Единственность решений задачи Коши для некоторых эволюционных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

р Г 5 о Д ' :

2 3 OUT 1SS5 -

03063 ^^úbnSgn^nü (jcjbQcr-Anb aÄocjoUnl) bob^c^ngn збоззбЬгцззол

Ьос^о^э^Ь agcjQbrw)

ôdô3CN>33(T<-o 03ô05fl ßojnqnVib ¿3

чгашп жш шйвшт) бОЕтшъжь ажип шъ отт ОЭГЕШО) аташт

01.01.02 - содзбзбоплетРю .¿aS©"1^^

Uötjnb^figiijnn Э л (j 5 3

ojntr)j^- 60043901(50job Эз(з£Гозйз&ло» jj6cçntgi(5nlj и^Ззцбод'тп bùfinbbnl) ЭпЬлЗлззЬс;^

crjbnqoOn - 1995

С^Ю^ХЗЧЯ0 BgWi^QQbjçoi 03-563 jíc>3obo93ncv>b Uíbgcyiiob oiïmcjobob ЬлЬзс^Эргдадп зБоззГчЬощзц'Эо

и^азуБо^йп ЬзскИедобзсуТ Ззцбгг ^зЬохи.!

ЗйпззЬсйо о. ¿¿¿бгх^з

rwriyno^^io пЗстбзб^ззйо: Д. 030V1ja-ЗогазЗощоjnb Ззубаз^з^сувл

О^Зй"^"' ЗппдзЪгЛп fñ. jnfídjdQ 2. 3nV)jo-3^©33ù(3njnL> ЭзцбпзйзЬоото t^JíS"^"' -ÎÂ^obriV) b. bùftnbQgùt^oçn

¡уЬзпцоуопЬ (о^ззй Э'свдЭ^ ¿5" " ^¿«-SkjUl, 19 3 5

и йС

£.4 Us.sroti3 obg 83(463 jnfij^bnb goVijnb C5C45 o^conjynñn^Bo. bo3Q(j-ЬпзЛг)-Ьо>о(ззЬ(у>(_)оп bibj-1» PhM. 01.01. С № 1-5 bù^m UbiçrrôjtQ.

tjob^fTjoynnb ^оцбпЬо 'SQndcvjbà гоЬд loSytjSngt^o боб^опстдjoBo í 3 S С С 4 3 . собо^оЬо. збпззпЬгцззцпЬ 2 ).

о^п^Ъэфй 3,0 19 9; f>.

ЬлЭэцбозЛгт-Ьо^дзЬолупг) bob^nb Ъ^'03-

ÜSfinZfobätob opyjGigr» ÛjJijy}.^ н-босооЗ^^О

гоэЭпЬ On3nlj rcngQfrjSun^ñn ¿oGfj^bj-

ЬлЬ Ззь^зс^ь (çncoo оЬог/тол ^jab. oijQwi '^э'-'^^зс^ xfi>

J°tS33 es¿(;-s3í>Q6nb. СдоипбпЬ. oQíñnQÜ. jnBnli ЬЬз^отл jç^bnj^ б¿<3-irdohoc, ¿зЬзедЬл. ЭлЬ Э3Зеда, ó¿3nnj33oo J^JOJC0 ^З^лбзг-

bob цб^Ьо. toocçn ЗбпЭзбзрп&л ЗпзбпДл озЗ^ отд пЗ лЗпцлбпО оЗобаЬЬ-6nL< QfwicoQfTctii^fcol» bijoa)b3f)ü. з^тх^зйюпЪпЬ («зртйзЭЗЬпЬ ¡50>9j3jti{j3bob ЗзсопсозЬп mö6(Tjioo)6 njSBgbctjo» coo> оЬзз^зЬотоо. ^3oJ36o ^ЗвдбпЭз Vr-5 ¿too 830*450, бпдпбоцол SàjbnSjSnb ЗппБцпЗоЬ Ззсппсол, ¿п^ЭфйзбоЬ 8300050 (йпЭз^гу Эп(ззЗзс;о jo6gncj3bnb Sg^cj^bsçn доб-

Ьо^з^Ьсолб^л (улj-3<3ofT3&3£0 ), Ь-эпоз^з^о jun3^r,'J Эзспгкуо, 03360J5-8363360 ù3r>6o)bli6rib лЬпЭЗо^цзз^ю озпЬз&зЬоЬ ßv 3<чузбзЬ.Лз £5^*53^63-Ьд^о Ззсхтоо сз-ь ЬЬзо.

6i9fír-i3nb Эо'Ьлбоо tnjOQÎTTOO bùbob с^лдзбзбцо.эс'збо fli6(3nç3Ï>r)b-etgnb cç^bS^QO jr>3r>b ¿ЭгтцлбпЬ ¿ЗоблЬЬбпЬ зйотх^зЛохпЬпЬ jcjùb^bob 150x5,536^. '

j3Cj33ob ri&ogJijb рййЭгха^дзбЬ ЬоЬпрззпЬ gn3nb CfS Vijngftcno bo-bob 2 o fón¿nb j3íWm^¿(ó3M3Í)3c*iO)6r> Ô^SryicjQbQbo, M¡-

CX)bn(j íboqo цзсу>с?зЬ( йоЗг^узбзЬост с^пузо>60£>.э ЗойоЬ^з^тл Qn3ob [003363 бцпосд'ч ао>б(з"1сзЬ.эотл üobQ33oV|.

j3C*)3ob SQwxon: 6-icW>53n ßiEbocj^c*1 û^Sgnçabo&o р.эйЭоовдзбзб й^со^йз^зЬ^с^п bcjbob сопсзз?тзбцпос73^| ¿^бдгс^зЬзЬЬ. o>3o¿)n3 д^тп^пЬ ¿(563 ЗпЬЬзбз^зсчп ЗзгопсозЬп бл jcjQb^cç OSO-faj^00- 0?оЬз(ту>ипУЭо 360*»-(53Йэтгт&пЬ гозпбзЭз&пЬ c^3gjo(j3Í)oboo)30!J ¿лЗппузбзЬо 3- ЗсЛ>9з(^0оЬ .. ЗзЗп(зобпЬ Ззйпоп, йпЗзсуто jnfñjдоЗппузбл п. л. ofv^nGojSj -чЭ bö^j^Snb 70-r>.>6 ^рз^Вп. brcyi Эзот^соп Албл^п^аедЬ юзосспб

(">•■»• nc;^|o6nj3o roo ЗпЬЭй 8<чЬ^зс»зз&Эл ( 3o¿. л. û->û6ndQ cj» ЬЪз»)-

босггпЭпЬ Ззубпз^з^о Собз&зезЬ^ СртЬз^.эцолЗп doQjby^no З3З-

1- ¡öc-i5536o(joc> З^Зо^Ь-э^зт-дс? Зпс^ЭпЭп Ьп<Ут;ззпЬ (у.Зг.Ь

-ч-

Лд6уос>сд<тп (soiUS^ty1 jncinb ¿Scy^SoU ¿Зпб.лЬЬбпЬ 3fr

mocoQfTOnbnLi jcjûb^bo tí-xg-scj g^GJfjn.iwo jjjibSo, fincjQb^u 506(31^36^30 ЭдЗоз^ JfT03non36(53bo ЭзЗпз10^363^0 «юб^^Ыи, Kn+1 br>3%ib Rftx(0,T) V^Sn.

2. Boçobjcyi-s .<WT5^i?JfT030(jr)36(g3bn^6o 2p 'ftngnb Vi^nQft^n 15033-636^30^53610 ¿обцгхззЬоЪотзоЪ tçobS^n jrtôob йЗстцйбоЬ ¿>3n6obb6ib gfr-' юос^з^игАоЬ j^bjbn. ■

3. ЭоедЬзс^ло ЬпЬпоззпЬ QnJnü ¿¿ÔQrç^bnUo^nb О- Ç' (?оЬпЗоцг>з6о зззЗщоЬ (36mb jr-KÎob j3n(j-i6ob оЗпблЬЬбоЬ gfioMcjQÑWTboU jçobgèn-

бавтпЗои çniôgbjcjgfio: Бл'ЭЛлЭВо BnçQ^jQn ВзсоДйзЬп

myrft ^ço bobno. BciflfoS ftùcçfliC Зо^Ьп^дбо (goinb .фобдпрзЬэ&пЬ

Ь Лд^зЬпо) Эзос^Ьл ocjopgftnb gnVijnb Эп^зоро ЬлЬоЬ 803^363^0. ç>9ngf)3 tn¿n o>8nyù6nu ¿ЗпбоЬЬбпЬ зЛпл^зЛюп&пЬ cçocçôQÔobob 80(3363^0

длЭпуэбзЬдс0 °yrJ-' зб^ол^Эп.

блЗтоЗоЬ .ьЗГгтЬ.ьцл.й'- сопЬз^тэоцппЬ dníVxn^coo 330*30360 ЗгЪЬзбз-bjcv) пуп cnbnçnbnb о- б. '30J3ib ЬлЬзсттбоЬ длЭоузбз&пгоо Ebo^S^njob f,6'-lÖn(33'3r)'J ЬзЭпбобоЬ Q^goíWiQbjq bbtooSgbtg ( 1993 2-5 о>3(тос;п 0{о 199" 25-28 о). соЬд 0(53536(5»^ 50-3 ЬоЭзцбпзбп jrîGgQ-

figSyo^^Q ( 19 90 27-28 0363^3^(^1). гоЬд (5033^3 6(jn-i otó <">6(33L>-fi^Crfío б^б(згозЬзЬг>Ь jotr>3r^í!ob ЬзбпБйбзЬ'Ьз 1993-199S ÇiJ.

с?пЬэ<т(5оцг)пЬ dnrtfxn^cçr) ЗэВДбЗ^п ^оскЗгузЗjraio 03-

• gr-Änb nab 6o3tVx5cín.

БоЭчпЗпЬ tço b^^Jo^rto: (gob3fi(50(_jn.i ^3(04360 ЗдЬ^зопЬ.

Ьдсвп ev>30b,'i çc cy>ß;!':bl33'<>ob ЬпоЬлдоБ. yn^oço гоозоЬ Эодбпоо дгЛЭ^-Çjbn (Ç-s (^йбоЗпорол tçi3f>3jfx$0bç;.b<ç ЬЬзо оюззЬпЬ^доб.

.бо^т-влО twglW) 6übo3cfO S^öjoöjftn (MjWjnb 114

byxfaxf**' Ьо; ЭэпцлзЪ 3S cjobib3^3tio>U.

- S -

cor' 3o6úü<óljn.

щпЬз^тэлуооЬ Зп^ззс; ото>зЭп д.ьбЬос^зс?'^ лЭпц^бл:

30j3i.ro, о-?ЖПх(0,Т) Rn+1 ЬпзСх^Зо u s»nx{0>.

¿оБзпЬпсу«о oï-3n ЬпЬос;ззг>Ь gnjnb ЗзЗеддо длбф'Х'ЗЬ^ЬтзпЬ:

l.f l[']]\l.f J!fb _!]Lo. <„

* w=i JJ^ «Л" ^ J J

çibS^çn jr.lob обпцобо b¿r?ynbn Зпбр&зЬпоо <^-^3: »X

u <X,0) = — (X,0) = О U>

Ôt

cjnb^fTQiynù'cb 'узэсй^б 3Q3tybb3nî)0). fn3 ty Ь^. -v> ЬЬзл jn-ЗЭТЯйбсз^п ^^ЯЭпосгйзбзб боЭсозос; Vi3¿co S^GJooQbb. ЗзЗоЬо'Ьсй^^ <о оЛоО бзЬпЬЗоз^ ЭзЗоОлТ^з^з;; ¿ЗзЬпЗй^зся'Эг). ($r>b3i%b{yi,i3o ¿060-bojvjbà (jibBjcv» Sbnpntg jcjobrij^íío ¿ЗоблЬЬбзЬп.

3»j3oo), а^ 15л biy JiXB°ÜnC)6o3bn бзЬпЬЗпзйо (X, t)e Ü ць ï«s Rp-lrcgoli ojSoynojr 3&36 ЗпйпЬзЬЬ: n

° - Y. ç<s a ( ixi+i>a <г|2

(3)

n

0 5 Y. vx,t) (j s a r ,2

Uûcj^o a.iî=conet. 0£ a <2 , OS ft <2 . A=conet >0. З3ЗП30006ГЮ) 0060336360 УЛ0, 0< T S T-Un^ob:

u+t. 0.r):|x,t||X|<A 0<t<rj.

ЬоЗойел^олбпл 338(5350 озгУ^Зо: .

тОПвЗЗС) 1. 3cr>j3¿«. u ¿Ait* ( l >-( 2 5 лЗгцлбпЬ ¿3nGMj6n Cf0> (1) 6ô6(yïj3br)b ,<пздпцг>зб<ззЬг> ¿j3¿yr)gn(4Qb36 ( 3 ) ЗлттЬ^Ь- »j 3 <г>0

nb^coo» frvà V £»C (^пуЬззбпЬсгсг^оЬ •;>j3u

2 - - 2 ^ —------{ W }.

J £ u.2 - u22 } SU dt < exp cr( 2¿)'

Ц2Л0.Т)

Лд ,Д à

b.Mçc>y vu = u ¡ja — - ) —

at _ oy.

*. = i t

Л1

dX

у=т!ах(о«,/7). ЭоЭпб u = 0 йоЗВД-ьб <■> iindfú^dj'an

3C0j3¿X0f h ofiob [OOCg3&ncnn .ifíojCJQibOOOn «J^ßjljrO. h( s ) Ï 1, ¿Im h(5)=oo ¡jo ЗзЗссздг) Joñnú^!

6 —»03

ds

s n( s )

(4)

. ШШ1 2. з«3з«п. u ifiob <l)-(2) дЗпцзбпЬ оЗпб^ЬЬбо (1) б^бцпс^зЬоЬ опззпцпзбдзЬп aj3oyr»jriç3b36' ( 3 ) ЭпппЬлЬ- 003 3 х>0 пЬз<г>0. ПпЭ V m »0 Seriem боиЬзз&пЬосозпЬ осадос^п o>j3b ЗО^чЬ;:j:

. Xi''1.0, T)

I [ u2 ♦ ) dXdt < exp { «¡г")2"1' h(2m> } .0.T)

ôu ¿X 0u ï

Oit?o(j u =u a>o u.= — ) — b —

л CÏ-.\ ey-i l e*j i

. h cAili (4)-3n

o03o3iQo «33 ^Ju00, ^ : тал(<а,(Э). З.-Зоб i.-0 уззедлб ш~Ъп.

çobQfiQc^jrinb Ззг^з сп^зЗп J3qc>3 ¿¿»бЫтсдрос «o ЬПЭЛ^ЗРЗЗ-

bi. ы-Эп ,.> Ь^Ь.'сдзоЬ ¡jnin'j tr^ocoo ¿¿.б^чтзЬоиотзпЬ:

О

<п.

0 ах

Zn ' í * 1 0

, «. '''и J " h Cl

4. 1 J ' »Zl i

у 1 í ь Л ] у ь

лС.

(5)

Ь

(Oùbd^n j"K?nlj оЭпцобо ( 2 ) bo£>yr>bn 3nft->î>r№ о -Ъд. ( 5 )-Эп З3-3o>3içn СО b¿J jn^goonO^OO^" < 3 ) 3r/ín6ob, Ьпсет

Ь.. сг too с2 0 03°йп36гаЬпЬлзпЬ ЬЛэсдаЬ.* ЗойпйзЬп:

- I ; '2 £ к Z <<

' " 4= I t, 1

п п

I < >2 2 31

п

Т"""* о '

о <

TÍ 1 .77= i

1

(S)

coo

(X,t) < M ( lr¡ + l)z~r , ' Я1.2. ( 7 )

bocooy К,3,M=const>0 coo у=шах( a, ft).

( 5 )-( 2 ) оЗгцоБпЬгозоЬ сооЗд^пузЬ^опо 0)306380 l-nb eço отзиЛдвл 2-rib csSocynjn^fnn созс/пзЗз&п.

coobofi0o(jonb З3-З 000380 ЛЗС^З ( S )-( 2 ) лЭгц^обл»

бтпбрпЬспзпЬои (6), (7) ЗпбпЬзЬп 3- "^З^оо, ЗЬгцус? (3) ЭгЛнЬоЬ Эо-Qngfcxç ¿y соо Ь _ ^330(3036(536(1 63601803(^1 (X, t )« м f« Rn--ЬотзпЬ ojBoyngocjQ^ö ЗпйпбзбЬ:

. г

° ~ X 'VX,t) (j s A ( Iх'*1'" ho{ho|X|) ,?|2

(8)

n

,2

OS £ b^(X.t> ^ Kj st А ( jKl + l^ h0(h0IX|) Iii2

>=- ' ' ' .

bocçoo a,^=cor.et, a <2, OS ft <2. Arconet >0. bcxy) hQ 0ЛЫ1

¡çocgQbrxnn oftsjjQbocfo g^ôj^où, h (e^l. (■) = »çj 1»<>Э<??ЗЬ,>

s —»D

УзЗсоздр ЗгУ'тпЬо:

00

Íde - ~

- = a> . (9)

sho(s)

3OTJ30C0,- h^ 060b цредбпох) oîtojjjq&OCÇO SCJGJUDÙ.

- s -

¿Ш, lu.í;®)) - «¡0. ïfpfôçst*. H-,^ S^jü^nber^nb Ьбзскз&о Jr>r~r>fco:

o»-

Îcîïb ^

---—----- ; œ, ( 10 >

x e hr(.S),. hb(i ho(s) .

ЬлЗУто^плбгк) 'З3ЗС03ДП. CTQM-ÍQBO :

CDOfiüüi 3. 3roj3aco> u Au (5}-(2) ù5r<jo6ob оЗ'-.боЬЬбо c;j \Ь ) Ö^Bßn^&nlj Ji-)33nyn36[33i "i ¿jiby^snc^ö (8), (6), (7) ЗпгчпЬзбЬ. 0)3 3 к>С nbQox>. find У-m »0 Эюзро бпцЬзз&пЬлетзпЬ осо^^С!0

J fu* -u§ )jdXdt 5 ex;-J «(2т)2_,'Ь1(2га) J.

da o f du "J ~ du ,

CO, u1= - - ¿ _ - - ^ Ь, - - c2u.

i. J-1. < 4 4

' bnc¡r> h^ «ifóoLi ( ID Э-Зо ¿зЗоз^п g^Ojyncj. З^Зпб u=0 уззсй^б м-<3п.

(ЦлЬз^-^цопЬ З3-4 оозЭп û^^bnçjcjoi ы ЬоЭб.эзс^з'Эл ЭгудЗ^о "!р fin^nb ЗзЗсгзйп сгпззйзбйоЬвдйо й^бщгд^зЬп'иотзпЬ:

u-G. . (11)

LI « «i ' ' ~ «i"£

tjibSjt^o jrVSob оЗпцобл bofunbo ЗобтпЬзЬпот и -tg. du

и KX.O) - — (Х.О) s ....... г —^Г-Г- С X, 0 > = 0- С 12 >

dt - ¿HP_1

k ■ (11) grxyAiBCi ЭдЗозсч?! j<*i33<\)n36(j3&0 бзЬг>ЬЗоз<~г> (X,t)e w

£5» (* K^-tw^nb ^Эоус>злозЬзб ЗсгЬЬзЬЬ:

Л

«^«conet. OS o^ <2, A=con«t >0.

OS У <X.t> Çt f S AC |Х|*1Л Iii2. k.77 (13) ,

¿77=1 ' ' ■

к

4г c¡, ¿"ЗЭТГОбаоЬ" ^ЭоупсдорзЬзб ЭгА->;>зЬЫ

ГЧ - г -i к

-Ijtitj' ksl.P -

i--1 I.J--1 (14i

ço C¡((X t) á M < |x | + i >2_r , k = l.P.

bocjifj B[{, M=const>0, k = 1, P tjô Г = niax a^.

KTK330) 4. 30^3001. u оЛчЬ ( . )-< 12 ) оЗгуоЯаЬ ¿Згч5.>ЬЬ5г> tji (11) ûi6(yx?obntj ЗПЭзпцпзбсзЬп új3¿yngr>cK)&36 (13 M 14) ЗЫгг ЬзЬЬ. о)з 3 о >0 OUqoki, бтпЗ V i »0 6v>yb33Í>nb.bo>3oü -^<55050 0J3U' ЭОГЧЗпЪлЫ

I ( X ) dx dt £ sxp }•

21, О, Т)

Ллк ~ ' fk ftkl Г ' лк

up=u и =--- ) — а — - V а - - с и ,

2.P , ЭоЭпб u=0 иззс;длб ш ЦгЧбоз^зЭп.

COTftÛâi 5. 30^300), и oßoU ( 11 )-( 12 ) ¿ЗпуббоЬ оЭобоЬЬбо qo (11) ñ^GCTCO^'J J^OS^XyG^OOb0 ^ЭлупзовдЬзб ¡13). (14) Jnfirr-ЬдЫ». C03 3 *>0 nb^mo. firyB V m »0 За^дп СчтцЬззЬпЬолзпЬ. JXQffiffci öj3b да-icyobcb: ' • ;

р

í

dXdt < ехр{ h(2®> j..

A. í ( к »u ] " к Л

Ьсмз и его и - ) — a — - \ a--с и

Р ахД eni J *

С.?. Ь^г^л h сЛоЬ (7) ЗгЛ-АгэЭл ЗзЗ^з-з^о g^Sjrjno- ЗлЯп5

и = 0 узс*5йс>6 и'ЬоЭ^зс^З-,.'

Н'

•5^33 ^jnb^a^jb.» ¿Згхрбо ^njo (-11) fytjnfcnl» JXiSVrKßfXS'

-LO-

Ьо Aj3jynojriç3Î)36 ( S ) Зо^то&оЬ ЭЬдозЬ ЗгЛп&оЬ.

(^оЬз^оцппЬ Э3-5 гоо>з<3о ¿¿6bncj3Qnö ш L Эб^з^зЭп Sn^Bjcjo SO^Oô" побзпозЬоЬотз ib:

--а - c.(>:.t)

<n

Л - c2(X,t>

u=0.

(lï)

çobSjcvi jnclnb оЭпцо>6-> ( 2 ) b¿£>ynbo ЗпбпЬзЬпсп ю^-'Ьз- зсг^зли. c2 ¿0330(3036(3360 oj&c,yngnc:3b36 ЗоЛЛлЬ:

Cj (X.t) Í M - A.|X| , bc><çc>u M, A=const>C, a=const, a>2

>=1,2

t 16)

tnonraai 6. 3OTJ30XIÎ. u o6r>b (15 >-< 2 > оЭпцлбпЬ ¿ЭпбоЬЬбо (ÇO (15) ñ¿6gr"C3&nb .0"ззоцоз6(зз&п ojSoyn^n^^S (16) ЗгЛпЬсэЬ. сод Э о->0 оЬзою, fñr>3 V ( »o бтпцЬззЬпЬогозоЬ -ь j3b зо'^оЬлЬ:

1+ -

J [ ul2 + u22 ] dx dt - exP { 2

As Г Л 1 2

u_ = u Сй u. ---Ли - с_ и. о < 4 • - , ЭоЗоб

<»t * I с екр(1) J

и=0 уззсг^б « ЬпЭйлзет'Эо.

(16", Jnrtnbob S^Qr^fiiq; (15) 3380301^0 (ço

с2 >- XWXl^Ü^CO^o ^^ЗоупдпрзЬзб ЗппгЛ^Ь:

(17 )

с^ (X.t) < 1 - А|Х|' h2(X;,

/-i, :

boQ^y h2 tVib сговдЬгдап c>fcj£3¡!>¿[j>n gjBJyoo, h2(e) i 1, í¿<i íi2(») = со Uv^craiio 'ЗоЭэдпп ЗобпЬо:

Íds

6 h,( s )

- u -

CUTfiOBO 7. 3OTJ30OT, u otfob (15 )-(2) ¿,3ryj6nU j3n6obbSn < IS > ¿o>6(ycj3bnLi jn3go0nQ6(33&n oj3oumgof?3b36 (17) JnfTniioU <>>3 3 er> 0 ob3coo, ft-,3 V l »0 (Toob33fir)boc»3ob -xojncvi 0J3IJ ^¡yxyb^b:

| [ ux ♦ u2 j dXdt 5 exp | »■: ( h2(0 3 ? j.

ui4/. O.T) ^^

<>u r A -I 5"

bo{yo(j u, : U u, :--Au - c, u. Mi 4-1--I , brr-

1 »t ■ (.csxp<l>J

qc> h^ i^inb ( 18)-3n 836^30^0 gjSjooi. 3o3o6 u-0 y33CJio6

0J33 33nb^o3cv)ho) 2p Ciojnb 15 (yn^robob Obflo^bn o3n(joG36o. 83^5 o»3c3o cj'iBojnoobjc; t^pfrjSjiBo 33cgnb

c 33153030» fVj330O(3 of^nb 8 '*', t bobnb (ein(jb3o- bocooy c b 534ftb3nQftri c$ii?3feo®o ftcuja^n-

croboi%:>(jno3n 30Q363QO drfnmn^csn ^3535360 f^Sn^S^^oi

ijnbom3nb cs^LiS^t^o jn3ol 1 o3nyo6nb «i8n6.sbb6ow> jfiwijgiWibob BgbobQb-bojofTJ^QCjib 33060363600)0 ojjj^Snob 3no3b3- 1995 p. ¡¡y 149.3

2. Gugulashvili Y. About the uniqueness of the solution of Caushy problem for some differentional equation Qf'tho fourth degree with increasing coefficient.

o.5. 33j3ob bob3ciobnb bjjSnBortob ¿ogoftTxnQ&^cjo bbcjr)63&ob 3nbb36363bn 1995 p. (5.8.1

3. Gugulashviti Y. The uniqueness of the solution of C*u«hy problem f-or some ^i f ferentional equation of 2p rows.

o. 6. 33330b UobocvAob ¿3o Li33o6ii*)ob ¿ogofTnr^bjcv) bbcjnSQ&ob 3nbb353t>3&n 1995 j. 1C.1

4 • 0- SDa^^.-CO- bnfcnQ33nb (jnJnb joGjytjabolKxs^nU

toobSj^o jn3ob s3n(jo6ob o3n6obbEol) {fvmgftnr&o tr^JCfoflj "tfrnxyn jrr-

OSrr,JrO^C3^n'UC5J,3nl-'- too^-fiSriiVji^cyio ¡33 JoSgrii>33r>. 1935 ¡7-

Тбилисский государственный университет ИИ- И. А- Джавахишвили

На правах рукописи

Гугушиивили Евгений Чиколаевич

Единственность решений задачи Коши для некоторых эволуиионных дифференциальных уравнения

01.01.02-Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тбилиси-19 9 5

Диссертация выполнена а ТСилисисом государственном уншзерситете им. И.А.Даавахнявили

Научный руководитель-доктор физика-натематические наук, профессор А.Г. Гагнидзэ.

Официальные оппоненты: 1. доктор фиалко-натекатичесюм

наук, профессор Р. А. Кордзадзе 2. доктор физико-катеиатически»

наук, профессор С. С. Харибегаав'иш

Запита диссертации состоится "25" 1995 г_

II. • • '

в ¿Л часов в большой физической аудитории второго корпуса ТГУ на заседании научно-аттестационного совета. РЬМ 01.01.с № 1-5 Тбилисского гос. университета им. И.А.Джавахишзили.

у _

Ознакомиться с диссертацией иохно в научной библиотеке ТГУ (звоочз. Тбилиси, ул. университета 2). .

Авторефердт отправлен 2-0 (Л/^-т^-^иЛ- 19 9 ь г.

Ученый секретарь научно-аттестационного совета РЪМ 01. 01. с № 1-5 Тбилисского гос. университета им.

И.А.Дяавахишииш доцент 0. Нал^Х^'^/1^'' О.Напетеаридге

- M -

актуальность темы: Изучение дифференциальных уравнений эво-Л1щиошюго типа имеет большую истории- Изучение таких уравнении встречаются еие в классических работах ДаламОера- Пуассона. Фурье. Коии л др. Поело того, как выяснилось определение корректный задач, большое значение имеет вопрос единственности решения этих задач.

Нето*тд доказательств теорем едгчственности постепенно создавались и усоэершенствозалмсь- Создано несколько обг <х методов, такие как метод пришила максимума. метод Хольнгрена (которий связан с рассмотрением сопржшнпого уравнения данного уравнения), метод барьерных функций, метод использующий ассимптотические свойства фундаментального тешекия и со-

Цель работы: чУстановление классов единственност- • решений задачи Коп-.i поставленных для некоторых ткпов эволюционных дифференциальных уравнений-

Обьектом исследования является дифференциальные уравнения в частных производных типа Соболева и некоторые уравнения порядка 2р. которые с поиска новых переменных доводятся на систему дифференциальных уравнений параболического типа-

Методы исследования- В работе рассмотренные уравнения являются вырожденными уравнениями, поэтому для них все выше названные методы менее эффективны- В диссертация для доказательства теорем эдинственности применяется метод введения параметра, который впервые применил О-А-Олейник в 70-их голах этого столетия, а потом разЕлл сам О. А- Олейник и ее ученики ( нап- А. Гагнидзе и i>p. ). '

Научная ценность работы: В диссертации получены следующие основные результаты-

1. Установлены классы единственности решения ;идачи Кошя в неограничен*-»« областях в классах растущих Функции дг.я уравнения

-¿г-

типа Соболева, когда в уравнении входягап:е коэффициенты неограниченные функции в области В*пх(0Л) пространства Еп+1".

г. Получены класса единстаечностч решения задачи Кояи для некоторых дифференциальных уравнения порядка 2р с возрастают®., коэффициентами.

з. Получены классы единственности решений задачи Кошт для дифференциалного уравнения типа Соболева при т.н. диссипатнвнон эффекте.

Практичная ценность работы: В -шссертацю получетигыо результаты теоретического характера. Но так, как многие физические яп-ления можно описать с помощи уравнения параболического типа, поэтому при установлении единственности ранений некоторых задач, иогут применяться и на практике.

Апробация. Основные результаты работы Сыли доложены на зас. -дл1гиях расширенного семинара Ч.П.М. им. И.Н.Р-жуа г. Тбилиси ( 1953 г. 2-5 апреля и 1595 г. 25-28 апреля), на 50 научней конференции студентов ТРУ (1590 27-28 февраля). На семинарах кафедры дифференциальных и ¡¡итегральных, уравнения ТГУ 1993-159$ годах.

Публикация: Основные резултаты диссертации изло: :нм п четырех работах автора.

Объем и структура рабош: Диссертация состоит из взедения, пяти глав и списка литературы. В капдоп глапа формулы и теорем1\ пронунирозаны независимо от других, глгв. Сбкил объем рлС >ты 114 страниц мовхнописного текста. Список литературы содараит 39 нал-неновакиа.

Краткое содержание диссертации В первой главе рассмотрена задача:

Пусть. (о=»пх( о,т) множество пространства С?п+1 и <оо=жпх(С>.

,п+1

рассмотрим в ш для уравнения типа Соболева:

игО.

(1)

зада'.у Кого) сначальким условием .и о:

и <Х,0) = — (X, 0) = О

(2)

Везде в диссертации гфедполагаен. что ь^ и другие коэффициенты газляэтся дегствительными измеримыми функциями, ограниченными в кахиом ограниченном под- ювестве области <■>- В диссертации рассматриваются только классические решения поставлено» задачи.

Пусть. коэффициенты а^ и ь^ для дабы* (ХД)«й и {« к" удовлетворяет условии:

п

1

(3)

п

где Э=СОП5Х, 0< е. <2 , 05 О <2 . А=сОГ^ >0. Введем обозначегае для ш>0, о< т < Т:

Справедлива следующая теорема:

теорема 1. Пусть, и есть решение задачи (1)-(2) и коэффици-

енты уравнения (1) удовлетворяют условии (3). Уели 3 оО та-'

кая. что для V ах) чисел имеет место перааенстэо--

21, О.Т)

ТОЛЬКО

J [ U12 + Ь2 ] dX dt 5 e*r Ц^З'О2"''

& 1 8> Р Aj 1

Ul ^ Ä=i *** ^ да, J'

r=max<<x. p). Тогда u=0 в сяду, RJ !«мгеястве

Пусть, h неубиэаюцая полонии тол ьнап (функция. h(s) й 1,

г im, h(s)-a> и выполняется следящее условие: s -»со

ds

s h( з )

(4)

теорема 2. Пусть, и ~сть решение задачи (1)-(2) и коэОфици-

енты уравнения (1) удовлетворяют условна <3;. Если 3 «>о такая. что для У [г.»о целых чисел имеет место неравенство:

| [ и^ + ] ахаг з эхр £ *(2т)г~г ыгь)

<о( 2О, Т)

гм ^

и2=и И и1= - - £

IJ

Ад

ах

I-

h фу1£КШЯ1 ИХО-

дящая в (4). только г - тах(а,/?>. Тогда и=о всюду в w.

Во второй главе диссертации опять рассматриваются ын гества о и о>0- В о> рассмотрен для общих уравнения типа Соболев«:

Iм ЛД J fe «< 1.

JLl.f...

Lä Ы даД fei *«, 4

- Iff -

задача Кои с начальными условияаки (2) на « . КолНициенты а^ и ь входящие t 5 ) удовлетворяют условие ( з), а для коэффи-ииентов ty сх И °2 выполняются условия: -п п

oi I к **

i=l i.J-1

<c>

0

7=1 ¿77- 2

И с^Х-Ъ) 3 И ( |х ¡+1 )2~?' , >^1,2. (7)

где Х,В, и=соп«г>0 и

Для задачи (5)-(2) доказываются теоремы аналогичние теорем 1 И 2.

В третьей главе диссертации опять расснатривг ;тся задача (5)-(2), для которой условия (6). (7) неизменимы. только вместо условия <3) коэффициенты л^ и Ь^ для любой й и ?е Кп

удовлетворяют условие:

п

0 :5 Л «^.и 1*1+1)" ь0<ьв|*|, |Я2

¿"7=1

• (8)

п

О* £ Ъ^Х.Ь) к I 1x1^-1)^ К0<Ьо|Х|) 1Г12

где 05 а <2, 0< () <2, \xcanst >0. А Ь ПОЛОЖИ"

С»

тельная неубывающая функция, Ь (8)^1, ь (в) = со и выпольня-

е —*а> °

г>

ется следующее условие: с

а»

J

6hO(S)

.9)

..Пусть, h, есть положитеьная неубывающая функция. h1( s ¿>i.

л.;*») ^ Пусть, для и выпольняется следующее условие:

£ —»Ч> *

<х>

г . ¿в

- = Ю. (10)

Справедлива следуюаая георема:

теорема 3. Пусть, и есть решение задачи <5 >-(2) и коэффициенты уравнения (5) удовлетворяют условия ( 8). (б) н( 7 ). Если э «>о такая, что для V я»о целых чисел имеет место неравенство:

| ( - "г ) - »(2га)2_>'-Ь1(2га) ].

Т)

<?и -2. О Г

2 , С , Т)

где

Ьх функция входяяая в (10). тогда и = 0 рейду в множестве ь>.

„ я

В четвертой главе диссертации в мновестве " рассматривается для дифференциального уравнения порядка 2р:

Р г п г.

р-. Л v 9. Г u 9 ] V1 &

<11)

поставлен; ля задача Коки с начальники условдажи на со-о s

u (Х.0) i __ (Х,0) = ....... = -»—<Х,0) = 0. <12)

fft *iP~1

U

Коэффициенты входядиэ в уравнении (11) для япСыя

(X.t)« ш и ?« Rn удовлетворяют условию:

Г2, k ' <4. ■>

as (v,t) < а< * <••») ,

I. J--1

где О. - const. О5 я, <2, A=corst >0.

- 20 -к

коэффициенты ск удовлетворяют условию ••

Л 1г ' П к

VI» я I ч п _

< «, > Л вь ^ а,,?, е1 ,

I 4 А ---к 4> ч> к= 1,

(14)

.(КД) 5М( |х|+1)2"}' , к=1, Р.

где . В, . И=соп«г 5 0, к=1.Р и г - юах • - и *

теорема 4- Пусть, и есть решение задачи (11)-(12) и коэффициенты в ходящие в (11) удовлетворяв! условия (13), (14). Если з «>о такая. что для * ¿»о целых чисел теэг место неравенство:

р

I " ( Е )а* £ ®*р {^2°г }■

> п т\ к = 1

в С к " к

ю( 2А 0.Т)

Ал,

где ир=и и и.

к

!; = 2.Р . Тогда и-0 всюду в множестве и.

теорема 5. Пусть, и есть решение задачи (11)-(12) и коэффициенты в .годящие в (11) удовлетворяют условия (13), (14). Если 3 *>0 такая, что для V т»о целых чисел имеет место неравенство:

г

где

I [У ] «аг * вхР{ »(2го)2-'' ь(2т>

О.Т) ^

-V _ о

г»ик ^ а г к «и " к лд

Vй и ик-1г — ~ > — — Г ) ^ — ~ скик-

к= 2.Р, только Ь есть функция входящая в условие (7). Тогда

и=0всюду в множестве и. "

к

Здесь же изучается задача, когда коэффициенты уравнения

и

( 11; удовлетворяют условию аналогичному условию (8).

В пятой главе рассматривается :э множестве ы для данного

уравнения:

Г

г

<п

- Л - с^Х.-О

а

- Л - с2(ХЛ )

и = 0.

( 15)

Поставленная задача Коши с начальным условием (2) на ш

Пусть коэффициенты с^ и сп удовле-^зоряют условие: с (Х.Ъ) < М - МХ)". >=1,2

(16)

где М. А=сопб^0, а=сопб-1, о>2. Справедлива следующая теорема:

теорема 6. Пугть. и е ть решение задачи (15)-(2) и коэффициенты уравнения <15) удовлетворяют условие (16). Если 3 <г>0 такая, что для.У Л>о целых чисел имеет место неравенство:

1+. ~

<4 4/,0,Т)

| [ и12 + и22 ) <ЗК ^ * в>:р { ^ '}

счхр{1)]

Ли - с. и,- с < 4 ■

■ <П

1

1

тогда

и = о всюду в множестве ш.

Допустим, внёс то условия (16) коэффициенты входящие в уравнение (15) удовлетворяют условие:

с {Х.г) н - А|ХГ-ь2(Х),

¿=1.2

< 1?)

где Ь2 есть неубывагадая положительная фугесцкя, Ь,( а) г 1,

в) = в» н выпольняется следушее условие:

5 —Ю>

а»

» Ь,(«)

теорема 7. Пусть, и есть решение задачи (15)-(2) и коэффици-

енты уравнения (15) удовлетворяют условие (17). Если з о>о

такая, что для V г»о целых чисел имеет место неравенство:

2 2.. г 2 % + .. 1 -----I .... Г ..... 1 *

| ( U1 ^ u2 ] dXdt S вХР { " С h2(/) 3 2 }•

"i —1

I C-6XPÎ1>J

Ai Г А 1 2

где «J : U И г--Ли - С2 U, » < 4 - j - | , h2

есть функция, входящая в (18). Тогда и=0 всюду в множестве и.

Здесь ха изучаются задачи порядка 2р. аналогичные ( и)-ти. подобные уравнению (15). В теоремы, доказанные в главе 5 входит постоянная с, которая есть число 8 + где « любое положителное число.

Основные результаты, тюлученные л диссертации, переданы t.

в сведущих работах автора:

0-£3û3^>'33nCf'- bni*TCD3nlj ОоЗоЬ еу^дз^Бцо^збо й^СГСЗ^З" bnboOTgrcb ej-iba^çn jriSob оЭооьбоЬ осЬбоЬЬбс» jf-xoo^lW&ob ЗдЬоЬдЬ. Uojifiro33CT)L) 83(360363 boœo> ojiQQSnob ЗпоЗЬз- 1935 О 149.3

2. Gugulashvili Y. About the uniqueness of the solution of Caushy problem for some differentic.ial equation of the fourth '.degree wi%h Increasing coefficients.

п. 6. 3QJ3^b b^bfiçoènb Q3O ЬзЭпбо^лЬ а^обсопзЬзс^о ЬЬсу*>ЗзЬпЬ ЗпЬЬз6зЬз&г> 1995 (3.8.1

3 Gugulashvili Y. The uniqueness of the solution of Caushy problem for Goae differentional equation of 2p rows. c о. 6": 33J3^b ЬлЬз<ччЬпЬ g6r> Ьз?с6гЛоЬ gogofeci^bjcvi ЬЬ^гтЗзЬпЬ

, блЬЬзбзЬз&п 1S95 (3-10.1

4- 3-бЗйЗС^зосчл. bnàncj33nb (jnjlnb 5036x3060^0 добцг-^з&пЬоозоЬ

IçobSjço jn3ob оЗпуобоЬ o8i->5.jbb6ob ^fmstnynrribb Vi^o^oç tf^ç-xoo jrr

ЭЗЧЯУ^ОЗ^пЬлвзоЬ- (ÇQsinBnfizi/jcsij . 19 9S