Эффективные методы решения некоторых спектральных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Р Г б ОД Міпіг.тгрс'гво огаітп України

ТСпїлсьхнй упілзрситет ім. Тарлсл Шсвчснжа

2 7 ИЮН '

На прпплк рукопису

Мсдвєдеп Георгії! Сергійович

УДК 519.632

ЕФЕКТИВНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДЕЯКИХ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ

01.П1.07 - об'ніслювальпа матсмптпка

Автореферат діїссртачії на ядс буття отсяого ступеня кандидата фіапЕО-матемпттіпк *іаут; ,

Київ

1994

Робота викопана на кафедрі обчислювальної математики факультету кібернетики Київського університету ім. Тараса Шевченка .

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Приказчиков Віктор Георгійович. '

Офіційні опоненти: доктор фізико-математнчшіх наук, професор Ляшенко Ігор Миколаєвпч, . кандидат фізнко-математнчшіх наук Хіміч Олександр Маколаєвич Провідна організація: Інститут механіки АН України.

1994 р. о год. Па в Київському універси-

.252127 Київ 127, проспект Академіка Піушхова, С, факультет кібернетики, ауд. .

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського універ ситету ім. ТЬраса НТопчсика (вул. Володпмирська, 58). Автореферат розіслано 1994 р.

Вчений секретар

< ..еціаліаованої ради і.андндат фіо.-мат. наук, *

доцепт А.В.Куоьмін

Захист відбудеться $ &

засіданні спеціалізованої ради Д.068.18.16. техі ім. Тараса Шевченка оа адресоіо:

І. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність темп. Багато науково-технічних проблем приводять до розв’язування задач на власні значення ( в.з.) для еліптичних операторів. Вони виникають, наприклад, при об 'такти хвилеводів, резонаторів, пластин, оболонок, стержнів та інших конструкцій. Більшість практичних задач не піддаютьо: аналітичному розв'язуванню, тому до них застосовують методи обчислювальної математики. Пря обранні та побудові алгоритмів наближеного розв’язку сая:лпво, іцоб вони мали достатню точність та були економічлі. Підвищення точності може досягатися або шляхом збільшення порядку, алгебраічної задачі, або удосконаленням чисельного алгоритму. Зрозуміло, що обмежені можливості навіть сучасіпгх обчислювальних манган роблять перший варіант не завжди прийнятним. А у спектральних задачах де посилюється ще і тим, що похибка дискретного аналогу збільшується разом з ростом номеру в.з.. Тому для такпх задач особлішо важливо правильно обрати метод розв’язування та застосовувати засоби підвищення точності. Ефективність чисельного розв’язування значно збільпіусться, якщо вдасться врахувати властивості конкретного класу задач. ' ,

У теперешній час широко застосовуються методи, які використовують перехід иід рівняшіь для функцій, заданих в області, до рів-няппь для функцій, заданих на внутрішніх та зотіішніх границях підобластей. Такий підхід до розв’язування різноманітних задач математичної фізики застосовується у методах декомпозиції області ( Агошкон В.І., Лебедев В.І.), методах граничних елементів ( Громадка II 'Г., Леи Ч.), методах часткових областей (Поз-пяк Л.Т.), методі сумарних зображень ( Положім Г.М., Ллшеп-ко І.М.). Особливий практичний інтерес представляють методи отримання двосторонніх оцінок для в.з. (Вайнштейн А., ГУлд С., Позняк Л.Т.).

Інфирлп.пія про похибку чисельного метода’ важлива, тому що вона характеризує точність наближеннях розв’язків та швидкість збіжності методу, а також у ряді випадків дозволяє визначити характер наближення дискретних в.з. до точних. Повне уявлення про

похибку дає головний член розвинення похибки наближених в.з. по ступенях параметру дискретизації ( Приказчиков В.Г.). Знання головного доданку похибки падає можливість уточнювати розв’язки, отримувати двосторонні оцінки та показує як треба обурювати схеми низького порядку точності для отримання більш високого порядку.

Мета роботи. Побудова та обгрунтування алгоритмів чисельного розв’язування спектральних задач для еліптичних операторів другого порядку. Дослідження похибки наближених методів. Отримання двосторонніх оцінок для в.з. .

Наукова н о в п о н а. Для рівішшь о кусково-сталими коефіцієнтами в областях, складених о прямокутників, отримано кусково-аналітичне подання розв’язку у шігляді рядів по власних функціях (в.ф.) допоміжних задач. На основі цього подання побудовано чисельніш алгоритм, який зводить розв'язування задачі в області до рівііяииь на границях прямокутних підобпастсп. Доведено збіжність цього чисельного методу, отримано оцінки похибки наближених в.з. до точних та швидкості збіжності. Показано, як за допомогою невеликого модифікування методу розв’язування, отримувати дії о сторонні оцінки В.З..

Чисельніш метод реалізовано для задачі на в.з. для оператора Лапласа у L-подібнш області та рівняннь з кусково-сталими коефіцієнтами у областях, складених о прямокутників.

Отримано головний доданок похибки дискретного v.o. різнецевої схеми для еліптичного оператору зі змінними коефіцієнтами четвертого порядку точності. Показано, як уточнювати в.з., обчислюючи поправку за допомогою схеми другого порядку точності.

П р а к т л ч її а v і п н і с т ь. Досліджений у дисертації алгоритм може бути викоріитовашш для обчислення неоднорідних хвилеводів, резонаторів та мембран складної форми.

А п р о опція робот н. Результати дисертаційної роботи доповідалися на семінарах на кафедрах обчислювальної математики та обчислювальних методів математичної фізики факультету кібернетики Київського університету та відділу чисельних методів Інстпту кібернетики АН України. .

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах {1-3).

Структура та о б ' ем робот її. Дисертація складається із вступу, чотирьох параграфів, доданку та списку літератури. Робота містить сторінок машинописного тексту

II. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наводиться огляд осповшіх робіт п досліджуваної теми, обгрунтовується актуальність та структура роботи, дається скорочений зміст дисертації .

У пер ш с м у ц а р а г р а ф і досліджується задача на п.о. для оператора Лапласа у Ь-подібціп області

з

А и = 0, х £ О “

- і=!

її = 0, х Є дії,

де П1 = (0,1) х (1,2), П2 = (0,1) х (0,1),П3 = (1,2) х (0,1).

Варіаційне формулювати цієї задачі складається у знаходженні таких пар (А,гг),А Є Л\и Є Т(її)/{0}, які задовольняють інтегральній тотожності

¡™„1 « = л I иіхіх VI) Є И'.‘(П) (1)

П і!

Існує послідовність позитивних в.о. задачі (1)

0 < Аі < Аг < ... < Аі < А*+] < ..., Іііп А* = оо,

підпопідшіх в.ф. щ,к = 1,оо , які складають повні система у гільберт,чпх просторах ¿'¿(О) і І'/’з (Гі).

В п.1 досліджується гладкість в.ф. та доводиться тзердження про подаппя ропп'ло;.у. В.ф. ик задачі (1) належать простору

< 5/3, а сліди в.<;>. та їх нормальних похідних на 7,- Є

\¥?Ы, 0и/0и{Уі Є ТУ/-'(7і), ¿=1,2, де Р = а — 0.5,

7і = {(хіУ)\У = 1, 0 < х < 1}, 72 = {(аі/Яя = 1, 0<у<1}.

Нам будуть потрібними б.о. та в.ф. наступних.допоміжних задач

Де + fie = 0, іЄП', (2)

е = 0, х Є дй', * = 1,2,3. (3)

Через {е*|£ = 1,оо},г = 1,2,3 нооначнмо ортонормовану а Ьі(П') систему в.ф. задачі (2),(3), відповідних розміщеним у зростанні з урахуванням кратпості в.о. Л' = = к,оо},і = 1,2,3.

О.тачснні'.Фуїіищю ір Є Wj(D), D С Я2 будемо вгзивати гармонічною в області D, якщо вона задовольняє тотожності

J Vi>Vvdx = 0, Vv Є ЇЇ} (D).

D

. Твердження 1

Нехай и є п.ф. оадачі (1), яка відповідав в.о. А, тоді звуження u яа П', * = 1,2,3 надається j- вигляді

■ І + Ф\ W

*=і ' ■ .

Ak =

Xj^dx

8Я,

гісл-ДГ'.“"0 **"*•

деяка стала, якщо А = ц\,

V - вектор зовнішнім нормалі ,

4>' - гармонічий’в П' функція, яка дорівнює и' на 0П'. Ряд у (4) обігясться рівномірно.

Крім того, у випадку А € Л1 виконуються рівності

/

u^idx 8 ОД- € Л'І = {/ Є.^|/4 = А}. (5)

оп<

В п.2 на основі твердження 1 побудовано алгоритм.наближеного розв'язування вихідної задачі.

Розвинемо сліди ц на 7;, і — 1.2 у ряди Фуры: по функціях 9к(х<) — $іп(пкхі) к ~ 1,оо

СО СО

ггІ7і = 53Л^5ш(тгЬ;1), «¡72 = ^М^іп^к: с2),

1=1 Ь=1

де Л^Мі— нсвігопачепі коефіцієнти.

Застосовуючі твердження 1, звуження и на 0', і — 1,2,3 надаємо у ШГГЯяді рядів, коефіцієнти яких виражаються за допомогою Л^, М*.

Далі впраон для гі,- зшиваються по неперервності нормальних дохідних па 7і, 7г, що дозволяє отримати рівняння дня наближених в.а..

Спочатку досліджується випадок наближеного визначення Л $ з ,

Л — У Л* . Подання в.ф. підставляються у наступні умови узгод-;=і ження

/ х*) “ гйт1*3(1 > Я'ЛІ зіп(якх2)(1х2 - О ,

0 1 1

1 [йІМІ(жЬ !) - ~ІгУ\х Ь і)] аіп{жкхі)іІхі =0 ,к = Т^п,

о 1 J

отримаємо однорідну систему лінійних алгебраічпих рівняннь ( с.л.а.у.)

’ Ап(\)(ії1...КМ1..:Мп)т = 0. (б)

Кориі рівняння

¿е<Л”(Л) = О

приймаються оа па ближені в.з.. Після розв'язування с.л.а.у. (б) відносно (ЛГ| .. ,ЫпМ\... М„) отримаємо кусково-аналітичний вираз наближених в.ф..

Окремо досліджується належність Л Є Л до спектру задачі (1). Для цього будуються окремі рівняння, які використовують УМОВИ (5).

В п.З для обгрунтування методу чисельного розв’язування дово-дпться його еквівалентність до проекційного. Побудовано простори Н„ С П'У (Г2) для яких виконується '

Наближсниий розв’язок ¡задач; (1) (Ап,ип) оадоволькяе тотожності

j Чип'угніх = Л„ j и„ьсІх Є Нп

о а '

та, иавплкп, якщо для деякої функції и„ Є вірші ця тотожність,

то (А„, «„) с наближеним роав’вком ¡задачі (І)-.

В л.4 оцінюється похибка наближеного роов’язку та швидкість ¡збіжності алгоритму. Збіжність методів тіта Гильоркіиа - Рітца у спектральних задачах для еліптичних операторів добре досліджена ( див., наприклад, роботл .].1І.ВгатЬ]с, - О’.Гіх, І.В.ОзЬогп). Похибка я.з. та в.ф. визначається похибкою інтерполяції в обраному просторі, в якому вирішується наближена ¡задача

5„ = вир М - -■, и Є £/(А). V Є Нп, и » ||и||і

де ■

(! (¡і - нор^а у просторі ^(П),

и( А) - власній; нідпростір, відповідний А . •

Відоме наступне '

Твердження З

Роов’яоа'іі (А„,и„) наближених ¡задач збігаються до роз'язку (А, її) •задачі (2) при п —> оо, та мають місце наступні оцінки

А» - А < Се?,.

Якщо V Є и„(АЙ), ||?;(|| - 1, то

ші ||и — у||і < О,,, іі€27(А),

де УП(А„) - влаеяші нідпростір, відповідний А„,

С- позитивна стала, яка по ¡залежить від п.

Наступне твердження встановлює оцінку для похибки інтерполяції .

Вірна оцінка

£п < Сп~"'и 5ир (||и1!А71 + Ци[!л,72) , и Є и(\), ]|и||) = 1,

и

де ¡¡' і!0}1 - корма у просторі ЇЇ^Іл), г — 1,2,

С не :залежить від п.

Таким чшіоіг, для паилижених п.о. задачі (1) має місце оиіг/кн

О < а;-; - А* < Скп-% Т<~ -

де Л*‘ - в.о. задачі (1) о порядковим номером к,

Л* - наближені в.а.,

С'і- - позитивна стала, незалежна під и.

Із варіаційних властивостей задачі виходить, що іабпижеиі п.о. збігаються до точних оперлу.

В другому параграфі побудовано та обгрунтовано модифікування методу, що иадаь нижні границі в.о. вихідної задачі. У цьому випадку ¡застосування обчислювального алгоритму еквівалентно реалізації методу Ваишитсйпа.’ На відміну від методу, який розглядався у роботах Л.Т.Позняка,, в нашому випадку у роорахущшпнх рівняннях де виникають ряди, наближення яких скінченними сумами ті практиці може приводити до погіршування швидкості наближених ропи’лаків до точних та втрати властивості наближених п.о. оцінювати точні знизу. ІІагпдсці результати обчислення в.з. та чисельні оцінки показника т методам жстрапонлції Річардсонл.

•У третьому и а р а г р а ф і оастосупгішгя методу узагальнюється для задач з кусково-сталими коефіцієнта шг. Викладавші надасться на прикладі розв'язування задачі для області

П = {(.ть.г-а)|0 < ;сиХ2 < 1} ,

яка лгас внутрпишіо грптщю

7 = {(.Еі,а'г)|а;і = г/,0 < х2 < 1},

що розбиває її на дві лідобласті

П1 = {(згі, .г-2)|0 < .сі < її,0 < х-і < 1} ,

(?)

(8)

О - стрибок граничних значать при підході до границі у срізлпх сторін. 1

В п.1 досліджусться гладкість в.ф,.

В п.2 доведено твердженая про подання розв'язку для задач типу (7),(8) та побудовано чисельніш алгоритм, що забезпечує двосторонні тратті для s.a..

Иаь едено результати чисельного експерименту.

У четвертому параграфі розглядається задача шіоиачешгя А і відповідних функцій ц(х) Є W'J (Я)/{0}, що задовольняють інтегральній тотожності

(u,v] = A(u,v) VveW-j(n) (9)

з бщіиіяншя формами

[«.»і- j о

де г](х/, * вимірні, обмежені в П • - {0 < .г,- < і — 1,2} функції

0 < q(x) < cj, 0 < сі < r(x) < cj.

Для ціс:і' ¡задачі у прямокутній області побудовано дискретний пналог четвертого порядку точності по в.а. ( Приказчиков В.Г.,

В області Q вирішується задача на в.з.

Lu + Am = 0, х є Q,

и = 0, х £ сШ,

д Ои д ди

и ~ д71РідГ1+:дГ2р'1д^'

, , f Pi > о, ü‘,

p^Xi’X2> “ {> 0| і —

du

< и >=< p 17-— >— 0,

ax і

1,2

Лланаоаров Ж.П.)

. Дну + £ (2В - 62(/0) у - (д - \Нт)у = 0, у є У, (10)

Де . .

ДЛУ = Уг,*, + Ух,г, Оу = Уг„,і,г,» Ь(/‘) = Я “ /<г.

У - простір сіткових функцій, які дорівнюють нулю па границі П, /і = /іа - в.о. дпсхретпоГ задачі другого порядку точності підносно в. о.

ДЛУ - (<? - А)У - 0, у € К (И)

Для різницевої схеми четвертого порядку доведено

Твердження 5.

Якщо коефіцієнти вихідної подачі належать простору (Г2), то похибка схеми (10) підиоспо нехратшгх в.о. характеризується оцінкою .

Л-Лл 1

Л™0 ~ТГ4~ = 7^0^ ~3/ л2/«^+2 ! /«„,»„*,¿*+21

я я о

+5 J{g - Хг)3и‘2сІх “ ЮУ{(Мї.іі)2 + J(ч ~ Аг)гіх) ,

$> !) О

J гтх*(1х =1, / = (? ~ Аг)и,

п

де А, А - відповідні в.о. вихідної та дискретної задач, и - п.ф., відповідна в.п. А.

Наслідок 1. Якщо коефіцієнти вихідної задачі сталі фу акції ц(:г) = д, г(х) = г, то похибка схеми (10) відносно некратицх в.о. характеризується оцінкою

= У {(А«)2 + 2(игіХіП<іх- ■

п

-Ьиі-2 !{(иІІХІУ + (иІ2І1)‘2}(іх) , . У ги2а'а,'= 1.

П і!

Наслідок 2. Для досить малих її можно використовувати формулу уточнення в.з. X1':

. і Л'і-2 Л'з-2 ЛГ,-1ЛГ8-1

V = А'Ч- ^{-3 53 53(Д^)уА8+2 £ У>4111^),7>‘2+ >=2 ;=2 . і=! ;=І

' л'і-ІЛ’а-І .У,-1ЛГ2-1

+2 И ]С (Лг^Уі.г,).^'2 + 5 ]Г ^2((ч~ Алг)У)уЛ2-<=1 7=1 І=1 >=1

¡=1 ; = 1 І=1 ;=1

де Ал - в.о. задачі (10), а відповідна в.ф. у визначена по схемі (1а,

ДРУГОГО ПОрЯДК, * і’ШОСТІ.

ЦІ. ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ

1. Для класу оадач типу (1),(7),(8) доведено кусково-аналітичні

подання роз’яоків. •

2. Побудовано метод наближеного розв'язування задач означенного класу, що забезпечує

- перехід від оадач и області, до ршнтань на границях підобластец;

- двосторонні ОЦІНКИ Б.З..

3. Доведено збіжність чп<и.*^ііого методу, отримано оцінки для похибок наближених в.з. та швидкості ¡збірності алгоритму.

4. Алгоритм застосовано до розв’язування конкретних оадач, створено програмну реалізацію оапропонованного методу.

5. Отримано головний доданок похпбхп наближених в.о. різпеце-вої схеми четвертого порядку точності для задачі (9). Покапано, як уточнювати в.о. до шостого порядку точності 3<Ч допомогою схеми другого порядку.

IV. ПУБЛІКАЦІЇ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Приказчиков В.Г., Медведев Г.С. Розв'язування спектральних ¡задач у кусково-однорідних середовищах // Обчислювальна та прикладна математика, впп. 76, 1992.

2. Приказчиков В.Г., Медведев Г.С. Приближённый метод решения спектральной задачи в невыпухлон области // Доп. в ГНТБ Украины 16.03.94, N 535-Ук94.

3. Приказчиков В.Г., Медведев Г.С. Асимптотическая оценка погрешности дискретной задачи четвертого порядка точности

// Деп. в ГНТБ Украины 18.04.94, N 72С-Ук94.

И