Эффект адиабатического квантового насоса в графеновых наноструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Гричук Евгений Сергеевич

Эффект адиабатического квантового насоса в графеновых наноструктурах

Специальность: 01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор: (уи^у^--. 1 7 НОЯ 2011

Москва - 2011

005000945

Работа выполнена в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Маныкин Эдуард Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор Максимов Леонид Александрович

Защита состоится «14» декабря 2011 г. в 15й2 на заседании диссертационного

совета Д 212.130.06 при НИЯУ МИФИ по адресу:

115409, г.Москва, Каширское ш., д.31, конференц-зал К-008.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Автореферат разослан » ноября 2011 г.

доктор физико-математических наук, профессор Полуэктов Павел Петрович

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Графен представляет собой слой атомов углерода, соединённых в двумерную гексагональную решётку. Долгое время этот материал представлял по существу лишь академический интерес, поскольку считалось, что двумерные кристаллы невозможно получить экспериментально ввиду их термодинамической неустойчивости. Экспериментальное выделение монослоя графена в 2004 году группой А. Гейма и К. Новосёлова кардинальным образом изменило ситуацию и привело к огромному всплеску интереса к этому материалу ввиду его необычных электронных, оптических и механических свойств.

Внимание исследователей к графену имеет как фундаментальный, так и прикладной характер. Как известно, ннзкоэнергетические электронные возбуждения в графене имеют линейный спектр и описываются уравнением, по своей форме совпадающим с релятивистским уравнением Дирака для безмассовой частицы. Это приводит к ряду интересных аналогий между такими столь различными областями физики, как физика конденсированных сред и физика элементарных частиц. В этом смысле о графене иногда говорят как о материале, который позволяет изучать поведение релятивистских фермионов «на столе в лаборатории». Кроме многих хорошо известных в физике конденсированного состояния эффектов (эффект поля, целый и дробный квантовые эффекты Холла и т.п.), которые имеют в графене свои особенности, возникают также и принципиально новые явления. Их анализ привёл к огромному количеству теоретических и экспериментальных работ. Несмотря на то, что графеп, по-видимому, можно считать одной из наиболее хорошо изученных низкоразмерных систем, многие вопросы до сих пор остаются открытыми.

Активно ведутся также и прикладные исследования графена. Это связанно, прежде всего, с поиском новых перспективных материалов для микро- и наноэлектроники, спинтроники, оптоэлектроники и т.д. Как известно, развитие микроэлектроники хорошо подчиняется эмпирическому закону Мура, согласно которому количество транзисторов в интегральных схемах растёт во времени экспоненциально, удваиваясь примерно каждые два года. Если, например, в 1970-ых годах характерный размер затвора полевого транзистора в интегральных схемах был порядка 10 микрометров, то сейчас эта величина составляет лишь несколько десятков нанометров. Очевидно, что этот

трепд не может продолжаться бесконечно, п закончится он. по-видимому, в районе 2015 2020 гг. Кроме технологических причин, есть и фундаментальные причины, связанные с тем, что миниатюризация транзисторов выводит на первый план квантовые эффекты, которые негативно влияют на их характеристики. В этой связи всё более актуальной становится задача анализа электронных транспортных свойств систем на атомных масштабах. Активно ведутся поиски новых материалов, которые бы позволили «отодвинуть» границу закона Мура.

Такие привлекательные свойства графена, как его двумерная структура, высокая подвижность носителей, высокая скорость насыщения, хорошая прозрачность в оптическом диапазоне, амбиполярная проводимость, возможность управления шириной запрещённой зоны и т. д., делают его крайне привлекательным для микроэлектроники. При этом речь идёт не только о гра-фене как о замене кремния в полевых транзисторах, но и как о материале для создания иных устройств, в том числе и принципиально новых. Среди возможных применений графена можно отметить нолевые транзисторы для цифровых и аналоговых схем, газовые и оптические сенсоры, электромеханические резонаторы, различные устройства спинтроники, а также устройства для создания и детектирования излучения терагерцового диапазона. Особый интерес представляют устройства, использующие всю совокупность необычных свойств графена.

Изучение графена как перспективного материала для спинтроники связано с тем, что некоторые его производные (квантовые точки, наноленты, на-ноостровки и т. п.), проявляют магнетизм. Теоретический анализ механизмов спиновой релаксации показывает, что в этом материале должны наблюдаться большие значения времён и длин спиновой релаксации. Это связано со слабостью сверхтонкого и спин-орбитального взаимодействий. Экспериментально наблюдались длины спиновой релаксации до нескольких микрометров при комнатной температуре. Магнитные свойства графеновых наноструктур активно изучаются в настоящее время, и ожидается, что графеновые устройства могут найти многочисленные применения в спинтроникс. Следует также отметить ряд работ, в которых предлагается использовать графен в схемах квантовых вычислений. Одна из важных задач в этой области — поиск системы. физически реализующей кубит. Большое внимание уделяется анализу

твердотельного кубнта, роль которого и графене может играть спин электрона, локализованного в графеновой квантовой точке.

Большинство работ, в которых изучается электронный транспорт в ме-зоскопических системах, направлено на исследование стационарных систем, параметры которых не меняются во времени. Внимание исследователей привлекает также и анализ нестационарных явлений. Один из возникающих тут эффектов эффект квантового насоса активно изучается в литературе. Явление заключается в возникновении среднего тока через систему в отсутствии приложенной разности потенциалов при периодическом изменении её параметров. Частным случаем, если частота изменения параметров системы мала, является эффект адиабатического квантового насоса. Кроме вычисления среднего электронного тока, существенный интерес представляет анализ его флуктуаций, шума, симметрии относительного магнитного поля, анализ потоков тепла и т. д. Анализ эффекта адиабатического спинового квантового насоса в графеновых структурах представляет существенный интерес, поскольку это явление может использоваться, в частности, для генерирования спиновых токов.

Цель работы состоит в изучении эффекта адиабатического квантового насоса в графеновых цанолентах с различными типами границ («armchair» и «zigzag»), а также в более сложных графеновых структурах на их основе. В соответствии с поставленной целью были сформулированы следующие задачи исследований:

1. Изчуение возможности генерирования электронных токов с помощью эффекта адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах с различными типами границ, а также Z-образных графеновых наноструктурах в режиме билинейного отклика.

2. Анализ особенностей эффекта адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах с различными типами границ в режиме резонансного туннелирования.

3. Изучение возможности генерирования спиновых и чисто спиновых токов в графеновых нанолентах и Z-образных структурах с помощью эффекта адиабатического квантового насоса в различных режимах.

Научная новизна и практическая ценность работы. В работе рассмотрена реализация эффекта адиабатического квантового насоса в графетга-вых иаполентах и наноструктурах в билинейном режиме, а также в режиме резонансного туннелирования. Обнаружены качественные различия в поведении наполент с границами типов «armchair» и «zigzag». В работе показано, что в таких системах возможно также генерирование спиновых и чисто спиновых токов.

Устройства, рассмотренные в диссертационной работе, могут найти применения в микро- и наноэлектронике, а также сиинтронике. В частности, эффект квантового пасоса может использоваться для создания преобразователей частота-ток и частота-напряжение, а также в метрологических приложениях как квантовый стандарт тока (что позволило бы «замкнуть» треугольник стандартов напряжение-сопротивление-ток). Рассмотренный в работе эффект спинового квантового насоса помимо отмеченных приложений может быть использован как управляемый механизм генерирования спиновых и чисто спиновых токов в графеновых наноструктурах.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Рассчитаны зависимости прошедшего заряда (среднего тока) и спина от энергии Ферми в эффекте адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах в режиме билинейного отклика и в режиме резонансного туннелирования.

2. Обнаружены качественные различия в зависимости прошедшего через систему заряда и спина от энергии Ферми для нанолент типов «armchair» и «zigzag» в режиме резонансного туннелирования.

3. Предсказан эффект генерации спиновых и чисто спиновых токов в нанолентах типа «armchair» и «zigzag».

4. Установлено, что в графеновых структурах типа «armchair-zigzag-armchair» возможно генерирование спиновых и чисто спиновых токов.

Степень обоснованности. Высокая степень обоснованности полученных в работе результатов обусловлена использованием общепризнанных методов и приближений физики нано- и мезоскопических систем. Достоверность

численных результатов подтверждается их согласием с аналитическими расчётами в различных предельных случаях.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на 17-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков «ВНКСФ-17» (Екатеринбург, 2011г.), Международной конференции «Graphene 2011» (Бпльбао, Испания, 2011г.), Международной объединенной конференции «Advanced Carbon Nanostructures (ACN 2011)» (Санкт-Петербург, 2011г.), Азиатско-Тихоокеанской конференции «Fundamental Problems of Opto- and Microelcctronics (APCOM 2011)» (Москва, Самара, 2011г.), 14-ой Международной телекоммуникационной конференции «Молодежь и наука» (Москва, 2011 г.), на Научной сессии НИЯУ МИФИ 2011 (Москва, 2011 г.), а также на семинаре акад. Ю.М. Кагана в НИЦ «Курчатовский институт» и семинаре кафедры теоретической физики МФТИ.

Вклад автора. Все результаты, представленные в работе, получены автором лично, либо в соавторстве при его непосредственном участии.

Публикации по теме работы. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ в научных журналах и сборниках трудов Международных и Российских конференций, в том числе, 4 статьи в журналах, включенных ВАК РФ в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий. Список работ приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, трёх приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 108 страниц машинописного текста, включая 43 рисунка и список литературы из 153 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности темы исследований, сформулирована цель работы, отмечена её научная новизна, а также перечислены основные защищаемые положения.

В первой главе «Электронный транспорт в напосистемах и свойства графена», являющейся вводной, кратко рассматриваются основные понятия, использующиеся в дальнейших главах, а также даётся краткий обзор основных экспериментальных и теоретических работ, имеющих непосредственное отношение к настоящей работе.

Для описания электронного транспорта в мезоскоиичсских системах давно и успешно применяется метод Ландауэра-Бюттиксра [1]. В этом подходе транспорт рассматривается как процесс рассеяния на мезоскопическом образце электронов из/в резервуары, с которым образец соединен посредством контактов. Процесс рассеяния характеризуется (стационарной) матрицей рассеяния Б(Е), которую в типичном случае двух резервуаров можно представить в виде:

где г и г' — амплитуды отражения электронов, падающих на образец, соответственно, слева и справа, а t и — амплитуды прохождения. Эти величины сами являются матрицами, если в контактах существует несколько открытых каналов. Зная матрицу рассеяния, можно определить кондактанс системы

где множитель 2 появляется, если имеет место двукратное вырождение по спину. Величина Со называется квантом кондактанса.

Для описания нестационарного транспорта (например, когда параметры системы зависят от времени) можно также использовать метод матрицы рассеяния, которая теперь зависит от двух энергий - - энергии падающей и рассеянной частицы: в(Е, Е'). Анализ показывает, что в нестационарном случае при определённых условиях возможно протекание конечного среднего тока через систему даже при одинаковых химических потенциалах резервуаров. В частности, если ток возникает за счёт (периодического) изменения пара-

(1)

(2)

метров самого рассеивателя, это явление называется эффектом кваггтокога насоса [2. 3j.

В общем случае ток выражается через нестационарную матрицу рассеяния S(E,E'). Если параметры меняются медленно по сравнению с характерным временем пролёта электрона через систему (адиабатический эффект насоса), средний ток может быть вычислен из стационарной матрицы S(E, £), которая описывает «замороженный» рассеиватель в момент времени t. В частном случая, когда имеется два параметра pi(t) и рг(0> меняющихся периодически с частотой и> = 2тг/Т так, что точка (pi(i),p2(i)) описывает на плоскости (р1,рг) замкнутый контур дА, выражение для среднего тока 1а, втекающего в контакт а, можно записать в виде [2, 3|:

L = y = fdASdS^n° = ^ Ja dpidpi П" (pi, p2}' ^

Па(рьР2) = Im f|—f—) • \dpidp2Jaa

Здесь предполагается что, в контакте а открыт лишь один канал (этот случай рассматривается везде ниже). В записи матричных элементов (••)«„ левому контакту соответствует а = 1, а правому — а = 2. В третьем равенстве выполнен переход к поверхностному интегралу по области А, ограничиваемой контуром дА.

При малых (по сравнению с характерными значениями энергий для данной системы) амплитудах управляющих потенциалов квантовый насос работает в режиме билинейного отклика. В этом случае в области А функция Па(р1,р2) постоянна, а генерируемый ток пропорционален амплитудам управляющих параметров:

1а = ^Па.(р1о,р2о)5л, (4)

где Sa площадь области А, а (рю.рго) точка внутри этой области.

В общем случае заряд Qn, проходящий через систему за один цикл изменения управляющих параметров, не квантуется (не является кратным элементарному заряду). В работах [4, 5] было показано, что квантование заряда возможно в режиме резонансного туннелирования. В работе [5] была предложена простая физическая модель (модель «турникета»), объясняющая квантование. Согласно этой модели в течение каждого цикла квазисвязанное

Рис. 1. Схематическое изображение рассматриваемых устройств на. основе нанолент: а) типа «armchair» и Ь) типа «zigzag». Перекачка заряда осуществляется периодическим изменением управляющих потенциалов на затворах Ui(t) и U2{t). Зонная структура нано-лент: с) 9-AGNR (t¡ = D, h = O.lí) и d) 8-ZGNR (<i = O.lí, t2 = 0).

состояние сначала заполняется электроном из одного контакта, а затем опустошается в другой.

Отметим, что необходимым условием для возникновения конечного среднего тока через систему в адиабатическом режиме является (динамическое) нарушение пространственной симметрии структуры, а также симметрии относительно обращения времени [3]. Поэтому необходимо минимум два управляющих параметра. Такими параметрами могут служить, например, потенциалы, прикладываемые к металлическим затворам, которые формируют квантовую точку в гетероструктуре.

С помощью соотношений Фишера-Ли [6] матрица рассеяния может быть выражена через функцию Грина, для численного нахождения которой существуют эффективные рекуррентные алгоритмы. Средний ток 1а (или заряд Qa) можно выразить и непосредственно через функцию Грина.

Во второй главе «Эффект электронного квантового насоса в нанолен-тах» изучается эффект адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах. Рассматриваемые устройства на основе графеновых нанолент типов «armchair» (AGNR) и «zigzag» (ZGNR) схематически показаны на рис. 1а,Ъ. Они представляют собой бесконечную наноленту с двумя потенциальными барьерами Щ и U2, которые создаются, например, металлическими затворами. Высоты барьеров служат управляющими параметрами квантового насоса. Ширина потенциальных барьеров — Ni элементарных ячеек, расстояние между ними — No элементарных ячеек.

Для моделирования устройства использовалось приближение сильной связи. Известно, что даже простое приближение, включающее лишь рг-электроны п учитывающее перескоки между ближайшими, вторыми ближайшими и третьими ближайшими соседями, даёт правильное качественное описание зонной структуры нанолент, согласующееся с вычислениями «из первых принципов», например, с помощью методов функционала плотности. Для расчёта интересующих нас величин (локальная плотность состояний, коэффициент прохождения, матрица рассеяния и т.п.) использовался формализм функций Грина. Контакты устройства моделировались полубесконечными нанолентамн.

Гамильтониан наноленты с потенциальными барьерами можно записать в виде:

н = - £ + Е Е (5)

ij i к

где суммирование производится по ближайшим соседям с матричным элементом перескока tij = t (для графена t = 2.7 эВ), а также, в зависимости от выбираемой модели, по вторым ближайшим соседям с Uj — и третьим ближайшим с Uj = ¿2- Диагональная матрица Ак задаёт профиль потенциального барьера Uk■ В частности, для прямоугольных барьеров Д^ = 1, если узел i находится под барьером Ь\, в противном случае этот матричный элемент равен нулю. Анализ показал, что форма потенциальных барьеров не влияет качественно на результаты, поэтому мы используем простое и широко распространённое приближение прямоугольных барьеров.

Все наноленты типа «armchair» являются полупроводниками с конечной запрещённой зоной, ширина которой обратно пропорциональна ширине ленты. На рис. 1с показана зонная структура наноленты 9-AGNR (9 димеров С-С на ширине ленты).

На рис. 2а показана локальная плотность состояний и коэффициент прохождения как функция энергии в двухбарьерной структуре на основе наноленты 9-AGNR. В такой структуре возникают квазисвязанные состояния, конечная ширина которых обусловлена возможностью туннелироваяия электронов через потенциальные барьеры. В устройстве реализуется хорошо известный эффект резонансного туннелирования: электрон проходит через устройство без отражения всякий раз, когда его энергия совпадает с энергией квазисвязанного состояния в центральной области устройства.

Зонная структура паиоленты 8-ZGNR (8 зигзагообразных линий атомов С) показана на рис. Id. В нанолентах этого типа существуют краевые состояния. локализованные на границе ленты и отсутствующие у бесконечного графена [7. 8]. При íj = t2 = 0 краевым состояниям соответствуют практически бездисперсионные решения вблизи Е = 0. Эти состояния локализованы (с одинаковыми весами) на противоположных границах ленты на разных под-решётках: на одной подрешётке на верхней границе и на другой на нижней. Степень локализации этих состояний увеличивается при приближении волнового вектора к границе зоны Бриллюэна.

Важной особенностью нанолент типа «zigzag» является эффект чётности, проявляющийся в существенно различном характере прохождения электрона через р-п переход в наноленте JV-ZGNR в зависимости от N [9, 10]. Если N четно, лента симметрична относительно центра, и моды классифицируются по чётности. Если с одной стороны перехода есть только чётные моды, а с другой — только нечётные, то коэффициент прохождения обращается в тюль. Если барьер имеет конечную ширину, коэффициент прохождения экспоненциально мал в соответствии с тем, что электрон тупнелирует через классически запрещённую область. В случае нечётных N симметрии относительно центра ленты нет, и подобный эффект отсутствует.

Особенности зонной структуры нанолент типа «zigzag» приводят к наличию квазисвязанных состояний под барьером, от которых электрон резонансно отражается при определённых значениях энергии [11,12¡. Отмеченные особенности можно наблюдать на рис. 2Ь, где показано прохождение электрона через одиночный потенциальный барьер, а также поведение электрона в двухбарьерной структуре.

Перейдём к рассмотрению эффекта адиабатического квантового насоса. Будем считать, что управляющие потенциалы периодически меняются во времени по гармоническому закону с частотой ш, постоянным сдвигом фаз ф и амплитудой Uq:

Ui(t) = Ul0 + U0 cos(wí), U2(t) = U20 + U0 cos(cjt - ф). (6)

В нанолентах типа «armchair» поперечный профиль не зависит от продольного волнового вектора, и на границе потенциального барьера не происходит смешивания мод. Поэтому задача о прохождение электрона через потенциальный барьер в этом случае имеет аналитическое решение [13]. Удаётся также получить аналитическое выражение для билинейного отклика,

со

п

Рис. 2. а) Локальная плотность состояний электронов в двухбарьерной структуре на основе наноленты О-АСЫИ.; Ь) Локальная плотность состояний электронов в однобарьерной и двухбарьерной структурах па основе наноленты Пунктирной линией показан

профиль потенциальных барьеров. Во всех случаях электрон падает па систему слева.

которое в пределе £Ую —» 0, [/20 ~0 имеет вид:

я„'в 2

и^тф. (7)

Е2 ът2(кЫ{) шп (2кШ\ + 7У0)) , = -е-

ди

Асо^{к1/2)ят2{к/2) где к и кх — продольный и поперечный волновые векторы, соответственно, а в — набег фазы электронной волны между узлами типов «1» и «2» соседних элементарных ячеек (см. рис. 1а). Функция \де*/ди\ в пределе к —> 0 ведёт себя как \де1в/ди\2 = А/к2 + 0(1/*;). Функция С}ь(к) (или С^Ь(Е)) является знакопеременной, причём осцилляции возникают за счёт синусоидальных множителей.

На рис. 3 показаны зависимости прошедшего через систему заряда полученные из выражения (7), а также путём численного интегрирования в (3). На этом же рисунке показаны соответствующие зависимости 1(Ер) от энергии Ферми в контактах. При больших к и Ер обе кривые совпадают, тогда как при малых к и Ер наблюдаются существенные различия. Это связано с тем, что в этом случае функция ЩСД, Щ) уже не является постоянной внутри выбранного контура управляющих потенциалов.

Если амплитуда изменения потенциалов 1}\ и и? не мала, то интеграл в (3) можно найти лишь численно. Такая ситуация имеет место, в частности, при рассмотрении работы квантового насоса в режиме резонансного туннелирова-ния. На рис. 4а показана зависимость коэффициента прохождения Т([/1, и2) от высот потенциальных барьеров 1/\ и и2 при фиксированной энергии Ферми Ер в контактах. Виден резонансный пик, вдоль которого энергия падающего электрона равна энергии квазисвязанного состояния в центральной

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 4. х-координата, эл. яч.

х-координата, эл. яч.

0.6" " —"-"^ч 0 10 20 30 40 х-координата, эл.

Рис. 3. Квантовый насос на основе наноленты 18-АСНЯ. а) Зависимость кС)(к) от волнового вектора Ферми к в контактах. Ь) Соответствующая зависимость 1(Ер) от энергии Ферми. Чёрная сплошная линия — результат численного интегрирования в (3), красная пунктирная линия — результат расчёта согласно выражению (7). Л^ = 20, = 20, и„ = 0.01, ф = 7г/2.

области. Вдоль резонансной линии коэффициент прохождения достигает единицы, когда структура симметрична (Щ = и2), и резко уменьшается к краям пика. Если контур управляющих потенциалов охватывает резонансный пик, проходя на удалении от его центра, всюду на этом контуре прозрачность системы мала. На плоскости ([/1,1/2) функция П([/1,Е/2) также имеет резонансный пик, достигая максимума на резонансной линии (см. рис. 4Ь).

Пусть контур АВ управляющих потенциалов на рис. 4Ь обходится против часовой стрелки. Предположим, что в начальный момент времени система находится в точке Квазисвязапный уровень в центральной области устройства (отвечающий данному резонансному пику) расположен выше уровня Ферми в контактах и потому является пустым. Когда этот контур пересекает точку А, квазисвязанное состояние опускается ниже уровня Ферми, и электрон туппелирует из контактов в устройство. Вероятность туннелиро-ваяия через левый барьер намного больше, чем через правый, поскольку высота левого барьера меньше высоты правого. В точке В ситуация оказывается противоположной. За один цикл изменения потенциалов через систему слева направо проходит один электрон (без учёта двукратного вырождения по спину), что при частоте ш = 2л ■ 10 ГГц соответствует току I = еш/2п = 1.6 нА.

На рис. 4с1 показаны зависимости прошедшего заряда <3 от энергии Ферми Ер. При изменении Ер резонансная кривая на плоскости ([/1,^2) появляется всякий раз, когда Ер равна энергии квазисвязанного состояния. В

]

'

—лв — CD Í } N [У

0.2 0.3 0.4 0.5 £/„ эВ

0.3

0.5 0.6

Рис. 4. Квантовый насос на основе наноленты Э-АОЫЯ. а) Зависимость коэффициента прохождения Т(1/1, Уг) при фиксированной энергии Ферми. Ь) Зависимость ЩСД, ¡Уг) при фиксированной энергии Ферми. Резонансная линия пересекается с контурами управляющих потенциалов в резонансных точках А, В, С и £). Ер = 0.4 эВ. с) Зависимость коэффициента прохождения Т(Ер) для двойного барьера (Д = Уг = 0.28 эВ. с!) Зависимость прошедшего заряда <3(£тр) для контуров ЛВ и СО. УУо = 25, Л^ = 12.

....

к —ВС . ?1 1

1/ \

0.7 0.8 0.9 1 [/,, эВ

Рис. 5. Квантовый насос на основе наноленты М^СИИ. а) Зависимость коэффициента прохождения Т(1)\,и2) при фиксированной энергии Ферми. Ь) Зависимость П([/1,С/2) при фиксированной энергии Ферми. Резонансная линия пересекается с контурами управляющих потенциалов в резонансных точках А, В и С. Ер = 1.15 эВ. с) Зависимость коэффициента прохождения Т(Ер-) для двойного барьера Vх = = 0.79эВ. с1) Зависимость прошедшего заряда <Э(Вр) для контуров АВ и ВС. Щ = 25, = 7.

соответствии с этим на зависимости Q(Ep) наблюдаются пики, соответствующие пикам резонансного туннелирования. Точность квантования определяется тем, какая часть резонансной кривой ГТ(С], С/а) охватывается контуром потенциалов.

В случае нанолент типа «zigzag» поперечный профиль моды оказывается зависящим от продольного волнового вектора, поэтому на границе потенциального барьера происходит смешивание мод, что не позволяет получить простое аналитическое решение в данном случае.

Рассмотрим эффект квантового насоса в устройстве на основе нанолеп-ты 10-ZGNR в режиме резонансного туннелирования. На рис. 5а,b показаны зависимости коэффициента прохождения T(U\, U2) и функции I1(Í71, U2) от высот потенциальных барьеров при фиксированной энергии Ферми Ер. Аналогично предыдущему случаю можно наблюдать резонансную кривую. Коэффициент прохождения обращается в ноль на вертикальных (U\ = const) и горизонтальных (U2 = const) линиях. Вертикальные линии соответствуют условию равенства энергии Ферми и энергии квазисвязанного состояния под первым барьером, а. горизонтальные линии — под вторым барьером. Вблизи точек пересечения вертикальных и горизонтальных линий происходит характерное отталкивание уровней. Вдоль резонансной линии функция IT(t/i, £/2) также имеет серию пиков, знаки которых чередуются. Поскольку заряд даётся поверхностным интегралом от этой функции, пики разных знаков соответствуют прохождению заряда через систему в противоположных направлениях.

Подобное поведение также можно объяснить с помощью модели «турникета» с учётом аптирезонансов. Рассмотрим контур ВС, охватывающий положительный пик. Контур обходится против часовой стрелки. Когда он пересекает точку В, состояние в центральной области устройства опускается ниже уровня Ферми, и, аналогично предыдущему случаю, электрон тунне-лирует из левого контакта в центральную область. На правом барьере выполняется условие резонансного отражения. В точке С ситуация противоположная. Таким образом, за один цикл изменения потенциалов через систему слева направо проходит одни электрон. Рассмотрим контур АВ, охватывающий отрицательный ник. В точке А высота левого барьера меньше высоты правого. Однако при пересечении точки А электрон туннслируот из правого контакта, поскольку на левом барьере выполнено условие резонансного отражения. В точке В электрон уходит в левый контакт и, таким образом, электрон проходит через систему в противоположном направлении — справа налево.

На рис. 5с показы зависимости прошедшего заряда Q от энергии Ферми Ер для контуров АВ и ВС. В соответствии со сказанным выше при Ер = 1.15эВ заряд Q = +е для контура ВС и Q — — е для контура АВ. Пикам на зависимости Q(Ep) соответствуют пики резонансного туннелирования Т{Ер).

1G

Были также проанализированы графеновые наноленты типа «armchair» с дефектами на границе лепты под барьерами. В этом случае также возможно возникновение антнрсзопансов ¡14], и поведение насоса оказывается качественно аналогичным случаю наноленг типа «zigzag».

В работе сделана оценка справедливости адиабатического приближения. С физической точки зрения его справедливость основана на том, что если период Т изменения параметром системы много больше характерного времени п нахождения электрона в системе. t¿ Т, электрон фактически рассеивается на «замороженном» рассеивателе, который описывается стационарной матрицей рассеяния. Для оценки времени нахождения электрона в системе используется вигнеровское время задержки

Анализ показал, что для рассматриваемых устройств времена не превышают нескольких пикосекунд. Этим временам соответствуют частоты порядка десятков терагерц, многократно превосходящие частоты порядка мегагерц и гигагерц, типичные для подобных экспериментов.

Во третьей главе «Эффект спинового квантового насоса в нанолеп-тах» исследуется эффект спинового квантового насоса в графеновых на-нолентах. Более детальный анализ электронной структуры графеновых на-нолент показывает, что в нанолентах типа «zigzag» возникает магнитная структура — при не очень сильном допировании спины электронов, локализованных на разных границах ленты направлены противоположно друг другу [7, 8, 15]. Для описания антиферромагнитной структуры в работе использована простая модель [16]:

где т,- локальная намагниченность на узле I. Величина ггц полагается равной то для узлов г в одной подрешётке и -то для узлов в другой подрешёткс. Зонная структура наноленты Ю^вКП в этой модели показана на рис. 6а,Ь. К качественно такой же зонной структуре приводит и более сложная самосогласованная модель (12)—(13).

Поскольку состояния с противоположными спинами локализованы на противоположных границах ленты, т. е. являются пространственно разделёнными, существует два простых способа нарушить симметрию между ними.

Рис. 6. а) Зонная структура наноленты Ю-ХСИП с учётом намагниченности (¿1 = 0.14, ¿2 = 0, т0 = 0.184); Ь) Распределение амплитуды волновой функции состояния с Е — 0: черный (белый) кружок — спин вверх (вниз), радиус пропорционален логарифму модуля амплитуды волновой функции, с) Схематическое изображение устройства с приложенным поперечным электрическим полем Ег- Ширина, области с поперечным полем составляет Л'о элементарных ячеек, расстояние до потенциальных барьеров — Ы2 элементарных ячеек, ширина, барьеров — элементарных ячеек.

В устройствах первого типа к центральной области устройства прикладывается поперечное электрическое поле (см. рис. 6с), а в устройствах второго типа в центральной области создаётся дефект на границе ленты. Поперечное электрическое поле можно учесть с помощью дополнительного слагаемого

где Ет — напряжённость приложенного поля, уг поперечная координата узла г, а IV -- ширина ленты. Считая, что направление спина электрона при прохождении его через устройство сохраняется, оба спиновых канала можно рассматривать независимо. Вычислив ток электронов со спином «вверх», /-», и со спином «вниз», можно найти полный электронный ток 1с — Ц +1\ и спиновый ток /5 = /-]■ — Д.

В рассматриваемом диапазоне энергий Ферми вклад дают только краевые состояния, локализованные вблизи границ ленты. Поэтому электроны с противоположными спинами будут «чувствовать» дополнительный потенциал ±Ет^У/2 на участке ленты, к которому приложено поперечное электрическое поле, и при распространении между барьерами Щ и С/2 будут получать разные набеги фаз. Эффект квантового насоса чувствителен к фазам, поэтому для электронов с противоположными спинами будут наблюдаться различные зависимости генерируемого тока от энергии Ферми.

(10)

-0 025 -0.02 -0,015 -0.U1 -10 -i 0 5 10 O.ib 0 .1! U.28 ч.а OJ

Ef, эВ Et, mB/hm Ef, эВ

Рис. 7. a) Зависимость электронного le (чёрная сплошная линия) и спинового Is (красная пунктирная линия) токов от энергии Ферми и Ь) зависимость электронного (чёрная сплошная линия) и спинового (красная пунктирная линия) токов от напряжённости поперечного электрического поля при фиксированной энергии Ферми Ер = -0.025-5 эВ в квантовом насосе на основе наноленты 10-ZGNR. с) Зависимость электронного 1С (чёрная сплошная линия) и спинового Is (красная пунктирная линия) токов от энергии Ферми в квантовом насосе на основе наноленты 18-AGNR (ферромагнитный диэлектрик находится между затворами).

Зависимости электронного и спинового токов от энергии Ферми Ер в фиксированном поле Ет для устройства на основе наноленты 10-ZGNR показана на рис. 7а. При некоторых значениях Ер полный электронный ток обращается в ноль, тогда как спиновый ток остается конечным, т. е. генерируется чисто спиновый ток. Амплитуда тока возрастает при уменьшении Ер, что связано с ростом плотности состояний ввиду наличия особенности ван Хова у дна зоны. На рис. 7Ь показана зависимость токов от напряжённости поля Ет при фиксированной энергии Ферми. Как и следовало ожидать, спиновый ток обращается в ноль в нулевом поле, поскольку в этом случае восстанавливается симметрия между противоположными направлениями спинов. В работе также рассмотрен случай, когда асимметрия между спиновыми каналами создаётся с помощью дефекта на одной из границ ленты. Здесь также оказывается возможным генерирование спиновых и чисто спиновых токов. В работе проанализирован эффект спинового квантового насоса в режиме резонансного туннслирования. В этом случае можно получить квантованный спиновый и чисто спиновый токи.

Анализ показывает, что наполепты типа «armclia.ir» не обладают магнитным порядком. Спиновый ток можно получить за счёт использования эффекта близости с ферромагнитным диэлектриком (например, ЕиО). Эффект за-

Рис. 8. Схематическое изображение рассматриваемого устройства. Ширина потенциальных барьеров составляет N1 элементарных ячеек, расстояние до центральной области Л'о элементарных ячеек, ширина центральной области — Л'г элементарных ячеек. Левый и правый контакты являются нанолентами Д^-АСКИ и Л^-АСКН, соответственно.

ключается в возникновении обменного расщепления за счёт взаимодействия с нанесённым на графен слоем диэлектрика, при этом в соответствующей области для электронов с противоположными спинами возникают потенциальные барьеры разной высоты:

где h — величина обменного расщепления, в численных расчётах принимаемая равной h = 5 мэВ [17].

На рис. 7с показана зависимость генерируемого электронного и спинового токов от энергии Ферми в случае, когда, слой ЕиО нанесён между барьерами. Видно, что при определённых энергиях Ферми возникает чисто спиновый ток. Как и в предыдущих случаях, амплитуда тока уменьшается с ростом энергии Ферми ввиду уменьшения плотности состояний. В режиме резонансного тун-нелирования также возможно генерирование квантованного спинового тока. Используя дефекты, можно получить чисто спиновый ток и в этом случае.

В главе также рассмотрен эффект насоса в графеновых Z-образных наноструктурах, представляющих собой участок наноленты типа «zigzag», включенный между нанолентами типа «armchair», играющими роль полубесконечных контактов. Поскольку на этом участке возникает намагниченность, в устройстве можно получить спиновый ток при нарушении симметрии между противоположными направлениями спинов, если, например, левый и правый контакты имеют различную ширину.

(И)

Рис. 9. Распределение намагниченности mi в устройстве при эггергии Ферми в контактах Ер - 2.2 эВ. Радиус кружка пропорционален |т.;|. чёрный (белый) кружок соответствует щ > 0 (т, < 0).

Схематически устройство показано на рис. 8. Для моделирования устройства используется модель сильной связи в приближении среднего поля [7, 8]:

Н = - £ + и (12)

+

где ща = — операторы числа электронов со спином 5- на узле г. Второе слагаемое учитывает кулоновское отталкивание на узлах с параметром внут-риузельного отталкивания V. Анализ показывает, что данная модель адекватно описывает намагниченность в графеновых структурах при величине и~Ь[ 7,8].

Средние числа заполнения на узлах (щ) и (пц) определяются диагональными элементами спектральной функции Аг(Е):

ГЕр ¿Е ГВр НЕ

("»>=/ = - —1т £«,(£). (13)

^ ОС ./-00 ^

Поскольку функция Грина С(Е) является сильно нерегулярной из-за особенностей ван Хова, непосредственное интегрирование по энергии оказывается весьма затруднительным. Чтобы обойти эту трудность, можно сместить контур интегрирования с действительной оси в комплексную плоскость, где функция С(Е) является достаточно гладкой [18]. Уравнения (12)—(13) составляющие самосогласованную задачу, решаются численно методом итераций.

Рис. 10. а) Зависимость коэффициента прохождения от энергия Ферми: Т^(Ер) (чёрная сплошная линия) и Т±(Ер) (краевая пунктирная линия). Ь) Зависимости Пс (чёрная сплошная линия) и от П3 (красная пунктирная линия).

Типичное распределение намагниченности

ГГЦ = (""т) ~ Ы (14)

на узлах i в устройстве показано на рис. 9. Легко заметить, что намагниченность возникает преимущественно в центральной области устройства, имеющей конфигурацию «zigzag», и быстро уменьшается при удалении от центральной области. Подобное поведение находится в согласии с тем, в бесконечных нанолентах намагниченность возникает только в случае границы «zigzag».

На рис. 10а показаны зависимости коэффициента прохождения от энергии Ферми для противоположных направлений спинов. Видно, что в рассматриваемом диапазоне энергий Ферми (вблизи дна первой подзоны в контактах) прозрачность системы для электронов со спином «вверх» выше, чем для электронов со спином «вниз». Поэтому при приложении небольшой разности потенциалов возникнет конечный спиновый ток.

Зависимости билинейного отклика Пс = П| + и П5 = П| — П| от энергии Ферми показаны на рис. 10Ь. Как и ожидалось, в системе возможно генерирование спинового и чисто спинового тока. Характерная величина П = 2 эВ~2, что при частоте 50 ГГц и амплитуде управляющих потенциалов U0 = 10~J эВ2 соответствует току I = 16 пА.

13 заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, а также отмечены возможные направление дальнейших исследований по теме диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Рассмотрен эффект адиабатического квантового насоса в графитовых нанолентах в режиме билинейного отклика и в режиме резонансного туннелирования и численно рассчитаны зависимости прошедшего заряда (среднего тока) от энергии Ферми в контактах.

2. Показано, что возможна генерация не только электронных, но также спиновых и чисто спиновых токов при нарушении симметрии между спиновыми каналами, что в нанолентах типа «armchair» достигается за счёт эффекта близости с ферромагнитным диэлектриком, в нанолентах типа «zigzag» за счёт приложения поперечного электрического ноля или создания дефектов на границе ленты.

3. Показано, что возможно создание спиновых и чисто спиновых токов в графеновых структурах типа «armchair-zigzag-armchair», в которых симметрия между спиновыми каналами нарушается за счёт пространственной асимметрии структуры.

4. В режиме резонансного туннелирования обнаружены качественные различия в зависимости прошедшего через систему заряда и спина от энергии Ферми для нанолент типов «armchair» и «zigzag»: при фиксированном направлении контура потенциалов в первом случас перенос заряда возможен лишь в одном направлении, а во втором - в обоих направлениях. Подобное поведение связано с наличием антирезонансов и наблюдается также в нанолентах с дефектами.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Grichuk Е., Manykin Е. Quantum pumping in graphene nanoribbons at resonant transmission // EPL. 2010. Vol. 92. P. 47010-1-47010-6.

2. Гричук E. С.. Маныкин Э.А. Эффект спин-поляризованного квантового насоса в графеновых нанолентах с границей «zigzag» // Письма в ЖЭТФ. 2011, Т. 93. С. 414-418.

3. Гричук Е.С., Маныкин Э.А. Транспорт электронов и спинов в адиабатическом квантовом насосе на основе графеновых нанолент // ЖЭТФ. 2011. Т. 140. С. 801-813.

4. Гричук Е. С., Маныкин Э.А. Электронный и спиновый транспорт в адиабатическом квантовом насосе на основе графеновых нанолент типа «armchair» // Письма в ЖТФ. 2011. Т. 37. С. 69-77.

5. Гричук Е.С., Маныкин Э.А. Эффект квантового насоса в графеновых нанолентах при резонансном туннелирокании // В сб. трудов XIV Меж-

■ дународной телекоммуникационной конференции «Молодежь и наука 2011» (1 5 июля, Москва). 2011. Т. 2. С. 13 14.

6. Grichuk Е., Manykin Е. Quantum pumping in graphene nanoribbons at resonant transmission // В сб. трудов (постеры) Международной конференции «Graphene 2011» (И 14 апреля, Бильбао, Испания). 2011. С. 151 152.

7. Grichuk Е.. Manykin Е. Spin-polarized quantum pumping in zigzag graphene nanoribbons // В сб. трудов (постеры) Объединённой международной конференции «Advanced Carbon Nanostructures 2011» (4-8 июля, Санкт-Петербург). 2011. С. 81.

8. Grichuk Е., Manykin Е. Adiabatic quantum spin pumping in graphene nanostructures // В сб. трудов (на CD) Азиатско-тихоокеанской конференции по фундаментальным проблемам опто- и наноэлектроники (4-8 июля, Москва, Самара). 2011. С. 9.

9. Гричук Е. С., Маныкин Э. А. Эффект адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах при резонансном туннелировании // В сб.

трудов конференции «ВНКСФ-17» (25 марта-1 апреля. Екатеринбург). 2011. С. 177 178.

10. Гричук Е. С., Маныкин Э. А. Снин-поляризованный квантовый насос в графеповмх паиолентах с границей «zigzag» // В сб. трудов конференции «ВНКСФ-17» (25 марта 1 апреля, Екатеринбург). 2011. С. 179 180.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Biitlikcr М. Scattering theory of current and intensity noise correlations in conductors and wave guides j; Phys. Rev. B. 1992. Vol. 46. P. 12485.

2. Brouwcr P. W. Scattering approach to parametric pumping // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 58. P. R10135.

3. Moskalets M., Biittiker M. Floquet scattering theory of quantum pumps // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 205320.

4. Levinson Y., Entin-Wohlman O., Wolfle P. Pumping at resonant transmission and transferred charge quantization // Physica A. 2001. Vol. 302. P. 335.

5. K&shcheyevs V., Aharony A., Entin-Wohlman O. Resonance approximation and charge loading and unloading in adiabatic quantum pumping // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 195301.

6. Fisher D. S.. Lee P. A. Relation between conductivity and transmission matrix // Phys. Rev. B. 1981. Vol. 23. P. 6851.

7. Fujita M., Wakabayashi K., Nakada K., Kusakabe K. Peculiar localized state at zigzag graphite edge // J. Phys. Soc. Jpn. 1996. Vol. 65. P. 1920.

8. Yazyev О. V. Emergence of magnetism in graphene materials and nanostruc-tures // Rep. Prog. Phys. 2010. Vol. 73. P. 056501.

9. Akhmerov A. R., Bardarson J. H., Rycerz A.; Beenakker C. W. J. Theory of the valley-valve effect in graphene nanoribbons // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 205416.

10. Crcsti A., Grosso G., Parravicini G. P. Valley-valve effect and even-odd chain parity in p-n graphene junctions // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 233402.

11. Wakabayashi K., Sigrist M. Zero-conductance resonances due to flux states in nanographite ribbon junctions // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 3390.

12. Wakabayashi K., Aoki T. Electrical conductance of the zigzag nanographite ribbons locally applied gate voltage // Int. J. Mod. Phys. B. 2002. Vol. 16. P. 4897.

13. Klymenko Y. O., Shevtsov O. Quantum transport in armchair graphene ribbons: analytical tight-binding solutions for propagation through step-like and barrier-like potentials // Eur. Phys. J. B. 2009. Vol. G9. P. 383.

14. Li T. C., Lu S.-P. Quantum conductance of graphene nanoribbons with edge defects // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 085408.

15. Son Y.-W., Cohen M. L., Louie S. G. Half-metallic graphene nanoribbons // Nature. 2006. Vol. 444. P. 347.

1G. Wimmer M., Adagideli I., Berber S., Tománek D., Richter K. Spin currents in rough graphene nanoribbons: universal fluctuations and spin injection // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 177207.

17. Haugen H., Huertas-Hernando D., Brataas A. Spin transport in proximity-induced ferromagnetic graphene // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 115406.

18. Wildberger K., Lang P., Zeller R., Dederichs P. H. Fermi-Dirae distribution in ab initio Green's-function calculations // Phys. Rev. B. 1995. Vol. 52. P. 11502.

Подписано в печать:

07.11.2011

Заказ № 6209 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

1 Электронный транспорт в наносистемах и свойства графена

1.1 Электронный транспорт в мезоскогшческих системах.

1.1.1 Формализм Ландауэра-Бюттикера.

1.1.2 Нестационарная теория рассеяния и эффект квантового насоса

1.1.3 Квантование заряда в эффекте насоса.

1.1.4 Метод функций Грина.

1.2 Графен.

1.2.1 Электронная структура.

1.2.2 Низкоэнергетическое приближение.

1.2.3 Графеновые наноленты.

1.3 Экспериментальные исследования графена.

1.3.1 Изготовление графена и графеновых нанолент.

1.3.2 Зонная структура графена.

1.3.3 Амбиполярный эффект поля.

1.4 Эффект квантового насоса в графене.

1.5 Цели и задачи работы.

2 Эффект электронного квантового насоса

2.1 Модель.

2.2 Наноленты типа «armchair»

2.2.1 Режим билинейного отклика.

2.2.2 Режим резонансного туннелирования.

2.3 Наноленты типа «zigzag».

2.4 Наноленты типа «armchair» с дефектами.

2.5 Условие адиабатичности

Актуальность темы исследований. Графен представляет собой слой атомов углерода, соединённых в двумерную гексагональную решётку. Долгое время этот материал представлял по существу лишь академический интерес, поскольку считалось, что двумерные кристаллы невозможно получить экспериментально ввиду их термодинамической неустойчивости. Экспериментальное выделение монослоя графена в 2004 году группой А. Гейма и К. Новосёлова кардинальным образом изменило ситуацию и привело к огромному всплеску интереса к этому материалу ввиду его необычных электронных, оптических и механических свойств.

Внимание исследователей к графену имеет как фундаментальный, так и прикладной характер. Как известно, низкоэнергетические электронные возбуждения в графене имеют линейный спектр и описываются уравнением, по своей форме совпадающим с релятивистским уравнением Дирака для безмассовой частицы. Это приводит к ряду интересных аналогий между такими столь различными областями физики, как физика конденсированных сред и физика элементарных частиц. В этом смысле о графене иногда говорят как о материале, который позволяет изучать поведение релятивистских фермионов «на столе в лаборатории». Кроме многих хорошо известных в физике конденсированного состояния эффектов (эффект поля, целый и дробный квантовые эффекты Холла и т. п.), которые имеют в графене свои особенности, возникают также и принципиально новые явления. Их анализ привёл к огромному количеству теоретических и экспериментальных работ. Несмотря на то, что графен, по-видимому, можно считать одной из наиболее хорошо изученных низкоразмерных систем, многие вопросы до сих пор остаются открытыми.

Активно ведутся также и прикладные исследования графена. Это связанно, прежде всего, с поиском новых перспективных материалов для микро- и наноэлектроники, спинтроники, оптоэлектроники и т.д. Как известно, развитие микроэлектроники хорошо подчиняется эмпирическому закону Мура, согласно которому количество транзисторов в интегральных схемах растёт во времени экспоненциально, удваиваясь примерно каждые два года. Если, например, в 1970-ых годах характерный размер затвора полевого транзистора в интегральных схемах был порядка 10 микрометров, то сейчас эта величина составляет лишь несколько десятков нанометров. Очевидно, что этот тренд не может продолжаться бесконечно, и закончится он, по-видимому, в районе 2015-2020 гг. Кроме технологических причин, есть и фундаментальные причины, связанные с тем, что миниатюризация транзисторов выводит на первый план квантовые эффекты, которые негативно влияют на их характеристики. В этой связи всё более актуальной становится задача анализа электронных транспортных свойств систем на атомных масштабах. Активно ведутся поиски новых материалов, которые бы позволили «отодвинуть» границу закона Мура.

Такие привлекательные свойства графена, как его двумерная структура, высокая подвижность носителей, высокая скорость насыщения, хорошая прозрачность в оптическом диапазоне, амбиполярная проводимость, возможность управления шириной запрещённой зоны и т.д., делают его крайне привлекательным для микроэлектроники. При этом речь идёт не только о графене как о замене кремния в полевых транзисторах, но и как о материале для создания иных устройств, в том числе и принципиально новых. Среди возможных применений графена можно отметить нолевые транзисторы для цифровых и аналоговых схем, газовые и оптические сенсоры, электромеханические резонаторы, различные устройства сгшнтроники, а также устройства для создания и детектирования излучения терагерцового диапазона. Особый интерес представляют устройства, использующие всю совокупность необычных свойств графена.

Изучение графена как перспективного материала для спинтроники связано с тем, что некоторые его производные (квантовые точки, наноленты, наноостровки и т.н.), проявляют магнетизм. Теоретический анализ механизмов спиновой релаксации показывает, что в этом материале должны наблюдаться большие значения времён и длин спиновой релаксации. Это связано со слабостью сверхтонкого и спин-орбитального взаимодействий. Экспериментально наблюдались длины спиновой релаксации до нескольких микрометров при комнатной температуре. Магнитные свойства графеновых наноструктур активно изучаются в настоящее время, и ожидается, что графеновые устройства могут найти многочисленные применения в спинтронике. Следует также отметить ряд работ, в которых предлагается использовать графен в схемах квантовых вычислений. Одна из важных задач в этой области — поиск системы, физически реализующей кубит. Большое внимание уделяется анализу твердотельного кубита, роль которого в графене может играть спин электрона, локализованного в графеновой квантовой точке.

Большинство работ, в которых изучается электронный транспорт в мезоскопиче-ских системах, направлено на исследование стационарных систем, параметры которых не меняются во времени. Внимание исследователей привлекает также и анализ нестационарных явлений. Один из возникающих тут эффектов — эффект квантового насоса — активно изучается в литературе. Явление заключается в возникновении среднего тока через систему в отсутствии приложенной разности потенциалов при периодическом изменении её параметров. Частным случаем, если частота изменения параметров системы мала, является эффект адиабатического квантового насоса. Кроме вычисления среднего электронного тока, существенный интерес представляет анализ его флуктуа-ций, шума, симметрии относительного магнитного поля, анализ потоков тепла и т.д. Анализ эффекта адиабатического спинового квантового насоса в графеновых структурах представляет существенный интерес, поскольку это явление может использоваться, в частности, для генерирования спиновых токов.

Цель работы состоит в изучении эффекта адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах с различными типами границ («armchair» и «zigzag»), а также в более сложных графеновых структурах на их основе. В соответствии с поставленной целью были сформулированы следующие задачи исследований:

1. Изчуение возможности генерирования электронных токов с помощью эффекта адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах с различными типами границ, а также Z-образных графеновых наноструктурах в режиме билинейного отклика.

2. Анализ особенностей эффекта адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах с различными тинами границ в режиме резонансного туннелирования.

3. Изучение возможности генерирования спиновых и чисто спиновых токов в графеновых нанолентах и Z-образных структурах с помощью эффекта адиабатического квантового насоса в различных режимах.

Научная новизна и практическая ценность работы. В работе рассмотрена реализация эффекта адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах и наноструктурах в билинейном режиме, а также в режиме резонансного туннелирования. Обнаружены качественные различия в поведении нанолент с границами типов «armchair» и «zigzag». В работе показано, что в таких системах возможно также генерирование спиновых и чисто спиновых токов.

Устройства, рассмотренные в диссертационной работе, могут найти применения в микро- и наноэлектронике, а также спинтронике. В частности, эффект квантового насоса может использоваться для создания преобразователей частота-ток и частота-напряжение, а также в метрологических приложениях как квантовый стандарт тока (что позволило бы «замкнуть» треугольник стандартов напряжение-сопротивление-ток). Рассмотренный в работе эффект спинового квантового насоса помимо отмеченных приложений может быть использован как управляемый механизм генерирования спиновых и чисто спиновых токов в графеновых наноструктурах.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Рассчитаны зависимости прошедшего заряда (среднего тока) и спина от энергии Ферми в эффекте адиабатического квантового насоса в графеновых нанолентах в режиме билинейного отклика и в режиме резонансного туннелирования.

2. Обнаружены качественные различия в зависимости прошедшего через систему заряда и спина от энергии Ферми для нанолент типов «armchair» и «zigzag» в режиме резонансного туннелирования.

3. Предсказан эффект генерации спиновых и чисто спиновых токов в нанолентах типа «armchair» и «zigzag».

4. Установлено, что в графеновых структурах типа «armchair-zigzag-armchair» возможно генерирование спиновых и чисто спиновых токов.

Основные результаты

В настоящей работе изучался эффект адиабатического квантового насоса в графе-новых наноструктурах, в качестве которых рассматривались двухбарьерные структуры на основе графеновых нанолент с границами типов «armchair» и «zigzag», а также более сложные структуры типа «armchair-zigzag-armchair». В работе были получены следующие основные результаты:

1. Рассмотрен эффект адиабатического квантового насоса в графеновых нанолен-тах в режиме билинейного отклика и в режиме резонансного туннелирования и численно рассчитаны зависимости прошедшего заряда (среднего тока) от энергии Ферми в контактах.

2. Показано, что возможна генерация не только электронных, но также спиновых и чисто спиновых токов при нарушении симметрии между спиновыми каналами, что в нанолентах типа «armchair» достигается за счёт эффекта близости с ферромагнитным диэлектриком, в нанолентах типа «zigzag», имеющих антиферромагнитную структуру, — за счёт приложения поперечного электрического поля или создания дефектов на границе ленты.

3. Показано, что возможно создание спиновых токов в графеновых структурах типа «armchair-zigzag-armchair», в которых симметрия между спиновыми каналами нарушается за счёт пространственной асимметрии структуры.

4. В режиме резонансного туннелирования обнаружены качественные различия в зависимости прошедшего через систему заряда и спина от энергии Ферми для нанолент типов «armchair» и «zigzag»: в первом случае вся резонансная кривая даёт вклад в перенос одного электрона через систему, а во втором случае резонансная кривая разбивается на участки, каждый из которых соответствует переносу одного электрона, причем при фиксированном направлении контура перенос возможен в обоих направлениях. Подобное поведение связано с наличием антирезонансов и наблюдается также в нанолентах с дефектами.

Дальнейшие перспективы

Эффект квантового насоса в графене, как было показано в настоящей работе, а также в ряде других публикаций, имеет ряд необычных особенностей, изучение которых представляет существенный теоретический интерес. Хотя сам эффект квантового насоса давно изучается в мезоскопической физике, исследование этого являения в графене началось совсем недавно, и, конечно, многие интересные открытия ещё впереди.

Кроме среднего тока, вычислению которого было уделено основное внимание, существенный интерес представляют также потоки тепла, различные корреляционные функции тока, в частности, его избыточный шум. Более детальной теоретической оценки заслуживает также изучение влияния температуры, примесей, процессов сбоя фазы, магнитного поля, спин-орбитального взаимодействия и т. п. Учитывая необычные электронные свойства графена, сильно отличающие его от нормальных систем, можно предположить, что все эти являения будут иметь свои интересные особенности в графене.

Поскольку устройства рассмотренного типа могут представлять в том числе и существенный экспериментальный интерес, представляется важным провести их более детальное численное моделирование. В частности, должны быть проанализированы эффекты экранирования потенциальных барьеров с помощью самосогласованного подхода на основе уравнения Пуассона и метода неравновесных функций Грина. Это позволило бы связать высоты потенциальных барьеров, которые фигурируют в описании эффекта насоса с потенциалами, прикладываемыми к самим затворам. Важно также учесть влияние ненулевой температуры и зарядовых эффектов.

Существенный интерес представляет также выход за рамки адиабатического приближения. Это позволит не только изучить поведение системы при более высоких частотах изменения параметров (например, когда часть наноленты находится под действием электромагнитного излучения терагерцового или видимого диапазона), но и более строго сформулировать условие применимости адиабатического приближения.

Можно с уверенностью сказать, что нестационарный электронный транспорт в графене будет приковывать к себе всё большее и большее внимание исследователей, связанное, в том числе, с возможными применениями графена для создания новых устройств электроники, спинтроники, оптоэлектроники, оптоспинтроники и т. д.

Заключение

1. Biittiker М. Scattering theory of current and intensity noise correlations in conductors and wave guides // Phys. Rev. B. 1992. Vol. 46. P. 12485.

2. Datta S. Electronic Transport in Mesoscopic Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

3. Mello P., Kumar N. Quantum Transport in mesoscopic systems. N.Y.: Oxford University Press, 2004.

4. Имри Й. Введение в мезоскопическую физику. М.: Физматлит, 2004.

5. Di Ventra М. Electrical Transport in Nanoscale Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 2008.

6. Ferry D. K., Goodnick S. M., Bird J. Transport in Nanostructures. 2nd ed. edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2009.

7. Moskalets M., Biittiker M. Floquet scattering theory of quantum pumps // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 205320.

8. Brouwer P. W. Scattering approach to parametric pumping // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 58. P. R10135.

9. Avron J. E., Elgart A., Graf G. M., Sadun L. Geometry, statistics, and asymptotics of quantum pumps // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 62. P. R10618.

10. Alhassid Y. The statistical theory of quantum dots // Rev. Mod. Phys. 2000. Vol. 72. P. 895.

11. Geerligs L. J., Anderegg V. F., Holweg P. A. M., Mooij J. E., Pothier H., Esteve D., Urbina C., Devoret M. H. Frequency-locked turnstile device for single electrons // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. P. 2691.

12. Kouwenhoven L. P., Johnson А. Т., van der Vaart N. C., Harmans C. J. P. M., Fox-on С. T. Quantized current in a quantum-dot turnstile using oscillating tunnel barriers // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 67. P. 1626.

13. Pothier H., Lafarge P., Urbina C., Esteve D., Devoret M. H. Single-Electron Pump Based on Charging Effects // Europhys. Lett. 1992. Vol. 17. P. 249.

14. Levinson Y., Entin-Wohlman O., Wolfle P. Pumping at resonant transmission and transferred charge quantization // Physica A. 2001. Vol. 302. P. 335.

15. Makhlin Y., Mirlin A. D. Counting Statistics for Arbitrary Cycles in Quantum Pumps // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87. P. 276803.

16. Kashcheyevs V., Aharony A., Entin-Wohlman O. Resonance approximation and charge loading and unloading in adiabatic quantum pumping // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 195301.

17. Датта С. Квантовый транспорт: от атома к транзистору. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009.

18. Wallace P. R. The Band Theory of Graphite // Phys. Rev. 1947. Vol. 71. P. 622.

19. Slonczewski J. C., Weiss P. R. Band Structure of Graphite // Phys. Rev. 1958. Vol. 109. P. 272.

20. Munoz Rojas F., Jacob D., Fernandez-Rossier J., Palacios J. J. Coherent transport in graphene nanoconstrictions // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 74. P. 195417.

21. Bena C., Montambaux G. Remarks on the tight-binding model of graphene // New J. Phys. 2009. Vol. 11. P. 095003.

22. Лозовик Ю. E., Меркулова С. П., Соколик А. А. Коллективные электронные явления в графене // УФН. 2008. Т. 178. С. 757.

23. Морозов С. В., Новоселов К. С., Гейм А. К. Электронный транспорт в графене // УФН. 2008. Т. 178. С. 776.

24. Caroli С., Combescot R., Nozieres P., Saint-James D. Direct calculation of the tunneling current // J. Phys. C: Solid St. Phys. 1971. Vol. 4. P. 916.

25. Fisher D. S., Lee P. A. Relation between conductivity and transmission matrix // Phys. Rev. B. 1981. Vol. 23. P. 6851.

26. Wimmer M. Quantum transport in nanostructures: From computational concepts to spintronics in graphene and magnetic tunnel junctions: Ph. D. thesis / The University of Regensburg. Germany, 2008.

27. Ашкрофт H., Мермин H. Физика твердого тела. M.: Мир, 1979.

28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 2. М.: Физматлит, 2004.

29. Berry М. V. Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes // Proc. R. Soc. London A. 1984. Vol. 392. P. 45.

30. Ando Т., Nakanishi Т., Saito R. Berry's Phase and Absence of Back Scattering in Carbon Nanotubes //J. Phys. Soc. Jpn. 1998. Vol. 67. P. 2857.

31. Novoselov K. S., McCann E., Morozov S. V., Falko V. I., Katsnelson M. I., Zeitler U., Jiang D., Schedin F., Geim A. K. Unconventional quantum Hall effect and Berry's phase of 2тг in bilayer graphene // Nat. Phys. 2006. Vol. 2. P. 177.

32. Shytov A. V., Rudner M. S., Levitov L. S. Klein Backscattering and Fabry-Perot Interference in Graphene Heterojunctions // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 156804.

33. Beenakker C. W. J. Colloquium: Andreev reflection and Klein tunneling in graphene // Rev. Mod. Phys. 2008. Vol. 80. P. 1337.

34. Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. Spintronics: Fundamentals and applications // Rev. Mod. Phys. 2004. Vol. 76. P. 323.

35. Rashba E. I. Semiconductor Spintronics: Progress and Challenges // Future Trends in Microelectronics. Up to Nano Creek / Ed. by S. Luryi, J. M. Xu, A. Zaslavsky. Hoboken: Wiley-Interscience, 2007. P. 28.

36. Akhmerov A. R., Beenakker C. W. J. Detection of Valley Polarization in Graphene by a Superconducting Contact // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 157003.

37. Rycerz A., Tworzydlo J., Beenakker C. W. J. Valley filter and valley valve in graphene // Nat. Phys. 2007. Vol. 3. P. 172.

38. Xiao D., Yao W., Niu Q. Valley-Contrasting Physics in Graphene: Magnetic Moment and Topological Transport // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 236809.

39. Cresti A., Grosso G., Parravicini G. P. Valley-valve effect and even-odd chain parity in ■p-n graphene junctions // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 233402.

40. Akhmerov A. R., Bardarson J. H., Rycerz A., Beenakker C. W. J. Theory of the valley-valve effect in graphene nanoribbons // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 205416.

41. Garcia-Pomar J. L., Cortijo A., Nieto-Vesperinas M. Fully Valley-Polarized Electron Beams in Graphene // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 236801.

42. Abergel D. S. L., Chakraborty T. Generation of valley polarized current in bilayer graphene // Appl. Phys. Lett. 2009. Vol. 95. P. 062107.

43. Katsnelson M. I., Novoselov K. S., Geim A. K. Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene // Nat. Phys. 2006. Vol. 2. P. 620.

44. Dragoman D. Evidence against Klein paradox in graphene // Phys. Scr. 2009. Vol. 79. P. 015003.

45. Cheianov V. V., Fal'ko V. I. Selective transmission of Dirac electrons and ballistic magnetoresistance of n-p junctions in graphene // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 74. P. 041403.

46. Low Т., Hong S., Appenzeller J., Datta S., Lundstrom M. Conductance asymmetry of graphene p-n junction // Trans. Elec. Dev. 2009. Vol. 56. P. 1292.

47. Cheianov V. V., Fal'ko V., Altshuler B. L. The Focusing of Electron Flow and a Veselago Lens in Graphene p-n Junctions // Science. 2007. Vol. 315. P. 1252.

48. Kim P. Manifest of electron interactions in quantum Hall effect in graphene // Proceedings of ImagineNano Conference. 2011. P. 73.

49. Groebig M. O. Physical consequences of electron-electron interactions in graphene Landau levels // Proceedings of ImagineNano Conference. 2011. P. 57.

50. Geim A. K. Random Walk to Graphene. 2010. Nobel Lecture.

51. Novoselov K. S. Graphene: Materials in the Flatland. 2010. Nobel Lecture.

52. Елецкий А. В., Искандарова И. M., Книжник А. А., Красиков Д. Н. Графен: методы получения и теплофизические свойства // УФН. 2011. Т. 181. С. 233.

53. Manchester University Group, http://www.condmat.physics.manchester.ac.uk/pictures/.

54. Emtsev K. V., Bostwick A., Horn K., Jobst J., Kellogg G. L., Ley L., McChesney J. L., Ohta T. et al. Towards wafer-size graphene layers by atmospheric pressure graphitiza-tion of silicon carbide // Nat. Mater. 2009. Vol. 8. P. 203.

55. Li X., Zhang G., Bai X., Sun X., Wang X., Wang E., Dai H. Highly conducting graphene sheets and Langmuir-Blodgett films // Nat. Nanotechnol. 2008. Vol. 3. P. 538.

56. Virojanadara C., Yakimova R., Zakharov A. A., Johansson L. I. Large homogeneous mono-/bi-layer graphene on 6H-SiC(0001) and buffer layer elimination //J. Phys. D: Appl. Phys. 2010. Vol. 43. P. 374010.

57. Chen Z., Lin Y.-M., Rooks M. J., Avouris P. Graphene nano-ribbon electronics // Physica E. 2007. Vol. 40. P. 228.

58. Han M. Y., Ozyilmaz B., Zhang Y., Kim P. Energy Band-Gap Engineering of Graphene Nanoribbons // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 206805.

59. Tapaszto L., Dobrik G., Lambin P., Biro L. P. Tailoring the atomic structure of graphene nanoribbons by scanning tunnelling microscope lithography // Nat. Nanotechnol. 2008. Vol. 3. P. 397.

60. Bai J., Duan X., Huang Y. Rational Fabrication of Graphene Nanoribbons Using a Nanowire Etch Mask // Nano Lett. 2009. Vol. 9. P. 2083.

61. Wang K., Dai H. Etching and narrowing of graphene from the edges // Nat. Chem.2010. Vol. 2. P. 661.

62. Song B., Schneider G. F., Xu Q., Pandraud G., Dekker C., Zandbergen H. Atomic-Scale Electron-Beam Sculpting of Near-Defect-Free Graphene Nanostructures // Nano Lett.2011. Vol. 11. P. 2247.

63. Kosynkin D. V., Higginbotham A. L., Sinitskii A., Lomeda J. R., Dimiev A., Price B. K., Tour J. M. Longitudinal unzipping of carbon nanotubes to form graphene nanoribbons // Nature. 2009. Vol. 458. P. 872.

64. Jiao L., Zhang L., Ding L., Liu J., Dai H. Aligned Graphene Nanoribbons and Crossbars from Unzipped Carbon Nanotubes // Nano Res. 2010. Vol. 3. P. 387.

65. Talyzin A. V., Luzan S., Anoshkin I. V., Nasibulin A. G., Jiang H., Kauppinen E. I., Mikoushkin V. M., Shnitov V. V. et al. Hydrogenation, Purification, and Unzipping of

66. Carbon Nanotubes by Reaction with Molecular Hydrogen: Road to Graphane Nanorib-bons // ACS Nano. 2011. Vol. 5. P. 5132.

67. Guo Y., Jiang L., Guo W. Opening carbon nanotubes into zigzag graphene nanoribbons by energy-optimum oxidation // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 82. P. 115440.

68. Sprinkle M., M. amd Ruan, Hu Y., Hankinson J., Rubio-Roy M., Zhang B., Wu X., Berger C., de Heer W. A. Scalable templated growth of graphene nanoribbons on SiC // Nat. Nanotechnol. 2010. Vol. 5. P. 727.

69. Cai J., Ruffieux P., Jaafar R., Bieri M., Braun T., Blankenburg S., Muoth M., Seitso-nen A. P. et al. Atomically precise bottom-up fabrication of graphene nanoribbons // Nature. 2010. Vol. 466. P. 470.

70. Bostwick A., Ohta T., Seyller T., Horn K., Rotenberg E. Experimental Determination of the Spectral Function of Graphene. arXiv:cond-mat/0609660, preprint.

71. Ohta T., Bostwick A., Seyller T., Horn K., Rotenberg E. Controlling the Electronic Structure of Bilayer Graphene // Science. 2006. Vol. 313. P. 951.

72. Zhou S. Y., Gweon G.-H., Graf J., Fedorov A. V., Spataru C. D., Diehl R. D., Kopele-vich Y., Lee D.-H. et al. First direct observation of Dirac fermions in graphite // Nat. Phys. 2006. Vol. 2. P. 595.

73. Bostwick A., Ohta T., McChesney J. L., Seyller T., Horn K., Rotenberg E. Renormal-ization of graphene bands by many-body interactions // Solid State Commun. 2007. Vol. 143. P. 63.

74. Sprinkle M., Siegel D., Hu Y., Hicks J., Tejeda A., Taleb-Ibrahimi A., Le Fevre P., Bertran F. et al. First Direct Observation of a Nearly Ideal Graphene Band Structure // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 103. P. 226803.

75. Lemme M. C., Echtermeyer T. J., Baus M., Kurz H. A Graphene Field-Effect Device // IEEE Electr. Device Lett. 2007. Vol. 28. P. 282.

76. Novoselov K. S., Geim A. K., Morozov S. V., Jiang D., Dubonos S. V., Grigorieva I. V., Firsov A. A. Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films // Science. 2004. Vol. 306. P. 666.

77. Novoselov K. S., Geim A. K., Morozov S. V., Jiang D., Katsnelson M. I., Grigorie-va I. V., Dubonos S. V., Firsov A. A. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene // Nature. 2005. Vol. 438. P. 197.

78. Geim A. K., Novoselov K. S. The rise of graphene // Nat. Mater. 2007. Vol. 6. P. 183.

79. Galitski V. M., Adam S., Das Sarma S. Statistics of random voltage fluctuations and the low-density residual conductivity of graphene // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 76. P. 245405.

80. Rossi E., Adam S., Das Sarma S. Effective medium theory for disordered two-dimensional graphene // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79. P. 245423.

81. Hannes W.-R., Jonson M., Titov M. Electron-hole asymmetry in two-terminal graphene devices // Phys. Rev. B. 2011. Vol. 84. P. 045414.

82. Prada E., San-Jose P., Schomerus H. Quantum pumping in graphene // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 80. P. 245414.

83. Zhu R., Chen H. Quantum pumping with adiabatically modulated barriers in graphene // Appl. Phys. Lett. 2009. Vol. 95. P. 122111.

84. Wu Z., Chang K., Chan K. S. Charge pumping in monolayer graphene driven by a series of time-periodic potentials. arXiv:1008.0463, preprint.

85. Wakker G. M. M., Blaauboer M. Quantum pumping in a ballistic graphene bilayer // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 82. P. 205432.

86. Tiwari R. P., Blaauboer M. Quantum pumping in graphene with a perpendicular magnetic field // Appl. Phys. Lett. 2010. Vol. 97. P. 243112.

87. San-Jose P., Prada E., Kohler S., Schomerus H. Single-parameter pumping in graphene // Phys. Rev. B. 2011. Vol. 84. P. 155408.

88. White C. T., Li J., Gunlycke D., Mintmire J. W. Hidden One-Electron Interactions in Carbon Nanotubes Revealed in Graphene Nanostrips // Nano Lett. 2007. Vol. 7. P. 825.

89. Gunlycke D., White C. T. Tight-binding energy dispersions of armchair-edge graphene nanostrips // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 115116.

90. Pereira Jr. J. M., Peeters F. M., Chaves A., Farias G. A. Klein tunneling in single and multiple barriers in graphene // Semicond. Sci. Technol. 2010. Vol. 25. P. 033002.

91. Fujita M., Wakabayashi K., Nakada K., Kusakabe K. Peculiar localized state at zigzag graphite edge // J. Phys. Soc. Jpn. 1996. Vol. 65. P. 1920.

92. Sasaki K., Murakami S., Saito R. Stabilization mechanism of edge states in graphene // Appl. Phys. Lett. 2006. Vol. 88. P. 113110.

93. Wakabayashi K., Sigrist M. Zero-conductance resonances due to flux states in nanographite ribbon junctions // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 3390.

94. Wakabayashi K., Aoki T. Electrical conductance of the zigzag nanographite ribbons locally applied gate voltage // Int. J. Mod. Phys. B. 2002. Vol. 16. P. 4897.

95. Miroshnichenko A. E., Flach S., Kivshar Y. S. Fano resonances in nanoscale structures // Rev. Mod. Phys. 2010. Vol. 82. P. 2257.

96. Shao Z., Porod W., Lent C. S. Transmission resonances and zeros in quantum waveguide systems with attached resonators // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 49. P. 7453.

97. Orellana P. A., Domínguez-Adame F., Gómez I., Ladrón de Guevara M. L. Transport through a quantum wire with a side quantum-dot array // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 67. P. 085321.

98. Bagwell P. F. Evanescent modes and scattering in quasi-one-dimensional wires // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 41. P. 10354.

99. Fano U. Effects of Configuration Interaction on Intensities and Phase Shifts // Phys. Rev. 1961. Vol. 124. P. 1866.

100. Tworzydlo J., Trauzettel B., Titov M., Rycerz A., Beenakker C. W. J. Quantum-limited shot noise in graphene. arXiv:cond-mat/0603315, preprint.

101. Tworzydlo J., Trauzettel B., Titov M., Rycerz A., Beenakker C. W. J. Sub-Poissonian Shot Noise in Graphene // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. P. 246802.

102. Klymenko Y. O., Shevtsov O. Quantum transport in armchair graphene ribbons: analytical tight-binding solutions for propagation through step-like and barrier-like potentials // Eur. Phys. J. B. 2009. Vol. 69. P. 383.

103. Zheng H., Wang Z. F., Luo Т., Shi Q. W., Chen J. Analytical study of electronic structure in armchair graphene nanoribbons // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 75. P. 165414.

104. Onipko A. Spectrum of ж electrons in graphene as an alternant macromolecule and its specific features in quantum conductance // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 78. P. 245412.

105. Wakabayashi K., Sasaki K., Nakanishi Т., Enoki T. Electronic states of graphene nanoribbons and analytical solutions // Sci. Technol. Adv. Mater. 2010. Vol. 11. P. 054504.

106. Berry M. V. The adiabatic limit and the semiclassical limit // J. Phys. A: Math. Gen. 1984. Vol. 17. P. 1225.

107. Li H., Wang L., Lan Z., Zheng Y. Generalized transfer matrix theory of electronic transport through a graphene waveguide // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79. P. 155429.

108. Li Т. C., Lu S.-P. Quantum conductance of graphene nanoribbons with edge defects // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 085408.

109. Wigner E. P. Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift // Phys. Rev. 1955. Vol. 98. P. 145.

110. Smith F. T. Lifetime Matrix in Collision Theory // Phys. Rev. 1960. Vol. 118. P. 349.

111. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971.

112. Biittiker М. Larmor precession and the traversal time for tunneling // Phys. Rev. B. 1983. Vol. 27. P. 6178.

113. Iannaccone G. General relation between density of states and dwell times in mesoscopic systems // Phys. Rev. B. 1995. Vol. 51. P. 4727.

114. Gasparian V., Christen Т., Biittiker M. Partial densities of states, scattering matrices, and Green's functions // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54. P. 4022.

115. Moskalets M., Biittiker M. Floquet scattering theory for current and heat noise in large amplitude adiabatic pumps // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 70. P. 245305.

116. Grichuk E., Manykin E. Quantum pumping in graphene nanoribbons at resonant transmission // EPL. 2010. Vol. 92. P. 47010.

117. Liang G., Neophytou N., Lundstrom M. S., Nikonov D. E. Ballistic graphene nanoribbon metal-oxide-semiconductor field-effect transistors: A full real-space quantum transport simulation // J. Appl. Phys. 2007. Vol. 102. P. 054307.

118. Zhao P., Guo J. Modeling edge effects in graphene nanoribbon field-effect transistors with real and mode space methods //J. Appl. Phys. 2009. Vol. 105. P. 034503.

119. Zhao P., Chauhan J., Guo J. Computational Study of Tunneling Transistor Based on Graphene Nanoribbon // Nano Lett. 2009. Vol. 9. P. 684.

120. Yazyev O. V. Emergence of magnetism in graphene materials and nanostructures // Rep. Prog. Phys. 2010. Vol. 73. P. 056501.

121. Tombros N., Józsa C., Popinciuc M., Jonkman B. J., H. T. van Wees. Electronic spin transport and spin precession in single graphene layers at room temperature // Nature. 2007. Vol. 448. P. 571.

122. Popinciuc M., Józsa C., Zomer P. J., Tombros N., Veligura A., Jonkman H. T., van Wees B. J. Electronic spin transport in graphene field-effect transistors // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 80. P. 214427.

123. Wang W. H., Pi K., Li Y., Chiang Y. F., Wei P., Shi J., Kawakami R. K. Magnetotransport properties of mesoscopic graphite spin valvesi // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 020402.

124. Kim W. Y., Kim K. S. Prediction of very large values of magnetoresistance in a graphene nanoribbon device // Nat. Nanotechnol. 2008. Vol. 3. P. 408.

125. Lakshmi S., Roche S., Cuniberti G. Spin-valve effect in zigzag graphene nanoribbons by defect engineering // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 80. P. 193404.

126. Muñoz Rojas F., Fernández-Rossier J., Palacios J. J. Giant Magnetoresistance in Ultrasmall Graphene Based Devices // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. P. 136810.

127. Hung Nguyen V., Nam Do V., Bournel A., Lien Nguyen V., Dollfus P. Controllable spin-dependent transport in armchair graphene nanoribbon structures //J. Appl. Phys. 2009. Vol. 106. P. 053710.

128. Saffarzadeh A., Farghadan R. A spin-filter device based on armchair graphene nanoribbons // Appl. Phys. Lett. 2011. Vol. 98. P. 023106.

129. Trauzettel B., Bulaev D. V., Loss D., Burkard G. Spin qubits in graphene quantum dots // Nat. Phys. 2007. Vol. 3. P. 192.

130. Recher P., Trauzettel B. Quantum dots and spin qubits in graphene // Nanotechnol. 2010. Vol. 21. P. 302001.

131. Haugen H., Huer tas-Hernando D., Brataas A. Spin transport in proximity-induced ferromagnetic graphene // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 115406.

132. Son Y.-W., Cohen M. L., Louie S. G. Half-metallic graphene nanoribbons // Nature. 2006. Vol. 444. P. 347.

133. Wimmer M., Adagideli I., Berber S., Tomânek D., Richter K. Spin currents in rough graphene nanoribbons: universal fluctuations and spin injection // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 177207.

134. Usaj G. Edge states interferometry and spin rotations in zigzag graphene nanoribbons // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 80. P. 081414.

135. Yokoyama T. Controllable spin transport in ferromagnetic graphene junctions // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 073413.

136. Santos T. S. Europium Oxide as a Perfect Electron Spin Filter: Ph. D. thesis / Massachusetts Institute of Technology. 2007.

137. Rycerz A. Nonequilibrium valley polarization in graphene nanoconstrictions // Phys. Stat. Sol. A. 2008. Vol. 205. P. 1281.

138. Wurm J., Wimmer M., Adagideli L., Richter K., Baranger H. U. Interfaces within graphene nanoribbons // New J. Phys. 2009. Vol. 11. P. 095022.

139. Sââskilahti K., Harju A., Pasanen P. Gate-controlled current switch in graphene // Appl. Phys. Lett. 2009. Vol. 95. P. 092104.

140. Rycerz A. Aharonov-Bohm Effect and Valley Polarization in Nanoscopic Graphene Rings // Acta Phys. Pol. A. 2009. Vol. 115. P. 322.

141. Fernândez-Rossier J. Magnetism in Graphene Nanoislands // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 101. P. 177204.

142. Fernandez-Rossier J. Prediction of hidden multiferroic order in graphene zigzag ribbons // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 075430.

143. Lopez-Sancho M. P., de Juan F., Vozmediano M. A. H. Magnetic moments in the presence of topological defects in graphene // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79. P. 075413.

144. Farghadan R., Saffarzadeh A. The effect of vacancy-induced magnetism on electronic transport in armchair carbon nanotubes // J. Phys.: Condens. Matter. 2010. Vol. 22. P. 255301.

145. Farghadan R., Saffarzadeh A., Iranizad E. S. Spin transport through a triangular graphene flake // J. Phys.: Conf. Ser. 2010. Vol. 248. P. 012014.

146. Feldner H., Meng Z. Y., Honecker A., Cabra D., Wessel S., Assaad F. F. Magnetism of finite graphene samples: Mean-field theory compared with exact diagonalization and quantum Monte Carlo simulations // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 81. P. 115416.

147. Sorella S., Tosatti E. Semi-Metal-Insulator Transition of the Hubbard Model in the Honeycomb Lattice // Europhys. Lett. 1992. Vol. 19. P. 699.

148. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. M.: Наука, 1966.

149. Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз, 1962.

150. Wildberger К., Lang P., Zeller R., Dederichs P. Н. Fermi-Dirac distribution in ab initio Green's-function calculations // Phys. Rev. B. 1995. Vol. 52. P. 11502.

151. Wei Y., Wang J. Carbon-nanotube-based quantum pump in the presence of a superconducting lead // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 195419.

152. Wu J., Wang В., Wang J. Spin-polarized parametric pumping: Theory and numerical results // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 205327.

153. Wang J., Zheng Q., Guo H. Current conservation in two-dimensional ac transport // Phys. Rev. B. 1997. Vol. 55. P. 9770.

154. Zheng Q., Wang J., Guo H. Low-frequency quantum transport in a three-probe meso-scopic conductor // Phys. Rev. B. 1997. Vol. 56. P. 12462.