Эффекты взаимодействия в конечном состоянии в спектрах надпороговой ионизации атомов и отрицательных ионов интенсивным лазерным полем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Швецов-Шиловский Николай Иванович

ЭФФЕКТЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КОНЕЧНОМ СОСТОЯНИИ В СПЕКТРАХ НАДПОРОГОВОЙ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ИОНОВ ИНТЕНСИВНЫМ ЛАЗЕРНЫМ

ПОЛЕМ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Гореславский Сергей Павлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Попов Владимир Степанович; кандидат физико-математических наук, Ефремов Максим Алексеевич

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

ядерной физики им. Д.В. Скобельцына МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита состоится "21" Г^коБр.а 2005 г. в № часов на заседании диссертационного совета Д 212.130.06 в Московском инженерио-физическом институте (государственном университете) по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, д.31, тел. (095) 323-84-98, 323-91-67.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МИФИ. Автореферат разослан " ЦояБрл 2005г.

Просим принять участие в работе совета или прислать оныв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь

диссертационного совета Маймистов А.И.

1516*

IZWM

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена теоретическому анализу эффектов в надпороговой ионизации атомов и ионов сильным лазерным полем, обусловленных взаимодействием фотоэлектрона с атомным остатком.

Актуальность темы.

Одним из важнейших направлений современной физики сильных электромагнитных полей является исследование нелинейных оптических эффектов, возникающих при воздействии интенсивного лазерного излучения на простые квантовые системы - атомы, ионы и молекулы. В частности, явление надпороговой ионизации (поглощение фотоэлектроном большего, чем необходимо для перехода в непрерывный спектр, числа квантов лазерного поля), которое впервые наблюдалось в 1979 г. [P. Agostini et а!. II Phys. Rev. Lett., 1979, 42, 1127], вызывает особый интерес и постоянно находится в центре внимания исследователей.

Интерес к исследованию надпороговой ионизации особенно возрос в последние десять-пятнадцать лет в связи с созданием лазерных систем, генерирующих мощные импульсы фемтосекундной длительности с частотой повторения в килогерцовом диапазоне. Это позволило набирать надежную статистику редких событий и исследовать спектрально-угловые распределения надпороговой ионизации в широкой области энергий фотоэлектронов, напряженностей и эллиптичностей поля. Был открыт целый ряд новых нелинейных эффектов, из которых наибольшее внимание привлекают генерация высоких гармоник лазерного излучения и коррелированная двойная ионизация, важные и в прикладном аспекте. Таким образом, последнее десятилетие характеризуется как прогрессом в возможностях эксперимента, так и расширением спектра изучаемых ф

Основные теоретические подходы к описанию надпороговой ионизации были разработаны в середине 60-х годов прошлого века и с тех пор успешно развивались и модернизировались. Однако в последние 10-15 лет экспериментальные достижения существенно опередили развитие теории и предъявили повышенные требования к моделям, претендующим на адекватное описание физического механизма возникающих процессов. В частности, возникла насущная потребность в аналитических выражениях, описывающих спектр надпороговой ионизации атомов в широком диапазоне энергий электрона. В современной научной литературе отсутствует физическая модель надпороговой ионизации атомов сильным эллиптически поляризованным полем, качественно проясняющая механизм нарушения симметрии в импульсных распределениях фотоэлектронов, возникающего из-за взаимодействия ионизованного электрона с родительским ионом. Кроме того, в рамках существующих подходов не удается детально исследовать угловые распределения фотоэлектронов на высокоэнергетическом плато надпороговой ионизации эллиптически поляризованным полем, которое возникает благодаря рассеянию ионизованных электронов остаточным ионом.

Перечисленные проблемы в значительной мере связаны с той существенной ролью, которую играет в надпороговой ионизации взаимодействие ионизованного, высвободившегося из связанного состояния электрона с атомным остатком. Это остаточное взаимодействие, которое также уместно назвать взаимодействием в конечном состоянии, значительно модифицирует спектрально-угловые распределения фотоэлектронов. Таким образом, исследование эффектов взаимодействия в конечном состоянии при надпороговой ионизации атомов и отрицательных ионов представляется одной из наиболее актуальных задач современной физики взаимодействия электромагнитного излучения с веществом.

Цель и задачи работы.

Целью работы является развитие аналитической теории надпороговой ионизации атомов и отрицательно заряженных ионов в интенсивном лазерном поле, позволяющей качественно описать влияние электрон-ионного взаимодействия в конечном состоянии на форму спектрально-угловых распределений фотоионизации. В частности, в работе предполагается

• Разработать аналитическое описание спектра прямой надпороговой ионизации атомов в линейно поляризованном поле, не прибегая к разложению по малой величине конечной энергии электрона.

• Сформулировать физическую модель надпороговой ионизации атомов сильным эллиптически поляризованным полем, проясняющую механизм нарушения симметрии в импульсных распределениях фотоэлектронов. Применить разработанную модель для описания имеющихся экспериментальных данных.

• Исследовать угловые распределения электронов в высокоэнергетической части спектра фотоионизации полем интенсивного эллиптически поляризованного лазерного излучения.

Научная новизна результатов работы:

- Методом перевала получены приближенные аналитические формулы модели Келдыша для импульсного распределения фотоэлектронов прямой надпороговой ионизации сильным линейно поляризованным лазерным полем, пригодные в широком диапазоне энергий электрона и напряженностей поля. Найдено значение энергии, в окрестности которой изменяется характер убывания энергетического спектра. В туннельном режиме найдены асимптотические разложения общих формул, исследована их точность, сформулированы условия применимости.

- Предложена полуклассическая модель надпороговой ионизации атомов сильным эллиптически поляризованным полем (модель кулоновского

торможения), которая вскрывает механизм нарушения симметрии эллипса в угловых распределениях фотоэлек фонов. Обнаружено, что потеря симметрии эллипса происходит за счет однократного действия кулоновской силы на начальном участке траектории электрона, сразу после выхода из-под барьера. Показано, что не следует ожидать значительного эффекта нарушения симметрии в случае ионизации из короткодействующего потенциала.

- Разработана методика расчета для обобщенной модели Келдыша с эллиптически поляризованным полем, позволяющая получить замкнутые выражения для распределений перерассеянных электронов и интерпретировать их в терминах взаимодействия расплывающегося волнового пакета с родительским ионом. Рассчитаны интерференционная структура спектра и степень асимметрии угловых распределений в зависимости от эллиптичности и других параметров лазер - атомного взаимодействия. Найдена значение эллиптичности, начиная с которой имеет место существенное отличие распределений от случая линейно поляризованного поля. Впервые исследовано влияние формы потенциала электрон-ионного взаимодействия на угловые распределения электронов, испытавших перерассеяние. Показано, что взаимодействие, моделируемое экранированным кулоновским потенциалом, приводит к существенно большей асимметрии угловых распределений, чем взаимодействие, моделируемое потенциалом нулевого радиуса.

Научная и практическая ценность работы.

Полученные в работе формулы для импульсного распределения прямой ионизации линейно поляризованным полем могут быть использованы при описании эффектов генерации высоких гармоник лазерной частоты и коррелированной двойной ионизации.

Впервые выяснен механизм нарушения четырехкратной симметрии в импульсных распределениях прямой надпороговой ионизации атомов эллиптически поляризованным лазерным излучением. Результаты расчетов демонстрируют хорошее качественное согласие с данными эксперимента. Разработанная модель кулоновского торможения может быть обобщена на многочастичные системы, такие как молекулы или кластеры.

Результаты расчета спектрально-угловых распределений фотоэлектронов в области высокоэнергетического плато надпороговой ионизации сильным эллиптически поляризованным полем качественно согласуются с экспериментальными данными. Выполненные в работе вычисления открывают возможность для альтернативного, не связанного с интерференцией между прямыми и перерассеянными электронами, объяснения результатов эксперимента.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитические выражения для спектрально-углового распределения прямой надпороговой ионизации линейно поляризованным лазерным полем, применимые в широком диапазоне энергий электрона и напряженностей поля.

2. Полуклассическая модель кулоновского торможения, объясняющая физический механизм нарушения симметрии эллипса в спектрально-угловых распределениях прямой надпороговой ионизации атомов эллиптически поляризованным полем.

3. Результаты расчета угловых распределений фотоэлектронов в области высокоэнергетического плато ионизации полем интенсивного эллиптически поляризованного лазерного излучения.

Апробация результатов работы.

По теме диссертации опубликовано 17 печатных рабоь Основные результаты диссертационной работы опубликованы в журналах Physical Review Letters, Журнале Экспериментальной и Теоретической Физики и Laser Physics. Изложенные в диссертационной работе результаты докладывались на следующих конференциях: 11 International Laser Physics Workshop, Bratislava, Slovakia, 2002; International Quantum Electronics Conference, Moscow, Russia, 2002; 12 International Laser Physics Workshop, Hamburg, Germany, 2003; XVII конференция "Фундаментальная Атомная Спектроскопия", Звенигород, Россия, 2003; 13 International Laser Physics Workshop, Trieste, Italy, 2004; XLVII Конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, Россия, 2004; International Conference on Coherent and Nonlinear Optics, St. Petersburg, 2005; 14 International Laser Physics Workshop, Kyoto, Japan, 2005; Научная Сессия МИФИ в 2002-2005 гг.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы на 93 наименования. В работе приведено 24 рисунка. Общий объем диссертации составляет 115 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение посвящено литературному обзору. Обоснована актуальность темы исследования. Дан краткий обзор накопленного к настоящему времени экспериментального материала по надпороговой ионизации и упругому перерассеянию. Изложены основные теоретические подходы. Сформулированы задачи и цели диссертационной работы, кратко изложено ее содержание.

В Главе I амплитуда прямой надпороговой ионизации линейно поляризованным полем вычислена в приближении Келдыша методом перевала

без разложения по импульсу ■электрона. Получено замкнутое аналитическое выражение для спектрально-углового распределения, которое остается применимым при произвольных значениях конечной энергии электрона и параметра адиабагичности.

Исследование аналитической структуры распределений показало, что величина мнимой части точки перевала критически зависит от знака комбинации (ур -1), где

2 J+P2/2 2 Р2

Y„=---= уЧ-Е—. ()

' 2Up 4Up

Здесь / - потенциал ионизации, р - конечный импульс фотоэлектрона, Up = F2/4&2 - средняя по оптическому периоду колебательная энергия электрона в лазерном поле с напряженностью F и частотой со или пондеромоторный потенциал, а у = ajll IF - параметр Келдыша. В многофотонном режиме у2 > 1 при всех значениях энергии, поскольку уже у2 > 1. В туннельном режиме у2 < 1, и на разных участках спектра параметр угр

может быть как меньше, так и больше единицы. Поэтому поведение вероятности ионизации меняется в окрестности критической энергии

га=2ир-1, (2)

определяемой условием у2р = 1. Этот вывод иллюстрируе! рис. 1., на котором видно, как резко меняется наклон касательных с разных сторон от еи . Ширина переходной области имеет порядок величины потенциала ионизации.

В предельном случае малых энергий, гр /1 < 1, полученные формулы

переходят в результаты работы [A.M. Переломов, B.C. Попов, М.В. Терентьев // ЖЭТФ, 1966, 50, 1393]. Сравнение спектров вдоль направления поляризации, 9 = 0, рассчитанных по общим и разложенным формулам, показано на рис. 2.

О 1 2,3 4 5 б энергия / потенциал ионизации

Рис 1 Энергетический спектр о направ¡ении по!яризации тая вычисленный по общим форму мм метода перевала без учета интерференции Параметры отвечают ионизации атомов Не излучением с частотой йш = 1.58еУ и интенсивностью 0.851015 Вт/см1 Соответственно, у = 0.5 и Р ! !<и - 0 06 Почожение критической энергии отмечено стре шой

Рис 2 Энергетический спектр вдои, направ шния пошризации, вычис генный без учета интерференции по общим формупам (сплошная шния) и форму шмработы [Л М Пере io.no«, ВС Попов, МВ Терентьев // ЖЭТФ, 1966, 50, 1393], применимым в обюсти чачых энергий (штриховая пиния) Параметры соответствуют рис 1 На верхней шксие показано количество поглощенных надпороговых квантов.

О 10 20 30 40 50 6» 70 80 90

"О ~<Г5 Го 15 То 25 3 0 энергия / повдеромоторный потенциал

Параметры соответствуют туннельному режиму I = IIР / 2 и, как видно, очень хорошее согласие имеется при гр1Иг < 1/2. Далее с ростом энергии кривые

расходятся достаточно медленно так, чго различие на порядок наступает около энергии ер Шр »1.5. При вылете электрона под углом 9x1 к направлению

поляризации расхождение между точными формулами и линейным по энергии

разложением начинается раньше. Например, для с =£/ /2 и 0 - 45"

приближенные формулы занижают вероятность в 4 раза, а при той же энергии

и 0 = 60° результаты различаются уже на порядок.

В Главе II сформулирована полуклассическая модель прямой ионизации сильным эллиптически поляризованным лазерным полем, которая учитывает влияние кулоновского поля иона на движение электрона в континууме. Предполагается, что в произвольный момент времени <0 электрон туннелирует из-под осциллирующего потенциального барьера с некоторой скоростью у0, ортогональной направлению поля /•'(/,,) в момент ионизации. Точка выхода из-под барьера определяется как ги - (//р(1(}))п}(1()), где F(l(l) - орт

вектора/^(гн). В предлагаемом нами подходе вероятность 1уннелирования вычисляется в рамках модели Келдыша для эллиптически поляризованного поля. Однако траектория электрона после выхода из-под барьера рассчитывается с учетом как лазерного поля, так и поля атомного остатка. Именно в учете влияния кулоновского поля иона на форму траектории ионизованного электрона состоит главная особенность предлагаемой модели.

Траектория электрона и его конечный импульс могут быть найдены непосредственным интегрированием уравнений движения в двух полях -лазерном и кулоновском. Однако при не слишком малых эллиптичностях поля, £ > , где К = (2/)3'2, траеп ория электрона не приближается к иону на

расстояния, существенно меньшие, чем г0 для подавляющего большинства

начальных условий (/1(,v()). Тогда кулоновская сила, малая по сравнению с напряженностью электрического поля уже в точке выхода из-под барьера, будет еще уменьшаться при движении электрона по траектории. Это позволяет рассматривать кулоновское поле как возмущение, а его вклад в конечный дрейфовый импульс вычислять путем интегрирования кулоновской силы вдоль траектории электрона г, (г) в лазерном поле:

/О п ('>'o'vo)

Здесь учтено, что ион находится в начале координат, а его заряд равен единице. Интеграл (3) легко рассчитывается численно. Используя индекс L для обозначения импульса, приобретаемого в лазерном поле, представим истинный асимптотический импульс электрона в виде суммы:

Оценим минимально допустимое значение эллиптичности," для которого будет законно используемое нами приближение. Для этого сравним координату />, абсолютного максимума распределения (2.8) и эффективную ширину

тонкой трубки вокруг полевого эллипса, в которой это распределение сосредоточено (по порядку величины указанная ширина равна -Jlï^fF ! Fu , см.

работу [С.П. Гореславский, C.B. Попруженко // ЖЭТФ 1996,110, 1200]):

{>г& <5)

Действующая па электрон кулоновская сила достаточно быстро уменьшается с увеличением расстояния от иона. Поэтому кулоновский импульс рс набирается в основном на начальном участке траектории электрона, непосредственно примыкающем к точке выхода из-под барьера. Следовательно, достаточно хорошая оценка р( может быть получена вычислением интеграла (3) вдоль прямолинейной траектории под действием постоянной Силы F(t0).

Найдено, что для малых начальных скоростей v0 « л/27, главный вклад дается выражением:

M'o>v О)«-7Тй1|('О)5 (6)

4г0

1дс т0 = ^2r0 IF (fu) - эффективный временной интервал, за который электрон уходит от иона на расстояние в 2г0. Этот интервал равен времени пролета под потенциальным барьером, и, следовательно, представляет собой малую долю оптического периода. Из формулы (6) видно, что кулоновский импульс направлен противоположно электрической силе, действующей на электрон в момент ионизации. Иными словами, поле атомного остатка тормозит (уннелировавший из-под барьера и удаляющийся ионизованный электрон. Поэтому естественно назвать предложенную нами модель моделью кулоновского торможения.

На рис. 3 conocíавлены спектрально-угловые распределения в плоскости поляризации, рассчитанные в приближении Келдыша и согласно модели однократного кулоновского торможения. Из рисунка видно, что наличие малой поправки (3) приводит к коренной перестройке импульсного распределения и разрушает четырехкратную симметрию.

Результаты вычислений в рамках модели однократного кулоновского торможения находятся в хорошем качественном согласии с экспериментальными данными [G.G. Paulus et al. // Phys. Rev. Lett., 2000, 84, 3791] (см. рис. 4). Это относится к положению максимума и ширине углового распределения. Исключение составляют лишь распределения в низших надпороговых пиках, где наши расчеты не воспроизводят структуру с двумя максимумами.

В Главе Ш производится расчет спектрально-угловых распределений фотоэлектронов в высокоэнергетической части спектра надпороговой ионизации сильным эллиптически поляризованным полем.

Рис i Ичпу ibcuoe распреде ¡еиие в тоскости по шризации - контурный график с десятью эквидистантными шнями уровня (а) - приближение Ке ¡дыша (б) расчет сог¡ас но моде ш куюполского торможения Параметры соответствуют ионизации атома Хе по ¡ем титан-сапфироього ¡азера с энергией кванта fia - I 58 эВ и пиковой интенсивностью 09-Ю14 BmU м'

Рис 4 Угчовые распреде temía s—фотонной ионизации атомов Хе полем титан -сапфирового шзера при интенсивности 0.9 1014 Вт!см2 и элшптичности 4 = 0.36, рассчитанное согшсио uodeiu Ке ¡дыша (тонкая сп-юшния кривая) вычисшпное в соответствии с моде ¡ью ку юноаского торможения (штриховая кривая) и измеренное экспериментально (жирная кривая) Бо1ьшая ось э nunca пошризации uanpae¡eua по горизонта т

Разработана методика расчета, которая позволяет в туннельном режиме получить распределения перерассеянных электронов в аналитическом виде и интерпретировать их в терминах взаимодействия волнового пакета ионизованного электрона с родительским ионом. Формулируется полуклассическая модель перерассеяния эллиптически поляризованным полем.

В выполненных pac4eiax перерассеяния использовалась амплитуда прямой ионизации, обычным образом разложенная по малым поперечным импульсам. Это приближение достаточно, пока эллиптичность поля 4 меньше или порядка

критического значения ¿>C=Y^¡F/Fa. При выполнении этого условия движущийся и расплывающийся волновой пакет ионизованного электрона перекрывается с ионом своей центральной частью. При больших £ для надежного описания перекрытия с крыльями пакета, необходимо с высокой точностью вычислить амплитуду ионизации в области больших импульсов. На рис. 5 представлены угловые распределения электронов, рассчитанные при различных эллиптичностях и энергиях на плато надпороговой ионизации.

Отсутствие симметрии эллипса и наличие лишь центральной симметрии в распределениях фотоионизации эллиптически поляризованным полем вытекает из свойств симметрии S- матрицы [W. Becker et al. 11 Adv. in At., Mol., and Opt. Phys., 2002, 48, 35]. В нашей работе дано простое качественное объяснение этого факта, основанное на свойствах движения электрона после туннелирования из атома.

Проведено сравнение расчетных угловых распределений с результатами эксперимента [G.G. Paulus et al. // Phys. Rev. Lett., 2000, 84, 3791]. Результаты сравнения позволяют утверждать, что наши вычисления воспроизводят главные свойства экспериментальных данных. Так, асимметричная двугорбая структура распределений в середине плато превращается в единственный максимум, когда энергия приближается к классической границе. Однако детали этой эволюции в теории и в эксперименте различны. Подчеркнем, что при

параметрах эксперимента, эллиптичность ^ = 0.36 превосходит величину уy[FIF„ = 0.27 и мы можем рассчитывать лишь на то, что теоретические результаты являются качественно верными. Заметим, что имеется существенное различие между результатами, полученными в настоящем диссертционном исследовании, и выводом, который был сделан в работе [G.G. Paulus et al. // Phys. Rev. Lett., 2000, 84, 3791].

Рис 5 У г юные распредаения электронов с энергией с = 8(7 рассчитанные дчя раз шчных ■ri шптичностеи 4 Большая ось juunca поыризации ориентирована по вертикали. Кривые нормированы на единичное значение а максимуме Пиковая интенсивность в центре фокуса Ю1' Вт/см2 что для атома Не и титан-сапфирового tasepa (lm —1.58эВ) соответствует у = 0.46 и FJ /'„ =0.07 Взаимодействие э шктрона с ионом модетировалось потенциала и нулевого радиуса

В этой работе наличие двугорбой структуры угловых распределений объясняется интерференцией вкладов в амплитуду перехода от прямых и перерассеянных электронов. Мы получили схожую структуру, рассматривая только амплитуду перерассеяния.

Асимметричное распределения на рис. 5 получены в случае, когда взаимодействие электрона с атомным остатком моделируется потенциалом нулевого радиуса. Перерассеяние электрона распределенным зарядом остаточного иона увеличивает разницу в высотах максимумов, т.е. усиливает

асимметрию (см. рис. 6). Эффею наиболее ярко выражен для Не* и ослабевает в более тяжелых атомах.

Рис 6 Угшвые распреде ¡ения фотолектронов с тергией ь-8Ь'г перерассеянных потенциалом нулевого радиуса (штриховая кривая) и экранирова/шыи куюновским потенциалом иона Не* (сплошная кривая) Интенсивность чазера 510м Вт/см2, длина коты X = 785им, эпиптичность Е = 0.35

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе:

- В приближении Келдыша методом перевала получены относительно простые замкнутые аналитические выражения для спектрально-углового распределения вероятности ионизации сильным, линейно поляризованным лазерным полем, применимые при произвольных значениях энергии элекгрона и параметра адиабатичности. В области малых энергий полученные формулы переходят в ранее известные результаты.

- Разработана простая полу классическая модель нарушения четырехкратной симметрии в угловых распределениях прямой надпороювой ионизации атомов в эллиптически поляризованном поле - модель кулоновского торможения. Обнаружено, что потеря симметрии эллипса вызвана малой по

1 о

-60 -45 -30 -15 0 13 30 43 60 угол вылета 0, [°]

величине кулоновской силой, тормозящей ионизованный электрон в окрестности классической точки поворота, сразу после выхода из-под барьера. При промежуточных эллиптичпостях результаты расчетов согласно модели кулоновского торможения находятся в хорошем качественном согласии с данными эксперимента.

- В туннельном режиме обобщенной модели Келдыша рассчитаны спектрально-угловые распределения фотоэлектронов на

высокоэнергетическом плато надпороговой ионизации сильным эллиптически поляризованным лазерным полем. Найдено, что при фиксированной энергии и эллиптичности угловое распределение состоит из двух максимумов различной высоты, разделенных отчетливым минимумом. Это качественно согласуется с экспериментальными данными. Выполненные расчеты открывают возможность для альтернативного, не связанного с интерференцией между прямыми и перерассеянными электронами, объяснения результатов эксперимента. Показано, что взаимодействие электрона с ионом, моделируемое экранированным кулоновским потенциалом приводит к существенно большей асимметрии угловых распределений, чем взаимодействие, моделируемое потенциалом нулевого радиуса.

Список публикаций по теме диссертации

1. N.I. Shvetsov-Shilovski, S.V. Popruzhenko, and S.P. Goreslavski, Asymmetric emission of rescattered photoelectrons in intense laser field with elliptical polarization, Las. Phys., 13, 1054-1063 (2003).

2. S.P. Goreslavski, G.G. Paulus, S.V. Popruzhenko, and N.I. Shvetsov-Shilovski, Coulomb asymmetry in above-threshold ionization, Phys. Rev. Lett., 93, 233002(1 )-233002(4) (2004).

3. С.П. Гореславский, С.В. Попруженко, Н.И. Швецов-Шиловский, О.В. Щербачёв, Спектр надпороговой ионизации в сильном линейно поляризованном поле, ЖЭ ГФ, 127, 27-36 (2005).

4 Н.И. Швецов-Шиловский, С П. Гореславский, С.В. Попруженко, Угловые распределения перерассеянных фотоэлектронов в эллиптически поляризованном поле, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2002,5,213-214(2002).

5. S.P. Goreslavski, NJ. Shvetsov-Shilovski, S.V. Popruzhenko, W. Becker, R. Kopold, Asymmetric emission of high-energy photoeiectrons in intense elliptically polarized field, 11-th International Laser Physics Workshop LPHYS'02, Bratislava, Book of Abstracts, 64 (2002).

6. N.I. Shvetsov-Shilovski, S.V. Popruzhenko and S.P. Goreslavski, Asymmetric emission of rescattered photoeiectrons in intense laser fields with elliptical polarization, International Quantum Electronics Conference IQEC 2002, Moscow, Technical Digest, QSuU16, 200 (2002).

7. Н.И. Швецов-Шиловский, С.П. Гореславский, С.В. Попруженко, Особенности угловых распределений перерассеянных фотоэлектронов в поле с эллиптической поляризацией, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2003, 5, 192-193 (2003).

8. N.L Shvetsov-Shilovski, S.P. Goreslavski, Analytic description of the direct ionization spectrum, 12-th International Laser Physics Workshop LPHYS'03, Hamburg, Book of Abstracts, 132 (2003).

9. S.P. Goreslavski, S.V. Popruzhenko, N.I. Shvetsov-Shilovski, Ionization by strong elliptically polarized field: semiclassical insight into symmetries, 12-th International Laser Physics Workshop LPHYS'03, Hamburg, Book of Abstracts, 133 (2003).

10. С.П. Гореславский, С.В. Попруженко, Н.И. Швецов-Шиловский, Симметрии в спектрах нелинейной ионизации атомов эллиптически поляризованным лазерным полем, XVII Конференция Фундаментальная

Атомная Спектроскопия ФАС XVII, Звенигород, Тезисы докладов, 146-147 (2003).

11.С.П. Гореславский, Н.И. Швецов-Шиловский, О.В. Щербачев, Спектр прямой надпороговой ионизации в сильном линейно поляризованном поле, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2004, 5, 158-159 (2004)

12. Н.И. Швецов-Шиловский, С.П. Гореславский, С.В. Попруженко, О kviohorckom механизме нарушения симметрии в спектрах надпороговой ионизации атомов, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2004, 5, 208-209 (2004).

13. S.P. Goreslavski, G.G. Paulus, S.V. Popruzhcnko, and N.I. Shvetsov-Shilivski, Coulomb asymmetry in above-threshold ionization of atoms in a strong elliptically polarized laser field, 13-th International Laser Physics Workshop LPHYS'04, Trieste, Book of Abstracts, 113 (2004).

14. Н.И. Швецов-Шиловский, Асимметрия угловых распределений надпороговой ионизации атомов в эллиптически поляризованном поле: эксперимент и теория, XLVII конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, Труды конференции, Часть III, 78-79 (2004).

15. С.П. Гореславский, Н.И. Швецов-Шиловский, Кулоновское торможение фотоэлектронов при надпороговой ионизации атомов, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2005, 5, 268-269 (2005).

16. N.l. Shvetsov-Shilovski, S.P. Goreslavski, S.V. Popruzhenko, Coulomb deceleration in photoioni/ation by strong elliptically polarized fields. International Conference on Coherent and Nonlinear Optics ICONO 2005, St. Petersburg, Technical Digest on CD-ROM, IFB5 (2005).

17. N.I. Shvetsov-Shilovski, S.P. Goreslavski, G.G. Paulus and S.V. Popruzhenko, Experimental and theoretical studies of photoelectron distributions in strong elliptically polarized laser fields, 14-th International Laser Physics Workshop LPHYS'05, Kyoto. Book of Abstracts, 154 (2005).

I

«т

m

(Ü 2 2 5 4 4

РНБ Русский фонд

2006-4 23167

'iN

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СПЕКТР НАДПОРОГОВОЙ ИОНИЗАЦИИ СИЛЬНЫМ ЛИНЕЙНО

ПОЛЯРИЗОВАННЫМ ЛАЗЕРНЫМ ПОЛЕМ

1Л. Основные соотношения

1.2. Предельные разложения

1.2.1. Ионизация в состояния с малыми энергиями

1.2.2. Туннельный режим 35 Выводы по Главе I

ГЛАВА II. КУЛОНОВСКИЙ МЕХАНИЗМ НАРУШЕНИЯ СИММЕТРИИ ПРИ НАДПОРОГОВОЙ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИ ПОЛЯРИЗОВАННЫМ ПОЛЕМ v

2.1. Вероятность ионизации в туннельном режиме и полуклассическая модель

2.2. Модель кулоновского торможения

2.3. Сравнение с экспериментом

2.4. Численное решение уравнений движения и метод Монте-Карло

2.5. Кулоновское торможение в линейно поляризованном поле

2.6. Угловые распределения прямой ионизации в модели Келдыша

2.6.1. Основные соотношения

2.6.2. Точки перевала

2.6.3. Калибровка векторного потенциала

2.6.4. Интерференция и ненулевой орбитальный момент 73 Выводы по Главе II

ГЛАВА III СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕРАССЕЯННЫХ ФОТОЭЛЕКТРОНОВ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИ ПОЛЯРИЗОВАННОМ ПОЛЕ 80 3.1 Симметрия импульсных распределений 80 3.2. Амплитуда перерассеяния

3.2.1. Амплитуда виртуального перехода

3.2.2. Интеграл по промежуточным импульсам

3.2.3. Расчет амплитуды методом перевала

3.2.4. Распределения вблизи классической границы

3.2.5. Условия применимости

3.3. Переход к полу классической модели

Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому изучению надпороговой ионизации атомов сильным лазерным полем. Предметом исследования являются распределения ионизованных электронов по энергиям и направлениям вылета. Суть явления надпороговой ионизации состоит в том, что ионизуемый электрон поглощает больше фотонов, чем необходимо для выхода в континуум. Образующийся при этом энергетический спектр фотоэлектронов состоит из последовательности пиков, отстоящих друг от друга на энергию фотона.

Надпороговая ионизация была теоретически предсказана JI.B. Келдышем в 1964 г. [1]. В работе [1] было показано, что вероятность «-фотонной ионизации атома с потенциалом ионизации / переменным лазерным полем критически зависит от величины параметра адиабатичности у, который

О . О О определяется соотношением у = I / 2Uр. Здесь Uр = F / 4со - средняя по оптическому периоду колебательная энергия электрона в лазерном поле с напряженностью/7и частотой со или пондеромоторный потенциал (повсюду в диссертации используется атомная система единиц h = т = -е = 1). При у > 1, т.е. в случае относительно слабых полей и высоких частот, зависимость близка к степенной F2". В обратном предельном случае сильных полей и низких частот, у < 1, вероятность ионизации оказывается пропорциональной вероятности туннелирования через осциллирующий потенциальный барьер, сформированный лазерным и атомным полями. Поэтому говорят о многофотонном (у > l) и туннельном (у < l) режимах ионизации.

Впервые надпороговая ионизация наблюдалась экспериментально группой P. Agostini спустя пятнадцать лет после выхода работы [1], в 1979 г. [2]. При этом удалось измерить всего два максимума в энергетическом спектре фотоэлектронов. Первый из них отвечал пороговому каналу, а второй соответствовал поглощению избыточного кванта. Эксперимент [2] стимулировал появление огромного количества экспериментальных и теоретических работ. Изучались как собственно надпороговая ионизация, так и сопутствующие процессы генерации высоких гармоник и коррелированной двойной ионизации. Результаты этих исследований подробно изложены в монографиях [3-5] и обзорах [6-9].

Эффект надпороговой ионизации доступен экспериментальному наблюдению в диапазоне интенсивностей от 1012 до 10Х6 Вт/см2. В 80-х годах прошлого столетия эксперименты выполнялись в основном в многофотонном режиме. Попытки проникнуть в область больших интенсивностей, когда у < 1, были сильно затруднены. Дело в том, что эксперименты проводились с лазерными импульсами пикосекундной длительности. В результате, атомы мишени оказывались ионизованными уже на фронте импульса, еще до того, как интенсивность достигнет значений, отвечающих туннельному режиму. Ситуация резко изменилась с созданием лазерных систем, генерирующих интенсивные импульсы фемтосекундной длительности, в особенности с появлением титан-сапфирового (77: So) фемтосекундного лазера [10]. При ионизации такими короткими импульсами большинство атомов мишени остается нейтральным вплоть до выхода интенсивности на максимум. Еще одной предпосылкой существенного прогресса, достигнутого в технике эксперимента за последние 10-15 лет, явилось создание источников лазерного излучения, генерирующих интенсивные импульсы фемтосекундной длительности с частотой повторения в килогерцовом диапазоне. Это позволило набирать надежную статистику редких событий и исследовать спектрально-угловые распределения вероятности надпороговой ионизации в широкой области энергий электронов, когда регистрируемый сигнал изменяется по величине на 10-12 порядков [11].

Наиболее отчетливо структура и детали распределений надпороговой ионизации проявились в серии экспериментов, поставленных в туннельном режиме [11-15]. Было обнаружено, что многие характерные особенности этого процесса являются общими для различных атомов и молекул. В частности, энергетический спектр электронов, испускаемых вдоль направления линейной поляризации, имеет универсальную структуру, главные особенности которой определяются параметрами лазерного поля и потенциалом ионизации атома. На начальном участке спектр быстро убывает вплоть до энергии в « (2 4- 3)ilp. Далее располагается высокоэнергетическое плато - протяженный участок, на котором выход электронов убывает с ростом энергии относительно медленно [12, 13]. Плато резко обрывается на энергии s«1ОU , за которой снова следует быстрый спад спектра.

Регистрируемый сигнал в области высокоэнергетического плато на 4-6 порядков ниже, чем на начальном участке спектра. Изучались и угловые распределения фотоэлектронов при фиксированной энергии. В низкоэнергетической части спектра и за верхней границей плато распределения сосредоточены в основном вдоль направления поляризации. В то же время угловые распределения электронов на плато ограничены ярко выраженными боковыми лепестками, расположенными под углом 30° ч-45° к направлению поля [14].

Основой теоретического описания надпороговой ионизации служит модель одного активного электрона. В этой модели вместо реального многоэлектронного атома рассматривается только один электрон, который движется в эффективном потенциале, в некоторой степени воспроизводящем спектр одноэлектронных возбуждений атома, и взаимодействует с лазерным полем. Для линейно поляризованного поля умеренной интенсивности трудоемкое численное решение трехмерного нестационарного уравнения Шредингера в приближении одного активного электрона приводит к хорошему согласию расчетных и экспериментальных спектров надпороговой ионизации [16]. При решении трехмерного нестационарного уравнения Шредингера обычно используется либо разложение радиальной волновой функции по набору В -сплайнов [17, 18], либо различные итерационные методы, см. например [19]. В случае линейно поляризованного поля расчет можно упростить, сводя задачу к решению двухмерного уравнения. Детальное описание подходов, применяемых при численном анализе надпороговой ионизации, а также обзор полученных таким способом результатов можно найти в работе [20]. Отметим, однако, что при переходе к туннельному режиму численные методы сталкиваются с существенными трудностями и становятся малоэффективными. Это связано с необходимостью использования протяженных пространственно-временных сеток, для того, чтобы учесть большую амплитуду колебаний ионизованного электрона в сильном низкочастотном поле и распространить вычисления на длительность реального лазерного импульса [20]. Кроме того, выход электронов с энергиями на плато определяется очень слабым по абсолютной величине изменением волновой функции, что требует высокой точности вычислений. Ситуация еще более усугубляется в случае лазерного поля с эллиптической поляризацией, когда задача становится трехмерной.

Наглядное описание механизма формирования спектра надпороговой ионизации дает т.н. полуклассическая (двухступенчатая модель) [21]. В условиях туннельного режима ионизации она непосредственно выводится из модели Келдыша [1]. В случае линейно поляризованного поля полуклассическая модель эквивалентна следующей простой схеме. Электрон туннелирует из-под осциллирующего потенциального барьера и в некоторый момент времени покидает атом с нулевой начальной скоростью. Вероятность туннелирования вычисляется так же, как и в статическом поле с напряженностью, равной мгновенному значению напряженности поля волны. За барьером электрон движется по классической траектории в осциллирующем лазерном поле. При этом примерно половина электронов, стартовавших в различные моменты оптического периода, не возвращается к атомному остатку, и после окончания лазерного импульса регистрируется детектором. Эти электроны, которые называют прямыми, имеют энергии, меньшие 2Uр. Благодаря прямым электронам возникает низкоэнергетическая

часть спектра. Подавляющее большинство тех электронов, которые возвращаются к иону, рассеивается на небольшие углы. Их последующее движение остается близким к тому, каким оно было бы в отсутствие столкновения с атомным остатком, и поэтому такие электроны регистрируются тоже с энергиями ниже 2U . Таким образом, сценарий прямой ионизации оправдан для большей части освобожденных электронов. Однако когда фотоэлектрон возвращается в окрестность родительского иона, с определяемой сечением малой вероятностью может произойти рассеяние на углы, большие 90°, т.е. "назад". В этом случае электрон подвергается дополнительному ускорению лазерным полем и, в результате, будет обладать энергией, превосходящей 2U , что приведет к расширению спектра [22].

Такие электроны принято называть перерассеянными. Именно они ответственны за формирование высокоэнергетического плато. Важно подчеркнуть, что перерассеяние испытывает лишь небольшая часть (около 1%) от общего числа фотоэлектронов. В рамках полуклассической модели было успешно объяснено положение верхней границы плато 10Uр [13], а также существование и положение боковых маскимумов в угловых распределениях электронов на плато [23].

Концепция перерассеяния позволяет понять не только структуру спектра надпороговой ионизации, но и механизм родственных процессов генерации высоких гармоник и коррелированной двойной ионизации. Так, вернувшийся электрон может рекомбинировать в основное состояние атома, испуская квант большой частоты, кратной частоте внешнего поля (гармонику) [22, 24], или, при наличии в момент возврата достаточной энергии, выбить из родительского иона еще один электрон [22]. В частности, большим успехом полуклассической модели стало объяснение наличия верхней границы спектра гармоник [24]. В настоящее время полу классическая модель получила широкое распространение в силу своей простоты и той неоценимой помощи, которую она оказала в понимании физической картины явления.

Альтернативный квантовый подход к теории надпороговой ионизации дает модель Келдыша [1, 25, 26]. В зарубежной литературе эту модель часто называют приближением сильного поля или моделью Келдыша-Файсала-Риса, см. работы [27, 28]. В модели Келдыша амплитуда вероятности ионизации вычисляется как матричный элемент оператора возмущения между связанным атомным состоянием и волковской волной [29, 30]. Поскольку в волковских состояниях влияние лазерного поля на движение свободного электрона учтено точно, модель описывает процесс ионизации вне рамок теории возмущений. С другой стороны, волковские состояния не учитывают взаимодействие электрона с атомным остатком, и поэтому акт ионизации выглядит как "прямой" переход в континуум. Отметим, что этот существенно квантовый подход к описанию надпороговой ионизации позволяет, в частности, рассчитать интерференционную структуру электронных распределений, что невозможно сделать при помощи полуклассической модели, так как последняя не учитывает фазовые свойства амплитуд перехода. Построенная таким образом теория воспроизводит основные свойства начального участка экспериментально наблюдаемого спектра надпороговой ионизации атомов, но не приводит к появлению высокоэнергетического плато.

Существование плато и его характеристики получили свое объяснение в рамках модифицированной (обобщенной) модели Келдыша, впервые рассмотренной в работах [31-33]. В обобщенной модели Келдыша подход с волковскими состояниями был модифицирован таким образом, чтобы учесть взаимодействие оказавшегося в континууме электрона с атомным остатком. Для этого волновой пакет ионизованного электрона, вычисленный в приближении прямого перехода в континуум, принимается за нулевое приближение, и в первом порядке теории возмущений по потенциалу атомного остатка рассчитывается рассеяние пакета родительским ионом [3335]. В таких расчетах амплитуда вероятности прямой ионизации входит в составной матричный элемент процесса перерассеяния.

Если атом моделируется потенциалом нулевого радиуса, амплитуду прямой ионизации можно выразить через обобщенную функцию Бесселя, которая представляет собой бесконечный ряд из произведений двух обычных функций Бесселя [36, 37]. Обобщенные функции Бесселя достаточно просто табулируются, однако они неудобны для проведения качественного анализа спектра при различных параметрах лазерного поля и атома и тем более неудобны в расчетах процессов перерассеяния.

В связи с этим большой интерес представляют приближенные аналитические формулы, которые дают наглядное представление о зависимости спектров фотоионизации от лазер - атомных параметров. Такого рода формулы были получены уже в основополагающих работах [1, 25, 26] путем вычисления амплитуды перехода методом перевала. Впоследствии эти результаты неоднократно использовались и уточнялись [38-40]. Однако во всех этих работах показатель экспоненты в точке перевала раскладывался в ряд по отклонению энергии электрона от положения максимума распределения. Такое разложение не имеет прямого отношения к методу перевала и существенно ограничивает область применимости полученных результатов. В линейно поляризованном поле максимум спектра приходится на энергию 8 = 0 и, соответственно, полученные с использованием разложения по энергии распределения описывают лишь начальный участок спектра, не охватывая всю область энергий с доминирующим вкладом прямой ионизации.

Между тем, распределения фотоэлектронов, рассчитанные методом перевала без упомянутых выше разложений [41, 42], хорошо согласуются по всему спектру прямой ионизации с результатами расчетов другими методами [34, 43], с экспериментальными данными по фотоионизации отрицательных ионов [44] и, как отмечалось выше, воспроизводят основные свойства спектра прямой надпороговой ионизации нейтральных атомов интенсивным излучением оптического диапазона. В методе перевала амплитуда ионизации определяется стандартной формулой, в которую нужно еще подставить явный вид действия, вычисленного в комплексной точке перевала. В работах [41, 42] возникающие выражения табулировались для конкретного набора параметров задачи, и соответствующие распределения анализировались в графическом или числовом виде. Аналитические формулы для импульсного распределения обсуждаются в работе [45]. Однако в этой работе не была учтена интерференция, и рассматривалось единственное направление вылета электрона вдоль поляризации поля. Поэтому представляется интересным провести подробное аналитическое исследование спектрально-углового распределения фотоэлектронов с учетом интерференции в широком диапазоне энергий и углов вылета. Такого рода исследование выполнено в настоящей работе.

Существенная часть настоящей диссертации посвящена изучению процесса надпороговой ионизации в эллиптически поляризованном лазерном поле. Интерес к поляризационным зависимостям при исследовании фотоионизации и, более широко, взаимодействия излучения с веществом, обусловлен следующими причинами. Во-первых, рассмотрение эволюции распределений с изменением эллиптичности дает дополнительную информацию об исследуемом эффекте - фактически увеличивается размерность изучаемых распределений. Во-вторых, динамика электрона в эллиптически поляризованном поле становится более разнообразной, что приводит к возникновению таких деталей и свойств импульсных распределений, которые полностью отсутствовали в случае линейной поляризации. Среди этих особенностей необходимо особо отметить нарушение четырехкратной симметрии импульсных распределений в плоскости поляризации [46-54], а также эллиптический дихроизм (см. работу [55] и ссылки в ней). В свою очередь, появление качественно новых свойств распределений предъявляет повышенные требования к теориям и моделям, претендующим на адекватное описание физического механизма возникающих процессов. Наконец, в отличие от интенсивности, эллиптичность в эксперименте определяется весьма точно и ею достаточно легко управлять.

Впервые прямая ионизация эллиптически поляризованным полем была исследована в рамках модели Келдыша в работе [56], где для вычисления амплитуды перехода был применен метод перевала. В работе [56] были получены аналитические формулы для импульсного распределения фотоэлектронов, пригодные как в туннельном, так и в многофотонном режимах. Возникающий при увеличении эллиптичности эффект вытягивания импульсного распределения в направлении малой оси эллипса поляризации, отмеченный как факт в [56], был позднее детально исследован и описан в условиях туннельного режима [38]. В работе [40] была исследована эволюция спектрально-угловых распределений при изменении эллиптичности от нуля (линейное поле) до единицы (циркулярно поляризованное поле). Однако в работах [56, 38, 40], как и в исследованиях [1, 25, 26], посвященных линейно поляризованному полю, используется квадратичное разложение показателя экспоненты. Поэтому полученные во всех этих работах выражения применимы лишь в окрестности максимума распределения. Кроме того, в работах [56, 38 40] не исследовались интерференционные эффекты в эллиптически поляризованном поле. А именно эффекты такого рода стали с недавних пор доступны экспериментальному наблюдению, см. работу [42].

В рамках модели Келдыша для спектрально-углового распределения прямых электронов была также получена формула в виде бесконечной суммы произведений функций Бесселя [46].

В эксперименте [42] измерялся выход электронов с заданной энергией вдоль направления большой оси при изменении поляризации лазерного излучения от линейной до круговой. Эксперимент ставился для энергий, отвечающих как прямой ионизации, так и ионизации с перерассеянием. Для прямых электронов форма полученного распределения хорошо согласуется с выводами работ [38, 40]: выход электронов падает с ростом эллиптичности вследствие смещения максимума импульсного распределения по направлению к малой оси эллипса поляризации. Падение имеет место вплоть до некоторой эллиптичности, начиная с которой выход электронов растет. i

Рост возникает из-за изотропизации распределений при приближении эллиптичности к единице. По этой причине для круговой поляризации излучения возникает локальный максимум выхода электронов. Кроме того, из результатов работы [42] следует, что при эллиптичности, близкой к нулю, имеется еще один локальный максимум. Его происхождение связано с интерференцией вкладов в амплитуду перехода от двух соседних оптических полупериодов. Это первое экспериментальное наблюдение интерференции в спектрах фотоэлектронов.

Особый интерес представляет вопрос об асимметрии угловых распределений прямой ионизации атомов эллиптически поляризованным полем. Ситуация здесь выглядит следующим образом. Еще в ранней работе [56] было показано, что угловое распределение фотоэлектронов в плоскости поляризации, предсказываемое моделью Келдыша, имеет четырехкратную симметрию эллипса. Иными словами, распределение не изменяется при отражениях относительно главных осей эллипса поляризации. Первый эксперимент по измерению угловых распределений прямых электронов в эллиптическом поле был поставлен только в 1987 г. [46]. В то время наличие четырехкратной симметрии не подвергалось сомнению. Поэтому выход электронов был измерен только в одном квадранте плоскости поляризации. Однако более детальные измерения [47], выполненные вскоре после этого, показали, что симметрия эллипса отсутствует - распределения обладают лишь центральной симметрией. Если рассматривать такое распределение лишь в двух соседних квадрантах, то оно будет состоять из двух асимметричных ветвей. Заметим, что в спектрально-угловых распределениях фотоионизации отрицательных ионов не было обнаружено сколько-нибудь заметной асимметрии (см. работу [57]).

Идея о том, что асимметрия возникает из-за влияния кулоновского поля остаточного иона на движение электрона в континууме, была высказана уже в первой экспериментальной работе [47], обнаружившей эту асимметрию. Аналогичный вывод сделан и в теоретических работах [48-51], посвященных данной проблеме. Однако полученные в этих работах результаты нельзя считать надежными и убедительными, поскольку во всех четырех случаях неизвестен параметр малости, по которому строится учитывающая кулоновское поле приближенная теория. Так, в работах [48-50] вместо волковской волны эмпирически используются кулон-волковские волновые функции, а в работе [51] точная гриновская функция в двух полях (лазерном и кулоновском) заменяется функцией Грина свободного электрона в лазерном поле. Количественное сравнение результатов работ [48-51] с экспериментом не проводилось.

Задолго до появления работ [48-51] влияние кулоновского потенциала атомного остатка на процесс туннелирования было рассмотрено в работе [58]. Полученная в этой работе поправка увеличивает полную вероятность ионизации на несколько порядков величин, но не оказывает влияния на форму импульсного распределения,

Анализ свойств симметрии точной амплитуды фотоионизации атомов [52, 53] и отрицательных ионов [59] показал, что четырехкратная симметрия импульсного распределения в модели Келдыша возникает из-за замены точной волновой функции электрона в обоих полях плоской волковской волной. Учет любого (а не только кулоновского) взаимодействия в континууме разрушает симметрию эллипса. Отсюда вытекает, что угловые распределения в области высокоэнергетического плато, предсказываемые обобщенной моделью Келдыша, должны обладать лишь центральной симметрией, поскольку само плато возникает благодаря взаимодействию ионизованного электрона с атомным остатком. Следовательно, эффект асимметрии импульсных распределений в высокоэнергетической части спектра надпороговой ионизации проявляется в модели короткодействующего потенциала, см. [54, 60]. Работы [54, 60] делают наглядным механизм нарушения симметрии эллипса в терминах т.н. "квантовых орбит". В то же время конкретный механизм нарушения четырехкратной симметрии в распределениях прямых электронов понят значительно хуже.

В 2000 г. группой G.G. Paulus был поставлен уникальный эксперимент, в котором спектрально-угловые распределения фотоэлектронов в эллиптически поляризованном поле измерялись с высоким разрешением [54]. В отличие от эксперимента [47], выполненного в наносекундных импульсах, данные работы [54] были получены для коротких импульсов в 40 фс, когда пондеромоторные силы не искажают спектра. Это позволяет непосредственным образом сравнивать результаты эксперимента с предсказаниями теории. Кроме того, угловые распределения фотоэлектронов в эллиптически поляризованном поле были исследованы не только на начальном участке спектра, но и впервые в области высокоэнергетического плато. Асимметрия угловых распределений была обнаружена как для прямых, так и для перерассеянных электронов. Однако экспериментальные данные были обработаны и сопоставлены с теорией только для электронов с энергиями в области плато, несмотря на то, что эффект асимметрии сильнее выражен в низкоэнергетической части спектра.

Результаты работы [54], относящиеся к прямой ионизации, не анализировались ввиду отсутствия адекватной теоретической модели. Численные расчеты с эллиптическим полем при использовавшихся в эксперименте интенсивностях также не проводились. Таким образом, до настоящего времени проблема нарушения симметрии эллипса в импульсных распределениях прямой ионизации не имела ни надежного количественного описания, ни простой модели, качественно демонстрирующей механизм явления, а имеющиеся экспериментальные данные высокого качества оказались невостребованными. Этот пробел в исследованиях надпороговой ионизации был восполнен с появлением работ, включенных в настоящую диссертацию.

Обратимся теперь к спектрально-угловым распределениям перерассеянных фотоэлектронов в эллиптически поляризованном поле. Физическая картина перерассеяния, описанная выше в рамках полуклассического подхода, присуща и модифицированной модели Келдыша. Это следует из структуры квантовой амплитуды перехода, записанной в координатном представлении [61]. Действительно, амплитуда перерассеяния в обобщенной модели Келдыша имеет вид пятикратного интеграла, который обычно вычисляется методом перевала. Возникающие при этом уравнения для стационарных точек совпадают с кинематическими соотношениями полу классической модели [33, 61]. Более того, в работе [35] было показано, что в случае линейно поляризованного поля результат полуклассической модели может быть получен из распределения, вычисленного в рамках обобщенной модели Келдыша. В настоящей работе мы продемонстрируем это и при ненулевой эллиптичности, когда ионизованный электрон не возвращается к родительскому иону. Тем самым будет показано, что области применимости полуклассической модели и квантового расчета методом перевала, предполагающего наличие изолированных стационарных точек, совпадают. В том случае, когда энергия электрона близка к верхней границе плато, стационарные точки сближаются и вычислительная процедура должна быть модифицирована [35, 62].

В работе [63] впервые была теоретически сформулирована, а также проверена экспериментально идея о том, что процессы, обусловленные перерассеянием, подавляются с увеличением эллиптичности лазерного поля. Тем самым подтверждено единство механизмов всех трех процессов (упругое рассеяние, генерация высоких гармоник, коррелированная двойная ионизация), включенных в полуклассическую модель. Подавление вероятности обусловлено поперечным дрейфом ионизованного электрона, который имеет место при отличной от нуля эллиптичности.

В работе [64] на основе обобщенной модели Келдыша был рассчитан энергетический спектр электронов, перерассеянных вдоль большой оси эллипса поляризации при различных значениях эллиптичности. Показано, что с ростом эллиптичности лазерного поля (фактически при ^>0.5) плато исчезает и спектр становится монотонно убывающим.

Количество экспериментальных работ, посвященных исследованию импульсных распределений надпороговой ионизации в эллиптически поляризованном поле, включая и область плато энергетического спектра, пока невелико [42], [54]. Измеренный в [42] выход перерассеянных электронов монотонно убывает с ростом эллиптичности от своего максимального значения для линейной поляризации, что согласуется с выводами работы [64]. Из результатов работы [54] следует, что угловое распределение фотоэлектронов при фиксированной энергии в области плато состоит из двух разновысоких максимумов, разделенных отчетливым минимумом. Двумерное спектрально-угловое распределение выглядит при этом как два почти параллельных хребта. Такая структура распределений не наблюдалась для ионизации линейно поляризованным полем.

Данные эксперимента [54] явились пробным камнем для существующих теоретических подходов. Эти результаты были проанализированы и сопоставлены с расчетами согласно обобщенной модели Келдыша [54], причем взаимодействие электрона с ионом моделировалось потенциалом нулевого радиуса. Распределения, обладающие сходством с экспериментальными данными, были получены при больших значениях эллиптичности и интенсивности, чем те, которые реально использовались в эксперименте. В работе [54] происхождение двугорбой структуры распределений было объяснено интерференцией амплитуд прямой ионизации и ионизации с перерассеянием.

Недавно спектрально-угловые распределения электронов на плато были вычислены путем решения уравнения Шредингера для электрона, взаимодействующего с эллиптически поляризованным лазерным полем и потенциалом нулевого радиуса, методом комплексных квазиэнергетических состояний [65]. Предварительные результаты расчетов в условиях эксперимента находятся в хорошем согласии с измерениями [54]. Однако, в технике вычислений, применявшейся в работе [65], очень трудно распознать картину перерассеяния. Причины расхождений между двумя расчетами [54] и [65], в которых использовался один и тот же потенциал нулевого радиуса, остаются невыясненными и требуют дополнительных исследований.

Изложенное выше позволяет сделать вывод о том, что существует насущная потребность в более детальном теоретическом исследовании спектрально-угловых распределений электронов в высокоэнергетической части спектра надпороговой ионизации эллиптически поляризованным полем. Такое исследование выполнено в настоящей диссертационной работе. При этом мы рассмотрим влияние формы потенциала электрон-ионного взаимодействия на угловые распределения в области плато и исследуем эволюцию этих распределений с изменением эллиптичности.

Цели диссертационной работы:

• Разработать аналитическое описание спектра прямой надпороговой ионизации атомов в линейно поляризованном поле, не прибегая к разложению по малой величине конечной энергии электрона.

• Сформулировать физическую модель надпороговой ионизации атомов сильным эллиптически поляризованным полем, проясняющую механизм нарушения симметрии в импульсных распределениях фотоэлектронов. Применить разработанную модель для описания имеющихся экспериментальных данных.

• Исследовать угловые распределения электронов в высокоэнергетической части спектра фотоионизации полем интенсивного эллиптически поляризованного лазерного излучения.

Научная новизна результатов работы:

Методом перевала получены приближенные аналитические формулы модели Келдыша для импульсного распределения фотоэлектронов прямой надпороговой ионизации сильным линейно поляризованным лазерным полем, пригодные в широком диапазоне энергий электрона и напряженностей поля. Найдено значение энергии, в окрестности которой изменяется характер убывания энергетического спектра. В туннельном режиме найдены асимптотические разложения общих формул, исследована их точность, сформулированы условия применимости.

Предложена полуклассическая модель надпороговой ионизации атомов сильным эллиптически поляризованным полем (модель кулоновского торможения), которая вскрывает механизм нарушения симметрии эллипса в угловых распределениях фотоэлектронов. Обнаружено, что потеря симметрии эллипса происходит за счет однократного действия кулоновской силы на начальном участке траектории электрона, сразу после выхода из-под барьера. Показано, что не следует ожидать значительного эффекта нарушения симметрии в случае ионизации из короткодействующего потенциала.

Разработана методика расчета для обобщенной модели Келдыша с эллиптически поляризованным полем, позволяющая получить замкнутые выражения для распределений перерассеянных электронов и интерпретировать их в терминах взаимодействия расплывающегося волнового пакета с родительским ионом. Рассчитаны интерференционная структура спектра и степень асимметрии угловых распределений в зависимости от эллиптичности и других параметров лазер - атомного взаимодействия. Найдено значение эллиптичности, начиная с которого имеет место существенное отличие распределений от случая линейно поляризованного поля. Впервые исследовано влияние формы потенциала электрон-ионного взаимодействия на угловые распределения электронов, испытавших перерассеяние. Показано, что взаимодействие, моделируемое экранированным кулоновским потенциалом, приводит к существенно большей асимметрии угловых распределений, чем взаимодействие, моделируемое потенциалом нулевого радиуса.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в работе формулы для импульсного распределения прямой ионизации линейно поляризованным полем могут быть использованы при описании эффектов генерации высоких гармоник лазерной частоты и коррелированной двойной ионизации.

Впервые выяснен механизм нарушения четырехкратной симметрии в импульсных распределениях прямой надпороговой ионизации атомов эллиптически поляризованным лазерным излучением. Результаты расчетов демонстрируют хорошее качественное согласие с данными эксперимента. Разработанная модель кулоновского торможения может быть обобщена на многочастичные системы, такие как молекулы или кластеры.

Результаты расчета спектрально-угловых распределений фотоэлектронов в области высокоэнергетического плато надпороговой ионизации сильным эллиптически поляризованным полем качественно согласуются с экспериментальными данными. Выполненные в работе вычисления открывают возможность для альтернативного, не связанного с интерференцией между прямыми и перерассеянными электронами, объяснения результатов эксперимента.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ [66-82].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы на 93 наименования. В работе приведено 24 рисунка. Общий объем диссертации составляет 115 страниц.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему:

- В приближении Келдыша методом перевала получены относительно простые замкнутые аналитические выражения для спектрально-углового распределения вероятности ионизации сильным, линейно поляризованным лазерным полем, применимые при произвольных значениях энергии электрона и параметра адиабатичности. В области малых энергий полученные формулы переходят в ранее известные результаты.

- Разработана простая полуклассическая модель нарушения четырехкратной симметрии в угловых распределениях прямой надпороговой ионизации атомов в эллиптически поляризованном поле -модель кулоновского торможения. Обнаружено, что потеря симметрии эллипса вызвана малой по величине кулоновской силой, тормозящей ионизованный электрон в окрестности классической точки поворота, сразу после выхода из-под барьера. При промежуточных эллиптичностях результаты расчетов согласно модели кулоновского торможения находятся в хорошем качественном согласии с данными эксперимента.

- В туннельном режиме обобщенной модели Келдыша рассчитаны спектрально-угловые распределения фотоэлектронов на высокоэнергетическом плато надпороговой ионизации сильным эллиптически поляризованным лазерным полем. Найдено, что при фиксированной энергии и эллиптичности угловое распределение состоит из двух максимумов различной высоты, разделенных отчетливым минимумом. Это качественно согласуется с экспериментальными данными. Выполненные расчеты открывают возможность для альтернативного, не связанного с интерференцией между прямыми и перерассеянными электронами, объяснения результатов эксперимента. Показано, что взаимодействие электрона с ионом, моделируемое экранированным кулоновским потенциалом приводит к существенно большей асимметрии угловых распределений, чем взаимодействие, моделируемое потенциалом нулевого радиуса.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю, профессору Сергею Павловичу Гореславскому за постоянное внимание и неоценимую помощь в работе над диссертацией, полезные советы и замечания при ее написании. Отдельную благодарность автор выражает доценту Сергею Васильевичу Попруженко, в тесном сотрудничестве с которым были получены некоторые из представленных результатов.

108

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. J1.B. Келдыш, Ионизация в поле сильной электромагнитной волны, ЖЭТФ, 47, 1945-1956 (1964).

2. P. Agostini, F. Fabre, G. Mainfray, G. Petite et al., Free-free transitions following six-photon ionization of xenon atoms, Phys. Rev. Lett., 42, 1127-1130(1979).

3. N.B. Delone and V.P. Krainov, Multiphoton processes in atoms, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1994).

4. M.V. Fedorov, Atomic and free electrons in a strong light field, World Scientific, Singapore (1998).

5. Н.Б. Делоне, В.П. Крайнов, Нелинейная ионизация атомов лазерным излучением, Москва, Физматлит (2001).

6. L.F. DiMauro and P. Agostini, Advances in Atomic, Molecular, and Optical Physics, 35, 79(1995).

7. Н.Б. Делоне, В.П. Крайнов, Туннельная и надбарьерная ионизация атомов и ионов в поле лазерного излучения, УФН, 168, 531-549 (1998).

8. W. Becker, S. Grasbon, R. Kopold, D.B. Milosevic et al., Above-threshold ionization: from classical features to quantum effects, Advansec in Atomic, Molecular, and Optical Physics, 48, 35-98 (2002).

9. B.C. Попов, Туннельная и многофотонная ионизация атомов сильным лазерным полем, УФН, 174, 921 (2004).

10. D.E. Spence, P.N. Kean, and W. Sibbert, Opt. Lett., 16, 42 (1991).

11. B. Sheehy, R. Lafon, M. Widmer, B. Walker et al., Single- and multiple-electron dynamics in strong-field tunneling limit, Phys. Rev. A, 58, 3942-3952(1998).

12. G.G. Paulus, W. Nicklich and H. Walther, Europhys. Lett., 27, 267 (1994).

13. G.G. Paulus, W. Nicklich, H. Xu, P. Lampropoulos et al., Phys. Rev. Lett., 72, 2851 (1994).

14. В. Yang, K.J. Schafer, В. Walker, K.C. Kulander et al., Phys. Rev. Lett., 71, 3770(1993).

15. L.F. DiMauro, K.C. Kulander, and P. Agostini, in Super-intense laser-atom physics IV, ed. by H.G. Muller and M.V. Fedorov, 97 (1995).

16. M.J. Nandor, M.A. Walker, L.D. Van Woerkom, H.G. Muller, Phys. Rev. A, 60, R1771 (1999).

17. E. Cormier and P. Lambropoulos, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 30, 77 (1997).

18. P. Lambropoulos, P. Maragakis, E. Cormier, Las. Phys., 8, 625 (1998).

19. M. Nurhuda and F.H.M. Faisal, Phys. Rev. A, 60, 3125 (1999).

20. H.G. Muller, Las. Phys, 9, 138 (1999).

21. P.B. Corkum, N.H. Burnett, and F. Brunei, Phys. Rev. Lett, 62, 1259 (1989).

22. P.B. Corkum, Plasma prospective on strong-field multiphoton ionization, Phys. Rev. Lett, 71, 1994-1997 (1993).

23. G.G. Paulus, W. Becker, W. Nicklich and H. Walther, Rescattering effects in above-threshold ionization: a classical model, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys, 27, L703-L708 (1994).

24. J.L. Krause, K.J. Schafer, and K.C. Kulander, Phys. Rev. Lett, 68, 3535 (1992).

25. А.И. Никишов, В.И. Риту с, Ионизация систем, связанных короткодействующими силами, полем электромагнитной волны, ЖЭТФ, 50, 255-270(1966).

26. A.M. Переломов, B.C. Попов, М.В. Терентьев, Ионизация атомов в переменном электрическом поле I, ЖЭТФ, 1393-1409 (1966).

27. F.H.M. Faisal, J. Phys. В: At. Mol. Opt. Phys, 6, L89 (1973).

28. H.R. Reiss, Phys. Rev. A, 22, 1786 (1980).

29. D.M. Wolkov, Uber eine Klasse von Losungen der Diracschen Gleichung, Z. Phys. B, 94, 250(1935).

30. Д.М. Волков, Электрон в поле плоских неполяризованных электромагнитных волн с точки зрения уравнения Дирака, ЖЭТФ, 7, 1286-1289(1937).

31. М.Ю. Кучиев, Атомная антенна, Письма в ЖЭТФ, 45, 319 (1987).

32. М. Lewenstein, Ph. Balcou, M.Yu. Ivanov, A. L'Huilier, et al., Theory of high-harmonic generation by low-frequency laser field, Phys. Rev. A, 49, 2117-2132(1994).

33. M. Lewenstein, K.C. Kulander, K.J. Schafer and P.H. Bucksbaum, Rings in above-threshold ionization, Phys. Rev. A, 51, 1495-1507, (1995).

34. A. Lohr, M. Kleber, R. Kopold, and W. Becker, Above-threshold ionization in the tunneling regime, Phys. Rev. A, 55, R4003-R4006 (1997).

35. С.П. Гореславский, C.B. Попруженко, Туннельный предел в теории перерассеяния фотоэлектронов родительским ионом, ЖЭТФ, 117, 895905 (2000).

36. С. Leubner, Uniform asymptotic expansion of a class of generalized Bessel functions occurring in the study of fundamental scattering processes in intense laser fields, Phys. Rev. A, 23, 2877-2890 (1981).

37. H.R. Reiss, Prog. Quantum Electron., 16, 1 (1992).

38. С.П. Гореславский, C.B. Попруженко, Дифференциальные распределения фотоэлектронов в эллиптически поляризованном сильном низкочастотном лазерном поле, ЖЭТФ, 110, 1200-1215 (1996).

39. B.C. Попов, Туннельная и надбарьерная ионизация атомов в поле лазерного излучения, ЖЭТФ, 118, 56-76 (2000).

40. В.Д. Мур, С.В. Попруженко, B.C. Попов, ЖЭТФ, 119, 893-905 (2001).

41. G.F. Gribakin and М. Yu. Kuchiev, Multiphoton detachment of electrons from negative ions, Phys. Rev. A, 55, 3760-3771 (1997).

42. G.G. Paulus, F. Zacher, H. Walther, A. Lohr et al., Above-threshold ionization by an elliptically polarized field: quantum tunneling interferences and classical dodging, Phys. Rev. Lett., 80, 484-487 (1998).

43. M.V. Frolov, N.L. Manakov, E.A. Pronin, and A.F. Starace, Strong field detachment of a negative ion with non-zero angular momentum: application to F', J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 36, L419-L426 (2003).

44. Yu. Kiyan and H. Helm, Production of energetic electrons in the process of photodetachment of F~, Phys. Rev. Lett., 90, 183001(1)-183001(4) (2003).

45. V.P. Krainov, High-energy electron spectra of atoms undergoing direct tunneling ionization by linearly polarized laser radiation, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 36, L169-L172 (2003).

46. M. Bashkansky, P.H. Bucksbaum, and D.W. Schumacher, Above-threshold ionization with elliptically polarized field, Phys. Rev. Lett., 59, 274-277 (1987).

47. M. Bashkansky, P.H. Bucksbaum, and D.W. Schumacher, Asymmetries in above-threshold ionization, Phys. Rev. Lett., 60, 2458-2461 (1988).

48. S. Basile, F. Trombetta, G. Ferrante, Twofold symmetric angular distributions in multiphoton ionization with elliptically polarized light, Phys. Rev. Lett., 61, 2435-2437 (1988).

49. J.Z. Kaminski, A. Jaron, F. Ehlotzky, Coulomb effects in multiphoton above-threshold ionization, Phys. Rev. A, 53, 1756-1760 (1996).

50. A. Jaron, J.Z. Kaminski, F. Ehlotzky, Asymmetries in the angular distributions of above threshold ionization in an elliptically polarized laser field, Opt. Comm., 163, 115-121 (1999).

51. P. Krstic and M.H. Mittelman, Phys. Rev. A, 44, 5938 (1991).

52. P. Lambropoulos and X. Tang, Comment on "Asymmetries in above-threshold ionization", Phys. Rev. Lett., 61, 2506 (1988).

53. W. Becker, M. Kleber, A. Lohr, G.G. Paulus et al., Electron spectra of above-threshold ionization in elliptically polarized laser fields, Las. Phys., 8, 56-68 (2000).

54. G.G. Paulus, F. Grasbon, A. Dreischuh, H. Walther et al., Above-threshold ionization by an elliptically polarized field: interplay between electronic quantum trajectories, Phys. Rev. Lett., 84, 3791-3794 (2000).

55. B. Borca, M.V. Frolov, N.L. Manakov, and A.F. Starace, Threshold effects on angular distributions for multiphoton detachment by intense elliptically polarized light, Phys. Rev. Lett., 87, 133001(1)-133001(4) (2001).

56. A.M. Переломов, B.C. Попов, M.B. Терентьев, Ионизация атомов в переменном электрическом поле II, ЖЭТФ, 51, 309-326 (1966).

57. F. Dulieu, С. Blondel, and С. Delsart, J. Phys. В: At. Mol. Opt. Phys., 28, 3861 (1995).

58. A.M. Переломов, B.C. Попов, Ионизация атомов в переменном электрическом поле III, ЖЭТФ, 52, 514-526 (1967).

59. N.L. Manakov, M.V. Frolov, В. Borca, and A.F. Starace, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 33, R141 (2000).

60. R. Kopold, D.B. Milosevic, and W. Becker, Phys. Rev. Lett., 84, 3831 (2000).

61. W. Becker, A. Lohr, M. Kleber, Light at the end of the tunnel: two- and three step models in intense field-laser-atom physics, Quantum Semiclass. Opt., 7, 423-448 (1995).

62. C. Figueira de Morisson Faria, H. Schomerus and W. Becker, Phys. Rev. A, to be published (2002).

63. P. Dietrich, N.H. Burnett, M. Ivanov, P.B. Corkum, High-harmonic generation and correlated two-electron multiphoton ionization with elliptically polarized light, Phys. Rev. A, 50, R3585-R3588 (1994).

64. R. Kopold and W. Becker, Quantum path in above-threshold ionization for elliptical polarization, in Multiphoton Processes, ICOMP VIII, edited by L.F. DiMauro, R.R. Freeman and K.C. Kulander, 11-23 (2000).

65. M.V. Frolov, N.L. Manakov, B. Borca and A.F. Starace, 11-th International Laser Physics Workshop LPHYS'02, Bratislava, Book of Abstracts, 64 (2002).

66. N.I. Shvetsov-Shilovski, S.V. Popruzhenko, and S.P. Goreslavski, Asymmetric emission of rescattered photoelectrons in intense laser field with elliptical polarization, Las. Phys, 13, 1054-1063 (2003).

67. S.P. Goreslavski, G.G. Paulus, S.V. Popruzhenko, and N.I. Shvetsov-Shilovski, Coulomb asymmetry in above-threshold ionization, Phys. Rev. Lett, 93, 233002(l)-233002(4) (2004).

68. С.П. Гореславский, C.B. Попруженко, Н.И. Швецов-Шиловский, O.B. Щербачёв, Спектр надпороговой ионизации в сильном линейно поляризованном поле, ЖЭТФ, 127, 27-36 (2005).

69. Н.И. Швецов-Шиловский, С.П. Гореславский, С.В. Попруженко, Угловые распределения перерассеянных фотоэлектронов в эллиптически поляризованном поле, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2002, 5, 213-214 (2002).

70. Н.И. Швецов-Шиловский, С.П. Гореславский, C.B. Попруженко, Особенности угловых распределений перерассеянных фотоэлектронов в поле с эллиптической поляризацией, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2003, 5, 192-193 (2003).

71. N.I. Shvetsov-Shilovski, S.P. Goreslavski, Analytic description of the direct ionization spectrum, 12-th International Laser Physics Workshop LPHYS'03, Hamburg, Book of Abstracts, 132 (2003).

72. S.P. Goreslavski, S.V. Popruzhenko, N.I. Shvetsov-Shilovski, Ionization by strong elliptically polarized field: semiclassical insight into symmetries, 12th International Laser Physics Workshop LPHYS'03, Hamburg, Book of Abstracts, 133 (2003).

73. С.П. Гореславский, Н.И. Швецов-Шиловский, О.В. Щербачев, Спектр прямой надпороговой ионизации в сильном линейно поляризованном поле, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2004, 5, 158-1592004).

74. Н.И. Швецов-Шиловский, С.П. Гореславский, С.В. Попруженко, О кулоновском механизме нарушения симметрии в спектрах надпороговой ионизации атомов, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2004, 5, 208-209 (2004).

75. Н.И. Швецов-Шиловский, Асимметрия угловых распределений надпороговой ионизации атомов в эллиптически поляризованном поле: эксперимент и теория, XL VII конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, Труды конференции, Часть III, 78-79 (2004).

76. С.П. Гореславский, Н.И. Швецов-Шиловский, Кулоновское торможение фотоэлектронов при надпороговой ионизации атомов, Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2005, 5, 268-2692005).

77. E.A. Волкова, A.M. Попов, O.B. Тихонова, ЖЭТФ, 120, 1336 (2001).

78. G.M. Fraiman, A.A. Balakin, and V.A. Mironov, Coherent effects of ion-electron collisions in a strong laser field, Physics of plasmas, 8, 2502-2509 (2001).

79. R. Moshammer, J. Ullrich, B. Feuerstein et al., Phys. Rev. Lett., 91, 1130022003).

80. J. Chen and C.H. Nam, Ion momentum distribution for He single and double ionization in strong laser fields, Phys. Rev. A, 66, 053415 (2002).

81. K.I. Dimitriou, D.G. Arbo, S. Yoshida, et al., Phys. Rev. A, 70, 061401(R)2004).

82. M.V. Frolov, N.L. Manakov, E.A. Pronin, and A.F. Starace, Model-independent quantum approach for intense laser detachment of a weakly bound electron, Phys. Rev. Lett., 91, 053003 (2003).

83. D. Bauer, D.B. Milosevic, and W. Becker, Strong-field approximation for intense laser-atom processes: the choice of gauage, Phys. Rev. Lett., to be published.

84. H.JI. Манаков, А.Г. Файнштейн, Распад слабосвязанного уровня в монохроматическом поле, ЖЭТФ, 79, 751 (1980).

85. S.P. Goreslavskii and S.V. Popruzhenko, Rescattering and quantum interference near the classical cut-offs, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 32, L531-L538 (1999).

86. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Квантовая механика Москва, Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. (1989).

87. W. Brand and М. Kitagawa, Phys. Rev. В., 25, 5631 (1982).