Двухслойный итерационный метод решения обратной задачи определения диэлектрической проницаемости тела в волноводе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

005001077

ВАСЮНИН Денис Игоревич

ДВУХСЛОЙНЫЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ТЕЛА В ВОЛНОВОДЕ

01.01.07- Вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 НОЯ 2011

КАЗАНЬ 2011

005001077

Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор

Смирнов Юрий Геннадьевич.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация •

доктор физико-математических наук, профессор

Ильинский Анатолий Серафимович;

доктор физико-математических наук, доцент

Карчевский Евгений Михайлович.

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), г. Москва.

Защита диссертации состоится 8 декабря 2011 г., в 16 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан 7 ноября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор

За^х^

О. А. Задворнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке, обоснованию и реализации численного метода решения обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости неоднородного тела, помещенного в волновод, по известному коэффициенту прохождения электромагнитной волны на различных частотах.

Актуальность темы. Решение обратных задач восстановления электрофизических параметров тела в волноводе является актуальным в связи с применением результатов решения задач в электронике СВЧ, в оптике, при изучении нанокомпозитных материалов и метаматериалов. Данное направление - предмет исследования ряда авторов (Ю. В. Шестопалов, В. В. Яковлев, А. Б. Самохин, А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов, Е. Е. Тыртышни-ков). Изучение этой области электродинамики привело к активному и успешному применению численных методов для решения обратных задач. Однако при всем многообразии исследований до сих пор остались открытыми вопросы о разработке численных методов решения обратной задачи для неоднородных анизотропных тел произвольной формы, а также об обосновании и сходимости методов. Одной из важнейших является задача построения эффективных, высокоскоростных алгоритмов расчета, использующих современные кластерные технологии.

Цели работы:

1) постановка обратной краевой задачи определения анизотропной диэлектрической проницаемости тела в волноводе по (измеренным) коэффициентам прохождения на различных частотах;

2) разработка численного метода решения обратной краевой задачи;

3) программная реализация численного метода на суперкомпьютере, его тестирование и проведение расчетов для конкретных образцов материалов.

Научная новизна:

-предложен оригинальный двухслойный итерационный метод решения обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости неоднородного тела, помещенного в волновод, по известному коэффициенту прохождения электромагнитной волны на различных частотах. Задача сведена к объемному сингулярному интегродифференциаль-ному уравнению на теле с дополнительным асимптотическим условием; доказаны теоремы о существовании и единственности решения для этой задачи;

- доказана теорема о сходимости двухслойного итерационного метода, получены оценки скорости сходимости;

-предложены и программно реализованы на суперкомпьютере параллельные вычислительные алгоритмы, позволяющие решать обратную задачу на диэлектрических телах произвольной формы.

Практическая значимость. Большое практическое значение в диссертационной работе имеют параллельные вычислительные алгоритмы для решения задач дифракции, реализованные на суперкомпьютерных вычислительных комплексах и позволяющие решать задачи с высокой точностью и приемлемым временем ожидания результатов вычислений. Важно также и то, что возможно решать задачи дифракции на диэлектрических телах произвольной формы.

Реализация и внедрение полученных результатов. Результаты, полученные в диссертации, включены в отчет по НИР, выполненной на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета: проект «Разработка методов суперкомпьютерного моделирования и ОКШ-технологий для определения эффективной диэлектрической и магнитной проницаемости нанокомпозитных материалов и наноструктур различной геометрической формы» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

-научном семинаре кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета;

- международной научно-методической конференции «Университетское образование» Пензенского государственного университета, Пенза, март 2011 г.;

- международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» Пензенского государственного университета, Пенза, май 2011 г.;

- научном семинаре кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета, Казань, октябрь 2011 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ, из них 2 работы - в журналах из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 74 наименований. Работа изложена на 101 странице машинописного текста, содержит 24 графика и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются основные задачи и дается краткое содержание.

Глава 1 «Задача определения диэлектрической проницаемости образа материала» посвящена постановке задачи определения диэлектрической проницаемости образцов материалов (в частности, композитных

материалов) произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками.

1.1 Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла. Будем рассматривать метод определения диэлектрической проницаемости образца неоднородного материала (в частности, композитного материала). Для этого будем решать обратную краевую задачу для определения диэлектрической проницаемости е(х) тела, расположенного в волноводе. При этом магнитная проницаемость образца считается равной ц0 •

Предварительно рассмотрим следующую (прямую) задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат Р = {х:0<х{<а,0<х2<Ь, -оо<х3<со} - волновод с идеально проводящей поверхностью дР. В волноводе расположено объемное тело Q (QaP - область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью ц0 и положительной 3x3-матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости е(х), Компоненты е(х) являются ограниченными функциями в области Q,

также е-1 &LX(Q). Граница SQобласти Q кусочно-гладкая.

Требуется определить электромагнитное поле Е.Не^^ДР), возбуждаемое в волноводе сторонним полем с временной зависимостью вида е~ш. Источник стороннего поля - электрический ток j° sZ^ loc(P). Будем искать обобщенные решения системы уравнений Максвелла:

rot Н = -i'coeE + fE, rot Е = ¡ев ц0Н. (1.1)

Эти решения должны удовлетворять условиям на бесконечности: поля Е и Н при |х3|>С для достаточно больших С> 0 имеют представление (+ соответствует +оо, - соответствует -оо):

н

р

-¡coso^n^xej

icon0(v2\yp)xe3 ^Чрез-гЧ^гЧр)

(1.2)

где = ' 1тУ(р} >0или 1тУр] = 0» и X®, Пр(хьх2)

, Ч'р (^1.^2) (*02 =т2£о^о) ~ полная система собственных значений и ортонормированных в (П) собственных функций двумерного оператора Лапласа -Д в прямоугольнике П?={(л1,х2):0<д:1 <а,0<х2 <й| с услови-

ями Дирихле и Неймана соответственно; V2 = et djdx^ + е2 Э/&2 . Для коэффициентов разложений (1.2) имеют место оценки (для всех m б N):

Для Е, Н должны выполняться краевые условия на стенках волновода:

Ет 1^=0,11^=0. (1.4)

Пусть также Е° и Н° - решения рассматриваемой краевой задачи в отсутствие неоднородного тела Q, й(х) = в0/, х е Р (/ - единичный тензор):

rotH0 = -/<B60E°+j!, rotE0 =г'Ш|ЛдН° (1.5)

с краевыми условиями

Е?|ЭР=0, Н°|5Р=0. (1.6)

1.2 Тензорная функция Грина прямоугольного волновода.

Построим диагональный тензор Грина GE, компоненты которого являются

фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в Р с коэффици-

2 2

ентом ¿Q = со е0Ц0 и удовлетворяют краевым условиям первого или второго рода на дР, обеспечивающим обращение в нуль тангенциальных составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода. Его компоненты имеют вид

„1 2 Д е~Упт\х}-Уз] пп тп пп . пт

= L"—л s чcos—sm—х2cos—у,sin—-уг, (1.7)

^„=0 ~lYnmO + So«) а Ъ а Ъ

2 ^ Д _ m nm _ m um

Ge= — 2_ 2-,-/1 I \ sm—JC) cos—x2 sin—^ cos—y2, (1.8)

abn=1 m=0Ynm(1 + 50m) a b « Ь

3 2 е-Упт\*з-Уз\ ш %m ш nm

Ge=-~2^ 2„-sm xtsm—x2sin—yxsin—-_v2. (1.9)

a6n=i U a b a b

В этих выражениях упт = J(nn / а)2 + (ятя / b)Z - , при этом ветвь квадратного корня выбирается так, чтобы 1тулш >0.

Утверждение 1.1. Тензор Грина GE допускает представление i J4x~y\.

= --I + g(x,y), х,уеР, (1.10)

где матрица-функция (тензор) g е С°° (Qx Р) и ge С°° {Р х Q).

6

1.3 Объемное сингулярное интегральное уравнение. Пусть решения краевых задач (1.1)-(1.4) и (1.5)-(1.6) существуют и единственны. Перепишем (1.1) в эквивалентной форме:

гоШ = -1'СОБ0Е + \е, ГО1Е = /СО|Х0Н,

к = }Е + }РЕ-

(1.11) (1.12)

В последнем равенстве =-:сй(е(х) - е01^Е - электрический ток

поляризации.

Решение краевой задачи (1.11) имеет вид

Е = 10)Ц0А£-

1

ШУА£, Н = го1А£,

гсоЕ0

= ¡д£(г)\Е(у)11у -

(1.13)

(1.14)

векторный потенциал электрического тока. Потенциал АЕ удовлетворяет уравнению

ААЕ+к0АЕ=-]Е.

(1.15)

Из соотношений (1.12)—<1.14) для поля Е следует интегродифферен-циальное уравнение

Е(Х) = Е°(*) + £02|О£(Г)

е

М. £0

Е (у)Оу +

+{*гас1сКу |<$£-(г) в

М. . е0

Е (У)с1У,хед.

(1.16)

Кроме того,

Е(х) = Е°(х) + к% ¡6Е(г)

е

6(7)

-/

Е {у)ёу +

+graddiv |с£(г)

е

Чу) £0

I Ч

-/ Е(у)ф,хеР\д.

(1.17)

Утверждение 1.2. Пусть тело £5 с кусочно-гладкой границей характеризуется положительным тензором диэлектрической проницаемости ее /.ж(0 м е-1 е¿,„(0. Пусть Е,Н и Е°,Н° - единственные решения краевых задач (1.1)—(1.4) и (1.5)—(1.6) соответственно. Тогда существует и единственно решение ЕеЬ^^О) уравнения (1.16). Обратно,

если Ее¿2(6) - решение интегрального уравнения (1.16), то формулы (1.12)—(1.14), (1.17) дают решение краевой задачи для системы уравнений Максвелла (1.1), удовлетворяющее условию (1.4).

Утверждение 1.3. Пусть однородное уравнение (1.16) имеет только тривиальное решение и тензор диэлектрической проницаемости таков, что

ess sup 3 s elnO) я In 2" 1/2 < г

xeQ /,«=1 So { у 2,

-1

(1.18)

Тогда уравнение (1.16) однозначно разрешимо для любой правой части Е° е Li{Q).

1.4 Задача определения диэлектрической проницаемости образца материала. Будем рассматривать задачу определения диэлектрической проницаемости образца неоднородного материала (в частности, наноком-позитного материала или метаматериала). Для этого будем решать обратную краевую задачу для определения тензорной диэлектрической проницаемости t(x) неоднородного тела, расположенного в волноводе. При этом магнитная проницаемость образца считается равной ц0.

Предположим, что n/a<k0 <n/b. В этом случае в волноводе может

распространяться только одна волна (мода), потому что 1шу[2^ = 0,

= и Ггпу^ >0 для всех p,j за исключением р = 1 и

j = 2. Мы также предполагаем, что падающее поле имеет вид

E°(;c) = e2/+W0-Sin^e-/y^ • (1.19)

Здесь А

W

(известная) амплитуда распространяющейся волны,

V! =cos7K]¡а. Вычислив предел при |*3|->со в (1.17), получим уравнение

"еОО

Е(х) = Е°(х) + *о2 jGl(r) Q

— I

Е С0-е2

dy,xeQ, (1.20)

и, принимая во внимание условие на бесконечности (1.2) при |л:з | —> оо,

,(+) -¡у{2Ы. л • Щ .(+) >> 'р Jioo(j,Q—sm—l- = e2Ay >е " ш>|хс а а а

4Q\

.{+) -iy?'x}. л . щ = е2Ау >е " jKO|I0—sin—м

abyl0 •' а а

М.

ео

Е (у)-е2

dy. (1.21)

Из этого следует асимптотическое уравнение

¿¡+) = А(+) + -|51пте'-г|2)л Г

Е(у)-е2 и. (1.22)

Предполагаем, что коэффициент (З^ известен из эксперимента. Уравнение (1.22) - это дополнительное условие, из которого будет определяться диэлектрическая проницаемость материала. Коэффициент зависит от круговой частоты ш.

Обратная задача определения тензорной диэлектрической проницаемости образца материала, помещенного в волновод, состоит в том, чтобы найти проницаемость по известному коэффициенту прохождения

= (со), измеренному на различных частотах.

В главе 2 «Двухслойный итерационный метод определения диэлектрической проницаемостей неоднородного анизотропного тела» рассмотрен метод определения диэлектрической проницаемости неоднородного анизотропного тела (в частности, образца нанокомпозитного материала или метаматериала).

2.1 Формулировка двухслойного итерационного метода определения тензорной диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала. Будем рассматривать обратную краевую задачу определения диэлектрической проницаемости тела в волноводе для случая кусочно-постоянной проницаемости. Решение обратной задачи в общем случае кусочно-непрерывной функции г(у),у е£? значительно сложнее. Строго обоснованных методов решения для этой общей задачи, по-видимому, пока не предложено. В то же время кусочно-постоянная аппроксимация диэлектрической проницаемости, на наш взгляд, достаточна для приложений.

Будем предполагать, что тело <2 содержится в параллелепипеде П, который располагается в волноводе, б с П,

П = {х :«!<*!< а2, ¿1 < х2 < Ь2, С] < дг3 < с2} (О^Я] <а2<а,0£Ь1 <Ь2 <Ь,сх <х3 <с2).

Выберем равномерную прямоугольную сетку в П размера а\ образованную параллелепипедами

^ш={х'-х1,к<х1<х1,ш> х24 <Х1 <Х2,М> Х1,н <Х3

а2-а. . , Ъг - Ь.. с,-с.

хи = а\+ —хи=°.+——и х3-=с.+——-т, • 1 ДГ, и 1 Ы2 Зл 1 ЛГ3

где Аг = 0,...,^,-1, / = 0,...,ЛГ2-1, /и =0,,.., N3-1.

Пусть тело <2 состоит из д подобластей Qj таких, что <2 = {JQj,

<2[ п Qj =0, ¡* у. Кроме того, пусть подобласти Qj состоят из объединения элементарных параллелепипедов сетки /.

/

Пусть внутри волновода расположено неоднородное анизотропное тело, переменная диэлектрическая проницаемость которого описывается тензорной функцией e(y),yeQ. Мы предполагаем, что §(>■) = при ye.Qj■ Линейное пространство таких кусочно-постоянных тензоров обозначим через ¿^(й). Оно связано с выбранным разбиением тела <2 подобластями Qj. Магнитная проницаемость тела считается постоянной и равной Случай переменной магнитной проницаемости (при постоянной диэлектрической проницаемости, равной е0) рассматривается аналогично и может быть получен простой заменой обозначений.

Введем ток:

- £0

Тогда электрическое поле выражается через ток по формуле

. 8о

(2.1)

(2.2)

|

I £о

Уравнение (1.16) преобразуется к виду 1-1

Л(*) = Е°(х) + *02

в

^<ЭЕ{х,у)3(у)11у, хе<2. 8

Асимптотическое уравнение запишется в форме

_1_М

¿Ую'^О П а I. Е0

—I

(2.3)

Е (у)-е2с1у. (2.4)

Построим двухслойный итерационный процесс по формулам

(2.5)

где

*,п{у)^{х)-ЬЦв{х,у)Зп{у)с1у-

-радсИу \5{х,у)Зп (у)</у = £°(х),хев (2.6)

в

К(у) = ЫУРЛУ)> (2-7)

Г = Л + (2.8)

а°УЮд \ а У

а 1 а

*п{у)

-I

I Ео

ЛпЫ'ЪГЛУ)- (2-9)

По этам формулам вычисление производится следующим образом. Сначала выбираем начальное приближение ёо(>') = £е (л = 0). Можно, например, выбрать ее = , где - эффективная диэлектрическая проницаемость тела, вычисленная как решение обратной краевой задачи с постоянной диэлектрической проницаемостью. Нельзя взять £е = е0, так как по формуле (2.7) нельзя будет определить электрическое поле. По формуле (2.8) вычисляется значение ¡¡о(>0 ■

Далее по формуле (2.6) определяется ток }п (у) как решение интегро-дифференциального уравнения. Затем по формуле (2.7) по току находим электрическое поле Еп(у). Данную процедуру проводим N раз при различных значениях = (к0® Д0(2).....к0^). Таким образом, получаем N

значений полей Е®, Е®,..., при различных к0 = (£0(1), к0{2),к0(ы)). На этом заканчивается вычисление на первом «слое».

При измерениях изменяются частоты со^, а/2\..., (происходит сканирование по частоте); при этом волновое число изменяется по формуле •

На втором «слое» по известным значениям полей Е^ (у) (/ = 1,..., //) из формулы (2.8) определяем новое значение т]л+1 (у). Напомним, что мы предполагаем цп(у) = т^ при yeQj. Для этого потребуется произвести решение СЛАУ, составленной из уравнения (2.8). При этом коэффициенты прохождения Fj = находятся либо с помощью измерений, либо с

помощью аналитического решения прямой задачи. Считаем, что А = 1.

Формула (2.8) приводит к конечномерной системе линейных алгебраических уравнений Ацп+1 = В, которая решается относительно неиз-

рой норме с заданной точностью 8(> 0). Если требуемая точность достигнута для каждого т]^ (/ = 1, то вычисления прекращаются. Если требуемая точность не достигнута, то (у) := г)"!] (у), п := п +1 и вычисления повторяются с формулы (2.6).

В качестве искомого выбирается значение для относительной диэлектрической проницаемости = 11л(_у) + /.

е0

Если искомая функция г(у) имеет N параметров, то необходимы результаты А'различных измерений. Если е(^) - скалярная функция, то Ы = Если Е(у) - диагональный тензор, то N = 3д. Если г(у) - симметричный тензор, то N = Если £(>>) - тензор общего вида, то N = 9д. При этом пространство будет иметь размерность N ш

2.2 Теоремы о разрешимости обратной задачи и о сходимости итерационного метода. Для обоснования применения двухслойного процесса определения функции е(*) при сделанных предположениях необходимо доказать однозначную разрешимость СЛАУ и сходимость итерационного метода (2.5)-(2.7).

В этом параграфе предполагаем, что е(х) е £//(£>) скалярная (не тензорная) функция,т.е. тело изотропно, поэтому N = д.

Запишем итерационный метод в операторной форме:

вестных г^, (_/= 1,..., .

Далее проверяется выполнение нераве

(г = 1,..., д), в котором оцениваются величины

(2.10)

(/-и,*),

(2.11) (2.12)

Здесь / - единичный оператор,

(2.13)

8Л = к$ ¡О^уЩуУу+рай&у ¡6{х,у)3(у)с1у

(2.14)

е

в

линейный ограниченный оператор S: I^iQ)L2(Q); £ = 5^для к0 = к^. Уравнения (2.10), (2.11) рассматриваются в пространстве L2(Q) ■ Объединив эти уравнения, будем иметь:

EW^V + S»)"^ (2.15)

Пя+1 =ЛЦ1В, (2.16)

предполагая, что существует Aj} = Aj}(y\n). Тогда

„)В, (2.17)

где функция

= ((/ + Л«^)"1 • ■ (2.18)

зависит от цп. Функцию (2.18) можно рассматривать как матрицу-

функцию N переменных Пусть г|„ = (r^.....-

вектор из пространства с нормой ||»||.

Теорема 2.1. Пусть существует F(r\e) для некоторого це и верно r\e = F(r\e)Be. Тогда найдутся такие г>0 и М(> 0), что при выполнении

условий max^^jl^TO-P^ilH» ^MIML ^ « IHL <М~' отображение F(*)B:fir(rie)-» Вг(т\е) является сжимающим, итерационный процесс (2.17) сходится к точному (единственному) решению цеВг(т1е) уравнения

Ц = )В (2.19)

со скоростью геометрической прогрессии с показателем := ЦйЦ^ М(< 1) при любом начальном приближении % е Яг(т)е).

Теорема 2.2. Пусть существует F(r\e) для некоторого г\е и верно Це = F(r\e)Be. Тогда найдутся такие г>0 и М(>0), что при выполнении условий max^^^lFW-F^JlM^lF^llfi-^l^r и И^Л/"1 существует единственное решение уравнения r| = F(r\)B (обратной краевой задачи) г| еВг(г]еУ

Теорема 2.3. Пусть существует F(r\e) для некоторого г\е и верно т\е = F(r\e)Be. Тогда найдутся такие г>0 и М(>0), что при выполнении

условий тах^д + Иъ>11*-*е|1 и ¡5^

имеет место оценка скорости сходимости итерационного метода (2.17):

КЧ^гЧИ^)*-^!' (2.20)

где (^о :=||й||даА/(< 1), г\е - начальное приближение, г\п еВг(т]е) - приближенное решение, а це Вг( це) - точное решение уравнения (2.17).

Теоремы 2.1-2.3 дают теоретическое обоснование предложенного итерационного метода.

2.3 Вычисления по двухслойному итерационному методу. Уравнение (2.6) решается численно, методом коллокации. Решение аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, т.е. считаем, что = при у е П/. Выпишем коэффициенты матрицы, считая тело изотропным, но неоднородным (в случае анизотропного тела система получается аналогично). Коэффициенты матрицы и правая часть вычисляются по формулам

4= I е2-Е £'ЛЯИ, (2.21)

/:П,

к2а

ФР)2-*

0' ^

е ° а -е На

Х| С08| Х/о — -у! - СОвГЛ/о +

Глава 3 «Метод коллокации для решения интегродифференци-ального уравнения на первом «слое» в итерационном методе».

3.1 Метод коллокации. Записав уравнение (2.10) в упрощенном виде Лср = / (ф,/еА'), в гильбертовом пространстве X = 1^ (<2) рассмотрим метод коллокации.

Разобьем область 2 на элементарные подобласти П; с кусочно-гладкими границами ЗПг так, чтобы выполнялись условия П, о П^ = 0

при и 2=уп,-. Выберем в каждой подобласти П,- точку (узел) кол/

локации х'. Рассмотрим базисные функции у,(х) = -Г'Х6^'' Пусть

|0,лг£П,-.

т -мерные подпространства Хт являются линейными оболочками базисных функций: Хт =span{v[,...,vm}. Для выбранных базисных функций выполняется условие аппроксимации Ух е X lim inf ||х- = 0.

m-^tc уеХт

Представим приближенное решение в виде линейной комбинации

т

базисных функций: фт = ^ c^vk. Подставив это представление в схему

метода коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов ск; т

Zck(Avk)(xj) = f(xJ),j = \,...,m. i=1

В нашем случае правая часть / является гладкой функцией. В работе показано, что и функции Лфт тоже будут определены в точках коллокации.

3.2 Метод коллокации для решения интегроднфференциального уравнения на первом слое. Рассмотрим конечномерные уравнения метода коллокации:

Ати=Ь, (3.1)

(Ах Аг Ai fß0 fJ0

Агх А22 А23 ,ь= в2 ,и = h

Л\ А}2 А33) 1*3 J UJ

Утверждение 3.2. Пусть тензор е(х)е £дг(6) диагональный, веще-ственнозначный и £!1 (х) > е0, х е () (/ = 1,2,3). Тогда существует т0 такое, что при т>т0 решения уравнений (3.1) существуют и единственны.

Это утверждение устанавливает разрешимость конечномерных уравнений в методе коллокации.

3.3 Формирование матрицы коэффициентов в методе коллокации. Проинтегрировав компоненты тензора Грина по параллелепипеду

Рк¥з = |(*1 >*2>*з):<1 ^ ^ ^'I + 'з +11 и обозначив

их через С], Сг2, , будем иметь:

с1 =-т2 2 41^соз("Л'1)2т(т^2)со5(пЯ1 (¿1 + 0,5))X

71 п=\т=1 Уптпт

я «=1 ч2 ;

л п=1т

=-2^ Е^ТА~22Б™(иХ1)С03(тЛГ2)81п(«Я1('1 +0,5))х

71 п=1т=1 Уит«™

хбш

^ тН7

вт -

Ч 2

я «=1 УяО™

С3 =_уг; ¿4^8т(ЯДГ1)яп(яДГ2)йп(»«Я1(11 + 0,5))х 71 и=1т=1 Уптпт

хэт^и^-^т (теЯ2 (¿2 + 0,^

Здесь

пк

V _ У2 и - _ ""2 ,Г2--Г~>"1-->"2--Г~>

/пт(хз)-

а ~ Ъ ■ 1 в ' 4 6 ' ' а ь

X, = ¿/г,, Х2 = 72Л2 > Л = чк> У2 = '2^2.

ехр(-(л:3 -Оз + 1)йз)улт)-ехр(-(д:з -/3Лз)г„т),

Х3>(13 + 1)Й3;

ехр(-0злз-^з)у™)-ехр(-(('з + 1)Аз -*з)упш).

< г3Л3;

2 - ехр(-(*з -/3Й3) уит) - ехр(-((/3 + 1)й3 - х3)улот),

/3/г3 <*3 <(г3 + 1)/г3.

В выражениях для компонент тензора Грина и их производных аналитически суммируются медленно сходящиеся ряды. Это позволяет вычислять матричные элементы в численном методе с гарантированной точностью.

В главе 4 «Особенности реализации и тестирования итерационного метода» представлены особенности программной реализации итерационного метода и аналитические решения задач дифракции на одной секции в волноводе и двух секциях в волноводе, которые используются как модельные для сравнения численных и аналитических результатов, а также при тестировании метода и программы.

4.1 Параллельный алгоритм формирования матрицы. Для решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих в работе, используются методы решения теплицевых систем. Наиболее эффективным для данного класса задач является параллельный алгоритм метода сопряженных градиентов для систем линейных алгебраических уравнений с матрицами, представленными суммой двух трехуровневых матриц, одна из которых имеет блочно-теплицеву структуру, а другая легко вычисляется и не требует хранения в памяти компьютера.

4.2 Аналитические решения в частных случаях для задач дифракции. Пусть тело представляет собой секцию волновода: 2 = {*:0<хх<а, 0<х2<Ь, 0<д:3<с}.

Будем предполагать, что размеры волновода удовлетворяют условию тш-1 <к0< л ¿Г1. Считаем, что падающее поле имеет вид

Коэффициент а известен, для коэффициента прохождения F получаем формулу

Аналогичные формулы получены для случая двух секций волновода с различной диэлектрической проницаемостью. Аналитические решения модельных задач используются для тестирования численного метода.

В главе 5 «Вычислительная сходимость и тестирование итерационного метода» представлены результаты расчетов, полученных с помощью программы. В разделе 5.1 проведен анализ вычислительной сходимости метода. В разделе 5.2 представлены результаты сравнения численных и аналитических решений для ряда задач.

5.1 Анализ вычислительной сходимости метода. На рисунке 1 представлены результаты расчетов относительной диэлектрической проницаемости образца материала в волноводе двухслойным итерационным методом. Параметры волновода а = 2; Ь = 1; с = 2; начальное приближение Енач = 6, точное значение в = 1,7, построена вещественная часть значения в для 50 итераций

5.2 Результаты расчетов определения диэлектрической проницаемости образца материала и сравнение с аналитическими решениями. В таблице 1 представлены результаты расчетов для случая неоднородного тела, состоящего из двух секций:

(4.1)

(Г Л2 ( \г Т1 V У) \ У)

Л1Ч-1

(4.2)

= {х: 0 < х1 < а, 0 < хг < Ь, 0 < < с,}, 02={х\ 0<х1<а,0<х2<Ь,с1<х,<с}.

■11'

1 ' 1 !'."■-.- : : а ........... _ ЯШ

рвввз

1

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

Рисунок 1 - Результаты расчетов относительной диэлектрической проницаемости образца материала в волноводе двухслойным итерационным методом

Таблица 1 - Расчет относительной диэлектрической проницаемости в зависимости от количества итераций

Количество итераций Значение в в первой секции Значение £ во второй секции

1 1,1442211-¿0,0018885104 1,1547399-¿0,00087996185

2 1,1440666+ /0,00031775959 1,1574058-/0,004368522

3 1,140544 + /0,0077741992 1,1624472-¿0,0096281959

4 1,1316639 + Ю,011875111 1,1695469-¿0,012195842

5 1,1253693 + /0,010341899 1,1745528-¿0,012229604

б 1,1238371 +/0,010211105 1,1776618-¿0,013340704

7 1,1209914 + ¿0,013582285 1,181974-¿0,015370148

8 1,114805+ ¿0,015177354 1,1873796-/0,015540706

9 1,1098722+ ¿0,013085815 1,1913597-¿0,013888457

10 1,1080044+ ¿0,011108461 1,1937901 -¿0,01250952

11 1,1062838+ ¿0,010900297 1,1962147-/0,011620387

12 1,1033408 +¿0,010241321 1,1987555-¿0,010081171

13 1,1009931 +¿0,0080135619 1,2004106 - ¿0,0078635895

14 1,1002929+ ¿0,0057195404 1,2010552-/0,005890436

15 1,1001548 + ¿0,0044050605 1,2013 83 8 - /0,0044480784

16 1,0996759 + ¿0,0034048383 1,2016867-/0,0031334373

17 1,0992887+ ¿0,0020517684 1,2017066-¿0,0017845466

18 1,099517+ ¿0,00071302208 1,2013461 -¿0,00066606828

19 1,1000676-/0,00010505475 1,2008618 + ¿6,8213645е-005

Параметры задачи: а = 2, 6 = 1, с = 2, с, = 1, А^'1 = 1,7, =1,6, N = 2, Ы0= 10. Начальное значение относительной диэлектрической проницаемости равнялось ее =1,15 в каждой секции. Точные значения равнялись е(1) = 1,1 в первой секции и е(2> = 1,2 во второй секции. На рисунке 2

представлена фигура тела сложной формы, для которой решалась задача определения диэлектрической проницаемости. Процесс сходимости приближенных значений к точному изображен на рисунке 3.

1,34

1,28---=----------

1,27 -I-,-,-,-,-,-т-т-1-г--г-г--г—т--

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Итерация

Рисунок 3 - Процесс сходимости приближенных значений вещественной части относительной диэлектрической проницаемости к точному, е = 1,3

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 Предложена постановка обратной краевой задачи определения анизотропной диэлектрической проницаемости неоднородного тела, помещенного в волновод, с помощью измерений коэффициента прохождения на различных частотах. Получены достаточные условия существования единственного решения задачи.

2 Предложен и обоснован двухслойный итерационный метод для численного решения обратной задачи, доказана теорема о сходимости метода и получены оценки скорости сходимости.

3 Численный метод реализован в виде пакета программ на языке Си. Метод и программы тестированы на модельных задачах. Выполнены расчеты для ряда конкретных обратных задач на суперкомпьютере НИВЦ МГУ «Чебышев».

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1 Васюнин, Д. И. Расчеты двухслойным итерационным методом диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала / Д. И. Васюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.-2011.-№2(18)-С. 82-90.

2 Васюнин, Д. И. Итерационный метод определения диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала / Д. И. Васюнин, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.-2011,-№ 1 (17).-С. 20-30.

Публикации в других изданиях

3 Васюнин, Д. И. Двухслойный итерационный метод определения диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала / Д. И. Васюнин // Надежность и качество - 2011 : тр. Междунар. симп. : в 2 т. / под ред. Н. К. Юркова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. - Т. 2. -С. 114-116.

4 Васюнин, Д. И. Двухслойный итерационный метод определения эффективной диэлектрической проницаемости образца материала / Д. И. Васюнин // Университетское образование : сб. ст. XV Междунар. науч.-метод. конф. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2011. - С. 241-244.

5 Васюнин, Д. И. Результаты расчетов двухслойным итерационным методом диэлектрической проницаемости образца материала / Д. И. Васюнин // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. V Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза: Приволжский дом знаний, 2011. - С. 189-192.

6 Васюнин, Д. И. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3 (11). - С. 68-78.

Научное издание

ВАСЮНИН Денис Игоревич

ДВУХСЛОЙНЫЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ТЕЛА В ВОЛНОВОДЕ

01.01.07 - Вычислительная математика

Подписано в печать 02.11.2011. Формат 60*84V|6. Усл. печ. л. 1,16. Заказ № 685. Тираж 100.

Пенза, Красная, 40, Издательство ПГУ Тел./факс: (8412) 56-47-33; E-mail: iic@pnzgu.ru

1.Adams R. Sobolev spaces. - New York.: Academic press, 1975.

2. Buchanan J., Gilbert R., Wirgin A. and Xu Y. Marine Acoustics. Direct and Inverse Problems (Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics), 2004.

3. Eves E., Kopyt P. and Yakovlev V. Determination of complex permittivity with neural networks and FDTD modeling Microw. Opt. Tech. Lett., 2004.

4. Kress R. Linear integral Equations. Applied Mathematical Sciences. V.82. -Springer-Verlag. New-York Inc., 1989

5. Livesay P.E., Chen K. Electromagnetic fields included indide arbitrary biological bodies // IEEE Trans., 1974. V.MTT-22, №12.

6. Morgenrother K. and Werner P. On the principles of limiting absorption and limit amplitude for a class of locally perturbed waveguides: Part I. Time-independent theory Math. Methods Appl. Sci., 1988.

7. MPI: A Message Passing Interface Standart. Version 1.0. - University of Tennessee, May 5, 1994.

8. Nakamura G. and Sini M. On the near field measurement for the inverse scattering problem for ocean acoustics. Inverse Problems, 2004.

9. Ramm A. Scattering by Obstacles. D. Reidel Publishing, Dordrecht, Holland, 1986.

10. Samokhin A. Integral Equations and Iteration Methods in Electromagnetic Scattering ed. Y. Shestopalov (Utrecht: VSP Int. Science Publishers), 2001.

11. Shestopalov V. and Shestopalov Y. Spectral Theory and Excitation of Open Structures (London: Peter Peregrinus), 1996.

12. Shestopalov Y. and Lozhechko V. Direct and inverse problems of the wave diffraction by screens with arbitrary finite inhomogeneities J. Inverse Ill-Posed Problems, 2003.

13. Shestopalov Y. and Yakovlev V. Uniqueness of complex permittivity reconstruction in a parallel-plane waveguide Radio Sci, 2007.

14. Smirnov Y. Inverse boundary value problem for determination of permittivity of a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation IEE J. Fundam. Mater., 2009.

15. Smirnov Y., Shestopalov Y., Mironov D. Analysis of Inverse Scattering in a Waveguide using the Method of Volume Singular Integral Equation // URSI Internetional Symposium on Electromagnetic Theory (EMTS 2010). Berlin: August 16-19, 2010. P. 532-534.

16. W.Gropp, E.Lusk. Technical Report ANL-96/5, Argonne National Laboratory, 1996.

17. Werner P. Resonance phenomena in local perturbations of parallel-plane waveguides Math. Methods Appl. Sci., 1996.

18. Yaghjian A.D. Electric dyadic Green's functions in the source region // Proc. IEEE. 1980. V.68, №2, P.248-263.

19. Yakovlev V.V. Commercial EM codes suitable for modelling of microwave Heating a comparative review // Proceedings of the 3rd international workshop. - Berlin: Springer, 2001. P. 87-95.

20. Вайнштейп JI.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио, 1966.

21. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны М:. Радио и связь. 1988.

22. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: И.Л., 1961.

23. Васюнин Д.И. Двухслойный итерационный метод определения эффективной диэлектрической проницаемости образца материала // Университетское образование: сб. статей XV Международной научно-методической конференции. Пенза: Изд-во Пенз. ГУ 2011, с. 241-244.

24. Васюнин Д.И. Расчеты двухслойным итерационным методом диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2011 № 2- с. 82-90.

25. Васюнин Д.И., Смирнов Ю.Г. Итерационный метод определения диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2011 № 1 - с. 20-30.

26. Воеводин В.В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

27. Воронцов A.A., Мировицкая С.Д. Специальные функции теории задачи рассеяния. М.: Радио и связь, 1991.

28. Григорьев А.Д., Янкевич В.Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы СВЧ. М.: Радио и связь, 1984.

29. Гуревич А.Г. Полые резонаторы и волноводы. М.: Мир, 1974.

30. Даутов Р.З., Карчевский Е.М. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов. -Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. 271с.

31. Егоров Ю. В., Шубин М. А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Элементы современной теории. / Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. -М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 31. С. 5-125.

32. Егоров, Ю. В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы М.: Изд-во Московского университета, 1985.

33. Еремин Ю.А., Ивахненко В.И. Строгие и приближенные модели царапины на основе метода интегральных уравнений // Дифф. уравнения. 2001. Т.37, №Ю. С. 1386-1394.

34. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных в физике. М.: Иностр. литература, 1950.

35. Ильинский A.C., Капустин Ю.Ю., Самохин А.Б. Математическая модель задачи дифракции на неоднородном цилиндрическом теле // ЖВМиМФ. 1998. Т.28, №9.

36. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. — М.: ИПРЖР, 1996.

37. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

38. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов М.: Мир, 1972.

39. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

40. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. -М.: Наука, 1980.

41. Мазья, В. Г. Пространства Соболева Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1985.

42. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. №4. С. 55-71.

43. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1962.

44. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения // Успехи математических наук. 1948. Т. 3, №3. С. 29-112.

45. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. — М.: Наука, 1967.

46. Никольский В.В. Математический аппарат электродинамики. М.: изд-во МИРЭА, 1973.

47. Никольский В.В. Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.

48. Никольский В.В., Никольская Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. -М.: Наука, 1983.

49. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. -М.: Мир, 1991.

50. Панич, О. И. Введение в общую теорию эллиптических краевых задач -Киев: Вища Школа, 1986.

51. Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Введение в общую теорию индекса эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1986.

52. Самохин А.Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения // ЖВМиМФ. 1992. Т.32, №5.

53. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и Связь, 1998.

54. Самохин А.Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородных средах // ЖВМиМФ. 1990. Т.30, №1.

55. Смирнов Ю.Г., Миронов Д.А. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов. // ЖВМ и МФ. 2010. Т.50, №9. С. 1587-1597.

56. Смирнов 10.Г., Цупак A.A. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. - Т. 44, N 12. - С. 2252-2267.

57. Филамофитский М.П. Система поддержки метакомпьютерных расчетов х-сош: Архитектура и технология работы // Вычислительные методы и программирование. -НИВЦМГУ им. М.В. Ломоносова, 2004. Т.5. С. 1-9.

58. Хенл, Мауэ, Вестпфаль. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

59. Хижпяк H.A. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред // Ж. тех. физ. 1958. Т.28, №7. С. 1592-1609.

60. Шестопалов В.П., Сиренко Ю.К. Динамическая теория решеток. Киев, Наукова Думка, 1989.

61. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. -М.: Наука, 1978 (переиздание: М.: Добросвет, 2005).