Эффективный метод отыскания оптимальных форм в аэродинамике и теории фильтрации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова

На правах рукописи ии^--

Муангу Жерве Эме Ришар

ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД ОТЫСКАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ФОРМ В АЭРОДИНАМИКЕ И ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ

01.02.05—механика жидкости, газа и плазмы

1 9 НО л ¿га

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

003483932

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и на кафедре прикладной математики Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор A.A. Бармин Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Т. Ильичев кандидат физико-математических наук А.Ю. Беляев

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

математики и механики им. Н.Г. Чеботарева

Казанского государственного университета

Защита состоится 18 декабря 2009г. в 15 часов на заседании диссертацонного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете по адресу: 119991, г. Москва, Воробьевы горы, главное здание МГУ, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 5" ноября 2009г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Задача конструирования объекта, обладающего заданным свойством, всегда вызывает интерес, тем более, когда речь идет об оптимальном свойстве. Человек - прирожденный оптимизатор, и сама природа принуждает достигать цели с наименьшими затратами.

При создании ирригационных и очистительных систем важен вопрос о фильтрации из земляных каналов в грунт. Известно, что потери воды из канала за счет фильтрации могут достигать 50%. В случае магистральных каналов это приводит к потерям влаги и засолению почв, в случае очистительных сооружений - к загрязнению окружающей среды. С другой стороны, меняя профиль канала, из которого производится полив, можно минимизировать потери влаги. В связи с этим представляет интерес исследование оптимальных задач о фильтрации из каналов, а также получение оценок возможных потерь, не находя самого решения.

Оптимальные задачи важны и при профилировании аэродинамических профилей и других устройств для получения оптимальных свойств при заданных ограничениях.

Оптимальные плоские задачи в классе аналитических функций рассматривались ранее многими авторов. Отметим пионерские работы H.H. Павловского и А. Прейсманна по минимизации фильтрационных потерь, а также современные работы казанской школы: Н.Б. Ильинского, A.M. Елизарова и др., использующих метод обратных задач.

Цель работы - развитие точных аналитических методов решения оптимальных задач плоско-параллельных течений идеальной несжимаемой жидкости; решение конкретных оптимальных задач в теории фильтрации и обтекания профилей; получение оценок интегральных характеристик рассматриваемых течений.

Общая методика. Основываясь на виде точных решений двумерных задач о фильтрации из каналов, дается их операторное представление и

разрабатывается математический аппарат для их решения. Благодаря этому расширяется класс рассматриваемых задач и появляется возможность найти решение в замкнутой форме. По решению задачи фильтрации из канала простой подстановкой находятся решения задач фильтрации под телом плотины и обтекания профилей. В работе широко используется метод Фурье, аппарат теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, а также арсенал теории краевых задач и геометрической теории функций.

Научная новизна. Разработана методика решения плоских оптимальных задач для несжимаемой жидкости в теории фильтрации и аэродинамике, которая основана на применении теории операторов. С помощью этой методики аналитически получены решения ряда новых задач, в том числе:

- найдены оптимальные формы земляных каналов с точки зрения минимизации (максимизации) площади загрязнения (полива);

- определены наилучшие формы с точки зрения минимума фильтрационных потерь (задача Прейсманна) при различных изопериметрических ограничениях;

- введено понятие о нормальных каналах, и для них дано необходимое и достаточное условие однолистности решения;

- введена числовая характеристика степени подпора;

- получены двусторонние оценки фильтрационных потерь, улучшающие оценки, имеющиеся в литературе, в случаях фильтрации как без подпора, так и с подпором. Впервые получена точная оценка сверху;

- показано, что циркуляция около профиля, вычисленная согласно гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру профиля (константа Чебышева);

- решена задача об аэродинамической брахистохроне;

- даны оценки для силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам.

Научная и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы могут быть применены также при нахождении аналитических функций в областях с односвязной границей и в других приложениях. Полученные

аналитические решения могут быть использованы в гидрогеологии и гидромелиорации, для исследования течений при обтекании профилей и проектирования крыльев.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре под руководством академика РАН А.Г. Куликовского, проф. A.A. Бармина, проф. В.П. Карликова, на семинаре под руководством В.М. Ентова, на семинаре под руководством Н.Б. Ильинского, на Чебышевских и Ломоносовских чтениях, на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложения».

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 6 работах автора, приведенных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 56 наименований. Общий объем работы - 240 страниц, включая 72 рисунков.

Первоначально диссертация касалась только фильтрации из канала (глава 1-3) и основная часть была написана в 1993-1996 гг. Десять лет спустя работа над диссертацией была продолжена. Используя развитые методы, была исследована аэродинамика плоских профилей.

Большое влияние на автора в студенческие годы оказали спецкурсы А.Г. Косиоченко и В.Г. Вильке, им автор выражает глубокую благодарность. Автор также благодарит В.Н. Чубарикова за моральную поддержку. Автор признателен своему руководителю проф. A.A. Бармину за многочисленные советы и помощь.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В первой главе, состоящей из четырех параграфов, рассматривается общая постановка задач о фильтрации воды из каналов в грунт бесконечной мощности при традиционных допущениях, когда движение жидкости описывается уравнением неразрывности и линейным законом фильтрации Дарси:

У = Н = Р Ра+у, Шу\ = 0.

РВ

(1.1)

о

в

а)

у=о / <р=о \

<[Н-ку=0/ \ <р+ку=0

Ь)

(w)

a) Физическая плоскость

b) Область комплексного потенциала

Рис.1

Область (г) заранее неизвестна ввиду наличия свободных границ АО и АВ, подлежащих определению. Вводится комплексный потенциал

йг

т

Можно считать скорость фильтрации, полный расход и удельный вес

соответственно равными: к = 1, ()= Я, pg = 1; Уту < О

Тогда

00

(1.2)

я=1

Причем ап 6 5Я, п - 0,1, 2,...

Контур канала - линия равного потенциала (р — 0- задается параметрическими уравнениями:

х{у) = у/ + я0/2 + ^ал cosny/-С cos у/

= smny/-Csiny/ i

Функции x(l//), y(i¡/) называются эпюрами просачивания, их естественно считать элементами пространства Соболева Н!(0,л).

При заданном в (1.3) х(-) или j(-), ап находятся как коэффициенты Фурье. Откуда следует интегральное преставление комплексного потенциала (в форме Гельмгольца-Кирхгофа):

1 "е , x(t)-t , „ „ ,

z = -iw + — -dt-2Cshw

л q ch w-cosí

или (1.4)

1 (£) ■ = —iw--fsin t-—-dt -2Cchw+a0/2

ir J rbw> — rf\<i1

и д скм>-соэ/ Коэффициент С определяет характер течения на бесконечности, что видно из асимптотики 2 » —т — Се , и* —» °о.

При С Ф О скорость на бесконечности Ую = 0 - имеем течение с подпором; при С = О = 1 - течение без подпора. Будем называть С степенью подпора. Вместо формы ОВ контура канала априори задается одна из функций > >'(0 как «инструмент управления фильтрацией» Между ними существует связь, которую можно выразить, введя в Ь2{0,я) линейный полуунитарный оператор А, положив по определению

Л(созиг) = эти?, « = 0,1,2,3,... (1.5)

(А А* =1, А*А = 1-Р)

где Р - оператор проектирования на ядро Кег(А) — {1}. Система (1.3) допускает компактную запись

у = А(1-х)-2С$тг (1.6)

lim

n->°о

Это наиважнейшее соотношение называется далее уравнением связи. Первая глава заканчивается изучением структуры решения и свойств оператора А. Отметим следующее: Пусть П с ¿2 (О, Я")—подмножество тех функций g, для которых

g(t) sinnt dt " <1.

Q содержит все нечетные тригонометрические многочлены, поэтому является линейным многообразием всюду плотным, т. е замыкание fi = Z2(0,/r). Определим отображение

Т: £l->Aut(L2), Te=eA*(ff) -(cosd-smO-A), С точки зрения алгебры и теории операторов имеет место свойство

Тэ "Тд-Tö+i9, Тб =Т_0, (1.7)

из которого для любого (9 е Q получаем формулу обращения

4 *

(cos0-sin0-J)_I = cos0 +sin0-е--4 е"1 (0), (1.8)

а также соотношения вида:

(cosí - sin t-А)" = cosnt-sinnt-A,

л л л

\еЛ'вcosddt = ^ел'в sind-sintdt = ^d-úntdt, (1.9)

о о о

Эти богатые как математическими, так и механическими приложениями формулы исключительно опираются на свойства оператора А.

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена изучению конкретных примеров фильтрации из каналов. Из них рассмотрим: Обобщенные каналы Козени. Комплексный потенциал 2Н ihr

z = -iw+ , 0<Н <thr. (2.1)

er+w-l

следует из канонического преставления (1.2), если за последовательность ап взята геометрическая прогрессия a„=2He~nTshT, С = 0.

Обычные каналы Козени получаются из (2.1) при г -> да. Параметрическое уравнение контура канала, т. е эквипотенциал (3 = 0, Ц/ е (0, ж):

тг , Нsh т HshTsinu/

x = y/-HshT +-, у =--— (2.2)

cht-cos[f/ chr-cosy/

Расход Q выражается через глубину Н и ширину В по формуле

Q = к{В + 2Н). В классе произвольных криволинейных каналов (для случая

фильтрации без подпора) имеет место точная оценка:

^/4, _ . V1 я/Л

Q <

к{В + 2Н)

1-2t/л . У 0 -Уcos 2t

q -Jcoslt

dt =1.4807916... (2.3)

Знак равенства достигается для некоторых каналов прямоугольного сечения. Квазитрапецевидные каналы. Среди возможных разнообразных очертаний каналов наиболее распространены симметричные, имеющие форму близкую к трапецеидальной. Подобные каналы моделируются следующим образом: условие однолистности накладывает ограничение на коэффициенты ап ряда (1.2), вследствие которого ряд быстро сходится. Практически удерживается лишь конечное число членов, т.е. эпюры просачивания у (у/) можно искать в виде тригонометрического многочлена степени 2т — 1. Этот многочлен и прямая у = —И (//-глубина канала) имеют в точке у/ = к12 наивысший порядок касания, обусловленный тем, что в окрестности точки минимума контура канал горизонтален. Значит и ч 2т-\ {2т-\)\\ ТТ

После линеаризации и интегрирования находим

, ч • /л ,ч Н-{2т-\)\ С?"",

Этим завершается построение такого класса контуров (рис.2. £ = 1, т — 7). Семейство профилей зависит от параметров формы т, £ и параметра подобия 2(в нашем случае 2 = я-).

Чтобы избежать профилей с самопересечением, наложим ограничения 0<£<1. Расход () выражается через геометрические параметры канала

()^к(В + 2Н-хт).

Параметр %т возрастет с ростом натурального числа т по закону

(2?я~1)!!2 1т+1 *т+ (2т)!!2 ' * (При т = 1, получаем канал Козени).

Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена исследованию оптимальных задач о фильтрации из каналов, а также получению оценок возможных потерь, не находя самого решения. Такие задачи рассматривались ранее рядом авторов. Здесь они исследуются в комплексе, как задачи оптимального управления с функциональными ограничениями.

В среде с коэффициентом фильтрации к =1 и степенью подпора С задача нахождения среди всех каналов, имеющих расход <2=Я", канала, для которого длина контура минимальна, допускает формализацию:

Я _

£.= 1у]х2+у2 Ж шп, у = Л$-х)-2С8т1 (3.1)

о

Решение или y(t) ищется в пространстве

Запишем решение

t п sin2í cosí sin2¿ , t _

х---------1---mcíg — Сcosí

2 4 4 я я 2

y=-

2 sin t sin21 2'i

я

2 f 2 t

--Icos í-lncíe—dí-Csint

ni 6 2

(3.2)

(функция х определяется с точностью до константы).

Для кривой (3.2) (квазиэллипса) (рис 3) справедливо равенство в = / = ЯЦ/ /(). Она характеризуется тем, что поток воды, через какой либо его участок равен углу смежности этого участка, или то же самое: скорость истечения воды в любую точку контура равна кривизне кривой в этой точке.

Рис.3

Комплексный потенциал течения в этом канале

-(2n-l)w

Я

z = -iw-

+1-

s пе

-Cew.

(3.3)

2 ' ^хп(2п-\)г(2п + \) Решение задачи генерирует изопериметрическое неравенство, которое имеет место для любых каналов:

кЬ

<

С + 2/я

(3.4)

Знак равенства достигается только на квазиэллипсе (3.2). Таким образом, потери при фильтрации из канала оцениваются сверху, если известны длина дуги контура, скорость фильтрации и степень подпора. В работе получены также точные оценки при других ограничениях.

Глава 4. Здесь осуществляется переход от теории фильтрации к аэродинамике. Рассматриваемые в них объекты (каналы, плотины, крылья) моделируются одинаково. В задаче об обтекании симметричного изолированного крыла бесконечного удлинения потоком идеальной несжимаемой жидкости комплексный потенциал записывается в параметрическом виде посредством вспомогательной плоскости:

Циркуляция. Г е 9?, комплексное число .- набегающая скорость. Профиль крыла есть образ единичной окружности.

оо

С>0, апеЧЯ, |г|>1.

(4.1)

м

Рис.4

Параметрическое уравнение контура находим, положив г = е : х^-Ссоъг + ^ап соъМ,

и

(4.2)

В силу симметрии ограничимся рассмотрением нижней половины части контура (рис 4). Система (4.2) допускает компактную запись

y = -A(x)-2Cánt, (4.3)

что по существу совпадает с уравнением связи (1.6). Такая аналогия прослеживается достаточно далеко. Можно приложить к задачам обтекания тел вес арсенал теории оператора А.

Здесь, как и в теории фильтрации, параметр С играет центральную роль. Известно, что в случае обтекания тела потоком заданной скорости vffl, неопределенным остается циркуляция Г. Для контура, имеющего острую кромку В (Гц = —1), постулат Жуковского и формулы Блазиуса-Чаплыгина дают

Г = -4лСУдау, Х = -4яСру*у, У = АлСр vao,veoy. (4.4) (р - плотность жидкости). Следовательно, при прочих равных внешних условия подъемная сила профиля зависит только от величины С:

R = л1х2 + У2 = 4C7tp\vJ¡- sin ce. (4.5)

(а - угол атаки). Это обстоятельство важно для определения качества аэродинамических профилей. Величина С, называется по-разному -конформный радиус, логарифмическая емкость, константа Чебышева, трансфинитный диаметр (см. Голузин Г.М. геометрическая теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1965.-628с.).

Для любого профиля с площадью сечения S и длиной дуги контура 2L справедлива не улучшаемая двухсторонняя оценка, обращавшаяся в равенство только для круга

(4.6)

V л л

Учитывая формулу (4.5), неравенство (4.6) оценивает подъемную силу. В работе получен целый ряд подобных оценок.

Уравнение связи (4.3) введением наклона ^в ~ у / х, записывается в форме Чизотти:

с1з = 2Се"Л'в в\ntdt, (4.7)

dx = cosвds, dy = эт 9ds. т.е. определяет профиль крыла как функционал от угла наклона 6 касательной к контуру в точке г, соответствующей ?. Это отправной пункт для решения многих интересных задач.

Все геометрические характеристики крыла выражаются через функцию £?(£). Соответственно длина контура, хорда, кривизна кривой равняются

я- я- йрАв

2Ь = АС [e-л'вsmtdt, В = 2С \е-А'вsШcosвdt, к = —-.

о } 2С™<

Модуль скорости и условие согласования (замкнутости контура) имеют вид:

1 = = (4.8)

Ко ^

Глава 5. содержит описание математического аппарата конструирования объектов с заданными свойствами. Предлагаемый в ней метод объединяет подходы Казанской школы и Французской.

Проиллюстрируем метод на примере задачи об аэродинамической брахистохроне: в потоке однородной несжимаемой идеальной жидкости заданы две точки А, В и скорость набегающего потока V. Ц АВ. Требуется определить (симметричный) контур АМВ, по которому жидкая частица проходит из точки А до точки В в кратчайшее время. (Наилучшая форма крыла с точки зрения минимума времени обтекания).

Хотя прямая АВ (пластинка) и является кратчайшей расстоянием между этими точками, тем не менее, частицы жидкости проходят ее не в кратчайшее время. Задача допускает формализацию:

1С mt Л

Т = — le~2A'esmtdt -> min, 1С \е~л'вúntcosddt = В. (5.1)

Ко О

Здесь второе равенство фиксирует длину хорды АВ. Следуя принцип оптимальности (Гл.5, §17.1), получаем неравенство для оценки времени обтекания профиля по двум параметром - длина хорда В и трансфинитный диаметр С :

V„T >

4-?г

/о Л

В яВ ^

---+ яС

4 С 2

(5.2)

Это неравенство удобно представить в эквивалентном виде

VJ* > 2-у/тг | (В-2СУ^)2

В 2 + -JTT (4 - ж)ВС

ТъЩ,*- (5.2)

2 + ^г Vm

Значит всегда

Знак равенства достигается только на кривой (рис 5) «аэродинамической брахистохроне».

Неравенство (5.2) также представимо в виде

+ {В~*С)20 =>Т>(5.3) С (4 -я)С2 ^

Знак равенства имеется на «аэродинамической циклоиде». Уравнения этих кривых и их свойства приведены в диссертации. Подобная задача решена, когда изопериметрическое ограничение является задание длины дуги контура. В диссертации в качестве характеристики профиля при движении в идеальной несжимаемой жидкости введен безразмерный параметр (качество профиля)

4С/(УтТ) - интегральная геометрическая профиля, а Т - время прохождения жвдкой частицей дуги АВ (рис.4). Показано, что профиль, обладающий максимальным качеством, введенное выше, является аэродинамическая циклоида.

Основные результаты и выводы

В диссертации рассматриваются плоские стационарные задачи фильтрации жидкости из канала и аналогичные по постановке задачи обтекания профилей идеальной несжимаемой жидкостью. Основное внимание обращено на решение оптимальных задач и получение оценок.

Дня решения поставленных задач предложен метод объединяющий подходы к решению таких задач Казанской (Н.Б. Ильинского, A.M. Елизарова) и Французской (Ж.Л. Лионса) школ. Метод основан на представление граничных условий для нахождения аналитических функцией в операторном виде, с оператором позволяющим просто описать интегральные характеристики.

С помощью предложенного метода решен ряд оптимальных задач. -Найдены оптимальные по потерям формы каналов при различных изопериметрических условиях: фиксированы площадь, глубина, ширина, периметр и их комбинации (частный случай - задача Прейсманна). -Найдены оптимальные формы каналов с точки зрения оптимизации области течения вытекающей жидкости, т.е. площади загрязнения.

-Получено в явном виде выражение для потерь из симметричного канала трапециевидной формы.

-Получены математические условия, обеспечивающие физически допустимый вид контура канала и однолистность решения.

-Показано, что найденный ранее обратным методом П.Я. Кочиной флютбет с постоянной скоростью на нижней части является оптимальным с точки зрения минимума выталкивающей силы.

-При изучении профилей большое значение имеет трансфинитный диаметр профиля (С): показано, что циркуляция, определенная по гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру с коэффициентом, равным скорости в набегающем потоке, умноженному на синус угла атаки. -Решена задача о наибыстрейшем прохождении жидкой частицы вдоль дуги профиля, обтекаемого идеальной несжимаемой жидкостью при заданной скорости набегающего потока (Ко) и фиксированными геометрическими параметрами.

Введен параметр, характеризующий качество профиля С /(У^Т), где Т -время прохождения жидкой частицей дуги контура.

Показано, что оптимальными профилями по этому параметру являются кривые, скорость движения частицы в любой точке которых пропорциональна радиусу кривизны, или, что тоже самое, время движения частицы на любом участке контура пропорционально углу смежности этого участка.

- Получены оценки для подъемной силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Муангу Жерве Эме-Ришар. Фильтрация из каналов. Структура решения и оценка расхода.//Изв РАН. МЖГ. 2006. № 1. С. 108-120.

2. Муангу Жерве Эме-Ришар. Некоторые задачи фильтрации из каналов// Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Архангельск, Поморский университет 2006. Вып.7. С.86-103.

3. Муангу Ж.Э.Р., Андреев П.Д. Вариационное исчисление и методы оптимизации// Сб. метод, матер.: Организация учебного процесса по специальности 010100 Математика в Поморском государственном университете имени М.В. Ломоносова: Ч. 1 Поморский гос. ун-т им. М.В.Ломоносова. - Архангельск: Поморский университет, 2005.С. 63-65.

4. Муангу Ж.Э.Р., Титов А.К. Уравнения математической физики//В сб. метод, матер.: организация учебного процесса по специальности 010501. Прикладная математика и информатика в Поморском государственном университете имени М.В. Ломоносова; Поморский гос. ун-т им. М.В.Ломоносова. - Архангельск: Поморский университет, 2006. С. 47-49.

5. Муангу Ж.Э.Р. Титов А.К. Теоретическая механика. Сб. метод, матер.: Организация учебного процесса по специальности 010100 Математика в Поморском государственном университете имени М.В. Ломоносова: Ч. 1; Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. - Архангельск: Поморский университет, 2005. С. 32-35.

6. Муангу Ж.Э.Р. Оптимальные формы земляных каналов. Материалы международной конференции и Чебышевские чтения, посвященные 175-летию со дня рождения П. Л. Чебышева. М.: Изд-во мех.-мат. фак. МГУ, 1996. Ч. 2 С. 23.

Подписано в печать 02. //. О 9 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,¿7 Тираж /00 экз. Заказ 24

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Физические и математические основы.

§1. Функция течения.

1.1. Каноническое представление.

1.2. Интегральное представление.

§2. Уравнение связи.

2.1. Основная теорема.

§3. А - оператор.

§4. Структура решения.

4.1 Неопределенный параметр в задаче о фильтрации из канала в грунте бесконечной мощности.

4.2. Об однолистности решения.

4.3. Предельные каналы.

4.4. О линии депрессии.

4.5. Метод конформных отображений.

Глава 2. Примеры фильтрации из каналов.

§5. Обтекание непроницаемой шпунтовой завесы.

§6. Обтекание водоупора с постоянным давлением.

6.1. Замечательный контур.

6.2. Р1 -контур второго рода.

6.3. Магический профиль.

6.4. Тело минимального сопротивления.

§7. Фильтрация из источника.

§8. Обобщенные каналы Козени.

§9. Фильтрация из канала прямоугольного сечения.

§10. Обратная задача.

10.1. Другое обобщение каналов Козени.

10.2. Изовели.

10.3. Ползущие каналы.

Глава 3. Оптимальные формы земляных каналов и оценки фильтрационных потерь.

§11. Априорные оценки.

§12. Точные оценки.

12.1. Заданна ширина.

12.2. Заданна глубина.

12.3. Заданна площадь.

12.4. Заданна длина дуги контура.

12.5. Заданна ширина и глубина.

12.6. Заданна глубина и площадь.

12.7. Заданна ширина и площадь.

Глава 4. От теории фильтраций до аэродинамики.

§13. Закон композиции.

13.1. Задача о струйном течении.

13.2. Мир оптимальных каналов.

13.3. Идеальные каналы.

§14. Фильтрация под плотиной.

14.1 Плоский флютбет.

14.2 Шпунт.

14.3 Флютбет в виде полу-эллипса.

§15. Три задачи.

15.1. Первая задача.

15.2. Вторая задача.

15.3. Третья задача.

§16. Обтекание симметричных профилей.

16.1. Базовый профиль крыла.

16.2. Трансфинитный диаметр как характеристика полета.

16.3. Руль Жуковского.

16.4. Обтекание луночки.

16.5. Положение фокуса на хорде.

16.6. О решении'обратных задач аэродинамики.

16.7. Оценка подъемной силы.

16.8. Случаи не симметричных профилей.

Глава 5. Конструирование объектов с заданными свойствами.

§ 17. Нормальная форма.

17.1. Дано распределение скоростей на контуре.

17.2. Аэродинамическая циклоида.

§ 18. Оценка время обтекания дуги.

18.1. Беговая дорожка.

18.2. Эпюр скоростей и качество профиля.

§ 19. Идеальные крылья.

§20. Годограф скоростей, и классические кривые.

§21. Эффективность метода.

§22. Условие согласования.

§23. Кривизна и скорость обтекания.

§24. Аэродинамическая брахистохрона.

Задача конструирования объекта, обладающего заданным свойством, всегда вызывает интерес, тем более, когда речь идет об оптимальном свойстве. Человек - прирожденный оптимизатор, и сама природа принуждает достигать цели с наименьшими затратами [37 - 40].

Задачи выбора объекта, оптимального по форме и расположению в потоке традиционны в гидромеханике [46-50]. Отметим пионерские работы Н.Н. Павловского и А. Прейсманна по минимизации фильтрационных потерь, а также современные работы казанской школы: Н.Б. Ильинского, A.M. Елизарова и др., использующих метод обратных задач [2, 10, 12, 33 36]

Хотя к настоящему времени и накоплен богатый опыт в задачах оптимизации формы области, зачастую решения опираются на численные методы и многие проблемы еще не получили решения. Даже когда задача хорошо поставлена, при исследовании сталкиваемся с трудностями математического характера - трудности формализация или решения не подается в квадратуре.

Точные математические результаты - это точки опоры в болоте физики». Цель настоящей работы - развитие точных аналитических методов решения оптимальных задач плоско-параллельных течений идеальной несжимаемой жидкости, решение конкретных оптимальных задач в теории фильтрации и обтекания профилей и получить оценок интегральных характеристик рассматриваемых течений

Основываясь на виде точных решений двумерных задач о фильтрации из ( каналов, дается их операторное представление и разрабатывается. математический аппарат для их решения. Благодаря этому расширяется класс рассматриваемых задач и появляется возможность найти решение в замкнутой форме. По- решению' задачи фильтрации из канала простой подстановкой находятся решения задач фильтрации под телом плотины и обтекания профилей. В работе широко используется метод Фурье, аппарат теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, а также арсенал теории краевых задач и геометрической теории функций.

Первоначально диссертация касалась только фильтрации из канала (глава 1-3) и основная часть была написана в 1993-1996 гг. Спустя десять лет работа над диссертацией была продолжена. Используя развитые методы, была исследована аэродинамика плоских профилей (глава 4-5).

В диссертации разработана методика решения плоских оптимальных задач для несжимаемой жидкости в теории фильтрации и аэродинамике, которая основана на применении теории операторов. С помощью этой методики аналитически получены решения ряда новых задач, в том числе следующие результаты которые выносятся на защиту:

- определены наилучшие формы земляных каналов с точки зрения минимума фильтрационных потерь при различных изопериметрических ограничениях;

- введено понятие о нормальных каналах, и для них дано необходимое и достаточное условие однолистности решения;

- введена числовая характеристика степени подпора;

- получены оценки фильтрационных потерь, улучшающие оценки, имеющиеся в литературе;

- показано, что циркуляция около профиля, вычисленная согласно гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру профиля (константа Чебышева);

- решена задача об аэродинамической брахистохроне;

- даны оценки для силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам:

- Введен параметр, характеризующий! качество профиля и показано, что, оптимальными профилями по этому параметру являются кривые, скорость движения частицы в любой точке которых пропорциональна радиусу кривизны, или, что тоже самое, время движения частицы на любом участке контура пропорционально углу смежности этого участка.

Разработанные в диссертации методы могут быть применены также при нахождении аналитических функций в областях с односвязной границей и в других приложениях. Полученные аналитические решения могут быть использованы в гидрогеологии и гидромелиорации, для исследования течений при обтекании профилей и проектирования крыльев.

Мы с удовольствием применяли математический пакет maple для расчетов и построения графиков и кое-где занимались чистой математикой для тестирования эффективность метода.

Основные результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре под руководством академика РАН А.Г. Куликовского, проф. А.А. Бармина, проф. В.П. Карликова, на семинаре под руководством В.М. Ентова, на семинаре под руководством Н.Б. Ильинского, на Чебышевских и Ломоносовских чтениях, на международных конференциях.

Большое влияние на автора в студенческие годы оказали спецкурсы А.Г. Костюченко и В.Г. Вильке, им автор выражает глубокую благодарность. Автор также благодарит В.Н. Чубарикова за моральную поддержку. Автор признателен своему научному руководителю проф. А.А. Бармину за многочисленные советы и помощь.

Заключение

В диссертации рассматриваются плоские стационарные задачи фильтрации жидкости из канала и аналогичные по постановке задачи обтекания профилей идеальной несжимаемой жидкостью. Основное внимание обращено на решение оптимальных задач и получение оценок.

Для решения поставленных задач предложен метод объединяющий подходы к решению таких задач Казанской (Н.Б. Ильинского, A.M. Елизарова) и Французской (Ж.Л. Лионса) школ. Метод основан на представление граничных условий для нахождения аналитических функцией в операторном виде, с оператором, позволяющим просто описать интегральные характеристики.

С помощью предложенного метода решен ряд оптимальных задач (ранее представлявшие затруднения).

-Найдены оптимальные по потерям формы каналов при различных изопериметрических условиях: фиксированы площадь, глубина, ширина, периметр и их комбинации (частный случай - задача Прейсманна).

-Найдены оптимальные формы каналов с точки зрения оптимизации области течения вытекающей жидкости, т.е. площади загрязнения.

-Получено в явном виде выражение для потерь из симметричного канала трапециевидной формы.

-Получены математические условия, обеспечивающие физически' допустимый вид контура канала и однолистность решения.

-Показано, что найденный ранее обратным методом П.Я. . Полубаринова-Кочиной флютбет с постоянной скоростью на нижней части является оптимальным с точки зрения минимума выталкивающей силы. -При изучении профилей большое значение имеет трансфинитный диаметр' профиля (С): показано, что циркуляция, определенная по гипотезе Жуковского пропорциональна трансфинитному диаметру с коэффициентом, равным скорости в набегающем потоке, умноженному на синус угла атаки.

-Решена задача о наибыстрейшем прохождении жидкой частицы вдоль дуги профиля, обтекаемого идеальной несжимаемой жидкостью при заданной скорости набегающего потока (V^) и фиксированными геометрическими параметрами.

Введен параметр, характеризующий качество профиля CliV^T), где Т -время прохождения жидкой частицей дуги контура.

- Получены оценки для подъемной силы, действующей на профиль, по его интегральным характеристикам.

1. Preissman A. A propos de la filtration au-dessous des canaux//Houille Blanche.1957.V.12. № 2

2. Ильинский Н.Б. Касимов A.P. Фильтрационная оптимизация формы земляного канала методом обратных краевых задач. Изв. АН СССР. МЖГ.1984. № 3. С.76-80.

3. Положий Г.Н. Методы движения граничных точек и мажорантных областей в теории фильтрации. // Укр. мат. журн.1953.Т.5.№4.С. 380-400.

4. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск; Наука, 1977. 424с.

5. Энтов В.М. Гольдштейн Р.В. Качественные методы в механике сплошных сред. М.Наука 1989. 224с.

6. Полубаринова Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М: Наука, 1977. 664с.

7. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд.4.М. Физматгиз,1962. 1100с.

8. Ахиезер Н.И. Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М. Наука, 1966.543 с.

9. Эмих В.Н. Фильтрация из подпочвенных источников // Изв. РАН ,МЖГ.1999.№2.с.72- 84.

10. Ильинский Н.Б. Касимов А.Р. Якимов Н.Д. Аналитические решения задач фильтрации. Обратный метод вариационные теоремы, оптимизация и оценки.// Изв. РАН. МЖГ.1998. № 2. С. 3-19.

11. Муангу Ж.Э.Р. Фильтрация из канала. Структура решения и оценка расхода.// Изв. РАН. МЖГ. 2006

12. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань; изд. Казан. Ун-та, 1965. 333 с.

13. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 793 с.

14. Карман Т. Аэродинамика. Избранные темы в их исторической развитий. 208 стр. Ижевск: Ниц РХД, 2001.

15. Чжен П. Отрывные течения. Т.1 300 стр. М.: Мир, 1972.

16. Прандтль JI. Гидроаэродинамика. Ижевск.: Ниц РХД, 2000. 576 с.

17. Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1973.-736 с.

18. Лойцянский. Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.

19. Карафоли Е. Аэродинамика крыла самолета. Изд. АН СССР. Москва 1956. 480 с.

20. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980. -448 с.

21. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. - 447 с.

22. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. Москва. ТОО. Янус. 1995. 519 с.

23. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

24. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

25. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

26. Азизов Т. А.,Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986. 352 с.

27. Шкаликов А. А. Диссипативные операторы в пространстве Крейна. Инвариантные подпространства и свойства сужений. Функц анализ и его прил. 2007, 41:2, 93-110

28. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматгиз, 1961. 310 с.

29. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М : Наука 1966. 576 с.

30. Бутенин Н. В., Лунц Я. Л:, Меркин Д. Р: Курс теоретической механики. Т. 1.-М.: Наука, 1985. 239 с.

31. Вильке В. Г. Теоретическая механика. Издательство: Лань 2003. 304 с.

32. Муангу Ж. Э. Р. Некоторые задачи фильтрации из каналов

33. Елизаров A.M., Федоров Е.В., Фокин Д.А. Вариационные обратные краевые задачи аэродинамики для дозвукового течения газа // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1993. - Т.ЗЗ. - № 6. С. 958-968

34. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б., Марданов Р.Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2000. - Т.40. - № 1. С. 82-98.

35. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В., Степанов Г.Ю. Основные методы, результаты, приложения и нерешенные проблемы теории обратных задач аэродинамики // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 10 - Казань: Изд-во «ДАС», 2001.225 с.

36. Елизаров A.M., Касимов А.Р., Маклаков Д.В. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике. М.: Физматлит, 2008. 480 с.

37. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986.- 297с.

38. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983,- 448с.

39. Лаврентьев М. Люстерник Л. Основы вариационного исчисления. М.-Л.: ОНТИ. 1938.

40. Алексеев В. М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации // М: Наука, 1984 256с.

41. Треногин В.А. Функциональный анализ. М. Физматлит, 2007 -488с.

42. Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979.

43. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике.- М.: Наука, 1980.

44. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, М.: Мир; 1972.- 416с.

45. Варга Дж. Оптимальное управление1 дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука; Л977.- 624с.

46. Pironneau О. Optimal-shape design for elliptic systems. Springer, 1984.

47. Sokolowski J., Zolesio J. P. Introduction to shape optimization. Springer, 1992.

48. Henrot A. Pierre. M. Variation et optimisation de fornies, une analyse geometrique. Springer, 2005.

49. Allaire G., Jouve F., Toader A.M. A level-set metod for shape-optimization, C.R. Acad. Sci. Paris, Serie 1 334 (2002).

50. Murat F. Tartar L. Optimality conditions and homogenization in Nonlinear Variational Problems, ed. by A. Marino , Research Notes in Maths, 127, Pitman, London (1985),

51. Apery R., Irrationalite de £(2) et g(3), Asterisque 61 (1979), 11-13

52. Schiffer M. Sur la variation du diametre transfini. Bulletin de la S.M.F., http ://www.numdam. org/item?id=B SMF

53. Choquet G. Diametre transfini et comparaison de diverses capacites, http://www.numdam.org/item?id=SBCD1958-19593A40>

54. Oesterle J. Demonstration de la conjecture de Bieberbach. Seminaire N. Bourbaki, http://www.numdam.org/item?id=SBl 984-1985273190>

55. Schwartz L. Un mathematicien aux prises avec le siecle. Odile Jacob, Paris, 1997,pp. 1-8528 p.

56. Connes A. Matiere a pensee. Odile Jacob, Paris, 1989, 267 p.