Движение твердого тела переменной массы с закрепленной точкой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

^ КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ > УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

л.

На правах рукописи

ЮСЕФ ИБРАГИМ СУЛТЫ

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ

(Специальность 01.02.01. — теоретическая механика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы - 1994

Работа выполнена в Казахском государственном национальном университете имени Аль - Фараби на кафедре теоретической механики

Научный руководитель - член корреспондент HAH PK, доктор

физико - математических наук, профессор

Сапа В.А.

Официальные оппоненты: Доктор физико - математических наук,

профессор Тюреходжаев А.Н. кандидат физико-математических наук, доцент Джаембаева Р.Т.

Ведущая организация Институт механики и машиноведения HAH PK.

Зашита состоится $ iM^J?^ 1994г. в 1500 в ауд. 3 на заседании спецсовета К14/А 01.02 по адресу ул.Масанчи 39/47 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ Аль - Фараби. [г

Автореферат разослан ' ^ ^ ^ _ 1994г.

Учёный секретарь специализированного совета, кандидат технических наук, доцент

■т

Рахматуллаев А.Ш.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Создание основ теории движения тел переменной массы русскими учеными И.В.Мещерским и Н.Э.Циолковским положило начало научно-техническому прогрессу в новых областях: ракетодинамике, самолетостроении, космонавтике. Большое значение при разработке вышеназванных научных проблем имеет решение уравнений движения тела переменной массы с закрепленной точкой с полостями, заполненными жидкостью в нолях электрических, магнитных и других сил, природа которых может быть самой разнообразной.

В связи с этим, задача о движении тела переменной массы с закрепленной точкой, находящегося под действием моментов сил, являющихся функциями времени особо актуальна.

Цель работы заключается в исследовании движения твердого тела переменной маосы с закрепленной точкой, находящегося под действием заданных моментов сил, являющихся функцией времени.

Методы исследования. Основные результаты получены строгими математическими методами. Также применялись методы теории дифференциальных уравнений, теории эллиптических функций, численные методы.

Научная новизна работы заключается в решении задачи о движении гироскопа переменной массы с самовозбуждением, когда действующий на него момент является функцией времени. Кроме

того представлены исследования движения в случаях, когда присутствует сопротивление среды или когда абсолютная скорость отбрасываемых частиц отлична от нуля.

Получены уравнения движения около неподвижной точки твердого тела переменной массы с полостью, содержащей жидкость и их решение для частных задач.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в конструкторских бюро, создающих ракеты различных классов, в самолетостроении, а также при чтении курсов лекций по таким дисциплинам как динамика космического полета, механика тел переменной массы, теория возмущений.

На зазрггу выносятся следующие основные результаты:

- решение задачи с движении гироскопа переменной массы с самовозбуждением в некоторых частных случаях, когда действующий возбуждающий момент является функцией времени;

- исследование движения гироскопа переменной массы в среде с сопротивлением, когда момент силы сопротивления пропорционален угловой скорости его вращения;

- решение задачи о движении тяжелого твердого тела переменной массы с закрепленной точкой с самовозбуждением при отличной от нуля абсолютной скорости отбрасываемых частиц;

- вывод и решение дифференциальных уравнений движения около неподвижной точки твердого тела переменной массы с полостями, полностью заполненными жидкостью в случае, когда:

1) реактивная сила задана абсолютной скоростью отбрасываемых частиц, '

2) масса тела изменяется таким образом, а внутренние циклические движения жидкости • в многосвязанных полостях таким,

что центр масс системы перемещается только по оси динамической симметрии.

- вывод динамических уравнений, типа Эйлера, движения тяжелого твердого тела переменной массы с одной закрепленной точкой, имеющего полость, целиком заполненную жидкостью в случае, если эта жидкость имеет потенциальное движение (без вращения частиц жидкости) и абсолютная скорость отбрасываемых частиц не равна нулю.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на:

городском методическом семинаре по теоретической механики (город Алма-Ата, 1993г.).

на' научных семинарах, кафедры теоретической механики КазГУ (1992, 1993 г.г.)

на расширенном семинаре кафедры теоретической механики КазГУ (город Алматы, 1994 г.)

Публикации. По результатам диссертации опубликовано три печатные работы. ^

Объем работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы [ 55 наименований ]. Диссертация изложена на 122 страницах машинописного текста, содержит 17 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАВОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность работы, приводится краткий обэор литературы, сформулирована цель исследования и излагается краткое содержание работы.

Первая глава работы носит обзорный характер, в ней представлен вывод динамических и кинематических уравнений типа Эйлера тела переменной массы с закрепленной точкой.

Вторая глава посвящена решению задачи о движении гироскопа переменной массы с самовозбуждением, под которым понимается гироскоп, движение которого вызывается или поддерживается некоторым моментом М. Рассмотрены следующие частные случаи движения гироскопа:

1. На симметричный гироскоп (между осевыми моментами инерции выполняется соотношение А - В) действует возбуждающий момент вида:

(е) (г) Мх - Мх + Мх - Const

П./

(е) (г) (в) Сг) „ My + My - М2 + М2 - О

где v .У.7- - оси подвижной системы координат Oxyz, жестко связанной с твердым телом (рис.1); _

..(е) .,(е) ..(а)

Мх , Му , М2 - проекции момента внешних сил на оси системы Охуг;

(Г) (Г) (Г)

Мх , Му , М2 - проекции момента реактивна сил на те же оси

В элементарных функциях получены выражения для проекций вектора мгновенной угловой скорости на оси координат Oxyz.

2. На симметричный гироскоп действует возбуждающий момент:

Мх

M ---, где /2./

A(t)

Мх = Const. А = A0f(t), А0 - начальное значение А,

-at

. f(t) - закон изменения момента инерции, f(t) = е

a - секундный расход массы.

Для данного случая так же в элементарных функциях получены выражения для проекций вектора мгновенной угловой скорости ш на оси системы Oxyz. Причем, уравнение связывающее между собой выражения для первых двух проекций ш р и q . представляет собой уравнение окружности с перемещающимся центром, движущимся по прямой линии, тангенс угла наклона которой равен:

a

tgp =----/з. /

А - С

где \ = —-— , С - момент инерции тела относительно оси

Z. г0 - начальное значение проекции вектора ш на ось Z.

3. Симметричный гироскоп находится иод действием возбуждающего момента:

H = М0 (1 - at)

В элементарных функциях представлены выражения для p. q. г Для р и q также получено уравнение окружности с движущимся центром. ■

Во всех трех случаях приведены графики изменения угла нутации 0, полученные численно методом Рунге - Кутта.

В третьей главе работы рассматривается движение не вполне симметричного гироскопа ( ОВН. С=2А ) переменной массы в случае, когда момент силы сопротивления пропорционален угловой скорости его вращения. Момент реактивной силы так же пропорционален скорости ш. Масса тела и моменты инерции меняются по одному и тому же показательному закону:

-сЦ -а!

А = А0 е , В = В0 е /4./

Проекции момента силы сопротивления на оси Охуг имеют вид:

МхК>= -ХхАр , МуЮ= -Х^Вя , М^^ -ХСг /5./

а моменты реактивной силы:

МхГ>= эеАр , МуГ)= эеВц , М^^зеСг /6./

X., эе - постоянные коэффициенты.

Для случая когда неподвижная точка совпадает с центром масс решение представлено в виде разложений по степеням малого параметра:

В0 - А0

е = - « 1 П./

2А0

В предположении, что в начальный момент времени имели место следующие начальные условия:

= 0. р<0)(0) = р,. д(О)(0)=до. г<0> (0) = г0,

/8. /

(V) (V) (V) м,

р (0) = ч (0) = г (0) = 0 I р (0) = и I

получены динамические уравнения типа Эйлера, а также их решения в нулевом и первом приближениях.

В этой же главе записаны выоажения для р, я, г , когда х = А. и эе = -X.

V • - 9 -

Четвертая глава работы посвящена решению задачи о движении с самовозбуждением тяжелого твердого тела переменной массы в случае, когда:

1. Эллипсоид инерции, построенный Для неподвижной точки во все время движения остается эллипсоидом вращения (А - В).

2. Центр масс перемещается по оси динамической симметрии Taie, что в рассматриваемом промежутке времени выполняется соотношение:

dM

A(t)(M -- H)(t) eZc(t) - Const , /9./

dt

где M - масса тела, Zc(t) - координата центра масс на оси динамической симметрии.

3. Реактивная сила приложена в центре масс, задана абсолютной скоростью отбрасываемых частиц й направлена по вертикали вверх, а по величине пропорциональна ускорению силы тяжести

Оавс - - №. ti - Const /10./

При решении данной задачи получены первые интегралы динамических и кинематических уравнений Эйлера, в эллиптических функциях, записаны выражения для углов Эйлера.

В пятой главе рассматривается движение около неподвижной точки твердого тела переменной массы с полостями, заполненными жидкостью при следующих предположениях:

1. Реактивная сила задана абсолютной скоростью отбрасываемых частиц и равна:

dM _ _ а - --U1B - Ф /11./

• I . - 10 -

2. Угловая. скорость вращения главных осей инерции равна

нулю

■V Л, Л,

р - д - г - О (внутреннего движения нет)

3. Эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения.

4. Полости многосвязанные.

5. Масса тела изменяется таким образом и внутренние циклические движения жидкости в полостях, соответствующие потенциалу х такие, что центр масс системы перемещается по оси динамической симметрии:

«с - Уо - О , го * О

I • . • I

6. Вектор V характеризующий внутреннее циклическое движение жидкости, направлен также по оси динамической симметрии тела.

Для рассматриваемого движения тела записана система динамических уравнений типа Эйлера, при сделанных предположениях получены первые интегралы дифференциальных уравнений движения, с помощью которых записаны выражения для углов Эйлера в элементарных функциях.

В этой же главе рассмотрена задача о движении тяжелого твердого тела переменной массы с одной закрепленной точкой, имеющего полость целиком заполненную жидкостью, в случае, когда эта жидкость имеет потенциальное движение (без вращения частиц жидкости).

Динамический уравнения типа Эйлера для данного движения получены в следующем виде: .

М1)8(Ггг с'-*з'Ус') +

(Г)

+ N

ох1

6М

В/-НА^-С,1 Эг'р'+г'р'+г'д-р^Ш--Д, ) (Кз % '-V, % ') +

оу1

сЗг' йМ (г)

(V—-+(В11-А11)р'Ч'+р'Х-Я')Х=8(М- — лХ^'Ус'-ТГг'Хс'+М ,

а г ог1

Если в начальный момент, когда твердое тело переменной массы тоже неподвижно, в уравнениях /12./ можно принять: ц = X = V = О и тогда они значительно упростятся.

В уравнениях /12./ были приняты следующие обозначения: А/ = А1 + А0». В)1 = В1 + Вд1, С^ « С1 + Со1, где: А1, В1, С1 - моменты-инерции твердого тела переменной массы, Ао1, Во1, С04 - моменты инерции эквивалентных тел, М(г) - моменты реактивных сил, Ох'у'г' - главные оси инерции,

р'. ч'. г' - проекции вектора мгновенной угловой скорости твердого тела на оси системы Ох'у'г',

К1'. Кг' • Кз' - направляющие косинусы вертикали с осями системы Ох'у'г*.

(г)

+ N

/12./

В заключении приводятся основные результата, полученные в работе, котоше сводятся к следующему:

1. Исследовано движение гироскопа с самовозбуждением в случаях. когда:

а). момент самовозбуждения постоянен и направлен вдоль главной оси Ох.

б), гироскоп является гироскопом переменной массы, рассмотрены два закона изменения моментов инерции. Приведен анализ движения в сравнении с гироскопом постоянной массы.

2. Представлено решение задачи о движении гироскопа переменной массы, в среде с сопротивлением. Закон изменения массы принят показательным. Задача решалась методом последовательных приближений. Приведен анализ движения гироскопа в некоторых частных случаях.

3. Решена в эллиптических функциях задача о движении с самовозбуждением гироскопа в случае, когда центр масс перемещается по оси динамической симметрии. Реактивная сила предполагалась заданной абсолютной скоростью отбрасываемых частиц, направленной по вертикали вверх и приложенной в центре масс.

4. Получены первые интегралы дифференциальных уравнений движения и выражения для, углов Эйлера в задаче о движении около неподвижной точки твердого тела переменной массы с полостью, полностью заполненной жидкостью, когда реактивная сила задана абсолютной скоростью отбрасываемых частиц, нет внутреннего движения жидкости, центр масс перемещается по оси динамической симметрии.

5. При тех же предположениях, что и пункте в 4. получены динамические уравнения типа Эйлера в случае, когда жидкость имеет потенциальное движение, тело не является динамически симметричным и радиус-вектор центра масс имеет проекции на все три главные оси инерции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Сапа В.А.. Юсеф Ибрагим Султы. "Движение твердого тела переменной массы с закрепленной точкой."//MHO РК КазГУ им.Лль-Фараби.- Алматы. 1994г. - 24 с.

2. Сапа В.А., Юсеф Ибрагим Султы. "Движение гироскопа переменной массы в среде с сопротивлением."// MHO РК КазГУ им. Аль-Фараби.- Алматы. 1994г. - 27 с.

3. Сапа В.А., Юсеф Ибрагим Султы. " Гироскоп с самовозбуждением. "// MHO РК КазГУ им.Аль-Фараби.- Алматы. 1994г. - 43 с.

РИС. 1.

Жу с1п Ибрагим Склты взгермел! массалы б1р нуктес1нде бек1т1лген кдтты денен!ц к,озгалысы

Крздырушы момент уакыттнн, функциясы болган кеоде ездичнен к,озган взгермел1 масса гироскопыныц козгалысы царалган. Б1рт1ндеп жакындау твС1Л1 аокылы кедерг;С1 бар орта--да гироскоп крэгалысынкч дифференциялди тен,д1ктер:н1н. нольд1к лене оган *ак,ын корсегкштер! табылган. Итер1лген бвлшектердщ абсолютты жылдамдыгы нольден ажыратылатын болганда катты дене козгалысы туралы есептщ шешу жоль: келт1р1лген. Нрзгалмайтын нуктен1ц айналасында езгермел1 массалы куыеында с*йык зат бар дененщ когалуы туралы есептер жеке болжамдармен каралган.

Salti Youssef

The motion of a variable solid body with a fixed point.

The motion of a variable gyroscope with self-induction is being considered when the induced moment is designated the time-function. The zero and first approximations of the differential equations of motion of a gyroscope in a medium with resistance were established by using the method of successive approximation. Being presented is the solution of the question regarding the motion of a solid body when the velocity of discarded particles is absolute, the zero velocity has not been considered. The question regarding the motion near an immobile point of a variable body with cavities containing liquid was also considered on a case-by-case basis.

Подписано в печать 30.05.94. Формат 60x84/16. Бум.й 2. Печать офсетная, Усл.печ.л.0,87. Усл.кр.-отт.1,04. Уч.-изд.л.0,6. Заказ 617. Тиран 100.

Типография КазгосШТИ,48С096,г.Алматн, Богенбай батыра,221.