Экспериментальное и теоретическое исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под большими углами атаки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ГУМЕРОВ АНВАР ВАСИЛОВИЧ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ПОД БОЛЬШИМИ УГЛАМИ АТАКИ

Специальность: 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

О 6 ноя 2000

Казань 2008

003451621

Работа выполнена в ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс», г. Самара

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Михайлов Сергей Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, старший научный сотрудник Молочников Валерий Михайлович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Храброе Александр Николаевич

Ведущая организация: ОАО ГосМКБ «Радуга» им. А.Я. Березняка», г. Дубна

диссертационного совета Д 212.079.02 Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. Карла Маркса 10. Факс: (8432) 36-60-32, E-mail: kai@kstu-kai.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Защита состоится

на заседании

Автореферат разослан «22 »

2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Каримова А.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема поперечной силы па осесимметричных телах исследуется уже более 50 лет. Большой интерес в исследовании несимметричных аэродинамических характеристик вызван необходимостью управления ракетами и истребителями на больших углах атаки. Возникновение этой несимметричной характеристики объясняется несимметричностью течения около тела вращения. Асимметричный вихревой след за носком тела может сгенерировать большую поперечную силу и момент рыскания. Результаты экспериментальных исследований показывают, что индуцируемая такой вихревой системой поперечная сила сопоставима по величине с нормальной силой. Недостаточная изученность этого явления связана с трудностями его исследования как экспериментальными, так и теоретическими методами.

Поперечная сила зависит от формы носовой части, длины ракеты, числа Рейнольдса, числа Маха. По мнению многих исследователей, на результаты экспериментов существенно влияют незначительные колебания модели, шероховатость ее поверхности, точность изготовления, возмущения набегающего потока.

Проектировщики летательных аппаратов заранее, на этапе предварительного проектирования, должны знать возможную величину поперечной силы и момента рысканья, чтобы обеспечить устойчивость и управляемость аппарата в режимах полета под большими углами атаки.

При теоретических исследованиях стационарного пространственного движения тела можно использовать аналогию неустановившегося поперечного обтекания, внезапно разгоняемого из состояния покоя кругового цилиндра. Однако и в этом случае, при решении дифференциальных уравнений движения вихрей, необходимо определить зависимости точек отрыва потока от поверхности, моменты отрыва развившихся вихрей и точки появления новых, которые неизвестны. Брайсон в своей модели симметричного обтекания с сосредоточенными вихрями точки отрыва полагает постоянными, уравнения движения вихрей получает из условия баланса сил, действующих на вихрь и питающую его пелену, а интенсивности вихрей определяет из условия нулевой скорости в точке отрыва потока. Расчеты по методу Брайсона показывают неправдоподобные силы сопротивления (рис. 8). Водлоу модифицировал модель Брайсона для расчета обтекания с несимметричными вихрями.

Для решения трехмерной задачи Маршалл, Деффенбаф и Манделхолл использовали двухмерную модель'схода дискретных вихрей (модель вихревого «облака»). При этом интенсивности дискретных вихрей, сходящих с корпуса, считаются пропорциональными квадрату скорости в точке отрыва, а скорости движения вихрей принимаются равными местной скорости течения. Шиванда и Оберкамп в своих расчетах этим методом не смогли получить распределенные характеристики поперечной силы, близкие к экспериментальным результатам Ламонта. Они пришли к выводу, что расчетным путем невозможно Подтвердить величину поперечной силы и длины волны колебания местного распределения поперечной силы, измеренной в эксперименте.

Целью работы является:

1) Экспериментальное исследование обтекания осесимметричных тел под большими углами атаки для выяснения причинно-следственных связей образования поперечной силы при несимметричном развитии вихрей, т.е. описание механизма образования поперечной силы.

2) Разработка расчетной модели на основе существующих методов сосредоточенных вихрей для проведения инженерных расчетов при определении оценочных зависимостей нормальной и поперечной силы на этапе предварительного проектирования летательных аппаратов.

3) Реализация модели в виде вычислительной программы и проведение сравнительных расчетов.

Методы исследования. Проведение экспериментов в дозвуковой аэродинамической трубе по определению поперечной силы на осесимметричных моделях с различными носовыми частями. Визуализация картины течения на поверхности модели путем покрытия поверхности саже-масляной смесью. Для численного решения задачи обтекания осесимметричных тел под углами атаки используется модифицированный метод сосредоточенных вихрей.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Модифицирован метод точечных вихрей (метод Водлоу) в части уравнений движения вихрей и определения их интенсивностей с учетом того, что скорость движения вихрей равна местной скорости течения, а скорость изменения их интенсивностей пропорциональна квадрату скорости вблизи точки отрыва.

• Получены полуэмпирические зависимости изменения углов отрыва по длине тел вращения, позволяющие существенно упростить алгоритм расчетной модели и сократить время вычислений.

Практическая ценность.

Предлагаемая в диссертации модифицированная модель сосредоточенных вихрей вместе с полуэмпирическими зависимостями линий отрывов позволяет рассчитывать аэродинамические характеристики тел вращения на больших углах атаки.

Полученные полуэмпирические зависимости линий отрывов применимы и при расчетах аэродинамических характеристик методом дискретных вихрей.

Достоверность и обоснованность результатов. Эксперименты проводились в аэродинамической трубе Самарского аэрокосмического университета с использованием аттестованной измерительной аппаратуры. Полученный максимальный уровень поперечной силы хорошо согласуется с результатами зарубежных исследований. Проведенные теоретические расчеты базируются на строгой математической постановке. Математическое моделирование исследуемых физических процессов проведено в рамках известных теорий и моделей механики жидкости. Достоверность численных результатов подтверждается результатами экспериментальных исследований и удовлетворительной их сходимостью.

Публикации н апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на 5-х научных чтениях памяти М.К.Тихонравова по военной космонавтике «Космос и обеспечение безопасности России» в 4 ЦНИИ МО РФ (Юбилейный - 2004 г.); на 5-й международной конференции «Авиация и космонавтика-2006» в МАИ (Москва - 2006 г.); на научно-технической молодежной конференции «Инновационные разработки - основа создания мирового лидирующего продукта в ракетно-космической отрасли» в ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс» (Самара - 2007 г.). По теме диссертационной работы имеется 7 публикаций, среди них 3 работы в рекомендуемых ВАК журналах.

Структура и объем работы. Диссертация, общим объемом 159 страниц, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения с актами о внедрении результатов работы; основная часть содержит 100 страниц текста, 45 рисунков, 80 наименований источников литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, излагается краткое содержание диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации приводится обзор современного состояния различных методов исследования поперечной силы на осесимметричных телах.

В разделе 1.1 описываются результаты как зарубежных, так и отечественных работ по экспериментальному исследованию интегральных и распределенных характеристик тел вращения на больших углах атаки. Приведены публикации по визуализации спектров течения на поверхности моделей саже-масляной смесью, визуализации вихревых структур за обтекаемыми телами методом лазерного ножа. Показывается, что на сегодняшний день исследовано влияние на поперечную силу турбулентности набегающего потока, числа Рейнольдса, числа Маха, а также положение модели по крену, влияние возмущений и т.п. Несмотря на имеющуюся экспериментальную базу, исследования по изучению поперечной силы и момента рыскания продолжаются и по настоящее время.

В разделе 1.2 рассматриваются различные теоретические методы решения обтекания тел вращения под большими углами атаки. Проводится сравнение двух основных классов методов численного решения дифференциальных уравнений механики жидкости и газа - «сеточных» (эйлеровых) и «бессеточных» (лагранжевых). Описывается сравнение достоинств и недостатков этих математических методов в контексте их приложения к решению задач обтекания осесимметричных тел под большими углами атаки. Особое внимание уделяется вихревым методам, подробный обзор которых дан в работе Сарпкайя. Приведен обзор работ, где в расчетах используется аналогия разгонного обтекания цилиндра.

В разделе 1.3 формулируются цели и задачи исследования:

• экспериментальное определение поперечной силы на осесимметричных моделях с разными носовыми частями;

• визуализация картины течения на поверхности моделей и построение по ним вихревой картины в следе;

• на основе проведенных экспериментов установить взаимосвязь между положениями точек отрывов, положениями вихревых структур и направлением поперечной силы, т.е. описать механизм образования поперечной силы;

• разработка алгоритма моделирования вихревого следа методом сосредоточенных вихрей;

• получение полуэмпирических зависимостей изменения точек отрывов;

• разработка программного обеспечения и проведение расчетных исследований по определению аэродинамических характеристик тел вращения на больших углах атаки.

Во второй главе приводятся результаты экспериментальных работ по измерению поперечной силы, визуализации спектра течения на поверхности моделей и дымовой визуализации вихревых структур. Эксперименты проводились в дозвуковой аэродинамической трубе Т1 Самарского государственного аэрокосмического университета. По результатам экспериментов описывается механизм появления поперечной силы.

В разделе 2.1 приводится описание экспериментальной установки. Поперечное сечение сопла аэродинамической трубы имеет правильную восьмиугольную форму с диаметром вписанной окружности 0,5м. В открытой рабочей части скорость потока при отсутствии моделей достигала 35м/с. Уровень турбулентности в потоке составлял приблизительно 2%. Измерение поперечной силы осуществлялось однокомпонентными аэродинамическими весами. Экспериментальные модели состояли из цилиндрической части диаметром О = 48 мм с удлинением 4,5 и съемных носовых: оживальной, конической с удлинением по 2 калибра и полусферической. Поверхности моделей были гладкими.

В разделе 2.2 описывается подготовка и проведение экспериментов. Установка моделей по потоку проводилась с помощью полусферической носовой части, имеющей четыре симметрично расположенных дренажных отверстия. При определении величины поперечной силы по показаниям измерительного прибора для принятой системы подвески проводилась калибровка прибора. Модели продувались в диапазоне углов атаки от 0 до 90°. Проводилась серия экспериментов для каждого случая с целью проверки повторяемости изменения поперечной силы.

В разделе 2.3 приводятся результаты экспериментальных исследований в аэродинамической трубе. На рис. 1 приведены зависимости суммарной поперечной силы от угла атаки для каждой исследуемой модели.

Для всех исследуемых моделей получены спектры течения на поверхности при углах атаки 30 и 50°, когда поперечная сила имеет

минимальное и максимальное значение. По полученным линиям отрывов описывается процесс появления, развития и отрыва вихрей, с приведением схем положения вихрей в сечении рассматриваемой модели. На рис. 2 приведены спектры течения на поверхности модели комбинации «конус-цилиндр».

Рис. 1. Изменение коэффициента поперечной силы осесимметричных тел с разными носовыми частями в зависимости от угла атаки

Расположение вихревой системы на конической части модели схематически показано на правой части рисунка (сечение А-А). На стыке конуса с цилиндром происходит отрыв развившихся вихрей и появляются два новых. Цифрой 3 обозначены линии отрыва оторвавшихся (свободных) вихрей. Спектр обтекания на поверхности комбинации «конус-цилиндр» при угле атаки 30° является симметричным, и поэтому поперечная сила почти отсутствует. При угле атаки 50° картина обтекания на поверхности модели становится несимметричной. Общая картина вихревой системы на этой части такая же, что и при угле атаки 30°. На стыке конуса с цилиндром отрывается левый вихрь и появляется новый (сечение В-В). Правый вихрь продолжает развиваться и отрывается позже. Под влиянием правого вихря скорость потока на левой стороне уменьшается, а на правой увеличивается. Поэтому точка отрыва вихревой пелены слева находится выше, чем справа. Такие рассуждения подтверждаются настоящими расчетами двухвихревого обтекания. Поскольку с момента отрыва правого вихря до момента отрывов следующих вихрей углы линий отрывов вихревых пелен изменились незначительно, то суммарная поперечная сила должна быть направлена в правую сторону, что согласуется с экспериментальными результатами. В этом состоит механизм образования поперечной силы. Как показали эксперименты, он одинаков для всех трех исследованных осесимметричных тел, несмотря на различные носовые части.

а = 30°..

А-А

Рис. 2. Спектры течения на поверхности комбинации «конус- цилиндр»: / - линии первичного отрыва; 2 - линии вторичного отрыва; 3 - линии отрыва свободных вихрей; 4 - полоса касания вторичного вихря (полоса растекания)

В разделе 2.4 приведены результаты дымовой визуализации вихревого следа за моделью «оживал-цилиндр» при скорости набегающего потока примерно 1 м/с и а = 50°. Для визуализации дыма применялся диодный лазер мощностью 40 мВт с длиной волны, находящейся в красном спектре излучения. Снимки картин течения в следе были сделаны в сечениях х = 0,5Д Д 1,5Д 2D, 2,5Д ЗД 3,5D, 4Д 4,5Д начиная с носовой части модели.

В третьей главе приводится математическая постановка задачи моделирования обтекания двумерного цилиндра, импульсивно приведенного в движение из состояния покоя и его распространение к расчету трехмерного обтекания тела вращения под углом атаки.

В разделе 3.1 дается общая постановка задачи. Рассматривается обтекание двумерного цилиндра невязкой несжимаемой средой, имеющей на бесконечности скорость Предполагается, что течение безвихревое,

описываемое однозначным потенциалом скорости (р, удовлетворяющим уравнению Лапласа V2q> = 0 и граничным условиям на поверхности Vn = д<р/дп = 0 - условию непротекания и затуханию возмущений на бесконечности. При указанных граничных условиях уравнение Лапласа имеет единственное решение. Для его отыскания используется стандартная процедура

метода точечных вихрей, заключающаяся в замене воздействия обтекаемого тела на поток воздействием системы точечных вихрей.

В разделе 3.2 приводятся выводы полуэмпирических формул изменения угла отрыва для двух последовательных промежутков времени. В начальном промежутке угол отрыва меняется от нижней критической точки до некоторого среднего значения 9С.. Во втором промежутке, как показывают эксперименты, происходит колебание угла отрыва относительно среднего положения, пропорционально углу отклонения передней критической точки от плоскости симметрии.

В подразделе 3.2.1 приводится вывод зависимости изменения точки отрыва от нижней критической точки до некоторого среднего значения 0(., соответствующего первому промежутку времени.

Определим скорость перемещения точек отрыва, начиная с момента вихреобразования, полагая, что расстояние от точки отрыва до верхнего вторичного вихря не возрастает (рис. 3). Пусть = /аехр(-/в) и С(. = ¿¡Л. + /арехр(-/(6 - у)) - комплексные координаты точки отрыва и вторичного вихря (рис. 4), где / - мнимая единица; а - радиус цилиндра; 6 -угол точки отрыва; у - угол отклонения прямой С,хС,с от радиуса ОСх; р - малый параметр (р «1). Будем полагать, что на движение верхнего вторичного вихря другие вихри существенного влияния не оказывают.

с' 1 О

У

Рис. 3. Схема обтекания цилиндра: 1 - основной вихрь; 2 - вторичный вихрь;

3 - третичный вихрь; -/ - вихревая пелена; 5 - точка отрыва; 0 - угол отрыва

Рис. 4. Расчетная схема точки отрыва потока

Тогда комплексный потенциал течения, имеющего только верхний вторичный вихрь, выражается формулой

2 А

.т

2л

с,

где V - скорость набегающего потока; = у + - комплексная координата точки плоскости; Гс - интенсивность вторичного вихря; С,с - комплексно-сопряженная координата точки С,с.

Скорость возвратного течения в каждом изменяющемся положении точки отрыва равна нулю

где = Гс/(2лаК) - безразмерная циркуляция.

Для определения разложим выражение в квадратных скобках в ряд Тейлора по степеням р и отбросим малые величины выше первого порядка. Подставив значения 1 + сг/С? ~ 2/ехр(—/в)81П 0 и -¿¡с)-^/(СлС ~с>2) ~ и - 2/ехр(-/9)соз9/£//? в (1), получим Хс = /^¡пб/созу. Определим значение у

а2 аХ1 ,С,с

из условия, что =

->0 при /5—> О,

1+-_ с,- •

/2К ехр(—/в)51П0(2 — 1/(2соз2 у)) —> 0 или соэ2 у = 1/4, откуда получим значение у = л/3, соответствующее картине обтекания.

Для определения изменения угла отрыва 9 по времени воспользуемся уравнением движения вихря 1УС = Со показывающим равенство скорости вихря и местной скорости возвратного течения. Разложив и 8 ряд Тейлора и оставив в разложениях только составляющие не выше первого порядка относительно р. получим

р = сове - л/Зяё■ .

Расстояние ар не будет возрастать, если р< 0 или 2соз9- < 0, откуда

следует зависимость изменения скорости угла отрыва от значения 9

9>2Ксо59/(а7з). (2)

Согласно неравенству (2) максимальным значением угла отрыва является 9 = л/2. Для достижения значений, превышающих я/2 и регулирования р в неравенство (2) введем два управляющих параметра Д9 и К^. Тогда изменение угла отрыва в начальные моменты времени будет определяться следующей зависимостью

6 = 2УК^ соз(9 - А9)/(ал/з), где значения начального угла 90, смещения А9 и коэффициента определяются экспериментально или по результатам сопоставления изменения точек отрыва, полученных численными расчетами.

Приведенные на рис. 5 зависимости Коллинза и Денниса получены аналитически, Смита и Стансбая - решением уравнений движения вихревым методом. В формуле (3) были выбраны такие значения параметров 0О, ДО, Кд, при которых характер изменения зависимости оказался близким к результатам этих авторов. Графики, приведенные на рис. 5, показывают изменение угла отрыва потока по безразмерному времени Vt|a или Б/а при 90 = 20°. Кривые / построены со следующими значениями параметров: Д9 = -27°, К^=А при Яе = 103 и Д9 = -20°, Кд= 4 при Ке = 104-И0\ а кривые 2 - значениями: де = -12°, КА = 2,9 при Яе = 103 и Д9 = 8°, Кд = 2 при 1*е = 104-И05.

Ке = 104

/ I

1 &

< Ж

с) |

Ко - 105 1

— / т 1

§

1

с г

7 |

и.

Рис. 5. Зависимости угла отрыва от безразмерного времени: ---- Коллинз и Деннис: О - Смит и Стансбай; /. 2 - настоящий расчет

В подразделе 3.2.2 рассматривается изменение угла отрыва во втором промежутке времени, когда точки отрыва колеблются относительно среднего положения пропорционально колебаниям передней критической точки. Определим положение передней критической точки из условия / 2 Л Г Т

-'■У 1+¿(-1);гу =0, (4)

где С,к =-/дехр(;'0А) и = (-1 )'*1 ехр(/(-1)'41) - положение передней критической точки и центрау'-го вихря. При соз04 «1, б1п0< равенство (4) примет вид

4 +

-0,

(5)

+ г] +2а{г] -у$к)

где уI = Ке^,' = 1т ^. Определим значение 0к, разложив дробь в формуле (5) в биномиальный ряд, имеем

( \ К 4

чН У/ V И ,

где = а2 + г; + 2огу; = (-Г,- (г; - а2 -

Углы точек отрыва потока слева 0л и справа 0П будем определять линейными зависимостями

0л=ес + ^0,;0п=0с-/:О10;,

где среднее значение угла отрыва 0С. =9О" + Д0 и коэффициент пропорциональности К&к, зависящий от числа Рейнольдса, определяются экспериментально.

В разделе 3.3 описывается модель сосредоточенных вихрей поперечного обтекания кругового цилиндра. В отличие от модели Брайсона и Водлоу движение вихрей описывается следующими уравнениями (Деффенбаф, Геберт)

(У =1,2.....п), (б)

где

Интенсивности развивающихся вихрей определяются не из условия Кутта-Жуковского как у Брайсона и Водлоу, а из условия, что скорость изменения интенсивности пропорциональна скорости вблизи точки отрыва

Г», = Лт= 1,2), (7)

где IV шП - скорость потенциального течения в точке отрыва потока 4„,о =аехр(/'0,„о); К¡- - поправочный множитель, который принимает значения меньше единицы, зависит от геометрии и режима течения.

Таким образом, расчет поперечного отекания кругового цилиндра сводится к численному интегрированию системы дифференциальных уравнений (6) и (7) методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

Для образования несимметричного вихревого следа вводится малое возмущение в виде одноразового смещения положения первого вихря.

В разделе 3.4 описывается модель обтекания тел вращения под углом атаки методом сосредоточенных вихрей. Используется аналогия неустановившегося поперечного обтекания, внезапно разгоняемого из состояния покоя кругового цилиндра, где времени Г соответствует продольная координата х = Носова-г, начиная с носка тела вращения (рис. 6). Поперечная

скорость записывается в виде К^вта, а для учета переменности радиуса г носовой части дополнительно вводится потенциал источника (Водлоу, Деффенбаф, Геберт).

Следует отметить, что основная, постоянно действующая поперечная сила создается у носовой части тела вращения. Поэтому при определении зависимостей поперечной силы трехмерного обтекания будем ограничиваться проведением расчетов только до момента отрыва первой пары вихрей.

В разделе 3.5 приведены формулы для определения коэффициентов нормальной и поперечной силы, выраженные через производную импульса количества движения вихрей по времени

Г;

Рис. 6. Схема вихревого следа ¡а телом вращения

к+й = / РЁ(-1)/+'

г.

+ г

г " Ч

я/

В разделе 3.6 исследуется устойчивость симметричного движения вихрей за круговым цилиндром. Пусть в некоторый момент времени г симметрично развивающаяся пара вихрей с интенсивностями Г занимают положения = ги'" и !;■> В некоторый момент первый вихрь скачкообразно получил малое

возмущение ¡ре^ и занял новое положение = + - гдс Р ~ малая величина (/;«1). Исследуется характер дальнейшего изменения возмущения р, для этого необходимо определить знак производной р в зависимости от и ^ или от г, 0, 5, Г. Введем безразмерные величины

р0 = р/а; г0 = /7а; Х = Г/2пУа и подставим их в уравнение движения вихря 1: 4, = IV ), где = ею(г + /УО) + е*(ф - р&).

Отбросив в правой и левой частях равенства ^ = IVнулевые составляющие и составляющие выше первого порядка, получим систему:

5=К4(г0(/),в(/),8(/)Д(О), ¿0 = ^0Я(г0(0,е(0,8(/)Д(/)).

Если в момент времени / функция В окажется положительной, то производная р0 также принимает положительное значение, и возмущение будет возрастать.

Варьируя значения г0 и 0 при заданных значениях X и 5 можно определить знак функции В. Совокупность точек (го,0), при которых В принимает положительные значения, назовем областью неустойчивости.

На рис. 7 представлены области неустойчивости для случая 8=0° при различных значениях А.. Как видно из рис. 7 практически весь вихревой развития симметричных вихрей след находится в области неустойчивости. при значениях циркуляции: Следовательно, симметричное развитие вихрей >. = 0,01 между кривыми / и/:

является неустойчивым к возмущениям по >- = 0.125 между 2 и 2-, л = 0.25 „ „ между 3 и 3: Л = 0,5 между 4 »4

направлению течения. По аналогии неустойчивость

симметричного развития вихрей можно распространить и пространственному обтеканию тел вращения.

В разделе 3.7 описывается составленная программа, реализующая метод точечных вихрей. Приводится блок-схема и внешний вид интерфейса программы.

В главе 4 приводятся зависимости аэродинамических характеристик поперечного обтекания кругового цилиндра и обтекания тел вращения под углом атаки, рассчитанные по разработанному в диссертации методу сосредоточенных вихрей.

В разделе 4.1 рассматривается поперечное обтекание кругового цилиндра. На рис. 8 приведены результаты двухвихревого симметричного обтекания при Яе = 1,8-104. Как известно, в расчетах по методу Брайсона

движение вихрей вниз по течению после достижения кривой Феппля прекращается. При этом изменение расчетных сил сопротивления хорошо согласуется с экспериментальными результатами Сарпкайя только в начальные моменты. Па рис. 8,6 приведены две расчетные зависимости с,, полученные по разработанному методу. Кривая / получена при изменении начального угла отрыва по линии / (рис. 5), которая практически совпадает с зависимостями угла других авторов. Однако зависимость с- оказывается значительно ниже экспериментальных точек Сарпкайя. Другая зависимость 2, полученная при изменении угла 0 по линии 2 (рис.5), оказалась ближе к экспериментальной Кривая. Феппля

■•■лПт Ч Ы

Эксперименты Сарпкайя: оио 33200: пнс | (ООО

шт

Рис. 8. Расчет двухвихревого симметричного обтекания при 1Че = 1.8 10"1: а - траектории вихрей и поле скоростей (0 изменяется по кривой 2 рис.5); й - изменение коэффициента нормальной силы с:

зависимости. Это объясняется медленным развитием интенсивности вихрей в первом случае. Действительно, в первом случае среднее значение угла 9, =90° + Де = 90°-20о = 70°, а во втором 0£. = 90° + 8° = 98°. Скорость в первой точке отрыва значительно меньше скорости во второй. Поэтому скорость развития интенсивности вихрей, а следовательно, и производная импульса по времени во втором случае будет больше. На рис.9 иллюстрируются результаты расчета несимметричного обтекания.

с2; с»

1.5

Ьрайсон

'Эксперименты Сарпкайя: оПс = 33200: □ Кс = 16201)

Рис.9. Двухвихревое несимметричное обтекание с возмущением Л£,/о ¡/-траектории вихрей и поле скоростей при ДЬ/'« = 0.01: б-изменение коэффициентов нормальной силы с, и поперечной силы сч: --/Ц,/я = 0.01:------Л5, /и = 0.005

Я/а

В разделе 4.2 приводятся результаты расчетов обтекания тел вращения под углом атаки методом сосредоточенных вихрей. На рис. 10 представлены аэродинамические характеристики модели Ламонта «оживал-цилиндр» при обтекании под углом 55°. Пунктирными линиями изображены диапазоны изменения экспериментальных коэффициентов су, с2. Расчетные зависимости

аэродинамических коэффициентов зависят от вводимого возмущения. При малом возмущении Д£,/а = 10~7 (Д^/гиЮ"4) расчетная кривая 2 коэффициента с2 находится в середине диапазона экспериментальных зависимостей.

Рис. 10. Распределение коэффициентов нормальной и поперечной силы по длине

комбинации «оживал-цилиндр», а = 55°:----эксперименты Ламонта;

настоящие расчеты: 1- Ь£,\1а = 0; 2-= Ю"7; 3-АЕ,\/а= 10"5

На рис. 11 приведена опытная кривая максимальных значений суммарной поперечной силы су для комбинации «оживал-цилиндр», которая принимает

наибольшее значение при угле атаки 52,5°. Расчеты, проведенные с а = 52,5° и варьированными значениями Ау^а, показали, что наибольшая суммарная сила получается при возмущении Ау1/а = 10~5, вводимом в тот момент, когда точка отрыва достигает среднего положения, которому соответствует расстояние 0,3 от носка. После этого проводим расчеты с постоянным возмущением

Ау] /а = 10~5 и изменяемыми значениями угла атаки.

Эксперимент Ламонта

---г---Т-1—■—¡^—I -б-1-------- -

0 20 40 60 80 а О

Рис. 11. Зависимость коэффициента интегральной поперечной силы от угла атаки

Расчетная зависимость поперечной силы для модели «конус-цилиндр» (рис. 11) получена при возмущении Ду,/а = Ю-4. Для лучшего согласования с экспериментами место ввода возмущения было принято равным 0,25£>, отсчитывая от носка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. По результатам продувок в аэродинамической трубе моделей тел-вращения с оживальной, конической и полусферической носовыми частями установлена причинно-следственная связь между несимметричным вихревым следом и направлением поперечной силы, описан механизм образования поперечной силы.

2. Получены полуэмпирические зависимости изменения углов отрыва потока, применение которых в разработанной расчетной модели существенно упрощает алгоритмы расчета и сокращает время вычислений.

3. На основе существующих моделей точечных вихрей (Брайсона, Водлоу) и дискретных вихрей (Маршалл, Деффенбаф и др.) разработана модель расчета обтекания тел вращения. В этой модели изменение углов отрыва потока определяется по полученным полуэмпирическим зависимостям.

4. Исследована устойчивость симметричного движения вихрей за круговым цилиндром. Показано, что симметричное развитие вихрей является неустойчивым к возмущениям по направлению течения. Получены области неустойчивости положения точечных вихрей при различных их интенсивностях.

5. Создана расчетная программа, реализующая модифицированный метод точечных вихрей. Проведены исследования по методике расчета и тестирования программы путем сравнения с экспериментальными и теоретическими результатами поперечного обтекания импульсно приведенного в движение кругового цилиндра других авторов. Показано, что при расчетах выбором значений свободных параметров можно определить их базовые значения, при которых расчетные и экспериментальные зависимости сопротивления оказываются близкими.

6. По аналогии нестационарного вихревого следа за круговым цилиндром и стационарного следа в соответствующих поперечных сечениях тела вращения модель поперечного обтекания распространена к расчету обтекания осесимметричных тел под углом атаки. Сопоставлением экспериментальных и расчетных аэродинамических характеристик обтекания моделей с оживальной и конической носовыми частями показана возможность получения удовлетворительных результатов.

7. Составленная вычислительная программа может быть использована для определения распределенных и суммарных аэродинамических характеристик осесимметричных компоновок в диапазоне углов атаки, где наблюдается максимальная поперечная сила.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ Д ИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные в рекомендуемых ВАК журналах

1. Гумеров A.B. Экспериментальное исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под большими углами атаки / Гумеров A.B., Клементьев В.А., Галиев А.Г. // Известия вузов. Авиационная техника, 2003, №4. С. 24-27.

2. Гумеров A.B. Расчет обтекания тел вращения методом сосредоточенных вихрей / Гумеров В.Г., Гумеров A.B. // Известия вузов. Авиационная техника, 2005, №4. С. 28-32.

3. Гумеров A.B. Исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под углом атаки / Гумеров A.B., Гумерова Л.В., Бальзанникова Е.М. // Вестник СГАУ, Самара. 2008, №2. С.38-46.

Работы, опубликованные в других изданиях

4. Гумеров A.B. Экспериментальные исследования боковых сил, действующих на осесимметричные тела при больших углах атаки // Тезисы докладов 28-ой Самарской областной студенческой научной конференции. Самара: СГАУ, 2002, №4. С. 147-148.

5. Гумеров A.B. Расчет аэродинамических характеристик методом сосредоточенных вихрей при обтекании тел вращения под большими углами атаки // Сборник 5-х научных чтений памяти М.К. Тихонравова по военной космонавтике «Космос и обеспечение безопасности России». Юбилейный: 4 ЦНИИ МО РФ, 2004, Т 3. С. 39-42.

6. Гумеров A.B. Расчет обтекания тел вращения под большими углами атаки методом дискретных вихрей // Тез. докл. 5-й междунар. конф. «Авиация и космонавтика-2006». Москва: МАИ, 2006. С.40-41.

7. Гумеров A.B. Моделирование обтекания тел вращения точечными вихрями // Тез. докл. науч.-техн. конф. молодежи ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс». Самара, 2007. С. 18-19.

¿/с иесс^^/ С'^гд

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Усл. печ. л. 0,93. Усл. кр.-отг. 0,93. Уч. изд. л. 0,98. _Тираж 100. Заказ Л 212._

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111, Казань, К.Маркса, 10

Введение.

Глава 1. Поперечная сила на осесимметричных телах, обтекаемых под большими углами атаки.

1.1 Обзор экспериментальных исследований.

1.2 Обзор методов численного моделирования.

1.3 Цели -и задачи настоящих исследований.

Глава 2. Экспериментальное исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под углом атаки.

2.1 Описание экспериментальной установки.

2.2 Подготовка и проведение экспериментов.

2.3 Анализ результатов экспериментов.

2.3.1 Модель «конус-цилиндр».

2.3.2 Модель «полусфера-цилиндр».•.

2.3.3 Модель «оживал-цилиндр».

2.3.4 Модели наклонных цилиндров.

2.4 Визуализация вихревых структур.

Глава 3. Метод сосредоточенных вихрей в расчетах обтекания тел ращения.

3.1 Общая постановка задачи гидродинамики.

3.2 Зависимости угла отрыва потока от поверхности.

3.2.1 Изменение угла отрыва в начале движения.:.

3.2.2 Изменение угла отрыва относительно среднего положения.

3.3 Модель сосредоточенных вихрей поперечного обтекания • кругового цилиндра.

3.4 Модель сосредоточенных вихрей обтекания тел вращения под углом атаки.

3.5 Поперечная и нормальная сила сопротивления при обтекании тел вращения под углом атаки.

3.5.1 Невихревая составляющая сил.

3.5.2 Вихревая составляющая сил.

3.6 Исследование устойчивости симметричного развития вихрей за круговым цилиндром

3.7 Описание вычислительной программы

Глава 4. Проведение расчетов обтекания тел вращения.

4.1 Расчет поперечного обтекания кругового цилиндра методом сосредоточенных вихрей.

4.1.1 Двухвихревая модель обтекания.

4.1.2 Трехвихревая модель обтекания.

4.1.3 Четырехвихревая и пятивихревая модели обтекания.

4.2 Расчет обтекания тела вращения под углом атаки методом сосредоточенных вихрей.

4.2.1 Расчет обтекания модели Ламонта оживал-цилиндр» (K=2D).

4.2.2 Расчет обтекания модели Ламонта и Ханта «конус-цилиндр» (K=2D).

Достаточно давно известно, что при обтекании тел вращения под большими углами атаки формируется асимметричная вихревая система. Первоначально это явление интересовало аэродинамиков только из-за возникновения интерференции сходящих с корпуса летательного аппарата вихрей и расположенных вниз по потоку поверхностей оперения. И лишь позднее стало ясно, что формирование асимметричной вихревой системы способно индуцировать значительные по величине асимметричные нагрузки на корпус летательного аппарата даже при нулевом угле скольжения. Результаты экспериментальных исследований показали, что индуцированная такой вихревой системой боковая сила может по величине превосходить нормальную силу. Это в свою очередь вызывает момент рыскания, который может превосходить управляющий момент при полном отклонении руля направления. В частности замечено, что при определенных условиях движения летательного аппарата по крену может произойти внезапное изменение направления индуцированной вихревой системой боковой силы и момента рыскания на противоположное.

Предъявляемые в настоящее время к ракетам и самолетам требования по устойчивости и управляемости на больших углах атаки вынудили к проведению интенсивных исследований явлений, связанных с образованием асимметричной вихревой системы около тел вращения. Изучение довольно большого числа публикуемых работ, посвященных этой тематике, показывает, что проведение экспериментов оказывается не простым делом. Эксперименты в аэродинамических трубах указывают на высокую чувствительность ассиметричных нагрузок к микроасимметрии моделей, значению числа Рейнольдса, числа Маха, турбулентности потока в трубе и т.д. Хотя опубликованные материалы и позволяют обнаружить некоторые закономерности, связанные с рассматриваемым течением, наличие расхождений затрудняет глубокое понимание механизмов наблюдаемых явлений. Первая часть данной диссертационной работы посвящена экспериментальному исследованию поперечной силы. Где устанавливается взаимосвязь между положениями линии отрывов, вихревыми структурами и направлением поперечной силы.

На этапе предварительного проектирования, должны быть известны возможные значения поперечной силы и момента рысканья. Проектировщик должен каким-то способом заранее определить влияние вихрей на характеристики полетного режима. Тогда он сможет принять правильное решение о проведении мероприятий, направленных на устранение неблагоприятных эффектов или уменьшения их влияния до уровня, с которым способна справиться система управления полетом. Для этого требуется понимание происходящих аэродинамических явлений, что необходимо при проведении расчетных работ.

На сегодняшний день в механике жидкости и газа существует большое количество математических методов, начиная- от простейших разновидностей метода особенностей и кончая методами, основанными на решении полных уравнений Навье-Стокса. На стадии предварительного проектирования при моделировании вихревого следа за корпусом целесообразно использовать рациональную методику, которая относительно проста в реализации и позволяет получать результаты за приемлемое расчетное время. В связи с этим получили развитие вихревые методы, основанные на невязком моделировании асимметричных вихревых течений. Часть этих методов основана на аналогии с двумерным обтеканием цилиндра, внезапно приведенного в движение. Вторая' половина настоящей работы посвящена разработке инженерной расчетной модели, для оценки аэродинамических характеристик тел кругового сечения при больших углах атаки.

Целью настоящей работы является описание механизма возникновения поперечной силы при несимметричном развитии вихрей на телах вращения под большими углами атаки, а также разработка расчетной модели на основе существующих методов сосредоточенных (точечных) и дискретных вихрей для определения аэродинамических характеристик тел вращения на больших углах атаки.

Диссертационная работа содержит экспериментальную и теоретическую часть. В экспериментальной части исследуется механизм появления поперечной силы. В теоретической части модифицирован метод точечных вихрей для расчета обтекания тел вращения невязкой несжимаемой жидкостью под углом атаки.

В главе. 1 диссертации дан обзор наиболее известных работ по экспериментальному исследованию поперечной силы на осесимметричных телах при больших углах атаки. Приводится обзор имеющихся в литературе методов вычислительного моделирования. На основании проведенного анализа сформулированы основные задачи настоящего исследования.

В главе 2 приводятся результаты экспериментальных работ по измерению поперечной силы, визуализации спектра течения на поверхности моделей и дымовая визуализация вихревых структур. Эксперименты проводились в дозвуковой аэродинамической трубе Самарского государственного аэрокосмического университета. По результатам экспериментов описывается механизм появления поперечной силы.

В главе 3 диссертации представлена модифицированная расчетная схема метода сосредоточенных вихрей применительно к двумерной и трехмерной -задачи обтекания осесимметричных тел. Приводятся выводы полуэмпирической зависимости угла отрыва потока от поверхности и расчетных формул сил сопротивления.

В главе 4 проводятся расчеты двумерного обтекания цилиндра методом сосредоточенных вихрей. Проведены расчеты обтекания тел вращения и дается сравнение с экспериментальными результатами.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе, отражающие ее научную новизну и практическую значимость.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертационной работы, отражающие ее научную новизну:

• описание механизма появления поперечной силы при обтекании тела вращения под большими углами атаки;

• модификация метода сосредоточенных вихрей для расчета обтекания осесимметричных тел под большими углами атаки;

• вывод полуэмпирических зависимостей точек отрыва по времени и применение этих зависимостей в модифицированном методе точечных вихрей;

• расчетная программа, реализующая модифицированный метод точечных вихрей;

• результаты вычислительных экспериментов по исследованию аэродинамики тел вращения на больших углах атаки.

Практическая значимость работы заключается в том, что модифицированная модель сосредоточенных вихрей вместе с полуэмпирическими зависимостями линий отрывов позволяет рассчитывать аэродинамические характеристики тел вращения на больших углах атаки. Полученные полуэмпирические зависимости линий отрывов применимы и при расчетах аэродинамических характеристик методом дискретных вихрей.

Основное содержание диссертационной работы опубликованы в рекомендуемых ВАК журналах: «Известия вузов. Авиационная техника» в 2003 и в 2005 г. [6,7], «Вестник СГАУ» в 2008 г. [8].

Основные результаты работ докладывались на 5-х научных чтениях памяти М.К.Тихонравова по военной космонавтике «Космос и обеспечение безопасности России» в 4 ЦНИИ МО РФ (Юбилейный — 2004 г.); на 5-й международной конференции «Авиация и космонавтика-2006» в МАИ (Москва - 2006 г.); на научно-технической конференции молодежи «Инновационные разработки - основа создания мирового лидирующего продукта в ракетно-космической отрасли» в ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс» (Самара - 2007 г.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. По результатам продувок в аэродинамической трубе моделей тел вращения с оживальной, конической и полусферической носовыми частями в широком диапазоне углов атаки установлена причинно-следственная связь между несимметричным вихревым следом, положениями линии отрывов и направлением поперечной силы, описан механизм образования поперечной силы.

2. Одной из сложных и трудоемких операций при расчете отрывного обтекания является определение изменения точек отрыва при поперечном обтекании внезапно приведенного в движение кругового цилиндра. В диссертационной работе получены полуэмпирические зависимости изменения углов отрыва потока, применение которых в разработанной расчетной модели существенно упрощает алгоритмы расчета и сокращает время вычислений.

3. На основе существующих моделей точечных вихрей [5, 33] и дискретных вихрей [1, 39, 44] разработана модель расчета поперечного обтекания импульсивно приведенного в движение кругового цилиндра методом сосредоточенных вихрей. В этой модели изменение углов отрыва потока определяется по полученным полуэмпирическим зависимостям.

4. Исследована устойчивость симметричного движения вихрей за круговым цилиндром. Показано, что симметричное развитие вихрей является неустойчивым к возмущениям по направлению течения. Получены области неустойчивости положения точечных вихрей при различных их интенсивностях.

5. Создана вычислительная программа, реализующая модифицированный метод точечных вихрей. Проведены исследования по методике расчета и тестирования программы путем сравнения с экспериментальными и теоретическими результатами поперечного обтекания импульсно приведенного в движение кругового цилиндра других авторов. Показано, что при расчетах выбором значений свободных параметров можно определить их базовые значения, при которых расчетные и экспериментальные зависимости сопротивления оказываются близкими.

6. По аналогии нестационарного вихревого следа за круговым цилиндром и стационарного следа в соответствующих поперечных сечениях тела вращения модель поперечного обтекания распространена к расчету обтекания осесимметричных тел под углом атаки [5, 33]. Сопоставлением экспериментальных и расчетных аэродинамических характеристик обтекания осесимметричных моделей под углом атаки показана возможность получения удовлетворительных результатов.

7. Составленная вычислительная программа может быть использована для определения распределенных и суммарных аэродинамических характеристик осесимметричных компоновок в диапазоне углов атаки, где наблюдается максимальная поперечная сила.

1. Белоцерковский С.М. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука, 1988, 232 с.

2. Бычков Н.М. О появлении боковых сил на телах вращения при больших углах атаки. Прикладная аэрогазодинамика и тепловые процессы, Новосибирск, 1980.

3. Бычков Н.М., Коваленко В.М. Аэродинамические характеристики кругового цилиндра в поперечном потоке. Изв. Сиб. Отд. АН СССР, сер. техн. Наук, 1980, №8, вып. 2.

4. Васильев Л. Е., Николаев И. В., Рябус В. Н. Метод масляно-сажевого покрытия с летучим компонентом для визуализации картины обтекания поверхностей моделей при испытаниях в аэродинамических трубах // Тр. ЦАГИ. 1975. Вып. 1687.

5. Водлоу А. Расчет поперечной силы при больших углах атаки // Ракетная техника и космонавтика, 1974. № 8. С. 173 175.

6. Гумеров A.B., Клементьев В.А. и Галиев А.Г. Экспериментальное исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под большими углами атаки. Известия вузов: Авиационная техника, №4, 2003, с 24-27.

7. Гумеров В.Г., Гумеров A.B. Расчет обтекания тел вращения методом сосредоточенных вихрей. Известия вузов: Авиационная техника, №4, 2005, с 28-32.

8. Гумеров A.B. Исследование поперечной силы при обтекании тел вращения под углом атаки / Гумерова Л.В. // Вестник СГАУ, Самара. 2008, №2. -С. 38-46.

9. Крайко А.Н., Рент К.С. Невязкая природа несимметрии отрывного обтекания симметричных тел. ПММ. 1999. Т.63. Вып. 1. С. 63-70.

10. Кочин Н.Е., Кибель И.А. и Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 4.1. 535 с.

11. Ламонт П. Результаты измерений давления на поверхности цилиндрической модели с оживальной носовой частью, обтекаемой в условиях различных режимов под углом атаки // Ракетная техника и космонавтика, 1983. №6. с. 15 — 25.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. с. 848.

13. Мерти B.C., Роуз В.К. Детальные измерения аэродинамических характеристик кругового цилиндра при поперечном обтекании // Ракетная техника и космонавтика, 1978. № 6. с. 8 — 11.

14. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964 с. 660.

15. Нестерова В.А. Основы проектирования ракет класса «воздух-воздух» и авиационных катапультных установок для них. М.: Изд-во МАИ, 1999. 792 с.

16. Нилсен Дж, Аэродинамика управляемых снарядов, кн М.: Оборонгиз, 1962.473 с.

17. Озеринин В.Н., Семенников Н.В. Исследование поперечных сил тел вращения при больших углах атаки.

18. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука. Гл. ред. физм.-мат. лит., 1992. 424 с.

19. Сарпкайя Т. Течение с отрывом около тел, обладающих подъемной силой, и внезапно начинающееся течение около цилиндров // Ракетная техника и космонавтика, 1965. № 3. с. 41 — 49.

20. Сарпкайя Т. Аналитическое исследование отрывного обтекания круговых цилиндров // Труды амер. об-ва инж.-мех. серия D. 1968. № 4. с. 82-94.

21. Сарпкайя Т., Шоаф. Невязкая модель образования двумерных вихрей за круговым цилиндром // Ракетная техника и космонавтика, 1979. № 11. с. 51.

22. Сахно А.Г. Особенности поведения аэродинамических характеристик тел вращения при больших углах атаки. Аэродинам, проектир. летат. аппаратов. Харьков. 1985, с. 86-91.

23. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000, 375 с.

24. Фещенко С.А., Худяков Г.Е. Влияние степени турбулентности набегающего потока на аэродинамические характеристики гладкого осесимметричного тела при больших углах атаки. Вестн. МГУ. Сер.1. 1990, №4, с. 95-98.

25. Хемш М., Нилсен Дж, Аэродинамика ракет, кн. 1.М.: Мир, 1989. 426 с.

26. Хемш М., Нилсен Дж, Аэродинамика ракет, кн. 2.М.: Мир, 1989. 510 с.

27. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

28. Almosnino D. High Angle-of-Attack Calculations of the Subsonic Vortex Flow on Slender Bodies//J. AIAA. 1983. Vol. 23, №8, P. 1150- 1156.

29. Almosnino D. and Rom J. Lateral Forces on a Slender Body and There Alleviation at High Incidence // J. Spacecraft. 1981. Vol. 18, №5, P. 393-400.

30. Bingham H.H., Weimer D.K. and Griffith W. The cylinder and semicylinder in subsonic flow. Princeton Univ., Dept. of Physics. 1952. Tech. Rept. 1113.

31. Bouard R., Coutanceau M. The early stage of development of the wake behind an impulsively started cylinder for 40<Re<104// J. Flued Mech. 1980. Vol. 101. part 3. P. 583-607.

32. Braza M., Chassaing P. and Ha Minh H. Numerical study and physical analysis of the pressure and velocity fields in the near wake of a circular cylinder // J. Flued Mech. 1986. Vol. 165. P. 79 130.

33. Bridges D.H. and Hornung H.G. Elliptic Tip Effects on the Vortex Wake of an Axisymmetric Body at Incidence // J. AIAA. 1994. Vol. 32, № 7, P. 1437- 1445.

34. Bryson A.E. Symmetric vortex separation on circular cylinders and cones // J. of Applied Mechanics. 1959. Vol. 26. No. 4. p. 643 648.

35. Chaderjian N.M. Comparison of two Navie-Stokes Codes for Simulating High-Incidence Vortical Flow // J. of Aircraft. 1993. Vol. 30, № 3, pp. 357-364.

36. Collins W.M. and Dennis S.C.R. The initial flow past an impulsively started circular cylinder. Q. J. Mech. Appl. Maths 26, 1973a, 53.

37. Cottet G.H., Koumoutsakos P. Vortex Methods: Theory and Applications. Cambridge University Press, 1999, p. 367.

38. Cummings R.M., Forsythe J.R., Morton S.A., Squires K.D. Computational challenges in high angle of attack flow prediction. Progress in Aerospace Sciences. Vol. 39. № 5, 2003, pp 369-384.

39. Chien-Cheng Chang and Ruey-Ling Chern. A numerical study of flow around an impulsively started circular cylinder by a deterministic vortex method // J. Flued Mech. 1991. Vol. 233. P. 243 263.

40. Deffenbaugh F.D. and Koerner W.G. Asymmetric Vortex Wake Development on Missiles at High Angles of Attack // J. Spacecraft. 1977. Vol. 14, №3, P. 155- 162.

41. Degani D. and Zilliac G.G. Experimental Study of Nonsteady Asymmetric Flow Around an Ogive-Cylinder at Incidence // J. AIAA. 1990. Vol. 28. № 4. pp. 642 649.

42. Degani D., Tobak M. and Zilliac G.G. Surface Flow Patterns on an Ogive-Cylinder at Incidence // J. AIAA. 1992. Vol. 30. № 1. 272 274.

43. Degani D., Schiff L.B. Numerical Simulation of the Effect of Spatial Disturbances on Vortex Asymmetry // AIAA J. 1991. Vol. 29, № 3, pp. 344-352.

44. Fraczak J. Numerical Simulation of Separated Flow Past a Circular Cylinder by a Discrete-Vortex Method // J. of Theoretical and Applied Mechanics. 1991. Vol. 22, №3. P. 75-88.

45. Gebert G.A. Determination of Slender Body Aerodynamics Using Discrete Vortex Methods // J. of Spacecraft and Rockets. 1994. Vol. 31, № 2, P. 200-207.

46. Gerrard, J.H., Numerical Computation of the Magnitude and Frequency of the Lift on a Circular Cylinder, Phil. Trans. Roy. Soc., 1967, Vol. 261, № 1118, pp. 137-162.

47. Hartman K. Experimental investigation on an ogive-nosed body at high incidence and different Reynolds numbers. Front. Fluid Mech.: Proc. Beijing Int. Corif. Fluid Mech., Beijing, 1-4 July, 1987. Oxford etc. 1988, c. 409415.

48. Hoang N.T., Rediniotis O.K. and Telionis D.P. Hemisphere Cylinder ay Incidence at Intermediate to High Reynolds Numbers // AIAA J. 1999. Vol. 37, № 10, pp. 1240-1250.

49. Humphreys J. S. On a circular cylinder in a steady wind at transition Reynolds numbers // J. Flued Mech. 1960. Vol. 150. P. 603 612.

50. Hummel D. On the Vortex Formation over a Slender Wing at Large Incidence. AGARD-CP-247. 1979, Paper №15.

51. Hydrodynamics around cylindrical structures / B. Mutlu Sumer, Jorgen Fredsoe. (Technical University of Denmark). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, Singapore, 1997.

52. Keener E.R. Oil Flow Separation Patterns on an Ogive Forebody // J. AIAA. 1983. Vol. 21. № 4. pp. 550 556.

53. Kelly H.R. The estimation of normal-force and pitching moment coefficients for blunt-based bodies of revolution at large angles of attack // J. Aerospace Sci. 21, 549-555, 565 (August 1954).

54. Lamont P.J. and Hunt B.L. Pressure and Force Distribution on a Sharp-Nosed Circular Cylinder at Large Angles of Inclination to a Uniform Subsonic Stream // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 76. part 3. pp. 519 559.

55. Lamont P.J. and Hunt B.L. Prediction of Aerodynamic Out-of-Plane Forces on Ogive-Nosed Circular Cilinders // J. of Spacecraft. 1976. Vol. 14. № 1. pp. 38-43.

56. Leu T.S., Chang J.R. and Lu P.J. Experimental Investigation of Side Forse Control on Cone-Cylinder Bodies With Flexible Micro Balloon Actuators. Progress in Aerospace Sciences. Vol. 29. № 8, 2005, pp 909- 918.

57. Lowson M.V. and Ponton A.J.C. Symmetry Breaking in Vortex Flows on Conical Bodies // AIAA J. 1992. Vol. 30, № 6. pp. 1576 1583.

58. Luo S.C., Lua K.B. and Lim T.T. Side Force on an Ogive Cylinder: Effects of Freestream Turbulence // AIAA J. 2001. Vol. 39, № 12. pp. 2409 2411.

59. Marshal F.J and Deffenbaugh F.D., Separated Flow over a Body of Revolution, J of Aircraft. 1975. Vol. 12, № 2, P. 78-85.

60. Mustto A.A., Bodstein G.C.R. and Hirata M.H. Vortex Method Simulation of the Flow Around a Circular Cylinder // J. AIAA. 2000. Vol. 38, № 6, P. 1100 — 1102.

61. Norberg C. An experimental investigation of the flow around a circular cylinder: influence of aspect ratio // J. of Fluids Mech. 1994. Vol. 258, pp. 287-316.

62. Rainbird W.J. Crabbe R.S., Peake D.J. and Meyer R.F., Some Examples of Separation in Three-Dimensional Flows. Canadian Aeronautics and Space Journal. Vol. 12. Dec. 1966. pp. 409-423.

63. Reding J.P. and Ericsson L.E. Maximum Side Forces and Associated Yawing Moments of Slender Bodies // J. of Spacecraft. 1980. Vol. 17. № 6. pp. 515-521.

64. Reding J.P. and Ericsson L.E. Re-examination of the Maximum Normalized Vortex-Induced Side Force // J. of Spacecraft. 1984. Vol. 21. № 5. pp. 433 440.

65. Sarpkaya T. and Schoaff R.L. Inviscid Model of Two-Dimensional Vortex Shedding by a Circular Cylinder // J. AIAA. 1979. Vol. 17. № 11. pp. 1193 1200.

66. Sarpkaya T. Computational Methods With Vortices The 1988 Freeman Scholar Lecture // J. of Fluids Engineering. 1989. Vol. 111, P. 5 - 52.

67. Sarpkaya Т., Kline H.K. Impulsively-Started Flow About Four Types of Bluff Body // J. of Fluids Engineering. 1982. Vol. 104, P. 207 213.

68. Shendel L., Effects of Vortex Separation on the Lift Distribution on Bodies of Elliptic Cross Section // J of Aircraft. 1969. Vol. 6, № 6, P. 537 543.

69. Schiff L.B., Degani David, and Cummings R.M. Numerical Simulation and Vortical Flows on Bodies at Large Angles of Attack // Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows IV. 1990. pp. 205-221.

70. Smith P.A. and Stansby P.K. Impulsively started flow around a circular cylinder by the vortex method // J. Flued Mech. 1988. Vol. 194. P. 45 77.

71. Stahl W. Suppression of Asymmetry Behind Circular Cones // AIAA J. 1990. Vol. 28, № 6. pp. 1138 1140.

72. Stansby P.K and Dixon A.G. The Importance of Secondary Shedding in Two-Dimensional Wake Formation at Very High Reynolds. Numbers, Aeronaut. Quart., Vol. 33, pp. 105-123.

73. Tadrist H., Martin R. and Tadrist L. Experimental investigation of fluctuating forces exerted on a cylindrical tube // J. Phis. Fluids' A2 (12). December 1990. pp. 2176-2181.

74. Thomson K.D. and D.F. Morrison. The Spacing, Position and Strength of Vortices in the Wake of Slender Cylindrical Bodies at Large Incidence // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 50. part 4. pp. 751 783.

75. Ward K.C. and Katz J. Development of Flow Structures in the Lee of an Inclined Body of Revolution // J. Aircraft. 1989. Vol. 26. № 3. 198 205.

76. Ward K.C. and Katz J. Topology of the Flow Structures Behind an Inclined Projectile: Part B // J. Aircraft. 1989. Vol. 26. № 11. 1023 1031.

77. Wardlaw A.B. and Yanta W.J. Multistable Vortex Patterns on Slender, Circular Bodies at High Incidence // J. AIAA. 1982. Vol. 20. № 4. pp. 509- 515.

78. Yokuda S and Ramaprian B.R. The dynamics of flow around a cylinder at subcritical Reynolds numbers. // J. Phis. Fluids A2 (5). May 1990. pp. 784-791.

79. Zdravkovich, M.M. Flow around a circular cylinders. Vol. 1: fundamentals. Oxford University Press, 1997, 672 pp.

80. Zeiger M.D., Telionis D.P. and Vlachos P.P. Unsteady Separated Flows Over Three-Dimensional Slender Bodies. Progress in Aerospace Sciences. Vol. 40. № 4, 2003, pp 291- 320.

81. Zilliac G.G., Degani D. and Tobak M. Asymmetric Vortices on a Slender Body of Revolution // J. AIAA. 1991. Vol. 29. № 5. pp. 667 674.