Двойственные методы решения задач оптимального управления гиперболическими системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Задача управления дифференциально операторной гиперболической системой.

§ 1.1. Постановка задачи.

§1.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов.

§ 1.3. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод.

ГЛАВА 2. Задачи управления колебаниями струны.

§ 2.1. Обобщенный метод моментов для задач с несколькими управлениями.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов.

2.1.3. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод.

§ 2.2. Конечноразностние аппроксимации.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Сопряженные системы, градиенты 37 функционалов.

2.2.3 Конечноразностный двойственный регуляризованный 39 метод. Сходимость решений уравнений.

2.2.4 Сходимость решения по функционалу. 44 Слабая сходимость управлений.

2.2.5 Сильная сходимость по управлению.

ГЛАВА 3. Задача управления колебаниями пластины.

§3.1. Постановка задачи.

§3.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов.

§ 3.3. Вычисление параметров собственных колебаний.

§ 3.4. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод.

В практике часто возникают задачи управления системами, движения которых носит колебательный характер. Это, в частности, задачи гашения нежелательных вибраций в различных механических системах (например, в летательных аппаратах), задачи гашения пульсаций давления газа или жидкости в трубопроводных линиях, задачи управления колебаниями проводников с током. В последнее время такие задачи стали возникать также в области радиофизики, оптики, лазерной и измерительной техники [5,11,39,41,42,43]. В настоящее время, в связи с прогрессом в развитии вычислительной техники, разработка эффективных методов вычисления программных и синтезирующих оптимальных управлений для этих задач является актуальной.

Математическое описание управляемых колебательных процессов приводит к задачам оптимального управления гиперболическими системами, которые относятся к интенсивно развивающейся в настоящее время теории оптимального управления системами с сосредоточенными и распределенными параметрами. Исследование и разработка численных методов решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами в настоящее время является актуальной проблемой [5,9,10,16,17,40]. Важный класс в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами составляют задачи минимизации терминального квадратичного функционала на решениях линейного гиперболического уравнения, с ограниченными по норме управлениями. В частности, случай равенства нулю нижней грани функционала соответствует задачам перевода (управляемости) или наибыстрейшего перевода системы из заданного начального состояния в заданное конечное. Исследование и решение этих задач с помощью разработанного Н.Н. Красовским метода моментов [35] и развитого в работах А.Г. Бутковского, Т.К. Сиразетдинова, Д.Л. Рассела, а также работах отечественные и зарубежных авторов [2,5-9,10,13,14,18,19,3133,41].

В данной работе для исследования указанного класса задач предлагается обобщение метода моментов связанного с теорией двойственности, регуляризации [44], позволяющее единообразно рассматривать не только упомянутые выше, ранее исследованные случаи, но и более общие задачи, когда нижняя грань функционала больше нуль и имеются ограничения на управления. На основе этой теории строятся численные методы решения задач с распределенным управлением и с граничными, выделяются классы корректных по А.Н.Тихонову квадратичных задач, доказываются теоремы существования и единственности оптимальных управлений, описываются множества оптимальных управлений и выводятся формулы для нормальных оптимальных управлений.

При численной реализации задач оптимального управления на ЭВМ одним из основных является подход, связанный с заменой исходной задачи последовательностью более простых, аппроксимирующих задач, получаемых, например, методом прямых или конечно-разностным методом, и которые могут решатся, например, методами математического программирования [10,15,23,30]. При этом, естественно, возникают вопросы выбора аппроксимирующей задачи, близости решений по функционалу и аргументу. В теории оптимального управления эти вопросы рассматривались, например, в работах [1,3,10,25,26]. Задачи оптимального управления, вообще говоря, относятся к классу некорректных задач, т.е. из близость управлений по функционалу не вытекает близость к оптимальному управлению. В данной работе методом регуляризации А.Н.Тихонова [10,44] строится последовательность управлений, сходящаяся по аргументу к нормальному оптимальному управлению.

Прежде чем перейти к более подробному изложению результатов данной работы дадим математическое описание исследуемых задач оптимального управления. Пусть Н, И^0 - гильбертовы пространства со скалярными произведениями соответственно (•, •)я> (•> -)о- На отрезке времени [to, Т] рассмотрим задачу минимизации функционала

J (и) = Ф((и/(Т) и С U G Я, (1) где w(-) - решение дифференциально-операторного уравнения

Lw = w" + B(t)w' + A(t)w + C(t)w = f{t), t e [t0, T], (2) с начальными условиями w(to) = w'(to) = V1. (3)

Здесь функции w(t), f(t), t G [to,T] имеют значения из H, A(t): t G [to, T] - линейный, самосопряженный, положительный оператор в Н, который характеризует "основные", упругие и инерционные силы и связи в системе; линейные операторы B(t), C(t), t G [to,T] характеризуют внешние силы и некоторые "неосновные"упругие силы.

Система (2) содержит управляющее воздействие в виде f(t) = Fu{t) + f(t), to<t^T, (4) где f°(t) - заданная функция из класса L,2{to,T] Н), характеризующая внешние возмущения на систему (2); F - заданный линейный ограниченный оператор из L,2(to,T) в L2(to,T]H). В работе более подробно рассматривается случай оператора F в виде т

Fu(t) = Y, dMt), Vu <= L?(t0, Т), (5) i=1 где di, i = 1,2, .,ra - заданные элементы из Н, характеризующие распределение управлений в системе (2). Управление u{t) в (4) выбирается из некоторого множества u(t)eu cL%(t0,T). (б)

Рассматриваются часто встречающиеся в приложениях случаи

U = {и е L%{to, Т) : \\u\\L? < Д}, 0 < R < оо, (7)

U = {и G Lf{t0,T) : |K||i2 ^ Д*}, 0 < Д < оо, г = 1,.,т. (7;) которые связаны обычно с ограничением на энергию управлений.

Важным частным случаем (1) является терминальный квадратичный функционал

J {и) = сгоНТ) - + ^«/(Г) - у'\1 + а\\и\\12) (8) где параметры его, <7i, о; ^ 0; индекс к равен 0 или 1 определяет норму пространств соответственно WQ или W1, где W1 - гильбертово пространство, определенное на D(A1/2), со скалярным произведением < >i—< Л1/2^)^, Al!2{to)g >о- Функционал (8) в случае к =

1, ctq — — 1, а = 0 характеризует отклонение полной энергии системы в момент времени Т. К минимизации функционала (8) при условиях (2),(3),(4),(6) приходим, например, при рассмотрении задачи успокоения колеблющейся системы (у0, у1) = (0,0).

Частными случаями задачи (2),(3) являются смешанные задачи для гиперболических уравнений второго и четвертого порядков. Например, в одномерном случае это уравнения соответственно при т = 1 или т = 2 Е + (-1)^ (9) г=0 4 '

171 Яг ХУ'(М) я^ = ЯМ), (*'*) G Q = (0,L) х [*0,Т], г=0

5ma dibi дя™' 6 ^ ^ а° > ^ ^ 0» « = 0> •••>

Ь1(ж,\х=о,1= b2(x:t) |ж=0,г= b2x(x,t) \X=0J= 0. с краевыми и начальными условиями dlw

-^J |*=o,z= о, г = 0,1,т - 1, t0 ^ t < Т, (10) w(x,t0) = (р°(х), wx(x,t0) = (рг{х), 0 ^Х (11)

Многомерное уравнение второго порядка п сл / о

OW д ( wtt + b{t)wt - J2 Q^i («*'(*> *); г,7=1 дх> n p. i=i dx где С Rn - область, с краевым условием w |хеш= 0 также охватывается уравнением (2), если симметричная матрица aij-> hJ — —I71 удовлетворяет соотношениям п п > ve G a0 > 0. i,j=1 j=l

Двумерными уравнениями четвертого порядка описываются колебания пластин. Например, колебание круглой однородной пластины с толщиной h и плотностью на единицу площади р t0<t<T, 0 < г < г0, 0 ^ 0 ^ 2тг, . 2 1д 1 d2 2 Eh3

9r2 + rdr + г2<902' " 12(1 - г/2) с краевыми условиями жесткого закрепления w(t, г0,= wr(t, ro,0) = O, t0 < t < Т, 0 < в ^ 2тг. (13) и заданных начальных условиях

7(*о, г, 0) = /(г, 0), wt(i0, Л 9) = у?1 (г, 0). (14)

Отметим также систему двух дифференциальных уравнений четвертого порядка

Е1ухх)хх + рАуи - рАеви = /х(ж, £), (ж, £) G Q,

GC9)XX - pAeytt + p(I + Ae2)9tt = f2(x, t), которая описывает связанные поперечные и крутильные колебания стержня. Она приводится к виду (2) с помощью замены w = (wi,w2), w\ = у — е9, W2 = 9. Многочисленный класс задач оптимального управления для гиперболических систем представляют задачи с управлением на границе.

В первой главе рассматриваются задачи оптимального управления, связанные с минимизацией терминального квадратичного функционала, на решениях дифференциально-операторного гиперболического уравнения. В ней исследуется двойственный регуляризованный метод для решения задачи перевода гиперболической системы из некоторого начального состояния как можно ближе к заданному конечному состоянию при наличии выпуклых ограничений на управления. Рассматриваемая задача, в частности, включает задачи управления колебаниями струн, стержней, мембран, пластин. В работе предлагается алгоритм решения и приводится обоснование его сходимости, вывод оценок по функционалу, слабой и сильной сходимости по управлению. Эти результаты используют метод регуляризации, двойственный метод и обобщенный метод моментов.

В § 1.1 главы 1 даётся постановка задачи оптимального управления в абстрактном виде: а именно, рассматривается квадратичный функционал (8) в случае к = 0, а = 0, его = сг\ = 1 при условиях (2),(3),(5),(6). Определяется обобщенное решение уравнения (2),(3).

В § 1.2 исходная задача, поставленная в § 1.1 сводится к эквивалентной задаче в виде обобщенной проблемы моментов. Для описания сопряженного оператора вводится сопряженная задача. Для неё определяется обобщенное решение в слабом смысле.

В § 1.3 для обобщенной проблемы моментов ставятся в соответствие аппроксимирующие задачи с помощью усечения бесконечного ряда. Для этих аппроксимаций вводится функционал Лагранжа и двойственные задачи. Для решения этих двойственных задач в случае квадратичных условий на управления (7) даётся алгоритм нахождения множителей Лагранжа на основе метода проекции градиента. Приводится обоснование сходимости метода: а именно, получены оценки скорости сходимости по функционалу; доказывается слабая сходимость приближенных оптимальных управлений и выводится условия сильной сходимости этих управлений к нормальному оптимальному управлению.

Во второй главе рассматривается двойственный регуляризованный метод для задачи управления колебаниями струны с управлениями на границе и в правой части уравнения. В данной главе дается описание алгоритма решения и приводится обоснование его сходимости, вывод оценок по функционалу, слабой и сильной сходимости по управлению. Эта глава состоится из двух параграф.

Во параграфе 2.1 этой главы рассматривается обобщенной метод моментов для задач со многими управлениями. В пункте 2.1.1 этого параграфа даётся постановка задачи со многими управлениями в следующем виде:

J {и) = Т) — у°\2 + \wt(-, Т) — уг\2, (15) на решениях уравнения с управлениями u{t) = (ui(t),.,ur(t)) и г wtt - (a(x)wx)x = di{x)ui(t) + /(ж, £), (ж, t) € Q, (16) г=1

Wx(0,t) = Vl(t), wx(l,t) = v2{t), t 6 (0,T), (17) w(x, 0) = cpo(x), wt{x, 0) = </?i(z), x G (0,1), (18)

U = {(г/, v) <E H : |HU2 < Щ, г = 1,r, (19)

IHIЬ2<Щ, i = 1,2}. Здесь Q = (0,0 x (0,T); a(x) G Cl[0, Z], cl(x) >0,i£ [0Д f eL2(Q),d=(du.,dr) ELr2(0,/), 4>\ G £2(0,0> <fio£ W\0,l). В пункте

2.1.2 этого параграфа приводится метод сведения задачи к обобщенной проблеме моментов. В пункте 2.1.3 этого параграфа даётся описание двойственного регуляризованного метода для исходной задачи . В пункте 2.1.4 этого параграфа для исходной задачи описывается аппроксимация с помощью усечения бесконечного ряда и даётся описание алгоритма решения двойственной задачи.

В параграфе 2.2 рассматривается конечно-разностный метод для задач с двумя управлениями. В пункте 2.2.1 этого параграфа сформулирована задача с двумя управлениями в следующем виде: I

J (и) = J (И х,Т\и) - у\х) |2 + | wt{x,T;u) - y\x)\2)dx in/, (20) о на решениях гиперболического уравнения wtt{x, t) - (a(x)wx(x,t))x = d(x)ui(t) + f(x,t), (ж,t) E Q, (21) с краевыми и начальными условиями wx(0, t) = u2(t), wx(l, t) = 0,t€ [0, T], (22) w(x, 0) = ip0{x), wt(x, 0) = y?i(a;), x E [0, Z], (23)

U = {ueH = L2(0,T) x L2(0,T) : Ы^г) ^ Ri, (24)

Mz2(o,r) < R2} и = («i, и2)еисн = l2( о, т) x l2( о, T).

Здесь Q = (0,0 x (0, T); ф) E C^O,/], a(x) > 0, / E L2(Q), y°(x), (po(x) E W1^, I), d(x)7 yl(x), ipi{x) E ^2(0,0; - гильбертово пространство со скалярным произведением: (<£>p)l2(o,o + <<рх,дх)ь2{0,1)■,

U - выпуклое, ограниченное, замкнутое множество. Каждой паре управлений w = (щ, и2) Е соответствует единственное решение задачи (21)-(24): w Е С[0, Т; W\0, /), L2(0,1)], где С[0, Г; И^(0, 0. ^2(0, Z)] - банахово пространство с нормой

Ы\с[0,т№(0,1)М0,0] = SUP (M-'^Ww* + \Ы-^)\\Ь2).

ИМ = mgK (!«;(., t)|i + М-, t)|2) ^ C(\du! + /|(2)+ (25) Ml2(0,T) + boll + Ы2). где C=const>0,|.|2, |.|i, |-|(2) - нормы в i2(0,1), W1(0,1), L2(Q). В этом пункте также определяются аппроксимирующие задачи в виде:

L—1

Jn{um) = М; ггш, и2М) - УьW? (26) г=0 wt{i,M - 1;и1М,и2М) - 2/i(0№ inf > ™it{i,j) ~ {a{xi)w^(ij + l))x = + /jv(*,j), (27) г = 1,., L—1, j = l,.,M-l, ^(0,j) - гг2д/У), = j = 0,l,.,M, (28) гу(г, 1) = 0) = ^i(^), г = 0,1,., L, (29) Wm eHN = L2M(0, M - 1) x £2M(0, M - 1) : (30)

HMU2M(0,M-1) < , \u2M\L 2m(0,M —1) им = (UIM, u2M) eUNCHN = L2M{0, M - 1) x L2M(0, M - 1).

Разностные решения задач (26)-(30) w(i,j), г = 0, j — 0, .,M удовлетворяют неравенствам max (|w(.,i)|iL + K-(.,j)|2L) ^ C(|ditiM + In\2L + \u2m\2M+ (31)

1 <j<M \<Po\lL + |^l|2L)где \.\2L, Mil, I-Ьм - нормы в L2L{0,L - 1), Wj(0, L), L2M(0, M - 1). В пункте 2.2.2 этого параграфа выводятся сопряженные системы и градиенты функционалов для исходной и аппроксимирующие задачи. В пункте 2.2.3 этого параграфа сформулируется конечно-разностный двойственный регуляризованный метод для исходной и аппроксимирующие задачи в виде:

L{u, А) - J{u) + Aiflfi(«i) + Л2д2{и2), А € Л = {А,- ^ 0, * = 1,2}, (32)

LN{UM, AN) = JN(UM) + ^NigMl{uiM) + ^N29M2{U2M), (33) Алг e An = {Адгг ^ 0, г = 1,2}.

В этом пункте также доказывается сходимость решений (24)-(27) w(hj) — w(i,j]UM) к решению (21)-(24) w(x,T) = w(x,T;u). В пункте 2.2.4 этого параграфа выводится оценки скорости сходимости по функционалу (слабая сходимость управлений). В пункте 2.2.5 этого параграфа приводится оценки сильной сходимости по управлению.

В главе 3 данной работы рассматривается двойственный регуляризованный метод для задачи управления колебаниями круглой упругой пластины. Рассматривается задача определения внешней, распределенной по поверхности управляющей нагрузки, которая переводит круглую упругую пластину из одного заданного начального состояния как можно ближе к другому заданному конечному состоянию за фиксированное время. Под состоянием пластины понимается отклонение от положения равновесия срединной поверхности и распределение скоростей. Задача ставится как задача минимизации терминального квадратичного функционала качества на решениях линейного уравнения, описывающего колебания пластины с управлениями в правой части уравнения. Управление зависит только от времени, а распределение их по поверхности пластины фиксировано. Например, управляющие силы могут быть приложены в определенных точках поверхности пластины. Управления подчинены ограничениям, которые связаны с условиями ограниченности потребляемой энергии. Для решения этой задачи управления применяется двойственный регуляризованный метод. В ней дается описание алгоритма решения, получены оценки скорости сходимости по функционалу и условия сходимости по управлению. Эти результаты используют метод регуляризации, обобщенный метод моментов и получены на основе работы. Используемая методика основана на обобщении метода моментов с использованием теории двойственности в задачах оптимального управления. Этот метод имеет преимущество по объему и по времени счета по сравнению с другими методами оптимального управления, например, градиентными, которые применимы в общих задач оптимального управления. Это связано со спецификой задачи, а именно: линейностью управления, квадратичностыо функционала качества. Для решения рассматриваемой задачи необходим метод, который сочетался бы с методом разложения по собственным формам колебаний пластины. Это сочетание дает используемый метод, который предполагает известными (заранее вычисленными) параметры собственных колебаний пластины. Эти характеристики системы являются независимыми от процесса оптимизации, который в системе автоматического управления с обратной связью является оперативным, многоразовым. Вычисление этих характеристик выделяется в отдельную разовую (не входящую в контур обратной связи) вычислительную процедуру. Отметим также, что системы автоматического управления с обратной связью требуют работы в реальном масштабе времени, а это налагает на вычислительный процесс, кроме точности, определенные, зачастую довольно жесткие ограничения на время счета. Таким образом, этот фактор необходимо учитывать при выборе, разработке и реализации математических методов. В описываемом методе оптимальное управление вычисляется в виде ряда по собственным функциям и состоит в последовательном решении систем линейных алгебраических уравнений.

В § 3.1 этой главы рассматривается задачи управление колебание > круглой однородной пластины (12)-(14). К поверхности пластины приложены s управляющих воздействий u(t) = (iii(£),., us(t)) с соответствующим распределением по поверхности d(r, в) = (di(r, 0),., ds(r, 9)), (г, 9) G Q = (0, г0) х [0, 2тг).

Тогда функцию F(t, г, в) в правой части уравнения (12) можно записать в виде 5

F(t, Г, 0) = £ di(r, 6)m{t) + /(f, г, 9), (34) г=1 где /(£, г, в) 6 L2{Q), Q = {to, Т) х Q- известная функция, задающая внешнюю нагрузку. Задача управления состоит в том, чтобы при заданном начальном состоянии (14) найти управление u(t), которое переводило бы пластину к моменту времени t = Т как можно ближе к некоторому заданному конечному состоянию у = (у0(г, 9): у1 (г, 6)). Управления подчинены, например, ограничениям

U = {и е Н = Ls2(t0, Т) : 9i(u) ^ 0, г = 1,т}, (35) где gi(u), г = 1,га- выпуклые дифференцируемые по Фреше функции, m причем д{и) = ^ 9i(u)- сильно выпукла. Будем считать, что для этого г—1 множества выполняется условие Слейтера, т.е. й 6 U : gi(v) < 0, г = 1, Условие близости к состоянию у = (у0(г, 9), у1 (г, 9)) можно сформулировать в виде задачи минимизации функционала

J(u) = J (I W(T; •) - 2/°(-)|2 + К(Т; •) - y1(-)\2)rdrd9. (36) п

В § 3.2 исходная задача, поставленная в § 3.1 сводится к эквивалентной задаче в виде обобщенной проблемы моментов используя некоторый ортонормированный базис ёо(г, 9), ei(r, 9),. в В § 3.3 даётся описание вычисления параметров собственных колебаний для исходной задаче. В качестве ортонормированный системы ёк,к = 1,2,. можно взять систему собственных функций краевой задачи

A2zk = AkZk, z(r0) = 0, zr(r0) = 0.

Для осесимметриченых колебаний собственные функции имеют вид zk(r) = а^ак(г): к = 1, 2,., o-fcW - 1о«Д~кГо)М<Д~кг) - М<Д~кг)1о«/Х~кго), где ак- нормирующий множитель

Го (/ 4{r)rdr)1/2, о а /о, Jo- функции Бесселя нулевого порядка. Собственные значения Afc, к = 1,2,. являются корнями уравнения

М<Кг0)Г0(У\го) - 1о(^Хг0)4(</Хг0) = 0.

В этом случае решениями сопряженной системы являются функции

Фк,o{t, г) = Al1/2cos(uk(T - t))zk(r)

Фк,i{t, г) = -L)llsin{ujk(T - t))zk(r), шк = (AkD/p)1/2, к = 1, 2,.

В § 3.4 для обобщенной проблемы моментов ставятся в соответствие аппроксимирующие задачи с помощью усечения бесконечного ряда. Для этих аппроксимаций вводится функционал Лагранжа и двойственные задачи. Для решения этих двойственных задач в случае квадратичных

U = {ueH : Qi(u) = J \ui(t)\2dt -Rf < 0, 0 < Д,- < оо, (37) to г = 1, 2,., т}. даётся алгоритм нахождения множителей Лагранжа на основе метода проекции градиента. Приводится обоснование сходимости метода: а именно, получены оценки скорости сходимости по функционалу; доказывается слабая сходимость приближенных оптимальных управлений и выводится условия сильной сходимости этих управлений к нормальному оптимальному управлению.

В приложении данной работы даются результаты вычислительных экспериментов для задачи управления круглой упругой пластиной.

1. Аваков Е.Р. Условия регуляризации аппроксимирующего семейства экстремальных задач. Вестник МГУ. Сер. 15, вычислительная математика и кибернетика, 1982, № 1, с. 29-35.

2. Авдонин А., Иванов А., Ишмухаметов А.З. Квадратичная задача оптимального управления колебаниями струны. // Докл. АН СССР, 1991. Т. 316. N 4. 781-785.

3. Антипин А.С. Об едином подходе к методам решения некорректных экстремальных задач. Вестник МГУ. 1973, № 2, с. 61-66.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. Ил. 1960.

5. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М., "Наука", 1975.

6. Бутковский А.Г. Применение некоторых результатов теории чисел и проблеме финитного управления и управляемости в распределенных системах. ДАН СССР, 1976, Т. 227, № 2, с.309-311.

7. Васильев Ф.П., Иванов Р.П. Некоторые приблеженные методы решения задач быстродействия в банаховых пространствах при наличие ограничений на фазовые координаты, жвмимф, Т. 10, № 5, 1970, с. 1124-1140.

8. Васильев Ф.П., Иванов Р.П. О приблеженном решения задачи быстродействия в банаховых пространствах при наличие ограничений на фазовые координаты, жвмимф, Т. 11, № 2, 1971, с. 328-344.

9. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1989. 143 с.

10. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Наука, 2002. 800 с.

11. Воронцов М.А. Активное демпфирование колбаний в радиофизических системах с распределенными параметрами, Изд-во МГУ, физический факультет, автореферат, 1977.

12. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И.) Принципы адаптивной оптики, М.: Наука, 1885, 286с.

13. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

14. Evtushenko Y.G. Computation of exact gradient in distributed dynamic system.// Optimizat. Methods and Software, 1997. V. 7, N 4, PP- 45-45.

15. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 463 с.

16. Иванов Р.П. Об одном критерии оптимальности и связанном с ним итерацинном методе решения задачи быстродействия, оювмимф, Т. 11, № 3, 1971, с. 597-610 .

17. Иванов Р.П. Об одном итерацинном методе решения задачи быстродействия, оювмимф, Т. 11, № 4, 1971, с. 1031-1037.

18. Ишмухаметов А.З. О гладкости решений задачи Коши для дифференциально-операторного уравнений второго порядка. // Дифференц. уравнения, 1987, 23, №3, с. 439-499.

19. Ишмухаметов А.З. Об аппроксимации гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка.//Ж., вычисл.мат. и мат. Физ., 1987. Т.27, Ж3 8, с 1154-1165.

20. Ишмухаметов А.З. Условия аппроксимации и устойчивости в задачах оптимального управления гиперболическими системами.//Ж., вычисл.мат. и мат. Физ., 1994- Т.34, Ж9 1, с 12-28.

21. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления.//М. Изд-во ВЦ РАН, 2000. 151с.

22. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: ВЦ РАН, 2001.

23. Ишмухаметов А.З., Махроус. Р. Конечноразностный двойственный регуляризованный метод в задаче управления гиперболической системой. // Проблемы теоретической кибернетики, тезисы докладов XIV международной конференции.2005, с. 57.

24. Ишмухаметов А.З., Махроус. Р. Двойственный регуляризованный метод в задачах управления дифференциально-операторной гиперболической системой. // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа, изд-во ВЦ РАН., 2005, с. 118-131.

25. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2000. 263 с.

26. Касьянюк А. К методу моментов в теории оптимального управления. Автоматика и Телемеханика, № 8, 1970, с. 169-171.

27. Касьянюк А. О методе моментов в теории оптимального управления при входных воздействиях с различными энергиями. Автоматика и Телемеханика, Xs 5, 1978, с. 5-9.

28. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

29. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

30. Ломовцев Ф.Е., Юрчук Н.И., Задача Коши для гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка. // Дифференц. уравнения, 1976, 12, №12, с. 2242-2250.

31. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.//М.:Наука, 1976 .

32. Петухов Л.В. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации для уравнений гиперболического типа. Прикладная Математика и Механика , Т. 36, вып.4, 1972, с. 578-588.

33. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Ф.В., Миш,енко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

34. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М: Наука, 1977.

35. Тимошенко СП. Колебания в инженерном деле. // М.: Наука 1967,439с.

36. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 44- Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 286 с.

37. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. // М: Мир, 1975, 158 с.