Эффект поверхностных и межфазных напряжений в деформируемом теле с плоской и рельефной поверхностью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ш

На правах рукописи

ВИКУЛИНА Юлия Игоревна

ЭФФЕКТ ПОВЕРХНОСТНЫХ И МЕЖФАЗНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ДЕФОРМИРУЕМОМ ТЕЛЕ С ПЛОСКОЙ И РЕЛЬЕФНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005551473

7 АВГ 2014

Санкт-Петербург 2014

005551473

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

доктор физико-математических наук, профессор ГРЕКОВ Михаил Александрович

доктор физико-математических наук, профессор КРИВЦОВ Антон Мирославович, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, заведующий кафедрой теоретической механики

доктор физико-математических наук, профессор РОМАНОВ Алексей Евгеньевич, Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, ведущий научный сотрудник

Федеральное Государственное Бюджетное Учреждение Науки «Институт Проблем Машиноведения РАН» (ИПМаш РАН)

Защита состоится 2 октября 2014 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д212.232.30 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайте http://spbu.ru/ disser2/disser/Vikulina._Dissert.pdf.

Автореферат разослан "29" (JUrOKiA. 201 Ц г.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Кустова Е. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие нанотехнологий и применение нанома-териалов (наноплёнок, нанопроволок, нанотрубок, наночастиц и др.) привели к всесторонним исследованиям свойств этих материалов, а также свойств поверхностных и межфазных наноструктур. Поверхностные напряжения — одна из главных причин экстраординарных механических свойств наноструктур и наноматериалов. В классической теории упругости влияние поверхностных напряжений на состоянйе идеально упругого тела не учитывается на макроуровне, поскольку это влияние распространяется только на несколько приповерхностных слоёв атомов и на макромасштабах становится практически незначительным по сравнению с влиянием других нагрузок. Однако на субмикронных уровнях даже в твёрдых телах доминирующими становятся квантовые и поверхностные эффекты, которые оказывают значительное влияние на механические и электрические свойства наноматериалов. Многочисленные теоретические исследования в рамках континуальной механики, основанные на использовании обобщённой теории упругости, которая включает классическую теорию для основного объёма материала и поверхностную теорию упругости для поверхностей и границ раздела, показали, что именно учёт поверхностных напряжений позволяет адекватно описать, например, размерный эффект, наблюдаемый в экспериментах над различными нанообъектами. Состояние поверхности во многих микроэлектронных и оптических устройствах имеет первостепенное значение, особенно на наноструктурном уровне. Не меньшее значение имеет состояние межзёренной границы в кристаллических материалах. В связи с этим, разработка и развитие методов решения соответствующих краевых задач на наномасштабном уровне и анализ наноэффектов являются актуальными.

Цель данной работы состоит в исследовании на наномасштабном уровне эффекта поверхностных напряжений в упругом теле с плоской и рельефной поверхностью, а также межфазных напряжений в двухкомпонентном теле с рельефной поверхностью.

Результаты, выносимые на защиту:

• решение задачи определения напряжённо-деформированного состояния упругого полупространства с плоской поверхностью в условиях плоской деформации при действии поверхностных напряжений, возникших в результате изменения поверхностной нагрузки в нанометровом диапазоне, и напряжений на бесконечности;

• решение задачи определения напряжённо-деформированного состояния упругого полупространства с нанометровым рельефом поверхности в условиях плоской деформации при действии поверхностных напряжений, внешней нагрузки и напряжений на бесконечности;

• решение задачи определения напряжённо-деформированного состояния двухкомпонентного упругого пространства с нанометровым рельефом поверхности раздела в условиях плоской деформации при наличии межфазных напряжений и действии напряжений на бесконечности;

• исследование влияния поверхностных и межфазных напряжений на напряжённое состояние внешней границы и границы раздела двух упругих сред в зависимости от геометрических и физических параметров задачи. Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались различные аналитические методы: методы теории аналитических функций, методы математической физики, метод возмущений границы раздела. Численные результаты и графические построения получены при помощи системы компьютерной алгебры МАРЬЕ.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задач и математических методов, использованных в решении рассмотренных задач. Полученные в работе результаты качественно согласуются с результатами решений аналогичных задач наномеханики, рассмотренных разными авторами при исследовании эффекта поверхностных напряжений. Существование выявленного размерного эффекта было установлено в ряде экспериментальных и теоретических работ.

Научная новизна:

• разработан новый подход к решению ряда краевых двумерных задач, постановка которых основана на определяющих соотношениях объёмной и поверхностной теорий упругости. Метод аналитического решения рассмотренных задач состоит в построении однотипных гиперсингулярных интегральных уравнений;

• впервые получено точное решение задачи о деформации упругой полуплоскости при действии произвольной периодической внешней нагрузки и поверхностного напряжения;

• разработан метод возмущений при решении двумерных задач для упругих областей с наноразмерным рельефом внешней или межфазной поверхности. Построен алгоритм нахождения любого приближения и метод точного решения полученного для каждого приближения однотипного гиперсингулярного интегрального уравнения в случае периодического искривления поверхности;

• проанализирован размерный эффект, который связан с наличием поверхностных напряжений и проявляется в зависимости напряжённого состояния от периода изменения нагрузки, а также от периода искривления поверхности и интерфейса.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенный в работе метод решения задач с поверхностными и межфазными напряжениями, приводящий к решению гиперсингулярного интегрального уравнения, может быть распространён на многие аналогичные двумерные задачи, например, задачи для плёночного упругого покрытия при учёте поверхностных напряжений на внешней поверхности и межфазных — на интерфейсе. Результаты данной работы позволяют дать теоретическое объяснение уникальных механических свойств наноматериалов и наноструктур. Эти результаты могут быть использованы для оценки работоспособности оптических и электронных устройств, поверхности которых имеют дефекты нанометрового размера. Обнаруженные эффекты, связанные с учётом поверхностных напряжений, представляются существенными для дальнейшего развития физической мезомеханики, одним из направлений которой является описание процессов, происходящих при переходе от мезомас-штабных уровней к нанометровым. Найденные решения можно также использовать для оценки точности и достоверности результатов, полученных численными методами и с помощью компьютерного моделирования.

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого твёрдого тела, на научном семинаре кафедры математики Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна, а также на 8 научных конференциях: ХЫ, ХЫ1, ХЫИ, ХЫУ международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2010, 2011, 2012, 2013); международная конференция по механике «Шестые Поляховские чтения» (Санкт-Петербург, 2012);

международная конференция по механике «The 8th European Solid Mechanics Conference» (Грац, Австрия, 2012); междунароная научная конференция «Современные проблемы механики деформируемого твёрдого тела, дифференциальных и интегральных уравнений» (Одесса, Украина, 2013); XXI Петербургские чтения по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 2014).

Результаты работы получены при проведении исследований по проектам РФФИ (гранты № 11-01-00230, № 12-08-31392, № 14-01-00260) и НИР СПбГУ № 9.37.129.2011.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК. Список публикаций приведён в конце автореферата.

В совместных исследованиях Грекову М. А. принадлежит постановка задачи, общая схема решений и консультации по различным вопросам, связанным с решением задач. Костырко С. А. принадлежит постановка соответствующих задач и обсуждение путей реализации решений. Викулиной Ю.И. принадлежит реализация предложенного научным руководителем метода, получение решения для рассмотренных задач в явном виде, составление компьютерных программ, графические представления полученных результатов и их анализ.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трёх глав и заключения, содержит 85 страниц, 18 рисунков, 1 таблицу, список литературы содержит 50 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведён краткий исторический обзор по исследуемой тематике, сформулированы цели и задачи работы, изложена методика исследования, перечислены полученные в работе новые результаты, их практическая ценность и основные положения, выносимые на защиту. В конце введения приводится краткое содержание диссертации.

Глава 1 посвящена определению напряжённо-деформированного состояния упругого полупространства с плоской поверхностью в условиях плоской деформации при действии напряжений на бесконечности, поверхностных напряжений и внешней нагрузки в нанометровом диапазоне изменения.

В начале главы излагаются основные положения поверхностной теории упругости Гёртина — Мёрдока, приводится формулировка обобщенного закона Лапласа — Юнга и рассматривается возможность их применения для решения краевых задач.

Рассматривается изотропное и однородное полупространство, плоская поверхность которого находится под действием внешней нагрузки р = (Р\,Р2) в условиях плоской деформации, и принимается в расчёт действие поверхностных напряжений а^ на границе. Задача сводится к соответствующей двумерной задаче о деформации упругой полуплоскости П с прямолинейной границей Г (рис. 1). Считается, что упругие свойства границы Г отличаются от упругих свойств полуплоскости. Согласно обобщённому закона Лапласа — Юнга [1] граничные условия в случае плоской задачи записываются в виде [2]:

Qas

^22{z) -i(ri2{z)+i-~ = -i{pi + ip2), г = хг + 1х2, z € Г, (1) где <7jX — поверхностное напряжение.

21

Рис. 1. Модель полуплоскости под нагрузкой На бесконечности

гР

lim (о"22 — ¿012) =--, lim <тц = tri, lim ш = z € (2)

X2->-00 а X2-+-OC X2—>—00

где erу — компоненты напряжений в системе координат £1, х?; и> — угол поворота материальной частицы. Кроме того, выполняется условие идеального контакта поверхности и объёма (непрерывность перемещений), которое в деформационной форме имеет вид

en(ari) = £11 (zi), Х2 = 0. (3)

Здесь £"n(rEi) и fiii^i) — деформации объёма и поверхности соответственно.

Из определяющих соотношений поверхностной теории упругости Гёрти-на — Мёрдока, объемной теории упругости и условия (3) выводится уравнение, связывающее неизвестное поверхностное напряжение и соответствующую компоненту деформации £ц основного материала на границе:

^lifci) =7о + (2/xs + As)£-n(rci),

(4)

где 7о — остаточное поверхностное напряжение в недеформированном состоянии; Л л, [13 — модули упругости поверхности.

Связь вектора напряжений ап = апп + го"п< в локальной системе координат и вектора перемещений и = и\ + Ш2 в системе координат Х^,Х2 с комплексными потенциалами Гурса — Колосова Ф и Т, согласно [3], выражается соотношениями:

^ = Ф(г) + Ф(г) - (Т(z) + Ф(г) -(z-z) Ф'(г)) e~2ia,

-хФ(г)+Щг)~ (т(г)+Щг)-(г-г)¥Сг))е

-2 in

(5)

zefi, (6) угол

где /х — модуль сдвига, к = 3 — 41/, V — коэффициент Пуассона, а наклона площадки с нормалью п к оси хл.

Переходя в (5) к пределу при 2 Г, а = 0, с учётом граничного условия (1) приходим к задаче Римана — Гильберта о скачке функции В, голоморфной вне Г:

e+(xi) - e-(a;i) = itriliz 1) + ip{x{), 9

{i:

Imz > 0, Im г < О,

(7)

где 9~(xi) = lim 9(г).

Im2->±0

Решение задачи (7) имеет вид [4]:

е(г) = ек(2) + еи(*) + с, z¿r, (8)

w 2тН J t-z ' W 2mJ t-z

dt. (9)

На основании полученных соотношений выводится уравнение, связывающее неизвестное поверхностное напряжение <7^ с комплексными потенциалами

= 7о + (2д, + А.)^ = 70 + МЪе {хФ" + Т+} , М = (Ю)

Используя формулы Сохоцкого — Племеля, получаем гиперсингулярное интегральное уравнение

М{х +1) Г <(í) dt =

2тг J (Í-Xj)2

—со

, M(*+l) f Pl(t)

) М(н+1) f Pl(t)

Для решения уравнения (11) и получения численных результатов, некоторые из которых приведены на рис. 2 и рис. 3, нагрузка, действующая на границе, полагается периодической, нормальная составляющая описывается чётной непрерывной функцией, а касательная — нечётной, то есть р(х) представима в виде ряда Фурье:

п п

р(х) = pi (х) + ip2{x) = ^2,Ск sin bkx i ^ Dk eos bk.г, (12)

fr=0 fr=0

где bk = 2nk/a, a — период, здесь и далее х = :¿i.

Тогда неизвестное поверхностное напряжение находим в виде тригонометрического ряда:

ос

^íiO1') = (А/с eos bkx + Bk sin bkx). (13)

t-=0

С использованием свойств интегралов типа Коши получены аналитические выражения для неизвестных коэффициентов ряда Фурье (13):

А0 = ъ + м(х + 1)-, Ак =-2 + МЬк{„+1)-, *>1; (14)

вк = 0, к > 0,

и найдено точное решение интегрального уравнения (11) в виде

ос

011 (я) =7о + М{К+ 1)^ + Ак eos Ькх. (15)

Ат=1

(а) -M = 0.113 им (б) - M = 0,113 нм

-M — 0 - M = О

Рис. 2. Распределение продольных напряжений в диапазоне одного периода при действии касательной нагрузки (а) и касательных напряжений при действии нормальной нагрузки (6)

«, нм а, нм

Рис. 3. Зависимость максимумов модулей продольных напряжений от периода действия касательной (а) и нормальной (б) нагрузки

В результате получены явные выражения для компонент тензора напряжений на границе Г.

Для численных расчётов и анализа эффекта поверхностных напряжений рассматривается нагрузка, определяемая одним из равенств

У) = 0|1тХк1у)У У) = таГ|£д*,у)|' (16)

где

f(X,y) = -sh-4y + ^), (17)

qi, (¡2 — постоянные величины, равные максимумам абсолютных значений соответствующих усилий; параметр у определяет форму кривых. При у > 2 кривые, описывающие действие нагрузки, становятся близкими к синусоидальным. При уменьшении параметра у можно с помощью данных функций моделировать действие периодической нагрузки, распределённой на участках границы, малых по сравнению с периодом.

Вычислительные эксперименты были проведены для алюминия с характеристиками, взятыми из работы [5], А., = 6,8511 Н/м; /х, = —0,376 Н/м. В этом случае при ¡л = 27 ГПа находим, что коэффициент M = 0,113 нм.

Получены распределения некоторых напряжений в диапазоне одного периода (рис. 2), а также зависимости этих напряжений от периода изменения нагрузки (рис. 3). Проиллюстрирован размерный эффект, который проявляется в зависимости напряжений от размерного параметра — периода изменения нагрузки.

В результате обнаружено, что при фиксированном максимальном значении нагрузки влияние поверхностных напряжений на напряжённое состояние границы становится более значительным с уменьшением участка периода, на котором сосредоточена основная часть нагрузки.

Из рис. 3 видно, что наиболее заметное влияние периода нагрузки на напряжения находится в пределах изменения а примерно от 1 до 30 нм. При а > 100 нм размерный эффект практически исчезает, и напряжённо-деформированное состояние тела не зависит от поверхностных напряжений.

Во второй главе 2 приводится решение задачи определения напряжённо-деформированного состояния полупространства со слабо искривлённой границей в условиях плоской деформации при действии поверхностных напряжений, внешней нагрузки и напряжений на бесконечности. Форма поверхности, рассматриваемая в данной задаче, часто встречается на практике. Так, например, согласно работе [6], выход дислокаций на поверхность материала может привести к формированию наноразмерного периодического рельефа.

Рассматривается упругая среда, занимающая полупространство, поверхность которого близка к плоской форме и обладает упругими свойствами, отличными от аналогичных свойств объёма. Предполагаем, что среда находится в условиях плоской деформации под действием внешних сил и дополнительных поверхностных напряжений а". Это позволяет перейти к формулировке соответствующей двумерной задачи теории упругости для полубесконечной области [7] П = {z : Iin г < ef(xi), Re г € R1} в плоскости комплексного переменного 2 = xi + ix2, 0 < е < 1. Граница Г области П определяется равенством С = xi + (рис. 4). Здесь }'{х\) — непрерывно дифференцируемая пери-

одическая функция с периодом а, удовлетворяющая условиям max |/(xi)| = а,

В случае криволинейной поверхности закон Лапласа — Юнга для плоской задачи принимает вид

где ап = апп + га„1\ p(Q = Р„(() + ipt(С); о"„„, ont — нормальное и касательное напряжения в локальной декартовой прямоугольной системе координат n,t (в уравнении (18) ось п перпендикулярна Г); pn,pt - проекции вектора внешней нагрузки на соответствующие оси п, t; astt — поверхностное напряжение; радиус кривизны г кривой Г и метрический коэффициент h (коэффициент Ламе) определяются формулами [8]

\ГЫI < 1/е.

Г

(18)

1 h

\А + (£f(xi))2 '

1

г

1

(l + (еГ(Х1))2у/2

(19)

< г Л/

/ а/2 Л/ I |

51 О 1 ;

Рис. 4. Двумерная модель упругого тела со слабо искривлённой границей Считаем, что функция р удовлетворяет условию Гёльдера всюду на Г и

С+а/2

р(С)=р(С + а), / р(т)(1т = -гР, Р = Р1 + 1Р2. (20)

<-п/2

Условия на бесконечности аналогичны условиям (2) главы 1. Для нахождения напряжённо-деформированного состояния тела используются те же соотношения Го) — (6), записанные в виде одной формулы [3]. Следуя методу возмущений [9], комплексные потенциалы и поверхностное напряжение представляем в виде степенных рядов по малому параметру е:

00 Г" Х Рп

п-0 ' ' п=0

Затем предельные значения Ф~, Тг| функций Ф„, Т„ и функции р,а* на Г раскладываются в соответствующие ряды Тейлора в окрестности прямой 1т С = 0:

р{0 = ±^Г^Чх1), (22)

,, Ш! .. 7Г1.

т—0 гп-0

Т-+ (С) = £(~^Г)Гт"(т)(:С1)' а"(с) = ёЩг1^^- (23)

т=0 '

Принимая во внимание разложения (21) — (23) в граничном условии (18), приходим к последовательности краевых задач Римана — Гильберта

- е-(ц) = г<(х,) + (24)

где Рп — известная функция, зависящая при п > 0 от всех предыдущих приближений,

й - / >0,

ф„(2), 1тг<0. (20)

Для любого п получены явные выражения Рп через известные функции, найденные в предыдущих приближениях. Решение задачи (24) имеет вид [4]:

2т У Ь — г 2т ] Ь — г

— 00 —оо

Определяющие соотношения поверхностной и объёмной теории упругости, записанные в локальной системе координат ti, t [1, 10], принимают вид

< = 7о + (А. + 2//.04. <4i = 7о + (А., + 7о К, (27)

= (А + 2ц)е„„ + Ае((, <ти = (А + + Хеп„, (28)

<Tnt = 2 n£r,t, оы = v(au + а„п), (29)

где V — коэффициент Пуассона объёмного материала.

Из условия идеального контакта поверхности с объёмом и соотношений (27) — (28), как и в главе 1, получаем равенство:

= 7о + (А., + 2ря)еи. (30)

С учётом разложений (21) — (23) приходим к последовательности уравнений

<(х-0 = vn{xy) + MRe {хФ"(х,) + T+(*i)} , М = , (31)

где функции V„ зависят только от предыдущих приближений. Приводятся явные выражения для функций V„ при любом п.

Используя формулы Сохоцкого — Племеля в уравнении (31), получаем гиперсингулярное интегральное уравнение

—ОО

^ —ОО

Заметим, что уравнение (32) по типу совпадает с уравнением (11), полученным в первой главе. Эти уравнения отличаются только правыми частями.

Решение уравнения (32) и задачи в целом строится в первом приближении при отсутствии внешней нагрузки. Некоторые численные результаты приведены на рис. о и рис. 6. Нулевому приближению отвечает задача о полуплоскости с прямолинейной границей в однородном поле напряжений сги = a i, 022 = 0:

ао = 7о + М{х + (33)

Учитывая периодичность задачи, как и в главе 1, решение уравнения (32) при п = 1 ищем в виде тригонометрического ряда

ос

a¡'(x) = (Л*- si111>кх + Вк cos bk-x), h = 2лк/а. (34)

*•= 1

Считая, что периодическая функция, описывающая форму поверхности, является чётной, представляем её в виде ряда Фурье по косинусам:

ос а!2

f(x) = ¿ a COS hkx, Ск = - í f(t) cos bkt dt. (35)

ii (i J

-a/2

(а)

м = О, ИЗ нм Л/ = О

(6)

■ Л/ = 0,113 нм

■ л/ = о

1,3-

1Д-

1,0

0,9

У — 0,2

-0,50

-0,25

0,15 0,10 ' 0,05 0,00 -0,05

У = 0,2

0,25

0,00 0,25 0,50 -0,50 -0,25 0,00

х/а х/а

Рис. 5. Распределение окружных (а) и нормальных (б) напряжений в пределах одного периода при а = о нм

(б)

1,55 -

1,50

Ь 1,40 И й

Н 1,35 1,30 1,25

У = 0,2 -М = 0

-М = 0,1 нм

-м = 0,5 нм

-м = 1 нм

1000

10

100 а, нм

1000

Рис. 6. Зависимость максимумов окружных напряжений от периода искривления поверхности при различных значениях параметра у (а) и параметра Л/ (б)

Используя свойства интегралов типа Коши, находим явные выражения для коэффициентов /Ц, В^:

МСк1?к {<п{х + 1) + ЬкоЩге - 1)) 2 + МЬк{х+\)

Вк = 0, к > 0.

Таким образом, в первом приближении получено точное аналитическое решение интегрального уравнения (32) для периодической формы поверхности в виде ряда Фурье

011 (х) = 7о + М{к + 1)^ - е ^Г ^ о» Ъкх.

к=1

Ьк

(36)

В целях получения численных результатов рассматривается частный случай, когда на тело не действует внешняя нагрузка, а форма границы задана функцией

/(•т> У) = ^ [^п |с1ё" - гу) | - 1 , (I = 1т {с1ц (гу)} .

(37)

Выбор такой функции обусловлен возможностью описать с её помощью различные формы поверхности: варьируя значения параметра у, можно получить различные формы кривых — от локализованных выступов и выемок до поверхностей, описываемых косинусоидальной функцией.

Численные результаты получены для тех же упругих параметров поверхности и объёма, что и в главе 1. Коэффициент Пуассона и = 0,3; малый параметр е = 0,1; остаточное напряжение 7о принято равным нулю.

Из рис. оа видно, что при учёте поверхностных напряжений изменение окружных напряжений сглаживается, а нормальные напряжения демонстрируют противоположный эффект (рис. 56). Кроме того, чем меньше радиус кривизны искривления поверхности, тем сильнее проявляется влияние поверхностных напряжений.

С целью выяснения влияния параметра М на размерный эффект были проведены вычисления для гипотетического сочетания упругих свойств поверхности и полуплоскости при М = 0,5 нм и М = 1 нм. Результаты вычислений приведены на рис. 66 вместе с кривыми, соответствующими значениям М = 0,1 нм и М = 0. Решение, полученное при М = 0 эквивалентно классическому решению, не учитывающему поверхностное напряжение. Из рис. 66 следует, что увеличение параметра М приводит к немонотонной зависимости окружного напряжения от периода искривления поверхности. Более того, в отличие от реального значения М = 0,113 нм, с уменьшением периода искривления а приблизительно от значения 20 нм окружное напряжение возрастает при М = 0,5 нм и от значения 40 нм — при М = 1 нм.

В третьей главе решается задача определения напряжённо-деформированного состояния двухкомпонентного упругого пространства со слабо искривлённой поверхностью раздела в условиях плоской деформации при наличии межфазных напряжений и действии напряжений на бесконечности. В рамках рассматриваемого подхода перемещения непрерывны при переходе через межфазную поверхность, а скачок напряжений связан с существованием межфазных напряжений. Проводится анализ влияния формы искривления поверхности и физических параметров на напряжённое состояние границы раздела сред.

Рассматривается упругое тело, состоящее из двух полупространств со слабо искривлённой межфазной поверхностью. В силу выполнения условий плоской деформации, как и в предыдущих главах, приходим к формулировке двумерной задачи для двухкомпонентной плоскости со слабо искривлённой границей раздела (рис. 7). Считаем, что упругие свойства полуплоскостей üi и Пг различны, а на границе раздела Г действует межфазное напряжение о* [10, 11, 12]. Граница Г определяется равенством Г = {z : z — £ = + ге/On)} , где e 1, f(xi) — непрерывная, периодическая и ограниченная функция, то есть f{xl) = /On + a), |/(xi)| < a, I/'On)I <M = const, где a - период.

На межфазной границе Г отсутствуют разрывы перемещений, а скачок напряжений crfc (fc = 1, 2) определяется законом Лапласа — Юнга:

П+(С) = U (О, -+(С) - = Аа(С) = у - = т, (38)

где радиус кривизны границы г и метрический коэффициент h определяются равенствами (19).

На бесконечности выполнены условия:

lim 4(г) = lim шк(г)=и?, г € П*. (39)

|1тг|->ос |1тг|-»ос

-а/2 а/2 Л/

а

2- ¡А,,/*,

loo 12

Рис. 7. Двумерная модель двухкомпопептного тела со слабо искривлённой границей

Для каждой среды fij. (А; = 1,2) вектор напряжений и вектор перемещений связаны с комплексными потенциалами Гурса — Колосова соотношениями, аналогичными равенствам (5) — (б) [3].

По аналогии с главой 2, используя метод возмущения границы, функции Ф*-, T/t и ая представляем в виде степенных рядов по г, а их значения на границе — раскладываем в ряды Тейлора. Подставляя напряжения и перемещения, выраженные через комплексные потенциалы, в граничные условия (38) и учитывая разложения функций по малому параметру, приходим к двум бесконечным последовательностям краевых условий [13]:

(Т!„(.*!) + Ф2п(а:1)) + - (ф1п(х,) + Т^О)" = Fln + <'(*!) - TZ, (40) in(xi) - — (jJ,lT2„{xi) ~ = F2rl, (41)

где ТЦ, Fkn (k = 1,2) — функции, зависящие от предыдущих приближений.

Решение задач (40) — (41), согласно [3], имеет вид:

ПХгШ + Ыг) 2

Ц2 + Ц1*г ßlIn(z) ~ , 1

Tl n(z) =

&ln(z) =

Hl + ц2щ

ф 27. (z) = -Ф1 n{z) + I„(z) + C„, Im z>0,

T2„(z) = -yln(z) + In(z) + Cn, Im« < 0,

+ a

In'

Im z <0,

(42)

где

In(z) — Ink + Inui

+ ЭС

1 f Fi„(t) — T*{t)

t-z

+ ЭС

dt,

Inn —

+ OC + ЭС

1 f iasn'{t) 1 f F2n{

2m J t — z 2iti J t —

(43)

dt,

пз — л

a{, C0 = a\ + a\, a\n = Cn = 0, n = 1, 2,..., (-1)'' Im z > 0.

Аналогично методу, описанному во второй главе, из условия идеального контакта и определяющих соотношений поверхностной и объёмной теорий

упругости получено уравнение, связывающее гг-ое приближение искомого межфазного напряжения ст® с компонентой объёмной деформации. С учётом разложений функций по малому параметру приходим к последовательности уравнений, аналогичных уравнениям (31)

<(*!) - МЫе {^ФМ + Т+Огг)} = К(хг), М = (44)

где функции Уп зависят только от предыдущих приближений. Приводятся явные выражения для функций Гкп (к = 1,2) и Уп при любом п.

После дифференцирования данного уравнения с учётом формул Сохоц-кого — Племеля получаем бесконечную последовательность гиперсингулярных интегральных уравнений относительно производной неизвестного межфазного напряжения сг®'

+оо

<'(*!) -МК, ^^= М Ле |Щ^хг) - Т^)] +

—оо

+оо +оо

+ ъй] йь + + (Г^Рл/ + (45)

—эо

где постоянные Ki (i = 1,4) зависят от модулей упругости нижней и верхней областей.

Нужно отметить, что уравнение (45) по типу совпадает с уравнениями (11) и (32), полученными в первой и второй главе. Эти уравнения отличаются только правыми частями. Кроме того, как и уравнения (11) и (32), уравнение (45) получено без использования свойства периодичности функции f(xi), т. е. оно справедливо для любой формы поверхности.

Решение уравнения (45) и задачи в целом находим в частном случае, когда на бесконечности действуют только продольные напряжения и угол поворота равен нулю, crjj0 = о\ и (т^ = о2- Некоторые численные результаты приведены на рис. 8 и рис. 9.

Как и в главе 2, в п-м приближении межфазное напряжение ищем в виде

оо

к(х) = (Ank cos bkx+Впк sin bkxï ' (46)

fc=0

где bk = 2-ïïk/a, здесь и далее обозначено а; = xj. Функция f(x¡), как и в первых двух главах, принята чётной и также раскладывается в ряд Фурье:

оо

f(x) = J2Ckcosbkx- (47)

к=0

С использованием свойств интегралов типа Коши, получены выражения для всех коэффициентов в нулевом и первом приближении:

Am = 7о + M(ííi + 1)^, Аок = О, к > 1; Вок = 0, к > 0, (48)

МЬкСк(К5<т1 + К2а°0Ък)_

Alk~-2 + МЬкК1-' Blk = °> (49)

где Ki (i = 1, 2,5) — постоянные, зависящие от модулей упругости.

(а)

аи <?1

1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00

Л/ = 0,113 нм Л/ = О

У = 0,2

(б)

0,12 0,08 "о7 0,04 0,00

Л/ = 0,113 нм м = о

.'/-0.2 1

-0,50

-0,25

0,50

0,00 0.25 0,50 -0,50 -0,25 0,00 0,2:

х/а х/а

Рис. 8. Распределение окружных (а) и нормальных (б) напряжений вдоль межфазной границы в пределах одного периода при а = 5 нм

(а) ,

,28

1,241,20-

1,16-

1,12

Л/ = 0,113 нм М2//11 = 0,1____ У = 0,2

У = 0,6

У = 2

(6)

1,35 1,30 1,25 1,20

1,10

1 м = 0,113 нм У = 0,2 = 0

Д2/М1 = 0,1

---""" ■ МгЛч = 0,3

№//' 1 = 0,5

10

100 а, нм

1000

100 1000 а, нм

Рис. 9. Зависимость максимумов окружных напряжений от периода искривления межфазной поверхности при различных значениях у (а) и /¿2/^1 (б)

В результате в первом приближении найдено точное решение интегрального уравнения (45) для периодической формы межфазной поверхности в виде РяДа:

4

<7*(О = 70 + м{х! + 1)^- + £ ^ аук сов ькх.

(50)

к=0

В качестве примера для описания формы искривления межфазной поверхности взята функция (37). Рассмотрено влияние различных параметров на напряжённое состояние двухкомпонентной плоскости со слабо искривлённой межфазной границей. Как и в главе 2, коэффициент М = 0,113 нм, остаточное напряжение 70 принято равным нулю, коэффициенты Пуассона обоих материалов равны VI = 1/2 = 0,3. Построены графики распределений окружных, касательных и нормальных напряжений для различных форм искривления поверхности при Ц2/Ц1 = 1/Ю (рис. 8).

На рис. 8 графики демонстрируют такой же эффект, как и на рис. 5. При этом, чем меньше радиус кривизны во впадинах более жёсткого материала, тем сильнее проявляется эффект межфазных напряжений. Это полностью согласуется с аналогичным эффектом, описанным в главе 2 для случая полуплоскости.

Получены графические зависимости максимумов окружных, нормальных

и касательных напряжений от периода искривления поверхности для различных форм искривлений, различных отношений модулей сдвига, а также для различных значений биупругой постоянной М. Наибольший эффект демонстрируют зависимости, полученные при отсутствии верхней полуплоскости = 0).

На графиках, приведённых на рис. 9, проиллюстрирован размерный эффект — зависимость окружного напряжения от периода искривления межфазной границы а. Причём чем более острые впадины имеет межфазная поверхность, а также чем больше отличаются модули упругости материалов, тем сильнее влияние межфазных напряжений. Этот эффект практически исчезает при а > 100 нм.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

• Решены задачи определения напряжённо-деформированного состояния полуплоскости с прямолинейной и со слабо искривлённой границей при действии поверхностных напряжений, а также двухкомпонентной плоскости со слабо искривлённой межфазной границей, на которой действуют межфазные напряжения.

• В общем случае построены однотипные гиперсингулярные интегральные уравнения, к которым сведено решение всех трёх задач.

• Для случая периодических усилий, действующих на прямолинейной границе полуплоскости, построено точное решение интегрального уравнения в виде рядов Фурье.

• В случае слабо искривлённой границы полуплоскости и слабо искривлённой межфазной границы при помощи метода возмущений выведены соотношения, которые позволяют найти решение в любом приближении. Для периодической формы границ в первом приближении найдено точное решение соответствующего интегрального уравнения в виде рядов Фурье.

• Обнаружен размерный эффект — зависимость напряжённого состояния от периода изменения нагрузки в первой задаче и периода искривления формы соответствующей поверхности во второй и третьей задачах.

• Проанализирована степень влияния поверхностных напряжений на напряжённое состояние границы в зависимости от характера изменения внешних усилий в первой задаче, а также от формы искривления поверхности во второй и третьей задачах. В результате выявлен следующий эффект: чем более резкое изменение нагрузки или чем меньше радиус кривизны искривления границы, тем сильнее проявляется влияние поверхностных напряжений.

• Рассмотрено влияние относительной жёсткости материалов на напряжённое состояние тела при учёте поверхностных и межфазных напряжений и обнаружено, что чем больше отличаются модули упругости материалов, тем сильнее проявляется эффект поверхностных напряжений.

• Установлено, что во всех рассмотренных случаях влиянием поверхностных и межфазных напряжений можно пренебречь, если период а > 100 нм.

Публикации.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

1. Викулина Ю. И., Греков М. А., Костырко С. А.'Модель пленочного покрытия со слабо искривленной поверхностью // Известия РАН. МТТ, 2010. № 6. С. 16-28.

2. Викулина Ю. И., Греков М. А. Напряженное состояние плоской поверхности упругого тела нанометрового размера при периодическом силовом воздействии // Вестник С-Петерб. ун-та. Серия 1, 2012. №4. С. 72-80.

Статьи в других изданиях:

3. Викулина Ю. И. Влияние формы поверхности на напряженное состояние тела нанометрового размера // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й междунар. научн. конф. аспир. и студ. / Под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 165-170.

4. Grekov М.А., Vikulina Yu.I. Effect of a type of loading on stresses at a planar boundary of a nanomaterial. // Surface Effects in Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. Eds. H. Altenbach and N.F. Morozov. Berlin: Springer, 2013. V. 30. P. 69-79.

5. Викулина Ю.И., Греков M.A., Костырко С.А. Напряженно-деформированное состояние упругого тела со слабо искривленной поверхностью при учете поверхностного напряжения // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й междунар. научн. конф. аспир. и студ. СПб, 2012. С. 112-118.

6. Викулина Ю.И., Греков М.А. Напряженное состояние полуплоскости при учете поверхностного напряжения // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й междунар. научн. конф. аспир. и студ. СПб, 2011. С. 109-114.

7. Костырко С.А., Викулина Ю.И. Напряженное состояние поверхностного слоя переменной толщины // Труды XLI междунар. научн. конф. аспир. и студ. «Процессы управления и устойчивость». СПб, 2010. С. 176-182.

Тезисы докладов на конференциях:

8. Викулина Ю.И., Греков М.А., Костырко С.А. Влияние дефектов поверхности нанометрового размера на напряженное состояние упругого тела // Тезисы докл. Междунар. научн. конф. «Совр. проблемы мех. деф. тв. тела, дифф. и интегр. ур-ий». Одесса: «Астропринт», 2013. С. 38.

9. Викулина Ю.И., Греков М.А. Напряженное состояние плоской поверхности наноматериала при периодическом силовом воздействии // Шестые Поля-ховские чтения. Тезисы докл. Междунар. научн. конф. по механике. Москва, 2012. С. 304.

10. Grekov М.А., Vikulina Yu.I. Effect of a type of loading on the surface stress at a plane boundary of a solid // 8th Europ. Solid Mech. Conf.: Book of Abstracts / G.A. Holzapfel and R.W. Ogden (Eds) / [CD] / GS-MP. Graz, Austria, 2012.

11. Grekov M.A., Kostyrko S.A., Vikulina Yu.I. Effect of surface stress in the case of a curvilinear interface between elastic materials // XXI Петербургские чтения по проблемам прочности. К 100-летию со дня рождения JI.M. Качанова и Ю.Н. Работнова.: сборник материалов. СПб.: Соло, 2014. С. 272-274.

Список цитируемой литературы

1. Gurtin М. Е., Murdoch A. I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Ration. Mech. Anal., 1975. ,Vol. 57. № 4. P. 291-323.

2. Греков M.A., Костырко С.А. Потеря устойчивости плоской формы пленочного покрытия при поверхностной диффузии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10, 2007. Вып. 1. С.,46-54.

3. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

5. Miller R.E., Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements .// Nanotechnology, 2000. Vol. 11. P. 139-147.

6. Andrews A.M., Speck J.S., Romanov A.E., Bobeth M., Pompe W. Modeling cross-hatch surface morphology in growing mismatched layers //J. Appl. Phys., 2002. V. 91. No. 4. P. 1933-1943.

7. Викулина Ю. И. Влияние формы поверхности на напряженное состояние тела нанометрового размера // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й междун. научн. конф. асп. и студ. / Под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 165-170.

8. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

9. Греков М. А., Макаров С. Н. Концентрация напряжений у слабо искривленного участка поверхности упругого тела // Изв. РАН. МТТ, 2004. № 6. С. 53-61. 1

10. Duan Н. L., Wang J., Karihaloo B.L. Theory of elasticity at the nanoscale // Advances in Applied Mechanics, 2009. № 42. P. 1-68.

11. Голъдштейн P.В., Городцов В.А., Устинов К.Б. Влияние поверхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице // Физическая мезомеханика, 2010. Т. 13. № 5. С. 127-138.

12. Tian L., Rajapakse R.K.N.D. Elastic field of an isotropic matrix with a nanoscale elliptical inhomogeneity // Int. J. Solids and Structures, 2007. V. 44. № 24. P. 7988-8005.

13. Греков M. А. Метод возмущений в задаче о деформации двухкомпонентного композита со слабо искривленной границей раздела // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 1, 2004. Вып. 1. С. 81-88.

Подписано к печати 02.07.14. Формат 60x84 'Лб. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 6050.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919