення біортогонального підходу в нескінченновимірному аналіоі, дослідженню цього узагальнення та його оастосувань.

Мета роботи. Метою дисертаційної робота с '

— побудова та'дослідження функціональних просторів негаус-сівського нескінченвовимірного аналіоу на основі уоагальне-них аппедевих та кваоіашіелевих поліномів та двоїстих до них систем уоагальнених функцій;

— дослідження роов’яоності та властивостей роов’яоків нескін-

- ченновимірних диференційпнх та псевдоднференційпих рівнянь, п< і’яоапих о операторами узагальненого осуву, в шкалах вищезгаданих просторів.

Методика досліджень. У роботі використовуються методи не-скінчепновимірного аналіоу, теорії уоагальнених функцій та теорії функцій комплексної омінної на лілійних топологічних просторах.

' Наукова иоаиона роботи:

• Побудовано та досліджено система уоагальненнх кваоіаппе-левих'поліномів та пов’яоані о ними аналоги просторів Кон-дратьсва основних функцій.

• Доведено інваріантність цих просторів для широкого класу

твірних <*ункцш.

• Побудовані системи упагальненнх функцій, дуальні до довільних систем поліномів Аппеля та кваоіапнелевих поліномів.

• Вивчені пов'язані о цими системами узагальнених функцій аналоги просторів узагальнених функцій Кондратьева, для яких доведені характерно аційні теореми.

• В шкалах вищезгаданих просторів основних та умагальнених

функцій побудовано роов’яокн нескінченновимірних дифєреп-ційних і псевдодпфереппійних рівнянь,.оп'яоашіх о операторами узагальненого осуву. .

Практична та теоретична цінність. Одержані результати дають основу дзя розробки нескіпченвовимірпого апаліоу оа ймопір-ноешши мірами досить оагального вигляду. Крім того, вони можуть використовуватися для розв’язання широкого класу нескінчеи-повгтірпнх псевдодиферепційвих рівнянь' та вивчення операторів узагальненого осуву в просторах негауссівського аналізу.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної робо ти докопідалйсь та обговорювались на:

• семінарі "Оператори математичної фіонки* відділу функиіо-

• кального аналізу інститути математики ПАН України (керів-

ник семінару - академік НАНУ Ю. М. Берсоанськан);

• семінарі "Йиозіртсні міри у пескіпчепнозЕМІрних просторах" інституту математики II АН Україна (керівник е«*м і пару

- академік НАНУ ІО. J1. Далецькия);

• VII кримській осінній міжнародній математичній іиколі-сим-f нооіумі по спектральним та еволюційним оадачам ((’саа^:тополь, Ласні, вересень 1996 рогу);

• 5-ти міжнародних наукових конференціях.

Публікації. По темі дисертації опубліковано 8 робіт, список

яких наведено нижче. Робота [і] бапусться па ідеях Г. Ф. Уса, але

формулювання й доведення теорем належать дисертанту. У роботі [8] ооначення міри, поз’яо&пої о симетричним бішш шумом, та ідея застосування біортогональпого підходу належать Г. Ф. Усу, оасто-суваїшя викопане дисертантом. •

Структура та обсаг роботи. Робота обсягом 132 сторінки складається іо вступу, трьох роаділів, списку деяких пооначень та списку літератури, що містить 51 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, проводиться огляд близьких оа напрямком робіт та стисло формулюються основні результати оа розділами.

У першому рсюділі вивчаються нескінченвовишрні дуальні систЗ-ми Аниеля (що складаються о систем узагальнених поліномів Аппеля та дуальних да них систем узагальнених функцій), а ташвд пов’язані о цими системами аналоги просторів основних та узагальнених функцій Кондратьева. Рооділ складається о трьох параграфів.

Перший параграф містить попередні відомості, необхідні для подальшої роботи: нагадується означення уоагальвених нваоіаяпело-вих поліномів однієї ошіпюї та стисло рооповідасться про оасго-сування цих поліномів для роов’яоування псевдодвферецційних рівнянь; нагадується ряд понять і реоультатів аналіоу функцій ва ядерних просторах, теорії годоморфних функцій на локально опуклих просторах, теорії міри на топологічних просторах, теорії гіперкомплексних систем □ локально компактніш носісм (Ьі-гіпергрун).

У другому параграфі вивчаються системи уоагальвених поліномів Аппедя та пов'язані о ними простори основних функцій.

Нехай оаданнй ланцюжок N С И С де N - ядерний сена-рабедьний простір Фреше, Н - дійсний сепарабелышй гільбертів простір, вкладення N Ті топологічне (тобто плотне та неперервне). Індексом "С пооиачатимемо комплексифікації просторів.. Спа-

рюванпя між N' та N поопачимо (•, •). Нехай 7 : —► С належить

алгебрі ростків голоморфннх у О Є Лс функцій НоІо(Л^с), у(0) ^ О, а : N0 -> Ъ оборотна в околі О Є А?с та раооы о оберненою належить алгебрі ростків голоморфннх у 0 6 Л'с функцій І1о10і Ус), до того ж а(0) = = 0. Покладемо ет,ст(0;г) := 7(в)е^г,а^,

в Є Л'с, г Є ^¿. ТЬді (ф - симетричним теиооршій добуток)

е''°{0-,г) = £ 0®"), Є Лгс®".

Оопатешіа 1. Р'1’-0' := {(Р,7,“(0.У;(п)> = ^(,,) Є Лг|", п Є 2+} напнемо системо» (нескінченповимірннх) уоагальнеиих поліномів Аппеля.

Запровадимо аналоги просторів основних функцій Копдратьспа. Скажемо, що внопачена на Ы' функція ір(-) = )2^0(-^>п'“('). <Р,м,)і 4>{п) 6 належить {7{р)1ъа, 0 Є [0,1], р, <7 Є М, якщо

іК,,,*7.* := Е(п!),+/,2в"і^(")и < ‘

л~0

Позладеио (Юу.о •■= РГ

Теорема 1- а інваріантні відносно 7 та в як топологічні про-

стори (тому для них можна прийняти поон&чення {ЯУ ). Більш того, виконується наступна топологічна, рівність: (ТУ)* = „(У),

де - овужешш на ТУ' елементів іо простору цілих функцій

першого порядку мінімального тину на Л’£.

Нехай Р(ЛГ') - мпожппа всіх неперервних поліномів на Л'1 о топологією покоординатно! обіжності. Визначимо па Т>(ЛГ') оператор диференціювання порядку п іо сталим коефіцієнтом є М<^п, поклавпга на мономах є * Є Л/')

1 - * (т — п)!

Де l(m>»} “ індикатор (m > п}, та продовжуючи оа лінійністю.

Оператор {Ф(я\ (а-|(£>))®п), є ввоначасться оа до-

помогою оокладу в рзд Тгйдора голоморфно! в 0 € Ліс фунщії

*<•):= <#*">, (а“* (•))*">.

Теорема 2. Уо&гальиеиі поліноми Аппсля (Р^'а(х), ір^), х Є N1, у>(*») g Nq”, с уоагадьнешши степенями відносно оператора (Ф<">,(a-‘(D))®">, Ф<"> Є //¿®", тобто

<#<»>,(a-*(i)))®->(P*“(i).V(B,)> =

Властивості оператора (Ф*"\(а_1(І)))®") використовуються при побудові дуальних систем уоагальвених функцій та при роов'яоував-ві вескіпченновимірішх псевдодвферепційвих рівнянь.

У третьому параграфі будуються система уоагальвених функцій QJ*°, біортогонадьних до Р7,° в сенсі двоїстості, породженої скалярним добутком у просторі Laде ц - аналітична невироджела ймовірнісна міра, та вивчаються аналоги просторів узагальнених функцій Кондратьева. (Ймовірнісна міра напивається аналітичною, якщо П перетворення Лапласа Ім(>) := >fi(dx) є Ноіо(Лс); та

мевироджемою, якщо для <р Є V(N') (<р = 0 (mod ц)) {<р & 0).)

Нехай Р^(Л ) - спряжений до V(N') відносно Lj(7V',p) простір. ІТсоначимо черео ((■, *)),, спарювання, породжене скалярним добутком у La(JV',/j), черео II • ||ьа - норму в Lj(7V',/i). Оператор, спряжений до <ф(т>,(а-1(І)))®га), #<»>.€ N'(?m, Відносно Lj(W',/i) поодо-чимо (^т>.(а_,(і>))®">; Є ЦІЦІП.'РІДІГ)). •

Теорема 3. Для системи уоагальнених поліномів Аппеля Р1'’“ існує едина" б ¿ортогональна система уоагадььеиих функцій

•) := £ ¿((#(m)®e*.(a-,(^»S(m+*)>;i)(-) є ТЦІҐ),

»=о

Ф(т) є л£®т, р* Вк іо роокладу е(в) := Д Іі {?*,«**)•

Співвідношеная біор тогоиальиості нас вигляд

тг^(Ф{т)і-)ЛР:'а( ),<Р{п))Ь = ^(п) Є лг|-.

Теорема 4. Кожну узагальнену функцію Ф Є можна пред-

ставити у вигляді

• Ф(-) = ЕадФ(т>;-), Ф(ж)е^§", (і)

т=0

де послідовність ядер (ф^т) }т=о еднооначно вионачасться .узагальненою функцією Ф. Навпаки, кожна послідовність }„=(>, Є ТУс®”*, виопачас узагальнену функцію Ф Є ^(Л") оа формулою (1).

Ооначешш 2. Сукупність уоагальнених функцій {<2£т(Ф(т*; •) : £(»•) е п» Є 2+}, назвемо системою.

Теорема 5. Дяг будь-яких 7, а, ц існують р\ <7' Є М такі, що для усіх р,Я Є N ; р > ¡/, д > </ (?/г)‘ 7 „ *-* Іл(№,р) топологічно.

Незсай С^_р)і£Л(а>#1 С - гільбертів простір функцій вигля-

ду (1) па ¿V' о першзго

_ ІМІІр,•-= £ 2_,т|Ф(т>|?.р < оо, <?<"> Є Я?£с,

* . т~0 *

(Юї*а,іі “мі 1іпі?,,5Рі(?^_р)і‘і7іП (1. Завдяки біортогональїюсті Р1’0- І Р2’°-СПСТЄМ простір («_р):;>%п>(, с спряженим ДО (У,.),‘іГО відносно Ьа(^',/») прп р > р\ ? > ї* (р' та ^ як у теоремі 5),

- до (Я)1 (і тому не оалеждть від у та о; поопачнмо його (ЛП“1).

Нехай Ф Є (./V)“1. ТЬді існують р, ? Є N такі, щоФ€ (Н-р)-\п,ал (не вменшуючи оагадьпості ваажасмо р > р\ </ > д', р' та ^ о теореми 5). З іншого боку, е7,в(<?;-) Є (Ир)^і7іП, якщо 2Т|0|£ < І. Таким чаном, для достатпьо малих (у пкаоаному сенсі) 0 можна покласти

„Ф)(0) :={(Ф(-),с7’“(*;)»>.

Теорема 'б (характеризаційна теорема). 5’7:Пі)і-псрстворсііия -тоиологічиий іооморф'юм іа (N)~l на Ноіо(^с).

У другому рооділі, що складається о 3-х параграфів, вивчаються

пескіиченновимірпі дуальні квашапнелсві системи і породжені шіші

аналоги просторів основних та уоагаяьнених функцій Кондратьева.

Оскільки уоагальнені поліноми Аппеля с частинним випадком уоа-

гальнених киаоіаппелевих поліомів, багато рсоультатів 1-го рооділу

можна отримати іо реоуяьтатів 1І-го як частинний випадок. Але

об'єднання ропділів І і II в одші недоцільне: дослідження пескін-

чеішоиимірних дуальних систем Аппеля дооволяс отримати більш

детальні результати, ніж дослідження дуальних жваоіаппелевих си-

І

стсм; і, крім того, в цьому відноспо простому випадку доведення с досить прооорими. Зауважимо, що павдаки перехресним носилап-■L&M в роодідах І та 11 жодне доведения не повторюється. - ' ■ У першому параграфі вивчаються системи уоагальпешіх кваоіап-пелевих поліномів та пов’япані о ними простори основний функцій.

Нехай х : С -*■ С - цілг» функція, нормована умовою х(0) = 1, яка оадовольняс додатковому припущенню: у роокладі х(и) = ¡CnLo X» Ф 0 Vn € Z+. Нехай 7 та о такі ж, як і вище- Покладемо хт,®(0; г) := 7(0)х({*. «(#))). О Є Nq, z € Nq. Маемо

Х7’0(в;г) = £^<Р^’°(г).в®"). (2)

nsO *

/>хл.»(2) € Wc®". Зауважимо, що коли х — ехр, /^Ір,7*°(лг) = /»*•“(«) - ядра вескінчспповимірних уоагальнених нолиномів Аппе-ая. *

Означення 3. Сукупність рхлг»° := {(Р^,-,,а(ф),^п^) : Є

Nq", п Є Z+} ваовемо системою вескінченновимірних уоагальпе-пнх’кваоіаппедсвих поліномів. > . -

Аналога просторів основних функцій Кондратьева оанропаджу-готься таким самим чином, як і в попередньому рооділі (але оаміеть ядер Р^*°(*) використовуються ядра Р£''І,а{-)). Пооначимо ці простори (пр)1ХіУ>ОІ (Ю1хп>а.

Теорема 7. (Юх,-г а с 7< а-іиваріантииии як топологічні простори (точу для них можна прийняти пооначєшія (МУХ). Крій того:

а) Якщо існує додатня неспадна функція Ф дійсного аргументу така, що |х(**)і < Ф(|и|) Уи Є С, то кожний елемент ¡о (ЇЇ)1Х с звуженням на Ы' деякої цілої на функції. Якщо до того ж існують Со > 0 та Сі > 0 такі, що Ф(г) < С0еСіГ, то (Л^ Є (^)іхр — І^У-

б) Якщо коефіцієнти Хп ряда Тейлора х задовольняють умові: існує Ч € N таке, що 1/|х„| < Пп, Чп Є Ї+, то №)1 С (ЛГ)^.

Вшначпиона 'Р(.ДҐ) оператор (ф<п), ¡о сталим коефіцієнтом фї"> Є Л^®я, поклавши па мономах (^т) є Л^?”\ т є Л")

:= 1іт>п) .--!Х-~П- <яв("-">§0(">, у<”))

" (Г71 •— П).Хт .

та продовжуюча оа лінійністю. ‘

Аналогічно (в_|(/)))®п), € N<P‘n, визначається опе-

ратор (^п^1(в~|(/>х))®"). Для нього справедливо теорема 2 з заміною Р£а(х) на РДл,а(г). .

У другому параграфі будуються системи уаагальнених функцій ЯУ’а. дуальних до Рх,7,° в сепсі двоїстості, що породжена скалярним добутком у деякому гільбертовому просторі Я, та вивчаються аналоги просторів уоагальнених функцій Кондратьева.

Нехай Н - сепарабельиий гільбертів простір функцій /: Ы' —► С, що містять в собі Т(М'). Пооначимо черео || • ||ц норму в ньому.

» .

Нехай П 1|| = 1 та виконані наступні припущення на Н.

1. Скалярний добуток в Я с невироджений у тому сенсі, що для •р Є (ІМІи = 0) => {<р{х) = 0 дяя кожного * Є ^У').

2. Ісиують р,ро Є N. р > ро, С > О, К > 0 такі, що оператор вкладання Нр в Тіро кваоіядерний (квазіядерними ші наоивасмо оператори Гільберта-Шиідта) та |||Р*,1,,<1(*)І-рІІн ^ *»!С*К, п Є 2+.

Я. Вкладеная 7>(^) в Я с топологічний. ..

Для всіх у та а, що роогдядаються, о припущення 2 випливає існування С^а > 0, Къа > 0 таких, що |||Р^л,а(-)1-рІін < пІС^, р як у припущенні 2. ■

Нехай Р'„(№) - простір, що с спряженим до "Р(№) відносно Я. Пооначиио ({■,■))н спарювання між елементами 7^(7^') та ‘Р(ії'), породл.ене скалярним добутком в Я. Нехай

4=0 ‘

Фіш) € ^ е ^8* з роокладу 1/Ы0)«1,Х«-.«(«)»»//) =

¿[(Єп,в®'*). Для системи уоагальнених функцій •)

мас місце теорема 3 іо оаміною РЦ'а(') на Р*,'г,а(-)| а також теорема

4 іо оаміпою 'Р'^Ы') на

Ооііачешш 4 Сукупність уоагальнених функцій {Я™т(Ф^т*;•) : ф(т) Є Л^т, т Є 2+}, наовемо СІ*/І',“-системою.

Для просторів (7ір)\іХ>і,а та Я мас місце аналог теореми 5 про вкладення, який використовується при вивченні аналогів просторів уоагальпених функцій Кондратьева. Останні (запроваджуються як

і п першому рооділі, але іо оаміною Яр%{Ф^т^>') ™ ахнХ(*{т)г). Приймемо ДЛЯ НИХ пооначення (^-р)1^,кл,а,Н> (Юх/І.а.Н' Простір (П-рК.хл,°.Н с спР“жении ДО СНрУЧ1Х<ъа відносно Я, якщо р,я досить великі. ТЪму (Л/)“1^ а н с спряженим до (АО*. ^ цього ви-пливас його інваріантність відносно у та а, тому ми приймемо для нього иооначення

Для Ф Є (Н)~‘ц ошіачимо 5Хі^іаін-церсіиоренця:

• (5*л,а,нФ )«?):=((Ф(-),Хт>"(«;-)))н. '

де в достатньо мала. Х&рахтериЬаційна теорема в залишається справедливою іо оаміною 57,а,«і на 5Хі7ів,н, (ЛО-1 на (//)~1. .

У третьому параграфі вивчаються так оваві пі-кваоіаппелеві дуальні системи, що с узагальненням дуальних хваоіаппелевих систем. Узагальнення пояягас в тому, що ціла функція х, що входить у твірну функцію уоагальнених хваоіаппелевих поліномів, мас тепер вигляд х(м) = х**Чи"‘)> Де Діла функція х*1* оадовольпяс припущеп-ням, накладеним у першому параграфі на х> пі Є N. При цьому розглядається лише випадок а = і<і, а на функцію <у накладається додаткове обмеження, що полягає в тому, що у деякому околі 0 Є Ліс 7(0) = Ж<7й.0®й>, 7Я Є Л^Я, де Я := пп,. ТЬді для х7)М(»;г)

мас місце рпоклад (2) іо оаміною п на п.

Ооначення Б. Поліноми о-ядрами Р~,7,і<,(г), п = ппі, назвемо П|-іваоіаппедевими поліномами.

До системи пі-квазіаппелевих поліномів можна побудувати дуальну систему узагальнених функцій, аналоги просторів основних та уоагальпепих функцій Копдратьсва і т.д. Властивості ціх об’єктів подібні до властивостей відповідних об’єктів, пов’язаних о дуальпи-ми кваоіаппелевими системами. Необхідність вивчення Пі-кваоіап-пелевйх систем викликана потребами застосувань (див. опис §111.4).

У третьому рооділі, що складається о чотирьох параграфів, наведено декілька прикладів застосування біортогопального аналізу, побудованого в дисертаційній роботі, а також розглянуто питапия про його воаємоов’ягюк а одновимірпим біортогональним аналіоом, пов’язаним о' гіпергрупами, та о узагальненням останнього па пе-скінченновиміршій випадок.

В §1 вивчено псевдодиференційні рівняпая на просторах основних -та уоагальнених функцій, рооя’яоки яких будуються оа допомогою дуальних хваоіаппелевих систем. Т^ка методика є нескіпчсгіповимір-яим аналогом класичного методу розв'язування диферищійних та

п

ііссвдодифсрепційшіх рівнянь оа допомогою поліномів Ашіедя. Нехай 7 та а такі, як вище. Рооглянемо рівняння

' 7 (сГ‘(1>х))у =/, (3)

PS 7(a~l(Dx)) вионачаеться оа допомогою роокладашш 7(в-|( )) Є Holo(T^c) d ряд Тейлора та являє собою псевдодифорепцшпий операг тор песк'шчснпого, взагалі кажучи, порядку, вионачсшш па V(N'). Нехай 7(0) := 1/у(0).

Теорема 8. Лехай v Є Ho!o(./Vc), **(0) Ф 0» Р,Я Є N, р Є [0,1].

Рівиішня (3) коректно роов’яоие, ирнчоиу для кожною

/(■) - Є /п Є JV«"

о=0 ‘ . ‘

poau’sooK une вигляд .

»(■) г (7(а-'(^))/)(-) = E<P^'a(-),fn) Є

п=0

Якщо додатково p,q Є N .такі, що ісвус Ро Є N, ро < р таке, що II‘p,poIIhs < ОО та j||»p^||hs < 2«/*, - оператор Ькладаияя

в INIns - норма Гідьберта-Шиідтл, р такс, що вир^=р |7(0)| < оо тавир|ви=/,|7(в)| < оо, Р = 1, то у € (WP)l-».x.".<»- В чаетшшому вш/адку, коли / є (W)*, V Є (-AOJ..

Якщо 7 - поліном та р~ шах{р € N : 7„ Є с}, то А-1“ всіх

Р > рооа’лоок (3) у Є (Wp)J,y>l,ia.

Аналогічні результати мають місце й для пссвдодифереиційпих рівнянь иа просторах уиагальнених функцій; роль Р*л,а-системл и цьому випадку грас Q}(’’,'“-cHCTeua.

У другому параграфі (запроваджується й вивчається оператор уоаі сільлрікіи) осуву Т*, у Є N’, на просторі осиовпих функцій (-W)*-

Цей оператор відіграє вря х Ф ехр ту ж роль, що й овячайнин осув аргументу при % — ехр.

Оаначення 0. Нехай Хі7>а такі, як вшце, <р = Е^о(Рп',1,0,,v^n*) Є (A0*t 'Р^ € N®". Визначимо оператор уоагальпепого осуву Г*, у Є N', формулою

' (т»(х) = f;<рх.х«»,<.(■»),<.(l))V,(m)>. •

п=0 ' ‘

Неважко бачити, що (T*tp){x) = (x((v,Dx))<p)(x), х,у € N', ір Є (Юх- Це співвідношення дооволяс використовувати ДЛЯ вивчен-пя Т* попередні результати. Легко перевірити, що для х = ехр (7J,pv>)(*) = <р(х + у), тобто TJ*P с оператором осуву аргументу.

Домовимося писати Т*,ж оамість Т%, якщо необхідно підкреслити, що Т* діє за змінною х. '

Теорема 10. Оператор уоагальненого осуву Т* : (N)^ -v (N)lx мас наступні властивості: '

1) (асоціативність) Tf'*(T*<p)(x) = ТХ'ж(Т*ір)(х), x,y,z Є Nq,

¥>€(ЛГ)*; . . :

2) (комутатившсть) T*'z(T*tfi)(x) = T*’*(T*v>)(a!). x,y,z Є JV£,

• Ч> Є (ЛОІ; • •

3) (7?v>)(*) = (2?V>)(y).

За допомогою оператора уиагальиеного осуву Т* будуються апа-лог уоагальпепоТ твірної функції Q$7'e-cHCTeM0, аналог (7-перетво-ревня та аналог уо&гаяьвеиої похідної РадонагНиходима.

У третьому параграфі роогдадасться ов’яоок дослідженого в дисертації біортогонального апаліоу о одновимірпим біортогопальним апаліоом, поя’яоаяим о гіпергрупами, та уоагальненням останнього на несхінчеотшаимірний випадок. .

У четвертому параграфі доводиться можливість побудови оа схемою другого рооділу біортогопальної квааіаппелевої системи, нов’я-

із

і • • •

оалої о одновимірним розподілом Релея, що грас роль нормального рооподілу при вивченні сферично симетричних випадкових блукань. Зарай оамість перетворення Лапласа використовується перетворення Пшкеля, тому застосування реоультатів саме рооділу II, а не розділу І, с істотним. Тккож дано оастосувавня схеми рооділу II у • нсскшчеииовимірному випадку до побудови так ованого аналізу симетричного білого шуму. '

• ВИСНОВКИ

'Лисим чином, в дисертації отримані тахі основні реоультати:

' • побудовані та досліджені системи узагальнених поліномів

Аппеля та кваоіаппелевих поліномів нескінченновимірного аргументу; •

~ • оа цими системами побудовані шкали просторів основних

функцій Кондратьева і доведені теореми про внутрішній опис таких просторів та їх інваріантність для широкого класу породжуючих функцій; ‘ •

• побудовані і досліджені дуальні хваоіаппелеві системи уоа-гальнених функцій та пов'язані о ними аналоги просторів уоагальнених функцій Кондратьева;

• доведені харахтертоацінні теореми дая .просторів уоагальнених функцій в термінах інтегральних перетворень;

• в класі вшцеогаданих просторів основних та узагальнених функцій побудовані та досліджені класичні та узагальнені розв’язки псевдодиференційнях рівнянь, пов’язаних о операторами узагальненого зсуву;

• дано застосування дуальних кваоіаппелевих систем до побудови аналізу симетричного білого шуцу.

Осповні результати дисертації опубліковую її наступних роботах:

1. Качановськнй М. О., Ус. Г. Ф., Узагальнена система Аппеля в гауссівському одновхшірному аналізі, Вісник Київського універ-

ситету, серія фіо.-мат. науки, Nt>. 2 (1996), 11-16.

2. Kachanovsky N. A., Biorthogonal Appell-Like Systems in a Hilbert Space, Methods Fanct. Anal. Topol, v, 2 No. 3-4 (1996), 247-264.

3. Kacbanovsky N. A., Generalized Appell Systems and Pseudodifferential Equation», Proc. of VI Crimea math, school. (1996), 279-282.

4. Качановский H. А., Об одном обобщении виковского исчисле-

ним о негауссовом анализе, Сборнях статей по материалам I международной научно-практической конференции "Математика в психология в педагогической системе "Технический университет" (сентябрь 1996 года, г. Одесса), 49-51. •

5. Качановский Н. А., Применение дуальной системы Аппеля и пространств Кондратьева для решения некоторых дифференциальных и псевдодиффсренциальних уравнений, Теоисы докладов II междунар. конференции "Дифференциальные уравнения я их приложения" (сентябрь 1996 года, г. Саранск, Россия), 139. '

6. Качановский Н. А., Применение обобщённых систем Аппеля для решения пссвдодифференцьлльных уравнений, П’ята міжнародна наукова конференція іи. академіка М. Кравчука (травень 1996. р, . м. Кяйв), теов доповідей, 176.

7. Kachanovsky N. A., Differential Equations in Generalization о/ White Noise Analysis, Conference on Stochastic Differential and Differentia Equations (Györ, Hungary, August 1996), Abstracts, ¡99-100.

8. Kachanovsky N. A., Us G. F., Dual Appell-Like Systems in Symmet-

ríe White Noise Analysis, Теоисы докладов международной иауч-вон конференции ” Стохастический и глобальный аналио” (ян-варъ 1997 года, г. Воронеж, Россия), 26. '

Користуючись нагодою, хочу висловити щиру подяку своїм науковому керівникові професору Романенку В. Д. та науковому консультантові доценту Усу Г. Ф. оа неоціненну організаційну допомогу,

постановку оадачі та постійну увагу до роботи.

Качановский Н. А. "Дуальные кваоиалпелевы системы в (задачах пегауссового бесконечномерного аналиоа”.

. Диссертация на соискапие учёной степени кандидата фаоп2С>-ма-тематических наук по специальности 01.01.0Ґматематический алалио. Диссертацией является рукопись. Институт математики НАН Украины, Киев, 1997. %

' Защищается диссертация, посвящённая построению и исследованию негауссового бесконечномерного.аналиоа с помощью обобщённых дуальных кваоиаппелевых систем. В качестве примеров применения полученных результатов исследованы псевдодифферепци-альные уравнения на пространствах основных и обобщённых функций; а тахже введены и ноучены дуальные кваоианпелсвы системы, связанные с распределением Ролея й симметрическим шщеровским процессом. .

Kachanovsky N. A. "Dual Appell-Like Systems in Problems of non-Gaussian Infinite Dimensional Analysis".

Doctor of Philosophy thesis, speciality 01.01.01 - mathematical analysis. The thesis is manuscript. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 1997. .

The thesis to be defended is devoted to construction and investigation of non-Gaussian infinite dimensional analysis with a help of generalized dual Appell-like systems. As the examples of application of results we obtained we investigate pseudodifferential equations on the spaces of test anti generalized functions. We also introduce and study the dual Appell-like systems connected with Ilaylaigh distrubution and symmetric Wiener process.

Ключові слова: нескшченіювимірний аналіз, теорема про ядро, уоагальїіепі квашдпш'леві поліноми, біортогояальна система, узагальнені функції, ііегкигчекиовимірні псевдодиференційні рівнАїшя, оператор узагальненого осуву, розподіл Релея.