Двупараметрические стохастические интегральные уравнения общего вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

И6 од

... ^МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ " ^ 'КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На прапах рукопису

ШУРКО Генадій Костянтинович

ДВОПАРАМЕТРИЧНІ СТОХАСТИЧНІ ІНТЕГРАЛЬНІ РІВНЯННЯ ЗАГАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ

01.01.05 — Теорія ймовірностей і математична статистика

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

КИЇВ — 1993

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

Київський університет імені Тараса Шевченка

На правах рукопису

Щурко Генадій Костянтинович

Двопараметричні стохастичні інтегральні рівняння загального вигляду

01.01.05 - Теорія ймовірностей і математична статистика

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1993

Робота виконана в Київському університеті імені Тараса Шевченка. ...

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Мішура Юлія Степанівна.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор, ведучий науковий співробіт-• ник Кнопов П.С.,

. . кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник , Маляренко А. А. ,

Провідна організація: Інститут прикладної математики . і механіки АН України.

Захист відбудеться " № ". _______ 1993 р0Ку в

і* годин на засіданні спеціалізованої ради К 068,18.II по присудженню вченого ступеня кандидата наук при Київському університеті імені Тараса’ Шевченка за адресов: 252127, и.Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертаціє»} можна ознайомитися в бібліотеці університету вул. Володимирська, 62 .

Автореферат розіслано 1993 р.

Вчений секретар . спеціалізованої ради

Суданський В.І,

І. Загальна характеристика роботи.

Актуальність роботи. Відомо, що теорія однопараметричних стохастичних диференціальних рівнянь була повно і всебічно розвинена в роботах Й.І.Гіхмана, А.В,Скорохода, С.Ватанабе, ІЛкеда та ін. '

При розвиненні теорії стохастичного інтегрування на площині з’явилися дослідження, присвячені тим чи іншим типам двопара-метричних стохастичних диференціальних рівнянь. Результати цих досліджень містяться в роботах Й.І.Гіхмана і Т.С. Лясецької, Л.Л.По номаренко, Г.Л.Царенка, Р.Каіролі, К.Тюдора та ін.

Практично всі результати теорії однопараметричних стохастичних рівнянь суттєвим чином використовують поняття моменту зупинки. Тому розвинення теорії двопараметричних стохастичних інтегральних рівнянь пов’язане з чималими труднощами, веде до виникнення нових понять.

В багатьох застосуваннях випадає мати справу з випадковими полями, що е розв’язками такого типу рівнянь. Необхідність їх вивчення виникає при розв’язанні проблем теорії розпізнавання образів, астрономії, метеорології та ін.

Мета роботи. Одержання теорем існування та єдиності сильних розв’язків, існування слабких розв’язків двопараметричних стохастичних інтегральних рівнянь загального вигляду, дослідження їх властивостей.

Наукова новизна, теоретична і практична вагомість роботи.

В дисертації доведені теореми існування та єдиності сильнит розв'язків, існування слабких розв’язків двопараметричних стохастичних інтегральних рівнянь загального вигляду, доведені граничні теореми для розв’язків таких рівнянь, що залежать від параметра, досліджено їх диференційовність за параметром і інтегральна неперервність за параметром. Встановлена слабка збіжність за розподілами до розв’язку двопараметричного стохастичного інтегрального рівняння послідовності випадкових полей, що задовольняють певним вимогам. Доведено теорему про абсолютну неперервність мір, що відповідають розв’язкам двопараметричних стохастичних інтегральних рівнянь загального вигляду, виписано щільність однієї міри ' відносно другої. Одержані результати є новими. Вони можуть бути • використані при розв’язанні різних задач з теорії двопараметричних стохастичних інтегральних рівнянь.

Методика дослідження. В роботі використано різні мартивгальні методи §теорії випадкових процесів і полів.

Публікації. По темі дисертації надруковано чотири роботи. Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на XXI і XXII всесоюзних школах-колоквіуиах з теорії імовірностей і математичної статистики. (Бакуріані, 1987, 1988) , на І і II республіканських конференціях, присвячених пам'яті відомого математика Й.І.Гіхмана (1988, 1990} на спільному науковому семінарі відділу теорії ймовірностей і математичної статистики Інституту прикладної математики і механіки АН України і кафедри алгебри і теорії ймовірностей Донецького державного університету. :

Обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, трьох глав, списку літератури (45 йазв^ і викладена на /<£3”стор. машинописного

II. Зміст роботи. '

У вступі проводиться огляд робіт, присвячених двопараметричним стохастичним інтегральним рівнянням і стисло викладено зміст роботи.

Перша глава складається з трьох параграфів. Параграф І.І носиті допоміжний характер. В ньому подані означення двопараметричного мартингалу, мартингальної міри на площині і твердження про деякі їх властивості, будуються звичайні і змішані інтеграли за ними, виписуються оцінки для других моментів від цих інтегралів.

В § 1.2 розглядається питання існування та єдинооті сильних розв’язків рівнянь, що мають вигляд

тексту.

(г,5)у

СП

- 5 -

+ С$і))р (<&,<&%

З, - І! 5 ( <1Х Оі,4; ^,Ц®У (ЛЛлО<Й * 0 °©

+ '^3<*,4;$С*,Ц'в)/.

Тут вС2,^) , ь*^-з -випадкові

функції, які визначені на > л * Я1*»

ч © (~&„ = 1°,Иг ) і приймають значення із й* (а.(гф^

сі- (*,§,<?), і-1,1 ") і ІСКА,*') САі £>(г) ^ Лл і приймає значення в К л-, <£> (гї } *-р>1 Сг)( і,і,л м.н. неперервні; /< Сг/' ) - мартингальна міра

на площині з неперервною м.н. слабкою характеристикою Я"С2,'}

і неперервними м.н. напівхарактеристиками *) і

(г, О ; «<(г1 - узлагоджене,м.н. неперервне,

зростаюче поле з вариацією на = Ео,гД - «( (*). (я, "*> £ ) -

певний ймовірністний простір, на якому, якщо не зумовлено протилежне, розглядаються всі випадкові об’єкти, {5* і - течія б--алгебр, що задовольняють звичайним вимогам.

Розглянемо неперервне зростаюче поле: г

А* "Я

МІ Сг) + <р> 00 + 5 ^ + І<рі0с,Ш4 +•

» * .

+ і 5 +■ І X +

О 4 (м} * V'

МЧ>(ет*,^ - ,рс*^

де 4*1 С®") і і'*!3 такі, що відповідні інтеграли в даному виразі - скінченні. Нехай:

n (г L\- Jtiti'JtLJl .

>1 K*,»)- piJx^Lf)

Основним результатом даного параграфу є наступна теорема. Теорема 1.2. '

1. Припустимо, що: . •

а) коефіцієнти а(*& , &с задо-

вольняють разом з вимогою вимірності ВИМОГИ лінійної обмеженості і Липшиця;

в) %{?)лЪу М ^ '■=’ і реалізації

тії*) з імовірністю і належать «3^ (’’So, R.u ) -

простору полей без розривів другого роду із значеннями в R* .

c) A^WstH: » де і (*)•< ї-е і -А

неперервна з імовірністю І.

Тоді рівняйнч (І) має розв’язок їіСг) t ЯЕцй "^z -

погоджений і не має розривів другого роду.

2. Якщо разом з умовами а) -с) виконується умова:

d) IkG«| * К? , V2£^0;

ТО І розв’язок - єдиний U.H.

їО?о „

Установлено також деякі оцінки для розв’язку рівняння (Д) і теорему 1.2 узагальнено на рівняння вигляду (І) , але а коефіцієн тами, що залежать від "минулого".

В § І.З приведено означення слабкого розв’язку рівняння І , встановлено слабку компактність мір, які відповідають розв’язкам рівнянь вигляду (І) і доведено основний результат цього параграфі' - теорему про існування слабкого розв’язку рівняння (і) .

Теорема 1,7. Нехай коефіцієнти рівняння Сі) задовольняють вимоги вимірності, лінійної обмеженості, а також умови:

І ^функцій неперервна за g при вспс г е^о

майже при всіх і стохастично неперервна за * при всіх £ ;

2") функції (е.^) t іш!-‘Тї у неперервні за % при всіх

2 t%> у середньому квадратичному і стохастично неперервні за -z для всіх j ;

З) існують такі O’ - скінченні невииацкові міри уп- (do~),

що

Г {і, А) -- У vp; t3,e)wi; (clo) ' А '

де Ч>С ~ <^~>ж ^ “ вимірні обмежені функції ( ~Ь - в" -

■ алгебра множин із © ), і - ; .

с.'- (.*,£,9) стохастично неперервні за х при фіксованому д в ^ С Ж- ; © } і неперервні у середньому квадратичному за ^ В ід (т; / О ) при фіксованому і І і - Цз і

4) функція X (г) = +Уіу) задовольняє умову:

[Р { - ^(*Ч>/ %■ і + ’

К-»о Чк^ікЦ.

а функція С^-) - умови с") і сі) теореми 1.2.

Тоді рівняння (і) має слабкий розв’язок.

Глава 2 дисертації присвячена доведенню граничних теорем для розв’язку рівнянь вигляду (і) , що залежать від параметру, досліджується диференційовність розв’язків за параметром і їх інтегральна неперервність за параметром. Розглядаються також питання про скінченнорізницеві апроксимації розв’язків і про збіжність за розподілами послідовності випадкових полей до розв’язків рівнянь. Глава складається з чотирьох параграфів.

Центральною для § 2.1 є наступна теорема.

Теорема 2.1. Нехай для послідовності рівнянь

« К + -С-г, '

-ХчС*) і- .§ •

виконуються умови: .

1) умови а), с) і «() теореми Ь2;

2) для полей *« 2 виконуються умови в") теореми 1.2 і умова .

іоп Р иіі =0;

^ к% и і (1 °** <-*'3) - «о 1*+

аі'Яо

* А ('*>*>- ь'1‘фиг' £

' - Г; ^»0, \/Ц>0;

4) для всіх 1«<-ч-°6»10з) -9 о за ймовірністю

при м. о-> ;

5) характеристики і налівхаракгеристики двопараметричного

мартингала /ч(і) - і мартингально! міри у*ч(2,0~

- у!/о (2, • ) збІГаЮТЬСЯ ДО НУЛЯ у СербдНЬОМу При для

всіх ї б-'зіо ;

Тоді

і'**. Р {*ч> Іїп с*)- = о \/г>о.

(і . 2 .

Аналогічний результат має місце для рівнянь, які залежать від неперервного параметру, а також одержано аналогічні результати для рівнянь з коефіцієнтами, що залежать від "минулого".

В § 2.2 , використовуючи результати 5 2.1 , доведено теоре-

му про існування похідно! за параметром від розв'язку двопараметричного стохастичного інтегрального рівняння вигляду (д) і виписано стохастичне рівняння, якому задовольняє ця похідна.

В § 2.3 будуються скінченнорізницеві апроксимації Ейлера для розв’язків рівнянь вигляду (,1) , доводиться збіжність цих апроксимацій до розв’язку рівнянь. З використанням одержаних результатів доводиться теорема про інтегральну неперервність за параметром розв’язків. Як приклад одержано один із варіантів принципу усереднення для двопараметричних стохастичних інтегральних рівнянь:

ЕС*) = +- ГтСтИт + +

о о о о4 ^ '

* & {*>і; 5СМ0/1 ^ а (*А; £ $4); 9)/ (і/х.М'їАі)) .

В § 2.4 розглядається послідовність випадкових полей

5*. (*) , які приймають значення в И'* , мають регулярні

траєкторії, визначені на різних імовірністних просторах і які задовольняють умову:

М І тС* С*0 Iі < ^J

-де А (?) + ЪчСо,#)-\(о,о) .

Для цих полей встановлено зображення вигляду: .

дх; + І

♦

дв Ч. &Ч - т;> - вимірні ви-

падкові величини, перші три з них приймають значення в Ч , а - оператори, які відображають в ^ і

луїЦ, - послідовність випадкових величин, які приймають значення в И1* і мають скінченні моменти другого порядку;

/* ^ - послідовність випадкових мір, які теж мають

скінченні моменти другого порядку; оСгі^ - певні випадкові величини, "малі" в порівнянні з *5^ . '

При певних припущеннях, які в цілому аналогічні однопарамет-ричному випадку, доведено, що поля § * Сг) слабо збігаються за розподілами до розв’язку стохастичного рівняння:

-%(*) + (й-Ы; 8С^)об5сЙ- *-

‘ О о ^ »

+ + ^ Сі)

де - винірівське поле, а ^ , А® ) -

центрована пуассонівська міра на площині, М -

. Основні результати третьої глави базуються на узагальненій формулі Іто для.семимартингалів на площині, яка одержана С.С.Мішурою.

В § 3.1 , застосовуючи цю формулу при виконанні умов, які

аналогічні однопараметричному випадку, доведено, що поле ^Х|<?) ~ с*7* { І мае вигляд:

* 2* < £

* ^|о<.С^4)с/ісй -У || р>(г,4) Ц/

+ Н Ы*,си,с1е)

Також в цьому параграфі доведено, що для того, щоб мартин-гальне поле

2(.*) - }? ч>(*,+,&)

що задане на ймовірністному просторі ілі ^ перетворити в мартингальне поле на просторі { , Т, -Р"3 , де

<(£“/<# - і. . достатньо до нього додати поле

И .

О о , /

де оС* (г) задовольняє рівнянню

»<*(*)--ЄС*)-в*(г) - ї {*'9- , .

© 1

В 5 3.2 доведено, застосовуючи результати § З.І., що при виконанні ряду умов міра ^ * (- ) , яка відповідає полю )

на просторі полей без розривів другого роду, де і * Є *) виходить із (2) заміной , а-^а* , -7 <** >

і* , V -•> V *" , абсолютно неперервна відносно міри

/<(•) , яка відповідає розв’язку рівняння (2) на просторі

полей без розривів другого роду.

Автор глибоко вдячний своєму науковому керівнику доктору фізико-магематичних наук Мішурі Юлії Степанівні за постійну підтримку і увагу до роботи.

Основы! результати надруковано в роботах:

1. Шурко Г.К, Об интегральной непрерывности по параметру решения одного двупараметрического интегрального уравнения»

XXI Всесоюз. шк.-кол. по теории вероятности и матем. стат. Тез. докл., с.52, Тбилиси, 1987.

2. Шурко Г.К. Интегральная непрерывность по параметру решений одного класса двупараметрических стохастических интегральных уравнений. Деп. УкрНИИНТИ 25.09.87, № 2732-Ук. 87, Донецк,

ДонГУ, 1967, 27 с.

3. Шурко Г.К. О сходимости решений одного класса двупараметрических стохастических интегральных уравнений. Теория случ. процессов, 1988, в. 16, с, 97 - 105.

4. Щурко Г.К. Абсолютная непрерывная замена меры в двупараметрическом стохастическом интегральном уравнении. Вторая Донецкая конференция "Вероятностные модели процессов в уравнении и надежности". Тез. докл., с. 72, Донецк, 1990.