Туннельный предел в теории надпороговой ионизации и перерассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТУННЕЛЬНАЯ ИОНИЗАЦИЯ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИ »

ПОЛЯРИЗОВАННОМ ПОЛЕ

1.1 Приближение Келдыша

1.2. Распределение по импульсам

1.3. Угловые распределения 2 О

1.4. Энергетический спектр

1.5. Статический предел в спектрально-угловом распределении

ГЛАВА 2. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ ФОТОЭЛЕКТРОНА В ПРОЦЕССЕ

ТУННЕЛЬНОЙ ИОНИЗАЦИИ

2.1. Волновая функция ионизованного электрона в координатном представлении

2.2. Волновой пакет в линейно поляризованном поле

2.3. Случай эллиптической поляризации

ГЛАВА 3. ТУННЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ В ТЕОРИИ

ПЕРЕРАССЕЯНИЯ

3.1 Амплитуда перерассеяния в туннельном режиме

3.2. Спектрально-угловое распределение

3.3. Интерференционная структура спектра

3.4. Угловые распределения

3.5. Атомный потенциал и форма спектра

3.6. Полная вероятность перерассеяния

3.7. Трехступенчатая модель ионизации 52 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 55 РИСУНКИ 56 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию процессов иадпороговой ионизации и перерассеяния в сильном низкочастотном лазерном поле. Актуальность направления исследований связана с достигнутым в последнее время ■ существенным прогрессом в технике эксперимента, позволившим более детально изучить спектры и угловые распределения фотоэлектронов и приведшим к открытию ряда новых физических эффектов, непосредственно связанных с процессом надпороговой ионизации.

Само явление надпороговой ионизации состоит в том, что при взаимодействии сильного электромагнитного излучения с атомами (или другими квантовыми системами - ионами, молекулами, кластерами) наблюдаются ионизованные электроны, поглотившие большее число фотонов, чем это необходимо для выхода в континуум. Эффект надпороговой многофотонной ионизации атомов впервые наблюдался в 1979г. [1] и стал широко доступен для экспериментального исследования с появлением лазеров, создающих когерентные электромагнитные поля интенсивностью свыше 10 0

10 Вт/см . В настоящее время число экспериментальных работ, посвященных изучению надпороговой ионизации, очень велико (см. литературу, цитируемую в обзорах [2,3]).

Начало теоретических исследований явления надпороговой ионизации, относится к середине 60-х годов. Так, в работе [4] впервые был предложен метод расчета вероятности ионизации электрона, связанного в потенциале нулевого радиуса действия, полем сильной линейно поляризованной лазерной волны с поглощением произвольного (над порогом ионизации) числа фотонов. Там же впервые было показано, что характер процесса надпороговой ионизации определяется величиной параметра адиабатичности у - у[21со/ F, где / -потенциал ионизации системы, со - частота, a F - напряженность электрического поля. Область у »1 называется областью слабого поля (или высоких частот). Другое название этого случая - многофотонный режим ионизации. При этом вероятность ионизации с поглощением п фотонов пропорциональна интенсивности поля в степени п, а число представленных в спектре надпороговых пиков невелико. В обратном случае сильного поля у «l) осуществляется туннельный режим ионизации. При этом вероятность процесса пропорциональна туннельной экспоненте ехр {-2(2/)3/2/3f} , а в спектре присутствует большое число надпороговых пиков сравнимой высоты.

Появление работы [4] стимулировало дальнейшие теоретические исследования, посвященные всестороннему изучению процесса надпороговой ионизации. В работах [5-9] результаты, полученные в [4], были обобщены на случаи произвольной поляризации и интенсивности (в том числе релятивистской) лазерной волны. Там же исследована надпороговая ионизация из произвольного состояния в короткодействующем потенциале, а в низкочастотном пределе и из состояния в кулоновом поле. Таким образом, в работах [4-9] заложен теоретический фундамент для описания надпороговой ионизации атомов в сильных лазерных полях. В более поздних работах [10,11] по сути те же, что и в [4-9] результаты были получены в рамках 5 - матричного подхода. Наконец, в [12] найдены простые аналитические выражения для полной вероятности ионизации произвольного атома полем сильной лазерной волны.

Основное физическое приближение, на котором базируются полученные в [4-12] результаты состоит в том, что конечное состояние электрона аппроксимируется плоской волковской волной [13,14], то есть, предполагается, что влиянием атомного поля на состояние электрона в континууме можно пренебречь. Именно это общее для работ [4-12] приближение позволяет рассматривать изложенный в них подход к описанию надпороговой ионизации как единый. В современной литературе модель фотоионизации, основанную на аппроксимации конечного состояния электрона плоской волковской волной, принято называть моделью Келдыша. Ниже мы также будем придерживаться этого термина.

Подробный анализ условий применимости модели Келдыша приведен в монографиях [15,16] и показывает, что она обеспечивает адекватное описание спектров надпороговой ионизации атомов именно в туннельном пределе. При переходе к многофотонному (у »l) режиму вступают в игру резонансные явления, начинает сказываться и влияние дальнодействующего поля атомного остова на движение электрона в континууме. Эти факторы, не учитываемые моделью Келдыша, существенно влияют на форму спектра и угловых распределений фотоэлектронов [17,18].

Результаты работ [4-9] первоначально использовались для описания экспериментальных данных, относящихся к полной вероятности ионизации в многофотонном режиме (параметр адиабатичности у -20-50). Более детальные характеристики - спектрально-угловые распределения фотоэлектронов - долгое время оставались недоступными для экспериментального исследования из-за недостаточно высокой интенсивности лазерных импульсов. По той же причине вплоть до начала 90-х годов исследования надпороговой ионизации ограничивались многофотонным режимом. Как уже отмечалось, в такой ситуации применимость модели Келдыша к описанию спектрально-угловых распределений фотоэлектронов по крайней мере сомнительна. Таким образом, в течение длительного времени после появления пионерских работ [4-9] дальнейшее развитие заложенного в них подхода не представлялось актуальной задачей.

Ситуация существенно изменилась в последнее десятилетие благодаря прогрессу в лазерной технике, сделавшему возможным получение коротких (длительностью до десятков фемтосекунд) мощных (с интенсивностью п 1 с *)

101J-10'° Вт/см ) лазерных импульсов и обеспечившему возможность детектирования очень слабых потоков частиц. В результате фронт экспериментальных исследований надпороговой ионизации расширился по крайней мере в двух направлениях.

Во-первых, исследования перешли в область туннельного режима ионизации, причем стали доступными для детального исследования спектрально-угловые, угловые и энергетические распределения фотоэлектронов. Таким образом, возникла насущная потребность в более подробном теоретическом исследовании распределений фотоэлектронов в туннельном режиме. При этом выяснилось, что полученные ранее результаты не всегда пригодны для анализа экспериментальных данных. Так, замкнутое аналитическое выражение для импульсного распределения фотоэлектронов в эллиптически поляризованном лазерном поле, полученное в [7], не обеспечивает переход к пределу циркулярной поляризации. Не изучались проинтегрированные по энергиям угловые распределения при произвольном значении эллиптичности. Между тем, потребность в подобных формулах обусловлена тем, что угловое распределение (в отличие от импульсного) легко доступно для экспериментального измерения [19]. Выражения для спектральноугловых распределений фотоэлектронов в поле с произвольной эллиптической поляризацией найдены в работах [20,21] в виде бесконечных сумм ' f произведений функций Бесселя. Однако, выражения такого типа плохо приспособлены для вычисления в туннельном режиме, когда большое число членов ряда имеют сравнимую величину. Численные же расчеты крайне затрудняют выявление качественных закономерностей в поведении спектров в зависимости от параметров поля и атома. Изложенные обстоятельства объясняют необходимость получения замкнутых аналитических выражений для спектрально-угловых и угловых распределений фотоэлектронов в туннельном режиме, применимых при произвольной поляризации поля, что и является одной из целей настоящей диссертации.

Во-вторых, с продвижением эксперимента в диапазон интенсивностей

1 ^ 1 Г Л

10 -10 Вт/см стали доступны для детального исследования сопровождающие надпороговую ионизацию эффекты, обусловленные взаимодействием электрона с атомным остатком: генерация высоких гармоник лазерного излучения, перерассеяние на родительском ионе, многоэлектронная ионизация [22]. Эти эффекты не рассматривались в основополагающих работах [4-12], их теоретическое исследование началось сравнительно недавно и в настоящий момент еще далеко от завершения. Часть диссертации посвящена исследованию спектрально-угловых распределений фотоэлектронов, перерассеянных родительским ионом.

Само явление перерассеяния состоит в том, что первоначально ионизованный электрон, находясь в сильном лазерном поле, взаимодействует с родительским ионом, поглощая большое число квантов волны накачки и приобретая значительную энергию. Вклад таких электронов в спектры надпороговой ионизации наблюдается в виде протяженного плато, граница которого соответствует энергии \QUP {UР = е2F2 /4тсо2 - средняя колебательная энергия в линейно поляризованном лазерном поле с амплитудной напряженностью F и частотой со), что составляет при интенсивности лазера

1014 -1015 Вт/см2 десятки и сотни электрон-вольт.

Впервые плато перерассеяния наблюдалось в опытах [23,24], выполненных в многофотонном режиме. Объяснение физической природы эффекта и оценка протяженности высокоэнергетического плато были первоначально даны на основе анализа классической кинематики электрона в сильном лазерном поле [25]. В настоящее время разработан последовательный квантово-механичесйш подход к расчету спектра перерассеяния в случае, когда атом моделируется потенциалом нулевого радиуса [26]. Применимость модели ограничена тем, что в ней исключены из рассмотрения эффекты, связанные с влиянием кулонова поля атомного остова на процесс рассеяния электронов. Анализ экспериментальных данных показывает, однако, что это влияние весьма существенно [27-29]. Другой недостаток результатов работы [26] состоит в том, что конечное выражение для амплитуды перерассеяния имеет вид двукратного интеграла, который приходится вычислять с использованием ЭВМ. Это обстоятельство существенно затрудняет исследование зависимости эффекта от параметров поля и атома. Поэтому представляется важным получить простое аналитическое описание спектров перерассеяния. В работе [30] теория перерассеяния была развита в аналитическом виде, причем с учетом многократного взаимодействия ионизованного электрона с родительским ионом. Однако, полученные результаты применимы только в глубоком многофотонном режиме {у»l), когда число квантов лазерного поля, поглощаемых электроном в каждом элементарном акте взаимодействия, невелико, так что наиболее интересная область параметра адиабатичности -туннельный предел - осталась незатронутой. В [31] вероятность перерассеяния найдена методом Ландау-Дыхне [32]. Однако, авторам удалось выполнить вычисления только с экспоненциальной точностью, что недостаточно для адекватного описания основных особенностей эффекта перерассеяния.

Для описания перерассеяния широко используется также феноменологическая трехступенчатая модель фотоионизации [25,27-29], идейно близкая к известной двухступенчатой модели прямой надпороговой ионизации [33]. Попытки (во многом успешные) применить этот подход к описанию спектра и углового распределения перерассеяния иногда приводят к результатам, находящимся в противоречии с данными эксперимента и численными расчетами, выполненными в рамках последовательного квантовомеханического подхода [26]. Причина расхождений между полу классическими и квантовыми расчетами оставалась неясной до появления работ, включенных в настоящую диссертацию. Не был также понятен физический механизм интерференции в спектрах перерассеяния, отсутствовали простые аналитические формулы для спектрально-угловых распределений » фотоэлектронов перерассеяния, оставались неизвестными буквенные параметры, по которым эффект перерассеяния мал в сравнении с прямой надпороговой ионизацией. В настоящей диссертации изложено решение перечисленных выше проблем.

Основные сведения, относящиеся к процессу надпороговой ионизации атомов, подробно изложены в монографиях [15,16,34,35] и цитируемой там литературе, а также в обзоре [36]. Вопросы, связанные с динамикой волновых пакетов фотоэлектронов в поле сильного лазерного излучения также разобраны [15,16]. Обобщенная модель Келдыша в приложении к описанию процесса перерассеяния подробно изложена в [26,37,38]. Результаты экспериментов по измерению спектрально-угловых распределений фотоэлектронов перерассеяния в туннельном режиме содержатся в работах [27-29], а также в обзоре [22].

Кратко остановимся на содержании диссертации. Результаты, изложенные в ней, опубликованы в работах [39-47]. Сама диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена исследованию спектрально-угловых распределений фотоэлектронов в сильном низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле. Во второй главе рассмотрена пространственно-временная динамика волнового пакета фотоэлектрона, возникающего в процессе туннелирования в переменном электрическом поле. В третьей главе излагается теория перерассеяния фотоэлектронов родительским ионом в туннельном режиме.

В первой главе в рамках модели Келдыша вычисляется амплитуда перехода электрона под действием поля эллиптически поляризованной лазерной волны из основного состояния в потенциале нулевого радиуса в состояние континуума. Для вычисления временного интеграла, определяющего амплитуду перехода, используется метод, основанный на разложении -фазы вблизи нуля второй ее производной [48]. Найдено приближенное решение уравнения для стационарной точки, хорошо аппроксимирующее точное решение при всех значениях эллиптичности. С использованием этого приближенного решения получаются замкнутые аналитические выражения для спектрально-угловых, угловых и энергетических распределений фотоэлектронов. Найденные выражения исследованы как функции эллиптичности поля £. Подробно рассматривается эффект вытягивания углового распределения в направлении, поперечном максимальному электрическому полю, возникающий при промежуточных значениях эллиптичности. Приводится сравнение представленных расчетов угловых распределений с экспериментальными данными [19], демонстрирующее качественное согласие. Далее излагается формулировка статического предела в спектрально-угловом распределении и выводится распределение по скоростям электронов в момент ионизации. Дается обоснование феноменологической двухступенчатой модели фотоионизации [33] и адиабатического подхода к вычислению полной вероятности ионизации в низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле [6].

Во второй главе рассчитывается пространственно-временная структура электронного волнового пакета в процессе туннелирования в низкочастотном лазерном поле. Получено удобное интегральное представление для зависящей от времени амплитуды прямой надпороговой ионизации, позволяющее вычислить координатную волновую функцию в замкнутом аналитическом виде. Подробно рассмотрена эволюция волнового пакета в процессе его выхода из-под потенциального барьера и последующее движение в лазерном поле. Найдено характерное время формирования пакета, поперечная и продольная ширина в момент выхода, скорость расплывания. Подробно исследуется наиболее интересный случай линейной поляризации поля. Приводятся оценки ширины и дрейфовой скорости волнового пакета в эллиптически поляризованном поле.

Третья глава посвящена квантовой теории перерассеяния фотоэлектронов родительским ионом в туннельном режиме. Излагается итерационная процедура вычисления амплитуды фотоионизации, основанная на разложении по взаимодействию фотоэлектрона с родительским ионом в конечном состоянии. Нулевой член ряда представляет собой амплитуду прямой надпороговой ионизации. Следующий член описывает вклад в спектры от однократного перерассеяния. С использованием интегрального представления для амплитуды прямой ионизации, полученного во второй главе, амплитуда перерассеяния вычисляется в замкнутом аналитическом виде. Для расчета амплитуды перерассеяния вблизи классической границы спектра применяется метод перевала, обобщенный на случай, когда квадратичное разложение фазы подынтегральной функции вблизи перевальной точки оказывается недостаточным и приводит к сингулярности.

Приведен подробный анализ спектрально-углового распределения. В частности, исследована интерференционная структура в спектрах и угловых распределениях, выделена зависимость сечения перерассеяния от параметров атома, определено поведение вероятности вблизи классической границы спектра. Сравнение с результатами экспериментов [27-29] показывает, что предложенная теория не только качественно, но и количественно описывает всю совокупность экспериментальных данных, относящихся к перерассеянию на реальных атомах.

Полученные спектрально-угловые распределения преобразуются к новым переменным, используемым в трехступенчатой полуклассической модели фотоионизации. На основе сравнения квантовых и полуклассических результатов делаются выводы о границах применимости трехступенчатой модели.

Кратко сформулируем основные положения, выносимые на защиту по результатам, полученным в диссертации.

• Результаты расчетов импульсного распределения фотоэлектронов в сильном низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле, обеспечивающие предельный переход к случаю циркулярной поляризации.

• Аналитические выражения для углового распределения и спектра фотоэлектронов в сильном эллиптически поляризованном лазерном поле.

• Распределение фотоэлектронов по скоростям в момент ионизации сильным эллиптически поляризованным лазерным полем.

• Результаты расчета пространственно-временной структуры волнового пакета фотоэлектрона в сильном линейно поляризованном лазерным поле.

• Аналитические выражения для импульсного распределения фотоэлектронов перерассеяния, рассчитанные с учетом интерференционных эффектов.

В диссертации всюду используется атомная система единиц (те -h = ~e = 1). Для описания электрона с каноническим импульсом р в поле лазерного излучения выбраны волковские волновые функции [13,14] в калибровке векторного потенциала: t ipr-i jdT€p(r) где е if 1 - Г -(?) = — p + -A{t)\ - зависящая от времени с

1) кинетическая энергия электрона. Само лазерное поле описывается в дипольном приближении, а векторный потенциал задается в виде:

- cF A(t) = —{cos(cot),^sin(cot\o} со

2)

В диссертации повсеместно используется понятие пондеромоторного потенциала - средней колебательной энергии электрона в поле электромагнитной волны с напряженностью F и частотой со:

Fi иР =

2 с* 4 to'

Во избежание путаницы между величинами, описывающими прямую надпороговую ионизацию и перерассеяние, будем снабжать первые индексом "dir" (direct ionization), а вторые - индексом "г" (rescattering).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. В замкнутом аналитическом виде рассчитаны импульсное, энергетическое и угловое распределения фотоэлектронов в сильном низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле. Полученные результаты применимы при произвольном значении эллиптичности. Детально исследован эффект вытягивания углового распределения в направлении, перпендикулярном максимальному электрическому полю, возникающий при промежуточных значениях эллиптичности.

2. Сформулирован статический предел в теории туннельной ионизации. Найдено распределение фотоэлектронов по скоростям в момент ионизации сильным низкочастотным лазерным полем с произвольной эллиптической поляризацией.

3. В аналитическом виде рассчитана пространственно-временная эволюция электронного волнового пакета в процессе туннельной ионизации атома переменным электрическим полем.

4. В туннельном пределе развита простая аналитическая теория перерассеяния фотоэлектрона родительским ионом, применимая для описания перерассеяния на реальных атомах.

5. Рассчитана интерференционная структура спектра перерассеяния. Сформулированы условия, при которых возможно экспериментальное наблюдение интерференционной картины.

РИСУНКИ.

РИСЛа. | = 0,95

РИС.16, г = 0,8

РИС.1. Импульсное распределение фотоэлектронов, рассчитанное из (1.18) в плоскости pz= 0 при F/Fa=0,03 и у = 0,33 (при этом £i=0,06; = 0,17; 0,97). По вертикальной оси отложена вероятность ионизации, выраженная в произвольных единицах. Горизонтальная плоскость совпадает с плоскостью {рх,ру) в импульсном пространстве.

РИС.2а. £ = 0,4

РИС.26. £ = 0,03

РИС.2. То же, что и на рис.1, но при других значениях эллиптичности.

РИС. 3. Угловые распределения фотоэлектронов в плоскости поляризации, F вычисленные из (1.21) при различных значениях эллиптичности для — = 0.07

Fa и у = 0,1. Кривые нормированы на единичное значение в максимуме. Горизонтальная ось параллельна большой оси эллипса поляризации, вертикальная - малой оси. Кривые пронумерованы в порядке убывания эллиптичности: 1 - £ = 0,95, 2 - £ = 0,70, 3 - £ = 0,40, 4 - £ = 0,25 , 5 - £ = 0,18, б - £ = 0,05. Значения критических эллиптичностей: £[=0,026, £2=0,26, £з =0,93.

РИС. 4. Распределение фотоэлектронов по величине импульса, полученное F численным интегрированием (1.18) при — = 0,056 и ;/ = 0,074. Кривые Fa нормированы на единичную площадь. Графики приведены для трех значений эллиптичности: 1 - £ = 0,95, 2 - £ = 0,50, 3 - £ = 0,10. Значения критических эллиптичностей: =0,018, £2 =0,24, £3 =0,95. m-■ -i •

-100 X, <?т. eG.

РИС. 5. Пространственный профиль • парциального волнового пакета |^о)(х,р = 0,{)| , вычисленный интегрированием (2.9) в момент времени cot = 0,475/Т. Параметры поля и атома соответствуют ионизации ионов Ne%Jr (/ = 8,79 ат.ед) полем титан-сапфирового лазера (hco - \,58 эВ)

17 1 F интенсивностью -1,89*10 Вт!см . При этом — = 0,031, / = 0,1, ширина Fa потенциального барьера лг0 = 3,2 ат.ед., амплитуда колебаний электрона в f ' лазерном поле —- = 760 ат.ед. Длительность времени формирования со' продольной структуры пакета сотх = 0,15тг. ty (3 L

-200

Ж, яг.

РИС. 6. To же, что и на рис.5, но в моменты времени a>t2 = 0,63;г (кривая 1) и cot^ = 0,69,-г (кривая 2). Момент времени t2 лежит за пределами интервала формирования пакета.

РИС. 7. То же, что и на рис.5 и б, но в моменты времени cat = Зтг/2 (кривая 1 -наибольшее удаление от атома) и cot = 5я72 (кривая 2 - первый возврат).

1.6 I

1,8

2,0 2,2 момент ионизации фс г

2,4

2,6

РИС. 8. Конечная энергия перерассеянного электрона в зависимости от момента ионизации. Кривая е(<р0,в = 7v)/Up рассчитана из (3.8), (3.9) в приближении первого возврата. Форма кривой при 9 * тс аналогична, но высота максимума монотонно убывает с ростом угла: ес1(в) < £с1 (яг) = ЮС/.

Вклады точек cpQ и <р0+ интерферируют в амплитуде перерассеяния в состояние [s - $up,9 = я). энергия/пондеромоторный потенциал

РИС. 9. Спектр перерассеяния вдоль направления поляризации поля, рассчитанный согласно (3.11), (3.14) для случая ионизации гелия (/ = 24,6Эв) излучением Ti'.Sa лазера {Ьсо = 1,58 Эв). Кривая 1 соответствует интенсивности 2*1014 Вт/см2 (/ = 1, zF =30, F/Fa =0,03). Кривая 2 - интенсивности 1015 Вт/см2 (у = 0,46, zF =148, F/Fa =0,07). Кривые нормированы на единичное значение вероятности прямой ионизации (пунктирная линия) в состояние с нулевой энергией. Место сшивки распределений (3.11) и (3.14) отмечено стрелкой.

1 г 2 3 4

5 6 7 8

РИС. 10. Угловые распределения (диаграммы направленности) фотоэлектронов перерассеяния вычисленные из (3.14) при фиксированной конечной энергии для случая ионизации гелия (/ = 24,6Эв) излучением Ti\Sa лазера (Й<и =1,58Эв) интенсивностью 1013 Вт/см2 (у = 0,46, zF =148, F / Fa =0,07). Кривые нормированы на единичное значение в максимуме и пронумерованы в порядке убывания энергии электронов: 1 -е = 9,ШР, 2 - s = 9,65UP, 3 - е = 9,5UP, 4 - £ = 9,35UP, 5 - г = 9,0UP, 6 -£ = 8,5 UP ,1- £ = 8,0 UP- £ = 1,5UP.

РИС. 11. Угловые распределения электронов с энергией £-1uf, рассчитанные из (3.14) и усредненные по гауссову распределению интенсивности в лазерном фокусе в соответствии с (3.17). Кривые нормированы на единичное значение в максимуме. Пиковая интенсивность в центре фокуса 3.5*1014Вт/см2, что для атома Не и Ti\Sa лазера соответствует у = 0,77 и zF = 51. На первом рисунке показано не усредненное распределение, на втором - результат одномерного усреднения (например, по временной неоднородности лазерного импульса) и т.д.

1. Agostini P., Fabre F., Mainfray G. Petite. G., Rahman N.K., Free-Free Transitions Following Six-Photon Ionization of Xenon Atoms., Phys. Rev. Lett., v.42, pp.1127-1130,1979.

2. Eberly J.H., Javanainen J., Eur. Joum. Phys., v.9, p. 265,1988.

3. Делоне Н.Б., Федоров M.B., Многофотонная ионизация атомов: новые эффекты., УФН, т. 156, стр.215-253, 1989.

4. Келдыш JI.B., Ионизация в поле сильной электромагнитной волны., ЖЭТФ, т.47, стр. 1945-1956,1964.

5. Никишов А.И., Ритус В.И., Ионизация систем, связанных короткодействующими силами, полем электромагнитной волны., ЖЭТФ, т.50, стр.255-270, 1966.

6. Переломов А.И, Попов В.С, Терентьев М.В., Ионизация атомов в переменном электрическом поле I., ЖЭТФ, т.50, стр.1393-1409, 1966.

7. Переломов А.И, Попов В.С, Терентьев М.В., ., Ионизация атомов в переменном электрическом поле II, ЖЭТФ, т.51, стр.309-325, 1966.

8. Никишов А.И., Ритус В.И., Ионизация атомов полем электромагнитной волны., ЖЭТФ, т.52, стр.223-241, 1967.

9. Переломов А.И, Попов В.С, Терентьев М.В., ., Ионизация атомов в переменном электрическом поле III, ЖЭТФ, т.52, стр.514-526, 1967.

10. Reiss H.R., Theoretical methods in quantum optics: S-matrix and Keldysh techniques for strong-field processes., Progr. Quant. Electr., v. 16, pp. 1-71, 1992.

11. Becker W., Schlicher R.R., Scully M.O., Wodkiewicz K., J. Opt. Soc. Am., v.4, p.726, 1987.

12. Аммосов М.В., Делоне Н.Б., Крайнов В.П., Туннельная ионизация сложных атомов и атомарных ионов в переменном электромагнитномполе., ЖЭТФ, т.91, стр.2008-2013, 1986.

13. Wolkow D.M. Uber eine Klasse von Losungen der Diracshen Gleishung., Z. Phys. B.94, SS.250,1935.

14. Волков Д.М., Электрон в поле плоских неполяризованных электромагнитных волн с точки зрения уравнения Дирака., ЖЭТФ, т.7, стр.1286-1289, 1937.

15. Федоров М.В. Электрон в сильном световом поле., Наука, М., 1991.

16. Fedorov M.V. Atomic and Free Electrons in a Strong Light Field., World Scientific, Singapore, 1998.

17. Freeman R.R., Bucksbaum P.H., Milchbery H. Darack S., Schumacher D., Geusic M.E., Above-Threshold Ionization with Subpicosecond Laser Pulses, Phys. Rev. Lett., v.59, No. 10, p. 1092-1095, 1987.

18. Bashkansky M., Buksbaum P.H., Schumacher D.W., Asymmetries in Above-Threshold Ionization, Phys. Rev. Lett., v.60, No. 24 , p.2458-2461, 1988.

19. McNaught S.J., Knauer J.P., Meyerhofer D.D., Photoelectron Drift Momentum in the Long-Pulse Tunneling Limit for an Elliptically Polarized Laser., Laser Physics.,v.7, no.3.,pp.712-718,1997.

20. Bashkansky M., Buksbaum P.H., Schumacher D.W., Above-Threshold Ionization with Elliptically Polarized Light., Phys. Rev. Lett., v.59, No. 3 , p.274-277, 1987.

21. Becker W., Lohr A., Kleber M., Light at the end of the tunnel: two- and three-step models in intense-field laser-atom physics., Quantum Semiclass. Opt., v.7, pp.423-448, 1995.

22. DiMauro L.F. and Agostini P., Advances in Atomic, Molecular, and Optical Physics v.35, ads by B. Bederson and H. Walther, p.79, 1995.

23. Yang В., Schafer K.J., Walker В., Kulander K.J., Agostini P., DiMauro L.F., Intensity-Dependent Scattering Rings in High-Order Above-Threshold Ionization., Phys.'Rev. Lett., v.71, pp.3770-3773, 1993.

24. Paulus G.G., Nicklich W, Huale Xu, Lambropoulos P., Walther H., Plateau in Above-Threshold Ionization., Phys. Rev. Lett., v.72 pp.2851-2854,1994.

25. Paulus G.G., Becker W., Nicklich W. et al., Rescattering effects in above-threshold ionization: a classical model., J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., v.27, L703 -L708, 1994.

26. Lohr A., Kleber M., Kopold R. Becker W., Above-threshold ionization in the tunneling regime., Phys. Rev. A, v.55, R4003-4006, 1997.

27. DiMauro L.F., Kulander K.C., Agostini P., Strong field atomic dynamics., in Super-Intense Laser-Atom Physics IV, eds. by H.G. Muller and M.V. Fedorov, pp.97-108, 1995.

28. Sheehy В., Walker В., Lafon R. et al., Single and multiple electron dynamics in the strong field limit., in Multiphoton Processes No. 154, eds. by P. Lombropolus and H. Walther, p.106-118,1996.

29. Sheehy В., Lafon R., Widmer M., Walker В., DiMauro L.F., Agostini P., Kulander K.C., Single- and multiple-electron dynamics in strong-field tunneling limit., Phys. Rev. A v.58., pp.3942.-3952, 1998.

30. Зарецкий Д.Ф., Нерсесов Э.А., Надпороговая ионизация с учетом многократного кулоновского рассеяния, ЖЭТФ, т.103, стр.1191-1203, 1993.

31. Smirnov M.B., Krainov V.P., Hot electrons in the tunneling ionization of atoms., J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., v.31, L519-524, 1998.

32. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M., Квантовая механика. Нерелятивистская теория., М., Наука, 1989, стр.237.

33. Corcum Р.В., Burnett N.H., Brunei F., Above-Threshold Ionization in the Long-Wavelength Limit., Phys. Rev. Lett., v.62, pp. 1259-1262, 1989.

34. Крайнов В.П., Делоне Н.Б., Атом в сильном световом поле., Атомиздат, М., 1984.

35. Delone N.B., Krainov V.P., Multiphoton Processes in Atoms., Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1994.

36. Делоне Н.Б., Крайнов В.П., Туннельная и надбарьерная ионизация атомов и ионов в поле лазерного излучения., УФН, т. 168, стр.531-549, 1998.

37. Milosevic D.B., Ehlotzky F., Coulomb and rescattering effects in above-threshold ionization., Phys. Rev. A, v.58, pp.3124-3127,1998.

38. Lewenstain M., Kulander K.C., Schafer K.J. et al., Rings in above threshold ionization., Phys. Rev. A, v.51, pp.1495-1507, 1995.

39. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Momentum Distribution of Photoelectrons in a Strong Low-Frequency Elliptically Polarized Laser Field, Laser Physics, v.6, №4, pp. 780-784, 1996.

40. С.П. Гореславский, C.B. Попруженко Дифференциальные распределения фотоэлектронов в эллиптически поляризованном сильном низкочастотном лазерном поле., ЖЭТФ, т.110, вып. 4(10), стр. 12001215, 1996.

41. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Photoelectron Velocity Distribution at the Time of Ionization by Elliptically Polarized Laser Field., Laser Physics, v.7, №3, pp. 700-705,1997.

42. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Formation and Aging of Photoelectron Wave Packets in the Tunneling Regime., Laser Physics, v.8, №5, pp. 10131020, 1998.

43. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Simple quantum theory of the high-energy above-threshold ionization spectrum in the tunneling regime., Physics Letters A, v. 249, pp. 477-482,1998.

44. Гореславский С.П., Попруженко С.В., Механизм перерассеяния фотоэлектронов родительским ионом в режиме оптического туннелирования., Письма в ЖЭТФ, т.68, вып.12, стр. 862-867, 1998.

45. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Rescattering and quantum interference near the classical cutoffs., Journal Physics B: At., Mol., Opt., Phys., v.32, pp.L531-L538, 1999.

46. Goreslavskii S.P., Popruzhenko S.V. Photoionization with Rescattering: Quantum Theory and Semiclassical Approach., Laser Physics, 2000, v. 10, no.2, pp. 583-587, 2000.

47. Гореславский С.П., Попруженко С.В. Туннельный предел в теории перерассеяния фотоэлектрона родительским ионом., ЖЭТФ, 2000, т.117, вып.5, стр. 895-905, 2000.

48. Галицкий В.М., Яковлев В.П., Угловые и спектральные распределения комптоновского рассеяния сильной электромагнитной волны электроном в «В.М.Галицкий. Избранные труды. Исследования по теоретической физике», Наука, М., 1983, стр 209-219.

49. Гореславский С.П., Ионизация в световом поле без разложения Фурье., ЖЭТФ, т.108, стр.456-464,1995.

50. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям., Наука, М., 1979

51. Paulus G.G., Zacher F., Walther H., Lohr A., Becker W., Kleber M., Above-Threshold Ionization by an Elliptically Polarized Field: Quantum Tunneling Interferences and Classical Dodging., Phys. Rev. Lett., v.80, pp.484-487, 1998.

52. Dietrich P., Burnett N.H., Ivanov M., Corkum P.B., High-harmonic generation and correlated two-electron muliphoton ionization with elliptically polarized light., Phys. Rev. A, v.50, R3585-3588, 1989.

53. Corkum P.B., Plasma Perspective in Strong-Field Multiphoton Ionization., Phys. Rev. Lett., v.71, pp.l994-1997,1993.

54. McNaught S.J., Knauer J.P., Meyerhover D.D., Measurement of the Initial Condition of Electrons Ionized by a Linearly Polarized, High-Intensity Laser., Phys. Rev. Lett., v.78, pp.626-629,1997.

55. McNaught S.J., Knauer J.P., Meyerhover D.D., Photoelectron initial cinditions for tunneling ionization in a linearly polarized laser., Phys. Rev. A., v.58, pp.1399-1411,1998.

56. Muller H.G., Kooiman F.C., Bunching and Focusing of Tunneling Wave Packets in Enhancement of High-Order Above-Threshold Ionization., Phys. Rev. Lett., v.81, pp.1207-1210, 1998.

57. Muller H.G., Efficient Propagation Scheme for the Time-Dependent Schrо dinger Equation., Laser Physics, v.9, pp.138-148, 1999.

58. Muller H.G., Tunneling Excitation to Resonant States in Helium as Main Source of Superponderomotive Photoelectrons in the Tunneling Regime., Phys. Rev. Lett., v.83, no. 16, pp.3158-3161,1999.

59. Волкова E.A., Попов A.M., Стабилшация отрицательных ионов в сверхсильных световых полях, ЖЭТФ, т.105, вып.З, стр.592-600, 1994.

60. Popov A.M., Tikhonova O.V., Vo lkova E.A., Ionization Dynamics of a Negative Hydrogen Ion in a Strong Linearly Polarized Light Field., Laser Physics, v.5, no.5, pp.1029-1035, 1995.

61. Волкова E.A., Попов A.M., Тихонова O.B., Исследование структуры энергетического спектра в системе «Атом + сильное внешнее электромагнитное поле»., ЖЭТФ.,т.109, стр.1586-1598,1996.

62. Eberly J.H., Grobe R., Low C.K., Su Q., in "Atoms in Intense Laser Fields", eds. by M.Gavrila, p.301, 1992.

63. Grobe R., Fedorov M.V., Packet Spreading, Stabilization, and Localization in Superstrong Fields., Phys. Rev. Lett., v.68, pp.2592-2595, 1992.

64. Shafer K.J., Yang В., DiMauro L.F., Kulander K.C., Above-Threshold Ionization Beyond the High Harmonic Cutoff., Phys. Rev. Lett., v.70, pp.1599-1602, 1993.

65. Бункин Ф.В., Федоров M.B., Тормозной эффект в сильном поле излучения., ЖЭТФ, т.49, стр.1215-1221, 1965.

66. Крайнов В.П., Шокри Б., Энергетические и угловые распределения электронов при надбарьерной ионизации атомов сильным низкочастотным излучением., ЖЭТФ, т.107, стр.1180-1189, 1995.

67. Kopold R., Becker W., Interference in high-order above-threshold ionization., J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., v.32, L419-L124, 1999.

68. Kopold R., Becker W., Kleber M., Quantum path analysis of high-order above-threshold ionization., Optics Communication, v.62, 1999.

69. Van Woerkom L.D., Hansch P., Walker M.A., Hot electron enhancement through the core coupling?, in Multiphoton Processes No. 154, eds. by P. Lombropolus and H. Walther, p.78-87, 1996.

70. Дыхне A.M. и Юдин Г.Л. Внезапные возмущения и квантовая эволюция., М., УФН, 1996, стр.153.российская^,,1. SS % О/