Оптимизация прямых методов решения регулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО РАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

ХАБИБУЛЛИН Ильдар Шаукатович

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01. 01. 01 - математический анализ

Автореферат.

диссертации на соисканий ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1992

Работа выполнена на кафедре теории функций к прио'лиж Казанского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Зна государственного университета им. В. И.Ульянова-Ленина.

Научный руководитель - доктор фиьйко-математических нау

профессор Габдулхаев Б. Г. Официальные оппоненты -- локтор физико-математических нау

Ведущая организация - Молдавский государственный унивЕ

тет.

Защита диссертации состоится 27 февраля 1992 г. в, 14 на заседании специализированного совета по математике К 29.05 в Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Крас Знамени государственном университете им. В. И.Ульянова-Л( по адресу: 420008, г.Казань, ул. Ленина, 18, корпус 2,

С-диссертацией можно ознакомиться в научной библи< университета (г.Казань, ул. Ленина, 18).

Автореферат разослан 24 января 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета,,

ведущий научный сотрудник Лучка кандидат физико-математических ? доцент Тихоненко Н. Я.

217.

доцент

Б. Н. Шап

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

г I.

Актуальность темы. Многочисленные теоретические ' и при-дные задачи естественных наук и техники приводят к различ-классам интегральных уравнений.. В подавляющем большинстве чаев решить такие уравнения в замкнутом виде не удается, тому активно разрабатываются и исследуются приближенные ме-ы решения интегральных уравнений. К настоящему времени в м направлении получено много разнообразных результатов, ное развитие теории приближенных методов решения интег-ьных уравнений и многочисленность полученных результатов ает актуальной задачу- выбора наиболее точного и экономич-о метода решения данного уравнения или данного класса урав-:ий, т.е. задачу оптимизации вычислительных методов для ин-ральных уравнений. Эта задача решается в рамках исследовало оптимизации вычислительных методов; результаты этих ис-дований изложены в работах К. И. Бабенко, Н. С. Бахвалова, '. Габдулхаева, В.В.Иванова, Н.П.Корнейчука, С.М.Никольского, I.Переверзева, Дж.Трауба, X.Вожьняковского, С. Хейдриха и , в которых приведена обширная библиография.

В известных автору работах исследовались, главным, обра-[, линейные одномерные интегральные уравнения, в то время : многочисленные задачи математической физики и техники !буют решения нелинейных и многомерных интегральных уравне-[. Увеличение размерности и нелинейность уравнений приводит >езкому возрастанию объема вычислений, что делает задачу ■имизации приближенных методов решения этих уравнений -еще гее значимой.

Цель работы. Данная работа посвящена исследованию 01 мизации по точности прямых методов решения некоторых кла< нелинейных и многомерных линейных интегральных уравнений.

Методика исследований. При проведении исследований щественно-использовалась теория оптимизации прямых и прое! онных методов решения операторных уравнений в функционал! пространствах, разработанная Б. Г. Габдулхаевым Сем., напри» Ш). Наряду с этим использовались результаты общей тес приближенных методов линейного и нелинейного функционалы: анализа, теории поперечников компактов в функциональных прс ранствах и теории приближений сплайн-функциями и полиномам!

Научная новизна. Найдены оптимальные оценки погрешноса построены оптимальные по порядку точности прямые и проект ные методы решения ряда классов нелинейных и многомерных нейных интегральных уравнений с коэффициентами из клас Никольского-Соболева на параллелепипеде, торе и сфере.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация сит теоретический характер. Полученные в ней результаты мо быть применены при дальнейшем развитии прямых методов реше интегральных уравнений, при построении экономичных, быстрод ствующих методов решения интегральных уравнений, а также решении конкретных прикладных задач, сводящихся к этим урав ниям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации док дывались на V и VI Всесоюзных школах "Теоретические основы конструирование численных алгоритмов'решения задач матема ческой физики и теория приближений" Сг. Казань, 1994 г. , Горький, 1986 г.), на Всесоюзной конференции "Актуальные пр л^мы вычислительной и прикладной математики" С г. Новосибир.

1987 г.), на IV и V Всесоюзных зимних школах по теории функций и приближений С г. Саратов, 1988, 1990 гг.), на .V Всесоюзном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" Сг. Одесса, 1991 г.), на Республиканских конференциях по дифференциальным и интегральным уравнениям С г. Одесса, 1982, 1987 гг.), на Республиканских научно-технических конференциях "Интегральные уравнения в прикладном, моделировании" Сг. Киев, 1983, 1986 гг.), Республиканской конференции "Экстремальные задачи теории приближения их приложения" С г. Киев, 1990 г.). Результаты диссертации докладывались, по мере их получения, на научном семинаре "Теория аппроксимации и ее приложения" при Казанском госуниверситете и на ежегодных итоговых научных конференциях Казанского университета за 19831990 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 12 работах, список которых^приведен в кснце автореферата.

Структура и объем работы.. Диссертация объемом в 91 страницу машинописного текста состоит из введения, семи параграфов и списка цитированной литературы.

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении характеризуется актуальность темы исследования, приводится обзор работ по исследуемой тематике и излагается краткое содержание диссертации.

- В первом ' параграфе приведены необходимые сведения общей теории приближенных методов линейного и нелинейного анализа, а также различные определения оптимальности конечномерных методов решения операторных уравнений.

Во втором и 'третьем параграфах проводится оптимизация

проекционных и прямых методов решения однозначно разрешимых нелинейных интегральных уравнений Урысона, имеющих вид

x(U- J hCt,s,x(s))ds=y(t), UE-1.1], CI)

с неизвестной функцией xCt)eC[-l,ll-

Во втором параграфе диссертации исследуется оптимизация проекционных методов решения класса 5 однозначно разрешимых уравнений вида С1) в пространстве Х=СС-1.13, определяемого условиями принадлежности коэффициентов hCt.s.u) и y(t) классам гладких функций по переменным Ct,s)et-l,l]2 и условию Липшица по переменной ueIR с константой q.

Рассмотрим всевозможные конечномерные подпространства ХпсХ одинаковой размерности W=OCn) и операторы Р^:X—>Х из некоторого класса У аддитивных и однородных операторов, отображающих X на X . Каждому уравнению вида С1) из класса У оопоставим приближенное уравнение вида

х CU-P J hCt.s.x Cs))ds=P yCt), tet-l.ll, C2)

n n n n

в подпространстве X , эквивалентное системе п нелинейных уравнений относительно коэффициентов разложения х^ по произвольному базису пространства X .

Оптимальная оценка погрешности, по аналогии с линейным случаем [1], определяется на классе 1 следующим образом:

УПСЛ= inf inf sup l!x*-x*llv, СЗ)

n X cX P еУ h,ye5 n x

n n n

где внешний inf берется по всем подпространствам Хп размерности не выше N.

Для иллюстрации приведем один результат:

ТЕОРЕМА 2.1. При aE2qliP II < 1 приближенное уравнение

П Л "*Л

п

С2) однозначно разрешимо на всем пространстве X . для опти-

мальной оценки погрешности (3) справедлива двусторонняя оценка

VnmxN--.

и оптимальным по порядку является проекционный метод вида С РЭ, определяемый подпространством Хп=Х£ многочленов степени не выше п-1 и оператором имеющим вид

Р>со=|1 Hi-x^>kcVTkm},

где t =cos^i-n, j=l,..,n, TkCt)=cos k arccos t,

a X<n> - либо матрицы Бернштейна-Рогозинского, либо матрицы 4>ábapa, либо матрицы Фейера-Коровкина.

В третьем параграфе исследована оптимизация прямых методов решения уравнений (1), в частности, основанных на замене ядра h(t,s,x) приближенным ядром h^Ct.s.x), имеющим вид обобщенного полинома

h Ct,s,x)= У g, Cs.xV, СО, n k~i k k где ^р Сt-Э - система функций, которую без ограничения общности

можно считать линейно независимой, a g (s,x) - коэффициенты этого обобщенного полинома.

Точное уравнение (1) аппроксимируется в том же пространстве X однозначно разрешимым приближенным уравнением вида

xCU- J h (t,s,xCs))ds=y(t). С4)

п

-1

Его решение ищется в виде

х Ct)= I ? í- CU+yCU, (5)

n -k-í к к

где коэффициенты ¡J^, j=l,..n, определяются из системы .нелинейных уравнений

/ 9,Cs, I ?.p.Cs)+yCs))ds, j=l----п. С6)

л -i kn к к

Оптимальная оценка погрешности методов вида С 4)-С63 на

классе уравнений 7 будет выглядеть, согласно [23, следующим образом:

VnCJ0 = inf sup llx*-x*IL, n H eX h.ye* n x

n n

где - класс конечномерных операторов на X ранга не выше п. Справедлива следующая теорема:

ТЕОРЕМА 3<3. На классе J уравнений вида (1) справедлива оценка

и оптимальным по порядку на J будет метод (4)-(6) по системе функций pk(t)=TkCt) с приближенным ядром hn(t,s,x)= P°hCt,s,xD), где Р° - оператор, определенный в теореме 2.1, применяемый по переменной I.

Из результатов второго и третьего параграфов диссертации, а также гл. 4 монографии [1] вытекает, что метод механических квадратур, наиболее часто применяемый для решения интегральных уравнений, не является оптимальным прямым методом даже по порядку. Погрешность этого метода существенно зависит от выбора узлов и коэффициентов применяемой квадратурной формулы. •Поэтому становится интересной задача выбора оптимального метода среди всех методов механических квадратур, определяемых выбором квадратурных формул. Эта задача исследована в четвертом параграфе на классе уравнений V с интегральным оператором Урысона, имеющим непрерывную производную Фреше в пространстве непрерывных функций.

Если воспользоваться сходящимся на Cfa.b] квадратурным процессом

JzCs)ds а £ a zCs), С7)

a .{=, л

п

где а>0, У а.=Ь-а и s.eta.b], j=l,..,n, то метод механи-.1 j л

л =1

- д. -

ких квадратур приведет, как известно, к нахождению прибли-ных значений ? ,.. искомой функции х*С£) в узлах ..из системы нелинейных уравнений

I а Мб. ,5 .5=уСз,5, 1=1... ,п, С83

1 111 1

л=» 1 л

эешимой для уравнений из класса при достаточно больших п.

Как и в линейном случае Ш, можно оптимальную оценку эешности прямого метода С7),С8) определить следующим обра-

V2C?')= inf sup шах |x*Cs.)-Ç.|.

n <a ,s )n h.ye?' l£j<n -1

С 9)

Если же построить приближенное решение x*Ct) по формуле

п

n

x*Ct)=yCt)+ ï a.hCt.s. ,Ç ). СЮ)

j=t J

штимальную оценку погрешности прямого метода С7), С8), 1 можно определить величиной

Ш Г) = inf sup llx*-x*ll. Cil)

n Ca ,s.}n h,ye?' n .i i

В этих условиях справедливы

ТЕрРЕМЫ 4.1, 4.2. Справедливо соотношение

тимальным по порядку на классе У. в смысле каждого из оп-лений С9) или СИ) является квадратурный метод, основан-на квадратурной формуле Гаусса для сегмента [а,Ы или лю-другой оптимальной по порядку квадратурной формуле. Следующие параграфы диссертации посвящены оптимизации ых методов решения многомерных линейных интегральных урав-й Фредгольма второго рода.

В пространстве €СТ) или CCI), где T=S1 х. .. xS* dR5 -рный тор Спериодический-случай), а I=Cai .Ь^Зх..xfa^.fcM -

б-мерный параллелепипед Снепериодический случай), рассматрив ется класс линейных интегральных .'уравнений Фредгольма- второ рода, имеющих вид

Кхгх-Нх-у, С1

где НхШ= ! Ьа,и)хСи)с1и, ,..,1 )еТ, и=Си ,..,и)еТ

т 1 в 1 Б

точки б-мерного тора, хСО, уС1)€ССТ) - непрерывные функции Т, ЬС1,и)е€(ТхТ) (для иллюстрации приводится только период ческий случай).

В пятом параграфе исследуется оптимизация проекцио ных методов решения класса ? уравнэний вида С12), опрёделя мого условиями принадлежности коэффициентов классу ?ГСМ; Сем., например, [3]).

Пусть Хп> п=Сп1,..,п5) - конечномерные подпространст пространства X одинаковой размерности N. зависящей от п.

Определим оптимальную оценку погрешности на классе выражением, аналогичным СЗ).

Введем характеристику р гладкости класса ? соотношен

Р-1-- 1г-\

и обозначим И=п •..-п , к=Ск ,..,к ), 1=СЪ ... Л ), кЪ=к I

15 1 Б 1 Б 11

.+к I . Имеет место

5 Б

ТЕОРЕМА 5.3. При п. X г.. 1=1,..,б, справедлива оценка УПС*

Г ; Г .

и при П1 ><п , 1.^=1,,. ,5, оптимальным по порядку на кла

я

се является проекционный метод, определяемый оператором

*>СО = "'Г. • ."'Г С<">С*>) ¿г> '

к. г-п. +1 к_ = -п +1 к к

- и -

. r P \S ; . . <n J > <П;> (П : )

<У'Ср) = (|] J rft)e-"dt. C_k; , X4l . те

(П :) (П ■)

что и в теореме 2.1, причем X , =\,

L *1

При решении линейных интегральных уравнений очень часто меняются методы вырожденных ядер Эти методы относятся к ;ссу прямых, но не проекционных методов. Их роль еще больше ¡растает при решении многомерных уравнений, т.к. над этими ■одами не висит так называемое "проклятие размерности", т.е. личение числа неизвестных не влечет за собой автоматически т числа базисных функций, а следовательно, увеличение >ядка системы линейных алгебраических уравнений. Поэтому вставляется важней задача оптимизации, проведенной отдельно ■ди всевозможных методов вырожденных ядер. Решению этой ;ачи посвящен шестой параграф диссертации.

Оптимизация проводится на классе ? уравнений вида (12),

Э

ффициенты h(t,u) и y(t) которых удовлетворяют условиям (все imk равномерные): 1) llyll < R, R>0 - некоторая константа; 2) ,и) непрерывна по совокупности переменных на Т; 3) h(t,u)e М;Т) по переменной t. Кроме того, 4) IIKH < с <оп, 1!К"Ч1 i m, где с >1, с >1 - константы, общие для всего класса У .

I 2 S

Согласно общей схеме метода вырожденных ядер каждому внению вида С12) сопоставляется приближенное уравнение вида

KNx=x-HNx=y С13) ■ом же пространстве X, где

H.,xCt)= / hM(t,u)x(u)du С14)

N ,р N

конечномерный интегральный оператор на X ранга не выше N. Оптимальная оценка погрешности определяется на клас уравнений У следующим образом:

где - некоторый класс конечномерных операторов на X pat не выше N.

Приведем один результат:

ТЕОРЕМА 6.2. При п. >. г., i=l,,.,s, справедлива оценка

Г ! Г ;

и при n t s; n. J , i,j =1.....s, оптимальным по порядку на

, J

среди всех методов вырожденных ядер является метод С13), С14 определяемый вырожденным ядром h^t.u^P'hCt.u), где оператор, определенный в теореме 5.3, применяемый по переме ной t.

В седьмом параграфе рассматривается оптимизация проеки

онных методов решения линейных интегральных уравнений вида

Кх=хСЮ- I hCM,M')xCM')dcr=yCM), Mea, С1

а

на единичной сфере crdR3.

В этом случае основным приближающим агрегатом служат с$ рические функции, а дифференциальным оператором, определяют гладкость коэффициентов уравнений - оператор Лапласа-Бельтр ми. Поэтому класс ?д уравнений, подлежащий оптимизации, опр деляется принадлежностью коэффициентов классу Нр функций, д пускающих р раз применение оператора Лапласа.

За оптимальную оценку погрешности возьмем величину СЗ). Основной результат седьмого параграфа выражается следу щей теоремой:

ТЕОРЕМА 7.1. Справедлива оценка

- 13 -Упс? )*ГГ2Р,

'П 8

и оптимальным по порядку на является проекционный метод (2), определяемый подпространством Х° сферических полиномов степени не выше п-1 и оператором Р° вида

Р°ГСМ)=П? В. У. СЮ,-

к=о к к

где У^М) - сферические гармоники к-го порядка, а

В =1-С1-а А, )2Р"2, к к к

где, в свою очередь,

V1- А^^т2"- п>1'

а А^ определяются из'системы линейных алгебраических уравнений

в которой Р^Сх) - полиномы Лежандра к-го порядка.

Заключение. Сформулируем основные результаты работы:

1. Решена задача оптимизации по порядку точности прямых и проекционных методов решения нелинейных интегральных уравнений Урысона на сегменте и на окружности с гладкими коэффициентами . Построены оптимальные по порядку прямые и проекционные методы решения уравнений Урысона.

2. Найдены оптимальные по порядку оценки погрешности прямых методов решения многомерных интегральных уравнений Фред-гольма второго рода в классах Никольского-Соболева. Построены оптимальные по порядку методы решения многомерных уравнений Фредгольма второго рода на параллелепипеде и на торе .

3. Решена задача оптимизации методов вырожденных ядер решения многомерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Построены оптимальные по порядку методы вырожденных ядер

решения этих уравнений в периодическом и непериодическом случае, а также для уравнений со смешанными условиями периодичности.

4. Решена задача оптимизации по точности проекционных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода на сфере с коэффициентами, допускающими применение оператора Лапласа. Построены оптимальные по порядку проекционные методы решения этих уравнений.

Автор Еыражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Билсуру Габдулхаевичу Габдулхаеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980.- 232 с.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука, 1973.-

632 с.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа.- М.: Наука, 1986.- 744 с.

3. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Хабибуллин И. Ш.' Оптимизация прямых методов решеши некоторых нелинейных интегральных уравнений // Тез. докл. Респ. научн. симп. по дифференц. и интегральным уравнениям.■ Одесса, 1982.- С. 225-226.

2. Хабибуллин И.Ш. Об оптимизации прямых методов решения нелинейных интегральных уравнений / Ред. журн. "Диф. урав-

нения".- Минск, 1983,- 7с,- Цеп в ВИНИТИ 01.06.83, N 4334-83Деп.

3. Хаоибуллин И. Ш. Оптимизация проекционных методов решения многомерных интегральных уравнений / Казан, ун-т.- Казань, 1985,- 9с,- Деп. в ВИНИТИ 24.03.85, N 654-85Деп.

4. Хабибуллин И.Ш. Оптимизация методов вырожденных ядер решения многомерные интегральных уравнений Тез. докл. Респ. науч.-тех. конф.: Интегральные уравнения в прикладном моделировании. - Киев, 1986,- Ч. г.- С. 229-230.

5. Хабибуллин И.Ш. Оптимизация некоторых прямых методов рвения многомерных интегральных уравнений // Тез. докл. Всео. школы: Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической фпкики. - Горький, !985.-С. 150.

6. Хабибуллин И. Ш. Оптимизация методов вырожденных ядер решения многомерных интегральных уравнений / Казан, ун-т.- Казань, 1986.- 13 с.- Деп. в ВИНИТИ 30.12.86, N 9036-В86.

7. Хабибуллин И.Ш. Оптимизация проекционных методов решения линейных интегральных уравнений на сфере // Тез. докл. Респ. научн. конф.. Дифференц. и интегральные уравнения и их приложения.- Одесса, 1987.- Ч. 2. - С. 122-123.

8. Хабибуллин И.Ш. Оптимизация прямых методов решения многомерных интегральных уравнений // Тез. докл. Всес. конф.: Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики.-Новосибирск, 1987.- С. 189-190.

9. Хабибуллин И.Ш. Оптимизация прямых методов решения уравнений Урысона // Конструктивная теория функций и функциональный анализ.- Казань: Изд-во Казан, ун-та,- 1990. Вып. 7.-С. 91-95.

10- Хабибуллин И. III. Оптимизация по точности прямых методов решения многомерных интегральных уравнений // Труды Всес. зимней школы: Теория функций и приближений.- Саратов, 1990. -Ч. 3.- С. 101-103.

11. Хабибуллин И.Ш. Оптимизация приближенных методов решения интегральных уравнений Урысона // Тез. докл. Респ. кснф.: Экстремальные задачи теории приближения и их приложения. - Киев, 1990,- С.133.

12. Хабибуллин И.Ш. Оптимизация квадратурных методов решения интегральных уравнений Урысона // Тез. докл. Всес. симп.: Методы дискретных особенностей в задачах математической физики. - Одесса, 1991.- Ч. 2,- С. 57-58.

Сдано в набор 09.01.92 г. Подписано в печать 09.01.92 г. Форм.бум. 60 х 84 I/I6. Печ.л. I. Тираж 100. Заказ 24.

Бесплатно.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420006 Казань, Ленина, 4/5