Турренльный предел в теории надпороговой ионизации и перерассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

. На правах рукописи

ГГ&'.-ОЙ.

ПОПРУЖЕНКО Сергей Васильевич : ТУННЕЛЬНЫЙ ПУЕДЕЛ В ТЕОРИИ 11ЛЛПОРОГОВОЙ ИОНИЗАЦИИ

Москва-2000

Работа выполнена в Московском государственном инжсисрпо-фпшчсском институте (техническом университете).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, - .

профессор Горсславский СЛ.

Официальные оппоненты: доктор фтикв-математлчеекмх наук,

профессор Попов A.M. доктор физико-математических наук, профессор Федоров М.В. - ^

Ведущая организация: Московский фщпко-тсмшчсскин институт, кафедр: теоретической физики.

■;-■ Защита состоится _21 июня 2000 г. в /г часов на чассланин ■ ' ■ . диссертационного совета К.053.03,01 в МИФИ но адресу: 115409, Москва,' Каширское шоссе, д.31, тел. (095)323-91-67, 324-84-98. ^

С диссертацией можно ознакомится и библиотеке МИФИ.

- . - . -

Автореферат рачослан >.? ¿«к 2000г.

Просим принять участие в paikne совета или прислать отзыв в одном : экземпляре, заверенный печатью организации. • .

И.А. Руднев ; Тираж ЮОэю.

834'$, % Оъ. :

Подписано в печать/^. 04. 2060 :.'-/, Заказ 26S Типография МИФИ, Каширское шоссе, 31.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. .

Актуальность темы. В последнее девятилетие исследования взаимодействия мощного лазерного излучения с атомами и молекулами продвинулись область интенснвностей 1014 -10** Вт/смВблизи верхней границы этого диапазона напряженность электрического поля лазерной волны существенно превосходит атомную. Взаимодействие столь интенсивных электромагнитных полей с •полированными квантовыми системами (атомами, ионами, молекулами, ; кластерами): сопровождается целым рядом нелинейно-оптических явлений, из которых наибольший интерес привлекают надпороговая ионизация (поглощение фотоэлектроном большего, чем необходимо для выхода в континуум, числа; квантов лазерного пола), генерация высоких гармоник лазерното излучения и многократная ионизация в результате прямого действия !10ля (п отсутствие типичных для плазмы столкновительных механизмов).

Первое ->кснериме»гталыю<5. наблюдение - иадпорогового ' спектра фотоэлектронов относится к 1979 году (Р.Лвох^ш л а1.). В настоящее время шачителыюечисло исследовательских лабораторий во всём мире продолжает интенсивное изучение как собственно надпороговой ионизации, так и других скичанныхс ней нелинейных оптических эффектов. Исследование этого круга явлений ■ позволяет достичь более полного понимания физики электрон -.атомного взаимодействия в присутствии сильного электромапштного поля й •поэтому представляет несомненный ооикфизический интерес. Кроме того, изучение надпороговой. ионизации и генерации ' высоких гармоник представляется важным и в прикладном аспекте: спектр фотоэлектронов и заряд иона, возникающие в элементарном акте, ионизации, важны для исследований лазерной плазмы; Генерация гармоник высокого порядка рассматривается как . перспективныйметод получения ультракоротких импульсов когерентного коротковолнового излучения с перестраиваемой частотой. Создание источников такого излучения достаточной мощности обесиечит существенный прогресс н медицине, биологии и микроэлектронике.

■ Теоретические исследования явления надпороговой ионизации интенсивно развиваются уже более тридцати лет, беря начало с пионерской работы Л.В.Келдыша (1964). Однако, существенный прогресс в лазерной технике, наблюдавшийся в последние годы, привел к накоплению большого числа новых экспериментальных результатов, для интерпретации и описания которых требуется улучшение и обобщение существующей теории. В частности, совершенствование техники эксперимента и расширение диапазона доступных интенспвностей лазеров сделало возможным-детальное изучение поляризационных и интерференционных явлений в спектрах надпороговой ионизации. В последние годы была также исследована, высокоэнернггическая часть спектра надпороговой ионизации (В.Уапц е1 а1., 1993, С.СЛ'аЫда ^ а!., 1994), формирующаяся за счет эффекта нерераесеяния фотоэлектрона на родительском ионе с поглощением большого числа квантов лазерного поля.

В имеющейся на сегодняшний день научной литературе, посвященной исследованию надпороговой ионизации, слабо затронуты вопросы, относящиеся к зависимости спектров и угловых распределений фотоэлектронов от поляризации лазерного поля. Отсутствует простая аналитическая теория, описывающая вклад перерассеяння в спектры надпороговой ионизации. 0 рамках известных подходов, основанных на модельных численных расчетах, не удается исследовать зависимость формы и интерференционной структур), спектров перерассеяния от параметров паля и атома, что затрудняет формулировку ясной физической картины явления и делает невозможны\ выполнение количественных оценок при подготовке и проведенш экспериментов.

Отметим также, что большая части современных экспериментов направленных па исследование надпороговой ионизации, осуществляется I условиях туннельного режима ионизации, определяемого неравенство»

у = лЩю/Г<1;(здесь / - потенциал ионизации квантовой системы, а и /\: частота . и напряженность электрического поля лазерной волны). Эт»

обстоятельство привлекает повышенное внимание к теоретическим результатам, относящимся к ионизации в туннельном режиме. ~

Таким образом, разработка простой аналитической квантовой теории надпороговой ионизации (включая перерассеяние) в сильных низкочастотных лазерных полях представляется одной из наиболее- актуальных задач современной физики взаимодействия лазерного излучения с веществом. Цель- диссертации: развить простую аналитическую теорию надпороговой ионизации атомов в туннелыюй режиме, приспособленную для описания поляризационных /эффектов в спектрально-угловых распределениях фотоэлектронов и позволяющую учесть вклад в спектры ионизации, ; возникающий от церерассеяния электронов на родительском ионе. , Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты.

. Рассчитано импульсное распределение фотоэлектронов при ионИзации системы, связанной полем короткодействующих сил, сильной эллиптически поляризованной лазерной волной, применимое при произвольном значении параметра эллиптичности £ и в случае малых и средних эллиптичностей совпадающее с полученным ранее (А.М.Переломов и др. 1967).

Рассчитаны угловые распределения и спектры фотоэлектронов в сильном эллиптически поляризованном лазернрм поле. Подробно исследован эффект вытягивания углового распределения фотоэлектронов при промежуточных значениях параметра эллиптичности в ; . направлении, поперечном максимальному электрическому полю.

Получен переход к статическому (<у-> 0) пределу в импульсном распределении фотоэлектронов. Найдено, распределение фотоэлектронов по мгновенным скоростям в момент ионизации сильным низкочастотным эллиптически поляризованным лазерным полем. Установлен статус и.условия применимости феноменологической двухступенчатой модели фотоионизации (Р.В.Согкит, 1989). ■/ - - :

Рассчитана пространственно-временная структура волнового пакета фотоэлектрона в процессе туннельной ионизации в переменном электрическом поле. ' " .' ' •■•"'•'. ; .."•■"■'.■■*' ''V'. .-'."-'' ■ '

• В режиме оптического туннелирования рассчитаны спектрально-угловые распределения фотоэлектронов, перерассеянных родительским ионом. Исследованы зависимости формы, абсолютной величины и интерференционной структуры спектра от параметров поля и атома. Установлен механизм интерференции в высокоонергетнческой .части спектра. Определены характерные параметры интерференционной ' Структуры, сформулированы условия, необходимые для ее наблюдения. Vy^y.v'y*. ' i , :

' Результаты' квантово-механических . расчетов . /.спекгралыю-умових распределений. перерассеянных ; электронов переформулированы .в,. виде, удобном "для. сравнения с феноменологической трехступенчатой, моделыо ионизации (W.Becker, 1994), Показано, что последняя хотя и верно определяет положение классической границы спектра, за которой распределения быстро убывают, но сама"становится неприменимой в окрестности этой границы. ■ Научная и практическая значимость работы. Развитый в диссертации временной подход к вычислению амплитуды фотономизащш и полученное на его основе интегральное представление для этой амплитуды могут? быть использованы как удобный и эффективный вычислительный аппарат для аналитического расчета вероятности излучения высоких гармоник и миогоэлектронной ионизации в сильном лазерном поле.

Результаты расчетов спектрально-угловых . распределений фотоэлектронов в сильном низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле находится в качественном согласии с данными недавних экспериментов. Расчеты, выполненные в рамках развитой в диссертации квазиклассической теории перерассеяния, демонстрируют хорошее количественное согласие с многочисленными экспериментальными данными,

полученными на атомах инертных газов с использованием лазерных полей интенсивностью Ю14 -1015 Вт/см2.

Простота полученных аналитических ' выражений для спектрально-угловых распределений фотоэлектронов перерассеяния делает их удобными для выполнения , теоретических оценок, необходимых при подготовке экспериментов и анализе их результатов. Результаты расчетов спектрально-углобых распределений электронов в процессах прямой надпороговой ионизации и перерассеяния могут быть положены в основу численного моделирования процессов, возникающих в плазме в присутствии сильного лазерного поля. " , ■

. Основные положения, выносимые на защиту.

1; Результаты расчетов импульсного распределения фотоэлектронов в сильном низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле,

:: обеспечивающие предельный переход к случаю циркулярной поляризации.

2. Аналитические выражение для углового, распределения и спектра фотоэлектронов в сильном эллиптически поляризованном лазерном поле.

3. Распределение фотоэлектронов по скоростям в момент ионизации сильным эллиптически поляризованным лазерным полем.

4. Результаты расчета пространственно-временной структуры волнового пакета фотоэлектрона в сильном линейно поляризованном лазерным поле.

5. Аналитические выражения для импульсного распределения фотоэлектронов перерассеяния, рассчитанные ' с учетом интерференционных эффектов

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 9 работ (см. список в конце- автореферата). Основные результаты докладывались на 7-ой Международной конференции по многофотонным процессам (Германия, Гармиш-Партенкирхен, 1996), 4-ой Международной конференции пр квантовой оптике (Польша^ Жазовиек, 1997), 6-ой - 8-ой Международных конференциях по лазерной физике (Чехия, 1997, Германия, 1998, ВёНГрИЯ, 4999), |4'Ой

Международной конференции по когерентной и нелинейной оптике (Россия, Москва, 1998), конференциях «Фундаментальная Атомная Спектроскопия» и Научных' Сессиях МИФИ. Представленные в диссертации результаты неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре по физике многофотонных процессов в ИОФРАН. , Г

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и ¿писка литературы из 70 источников. Общий объем диссертаций - 74 страницы, включая II рисунков. • >..•" . . • / _: V

:; ' ■. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. . ! Ч ••

В начете работы ' обосновывается актуальность' . .выбора :темы исследования. Дан краткий обзор накопленного к настоя1Цс>1у .времени экспериментального материала. Изложены теоретические подходы к описанию надпороговой ионизации и перерассеяния. В рамках обсуждаемой тематики указаны проблемы, недостаточно разработанные или вовсе не затронутые и работах других авторов, решение которых изложено в диссертации. Приведены аргументы в пользу применения единого подхода к описанию прямой надпороговой ионизации и персрассеяния. -

Кратко изложен метод нахождения амплитуды фотоиоиизацин в поле сильной лазерной волиы, впервые предложенный ДВ. Келдышем (1964) и основанный на приближении волновой функции конечного состояния электрона в континууме плоской волковской волной без учета влияния атомного потенциала. Вычисление этой амплитуды в случае лазерного поля с произвольной эллиптической поляризацией £ проведено в условиях туннельного режима ионизации, когда параметр ади&батичности у = у/21а/Р«\. Поскольку в туннельном режиме ионизация происходит с

поглощением большого (л^/7 /тЬ<о »1) числа квантов, разложение амплитуды в ряды по обобщенным функциям -Бесселя оказывается

. неэффективным, и для расчетов используется метод вычисления быстро осциллирующего интеграла, основанный на разложении фазы вблизи нуля второй ее производной.

Положение стационарной точки интеграла связано с каноиическим импульсом р электрона на бесконечности трансцендентным ураинением, для которого найдено приближенное интерполяционное решение. Использование : этого решения позволяет полечить замкнутое аналитическое выражение для спектрально-углового распределения фотоэлектронов. Полученные формулы совпадают с известными ранее предельными случаями линейной и круговой поляризации ^¿зерного поля, а также с выражениями, описывающими распределение при поляризации, не очень ■ близкой к Циркулярной (А.М.Переломов и др., 1967).

,; Основное преимущество полученных выражений состоит в том, что они . ; адекватно. онисываюг распределения фотоэлектронов при любых значениях vэллиптичности ii, благодаря своей простоте, позволяют проследить эволюцию спектров и'угловых1 распределений при изменении поляризации поля от . линейной до- циркулярной.. Исследование углового распределения показывает, что в широком интервале эллнптичиостен л/7*<¿j<\-F, где- F«I -напряженность электрического поля, выраженная в атомных единицах, угловое . распределение оказь!вается вытянутым в направлении, поперечном максимальному электрическому полю (А.М.Переломов и др. 1967).

Проведено сравнение рассчитанных угловых распределений с экспериментальными данными (D.D.Meyerhofer et. al., 1997), относящимися к туннельной ионизации атомов неона. Результаты сравнения позволяют утверждать,-что полученные в диссертации выражения по крайней мере качественно согласуются с данными эксперимента.

Далее полученные выражения для спектрально-угловых распределений электронов переписаны таким образом, что независимыми переменными в них становятся вещественная часть стационарной точки интеграла, определяющего

амплитуду ионизации и поперечная электрическому, полю составляющая мгновенной скорости электрона в момент выхода из-под потенциального

1 е - • • - ■'■■''■ "'"•'- -•• ''.V-- ' -'■■'' ■

барьера $ = —(р—Д'о))- Полученный результат представляет собой"

т с ... -' V: ". ■'" "*-' .,'■'••

распределение фотоэлектронов по скоростям в момент ионизации. Примечательно, что это распределение г резко анизотропное — оно сосредоточено в" плоскости," перпендикулярной мгновенному направлению-поля. Этот результат находится в разительном противоречии с известными модификациями феноменологической, модели фотоионизации (О.О.МеуегЬоГег е1 а1., 1997), в которЬй данное распределение предполагается полностью изотройным. • •''■' -о.-'

После интегрирования по поперечным скоростям получается вероятность ионизации, как функция «момента» ионизации /„V причем эта вероятность в .точности совпадает с вероятностью ионизации статическим полем с напряжённостью, равной напряженности переменного поля в «момент» )а:

—^^^Д^Оо)) (I)

щ - .- : .. '...;.

Таким образом, получает обоснование предложенный ранее (А.М.Переломов, и др., 1966) адиабатический подход к вычислению полной вероятности ионизации в медленно меняющемся поле

Щоп=и*оК,№<))} (2) ' ^

■ г ■ - .. ■•.. V ..•

Следующая глава диссертации посвящена . исследованию пространственно-временной структуры волновой функции фотоэлектрона в процессе туннельной ионизации в переменном электрическом поле. Рассмотрение ограничено в основном случаем линейной поляризации. Для эллиптически поляризованного поля приведены лишь оценки, -ц

Пространственно - временная картина процесса фотоионизации описывается волновой функцией:

ю

Z(r,t) = ^X(p,t)4>p(r,t) (3) '

где Ур - плоские волковские волны, a %(p,t) - зависящая от времени амплитуда фотойонизации' в состоянии с определенным каноническим импульсом р. Суммирование в (3) выполняется аналитически благодаря использованию полученного здесь же интегрального представления для амплитуды фотоионизации z(PJ) •

Анализ полученных результатов показывает, что в туннельном режиме ; волновая функция ионизованного электрона представляет собой суперпозицию волновых пакетов, каждый из которых возникает на отдельном оптическом полупериоде вблизи '.-границы' потенциального барьера, создаваемого электрическим полем. Пакет формируется за малое по сравнению с периодом лазерного поля время r»w"'i/F. В процессе выхода из-под потенциального , барьера пакет имеет резко асимметричную форму, быстро затухая в подбарьерпую область-и плавно спадая в противоположном направлении. В течении всего времени формирования .максимум волновой функции расположен на границе потенциального барьера, а профиль волнового пакета имеет ярко выраженную 'интерференционную структуру. После окончания /процесса формирования, когда потенциальный барьер закрывается, пакет ( . начинает" колебательное движение вдоль направления электрического поля и быстро приобретает гауссову форму.

. ' Сформировавшийся пакет колеблется в электрическом поле и расплывается, причем скорость его расплывания вдоль электрического поля

превышает скорость поперечного расплывания в раз (напомним, что туннельный режим определяется условием у «I). В линейно поляризованном поле дрейфовая скорость пакета равна нулю, и он испытывает неограниченное число возвратов к родительскому атому. В тоже время, поскольку продольное расплывание пакета происходит быстро, уже через

m4f периодов после

выхода из-под барьера его продольная ширина.' превышает амплитуду колебаний лазерном поле. Таким образом, колебательное движение волнового пакета довольно быстро сменяется «дрожанием» вблизи положения равновесия.. В эллиптически поляризованном поле каждый парциальный пакет обладает дрейфовым импульсом равным по величине и направленным вДоль

малой оси эллипса поляризации. На следующем оптическом полупериоде, когда направление электрического поля сменяется на противоположное,; формируется такой же по форме волновой пакет, который движется в противоположном направлении. /. ; , : V

Построенная в диссертации пространственно-временная картина7 эволюция волновой функции фотоэлектрона подтверждает«? результатами недавних численных расчетов (Н.С.МиНег, 1999). ¡' ^

Последняя глава диссертации посвящена теории перерассеяния фотоэлектрона родительским ионом в туннельном режиме. Излагается итерационная процедура вычисления амплитуды ионизации:

Х(Р)=хо(Р)+Х\(Р)+- ; ; ; V (4)

Нулевой член ряда представляет собой амплитуду прямой надпороговой ионизации (Л.В.Келдыш, 1964). Следующее слагаемое описывает вклад в спектры ионизации, возникающие при однократном взаимодействии фотоэлектрона с родительским ионом - псрерассеянии:

• (5) ;

Здесь I!сц и Ует - операторы взаимодействия электрона с родительским ионом и лазерным полем соответственно.

В туннельном режиме ряд (4) сходится быстро (интегральное по всем импульсам отношение квадратов модулей амгшитуд Х\ й Хо пропорционально

¿Ту6«1), что оправдывает применение, итерационной процедуры и позволяет ограничится в (4) двумя членами.

" Амплитуда перерассеяния (5) вычисляется в замкнутом аналитическом Виде с использованием интегрального представления для амплитуд нулевого приближения ZoiP'O* полученного во второй главе диссертации. Анализ полученныхвыражений показывает, что спектр перерассеяния состоит из двух участков с существенно различными свойствами. Внутренняя часть спектра в ¡случае рассеяния электронов вдоль направления действия поля простирается до

- средняя колебательная энергия электрона в линейно поляризованном поле). Здесь спектр описывается стандартными квазиклассическими . выражениями, которые в точности совпадают с . результатами классической трехступенчатой модели перерассеяния (W.Becker, 1994). Внешняя часть спектра, прилегающая к его классической границе характеризуется существенно L неклассическим поведением. Для расчета спектрально-угловых распределений в этой области импульсного пространства применяется оригинальная методика вычисления двойного интеграла, определяющего амплитуду перехода, в области, где квадратичное разложение фазы вблизи стационарной точки недостаточно и приводит к появлению сннгуляриостей.

• Формулы, описывающие спектр перерассеяния в середине плато и вблизи его классической границы, аналитически сшиваются в промежуточной области. : ;. i : На: основе полученных выражений рассчитывается интерференционная струетура, спектра перерассеяния на всем плато, • включая окрестность классической границы. В аналитической форме получен скейлйпг параметров интерференционной структуры от характеристик лазерного излучения и атома. Показано, что в середине плато характерный размер интерференционной структуры спектра (расстояние между соседними интерференционными максимумами) составляет Sc¡ = (7-8)ft«>, то есть зависит только от энергии кванта лазерного поля. Вблизи классической границы спектра параметр интерференционной структуры другой - 5е2=и^у (fia)2 /3. Обсуждается

возможность экспериментального.наблюдения интерференции. Показано, что из-за" неизбежного усреднения спектров вследствие нрострапствснио-временнон неоднородности лазерного импульса интерференционная картина и середине плато не наблюдаема. В то же время, расчеты показывают,' что существует принципиальная возможность наблюдения интерференционных осцилляции вблизи классической границы спектра, где они оказываются наиболее плавными функциями энергии электрона. :

Полученные в данной главе результаты объясняют и лают, количественное описание практически всей совокупности экспериментальных: данных по спектрам персрасссяиия (L-F.DiMauro et аЦ 1996). В частности; показано, что наклон плато с ростом конечной энергии электрона обусловлен влиянием кулоновского сечения рассеяния, относительное понижение плато с ростом интенсивности лазерного ноля —. как уменьшением сечения уирутго рассеяния, так и ростом поперечной ширины волнового пакстафотоэлсктропа а момент его возврата к родительскому иону. Общее повышение эффективности перс рассеяния, наблюдавшееся на атомах тяжелых инертных газов. (Ne, Хс) связано с влиянием атомного остова на элсмещ-арный акт рассеяния электрона.

Кроме того, предсказан эффект отнйсителыюго повышения в (/•'"/ш/; w 3 J' раз вероятности перерассеяния вблизи классической границы спектра.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

. Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации: I. В замкнутом аналитическом виде рассчитаны импульсное, энергетическое и угловое распределения фотоэлектронов в сильном низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном - поле. Полученные результаты применимы при произвольном значении эллиптичности. Детально исследован эффект вытягивания углового распределения в направлении, перпендикулярном максимальному значению электрическому полю

возникающий при промежуточных значениях эллиптичности. Установлены

; значения эллиптичности, при которых указанный эф<]>скт имеет место.

2. Сформулирован статический предел в теории туннельной ионизации.

• Найдено распределение фотоэлектронов по скоростям в момент ионизации

. сильным низкочастотным лазерным полем с произвольной эллиптической поляризацией.

3. В. аналитическом виде рассчитана пространственно-временная эволюция электронного Пол нового паксга в процессе туннельной иоиизацпи атома

. переменным электрическим нолем..

4. 15 туннельном пределе построена простая аналитическая теория перерлсссяния фотоэлектрона родительским ионом, нрименнмая для

. описания исрсрасссяния па реальных атомах.

5. Рассчитана интерференционная структура спектра персрасссяпня.

^С<]юрмулиропаны условия,' при которых возможно экспериментальное

- - наблюдение интерферешиюииой картины.

Г1о диссертации автором опубликовано 9 научных работ:

1. 'Goreslavsliil S.P., Popruzhenko S.V. Momentum Dislribulion оГ Pliotoelectrons in a Strong Low-Frequency Elliptically Polarized Laser Field. // leaser Physics, 1996, vol.6, №4, pp. 780-784.

2. С.П. Горсславский, C.B. Попруженко Дифференциальные распределения фотоэлектронов в эллиптически поляризованном сильном низкочастотном лазерном поле.//ЖЭТФ, 1996, том 110, вып.4(10),стр. 1200-1215.

и

3. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Photoclectron Velocity Distribution at the Time of Ionization by EilipticaJIy Polarized Laser Field. // Laser Physics, 1997,-voI.7,№3, pp. 700-705.

4. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Formation and Aging of Photoclectron Wave Packets in the Tunneling Regime. // Laser Physics, 1998, vol.8, №5, pp. 10131020. ;

5. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Simple quantum theory of the high-energy above-threshold ionization spectrum in the tunneling regime. // Physics Letters Д

1998, vol. 249,pp. 477-482. "... ' - V-^T:

6. Гореславский С.П., Попруженго . C.B., Механизм перерассеянш фотоэлектронов родительский ионом в режиме олтическол туннелировання. Н Письма в ЖЭТФ, 1998, том 68, вып. 12, стр. 862-867. •,.

7. Goreslavskii S.P., PopruzhenkoS.V. Rescattermg andquaniuro interference nea the classical cutoffs. Journal Physics B: At, MoL, Opt, Phys., 1999, v. 32, pf L531-L538. ' .

8. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Photoionizatian with Rescatteiing: Quantun Theory and Sera ¡classical Approach. // Laser Physics,2000, v.10, Ж2, pp.583587.. ....

9. Гореславский СЛ., Попруженко С.В. Туннельный предел в теории перерассеяния фотоэлектрона родительским ионом.//ЖЭТФ, 2000, том 1И вып.5, стр. 895-905. у '