Экстремальные процессы, определяемые интегральными уравнениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукопиои

МАСЬКИН Николай Михайлович

УДК 517.977 517.977.58

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМ

Специальность: Cl.01.09 - математическая

кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1991

Работа выполнена на кафедре теории сиотем управления факультета прикладной математики - процеооов управления государственного Санкт-Петербургского университета.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Р.А.Нелепин

Официальныэ оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

В.А.Троицкий

кандидат физико-математических наук, доцент

А.П.Жабко

Ведущая организация - Институт кибернетики АН УССР имени

в " часов иа заседаний специализированного совета К - 063.57.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в государственном Санкт-Петербургском университета я<5 едре«у; Санкт-Петербург, Васильевокий остров, 10 линия, дом 33, а?д.

■ С диссертацией можно Ознакомиться в библиотеке ГСПУ.

Автореферат разослан " МоАЬРЖ Ш1 г.

Ученый секретарь слециализироваййогб совета, юедйдат физико-математичесгажх наук,

акад. В.М.Глушкова

Защита диссертации соотоитоя

доцечт

ГОРЬКОВОЙ В,Ф,

~~чаЭГ

Щ

I

-3-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 'ктуальность работы. Фундаментальное значение во многих зада-

теории управления приобретают исследования динамических систем, определяемых интегральными уравнениями, построение методов для чкслелного решения этих задач.

К настоящем/ времени теория принципа максимума для систем, определяемых дифференциальными уравнениями .достаточно разработана.

В связи с бурным развитием вычислительной техники стал существенно расширяться круг задач науки, техники, экономики, для которых стало возможным получение численного решения для практического применения. Само же применение современных вычислительных средств выдвигает перед математиками задачи построения новых алгоритмов решения,без которых использование машины не всегда эффективно.

Создание аппарата интегральных уравнений для описания управляемых процессов позволяет обобщить уже известные результаты и наряду с этим построить новые алгоритмы управления системами.

Интегральные модели обладают рядом преимуществ по сравнению о моделями, описываемыми дифференциальшдга уравнениями, особенно в следующих случаях:

1/ исследуемая система является нестационарной. Благодаря тому, что в интегральное уравнение входят вое предыдущие значения процесса, оказывается возможным получать алгоритмы построения управления для систем о переменными параметрами;

2/ использование интегральных моделей позволяет без труда выяснить ряд интересных моментов, связанных с выбором конечных условий, получить новую форму записи уравнений для экстремалей;

3/ в работах, в которых исследуется численные методы решения экстремальных задач, используются в основном различные варианты метода градиента или метода Ньютона, либо дискретизация исходной задачи путом перехода от дифференциальных уравнений к разностным. При этом в случае систем, описываемых дифференциальными уравнениями вксокого порядка, обычно требуется переход к записи уравнений в форме Коти, что во многих случаях усложняет формулировку и решение экстремальной задачи. Что касается конечно-разностной аппроксимации, то ее применение часто оказывается затруднительным вследствие значительных погрешностей аппроксимации производных высоких порядков и большой размерности получаемой дискретной за-

дачи. Переход к интегральным моделям позволяет в ряде случаев преодолеть отмеченные трудности.

Во многих работах по теории управления Бутковским А.Г., Винокуровым В.Р., Брикманом М.С., Голубенцовкм А.Н. и другими авторами показана эффективность применения метода интегральных уравнений.

Заметим,что во всех опубликованных работах рассматриваются задачи с фиксированным временем и свободным правым концом.

Обсая теория оптимальных процессов,определяемых интегральными уравнениями.пока но построена. В настоящей работе ставится задача построения элементов этой теории. Диссертация посвящена теоретическому выводу необходимых условий экстремума для различных задач управления,определяемых интегральными уравнениями,и построению градиентных методов численного решения атих задач.

Методы исоле.;тор.?ния.Г1оставленнне в диссертации задачи исследовались с применением теории интегральных уравнений,теории матриц, теории систем.

Кпучиая новизна.В диссертации вывод необходимых условий оптимальности для систем,определяемых дифференциальными уравнениями, обобщается на случай системы иктогральных уравнений и выводятся необходимые условия экстремума функционала.

Впервые строятся методы спуска для численного решения задач оптимального управления процессами,определяемыми системой интегральных уравнений.

В диссертации представлены следующие основные результаты!

1.Выведены формула вариации правого конца траектории и формула вариаций функционалов для основной задачи управления,задачи о подвижным правым концом и задач с фиксированным временем управления,

2.Получены оиотема уравнений в вариациях и интегральное уравнение резольвенты.

3.Для основной задачи управления и задачи с подвижным правым концом найдены системы сопряженных интегральных уравнений.

4.Для каждой вышеназванной задачи построены функции Лагранжа.

5.Найдены необходимые условия экстремума для основной задачи, задачи о подвижным правым концом в для задач о фиксированным временем управления.

6.Результаты,указанные в пунктах 1 - б,подучены также для задач управления с параметрами.

7.Поотроены градиентные методы численного решения основной эа-

дачи оптимального управления,задачи с подвижным правым концом и задачи со свободным правым концом и фиксированным временем управления.

6.Для задачи с подвижным правим концом выведены формулы вариаций граничных условий.

9.Приведен подробный алгоритм численного решения задачи о подвижным правым концом.

10.Дано приложение полученных теоретических результатов. Численным методом на ЭВМ решена задача о нахождении оптимального закона изменения тяги,обеспечивающего вертикальный подъем ракеты на макскматьную высоту,приведены программа и таблицы расчетов.

Практическая пенность.Полученные в диссертации результаты могут быть применены при решении различных задач теории оптимального управления в процессе проектирования автоматических систем.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав,заклачения,приложения и списка литературы /37 наименований на русском и иностранных языках/.

Апробация диссертации.Основные результаты работы докладывались и обсуядались на научных семинарах кафедры теории систем управления факультета прикладной математики - процессов управления государственного Санкт-Петербургского университета,на научных конференциях "Управление динамическими системами" факультета Ш-ПУ ГСПУ.на Санкт-Петербургском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и математической физика.

Публикации. Основное содержите диссертации опубликовано в 6 печатных работах,список которых приведен в конце автореферата.

СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается выбор темы исследования,освешаетоя научная новизна,приводится характеристика основных работ по данной теме,формулируется цель и основные задачи исследования.

В первой главе рассматривается задача поиска экстремума функционала ^

¡^(ЦХ^иь^З)^ /1/

для процессов,определяемых системой интегральных уравнений

х^^Ъ^^х^/^;/;^ а^гь, /г/

-Ьо

где - кусочно-непрерывная вектор-функция управления со

значениями в Ъ - мерном векторном пространства \] .Время управления не фиксировано,момент ~Ьо задан,момент -¿у заранее не задан.Получены необходимые услоеия экотремума для основной задачи к задачи о подвижным правым концом,лежащим на многообразии § » определяемом системой

ю = ?77г1. , , /з/

Для процессов,определяемых системой уравнений (2) .о функционалом а) получена сиотема уравнений в вариациях

/4/

Решение этого уравнения имеет вид

/5/

Показано,что матричная резольвента .соответствую-

щая матрице $) .удовлетворяет интегральному уравнений

Введена вспомогательная вектор-функция определяемая формулой ^

и удовлетворяющая лине£ному неоднородному интегральному уравнению ГШ = Св +!%(*) ^МсЬЯ. /7/

-ь

Здесь

■Ь -

М) = Ь /В/

•¿О

а ковариантный вектор С имеет вид С — )Сп) •

Введена функция Лагранха ^

выведены фофкут вариации точки

ъщ-ъ^аМЫ/г+е (Р(Ъ) +

и формула вариации функционала , I

где п (-Ь)- кусочно-непрерывная вектор-функция размернооти о <&

М ш=ач>(-ъ)/с1Ь +&Он,ь).

Окончательный результат сформулирован в виде теоремы. Теорема 1.1. Для того, чтобы управление и>("Ь)> траектория Х/(_~Ь) и момент била экстремальными для ооновной задачи

(4 ) < (2) .необходимо существование ко вариантного вектора С~(.1) ненулевой ковариантной вектор-функции

Ч*(-Ь)~(0; % ...>%,№)) 'Удовлетворяющей уравнении (у- ) ,для которых выполняются следующие уоловшп 1/ частная производная от функция Лагранха по управлению Цг на отрезке [~Ьо> 't^J почти всюду равна нулю:

2/ в момент = "¿у внполняотоя соотношение

СМ (¿0=0.

В третьем параграфа аналогичные соотношения получен» для задачи о подвижным правым концом:

1/ введена вспомогательная вектор-функция

•ь

удовлетворялиая уравнению ^

/12/

2/ функция Лаграяжа

/. Ш =А Ис^Л)^ УМИ^-УМ; /13/

ь

3/ получена формула вариации функционала

ГД8 э\/ _

Для задачи с подвижным правым концом получена

Теорема 1.2." Для того,чтобы управление и,(-к) .траектория Х(£) и момент тЬ =Ь{ были экстремальными для задачи с подвижным правым концом,необходимо существование ненулевой ковариантной вектор-функции Ч*(-Ь) = ( 0} ^ ... } ^ (-¿Л) .удовлетворяющей уравнению (12) .и коварианткого вектора /\ - Д^) >

определяемого формулой .Для которых выполняются условия:

1/ частная произзодная от функции Лагранка /_ по управлению И, на отрезке /""¿о > "б-/ ] почти всюду раБна нулю:

с>1(-б)/эи, = о;

2/ в момент выполняется соотношение

АМи,) = о.

Во втором к четвертом параграфах обсуждаются условия экстремума для основной задачи и задачи управления с подвешым пргпым концом.Доказано,что условия экстрему;.^ и в основной задачо.и в задаче с подвижным правил концом содержат достаточное число уравпиий для определения экстремалей.

В пятом параграфе получено интегральное условие оптимальности для задачи с подвижным правим концом,которое сформулировано в виде теоремы.

Теорема 1.3.Для того,чтобы управление Ш(~с) .траектория£(.-¿) и момент = "¿^ были оптимальными для задачи с подвижным правым концом,необходимо существование ненулевой ковариантной вектор-функции = ( 0} (-Ь)}... ^п ШК , удовлетворявшей уравнению (12) ,и ковариантного вектора А~ ...; А ц,) • определяемого формулой ("15") «для которых выполняются условия:

ъ

1/] I а.шхиюШ^тСа} /.66,ад,:

•¿о и4е.и-Ьо

2/ Л Ми1)=о.

Первое из этих условий выполняется на траектории,второе является условием трансверсальности на правом конце траектории.

Интегральное условие оптимальности - аналог принципа максимума для кусочно-непрерывной вариации управления .имеющий несколько иной вид,чем у Л.С.Понтрягина.

-9В шестом параграфе рассмотрены задачи с фиксированным временем

управления.получены условия экстремума для основной задачи,задачи с подвижным правым кондом и для задачи со свободным правым концом.Для основной задачи с фиксированным временем управления получена теорема.

Теорема 1.4.Для того,чтобы управление и траекториях^

были экстремальными дай основной задачи с фиксированным временем управления,необходимо существование ковариантного вектора С =. (ijCfy • )Сп) 11 ненулевой ковариантной вектор-функций ¥Ш = (0) fi (tjr..) W ) .Улометворявдей уравнению [J-) .для которых выполняется следущео условие:

частная производная от функции Лагранжа L по управлении Ц> на отрезке [-Ь0} -bjJ почтя всюду равна нулю

dL(-tJ/эсь = о.

Для всех задач с фиксированным временем управления доказано, что условия экстремума содержат достаточное число уравнений рля определения экстремалей.

В главе 2 рассматриваются процессы,содержащие нз только управление,но и параметры.При этом система уравнений принимает вид

f^l-i) +J ¡{"(^XÍSjjilCSJ,VS)SjdSj CL-JJH, /16/

~to

Ищется экстремум функционала

3=fc-bi) +J k0(-étyxcsjj №), Ц S)cbS /17/

to ' L.

с незаданным конечным временем Ъ-f .

Рассматриваются,как и в главе 1,основная задача,задача о подвижным правым концом,лежащим на многообразии S .определяемом системой (Sj »и задачи с фиксированным временем управления. В первом параграфе выведена система уравнений в вариациях

' Ь ; . ___/18/-

■fco

реаенио которой задается формулой

+ff¿ tt, US)S)(P(SjbSj-hH (S¿ Zój) cLS} /1S/

введена вспомогательная вектор-функция

■bl -10-

nt)~CQ(-ti?iü;t)+J CQitijVjSjfc (s, ы, ь)&$,

■ь

удовлетворяющая уравнению ^

(¿1) Ц-Ь) +J y(S) Q(S, Ц-tJctSj /20/

-ъ

где

¡itt,VJ,S) = H (-1b,xtsJ, 1ЬЩЫ} SJ}

ir

h-b} u) ü t-t? ц sj £ (s)cOSj

to /21/ t о

H Lt, Ю) = 1S J ¿r-7- ti (t, Щ SjcOS;

■bo 0

ü (bfUS^S) - резольвентная матрица,соответотвувдая матрице Получены формула вариации -?очкд

S VC Нч) = £ МLi>i} -ujjh-td (P(-tu Ю +

■ti' ' . /22/ + НС-ЬьЮ+<! QitfMSjftSjcCS)

■to

и формула вариации функционала где

М lt, 0J = d ТШМ-Ь + % &t>- Ч * h

•¿у,

функция Лаураняа.. _ ?

Доказана оледутзд теорема.

"Теорема 2.1.&Ш того,чтобы, управление (^("t*)/.траектория• параметр ui 4 момент "k = был» экстремальными длд основной задачи • (Iii} .необходимо существование ковариантного вектора

С — (i ^Cf у..} С п.) и ненУлев°й ковариантной вектор-фуншши Ч>(Ь) = (0)У1 (Ь),..., УпШ ) .удовлетворяющей уравнению (20) «Для которых выполняются-условия:

1/ частная производная от функции Лагранжа £_ по управлению СО на отрезке -¿^ 2 почти всюду равна нули:

ъ1(-Ь>Ы)1'дии=0)

2/ интеграл по отрезку / от частной производной

функции Лагранжа (_ по параметру равен нулю:

3/ в момент -Ь = ±.1 Р'.яголняется соотношение

В третьем параграфе аналогичные формулы выведены и для задачи о подвижным правым концом:'

1/ вспомогательной вектор-функции

удовлеуворяюдей уравнению ^

9Ц) й а^г) +] п$) § ($> /25/

■Л

2/ функции Лагранжа

ЛИг) +1 адИщ-ьш) /¿б/

; 3/ вариации функционала

4 С / 11Лк1±1Ш „д, 4. ?Г )

, Условия экстремума определяются следующей теоремой. Теорема 2.2.Для того,чтобы управление Щ,[-Ь) ,траектория параметр Ц^ и момент "Ь были экстремальными для задачи (3), (1 (э) , (1Я-) с подвижным правым концом,необходим существование ковариантного вектора /\ =■ (.Л-^',.., .определяемого формулой (■} 5") >и ненулевой ковариантной вектор-функции = (0}% .удовлетворяющей уравнения (25".) .для которых выполняются условия:

1/ частная производная от функции Лагранжа' ¿_ по управленто Ц> на отрезке [~Ь0) ] почти всюду равна нулю:

/27/

д1-(-ь ,Ь5)(ъ1л=о->

2/ интеграл по отрезку [от частной производной функции Лагранжа ¡_ по параметру 16 равен нулю-

3/ в момент "С в выполняется соотношение

Лля основной задачи и задачи управления с подвитым правым концом соответственно во втором и четвертом параграфах доказано, что условия экотремума содержат достаточное число уравнений для определения экстремалей.

Далее,как и в первой главе.рассмотрены задачи о фиксированным временем управления,получены условия экстремума для основной задачи .задачи с подвижным правым концом и для задачи со свободным нрг.вым концом.

. Для основной задачи о фиксированным временем управления получена

Теорема 2.3.Для того,чтобы управление Ц (-Ь) .траектория XЦ), и параметр иГ'были экстремальными для основной задачи управления процессами с параметрами с фиксированным временем управления,необходимо существование ковариантного вектора С - (1)С1г—}Сп) и ненулевой ковариантной вектор-функции КР(Ь)= (0^% удовлетворяющей уравнению (2 0) ,для которых выполнятся условия:

1/ частная производная от функции Лагранжа по управления Ц, но отрезке ] почти всюду равна пулю:

д1(-Ь>Ъ5)1ЪШ= 0)

2/ интеграл по отрезку [~Ьа ^ 7 от частной производной функции Лагранжа ¡_ , по параметру УЗ равен пулю:

ЬМДазИ-ль.о.

Для всех рассмотренных задач управления доказано,что условия экстремума содержат достаточное число уравнений для определения экстремалей.

Третья глаиа посвящена построении методов спуска для численного решения задач оптимального управления процессами,определяемыми системой интегральных уравнений.

В-первом параграфе строится градиентный метод спуска к минимуму функционала основной задачи.Вариация управления ищется в виде

где

-131.3 .

Лк1-Ь) = 1/ ^^ } ¡С =

Подставляя правую часть (28) в.формулы вариаций координат точки

/29/

^о о и. о о где .§"-¿7 = £ К> , 5"¿¿("¿7 = £>2 > & - малая величина, получаем систему УЪ уравнений • _

- ъ&ш -А 0 £ , /30/

с УЬ неизвестными У Е~Ь-1 . ■ Здесь ;

л а) Л ..

Если определитель системы (3 0) отличен от нуля.то ее решение будет иметь ькд .

е^и^Ч0, ¿-=ттпч, ■

где

л* .г-

определяются из оиотемы

AjSJt-&cS'b=-Al'0, ¿ =

/32/

Используя формулы [29) и (3 i ) .формулу вариации функционала

S/33/

■¿о " ^

можно записать в виде

= /34/

гда -tío

F-Mb^t^J ÁjUjdtJn^

/JO to •

{> - произвольное малое число,знак которого будет определен

нозже.

Вариация функционала 5 зависит от выбора числа и вектора $0С (~Ь-() .Выбор необходимого значения может привести к возрастанию значения функционала.Однако,выбирая знак ■С противоположным знаку числа /V ,это возрастание можно уменьшить.При совпадении точкяХ^ХС'Ь^) с заданной точкой ОЬ имеем 5ОС (-Ь1) — 0 «вследствие чего получается р = О » Тогда

о ггЭ = УГ<г о,

где знак числа £ выбирается противоположным знаку числа N .

Таким образом,при новом управлении (-Ь) = & 15 И ("Ь) и новом моменте ~Ь* ~~Ь/ +5^1 функционал принимает меньшее значение,то есть

На следующей итерации за управление Ц/Ц) принимается Ц,^ (-¿3 • а за момент принимается .Получается убывающая последова-1елпюсть значений функционала,которая будет сходящейся,если функционал Э ограничен онизу.

Во втором параграфе Для построения градиентного метода спуска к минимуму функционала для задачи о подвижным правым концом вве-аени функции^Лагранжа ^

а ^) +1 (5}Ъ]сЬ5) ^ьпг, /353

ъх. ~ ъх, ;

иолучшш вспомогательные вектор-функции

яг

ЪъМ* _ /36/

ъхГ ® ^к*1*171'

ооотнетствуыдпб функциям J и удовлетворяющие уравнениям

+] /37/

Иолучеин формулы вариаций граничных условий

8ц*СбШ,о1=771; /с^ТТТтг.

■¿о "ЭК, / ,

Подставив правую часть соотношения (23?) в формулу вариации граничных условий (38) .после соответствующих преобразований получаем систрму УУЬ уравнений __.

с ггб независимыми переменными С и . где

л В А .....

Если определитель системы (39) отличен от нуля,то ее решение будет иметь вид

где

Я/ Л"1. & .ОТ

- постоянные числа,определяемые из сис-

темы

Используя формулы (22) и (Чо) .формулу вариации функционала (£3) можно записать в виде

где

Я*=[1оЩг~ А/ ) ^ 0 0

V - малое число,знак которого выбирается противоположным знаку числа

Если точка йC(t() принадлежит многообразию о .определяемому системой (3) ,то нужно положить - 0 .вследствие чего

получается - 0 . Тогда =О ,т<5 есть при переходе от управления Ц, (Ь) к управление Ц/ ("Ь] +• б И (Ь) будет

имэть место неравенство

Если для всех управлений значение фунзшионала J ограничено снизу,то последовательность его значений будет сходящейся.

Составлен алгоритм спуска к минимуму функционала для данной задачи.

Построен градиентный метод спуска для задачи со свободным правым концом и фиксированным временем управления.

В заключении кратко сформулированы полученные результаты.

В приложении о использованием полученных результатов численным методом на ЭВМ решена задача о нахождении оптимального закона изменения тяги,обеспечивающего вертикальный подъем ракеты на максимальную Еысоту,приведены программа и таблицы расчетов.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность профессору Келепину P.A. за руководство диссертационной работой,за постоянное внимание.многочисленные обсуждения и помощь в работе.

По теме диссертации имеются следующие публикации:

1.[,'аськин Н. №. Управление объектами .определяемыми интегральными уравнениями/задача с подвижным концом/.-В сб:Математические методы оптимизации и управления в системах,Калинин,1985,с.115-122.

2Лласькин Н.М.Управление объектами,определяемыми интегральными уравнениями/основная задача/.-В cö:Динамика систем и управление, Саранск, 1986, с. 106-112

З.Каськлн Н.М.Метод спуска душ решения задач управления процессами, определяемыми интегральными уравнениями/задача с подвижным концом/.-В сб:Математические методы в задачах управления и обработки данных.Рязань,1986.с.81-86.

'].Маськин Н.М.Шшлралыгое условие оптимальности для процессов, определяемых интегральными уравнениями.-В сб:Качественные и асимптотические методы интегрирования возмущенных дифференциальных уравнений,Саранск.1987,о.67-72.

5 .и'аськш! Н.М.Метод спуска для решения задач управления процессами, определяемыми интегральными уравненияш/основнач задача/. -Ii сб: Исследования по краевым задачам и их приложениям .Чебоксары, 1ЭУ7.С.67-72.

СЛ'аськин Н.М.Оптимальные процессы с параметрами.опроделлемна интегральными уравнениями.-В кн:Анализ и синтзз систем уиравле-нил.-Л. :.'1зд-по Ленингр.ун-та. 1907,о.96-100,/Вопрос» механики и пролоосов управления;Вып.Ю/.