Электронный транспорт в киральном гелимагнетике

Проскурин, Игорь Витальевич

Электронный транспорт в киральном гелимагнетике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Проскурин, Игорь Витальевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Электронный транспорт в киральном гелимагнетике»

Автореферат диссертации на тему "Электронный транспорт в киральном гелимагнетике"

ПРОСКУРИН ИГОРЬ ВИТАЛЬЕВИЧ

ЭЛЕКТРОННЫЙ ТРАНСПОРТ В КИРАЛЬНОМ ГЕЛИМАГНЕТИКЕ

01.04.07 — Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Екатеринбург — 2011

4846828

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. А. М. Горького»

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Овчинников Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Борисов Александр Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент Мальцев Владимир Николаевич

Ведущая организация

ГОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

Защита состоится «9» июня 2011 г. в « » часов на заседании диссертационного совета Д 212.286.01 при ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. А. М. Горького» по адресу: 620000, г. Екатеринбург, пр. Ленина 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. А. М. Горького»

Автореферат разослан « О » мая 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.286.01, доктор физ.-мат. наук, с. н. с.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Динамика неоднородных магнитных текстур под действием спин-поляризованного электрического тока представляет значительный интерес, как с теоретической, так и с экспериментальной точки зрения. Например, управление движением доменной стенки в ферромагнетике при помощи тока является одной из приоритетных задач спинтроники. Теоретические исследования показали, что в основе движения неоднородной магнитной текстуры лежит механизм спинового вращательного момента (СВМ), создаваемого током подвижных носителей заряда [1]. Обратной задачей электронного транспорта в нетривиальных магнитных текстурах является проблема изменения электрического сопротивления при протекании электрического тока через область неоднородной намагниченности.

Подавляющее число предшествующих экспериментальных и теоретических исследований упомянутых проблем относилось к доменным стенкам, поэтому дальнейшим шагом в развитии теории является расширение класса рассматриваемых магнитных текстур. В настоящее время активно изучаются вихревые доменные стенки, спиральные магнитные текстуры и скирмионные решетки. В этой связи особый интерес представляет киральный гелимагнетик (КГМ), в котором реализуется магнитное спиральное упорядочение с определенной киралыюстью. Такая магнитная структура наблюдается в кристаллах без центра инверсии и стабилизируется антисимметричным обменным взаимодействием Дзялощинского—Мории. В настоящее время известны реальные прототипы КГМ, являющиеся представителями металлов (МпЭ^, диэлектриков (С11В2О4) и полупроводников (Сг^зМЬЗг). С точки зрения возможного применения в спинтронике специальный интерес представляет соединение Сг^зМЬЭг, в котором предположительно имеется подсистема электронов проводимости, взаимодействующих с локальными магнитными моментами.

В отличие от пространственно локализованных доменных стенок, в которых магнетосопротивление и СВМ носят интерфейсный характер, в КГМ эти величины имеют объемную природу, что делает исследование этих эффектов актуальным с точки зрения развития теории. Очевидно также, что движение носителей заряда в магнитной сверхрешетке КГМ должно приводить к дополнительному вкладу в магнетосопротивление. <

Цели работы. Важность вышеуказанных проблем определили цель диссертационной работы — теоретическое исследование проблемы СВМ и магнето-сопротивления в КГМ в рамках sd-модели. В качестве основного состояния подсистемы локальных моментов выбирается состояние магнитной солитон-ной решетки (MCP) [2], возникающее под действием внешнего магнитного поля направленного перпендикулярно киральной оси. В этой связи в работе были поставлены следующие задачи:

1. Построить микроскопическую теорию движения неоднородной магнитной текстуры типа MCP под действием электрического тока подвижных носителей.

2. Получить выражение для неадиабатического СВМ, возникающего при взаимодействии электронов проводимости с локальными моментами и вычислить неравновесную спиновую аккумуляцию в системе подвижных носителей.

3. Вычислить скорость стационарного движения MCP, приобретаемую за счет действия электрического тока.

4. Рассчитать сопротивление, оказываемое MCP на транспорт свободных электронных носителей.

Научная новизна. На основе микроскопического подхода, предложенного в работах [3,4,5], исследована динамика MCP, взаимодействующей с подсистемой электронов проводимости, в рамках sd-модели. С помощью лагранжева формализма получена система уравнений движения для степеней свободы, описывающих динамику MCP. Показано, что при описании динамики принципиальную роль играют массивные 0-возбуждения и коллективная координата (трансляционная мода), имеющая смысл позиции центра масс MCP.

Взаимодействие локальных моментов с электронами проводимости приводит к появлению дополнительных слагаемых в системе уравнений движения для MCP, в частности, к возникновению неадиабатического СВМ, связанного с локальной неколлинеарностью между направлениями спиновой плотности электронов проводимости и локальной намагниченности. Показано, что неадиабатический СВМ пропорционален поперечной спиновой аккумуляции, которая представляет собой существенно неравновесный эффект. В рамках

формализма Келдыша неравновесных функций Грина удается получить аналитическое выражение для спиновой аккумуляции в подсистеме подвижных носителей.

Вычисление неадиабатического СВМ в приближении времени релаксации показывает, что эта часть вращательного момента пропорциональна плотности протекающего электрического тока. Кроме того, вычислена концентрационная зависимость неадиабатического СВМ и показано, что он может менять знак в зависимости от концентрации зарядов.

Анализ уравнений динамики MCP приводит к боголюбовской иерархии релаксационных процессов, когда (I) в течение малого времени релаксации внутри электронной подсистемы появляется неравновесная спиновая аккумуляция и, как следствие, неадиабатический СВМ. (II) В течение последующего промежутка времени, порядка времени релаксации внутри подсистемы локализованных моментов, возникает адиабатический СВМ, вызывающий поступательное движение MCP. Получено аналитическое выражение для соответствующей скорости движения.

С помощью метода неравновесного статистического оператора Зубарева [6] получено выражение для сопротивления произвольной квазиодномерной магнитной текстуры. Теоретический анализ описывает транспорт в баллистическом режиме, при этом источником рассеяния электронов служат поперечные компоненты калибровочного потенциала, создаваемого неоднородной магнитной текстурой. Исследовано поведение сопротивления при нуле температур. Развитый формализм был применен к блоховской доменной стенке и MCP. Показано, что в первом случае сопротивление экспоненциально убывает с ростом ширины доменной стенки, что согласуется с выводами, полученными в предыдущих исследованиях [7]. Во втором случае, магнетосопротивление связано с брэгговским рассеянием электронов на периодическом потенциале, создаваемом MCP. Отличительной особенностью MCP является возможность управлять периодом потенциала внешним магнитным полем, обеспечивая серию последовательных переходов «металл-диэлектрик».

Резонансный характер магнетосопротивлешш может быть использован для экспериментального детектирования геликоидальных магнитных систем с антисимметричным обменным взаимодействием.

На защиту выносятся:

1. Микроскопическая теория динамики MCP взаимодействующей с подвижными электронами, основанная на формализме Эйлера-Лагранжа.

2. Аналитические выражения для неадиабатической и адиабатической частей СВМ.

3. Результаты расчета неравновесной спиновой аккумуляции в системе подвижных электронов.

4. Установленная иерархия релаксационных процессов: появление неадиабатического СВМ за время релаксации в электронной подсистеме Ю-12 с), и последующий выход на стационарный режим движения MCP за существенно большее время Ю-9 с).

5. Выражение для скорости стационарного движения MCP под действием тока подвижных носителей и соотношение между величинами адиабатического и неадиабатического СВМ.

6. Выражение для сопротивления, создаваемого квазиодномерной магнитной текстурой. В случае блоховской доменной стенки — закон экспоненциального спадания сопротивления с ростом ширины стенки.

7. Резонайсный характер сопротивления как функции внешнего магнитного поля при движении электронов проводимости через MCP.

Достоверность результатов. Выведенные уравнения движения MCP допускают в качестве частного случая решения, полученные в работах [4,5]. Основные качественные результаты для скорости движения и отношения адиабатического и неадиабатического СВМ совпадают с результатами феноменологической теории [1). Зависимость сопротивления от ширины доменной стенки качественно согласуется с результатом, полученным в работе [7].

семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2009 г.), XXXII Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка» (Екатеринбург, 2010 г.), IV Euro-Asian Symposium «Trends in MAG-netism»: Nanospintronics EASTMAG-2010 (Ekaterinburg, 2010), Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и её приложение в естествознании» (Уфа, 2010 г.), Condensed Matter and Materials Physics CMMP-10 (Warwick, United Kingdom, 2010), The 12th International Conference oil Molecular-Based Magnets (Beijing, China, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях и 5 тезисах докладов, включая 3 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах. Полный список работ приводится в конце автореферата.

Личный вклад автора. В совместных публикациях по теме диссертационных работ личный вклад автора заключался в постановке задач, проведении большинства аналитических расчётов, в обсуждении и интерпретации полученных результатов и написании статей.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит пз введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников и четырех приложений. Общий объем составляет 187 страниц, включая 31 рисунок. Список использованных источников содержит 115 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные цели и задачи работы, показаны научная новизна и практическая ценность полученных результатов. Кратко изложенные основные положения, выносимые на защиту. Приведены сведения о достоверности результатов, апробации работы, личном вкладе автора, структуре и объеме диссертации.

Первая глава является обзорной. В ней обсуждаются экспериментальные доказательства существования киральных гелимагнитных текстур и свойства реальных соединений, для которых может быть применима изложенная в дис-

Рис. 1: Экспериментальные зависимости для Сг^МЬЯг: М-Т в различных

магнитных полях (слева) и М-Н при различных температурах (справа). Магнитное поле прикладывалось перпендикулярно гексагональной оси кристалла [8].

сертации теория. Дан краткий обзор актуальных теоретических проблем.

Среди основных экспериментальных методов обнаружения киральных ге-лимагнитных текстур можно выделить рассеяние нейтронов, электронный спиновый резонанс, исследование зависимостей намагниченности М от температуры Т и магнитного поля Н.

Подробно описано соединение Сг^зМЬЭг, наиболее перспективное с точки зрения применения развитой в диссертации теории, поскольку предполагается, что в этом соединении реализуется в<1 модель. Подсистема локальных моментов со спином 3/2 формируется ионами Сг3+, система подвижных электронов связана с ионами N6.

Экспериментальные кривые М-Т и М-Н для Сг^зМЬБг представлены на Рис. 1. Резкая аномалия при температурах порядка 127 К на зависимостях М-Т (слева) была обнаружена только в том случае, если магнитное поле прикладывалось перпендикулярно гексагональной оси кристалла. С ростом магнитного поля свыше значений порядка 0,25 кЭ эта аномалия исчезает, что свидетельствует о переходе в вынужденное ферромагнитное состояние. На Рис. 1 (справа) представлены М-Н зависимости при различных температурах. Вертикальные стрелки отмечают переход из несоразмерной в соразмерную фазу (С-НС).

! и/;.0.»*10'' |

0.0

0.2 0.4 0.(1 0.8 (НО 0.12 Т/Тс

1.0

Рис. 2: Теоретические зависимости для кирального гелимагнетика: М-Т (слева) и М-Н (справа). Тс — критическая температура, 3 — константа ферромагнитного обменного взаимодействия, £) — константа антисимметричного обменного взаимодействия Дзялошинского—Мории, Нс — критическое поле, при котором происходит С-НС переход.

Представленные экспериментальные зависимости находятся в хорошем согласии с результатами теоретических расчетов (Рис. 2), полученных в работах [9,10]. Характерная аномалия на кривой М-Т (слева) возникает только при наличии антисимметричного обменного взаимодействия Дзялошинского—Мории. Сопоставление экспериментальных и теоретических результатов, в совокупности с имеющимися данными по рассеянию нейтронов, позволяет сделать вывод о существовании в Сг^зИЬБг кирального гелимагнитного упорядочения при температуре ниже 127 К с периодом ~ 48 нм.

Значительное внимание в первой главе уделяется обзору актуальных теоретических проблем, относящихся к теме диссертации, таких как бездиссипа-тивные спиновые токи, различные теоретические подходы к описанию сопротивления доменной стенки, роль СВМ в динамике неоднородной магнитной текстуры.

Во второй главе приводятся основные теоретические сведения, касающиеся основного состояния КГМ, типам и спектрам элементарных возбуждений. Основное внимание уделено исследованию динамики МСР, взаимодействующей с подсистемой электронов проводимости, в рамках формализма Эйлера— Лагранжа—Релея с учетом диссипации.

Структуру КГМ можно представить как набор атомных плоскостей пер-

Рис. 3: Пространственная модуляция намагниченности в состоянии МСР (сверху) и соответствующая зависимость <ро(г) (снизу).

пендикулярных некоторой кристаллографической оси (ось z). Магнитные моменты в каждой плоскости упорядоченны ферромагнитно, однако их направление поворачивается от плоскости к плоскости на некоторый угол. В качестве модели КГМ рассматривалась система спиновых цепочек, каждая из которых обладает энергией

Ч = -JY, SÍ • Si+i + D ■ J2lSi x Si+i] -H Y, Su (!)

i i i

где первое слагаемое представляет ферромагнитное обменное взаимодействие с обменным интегралом J > 0, второе слагаемое — антисимметричное обменное взаимодействие Дзялошииского—Мории с вектором Дзялошинского D = Dez, направленным вдоль киральной оси г, последнее слагаемое —зее-мановское взаимодействие с магнитным полем Н = дцвНех, приложенным перпендикулярно киральной оси (д — фактор Ланде, цв — магнетон Бора).

В приближении сплошной среды, используя параметризацию 5¡ = Sn¡ = S(cos tpi sin6i, sin ípi sin 6i, eos di), уравнение (1) можно записать в виде

JS2

= ajdz {dz6f + i sin2 6{dz<p + Q0f -^Ql sin2 в-m2 eos ip sin в

, (2)

где а —постоянная решетки, = О/{а!) и т? = Я/(./5а2). В нулевом магнитном поле минимуму (2) соответствует спиральное упорядочение с вектором модуляции <Зо и определенной киральностью, которая фиксируется направлением вектора Ю. В ненулевом магнитном поле основное состояние (2) представляег собой МСР [2] с По (г) = (соя (¿>о(г), вт 1ро(г),0) и

<р0(г) = 2ат > (3)

где ат —амплитуда Якоби с эллиптическим модулем 0 < к < 1, величина которого определяется из уравнения т/к = (здесь и далее К (к)

и Е(к) обозначают полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соответственно). Состояние MPC можно представить, как последовательность доменов однородной фазы, разделенных границами с резким изменением направления намагниченности (Рис. 3). Пространственный период MCP определяется величиной

= (4)

С изменением магнитного поля от нуля до критического значения H с = (ttQq/A)2JS, при котором происходит С-НС переход, период MCP монотонно возрастает от величины 2гг/Qo до бесконечности. В сильном магнитном поле H > Нс зеемановское слагаемое в (1) преобладает и основным состоянием является ферромагнитная фаза <po(z) = 0. Для соединения Cri/3NbS2 критическое поле составляет величину ~ 1 кЭ.

Для изучения динамики MCP необходима информация об элементарных возбуждениях над основным состоянием. Для этого вводятся продольные 69 и поперечные 5tp возбуждения относительно стационарной конфигурации no(z), т. е. e(z,t) = 7г/2 4-öe(z,t) и <p{z,t) = 4>q{z) + ôip(z,t). Функционал (2) при таком разложении во втором порядке по возбуждениям приобретает вид Tí — Я[тг/2,у>о]+<Ш, где

ÖH = J dz \59кв5в + . (5)

Линейные дифференциальные операторы в этом выражении равны

Ле = ~d2z + im2cosv?o - \(dz4>of + Qodz<p0, (6)

К = -id2 + im2cosy>o. (7)

Задача на собственные значения для операторов Ag, Av сводится к решению уравнения Ламэ в форме Якоби. Собственные функции этих операторов, соответственно uq(z) и vq(z) (g — квазиимпульс), образуют ортонормирован-ный базис, по которому можно разложить S8(z, t) и S¡p(z, t)

6(z,t) = тг/2 + (8)

■ V(z,t) = (9)

Рис. 4 ' Спектры элементарных возбуждений MCP. (а) Спектр поперечных ^-возбуждений. (Ь) Спектр продольных ^-возбуждений.

Зависящие от времени амплитуды собственных мод £g(t) и Vq(t) играют роль динамических переменных. Энергия возбуждений (5) при таком разложении принимает форму

m=j24(ю)

ч я

Спектры элементарных возбуждений представлены на Рис. 4. Аналитические выражения для спектров возбуждений, а также явный вид собственных функций приведены в работе [4]. Для дальнейшего изложения существенно, что (^-возбуждения представляют собой бесщелевую голдстоуновскую моду, в то время как массивные ö-возбуждения обладают квадратичным спектром со щелью е(0е) и D252/(2J).

Спиновая функция Лагранжа в задаче о динамике MCP может быть записана в виде

С=* J dz S (cos в-Щч>-П[е, у]-Н*[0,<р,(ё)]. (П)

Первое слагаемое представляет собой фазу Берри, второе слагаемое — энергия MCP в форме (2) или (10), последнее слагаемое описывает sd взаимодействие между подсистемой локальных моментов и подсистемой электронов проводимости

?isd[0,V,(s)] = -JsdS J dzn{z) • (s{z)), (12)

где (s(z)} — плотность электронного спина в точке z, Jsd > 0 — константа sd взаимодействия.

Отметим, что конфигурация MCP имеет непрерывный параметр вырождения, связанный с тем, что позиция центра масс Z для MCP может выбираться

произвольным образом По(г) —>■ no(z — Z). Для корректного описания динамики необходимо рассматривать Z, как динамическую переменную Z(i), и заменить нулевую голдстоуновскую моду щ (t) на Z(t). При этом разложения (8,9) примут вид

e(z,t) = тг/2 + (13)

<p{z,t) = m(z-Z(t)) + ^g(t)vq(z-Z(t)). (14)

qfto

Релаксационный характер динамики MCP учитывался с помощью дисси-пативной функции Релея

W=-^Jdz(dtS)\ (15)

где а — безразмерный параметр диссипации.

Динамика MCP полностью описывается набором обобщенных координат {€q(t),r]q(t), Z(t)}, для которых может быть записана система уравнений Эйлера—Лагранжа—Релея. Показано, что в низкоэнергетическом пределе, соответствующем дну энергетических спектров, изображенных на Рис. 4, минимальный набор динамических переменных, необходимых для описания движения MCP, состоит из Z(t) и £о(t), что соответствует <p(z,t) = ip0(z — Z{t)) и 6(z,t) = 7г/2 + £o{t)u0(z — Z(t)). В этом пределе при движении MCP не происходит возбуждения спин-волновых мод с ненулевыми значениями квазиимпульса q.

В случае слабого магнитного поля, когда к<1, для нулевой ö-моды справедливо приближение однородной деформации uq(z — Z(t)) « 1 /vT, где L — линейный размер системы. В этом случае система уравнений для переменных Z(t) и £o(i) принимает простой вид

£(£) + Jsd 1 = -aQsZ(t),

Qsz(t) - 2($)/s)№ - Jsdm - Jsä<sm = <>№,

где введены £(i) = £o(0uo = £,o(t)/\/L и Qs = 2tt/As — вектор модуляции MCP. Взаимодействие локальных моментов с подсистемой электронов проводимости (12) приводит к появлению коэффициентов

4L = L~l J dz[n0{z) х {s{z))]z, (17)

Ш = L~l j dz {sZ{z)), С = L-1 J dz (no(z) • (S(z))). (18)

Параметр 1 определяется локальной неколлинеарностью между направлением намагниченности и направлением электронной спиновой плотности, и представляет собой неадиабатический СВМ. Для коэффициентов £Ш и (Е были приняты термины «стонеровская намагниченность» и «перенормировка sd взаимодействия», соответственно.

Третья глава диссертации посвящена микроскопическому расчету электронных коэффициентов, возникающих с системе уравнений (16). В начале третьей главы приводятся сведения из феноменологической теории СВМ, основанной на уравнении движения намагниченности Ландау—Лифшица—Гильберта.

Для микроскопического расчета электронных коэффициентов (17,18) была выбрана модель сильной связи

fiel = | ~ JsdSY2no(zi) ■ (19)

icr i

где t — интеграл перескока между ближайшими соседними узлами г и г + 1, Jj = (1/2) Yltra' cL^CTCT'Ctcr'— электронный спин на узле г и er — вектор матриц Паули. Поскольку пространственный период MCP Хя ~ 10-100 нм значительно больше kp1 ~ 0,5 нм, целесообразно перейти от лабораторной системы координат xyz в локальную систему координат xyz. Такой переход оправдан в адиабатическом приближении t J. Для этого производится унитарное преобразование

Cic -» aia = y^ß<Tgi{zi)cia,, (20)

а'

где U(z) = ещ>{г&2(pQ(z)} — матрица SU(2) поворота вокруг оси z на угол <Po(z), который совмещает локальную ось х и щ(г).

В локальной системе координат гамильтониан (19) имеет вид

Heff = £к<та1аак<, - ^JsdS ]Г (21)

kcr каа'

где к — квазиимпульс, значения которого принадлежат первой зоне Бриллю-эна. Спектр элементарных возбуждений в локальной системе координат имеет вид

£fc<T = —tcos(fc — <jQs/2) , <r = ±l. (22)

Для электронных коэффициентов (17,18) соответствующие выражения приобретают вид

* = (зз)

кас' каа'

£ - (24)

кас'

где (...) означает усреднение с матрицей плотности /3, определяемой гамильтонианом (21). Таким образом, задача о вычислении электронных коэффициентов сводится к вычислению спиновых аккумуляций (в01) =

каст'

в локальной системе координат.

Для вычисления спиновых аккумуляций (5а) использовался метод неравновесных функций Грина Келдыша. В методе Келдыша (§а) выражаются через «меньшую» функцию Грина С^а.к,а,(1, £') = * (*'))> (¿а) -

—(г/2) Тг{ста(?<}.

Предполагая «7^ малым и ограничиваясь первым порядком, получим

А.

■/«Т 2 е*т-е*4.-»<5

/н

(25)

2 сц-ец--^

гДе Л<т — неравновесная электронная функция распределения и 6 —»• 0+. Тогда для электронных коэффициентов (17,18) получаем следующие выражения

\vJsdS ~ /чЖеьт ~ (26)

а« = (27)

2 V 2 к

где Р означает главное значение отношения. Отметим, что вклад в неадиабатический СВМ дают только точки случайного крамерсовского вырождения, в которых = £¿4,.

Для неравновесной функции распределения использовалось приближение времени релаксации

Л. = Неы) - еЕте1ука, (28)

где е —заряд электрона, £ —внешнее электрическое поле вдоль оси 2, те; — время релаксации в системе подвижных носителей, — И~1де^1дк — скорость носителей с квазиимпульсом к и проекцией спина а в локальной системе

(а) Т

(Ь) Б

i.f

0.04

0.5

-0.5

-1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 ^

Рис. 5: Графики концентрационной зависимости (а) для Т и (Ь) <Е. 0 < п < 2 обозначает концентрацию частиц в расчете на узел решетки.

координат и /о(бк<г) = (ехр-^е/^ —д)} + 1)-1 —функция распределения Ферми—Дирака, (0 = 1 /кТ, /^—химический потенциал).

Окончательные выражения для (17,18) представляют основной результат третьей главы

где со — —icos (Qs/2). Химический потенциал вычислялся из условия 2it<T fo(£ka) — ríe ПРИ заданной концентрации частиц на узел решетки 0 ^ пс < 2. Концентрационная зависимость для 1 и <£ представлена на Рис. 5. Обратим внимание на изменение знака СВМ с изменением концентрации. Этот эффект открывает потенциальную возможность управлять движением МСР, контролируя концентрацию электронов.

В четвертой главе приводится решение системы уравнений (16), оцениваются скорость стационарного движения МСР и время релаксации связанное с подсистемой локальных моментов, в течение которого устанавливается стационарный режим движения, объясняется структура СВМ.

Решения системы уравнений (16) имеют релаксационный характер

где назовем аккумуляцией z-компонентпы в подсистеме локальных моментов (nz = cos б « — £*), V* — скорость стационарного движения MCP. Здесь

JadSeETei ЖВТ

<Е

Г =

a{24e)/s + Jsdey

Jsdfr

y» _ Jscfö

aQs '

(32)

Результат для скорости V* совпадает с выводами феноменологической теории, изложенной в работе [1]. Процесс выхода МСР на стационарный режим движения происходит в два этапа (боголюбовская иерархия процессов). После включения электри-

ческого поля за время релаксации re; « ~ Ты

Ю-12 с в электронной подсистеме возникает неравновесная спиновая аккумуляция (зу) и связанный с ней неадиабатический СВМ (Рис 6). Затем в течение времени

Рис. 6: Иерархия релаксационных

процессов, связанная с выходом MCP на стационарный режим движения.

(33)

происходит аккумуляция неравновесной z-компоненты которая вызывает движение MCP. Для типичных значений модельных параметров J = 10 К, DJJ = Ю-1, а = 10~2, 5 = 1, получаем время релаксации тмкс ~ Ю~9 с.

В нашем случае, аналогично теории [1], полный СВМ состоит из двух частей. Неадиабатическая часть возникает за счет локальной неколлинеарности между направлением плотности электронного спина и направлением намагниченности Рис. 7 (слева). Это приводит к появлению ненулевой аккумуляции 2-компоненты в системе локальных моментов, что в свою очередь означает появление адиабатического СВМ Тд = L~l J dz'.n х nz]y ~ £*. Адиабатический СВМ вызывает прецессию намагниченности вокруг nz, что является в конечном счете причиной движения MCP структуры. Было получено отношение вращательных моментов |1/Хд| = aD2S/(JJ3d) « Ю-5, что представляет микроскопическую оценку т. н. параметра неадиабатичности.

Для максимальной скорости движения MCP получена оценка

Для типичных значений эффективной массы т* « 10~31 кг, концентрации подвижных носителей по « 1028 м-3, Ь « Ю-2 м, а « Ю-10 м, « 1 К, Т « 10 К, а кй 10~2, ,7/1) и 10, 5 = 1, получим У£ах и Ю2 м/с для плотности тока '] ~ 10® А/м2.

(34)

Adiabatic

Spin Transfer Torque

Рис. 7: Неадиабатический CBM (слева) и адиабатический CBM (справа)

Пятая глава посвящена проблеме сопротивления неоднородной магнитной текстуры. Рассмотрены случаи блоховской доменной стенки и MCP. Для исследования указанной проблемы рассматривалась модель сильной связи (19).

Чтобы выделить в (19) квазичастичную часть и часть, связанную с рассеянием, использовалось калибровочное преобразование, диагонализующее sd взаимодействие с, = ЩЬ^, где ¡7, = ехр{|сс(гг) ■ <х}, где a(z) = f (— siny>(z), cosy>(ir), 0). В локальной системе координат эффективный гамильтониан имеет вид Heff = Üqp + Üscatt, где квазичастичная часть Hqp = J2ka£kablabka определяется энергетическим спектром = —tcoska — a\JsdS (а = ±1). Рассеяние квазичастиц на калибровочном потенциале описывается слагаемым

где Ад = L~1 e~lq2iA(zi) - фурье-образ калибровочного потенциала

Для расчета электрического сопротивления постоянному току, возникающему за счет рассеяния на одномерной магнитной текстуре, был использован метод неравновесного статистического оператора Зубарева [6]. В результате микроскопического расчета для сопротивления получена следующая формула

Ûscatt = t J2 e~iqa/2 sin(ka)bl+q/2(A(q) ■ â)bk_q/2, (35)

A(z) = xdzip(z)(-cos<p(z),-sm<p(z),l).

(36)

Рис. 8: Схематическое изображение процесса рассеяния при Т = 0. ее!

взаимодействие создает расщепление электронных зон 2М — JadS (слева). Зависимость сопротивления (в логарифмическом масштабе) от ширины блоховской доменной стенки для пс = 0,5 ипс = 1 (справа). Значения параметров: = 0,4, квТ/Ь = 0,1 и Ь = 1,0.

где введены безразмерные величины

К2 = ^-^Г) Г'айк вт2(ка)Мек<Т)(1-Мека}) (39)

<7 = ±Г/-,Г/а

где кт1Па = агссоз[1 — коа = агссо8[78^5/(24) + сов(А:а)], и

Г(д) = А(-+ЦЯ)А^{-д) + = А™ ± 1А{у\ (40)

Физический смысл формулы (37) становится ясным, если перейти к пределу при Т = 0. В этом случае выражение (37) приобретает вид

жИБ2 (1еЛ2 Е„=±1 Г(£п - акР1)со52(1 + акп}) РШЗ 8е2а?\1) \Вт(кпа)\\5т(кР1а)\(^±15т(кРаа)У 1 ;

Схематически процесс рассеяния изображен на Рис. 8. Поскольку вклад в сопротивление дают только спин-флип процессы, электрон из состояния кр^ может рассеяться либо в состояние с либо в состояние с как пока-

зано на Рис. 8 (слева). Этим процессам соответствуют слагаемые с а = +1 и а = — 1 в числителе выражения (41).

л 1,0-X

а 0,5

0,0-

п=3

п=2

(Нс-Н)/Нс

п=1

10"1 10

Рис. 9: Зависимость сопротивления МСР от магнитного поля (в логарифмическом масштабе) (слева) и зависимость вектора модуляции МСР от магнитного поля (справа).

В качестве примера использования формулы (37), было рассчитано сопротивление блоховской доменной стенки tg(y>(z)/2) — exp(z/\dw) {^dw ~ ширина доменной стенки), для которой Г(д) = (тгА£>w<j)2 сЬ(этЛDW4)) sh2(7rA£>n/g). Была установлена экспоненциальная зависимость сопротивления от ширины стенки [Рис. 8) (справа), что согласуется с выводами работы [7].

Основным результатом пятой главы является расчет магнетосопротивле-ния MCP, для которой Г(<?) имеет резонансный характер

т =

г„ =

Согласно формулам (41,42) сопротивление MCP будет иметь резкие максимумы при выполнении условий

fcFt - kFi = ±nQs и кFf + kFi = ±nQs. (44)

Удовлетворить этим условиям можно, либо изменяя положение уровня Ферми (контролируя концентрацию подвижных носителей), либо изменяя Qs с помощью магнитного поля. Зависимость сопротивления MCP от магнитного поля представлена на Рис. 9 (слева). Максимумы соответствуют значениям

¿г „(<W+*9.-nQ.). (42)

ЩЛКк) sh2(2ппК'/КУ [4S'

магнитного поля, при которых вектор модуляции MCP Рис. 9 (справа) удовлетворяет условиям (44) с п = 1,2,3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

В результате проделанной работы по исследованию электронного транспорта в КГМ были получены следующе результаты:

1. Получена система уравнений движения (16) для MCP, взаимодействующей с током. Показано, что минимальный набор переменных, необходимых для описания динамики MCP, состоит из нулевой моды продольных 8-возбуждений и коллективной координаты Z(t) (трансляционной моды), имеющей смысл позиции центра масс MCP.

2. В рамках неравновесной техники келдышевских функций Грина вычислены неравновесные спиновые аккумуляции в подсистеме подвижных носителей. Получено выражение для неадиабатического СВМ в приближении времени релаксации. Показано, что эта часть СВМ пропорциональна плотности протекающего электрического тока. Вычислена концентрационная зависимость неадиабатической части СВМ и показано, что она может менять знак в зависимости от концентрации подвижных носителей.

3. Исследована релаксационная динамика MCP. Показано, что возникает боголюбовская иерархия релаксационных процессов: (1) малого времени релаксации электронной подсистемы, в течение которого появляется неадиабатическая часть СВМ, и (2) времени релаксации в системе локализованных моментов, в течение которого возникает адиабатическая часть СВМ, вызывающая поступательное движение MCP как целого. Получены результаты для скорости стационарного движения MCP и отношения адиабатического и неадиабатического СВМ.

4. В рамках метода неравновесного статистического Зубарева найдено выражение для сопротивления произвольной квазиодномерной магнитной текстуры. Теоретическое рассмотрение описывает транспорт в баллистическом режиме, при этом источником рассеяния электронов служат поперечные компоненты потенциала, создаваемого текстурой. Исследовано предельное поведение формул для сопротивления при нуле температур.

5. Результаты общего формализма иллюстрируются на примере блохов-ской доменной стенки и MCP. Показано, что сопротивление блоховской до-

менной стенки экспоненциально убывает с ростом ее ширины.

6. Для солитонной решетки исследован эффект магнетосопротивления, который возникает при движении электронов через периодический потенциал создаваемый МСР. Показано, что зависимость сопротивления от магнитного поля носит резонансный характер. Важной особенностью МСР является возможность управления периодом потенциала внешним магнитным полем.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Zhang, S. Roles of Nonequilibrium Conduction Electrons on the Magnetization Dynamics of Ferromagnets / S. Zhang, Z. Li // Physical Review Letters.-2004.-Vol. 93, Issue 12.-P. 127204.

2. Дзялошинский, И. E. Теория геликоидальных структур в антиферромагнетиках. I. Неметаллы / И. Е. Дзялошинский // Журнал экспериментальной и теоретической физики. —1964. — Т. 46, вып. 4. —1420-1437.

3. Bostrem, I. G. Transport spin current driven by the moving kink crystal in a chiral helimagnet / I. G. Bostrem, J. Kishine, A. S. Ovchinnikov // Physical Review B. - 2008. - Vol. 77, Issue 13. - P. 132405 - 4 pages.

4. Bostrem, I. G. Theory of spin current in chiral helimagnet / I. G. Bostrem, J. Kishine, A. S. Ovchinnikov // Physical Review В. —2008. —Vol. 78, Issue 6. - P. 064425 —15 pages.

5. Kishine, J. Adiabatic and nonadiabatic spin-transfer torques in the current-driven magnetic domain wall motion / J. Kishine, A. S. Ovchinnikov // Physical Review B. — 2010. — Vol. 81 Issue 13. — P. 134405. — 8 pages.

6. Зубарев, Д. H. Статистическая механика неравновесных процессов / Д. Н. Зубарев, В. Г. Морозов, Г. Рёпке; пер. с англ.; под ред. В. Г. Морозова. -М.: Физматлит, 2002.-Т. 1.-432 е.; Т. 2-296 с.

7. Cabrera, G. G. Theory of the Residual Resistivity of Bloch Walls I. Paramagnetic Effects / G. G. Cabrera, L. M. Falicov // Physica Status Solidi (B). -1974. - Vol. 61, Issue 2. - P. 539-549.

8. Kousaka, Y. Chiral helimagnetism in T1(/3NbS2 (T = Cr and Mn)

/ Y. Kousaka, Y. Nakao, J. Kishine, M. Akita, K. Inoue, J. Akimitsu //

Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A. — 2009. — Vol. 600, Issue 1. - P. 250-253.

9. Kishine, J. Static and dynamical anomalies caused by chiral soliton lattice in molecular-based chiral magnets / J. Kishine, K. Inoue, K. Kikuchi // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. —2007. — Vol. 310, Issue 2. — P. 1386-1388.

10. Kousaka, Y. Chiral Magnetic Ordering and Commensurate-to-Incommensurate Transition in C11B2O4 / Y. Kousaka, S. Yano, J. Kishine, Y. Yoshida, K. Inoue, K. Kikuchi, J. Akimitsu // Journal of the Physical Society of Japan.-2007.-Vol. 76, Issue 12.-P. 123709.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК:

1. Proskurin, I. V. Field-like spin-transfer torque in a chiral helimagnet / I. V. Proskurin, A. S. Ovchinnikov, J. Kishine // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2010. — Т. 138, вып. 2(8). —С. 266-270.

2. Kishine, J. Sliding conductivity of a magnetic kink crystal in a chiral helimagnet / J. Kishine, A. S. Ovchinnikov, I. V. Proskurin // Physical Review B. - 2010. - Vol. 82, Iss. 6. - P. 064407. - \2 p.

3. Kishine, J. Nonequilibrium density operator approach to domain wall resistivity / J. Kishine, A. S. Ovchinnikov, I. V. Proskurin // Journal of Physics: Conference Series.-2011. - Vol. 286.-P. 012017-5 pages.

Другие публикации:

4. Проскурин, И. В. Сопротивление блоховской доменной стенки на постоянном токе / Проскурин И. В., Овчинников А. С., Кишнне Дж. // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании»; Сборник трудов. Т. 2. Физика.—Уфа: РИЦ БашГУ. 2010. — С. 199-204.

5. Проскурин И. В., Овчинников А. С., Кишипе Дж. Сопротивление неоднородных магнитных структур на постоянном токе // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании"; Тезисы докладов. - Уфа: РИД БашГУ. 2010. - С. 57. - 1 с.

6. Proskurin I. V., Ovchinnikov A. S., Kishine J. DC conductivity in in-homogeneous magnetic textures // IV Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism": Nanospintronics EASTMAG-2010; Program and abstract. -Ekaterinburg, 2010. - P. 182. - 1 p.

7. Проскурин И. В., Овчинников А. С. Динамика солитонной решетки, индуцированная электрическим током в киралыюм гелимагиетике // XXXIII Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуров-ка»; Тезисы докладов. - Екатеринбург, 2010. - С. 62. - 1 с.

8. Проскурин И. В., Овчинников А. С. Динамика солитонной решетки, индуцированная электрическим током в киралыюм гелимагиетике // Юбилейная X всероссийская молодежная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества; Тезисы докладов. - Екатеринбург, 2009. - С. 40. - 1 с.

9. Проскурин И. В., Овчинников А. С. Динамика солитонной решетки индуцированная электрическим током в киральном гелимагиетике // XXXV Совещание по физике низких температур (НТ-35); Тезисы докладов. - Черноголовка, 2009. - С. 144. - 2 с.

Подписано в печать 29.04.2011. Формат 60x84 1/16 Гарнитура «Times». Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ № 49/

Отпечатано в типографии ИПЦ «Издательство УрГУ» 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Проскурин, Игорь Витальевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

1.1. Классификация спиральных структур.

1.2. Основные экспериментальные данные по обнаружению киральных гелимагнетиков.

1.2.1. Солитонная решётка в метаборате меди С11В2О4.

1.2.2. Киральный гелимагнетизм в Сг^Ш^.

1.2.3. Киральные органические магнетики.

1.3. Обзор актуальных проблем теории электронного транспорта в неоднородной магнитной текстуре.

1.3.1. Теория бездиссипативного спинового тока в киральном гелимаг-нетике.

1.3.2. Теоретические результаты по сопротивлению неоднородной магнитной текстуры.;.

1.3.3. Эффекты неадиабатичности и спиновой аккумуляции в проблеме сопротивления доменной стенки.

1.3.4. Спиновый вращательный момент в динамике магнитной текстуры.

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА СОЛИТОННОЙ РЕШЁТКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА

2.1. Основное состояние.

2.2. Возбуждения над солитонной рёшеткой.

2.3. Система уравнений движения для солитонной решётки.

2.3.1. Лагранжев формализм.

2.3.2. Коэффициенты К20, Кш, М0, М10.

2.3.3. Коэффициенты Fi0, F20, F300, F0iZ, F10,z.

Основные результаты второй главы.

ГЛАВА 3. СПИНОВЫЙ ВРАЩАТЕЛЬНЫЙ МОМЕНТ В КИРАЛЬНОМ ГЕЛИМАГНЕТИКЕ

3.1. Феноменологическая теория спинового вращательного момента в неоднородной магнитной текстуре.

3.2. Микроскопическая теория спинового вращательного момента в ки-ральном гелимагнетике.

3.2.1. Спектр электронов проводимости в солитонной решётке.

3.2.2. Метод неравновесных функций Грина.

3.2.3. Метод уравнений движения для неравновесной функции Грина.

3.2.4. Метод Лангрета.

3.2.5. Уравнение движения для неравновесной функции Грина.

3.3. Вычисление неравновесных спиновых аккумуляций.

3.3.1. Приближение времени релаксации.

3.3.2. Спиновый вращательный момент.

3.3.3. Стонеровская намагниченность.

3.3.4. Перенормировка sd-взаимодействия.

Основные результаты третьей главы.

ГЛАВА 4. ИНДУЦИРОВАННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ТОКОМ ДВИЖЕНИЕ СОЛИТОННОЙ РЕШЁТКИ

4.1. Система уравнений движения

4.2. Трансляционная проводимость солитонной решётки.

Основные результаты четвёртой главы.

ГЛАВА 5. СОПРОТИВЛЕНИЕ КИРАЛЬНОГО ГЕЛИМАГНЕТИКА

5.1. Электрическое сопротивление

5.1.1. Система уравнений отклика.

5.2. Сопротивление магнитной текстуры на постоянном токе.

5.2.1. Эффективный гамильтониан.

5.2.2. Операторы электрического тока.

5.2.3. Временная корреляционная функция «/,•).

5.2.4. Корреляционная функция («7г-;

5.2.5. Корреляционная функция («7г-;

5.2.6. Корреляционные функции для квазиодномерной пространственной структуры.

5.2.7. Электрическое сопротивление в случае квазиодномерной пространственной структуры.

5.3. Сопротивление блоховской доменной стенки.

5.4. Сопротивление магнитной солитонной решётки

5.4.1. Киральная спираль и предел при к, —» 0.

5.4.2. Зависимость сопротивления солитонной решётки от концентрации носителей и магнитного поля.

Основные результаты пятой главы.

Введение диссертация по физике, на тему "Электронный транспорт в киральном гелимагнетике"

Подавляющее число предшествующих экспериментальных и теоретических исследований упомянутых проблем относилось к доменным стенкам, поэтому дальнейшим шагом в развитии теории является расширение класса рассматриваемых магнитных текстур. В настоящее время активно изучаются вихревые доменные стенки, спиральные магнитные текстуры и скирмионные решетки. В этой связи особый интерес представляет киральный гелимагнетик (КГМ), в котором реализуется магнитное спиральное упорядочение с определенной киральностыо. Такая магнитная структура наблюдается в кристаллах без центра инверсии и стабилизируется антисимметричным обменным взаимодействием Дзялошинского—Мории. В настоящее время известны реальные прототипы КГМ, являющиеся представителями металлов (Мп81), диэлектриков (СиВгОд) и полупроводников (Сг1/3КЬ82). С точки зрения возможного применения в спинтронике специальный интерес представляет соединение Сг^зМЪЭг, в котором имеется подсистема электронов проводимости, взаимодействующих с локальными магнитными моментами.

3. Вычислить скорость стационарного движения MCP, приобретаемую за счет действия электрического тока.

4. Рассчитать сопротивление, оказываемое MCP на транспорт свободных электронных носителей.

Научная новизна. На основе микроскопического подхода, предложенного в работах [3, 4, 5], исследована динамика MCP, взаимодействующей с подсистемой электронов проводимости, в рамках sd-модели. С помощью лагранжева формализма получена система уравнений движения для степеней свободы, описывающих динамику MCP. Показано, что при описании динамики принципиальную роль играют массивные 0-возбуждения и коллективная координата (трансляционная мода), имеющая смысл позиции центра масс MCP.

С помощью метода неравновесного статистического оператора Зубарева [6] получено выражение для сопротивления произвольной квазиодномерной магнитной текстуры. Теоретический анализ описывает транспорт в баллистическом режиме, при этом источником рассеяния электронов служат поперечные компоненты калибровочного потенциала, создаваемого неоднородной магнитной текстурой. Исследовано поведение сопротивления при нуле температур. Развитый формализм был применен к блоховской доменной стенке и MCP. Показано, что в первом случае сопротивление экспоненциально убывает с ростом ширины доменной стенки, что согласуется с выводами, полученными в предыдущих исследованиях [7]. Во втором случае, магнетосо-противление связано с брэгговским рассеянием электронов на периодическом потенциале, создаваемом MCP. Отличительной особенностью MCP является возможность управлять периодом потенциала внешним магнитным полем, обеспечивая серию последовательных переходов «металл-диэлектрик».

Практическая ценность. Результаты диссертации расширяют представление о взаимодействии тока свободных носителей с неоднородными магнитными текстурами и представляют интерес для создания устройств, основанных на управлении движением таких текстур под действием электрического тока. Резонансный характер магнетосопротивления может быть использован для экспериментального детектирования геликоидальных магнитных систем с антисимметричным обменным взаимодействием.

На защиту выносятся:

2. Аналитические выражения для неадиабатической и адиабатической частей СВМ.

3. Результаты расчета неравновесной спиновой аккумуляции в системе по' движных электронов.

4. Установленная иерархия релаксационных процессов: появление неадиабатического СВМ за время релаксации в электронной подсистеме

10 12 с), и последующий выход на стационарный режим движения MCP за существенно большее время Ю-9 с).

7. Резонансный характер сопротивления как функции внешнего магнитного поля при движении электронов проводимости через MCP.

Достоверность результатов. Выведенные уравнения движения MCP допускают в качестве частного случая решения, полученные в работах [4, 5]. Основные качественные результаты для скорости движения и отношения адиабатического и неадиабатического СВМ совпадают с результатами феноменологической теории [1]. Зависимость сопротивления от ширины доменной стенки качественно согласуется с результатом, полученным в работе [7].

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XXXV Совещании по физике низких температур (НТ-35) (Черноголовка, 2009 г.), The 4th Hiroshima Workshop on Sustainable Materials Science SMS2009 (Hiroshima, Japan, 2009), Юбилейной X всероссийской молодежной школе-семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2009 г.), XXXII Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка» (Екатеринбург, 2010 г.), IV Euro-Asian Symposium «Trends in MAGnetism»: Nanospintronics EASTMAG-2010 (Ekaterinburg, 2010), Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и её приложение в естествознании» (Уфа, 2010 г.), Condensed Matter and Materials Physics

CMMP-10 (Warwick, United Kingdom, 2010), The 12th International Conference on Molecular-Based Magnets (Beijing, China, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приводится в Заключении.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников и четырех приложений. Общий объем составляет 187 страниц, включая 31 рисунок. Список использованных источников содержит 115 наименований.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Основные результаты и выводы настоящей диссертации заключаются в следующем:

Исследована динамика магнитной солитонной решётки, взаимодействующей с подсистемой электронов проводимости. В рамках лагранжева формализма получена система уравнений движения для степеней свободы, описывающих динамику солитонной решётки. Показано, что при описании динамики принципиальную роль играют продольные массивные 9-возбуждения, обладающие квадратичным законом дисперсии, так же необходимо вводить коллективную координату, имеющую смысл позиции центра масс солитонной решётки.

Учёт подсистемы электронов проводимости приводит к появлению дополнительных слагаемых в системе уравнений движения солитонной решётки, в частности неадиабатического спинового вращательного момента, связанного с локальной неколлинеарностью между направлением спиновой плотности электронов-проводимости и направлением локальной намагниченности. Показано, что неадиабатический спиновый вращательный момент пропорционален поперечной спиновой аккумуляции, которая представляет собой существенно неравновесный эффект.

Неравновесная спиновая аккумуляция вычислялась аналитически с использованием неравновесной техники Келдыша, основанной на решении уравнений движения для функций Грина. В результате аналитического расчёта для одномерной системы получено выражение для неадиабатического спинового вращательного момента в приближении времени релаксации. Показано, что эта часть вращательного момента пропорциональна плотности протекающего электрического тока. Кроме того вычислена концентрационная зависимость неадиабатического вращательного момента и показано, что он может менять знак в зависимости от концентрации подвижных носителей.

Производится анализ системы уравнений динамики солитонной решётки. Показано, что естественным образом возникает боголюбовская иерархия релаксационных процессов. (1) В течение малого времени релаксации электронной подсистемы появляется неравновесная спиновая аккумуляция в системе подвижных носителей, и как следствие, неадиабатический спиновый вращательный момент. (2) В течении последующего промежутка времени, порядка времени релаксации в системе локализованных моментов солитонной решетки, возникает адиабатический спиновый вращательный момент (Слончевско-го), вызывающий поступательное движение солитонной решетки как целого. Получена количественная оценка скорости стационарного движения.

Во второй части диссертации исследуется проблема электрического сопротивления, возникающего при электронном транспорте через неоднородную магнитную текстуру.

С помощью метода неравновесного статистического оператора Зубарева получено выражение для сопротивления произвольной квазиодномерной магнитной текстуры. Теоретическое рассмотрение описывает транспорт в баллистическом режиме, при этом источником рассеяния электронов служат поперечные компоненты калибровочного потенциала. Исследовано предельное поведение формул для сопротивления при нуле температур.

Результаты общего формализма иллюстрируются на на примере блохов-ской доменной стенки и солитонной решетки. Для первого случая получены зависимости сопротивления от концентрации подвижных носителей и ширины доменной стенки. Показано, что сопротивление экспоненциально убывает с ростом ширины доменной стенки.

Для магнитной солитонной решётки исследован эффект магнетосопротив-ления, который возникает когда электроны движутся через периодическую магнитную текстуру. Показано, что этот механизм связан с брэгговским рассеянием и возможность наблюдения этого эффекта связана с геометрическим ограничением, накладываемым на период текстуры. Особенностью солитонной решетки является возможность управления периодом решетки внешним магнитным полем.

Публикации по теме диссертации

Al. Proskurin, I. V. Field-like spin-transfer torque in a chiral helimagnet / I. V. Proskurin, A. S. Ovchinnikov, J. Kishine // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2010. — Т. 138, вып. 2(8). —С. 266-270.

А2. Kishine, J. Sliding conductivity of a magnetic kink crystal in a chiral helimagnet / J. Kishine, A. S. Ovchinnikov, I. V. Proskurin // Physical Review B. — 2010. — Vol. 82, Iss. 6.-P. 064407.-12 p.

A3. Kishine, J. Nonequilibrium density operator approach to domain wall resistivity / J. Kishine, A. S. Ovchinnikov, I. V. Proskurin // Journal of Physics: Conference Series.-2011.--Vol. 286.-P. 012017 — 5 pages.

A4. Проскурин, И. В. Сопротивление блоховской доменной стенки на постоянном токе / Проскурин И. В., Овчинников А. С., Кишине Дж. // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании»; Сборник трудов. Т. 2. Физика.—Уфа: РИЦ БашГУ. 2010.— С. 199-204.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Проскурин, Игорь Витальевич, Екатеринбург

1. Zhang, S. Roles of Nonequilibrium Conduction Electrons on the Magnetization Dynamics of Ferromagnets / S. Zhang, Z. Li // Physical Review Letters. 2004. - Vol. 93, Issue 12. - P. 127204.

4. Bostrem, I. G. Theory of spin current in chiral helimagnet / I. G. Bostrem, J. Kishine, A. S. Ovchinnikov // Physical Review B. — 2008.— Vol. 78, Issue 6. P. 064425. — 15 pages

5. Kishine, J. Adiabatic and nonadiabatic spin-transfer torques in the current-driven magnetic domain wall motion / J. Kishine, A. S. Ovchinnikov // Physical Review B. -2010. Vol. 81 Issue 13. - P. 134405.-8 pages.

6. Зубарев, Д. H. Статистическая механика неравновесных процессов / Д. Н. Зубарев, В. Г. Морозов, Г. Рёпке; пер. с англ.; под ред. В. Г. Морозова. -М.: Физматлит, 2002, —Т. 1. —432 е.; Т. 2 — 296 с.

7. Cabrera, G. G. Theory of the Residual Resistivity of Bloch Walls I. Paramagnetic Effects / G. G. Cabrera, L. M. Falicov // Physica Status Solidi (B).-1974. -Vol. 61, Issue 2.-P. 539-549.

8. Изюмов, Ю. А. Модулированные, или длиннопериодические, магнитные структуры кристаллов / Изюмов Ю. А. // Успехи физических наук.-1984.-Т. 114, Вып. З.-С. 439-474.

9. Изюмов, Ю. А. Дифракция нейтронов на длиннопериодических структурах / Ю. А. Изюмов. — М.: Энергоатомиздат, 1987.— 199 с.

10. Малеев, С. В. Рассеяние поляризованных нейтронов в магнетиках / С. В. Малеев // Успехи физических наук. — 2002.—Т. 172, № 6.— С. 617-646.

11. Dzyaloshinsky, I. A thermodynamic theory of «weak» ferromagnetism of antiferromagnetics / I. Dzyaloshinsky // Journal of Physics and Chemistry of Solids. -1958. Vol. 4, Issue 4. - P. 241-255.

12. Moriya, T. Anisotropic Superexchange Interaction and Weak Ferromagnetism / T. Moriya // Physical Review. —1960. — Vol. 120, Issue 1, P. 91-98.

13. Дзялошинский, И. E. Теория геликоидальных структур в антиферромагнетиках. II. Металлы / И. Е. Дзялошинский // Журнал экспериментальной и теоретической физики. —1964. — Т. 47, вып. 1. — 336-348.

14. Michelson, A Phase diagrams near the Lifshitz point. I. Uniaxial magnetization / A. Michelson / / Physical Review B. —1977. — Vol. 16 Issue l.-P. 577-584.

15. Michelson, A Phase diagrams near the Lifshiftz point. II. Systems with cylindrical, hexagonal, and rhombohedral symmetry having an easy plane of magnetization / A. Michelson // Physical Review B. —1977. — Vol. 16 Issue l.-P. 584-592.

16. Michelson, A Phase diagrams near the Lifshitz point. III. Tetragonal crystals with an easy plane of magnetization / A. Michelson // Physical Review B. 1977. -Vol. 16 Issue 11.-P. 5121-5124.

17. Belitz, D. Quantum electrodynamics and the origins of the exchange, dipoledipole, and Dzyaloshinsky-Moriya interactions in itinerant fermion systems / D. Belitz, T. R. Kirkpatrick // Physical Review В.-2010.-Vol. 81, Issue 18.-P. 184419.-11 p. >

18. Roessli, B. Formation of a Magnetic Soliton Lattice in Copper Metaborate / B. Roessli, J. Schefer, G. A. Petrakovskii, B. Ouladdiaf, M. Boehm,

19. U. Staub, A. Vorotinov, and L. Bezmaternikh // Physical Review Letters. — 2001.-Vol. 86, Issue 9.-P. 1885-1888.

20. Miyadai, Т. Magnetic Properties of Cri/3NbS2 / Т. Miyadai, К. Kikuchi, H. Kondo, S. Sakka, M. Arai, Y. Ishikawa // Journal of the Physical Society of Japan.-1983.-Vol. 52.-P. 1394-1401.

21. Baranov, N. V. High-field magnetization and magnetic structure of ТЬзСо / N. V. Baranov, A. F. Gubkin, A. P. Vokhmyanin, A. N. Pirogov, N. V. Mushnikov, M. I. Bartashevich // Journal of Physics: Condensed Matter. 2007. - Vol. 19. - P. 326213. -14 pp.

22. Maleyev, S. V. Spin chirality and polarized neutrons / S. V. Maleyev // Physica B. 2004. - Vol. 350. - P. 26-32.

23. Maleyev, S. V. Spin chirality and polarized neutrons / S. V. Maleyev // Physica В.-2004.-Vol. 345.-P. 119-123.

24. Kousaka, Y. Possible chiral magnetism in CUB2O4 / Y. Kousaka, J. Kishine, S. Yano, J. Akimitsu // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2007.-Vol. 310, issue 2.-P. e463-e464.

25. Moriya, T. Evidence for the helical spin structure due to antisymmetric exchange interactions in Cr!/3NbS2 / T. Moriya, T. Miyadai // Solid State Communications. —1982. — Vol. 42, No. 3 — P. 209-212.

26. Kousaka, Y. Chiral helimagnetism in T1/3NbS2 (T = Cr and Mn) / Y. Kousaka, Y. Nakao, J. Kishine, M. Akita, K. Inoue, J. Akimitsu // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A. — 2009. — Vol. 600, Issue l.-P. 250-253.

27. Kishine, J. Static and dynamical anomalies caused by chiral soliton lattice in molecular-based chiral magnets / J. Kishine, K. Inoue, K. Kikuchi // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2007. — Vol. 310, Issue 2.-P. 1386-1388.

28. Morgunov, R. Spin solitons and spin waves in chiral and racemic molecular based ferrimagnets / R. Morgunov, M. V. Kirman, K. Inoue, Y. Tanimoto, J. Kishine, A. S. Ovchinnikov, O. Kazakova // Physical Review B. — 2008. — Vol. 77, Issue 18.-P. 184419.

29. Kishine, J. Theory of spin resonance in a chiral helimagnet / J. Kishine, A. S. Ovchinnikov // Physical Review B.— 2009.— Vol. 79, Issue 22.— P. 220405(R). —4 pages.

30. Sonin, E. B. Spin currents and spin superfluidity / E. B. Sonin // Advances in Physics.-2010.-Vol. 59, iss. 3.-P. 181-255.

31. Heurich, J. Persistent spin currents in helimagnets / J. Heurich, J. Konig, A. H. MacDonald // Physical Review B. — 2003.—Vol. 68, Issue 6.— P. 064406. 8 pages.

32. Christ, N. H. Quantum expansion of soliton solutions / N. H. Christ, T. D. Lee // Physical Review D. -1975.-Vol. 12, Issue 6.-P. 1606-1627.

33. Раджараман, P. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля; пер. с англ. / под. ред. О. А. Хрусталева. — М.:«Мир», 1985. —416 с.

34. Дирак, П. A. M. К созданию квантовой теории поля: Основные статьи 1925-1958 годов; пер. с англ. и фр. / под ред. Б. В. Медведева. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. —(Б-ка теор. физики). —С. 303365.

35. Гитман, Д. М. Каноническое квантование полей со связями / Гит-ман Д. М., Тютин И. В. —М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986 — 216 с.

36. Volovik, G. Е. Twenty Years of Magnon Bose Condensation and Spin Current Superfluidity in 3He-B / G. E. Volovik // Journal of Low Temperature Physics. 2008 - Vol. 153, Issue 5-6.-P. 266-284.

37. Bak, P. Theory of helical magnetic structures and phase transitions in MnSi and FeGe / P. Bak, M. H. Jensen // Journal of Physics C: Solid State Physics.-1980.-Vol. 13, No. 31.-L881.

38. Kirkpatrick, T. R. Nonanalytic corrections. to Fermi-liquid behavior in helimagnets / T. R. Kirkpatrick, D. Belitz / Physical Review B. — 2005. — Vol. 72, Issue 18. —P. 180402(R).-4 pages.

39. Belitz, D. Theory of helimagnons in itinerant quantum systems / D. Belitz, T. R. Kirkpatrick, A. Rosch // Physical Review B.— 2006.-Vol. 73, Issue 5.-P. 054431.

40. Belitz, D. Theory of helimagnons in itinerant quantum systems. II. Nonanalytic corrections to Fermi-liquid behavior / D. Belitz, T. R. Kirkpatrick, A. Rosch // Physical Review В. —2006. —Vol. 74, Issue 2. P. 024409. - 13 pages.

41. Kirkpatrick, T. R. Theory of helimagnons in itinerant quantum systems. III. Quasiparticle description / T. R. Kirkpatrick, D. Belitz, Ronojoy Saha// Physical Review B. — 2008. — Vol. 78, Issue 9. — P. 094407. 10 pages.

42. Kirkpatrick, T. R. Theory of helimagnons in itinerant quantum systems. IV. Transport in the weak-disorder regime / T. R. Kirkpatrick,

43. D. Belitz, Ronojoy Saha// Physical Review B. — 2008. — Vol. 78, Issue 9. — P. 094408. -15 pages.

44. Maleev, S. V Cubic magnets with Dzyaloshinskii-Moriya interaction at low temperature / S. V. Maleev 11 Physical Review B.— 2006.— Vol. 73, Issue 17. P. 174402. — 15 pages.

45. Grigoriev, S. V. Crossover behavior of critical helix fluctuations in MnSi / S. V. Grigoriev, S. V. Maleyev, E. V. Moskvin, V. A. Dyadkin, P. Fouquet, H. Eckerlebe // Physical Review B.-2010.-Vol. 81, Issue 14. — P. 144413. — 9 pages.

46. Taylor, G. R. Resistivity of Iron as a Function of Temperature and Magnetization / G. R. Taylor, A. Isin, R. V. Coleman // Physical Review. — 1968.-Vol. 165, iss. 2.-P. 621-631.

47. Ruediger, U. Negative Domain Wall Contribution to the Resistivity of Microfabricated Fe Wires / U. Ruediger, J. Yu, S. Zhang, A. D. Kent, S. S. P. Parkin // Physical Review Letters. -1998.-Vol. 80, Issue 25.-P. 5639-5642.

48. Aziz, A. Angular Dependence of Domain Wall Resistivity in Artificial Magnetic Domain Structures / A. Aziz, S. J. Bending, H. G. Roberts, S. Crampin, P. J. Heard, C. H. Marrows // Physical Review Letters. — Vol. 97, Issue 20. P. 206602.

49. Hassel, C. Resistance of a Single Domain Wall in (Co/Pt)7 Multilayer Nanowires / C. Hassel, M. Brands, F. Y. Lo, A. D. Wieck, G. Dumpich // Physical Review Letters. 2009. - Vol. 97, Issue 22. —P. 226805.

50. Cabrera, G. G. Theory of the Residual Resistivity of Bloch Walls. II. Inclusion of Diamagnetic Effects / G. G. Cabrera, L. M. Falicov // Physica Status Solidi (B).-1974.-Vol. 62, Issue l.-P. 217-222.

51. Levy, P. M. Resistivity due to Domain Wall Scattering / P. M. Levy, S. Zhang // Physical Review Letters. — 1997. — Vol. 79, Issue 25. — P. 51105113.

52. Tatara, G. Resistivity due to a Domain Wall in Ferromagnetic Metal / G. Tatara, H. Fukuyama // Physical Review Letters. —1997. — Vol. 78, Issue 19.-P. 3773-1776.

53. Brataas, A. Ballistic and diffuse transport through a ferromagnetic domain wall / A. Brataas, G. Tatara, G. E. W. Bauer // Physical Review В.— 1999.-Vol. 60, Issue 5.-P. 3406-3413.

54. Simanek, E. Spin accumulation and resistance due to a domain wall / E. Simanek // Physical Review B. -2001. Vol. 63, Issue 22. - P. 224412.

55. Садовский, M. В. Локализация электронов в неупорядоченных системах: критическое поведение и макроскопическое проявление / М. В. Садовский // Успехи физических наук. — 1981. — Т. 133, вып. 2. — С. 223257.

56. Van Gorkom, R. P. Negative Domain Wall Resistance in Ferromagnets / R. P. van Gorkom, A. Brataas, G. E. W. Bauer // Physical Review Letters.-1999.-Vol. 83, Issue 21.-P. 4401-4404.

57. Gregg, J. F. Giant Magnetoresistive Effects in a Single Element Magnetic Thin Film / J. F. Gregg, W. Allen, K. Ounadjela, M. Viret, M. Hehn, S. M. Thompson, J. M. D. Coey // Physical Review Letters. —1996.— Vol. 77, Issue 8.-P. 1580-1583.

58. Thiaville, A. Micromagnetic understanding of current-driven domain wall motion in patterned nanowires / A. Thiaville, Y. Nakatani, J. Miltat, Y. Suzuki // Europhysics Letters. — Vol. 69, No. 6. —P. 990.

59. Ebels, U. Spin Accumulation and Domain Wall Magnetoresistance in 35 nm Co Wires / U. Ebels, A. Radulescu, Y. Henry, L. Piraux, K. Ounadjela. // Physical Review Letters. — 2000. Vol. 84, Issue 5. — P. 983-986.

60. Van Son, P. C. Boundary Resistance of the Ferromagnetic-Nonferromagnetic Metal Interface / P. C. van Son, H. van Kempen, P. Wyder // Physical Review Letters. —1987.—Vol. 58, Issue 21.— P. 2271-2273.

61. Johnson, M. Thermodynamics analysis of interfacial transport and of the thermomagnetoelectric system / M. Johnson, R. H. Silsbee // Physical Review B.-1987.-Vol. 35, Issue 10.-P. 4959-4972.

62. Johnson, M. Ferromagnet-Nonferromagnet Interface Resistance / M. Johnson, R. H. Silsbee // Physical Review Letters. —1988.— Vol. 60, Issue 4.-P. 377.

63. Simanek, E. Spin transport and resistance due to a Bloch wall / E. Simanek,

64. A. Rebei // Physical Review B.-2005.-Vol. 71, Issue 17.-P. 172405,4 pages.

65. Bergeret, F. S. Resistance of a domain wall in the quasiclassical approach / F. S. Bergeret, A. F. Volkov, К. B. Efetov // Physical Review B. -2002. -Vol. 66, Issue 18. —P. 184403. —8 pages.

66. Dugaev, V. K. Electrons in a ferromagnetic metal with a domain wall / V. K. Dugaev, J. Barnas, A. Lusakowski, L. A. Turski // Physical Review

67. B.-2002.-Vol. 65, Issue 22, —P. 224419, —9 pages.

68. Wickles, C. Electronic transport in ferromagnetic conductors with inhomogeneous magnetic order parameter and domain-wall resistance /- C. Wickles, W. Belzig // Physical Review B. 2009. - Vol. 80, Issue 10. -P. 104435. - 17 pages.

69. Келдыш JI. В. Диаграммная техника для неравновесных процессов / Келдыш JI. В. // Журнал экспериментальной и теоретической физики.-1964.-Т. 47, вып. 4(10).-С. 1515-1527.

70. Wong, G. H. Hydrodynamic theory of coupled current and magnetization dynamics in spin-textured ferromagnets / C. H. Wong, Ya. Tserkovnyak // Physical Review B. — 2009. Vol. 80, Issue 18. - P. 184411. - 13 pages.

71. Volovik, G. E. Linear momentum in ferromagnets / G. E. Volovik // Journal of Physics C: Solid State Physics. -1987. -Vol. 20, Issue 7.-P. L83-L87.

72. Taniguchi, T. Boltzmann theory of magnetoresistance due to a spin spiral / T. Taniguchi, H. Imamura // Physical Review B.-2010.-Vol. 80, Issue l.-P. 012405. —4 pages.

73. Tatara, G. Microscopic approach to current-driven domain wall dynamics / G. Tatara, H. Kohno, J. Shibata // Physics Reports. — 2008. -Vol. 468.— P. 213-301.

74. Mori, H. Transport, Collective Motion, and Brownian Motion / H. Mori // Progress of Theoretical Physics. 1965. - Vol. 33, No. 3. - P. 423-455.

75. Mori, H. A Continued-Fraction Representation of the Time-Correlation Functions / H. Mori // Progress of Theoretical Physics. — 1965.— Vol. 34, No. 3.-P. 399-416.

76. Slonczewski, J. C. Current-driven excitation of magnetic multilayers / J. C. Slonczewski // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1996.-Vol. 159, Issue 1-2.-P. L1-L7.

77. Berger, L. Exchange interaction between ferromagnetic domain wall and electric current in very thin metallic films / L. Berger // Journal of Applied Physics.-1984.-Vol. 55, Issue 6.-P. 1954-01956.

78. Berger, L. Possible existence of a Josephson effect in ferromagnets / L. Berger // Physical Review B.-1986.-Vol. 33, Issue 3.-P. 1572-1578.

79. Berger, L. Emission of spin waves by a magnetic multilayer traversed by a current / L. Berger // Physical Review B. — 1996. — Vol. 54, Issue 13. — P. 9353-9358.

80. Yang, S. A. Universal Electromotive Force Induced by Domain Wall Motion / S. A. Yang, G. S. D. Beach, C. Knutson, D. Xiao, Q. Niu, M. Tsoi, J. L. Erskine // Physical Review Letters.— 2009.— Vol. 102, Issue 6.— P. 067201.-4 p.

81. Yamaguchi, A. Real-Space Observation of Current-Driven Domain Wall Motion in Submicron Magnetic Wires / A. Yamaguchi, T. Ono, S. Nasu, K. Miyake, K. Mibu, T. Shinjo // Physical Review Letters. — 2004.— Vol. 92, Issue 7. P. 077205.

82. Klaui, M. Controlled and Reproducible Domain Wall Displacement by Current Pulses Injected into Ferromagnetic Ring Structures / M. Klaui,

83. C. A. F. Vaz, J. A. C. Bland, W. Wernsdorfer, G. Faini, E. Cambril, L. J. Heyderman, F. Nolting, U. Riidiger // Physical Review Letters. —2005.—Vol. 94, Issue 10.-P. 106601.-4 pages.

84. Yamanouchi, M Velocity of Domain-Wall Motion Induced by Electrical Current in the Ferromagnetic Semiconductor (Ga,Mn)As / M. Yamanouchi,

85. D. Chiba, F. Matsukura, T. Dietl, H. Ohno // Physical Review Letters.—2006. Vol. 96, Issue 9. - P. 096601.

86. Zhang, S. Mechanisms of Spin-Polarized Current-Driven Magnetization Switching / S. Zhang, P. M. Levy, A. Fert // Physical Review Letters. — 2002.-Vol. 88, No. 23.-P. 236601.-4 pages.

87. Li, Z. Perpendicular Spin Torques in Magnetic Tunnel Junctions / Z. Li, S. Zhang, Z. Diao, Y. Ding, X. Tang, D. M. Apalkov, Z. Yang, K. Kawabata, Y. Huai // Physical Review Letters.— 2008.— Vol. 100, Issue 24. P. 246602 — 4 pages.

88. Heinonen O. G. Perpendicular Spin Torque in Magnetic Tunnel Junctions / O. G. Heinonen, S. W. Stokes, J. Y. Yi // Physical Review Letters.— 2008. Vol. 105, Issue 6. - P. 066602 — 4 pages.

89. Stiles, M. D. Anatomy of spin-transfer torque / M. D. Stiles, A. Zangwill / Physical Review B. -2002. Vol. 66 Issue 1. - P. 014407. - 14 pages.

90. Stiles, M. D. Noncollinear spin transfer in Co/Cu/Co multilayers (invited) / M. D. Stiles, A. Zangwill / Journal of Applied Physics. — 2002. — Vol. 91, Issue 10.-P. 6812-6817.

91. Thorwart, M. Current-induced nonadiabatic spin torques and domain-wall motion with spin relaxation in a ferromagnetic metallic wire / M. Thorwart, R. Egger // Physical Review B. — 2007.— Vol. 76 Issue 21, —P. 214418.— 9 pages.

92. Zhou, Y. Effect of the field-like spin torque on the switching current and switching speed of magnetic tunnel junction with perpendicularly magnetized free layers / Y. Zhou // Journal of Applied Physics. — 2011.— Vol. 109. P. 023916. - 4 pages.

93. Tatara, G. Theory of Current-Driven Domain Wall Motion: Spin Transfer versus Momentum Transfer / G. Tatara, H. Kohno // Physical Review Letters.-2004.—Vol. 92, Issue 8.-P. 086601. —4 pages.

94. Barnes, S. E. Current-Spin Coupling for Ferromagnetic Domain Walls in Fine Wires / S. E. Barnes,S. Maekawa // Physical Review Letters. — 2005. — Vol. 95, Issue 10.-P. 107204-4 pages.

95. Wessely, O. Current Driven Magnetization Dynamics in Helical Spin Density Waves / O. Wessely, B. Skubic, L. Nordstrom // Physical Review Letters.-2006.-Vol. 96, Issue 25.-P. 256601.

96. Kudtarkar, S. K. Dynamics of helimagnets with spin-polarised currents / S. K. Kudtarkar // Physics Letters A. 2009. - Vol. 374.-P. 366-375.

97. Боков, В. А. Физика магнетиков / В. А. Боков. — СПб.: Изд-во Невский Диалект, БХВ-Петербург, 2002. —272 с.

98. Bak, Р Ising model with solitons, phasons, and «the devil's staircase» / P. Bak, J. von Boehm // Physical Review B. —1980. — Vol. 21, Issue 11. — P. 5297-5308.

99. McMillan, W. L. Theory of discommensurations and the commensurate-incommensurate charge-density-wave phase transition / W. L. McMillan // Physical Review B. -1976. Vol. 14, Issue 4. - P. 1496-1502.

100. Sutherland, В Some Exact Results for One-Dimensional Models of Solids / B. Sutherland // Physical Review A. 1973.-Vol. 8, Issue 5.-P. 25142516.

101. Bulaevskii, L. N. Commensurability effects and collective excitations in systems with charge-density waves / L. N. Bulaevskii, D. I. Khomskii // Journal of Experimental and Theoretical Physics. —1978.— Vol. 47, No. 5.-P. 971.

102. Pokrovskii, V. L. Phase transitions and vibrational spectra of almost commensurate structures / V. L. Pokrovskii, A. L. Talapov // Journal of Experimental and Theoretical Physics. —1978. — Vol. 48, No. 3. — P. 579.

103. Izyumov, Yu. A. Inelastic scattering of neutrons by a soliton magnetic lattice / Yu. A. Izyumov, V. M. Laptev // Journal of Experimental and Theoretical Physics.-1985.-Vol. 62, No. 4.-P. 755-761.

104. Aristov, D. N. Correlations in the sine-Gordon model with finite soliton density / D. N. Aristov, A. Luther // Physical Review В. —2002.— Vol. 65, Issue 16. —P. 165412.-11 pages.

105. Уиттекер, Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: в 2 ч.: пер. с англ. / под ред. Ф. В. Широкова. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2006.-856 с.

106. Auerbach, A. Interacting Electrons and Quantum Magnetism / A. Auerbach. — Springer-Verlag New York, 1994. — Ch. 10.

107. Вонсовский, С. В. Электронная теория переходных металлов I /

108. C. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов // Успехи физических наук. — 1962. — Т. 77, Вып. З.-С. 377-448.

109. Вонсовский, С. В. Магнетизм: магнитные свойства диа-, пара-, ферро-, антиферро-, и ферримагнетиков / С. В. Вонсовский. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. —1032 с.

110. Koreman, V. Local-band theory of itinerant ferromagnetism I. Fermi-liquid theory / V. Koreman, J. L. Murray, R. E. Prange // Physical Review B. — 1977.-Vol. 16, Issue 9.-P. 4032-4047.

111. Tatara, G. Macroscopic Quantum Tunneling of a Domain Wall in a Ferromagnetic Metal / G. Tatara, H. Fukuyama // Journal of Physical Society of Japan.-1994.-Vol. 63, No. 7.-P. 2538-2562.

112. Schwinger, J. Brownian Motion of a Quantum Oscillator / J. Schwinger // Journal of Mathematical Physics. —1961. — Vol. 2. — P. 407-432.

113. Абрикосов, А. А. Методы квантовой теории поля в статистической физике / А. А. Абрикосов, JI. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. — 444 с.

114. Niu, С. Equation of motion for nonequilibrium Geen functions / C. Niu,

115. D. L. Lin, T.-H. Lin // Journal of Physics: Condensed Matter. —1999. — Vol. 11.-P. 1511-1521.

116. Haug H. Quantum kinetics in transport and optics of semiconductors: 2nd rev. ed. / H. Haug, A. P. Jauho. — Springer Series in Solid-State Sciences, Vol. 123, 2008.-362 p.

117. Абрикосов, А. А. Основы теории металлов / Под ред. JI. А. Фальков-ского. — 2-е изд., доп. и испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. —600 с.