Электронная структура электронейтральных и заряженных кристаллических пленок меди тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение

Глава I. Экранированный потенциал металлической пленки

§1.1. Постановка задачи

§1.2. РМТ потенциал кристаллической пленки

§1.3. Результаты применил РМТ потенциала к расчету электронных состояний металлических пленок

§1.4. Учет поверхностной экранировки и эффекта замороженности" объемной плотности в построении кулоновского вклада в эффективный потенциал

Глава II. Прямой учет поверхностной экранировки в расчетах энергетического спектра электронов кристаллических пленок металлов.

§2.1. Формулировка задачи

§2.2. Метод расчета электронных состояний

§2.3. Тестовые результаты

Глава III. Электронная плотность для самосогласованных расчетов

§3.1. Интегрирование по зоне Бриллюэна

§3.2. Самосогласованная электронная плотность

§3.3. Стартовое приближение

Глава IV. Самосогласованный расчет электронной структуры электронейтральной пленки меди.

§4.1. Практические аспекты

§4.2. Основные результаты

§4.3. Сопоставление с существующими расчетами.

Глава V. Самосогласованный расчет электронной структуры заряженной пленки меди.

§5.1. Постановка краевой задачи

§5.2. Основные результаты расчета электронной структуры заряженной пленки меди и их обсуждение.

Диссертация посвящена исследованию двух основных вопросов. Первый из них — формулировка нового метода расчета электронных состояний металлических пленок, второй — изучение с помощью предложенного расчетного метода эволюции электронной структуры кристаллических пленок металлов под действием внешнего электростатического поля.

С теоретической точки зрения актуальность темы определяется разнообразными физическими свойствами тонких металлических пленок, которые зачастую существенно отличаются от свойств тех же материалов в массивном состоянии, а также недостаточно изученной модификацией этих свойств под влиянием внешних воздействий. Этим объясняется значительный научный интерес к таким системам. В практическом аспекте повышенное внимание к данным объектам, как к элементам микро- и наноэлектроники, вызвано увеличением плотности составляющих частей интегральных микросхем. Достижение в этой области современной техники для отдельных деталей размеров порядка атомных масштабов, приводит к необходимости квантовомеханического рассмотрения физической ситуации. При этом, размерные эффекты — явления, отражающие изменение физических свойств с уменьшением размера образца в результате возрастания вклада поверхностных процессов или поверхностных свойств по сравнению с объемными, — могут вызывать качественно новое поведение системы, в основе которого лежит изменение энергетического электронного спектра в пленках [1, 2] .

Для адекватного описания экспериментальной ситуации необходимо* рассмотрение образцов с относительно большим числом атомных слоев, что, как показано ниже, сопряжено с определенными техническими трудностями в большинстве существующих методов расчета электронной подсистемы кристаллических пленок. Для их преодоления в работе предложен новый расчетный метод, в своей постановке непосредственно учитывающий эффекты электронной экранировки поверхности металла.

Целью работы является теоретическое изучение эволюции электронной структуры заряженных (или помещенных в электростатическое поле) кристаллических пленок 3«¿-металлов с сильно гибри-дизованными зонами, существенно отличающимися от свободно-электронных зон простых металлов. В качестве объекта исследования взята ГЦК Си(001) пленка. Выбор такой системы обусловлен давним и пристальным изучением электронной структуры меди. В силу качественно ясного строения зоны проводимости, состоящей, в основном, из гибридизованных состояний в — с1 типа [3, 4], простой кристаллической структуры и относительной малости релятивистских эффектов [5, 6], а также обширного экспериментального материала данный металл стал своеобразным поли» гоном для отработки модельных представлений и тестирования расчетных методов, предназначенных для исследования электронной структуры Зс?-металлов.

Прогресс применения теории функционала электронной плотности к изучению электронных состояний неограниченных кристаллов и, в том числе, большой практический материал по широко известным расчетным методам объемных кристаллов наводит на естественную мысль об их адаптировании к системам с нарушенной (вследствие наличия поверхности — границы раздела кристалл/вакуум) трехмерной трансляционной инвариантностью.

Почти все методы, изначально предназначенные для расчетов зонной структуры неограниченных кристаллов, подверглись данной процедуре: метод псевдопотенциала [7], метод линейной комбинации атомных орбиталей (JIKAO) [8-12], линеаризованный метод присоединенных плоских волн (ЛППВ) [13-19], метод функции Грина (ГФ) [20-22], full-potential линеаризованный метод присоединенных плоских волн [23-25], линейная комбинация Gaussian-орбиталей [26], линеаризованный метод muffin-tin орбиталей [27], модифицированная схема метода присоединенных плоских волн [28]. Среди этих методов наибольшее распространение получили линеаризованные схемы, обладающие относительной математической простотой и допускающие, как правило, определенную свободу в выборе эффективного одноэлектронного потенциала. Общим их недостатком является плохое описание высоколежащих энергетических зон (см., например, [29]), достижение миллиридберговой точности лишь в очень узкой полосе энергий ±0.1 Ry около центра линеаризации

30], а также значительный рост числа используемых базисных » функций с увеличением толщины пленки. Возникающие при этом проблемы не ограничиваются большими временами счета в проведении самосогласованных расчетов, но и имеют принципиальный характер, связанный, например, с диагонализацией и обращением не слишком хорошо обусловленных матриц больших порядков. Кроме того, результатом линеаризации является возможность появления в энергетическом спектре ложных решений, известная уже в случае неограниченного кристалла [31]. Эти и некоторые другие проблемы линейных методов, по-видимому, объясняют вновь пробудившийся интерес к подходу теории рассеяния [32, 33], который, как известно, обладает быстрой сходимостью, но, к сожалению, в своей стандартной формулировке [20-22] имеет ограничения на форму используемого одноэлектронного потенциала. Выход на потенциалы общей формы стал основной, но не легкой [32] задачей для расчетных методов, присущих этому направлению.

Другой путь — это разработка новых, изначально учитывающих специфику задачи, расчетных методов. Известно, например (это показали, в частности, расчеты [12]), что в металлах имеет место очень сильная экранировка поверхностного возмущения электронной подсистемой. Возможность априорно учесть этот факт "заморо-женности" электронной плотности в объеме кристалла не только позволяет повысить эффективность самосогласованных расчетов, но и зачастую помогает лучше понять суть процессов и сформулировать новые, полезные физические модели.

Несмотря на очевидную привлекательность эти идеи на сегодня слабо разработаны. Существует лишь несколько работ [34, 35], в которых они применены в модели полубесконечного кристалла. При этом далеко не все вопросы, начиная от способа построения "потенциала погружения" [34] (по своему смыслу он близок к модельному псевдопотенциалу) до вопросов самосогласования и устойчивости расчетных схем [34, 35], сегодня выяснены окончательно. Поэтому создание нового метода, учитывающего быструю экранировку электронной плотности вблизи поверхности металла, представляется весьма актуальным. Альтернативный подход к, по-существу, одной и той же физической ситуации позволяет не только прояснить упомянутые выше и другие недостаточно ясные методические вопросы, но и лучше понять физическую суть получаемых результатов и повысить их достоверность.

На фоне значительных успехов зонной теории металлических поверхностей остается еще ряд довольно слабо исследованных вопросов. Это относится, например, к выяснению влияния отклика металла на внешнее электростатическое поле. Начиная с классической работы [36], существует, в принципе, большой объем публикаций, где представлены характеристики кристалла во внешнем электрическом поле [37-43]. Однако, в большинстве этих работ для описания металла применялась модель "желе", имеющая хорошо известные недостатки (например, отрицательное значение поверхностной энергии [44]). В работе [43], где самосогласованным пер-вопринципным методом псевдопотенциала исследовались электронные состояния пленок А1(001), показано, что расчеты с использованием реальной кристаллической структуры дают значение центра тяжести наведенной электрическим полем зарядовой плотности ближе к поверхности непереходных металлов, чем расчеты в модели "желе". Подробный анализ электронной структуры поверхности, влияния внешнего электрического поля на поверхностные состояния, экранирования этого поля на поверхности металлов (в том числе и переходных) с учетом реальной кристаллической структуры проведен, по-видимому, только в нескольких работах [41, 42] одних и тех же авторов. В частности, они получили, что для полубесконечного кристалла экранирующий заряд сосредоточен в очень узкой приповерхностной области и вряд ли существенно влияет на электроотражение.

Поскольку роль поверхностных эффектов возрастает с уменьшением толщины пленки, то экстраполяция этого вывода, равно как и вообще заключение о влиянии внешних полей на электронную структуру металлической пленки, далеко не очевидны. В пленочной геометрии появляется также и возможность более строгой и обоснованной постановки задачи определения электронных состояний во внешнем поле (дискретные зоны, зависимость уровня Ферми от заряда пленки, решение электростатической задачи и т.д.), что дает дополнительный взгляд на результаты работ [41, 42].

Научная новизна работы выражена в ее основных результатах:

1. Предложен способ учета эффектов поверхностной экранировки при построении самосогласованного потенциала металлической пленки, пригодный для расчетов электронной структуры новым методом, учитывающим "замороженность" объемной плотности металла.

2. Сформулирован и реализован новый метод самосогласованного расчета электронных состояний металла, эффективно учитывающий сильную поверхностную экранировку электронной плотности и открывающий тем самым возможность практического вычисления энергетического спектра пленок наноскопических толщин, а также позволяющий изучать электронную структуру заряженных металлических пленок.

3. Применение предложенного метода (п.2) с описанным выше (п.1) потенциалом металлической пленки к самосогласованному расчету электронных состояний кристаллической пленки меди показало его эффективность при исследовании электронной подсистемы Зс/-металлов. Отмечена важность учета дипольного вклада в электронную плотность поверхностной МТ-сферы.

4. Впервые рассчитаны электронные состояния Си(001) ГЦК заряженной пленки. Исследовано влияние избыточного заряда на распределение электронной плотности и энергетический спектр. Вычислены центры тяжести индуцированной электростатическим полем зарядовой плотности и положение плоскости изображения, а также интенсивность низкочастотной генерации второй гармоники при отражении электромагнитной волны от поверхности металла. На основе данных по электронейтральной и заряженной пленкам определена энергетическая локализация поверхностных состояний.

Выводы к главе V

Проведенный самосогласованный расчет электронной структуры заряженной 5-ти слойной Си(001) пленки показал, что основная доля индуцированного заряда находится непосредственно вблизи поверхности кристалла в вакуумной и межсферной областях. В поверхностной МТ-сфере число электронов при зарядке изменяется незначительно, но происходит существенная переэкранировка. Полученное нами значение для положения плоскости изображения лучше, чем данные модели "желе", согласуется с результатами модельных расчетов, использующих экспериментальную информацию, непосредственно связанную с положением плоскости изображения. Рассчитанная величина дипольного момента кадратичного отклика электронной плотности значительно меньше предсказаний модели "желе". Перечисленные факты дают убедительное доказательство необходимости учета реальной кристаллической скруктуры при теоретическом изучении влияния внешнего электростатического поля на электронную подсистему металла. На основе данных по электронейтральной и заряженной пленкам определена энергетическая локализация поверхностных состояний.

В заключение сформулируем основные результаты и выводы:

1) На примере расчета энергетического спектра пленки меди показано, что причиной неудачи использования РМТ потенциалов в самосогласованных расчетах электронной структуры ограниченных кристаллов является прежде всего РМТ приближение для электронной плотности: неучет влияния границы раздела на распределение электронов во всей поверхностной области пленки ведет к неправильному поведению дипольного момента электронной плотности, что обуславливает "провал" энергетических зон.

2) Предложена схема построения самосогласованного потенциала металлической пленки, изначально включающая эффекты электронной экранировки в поверхностном слое. Развитый подход дает правильную картину энергетического спектра. Явный учет зарядового состояния кристалла позволяет не только корректно учесть дальнодействующие вклады в кристаллический потенциал, но и делает метод весьма удобным для самосогласованного расчета электронной структуры заряженных пленок. >

3) Установлена аналитическая связь объемной асимптотики пленочного потенциала с потенциалом неограниченного кристалла, что открывает дополнительные возможности использования в физике поверхностных явлений обширного материала по электронным спектрам неограниченных кристаллов.

4) Сформулирован новый метод расчета электронных состояний металла, учитывающий сильную поверхностную экранировку электронной плотности. Достигаемое в этом методе эффективное разделение поверхностной и объемной областей кристалла позволяет значительно снизить порядок дисперсионной матрицы, что открывает возможность практического вычисления энергетического спектра пленок наноскопических толщин. ЛППВ подобный характер координатных функций в поверхностной области пленки, снимающий ограничение классом РМТ потенциалов, и блочная структура дисперсионной матрицы предложенного метода, в которой элементы лишь одного блока зависят от потенциала вблизи поверхности кристалла, способствуют его эффективному применению при изучении эволюции электронной структуры металла под действием внешнего электростатического п£>ля и других поверхностно локализованных возмущений.

5) Впервые предложенным методом выполнен самосогласованный расчет плотности состояний, энергии Ферми и распределения электронов вблизи поверхности металла для 5-ти слойной Си(001) ГЦК электронейтральной пленки. Результаты расчета находятся в хорошем согласии с данными других самосогласованных расчетов и экспериментов.

6) Выяснено, что для правильного описания электронных состояний полосы проводимости пленки меди, наряду с г-зависимостью электронной плотности межсферной области поверхностного слоя, весьма важен учет поправок, связанных с ди-польной плотностью валентных электронов в поверхностной МТ-сфере. Показано, что даже при учете поверхностной экранировки структура полосы проводимости (001) пленки меди при аппроксимации электронной плотности суперпозицией атомных электронных плотностей сильно отличается от самосогласованной. Это еще раз подчеркивает необходимость проведения самосогласования в расчетах поверхности меди и ставит под сомнение результаты расчетов на основе эвристических потенциалов.

7) Впервые проведенный самосогласованный расчет электронной структуры заряженной 5-ти слойной Си(001) пленки показал, что основная доля индуцированного заряда находится непосредственно вблизи поверхности металла в вакуумной и межсферной областях. В поверхностной МТ-сфере число электронов при зарядке изменяется незначительно, но происходит существенная переэкранировка.

8) Впервые в последовательном квантовомеханическом расчете с учетом реального кристаллического потенциала определено положение плоскости изображения (001) ГЦК меди. Полученное значение лучше, чем данные модели "желе", согласуется с результатами модельных расчетов, опирающихся на экспериментальную информацию, непосредственно связанную с положением плоскости изображения.

9) Впервые рассчитан дипольный момент квадратичного отклика электронной плотности Си(001) ГЦК пленки, отражающий интенсивность генерации второй гармоники света в нелинейной оптике. Полученная величина значительно меньше предсказаний модели "желе", что дает убедительное доказательство необходимости учета реальной кристаллической структуры при теоретическом изучении отклика электронной подсистемы на внешнее электростатическое поле.

1. И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов. Электронная теория металлов. М.: Наука, 1971, с.131.

2. Ю.Ф. Комник. Физика металлических пленок. М.: Атомиздат, 1979, с.115.

3. В.В. Немошкаленко, В.Н. Антонов. Методы вычислительной физики в теории твердого тела. Киев: Наукова думка, 1985, с.256.

4. Р.Ф. Егоров, В.П. Широковский. Потенциал и электронная плотность кристаллической меди. Физика металлов и металловедение, том 40, вып. 3, с. 500-511 (1973).

5. Р.Ф. Егоров, В.К. Звездин, В.П. Широковский. Релятивистский расчет электронного спектра меди. Физика металлов и металловедение, том 35, вып. 3, с. 460-466 (1973).

6. Dubrovskii O.I., Kurganskii S.I., Rubtsova L.A., Wolf G.V. Non-Relativistic and Scalar-Relativistic LAPW Electronic Energy Bands of (001) Cu Films. Phys.Stat.Sol.(b) 161, 697-703 (1990).

7. K.-M. Ho, B.N. Harmon, and S.H. Liu. Surface-State Contribution to the Electroreflectance of Noble Metals. Phys. Rev. Lett. 44, 15311534 (1980).

8. J.G. Gay, J.R. Smith, and F.J. Arlinghaus. Self-Consistent Calculation of Work Function, Charge Densities, and Local Densities of States for Cu(100). Phys. Rev. Lett. 38, 561-564 (1977).

9. P.J. Feibelmann. Electronic structure of clean and carbon-covered closed-packed rhodium and ruthenium surfaces. Phys. Rev. В 26, 5347-5356 (1982).

10. K.S. Sohn, D.G. Dempsey, L. Kleinman, Ed. Caruthers. Energy-bands of (100) copper thin films. Phys. Rev. B 13, 1515-1522 (1976).

11. C.S. Wang and A.J. Freeman. Self-consistent studies of d holes and ¿-band narrowing in a Cu(001) monolayer. Phys. Rev. B 18, 17141717 (1978).

12. A. Euceda, D.M. Bylander, L. Kleinman, K.Mednick. Self-consistent electronic structure of 7- and 19-layer Cu(001) films. Phys. Rev. B 27, 659-666 (1983).

13. O. Jepsen, J. Madsen, and O.K. Andersen. Band structure of thin films by the LAPW method. Phys. Rev. B 18, 605-615 (1978).

14. H. Krakauer, M. Posternak, A.J. Freeman. Linearized augmented plane-wave method for the electronic band structure of thin films. Phys. Rev. B 19, 1706-1719 (1979).

15. M. Posternak, H. Krakauer, A.J. Freeman, D.D. Koelling. Self-consistent electronic structure of surfaces: Surface states and surface resonances on W(001). Phys. Rev. B 21, 5601-5612 (1980).

16. D.R. Hamann, L.F. Matheiss, H.S. Greenside. Comparative LCAO-LAPW study of CI chemisorption on the Ag(001) surface. Phys. Rev. B 24, 6151-6155 (1981).

17. D.S. Wang, A.J. Freeman, H. Krakauer. Electronic structure and magnetism of Ni overlayers on a Cu(001) substrate. Phys. Rev. B 26, 1340-1351 (1982).

18. O. Jepsen, J. Madsen, O.K. Andersen. Spin-polarized electronic structure of the Ni(001) surface and thin films. Phys. Rev. B 26, 2790-2809 (1982).

19. L.F. Mattheiss and D.R. Haman. Electronic structure of the tungsten (001) surface. Phys. Rev. В 29, 5372-5381 (1984).

20. W. Kohn. Green's-function method for crystal films and surfaces. Phys. Rev. В 11, 3756-3760 (1975).

21. N. Kar, P. Soven. Band structure of thin films. Phys. Rev. B. 11, 3761-3768 (1975).

22. Г.В. Вольф, И.А. Корзников, A.B. Мясников, Ю.П. Чубурин. Метод функции Грина для расчета электронных состояний кристаллических пленок. 1984, Деп. в ВИНИТИ N 683-85, с.1-127.

23. Е. Wimmer, H. Krakaer, M. Weinert, and A.J. Freeman. Full-potential self-consistent linearized-augmented-plane-wave method for calculating the electronic structure of molecules and surfaces: O2 molecule. Phys. Rev. В 24, 864-875 (1981).

24. S. Ohnishi, A.J. Freeman, M. Weinert. Surface magnetism of Fe(001). Phys. Rev. В 28, 6741-6748 (1983).

25. H. Erschbaumer, A.J. Freeman, C.L. Fu, R. Podloucky. Surface states, electronic structure and surface energy of the Ag(001) surface. Surf. Sci. 243, 317-322 (1991).

26. J.W. Mintmire, J.R. Sabin, S.B. Trickey. Local density-functional methods in two-dimensionally periodic systems. Hydrogen and beryllium monolayers. Phys. Rev. В 26, 1743-1753 (1982).

27. G.W. Fernando, B.R. Cooper, M.V. Ramana, H. Krakauer, C.Q. Ma. Practical Method for Highly Accurate Large-Scale Surface Calculations. Phys. Rev. Lett. 56, 2299-2302 (1986).

28. H.Bross and M.Kauzmann. Electronic structure, surface states, surface energy, and work function of the Cu(100) surface. Phys. Rev. B 51, 17135-17150 (1995).

29. F. Aryasetiawan and O. Gunnarsson. Linear-muffin-tin-orbital method with multiple orbitals per l channel. Phys. Rev. B 49, 72197232 (1994).

30. Koelling D.D., Arbman G.O. Use of energy derivative of the radial solution in an APW method: application to copper. J.Phys.F. 5, 20412054 (1975).

31. D.J. Singh. Planewaves, pseudopotentials and the LAPW method. Kluwer Academic Publishers, 1994, p.75

32. L. Szunyogh, B. Ujfalussy, P. Weinberger, and J. Kollar. Self-consistent localized KICR scheme for surfaces and interfaces. Phys. Rev. B 49, 2721-2729 (1994).

33. L. Szunyogh, B. Ujfalussy, P. Weinberger. Magnetic anisotropy of iron multilayers on Au(001): First-principles calculation in terms of the fully relativistic spin-polarized screened KKR method. Phys. Rev. B 51, 9552-9559 (1995).

34. G.A. Benesh, J.E. Inglesfield. An embedding approach for surface calculations. J. Phys. C 17, 1595-1606 (1984).

35. Werner Hummel and H. Bross. Determining the electronic properties of semi-infinite crystals. Phys. Rev. B 58, 1620-1632 (1998).

36. N.D. Lang, W. Kohn. Theory of Metal Surfaces: Induced Surface Charge and Image Potential. Phys. Rev. B 7, 3541-3550 (1973).

37. М.Б. Партенский. Самосогласованная электронная теория металлической поверхности. Успехи физ. наук, т.128, с.69-106 (1979).

38. P. Gies, R.R. Gerhardts. Self-consistent calculation of the electron distribution at a jellium surface in strong static electric field. Phys. Rev. В 31, 6843-6845 (1985).

39. F. Schreier, F. Rebentrost. Self-consistent electron densities of a semi-infinite jellium metal surface in strong static electrical fields. J. Phys. С 20, 2609-2623 (1987).

40. S. Ossicini, F. Finocchi, C.M. Bertoni. Electron density profiles at charged metal surfaces in the weighted density approximation. Surf. Sci. 189/190, 776-781 (1987).

41. J.E. Inglesfield. The screening of an electric field at an Al(001) surface. Surf. Sci. 188, L701-L707 (1987).

42. G.C. Aers, J.E. Inglesfield. Electric field and Ag(001) surface electronic structure. Surf. Sci. 217, 367-383 (1989).

43. Силкин B.M., Юрчишин Jl., Чулков Е.В., Стенслицкая М. Незанятые электронные состояния поверхностей А1(001) и Al(001)+Na(2x2)cbo внешнем электрическом поле. Поверхность, N 7 с.36-53 (1994).

44. Н. Лэнг. Применение метода функционала плотности к изучению электронной структуры металлических поверхностей и систем типа металл-адсорбент. В книге: Теория неоднородного электронного газа. М.: Мир, 1987, с.ЗЗЗ.

45. Кон В., Вашишта П. Общая теория функционала плотности. В кн.: Теория неоднородного электронного газа. М.: Мир, 1987, с.86.

46. Реннерт П., Пааш Г. Достижения электронной теории металлов, том 1, М.: Мир, 1984, с.95.

47. Вольф Г.В., Федоров Д.В. Прямой учет поверхностной экранировки в расчетах самосогласованного потенциала электронов металлической пленки. Поверхность, 1998, N 5, с.105-111.

48. Вольф Г.В., Корепанова JI.A. Потенциал кристаллической пластины. Поверхность, N 4, с.27-32 (1985).

49. A. Kiejna. Image potential matched self-consistently to an effective potential for simple-metal surfaces. Phys.Rev. В 43, 14695-14698 (1991).

50. Yu.P. Chuburin, G.V. Wolf. Energy band-structure effects in low-energy electron scattering by a crystalline film. J.Phys.: Cond. Matt. 8, 631-640 (1996).

51. V.V Dyakin, R.F. Egorov, and V.P. Shirokovskii. On the problem of construction of the crystal potential. Phys.Stat.Sol. 36, 447-450 (1969).

52. V.L. Moruzzi, J.F. Janak, A.R. Williams. Calculated electronic properties of metals. New York, 1978.

53. Вольф Г.В., Рубцова JI.A. Потенциал и электронная плотность для самосогласованных расчетов электронной структуры кристаллических пленок. Поверхность, N 5, с.35-41 (1990).

54. Пааш Г., Хитшолд М. Достижения электронной теории металлов, том 2, М.: Мир, 1984, с.474.

55. Чубурин Ю.П. О решениях уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла. ТМФ, т.98, N 1, с.38-47 (1994).

56. Чубурин Ю.П. Об аппроксимации "пленочного" оператора Шредингера "кристаллическим". Математические заметки, т.62, N 5, с.773-781 (1997).

57. Г.В. Вольф, Д.В. Федоров. Прямой учет поверхностной экранировки в расчетах энергетического спектра электронов кристаллических пленок металлов, 1998, Деп. в ВИНИТИ N 2361-В98, с.1-36.

58. Schlosser Н., Marcus P.M. Composite wave variational method for solution of the energy-band problem in solids. Phys.Rev. В 131,11121116 (1963).

59. Г.В. Вольф, И.А. Корзников, JT.А. Рубцова. Расчет энергетического спектра электронов кристаллических пленок методом функции Грина. 1987, Деп. в ВИНИТИ N 1020-В 87, с.1-41.

60. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977, с.477.

61. Ю.П. Чубурин. О спектре оператора Шредингера в случае полуограниченного кристалла. 1985, Деп. в ВИНИТИ N 7614-В.

62. Kurganskii S.I., Dubrovskii О.I., Domashevskaya Е.Р. Integration over the two-dimensional Brillouin zone. Phys. Stat. Sol. (b) 129, 293-299 (1985)

63. А.Ф. Никифоров, B.B. Уваров. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978, с.214

64. JI.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. М.: ГИФМЛ, 1963, с.472

65. P. Blaha, К. Schwarz, and J. Luitz. WIEN97, Vienna University of Technology (1997).

66. J.R. Smith, J.G. Gay, and F.J. Arlinghaus. Self-consistent local-orbital method for calculating surface electronic structure: Application to Cu(100). Phys.Rev. В 21, 2201-2221 (1980).

67. Г.В. Вольф, Д.В. Федоров. Новый метод расчета электронной структуры металлических пленок: самосогласованный расчет электронных состояний (001) пленки меди. Конденсированные среды и межфазные границы, T.l, N 2, с.120-128 (1999).

68. В.В. Немошкаленко, Ю.Н. Кучеренко. Методы вычислительной физики в теории твердого тела. Киев: Наукова думка, 1986, с.23.

69. P. Gies and R.R. Gerhardts. Self-consistent calculation of electron-density profiles at strongly charged jellium surfaces. Phys. Rev. В 33, 982-989 (1986).

70. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979, с.264.

71. А.А. Остроухов, В.Н. Томиленко, В.Т. Черепин. Электронная структура поверхности. Метод линеаризованных присоединенных плоских волн для поверхности. I. Общая теория и численные алгоритмы. Препринт ИМФ 16.89, Киев, с.1-80 (1989).

72. Г.В. Вольф, Д.В. Федоров. Самосогласованный отклик электронной плотности Си(001) ГЦК пленки да внешнееэлектростатическое поле, 1999, Деп. в ВИНИТИ N 3351-В99, с. 1-5.

73. Н.Н. Калиткин. Численные методы. М.: Наука, 1978, с.81.

74. Р.А. Serena, J.M. Soler, N. Garcia. Self-consistent image potential in a metal surface. Phys. Rev. В 34, 6767-6769 (1986).

75. E.V. Chulkov, V.M. Silkin, P.M. Echenique. Image potential states on lithium, copper and silver surfaces . Surf. Sci. 391, L1217-L1223 (1997).

76. N.V. Smith, C.T. Chen, M. Weinert. Distance of the image plane from metal. Phys. Rev. В 40, 7565-7573 (1989).

77. M. Weber and A. Liebsch. Density-functional approach to second-harmonic generation at metal surfaces. Phys.Rev. В 35, 7411-7416 (1987).

78. J.С. Quail and H.J. Simon. Second-harmonic generation from silver and aluminum films in total internal reflection. Phys.Rev. В 31, 49004905 (1985).

79. Т. A. Luce and K.H. Bennemann. Nonlinear optical response of noble metals determined from first-principles electronic structures and wave functions: Calculation of transition matrix elements. Phys.Rev. В 58, 15821-15826 (1998).

80. H.W.K. Tom, C.M. Mate, X.D. Zhu, J.E. Crowell, Y.R. Shen and G.A. Somorjai. Studies of alkali adsorption on Rh(lll) using optical second-harmonic generation. Surf. Sci. 172, 466-476 (1986).

81. С. Лундквист. Колебания плотности в неоднородных системах. В кн.: Теория неоднородного электронного газа. М.: Мир, 1987, с.153.

82. Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твердого тела, Т.1. М.: Мир, 1979, с.20.

83. Г.В. Вольф, А.Е. Павлов. Единый подход к нормировке состояний дискретного и непрерывного спектров кристаллической пленки. ФММ, N 8, с.38-41 (1992). !1