Элементы теории эксперимента для термовязкопластических тел при конечных деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

11а правах рукописи

ИКСАРЬ АЛЕКСАНДР ВИКТОРОВИЧ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ТЕРМОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Специальность 01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006 г.

003067066

Диссертационная работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель-

Кандидат физико-математических наук,

доцент Муравлёв A.B.

Официальные оппоненты-

Доктор физико-математических наук Соколова М.Ю.,

академик РАЕН,

доктор физико-математических наук,

профессор Бондарь B.C.

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН.

Защита состоится 1 € .02. 2007 г. в 15 — час. на заседании диссертационного совета Д 212.133.04 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 115054, Москва, М Пионерская ул., д. 12, МИЭМ, кафедра "Математического моделирования".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики

Автореферат разослан \~2. .О I 2007 г.

Учёный секретарь диссертационного

совета Д 212.133.04 при МИЭМ

доцент, кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Знание механических свойств материала необходимо при расчёте элементов конструкций и технологических процессов. Для определения этих свойств разрабатываются различные экспериментальные методики.

Существует ряд современных технологических процессов, в которых могут достигаться большие деформации, при этом есть существенная зависимость напряжений от температуры и скорости деформации, которыми нельзя пренебрегать. К таким технологическим процессам относится ряд процессов обработки металлов давлением. Таким образом, нужны определяющие соотношения, описывающие поведение тел при указанных условиях, и соответствующие экспериментальные методики, позволяющие находить свойства конкретных материалов.

Существует класс экспериментальных методик, в рамках которых проводятся эксперименты на кручение, растяжение и сжатие цилиндрических образцов. Используются тонкостенные, толстостенные и сплошные образцы. Первые хороши тем, что напряжённо - деформируемое состояние в них можно считать однородным. Эксперименты с тонкостенными образцами описаны в работах Ильюшина A.A., Коровина И.М., Ленского B.C., Зубчанинова В.Г. и др. Методики определения функционалов пластичности из таких экспериментов описаны в работах Ильюшина A.A., Васина P.A., Дягтерёва В.П., Ленского B.C. и др.

Но тонкостенные образцы теряют устойчивость при малых степенях сдвиговых деформаций (при деформациях сдвига 5-7%). Если планируется ставить эксперименты при развитых деформациях, используют толстостенные и сплошные образцы. Это позволяет избегать потери устойчивости и существенного формоизменения, но усложняет методику обработки экспериментальных данных. Здесь следует упомянуть методику "условной тонкой трубки", предложенную в работах Максака В.И., Дощинского Г.А., Васина P.A., Ильюшина A.A., Моссаковского П.А., которая позволяет определять функционал пластичности из экспериментов на толстостенных образцах. Но эта методика требует согласованных пар экспериментов с согласованными по размеру образцами, что усложняет её экспериментальную часть.

Одним из первых, кто ставил эксперименты на сплошных образцах с целью получения механических свойств, был П. Людвиг. Он предложил методику определения материальной функции т(у) (зависимости касательных напряжений от удвоенной деформации на поверхности образца) из экспериментальной зависимости М{в) момента от угла закручивания образца (Von Р. Ludwik, 1925), получаемой из экспериментов на кручение • сплошных образцов.

Далее, в работах Бэкофена В. и Филдса Д. (Fields D.S., Backofen W.A., 1957) эта методика была усовершенствована: в аргументах материальной функции введена зависимость от скоростей деформаций, т.е. введена

скоростная чувствительность. По этой методике проводится серия экспериментов на кручение сплошных образцов при постоянных скоростях крутки и из получаемых экспериментальных зависимостей момента от крутки и скорости крутки по формуле Бэкофена-Филдса вычисляется материальная функция. Эта методика Бэкофена-Филдса получила большое распространение и, вместе со своими упрощёнными модификациями, используется и в настоящее время.

В работе Муравлёва A.B. и Сретенского Н.В. методика Бэкофена-Филдса была доработана таким образом, чтобы учитывался разогрев образца во время проведения эксперимента, кроме того, стало возможным использовать не только сплошные, но и толстостенные образцы. Эту доработанную методику будем называть обобщённой методикой Бэкофена-Филдса. Температура вычисляется либо численным решением уравнения теплопроводности либо по одной из двух моделей распространения тепла: локально-адиабатическая и глобально-адиабатическая.

Надо отметить, что при развитых деформациях описанные методики дают расхождение теории и эксперимента, в частности, не получается единая диаграмма из экспериментов на кручение, растяжение и сжатие. Тем не менее, есть потребность в методике определения свойств материала при конечных деформациях с учётом температурной и скоростной чувствительности.

В таких технологических процессах как равноканальное угловое прессование деформации сдвига достигают 100%, причём один и тот же образец можно подвергнуть нескольким циклам такой обработки, достигнув ещё больших деформаций. Другой пример: экструзия с поджатием, в ходе этого эксперимента можно достичь деформаций в 1000%.

Ещё Людвиг (1925) и Надаи (1954) в своих работах указывали, что традиционные меры сдвиговой и одноосной деформации не подходят для описания деформируемого состояния при конечных деформациях. Взамен предлагалась так называемая натуральная деформация, с её помощью Людвиг получал единую диаграмму из экспериментов на кручение, растяжение и сжатие.

В данной работе предлагается ввести в обобщённую методику Бэкофена-Филдса натуральный сдвиг, а также зависимость от скорости натурального сдвига. По модифицированной методике проведена обработка экспериментальных данных Маккуина (McQueen HJ.), полученных из экспериментов на горячее кручение сплошных цилиндрических образцов. Это делается для подтверждения целесообразности изменений, введённых в обобщённую методику Бэкофена-Филдса.

Далее, для класса процессов предлагается новый вариант определяющих соотношений для термовязкопластических тел. Обобщены две экспериментальные методики на случай конечных деформаций, позволяющие находить диаграммы сдвига из экспериментов с толстостенными образцами при больших деформациях и при неоднородном напряжённо-деформируемом состоянии по радиусу.

Цели диссертационной работы:

1. Развитие обобщённой экспериментальной методики Бэкофена-Филдса на случай конечных деформаций.

2. Применение этой методики для обработки экспериментальных данных по горячему кручению.

3. Для произвольных процессов малой кривизны предложить и обосновать новый вариант определяющих соотношений.

Научная новизна. Предлагаемый новый вид скоростной чувствительности в обобщённой методике Бэкофена-Филдса используется впервые. Предложен вариант определяющих соотношений для термовязкопластических тел для процессов малой кривизны. Обобщены две экспериментальные методики на случай конечных деформаций, позволяющие находить диаграммы сдвига из экспериментов с толстостенными образцами при больших деформациях и при неоднородном напряжённо-деформируемом состоянии по радиусу.

Практическая значимость работы. Доработанная обобщённая методика Бэкофена-Филдса, с введённой натуральной мерой деформаций и скоростью натуральных деформаций, может использоваться для определения свойств материала и построения единой диаграммы.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на Ломоносовских чтениях в МГУ (2004), на конференции «Проблемы математики, механики и информатики» (ТулГУ, ноябрь 2004), на конференции «Проблемы математики, механики и информатики» (ТулГУ, ноябрь 2005), на научно-исследовательском семинаре им. Ильюшина кафедры теории упругости под руководством профессора Кийко И. А.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается строгостью использованных теорий и математических методов.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в восьми работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Нумерация формул и рисунков автономная, она включает номер главы, номер параграфа и номер формулы или рисунка внутри параграфа.

Диссертация содержит 110 страниц, включая 13 рисунков, 38 страниц первого приложения с 37 графиками, 4 страницы второго приложения с б графиками, 6 страниц списка литературы с 87 наименованиями.

Содержание работы.

Во введении приводится обзор литературы по теме диссертации, показывается актуальность темы диссертации и даётся краткое изложение всей работы.

В работе рассматриваются эксперименты на кручение, поэтому в первой главе приводится общая постановка задачи о кручении сплошного образца. Такой образец представляет собой прямой круговой цилиндр длины Ь с радиусом Я. К образцу прикладывается крутящий момент М.

Предполагается, что материал несжимаемый, длина много превышает радиус образца, выполняется гипотеза плоских недеформируемых сечений. Рассматривается чистое кручение образца.

В естественной цилиндрической системе координат перемещения имеют вид:

. т гг и, =0, ив =——-, иг =0.

Уравнение несжимаемости выполняется автоматически:

И,г + "ев + = 0 •

Деформации:

Уравнения равновесия удовлетворяются тождественно. Крутящий момент М связан с тензорными характеристиками образца следующим интегральным уравнением:

к

М = 2 л^сг.0гг(1г

о

Основными параметрами являются крутка со, скорость крутки со, момент М. Эксперимент проводится при постоянной скорости закручивания. Требуется найти материальную функцию для данного образца, т.е. зависимость напряжений от деформаций и скоростей деформаций.

В параграфе 1.1 приводится формула, которой пользовался Людвиг для нахождения материальной функции материала в виде т(уг):

, ч ЗМ(у) 1 с1М(уг) ...

где уг - сдвиг на поверхности образца. Если в список аргументов указанной материальной функции внести скорость сдвига на поверхности образца и для неё написать аналогичную формулу:

2 та-

" ¿М(уг,уг) • с1М(у„уг) аУ- с1у.

(2)

то получим формулу Бэкофена-Филдса, на которой основана соответствующая методика. Для применения этой методики необходимо провести серии экспериментов на кручение сплошных образцов при постоянных скоростях крутки (а значит, и скоростях сдвигов на поверхности) и из получаемых экспериментальных зависимостей момента от крутки и скорости крутки по формуле Бэкофена-Филдса вычислить материальную функцию.

Далее описывается обобщённая методика Бэкофена-Филдса в которой могут использоваться не только сплошные, но и толстостенные образцы. Кроме этого, в этой методике учитывается изменение температуры в результате разогрева образца. Температура вычисляется либо численным решением уравнения теплопроводности либо по одной из двух моделей распространения тепла: локально-адиабатическая (тепло, выделяющееся за счёт работы внутренних напряжений, не рассеивается, а приводит к повышению температуры в этой материальной частице), глобально-адиабатическая (тепло, выделяющееся за счёт работы внутренних напряжений, успевает равномерно распределиться по всему образцу, поэтому температура внутри образца считается постоянной по радиусу). Для быстрых (по скорости крутки) экспериментов можно применять локально-адиабатический подход, для средних - глобально-адиабатический, а для медленных процессов можно применить исходную изотермическую методику.

В параграфе 1.2 описаны две экспериментальные методики (и соответствующие задачи), которые основаны на экспериментах с использованием полых цилиндрических образцов. Образец представляет собой полую трубу с внутренним и внешним радиусами а и Ь соответственно, из изотропного, однородного, несжимаемого материала. Внешняя поверхность образца закреплена, а внутренняя поверхность: в первой методике, вращается относительно оси трубы, при этом известны приложенный момент и угол поворота внутренней поверхности трубы относительно внешней, а во второй методике внутренняя поверхность движется вдоль оси трубы, при этом известны приложенная осевая сила и величина сдвига вдоль оси трубы.

В рамках этих методик ставятся задачи о нахождении материальной функции Ф из экспериментов, реализующих описанные задачи. Т.е. из получаемой экспериментально зависимости м~<р (Р~1) требуется найти функцию Ф. Будем считать, что для материала, из которого состоит полый цилиндр, материальная функция Ф имеет обратную Ф~'.

Решение соответствующих задач приводит в обеих методиках к уравнениям с отклоняющимися аргументами для материальной функции. В первой методике это уравнение имеет вид:

2М д<р л/3 ЭМ '

Решение этого уравнения имеет вид быстро сходящегося ряда: . к „ М*}Ъ . 2х дф а2

Па 2даг -73 ах Ь~

Во второй методике получаем уравнение:

&

решение которого тоже имеет вид быстро сходящегося ряда.

Ф"

(м^3]

{2т>) {2яЬ*)

-ЬФ

ЭР \ {2Ж1)

В параграфе 1.3 отмечается, что при выполнении указанных выше условий (чистое кручение, гипотеза плоских недеформируемых сечений) деформации в

цилиндрическом образце представляют собой простой сдвиг, пропорциональный расстоянию от оси образца. Таким образом, задача о кручении цилиндра сводится к простому _ сдвигу на поверхности образца,

которую условно можно развернуть на плоскость (см. рис. 1).

Описанные выше методики разрабатывались при предположении о малости деформаций и когда они используются в экспериментах, в которых достигаются большие деформации, то часто возникают расхождения между теорией и экспериментом. В частности из экспериментов на кручение, растяжение и сжатие не получается единая диаграмма. Таким образом, делается вывод о том, что традиционный сдвиг (в экспериментах на кручение) неправильно учитывает накопленные деформации.

Рассмотрим теперь такой пример. Возьмём квадрат со стороной единица и этот же квадрат, но изначально подвергнутый простому сдвигу с величиной сдвига 4 (см рис. 2). Теперь подвергнем эти две фигуры простому сдвигу величины 1. Как можно видеть, эффект от одного и того же простого сдвига для двух рассматриваемых фигур

различен. Изначально

вертикальные волокна в первом случае претерпевают заметно больший поворот, чем во втором. Во втором случае сдвиг больше напоминает растяжение. Очевидно, что сдвиги на одну и ту же величину из начального состояния и уже деформированного не равноценны, т.к. составляющие жёсткого поворота различны. Таким образом, нужна другая мера сдвиговой деформации, которая бы правильно учитывала составляющую жёсткого поворота.

В качестве новой меры сдвиговой деформации взят натуральный сдвиг, который выражается через обычный сдвиг по формуле (Надаи, 1954):

у = 2111(71 + Г/4 + у 12) (3)

Людвиг предлагал свою формулу для натурального сдвига, но она получена из более частных предположений.

В обобщённой методике Бэкофена-Филдса предлагается перейти от сдвига и скорости сдвига к натуральному сдвигу и скорости натурального сдвига. Таким образом, предлагается новый вид скоростной

чувствительности и меняется вид искомой материальной функции от т(у,у,Т)

к т(у,у,Т).

По модифицированной методике проведена обработка экспериментальных данных Маккуина (McQueen H.J.), полученных из экспериментов на горячее кручение сплошных цилиндрических образцов. Его эксперименты выбраны потому, что для некоторых сплавов построены серии зависимостей момента от крутки при разных начальных температурах и разных, но постоянных во время эксперимента, скоростях крутки.

Обработка экспериментальных данных Маккуина осуществляется с помощью программы. На вход программы поступает серия диаграмм зависимостей касательного напряжения от сдвиговой деформации, соответствующих разным температурам и скоростям деформации. Причём для каждой температуры должно быть несколько (не меньше двух) графиков, различающихся по скоростям деформации.

Для каждой группы диаграмм, соответствующей одной температуре, восстанавливаются зависимости момента от сдвига на поверхности образца при постоянных во время эксперимента скоростях сдвига, т.е. получаем

двумерный массив значений момента М(у,у) на некотором прямоугольнике [Уо.КМ^.Гз!-

Затем, строятся два двумерных массива значений т(у,у,Т0), первый - по инженерной формуле:

" 3

T(y,y) = -—fM(y,y) (4)

2 яг

а второй - по формуле Бэкофена-Филдса (2) с применением температурной коррекции. Поскольку на данном этапе приходиться численно дифференцировать, то приходится интерполировать функцию: в виде ломаной или в виде полинома от логарифма аргумента. Зависимость т от у

или у представляется в виде ломанной, а зависимость г от температуры интерполируется с помощью полинома от логарифма. После этого, в

аргументах функции касательного сдвига т(у,у,Т0) происходит переход от обычного сдвига и обычной скорости сдвига к натуральному сдвигу и скорости натурального сдвига. В результате такой замены аргументов

получаем третий двумерный массив значений т(у,у,Т0). Для этого перехода важно иметь несколько графиков, соответствующих одной температуре, но разным скоростям. Причём, чем их больше, тем точнее будет интерполяция.

Надо отметить, что для зависимостей т(у,у,Т0) постоянной является

именно скорость натуральной деформации у = сом!, которая численно равна обычной скорости деформации, которая поддерживалась в течении экспериментов. Этот эффект связан с тем, что скорость натурального сдвига и скорость обычного сдвига связаны формулой:

~ У

у=— — Ф + /-/4

и, поэтому, в начальный момент времени совпадают.

Результаты описанного выше пересчёта приведены в приложении 1 в виде диаграмм зависимостей касательных напряжений от сдвиговых деформаций. Эти диаграммы специальным образом упорядочены, сначала они группируются по сплавам, затем по температуре, и, наконец, по типу откладываемой по оси абсцисс мере деформаций. Сначала приводится график, по оси абсцисс которого отложен обычный сдвиг, затем такой же график, но ось абсцисс в нём соответствует натуральному сдвигу. На каждом графике, соответствующем определённому сплаву и температуре, для каждой исходной скорости деформации приведено по три диаграммы зависимостей касательных напряжений от сдвиговых деформаций. Первая получается по инженерной формуле (4), она с точностью до постоянного коэффициента совпадает с экспериментальной зависимостью момента от сдвиговой деформации, на графике обозначена сплошной линией с маркерами, вторая -по формуле Бэкофена-Филдса с использованием температурной коррекции (на графике обозначена пунктирной линией), третья получается из предыдущей при переходе от обычного сдвига к натуральному сдвигу и от обычной скорости сдвига к скорости натурального сдвига (эти диаграммы на графике обозначены сплошной линией). Последняя диаграмма иллюстрирует результат, полученный в данной работе. Были построены диаграммы с тремя видами температурной коррекции: по глобальной адиабатичности, по локальной адиабатичности и без температурной коррекции, но в приложении 1 приведены только диаграммы, соответствующие гипотезе о глобальной адиабатичности, как наиболее обоснованной для рассматриваемых скоростей деформаций. Такой набор диаграмм позволяет оценить отдельно, во-первых, вклад перехода от функции момента к материальной функции по формуле Бэкофена-Филдса с использованием температурной коррекции и, во-вторых, вклад именно перехода к скоростной чувствительности предложенного вида.

Полученные в результате этой обработки диаграммы (см. рис. 3, 4, 5, 6), соответствующие скорости натурального сдвига, расположены, как правило, выше обычных (полученных по инженерной формуле или по формуле Бэкофена-Филдса с температурной коррекцией). Часть диаграмм "превратилась" из разупрочняющихся в упрочняющиеся. Надо отметить, что этот эффект существенно заметен при развитых деформациях (при сдвигах более 200%) Видно также, что при малых исходных скоростях деформаций

вклад температурной коррекции вместе с формулой Бэкофена-Филдса, как правило, не значительный по сравнению с вкладом учёта скоростной чувствительности предложенного вида.

В некоторых случаях можно говорить о наличии площадки текучести (например, для сплавов стали марок 301, 304, 317\у), т.е. ряд диаграмм, на тех участках, где напряжения разумно считать меняющимися незначительно, можно заменить прямой горизонтальной линией (см. рис. 4, 6). Это выглядит вполне естественно, т.к. при соответствующих степенях деформаций (более 400%) и температурах материал может находиться в состоянии сверхпластичности. Для экспериментов с материалами в состоянии сверхпластичности характерны диаграммы с площадкой текучести. Таким образом, появляется возможность упростить определяющие соотношения, оставив лишь скоростную чувствительность, а именно, возникает

возможность перейти от зависимости вида т(у,у) к соотношениям вида т(у), что подчёркивает целесообразность перехода к новой скорости натурального сдвига.

В работах Ананда Л. (Апапс! ЬаИк) для экспериментов на сжатие уже производился переход к натуральным деформациям и скоростям натуральных деформаций. В этих экспериментах поддерживалась постоянной именно скорость натуральной деформации. Результаты этих экспериментов представлены в приложении 2. Эксперименты проводились с разными сплавами стали и алюминия. Главной особенностью этих экспериментальных данных является то, что среди всех приведённых диаграмм нет падающих и в ряде случаев тоже можно говорить о наличии площадки текучести. Это качественно согласуется с результатами обработки экспериментальных данных, описанными выше.

Итак, результатом обработки экспериментальных данных является вывод о целесообразности перехода к натуральным сдвигам и скоростям натуральных сдвигов в обобщённой методике Бэкофена-Филдса.

1100°С (Сталь 301)

Сдвиг

—•—Таи Инж (0.17 1/с) —"—Таи инж. 18.66 1/с) - - - Таи Б.-Ф (0 17 1/с) - - - Таи Е -ф (8 66 1/с) Таи эфф 10.17 1/с) Таи эфф (8 66 1/с)

! Рис. 3 |

1200°С (сталь 301)

1 2 3 4 5 Сдвиг 6 7

—•—Таи инж. (3 98 1/с) • - - Таи Б -Ф (39 84 1/с) —0—Таи инж (39 84 1/с) Таи эфф (3 98 1/с) ■ " • таи Таи Б.-Ф эфЛ (3 (39 98 84 1/с) 1/с)

Грис. 4 I

I ______„1

900°С (сталь 317w)

—•—Tau инж (1.73 1/с) —в—Tau инж (8.66 1/с) - - - таи Б -Ф (1 73 1/с)

- - - таи Б -Ф (8.66 1/с) Tau эфф (1.73 1/с) Tau эфф. (8 66 1/с)

[ Рис.5 J

1000°С (столь 317w)

—•—Tau инж (1.73 1/с) —а—таи ИНЖ (8 66 1/с) - - - Таи Б -Ф (1 73 1/с)

- - - Tau Б -Ф (8.66 1/с) Таи эфф. (1 73 1/с) Таи эфф. (8.66 1/с)

I Рис.6 I

Далее, во второй главе, простой сдвиг подробно рассматривается с позиций теории деформаций и теории процессов.

В параграфе 2.1 строится аффинор деформаций для процесса простого сдвига. Из аффинора выделяется жёсткий поворот <2. На рисунке изображены начальные главные оси, конечные главные оси. Начальные главные направления переходят в конечные главные направления с помощью поворота Вместе с начальным базисом рассмотрим базис, полученный из начального поворотом на Т.к. мы хотим выделить жёсткий поворот, то мы будем смотреть на процесс именно в этом повёрнутом базисе и компоненты тензоров будем выписывать тоже в нём. Выбор такого базиса порождает соответствующую коротационную производную Динса (называемую нейтральной в работах Бровко Г.Л.) и соответствующую ей меру деформаций.

Далее, для процесса простого сдвига строятся траектории деформаций в изображающем пространстве Ильюшина, соответствующие левому тензору Генки и нейтральной коротационной мере Динса (см. рис. 7). Параметром процесса является сдвиг у.

Была так же рассмотрена мера деформаций, соответствующая коротационной производной Яумана. Но она была отвергнута, т.к. тензор спина (скоростей вращения), на котором она построена, не правильно учитывает накопленные деформации (в случае простого сдвига тензор спина - константа). Поэтому в работе использовалась нейтральная производная, которая соответствует жёсткому повороту и учитывает накопленные деформации.

В работе не использовалась и коротационная мера, построенная с помощью базиса Ильюшина, в силу неоднозначности построения такого базиса.

Тензор Генки обладает следующим свойством. Интенсивность девиатора тензора Генки равна натуральному сдвигу, делённому на -Л, в случае простого сдвига. В случае процессов одноосного растяжения интенсивность девиатора тензора Генки совпадает с одноосной логарифмической деформацией. Это говорит о том, что, если взять зависимость интенсивности напряжений от интенсивности девиатора Генки

(и его скорости) то, в указанных частных случаях, мы получим уже

• _ ^

использовавшуюся нами материальную функцию т(у,у,Т) или а(е,е,Т) (в таком виде её использовал Ананд).

Отметим основные свойства построенных траекторий деформаций -образов процесса. Траектория деформаций, соответствующая неголономной нейтральной коротационной мере обладает следующими свойствами. Вектор скоростей деформаций идёт по касательной к этой траектории деформаций, элементарная работа вычисляется как скалярное произведение вектора напряжений и приращения деформаций вдоль этой траектории, длина дуги траектории деформаций равна сдвигу у (делённому на л/з). Но, поскольку, мы хотим получить единую диаграмму, зависимость интенсивности напряжений надо брать как функцию от натурального сдвига (и его скорости), а не от обычного сдвига.

Что касается траектории, построенной с помощью голономной меры Генки, то вектор скоростей деформаций её не касается, но интенсивность в каждой точке равна натуральному сдвигу (делённому на 4Ï).

Поэтому, векторные свойства процесса лучше связать именно с коротационной траекторией деформаций, а скалярные - с интенсивностью девиатора тензора Генки. Принимается условие несжимаемости. В итоге получаем определяющие соотношения в таком виде (параграф 2.2):

■ кГ

5„=Ф(Я„,//„,Г)

где Я„ - интенсивность девиатора левого тензора Генки, - девиатор тензора истинных напряжений, V" - девиатор тензора скоростей деформаций,

Областью применения этих определяющих соотношений будем считать процессы деформаций малой кривизны (по коротационной траектории деформаций, построенной в базисе, полученном из начального поворотом из полярного разложения аффинора). Работа внутренних напряжений будет вычисляться по коротационной траектории деформаций.

/ / / / / / / / 11

С.. §

1 \\ '•/ -----

/ / / / ! Рис. 8 1 / / / / [ Рис. 9 \

Далее, в параграфе 2.3, рассмотрены две экспериментальные методики (и соответствующие задачи), которые основаны на экспериментах с использованием полых цилиндрических образцов. С использованием предложенных выше определяющих соотношений в упрощённом виде (без скоростной чувствительности), делается обобщение этих методик на конечные деформации. Материал предполагается несжимаемым. Внешняя поверхность образца закреплена, а внутренняя поверхность: в первой методике, вращается относительно оси трубы, при этом известны приложенный момент и угол поворота внутренней поверхности трубы относительно внешней, а во второй методике внутренняя поверхность движется вдоль оси трубы, при этом известны приложенная осевая сила и величина сдвига вдоль оси трубы (см. рис. 8, 9). Гипотеза несжимаемости в этих экспериментах обосновывается тем, что образец зажат между концентрическими цилиндрами. При решении задач труба считается бесконечной в обоих направлениях, сила и момент - погонными, т.е. на единицу длины образца.

В рамках этих методик ставятся задачи о нахождении материальной функции Ф из экспериментов, реализующих описанные задачи. Т.е. из получаемой экспериментально зависимости М ~<р (/=" ~ I) требуется найти

функцию Ф. Будем считать, что для материала, из которого состоит полый цилиндр, материальная функция Ф имеет обратную Ф~'.

Решение соответствующих задач приводит в обеих методиках к уравнениям с отклоняющимися аргументами для материальной функции. В первой методике это уравнение имеет вид:

¿к ^Ф- Гм-Тз] (мЩ

2 \ [гла2] J 2 \

а во второй:

/■Л^Гь/зУ! . .ГЛ/з^/гл/ЗТ! 1 (. эI л

12 {2т)) [2 [2яЬ)) 2 { дР )

Решения этих уравнений для функции Ф"1 имеют вид быстро сходящихся рядов.

Эти методики могут применяться для нахождения механических свойств упрочняющихся материалов, диаграммы деформации - напряжения которых суть возрастающие функции. Это резины, металлы (с упрочнением). Для резины эти методики реализовать проще, т.к. внутреннюю поверхность образца можно приклеить к поверхности цилиндра. Для металлов эти методики реализовать сложнее. Однако задачу можно упростить, если взять образцы в виде тонких кольцевых пластин, которые можно закрепить так, как это требуется в описанных методиках и, кроме того, есть возможность обеспечить их устойчивость во время эксперимента.

Далее, в параграфе 2.4, предлагается модификация предложенных определяющих соотношений, а именно, предлагается брать не интенсивность девиатора тензора Генки, а длину дуги траектории деформаций 5, построенной с помощью тензора Генки:

V _ 2 . " 3 ТГ

5„ = Ф(7,7,Г)

Для случая простого сдвига инвариант тензора Генки и длина дуги траектории, соответствующей мере Генки, отличаются не значительно, для случая одноосного растяжения они совпадают. Переход в определяющих соотношениях от интенсивности девиатора Генки к длине дуги траектории деформаций, построенной с помощью меры Генки, обосновывается тем, что в замкнутых процессах, проходящих через ноль, будут учитываться накопленные деформации.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1) Предложена модификация обобщённой методики Бэкофена-Филдса, на

случай построения диаграммы сдвига в виде зависимости т(у,у,Т) сдвигового напряжения от натурального сдвига и скорости изменения натурального сдвига. По модифицированной методике построены диаграммы сдвига по результатам экспериментов на горячее кручение сплошных цилиндрических образцов для некоторых металлов и сплавов.

2) Дано обоснование построения единой диаграммы деформирования термовязкопластического материала в виде единой зависимости интенсивности девиатора напряжений от интенсивности девиатора тензора конечных деформаций Генки, скорости его изменения и температуры на основе результатов экспериментов по одноосному растяжению, одноосному сжатию и простому сдвигу.

3) Предложен вариант определяющих соотношений теории процессов малой кривизны для термовязкопластического материала на основе определения скалярных свойств по голономной мере деформаций, а векторных свойств по неголономной мере деформаций.

4) Дано обобщение двух экспериментальных методик на случай построения диаграммы сдвига в виде зависимости у = у(т) натурального сдвига от сдвигового напряжения в экспериментах по осевому или окружному сдвигу толстого цилиндрического слоя, с неоднородным по радиусу напряженно деформируемым состоянием.

Список публикаций по теме диссертации

1. Муравлёв A.B., Иксарь A.B. Построение диаграмм деформирования термовязкопластических материалов с использованием натурального сдвига, Известия Тульского государственного университета, серия актуальные задачи механики, Тула, выпуск 2, С. 247-256, Изд-во ТГУ, 2006г.

2. Иксарь A.B. Элементы теории эксперимента для термовязкопластических тел при конечных деформациях, в кн.: Упругость и неупругость, под ред. И.А. Кийко, P.A. Васина, Г.Л. Бровко, М.: УРСС, 2006г, С. 147-152

3. Муравлёв A.B., Иксарь A.B. Использование натурального сдвига в обобщённой методике Бэкофена-Филдса. Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула, 17-19 ноября 2004 г., Тезисы докладов, С. 121122, Изд-во ТГУ, 2004г.

4. Муравлёв A.B., Иксарь A.B. Об одной модели термовязкопластического материала при конечных деформациях. Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула, 22-26 ноября 2005 г., Тезисы докладов, Изд-во ТГУ, С. 237-239, 2005г.

5. Муравлёв A.B., Иксарь A.B. Применимость принципа запаздывания в теории упругопластических процессов A.A. Ильюшина к модели идеально-пластического тела, Научная конференция Ломоносовские чтения, секция механики, тезисы докладов, изд-во Московского университета, Москва 2003г, С. 101

6. Муравлёв A.B., Иксарь A.B. Об использовании логарифмических деформаций в теории упругопластических процессов А.А.Ильюшина, Научная конференция Ломоносовские чтения, секция механики, тезисы докладов, изд. Московского университета, Москва 2005г, С. 154

7. Иксарь A.B. Элементы теории эксперимента для термовязкопластических тел при конечных деформациях; Московский государственный университет им. Ломоносова, 2005. - 51 с. Библиогр.: 46 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 28.10.05 № 1381-В2005

8. Иксарь A.B. Моделирование простого сдвига на основе теории упругопластических процессов; Московский государственный университет им. Ломоносова, 2005. - 21 с. Библиогр.: 70 назв. - Рус. -Деп. в ВИНИТИ 31.01.06 № 109-В2006

Типография ордена "Знак Почета" издательства МГУ 119992, Москва, Ленинские горы Заказ № 5 Тираж 100 экз.

Введение.

1. Разработка экспериментальной методики. Использование натурального сдвига в обобщённой методике Бэкофена-Филдса.

1.1 Формулы Людвига, Бэкофена-Филдса. Температурная коррекция.

1.2 Две экспериментальные методики.

1.3 Переход к натуральным деформациям и к скоростям натуральных деформаций в методике обработки экспериментальных данных.

2. Моделирование простого сдвига.

2.1 Тензоры Генки, коротационные производные и тензор деформации.

2.2 Определяющие соотношения.

2.3 Две экспериментальные методики при конечных деформациях.

2.4 Коррекция определяющих соотношений.

Для того, чтобы создать любую механическую конструкцию и быть уверенным в её надёжности, надо уметь прогнозировать её поведение при различных внешних воздействиях, в том числе при различных нагрузках и тепловых режимах. Выяснить экспериментально, как конструкция будет себя вести при всех возможных воздействиях, не представляется возможным, поэтому приходится строить математические модели конструкций и их составляющих материалов. Такие модели дают возможность спрогнозировать реакцию конструкции на воздействия. При этом делаются допущения, предположения и упрощения относительно объектов исследования и их поведения. Математические модели естественным образом зависят от конкретных конструкций и материалов. Эта зависимость выражается в виде констант, функций и функционалов, которые меняются в зависимости от модели и конструкции и могут отличаться для разных материалов. Для материала единственный способ получить все эти необходимые составляющие модели - это провести необходимые эксперименты.

В наше время большое значение имеет моделирование технологических процессов (например, процессы обработки металлов давлением), в ходе которых в материале возникает сложное напряжённо-деформированное состояние, влияющее на его конечные свойства.

Материалы принято делить на классы и определяющие соотношения строить для отдельных классов и подклассов. На классы делят по наличию таких свойств как однородность, изотропность, разного вида анизотропия, несжимаемость, идеальность структуры и т.п.

Нас будут интересовать определяющие соотношения теории пластичности. Теория пластичности возникла в XIX веке благодаря таким учёным, как Коши, Сен-Венан, А.Треска, Пуассон, М.Леви. В 1871 году Сен-Венан опубликовал основные уравнения теории пластичности, упрочив тем самым позиции данной науки. В начале XX века уже строятся чёткая теория пластичности, её определяющие соотношения. В частности, условия перехода в пластическую область, так называемые условия пластичности, были предложены в нескольких вариантах. Два наиболее известных это условие Треска-Сен-Венана и Мизеса-Генки. Первое заключается в том, что тело деформируется пластически с того момента, когда на любой какой-нибудь площадке достигнуто максимально допустимое значение касательного напряжения. Второе условие отличается от первого тем, что рассматривается касательное напряжение на октаэдрической площадке и, в случае достижения им предельного значения, наступает пластическая область. Эти условия пластичности порождают классические поверхности текучести, но были предложены и другие условия пластичности. Как правило, определяющие соотношения не учитывают (или лишь незначительно) "структурный портрет" материала, являясь, по сути, статистическими. Но есть и определяющие соотношения, которые учитывают поведение кристаллической решётки.

Большой вклад в теорию пластичности внёс А.А. Ильюшин [13-16]. Он провёл чёткую систематизацию определяющих соотношений разных видов теорий пластичности. В том числе, это разработанная им теория малых упруго-пластических процессов, теория циклических знакопеременных нагружений, теория процессов малой кривизны, теория процессов средней кривизны, теория процессов в виде двухзвенных ломаных. Эти теории базируются на важных гипотезах, предложенных А.А. Ильюшиным. Первая гипотеза, известная как постулат изотропии, утверждает, что в любой фиксированной точке траектории деформаций модуль вектора напряжений и его ориентация относительно естественного сопровождающего репера не изменяются при ортогональном преобразовании, то есть преобразовании вращения и отражения. Вторая, называемая принципом запаздывания, формулируется так: ориентация вектора напряжений в естественном репере зависит от внутренней геометрии только ограниченного отрезка траектории деформации, предшествующего рассматриваемой точке траектории, длина этого отрезка называется следом запаздывания.

Введённая А.А. Ильюшиным гипотеза макрофизической определимости позволила существенно конкретизировать и упростить определяющие соотношения. Гипотеза макрофизической определимости заключается в том, что механический процесс в любой точке тела может быть физически воспроизведён как однородный механический процесс в некотором однородном образце. На базе этой гипотезы А.А. Ильюшин ввёл гипотезу макроскопичности, из которой следуют принцип детерминизма и причинности и принцип локальности. Эта гипотеза позволяет упростить общий вид функционального определяющего соотношения:

Л Л

4x(Xi,ti)Mx2,t2%x3^] = 0, х„здеОие10, /„?2,/бД(время, *(*„/,) - функция места) к виду:

Л Л Л т(х,0 = <£([z(x,s),Vxz(x,s)]s£t,x,t) = 0, х 6 Птел0, s,teR. А

Здесь не указываются зависимость от деформаций (так как e{x,t) зависит от Л

У*х(х>0) и Другие параметры, такие как температура, магнитные и другой природы поля.

Конечно, на заре теории эксперимента никаких функционалов в определяющих соотношениях не было [9]. Учёные-экспериментаторы искали простые функциональные зависимости, константы, соответствующие конкретным материалам. Цели экспериментов менялись от чисто качественных наблюдений к количественным результатам. Если сначала интересовало лишь приблизительное поведение материала при данных внешних воздействиях, характер его реакции, то вскоре сутью экспериментов стало выяснение конкретных характеристик материала.

К одним из первых экспериментов, посвященным пластическим деформациям тел, следует отнести исследования А.Э.Треска. Он проводил эксперименты с различными материалами: медь, свинец, керамика, лёд, парафин и др. Много экспериментов было проведено именно с изделиями из свинца. Характер экспериментов был различен. Треска выбивал из свинцовых листов фрагменты с помощью стального стержня, выдавливал цилиндрические образцы через отверстия различной формы и в различные полости, сжимал цилиндрические образцы.

Чтобы наблюдать пластические деформации Треска создавал сборки из нескольких пластин, прикладывал постоянную нагрузку, дожидался фиксации формы, снимал нагрузку, затем делал продольный разрез всего пакета и по форме пластин делал выводы о пластических деформациях. К основным достижениям, к которым привели эти эксперименты, следует отнести следующие утверждения. При больших нагрузках твёрдые тела текут подобно жидкостям. За пределом упругости существует область пластического упрочнения, предшествующая области постоянного течения. Независимо от типа опыта для конкретного типа материала существует коэффициент, представляющий собой максимальное касательное напряжение, по достижении которого тело начинает течь. Пластические деформации происходят при неизменном объёме. Получена также формула, выражающая длину выбиваемого круглым цилиндрическим пуансоном фрагмента из круглого цилиндрического образца как функцию от радиусов пуансона и образца: L = Rnym ■ (l + \g(Ro6pa34a / RnyattC0Ha)). Существование указанного выше коэффициента предела текучести, породило почву для целенаправленных экспериментов по его выяснению.

Огромную роль в теории эксперимента сыграли работы П.Людвига [72]. Его эксперименты строились на современном языке напряжений и деформаций (скоростей деформаций). Людвиг первым подметил зависимость предела текучести от скорости деформирования. Он даже вывел формулу, выражающую зависимость напряжения от скорости деформации при постоянной пластической деформации: o-(v) = <7,+cr0ln(v/v0), где буквы с индексом обозначают константы. Отсюда следует, что при одной и той же пластической деформации можно достичь разных пределов текучести, меняя скорость деформаций.

П. Людвиг работал со сплошными образцами, проводил эксперименты по кручению, сжатию и растяжению.

В своих расчётах П. Людвиг использовал выведенную им формулу, связывающую касательные напряжения на поверхности образца как функцию от удвоенных деформаций сдвига и соответствующий момент (от того же аргумента): ч 3ММ 1 dM(y) , г. ч т(у) =—+ —ту——, где у = со-г (г - радиус образца), а со - погонный 2 яг 2 лг dy угол закручивания на единицу длины образца. В дальнейшем эту формулу будем называть формулой Людвига. Эта формула является следствием равенства: г

M(ar) = 2л Jx{cop)p1dp.

П. Людвиг продемонстрировал вклад второго слагаемого формулы Людвига. Это слагаемое несколько "упрочнило" материал. На формуле Людвига основана соответствующая методика определения материальной функции т(у) (зависимости касательных напряжений от удвоенной деформации на поверхности образца) из экспериментальной зависимости М(д) момента от угла закручивания образца, получаемой из экспериментов на кручение сплошных образцов (Von P. Ludwik, 1925).

Вторым важным замечанием П.Людвига было недовольство традиционной мерой деформации, которую для случая растяжения можно выразить таким интегралом:

Людвиг же предлагал использовать другой интеграл и считать приращения деформации не по отношению к начальной длине образца /0, а по отношению к текущей длине /. То есть получается такой интеграл:

Если рассмотреть деформацию бруса без искажения прямых углов, то условие несжимаемости выразится равенством:

В случае малых деформаций это равенство превращается в хорошо известное тождество для малых деформаций:

Эту новую меру деформаций П. Людвиг называл эффективной деформацией, её ещё называют натуральной деформацией [46]. Он так же использовал при обработке эксперимента понятие эффективных напряжений, то есть считал напряжения как отношение силы к текущей поперечной площади образца. Демонстрировал преимущества такого подхода.

Работы П. Людвига имеют огромное значение, не только потому, что он оставил богатый методологический и экспериментальный материал, но и потому, что сформулировал недостатки современных методов и наметил способы по их устранению.

Позже, в работах Бэкофена В. и Филдса Д. (Fields D.S., Backofen W.A., 1957), была предложена формула, уточняющая формулу Людвига. В ней касательное напряжение и момент зависят не только от сдвига, но и от скорости сдвига. Эта формула называется формулой Бэкофена-Филдса [6, 70] и имеет вид: ex+ey + et=0. =0. dM{y,y) , dM(y,y) --+ r--— d? d'y где у = со-г (г - радиус образца), а со - погонный угол закручивания. На этой формуле основана соответствующая экспериментальная методика, в рамках которой проводится серия экспериментов на кручение сплошных образцов при постоянных скоростях крутки (а значит, и скоростях сдвигов на поверхности) и из получаемых экспериментальных зависимостей момента от крутки и скорости крутки по формуле Бэкофена-Филдса вычисляется материальная функция.

Вместо формулы Бэкофена-Филдса, иногда предпочитают пользоваться её упрощёнными следствиями. Например, оставляют только первое слагаемое, что соответствует предположению о постоянстве касательных напряжений вдоль радиуса образца. Либо пользуются линейным следствием формулы для момента, базирующимся на степенной зависимости

• напряжений от деформаций и скоростей деформаций: а = As" е" .

В работах Муравлёва А.В. и Сретенского Н.В. [44, 45, 53, 54] методика Бэкофена-Филдса была доработана таким образом, чтобы учитывался разогрев образца во время проведения эксперимента, кроме того, стало возможным использовать не только сплошные, но и толстостенные образцы. Эту доработанную методику будем называть обобщённой методикой Бэкофена-Филдса. В рамках этой методики используется усовершенствованная формула Бэкофена-Филдса.

Исходная формула Бэкофена-Филдса для толстостенного образца имеет вид: т(у,г) = 1

2 л;Ъъ к-о чЗ * dM dM 3 Мл-со-+ соdco

2 nb3 dM

3 U

L L ь'ь у у b'b dM d соj f *W

L t Ь'Ь • b dco d со •

2nb m \ ay ay

Y'Y dM ay f • \ ay ay

Y'V dM ay ay ay

V'V dco dco где а и b - внутренний и внешний радиус образца, со = а) у • —, О) —

UJ ь' f \к

-1 -UJ Ь

Видно, что первый член совпадает с формулой Бэкофена-Филдса для сплошного образца радиуса Ь, а остальные слагаемые учитывают толстостенность.

Обобщение же на случай термовязкопластичности сделано на основе двух предположений. Первое: температуру, являющуюся функционалом всей предыстории деформирования, можно выразить функцией от сдвига, скорости сдвига и начальной температуры: Т = Т(у,у,Т0). Второе: сдвиговое напряжение является функцией сдвига, скорости сдвига и текущей температуры: т = т(у,у,Т(у,у,Т0)). Итак, для случая термовязкопластичности формула Бэкофена-Филдса имеет вид: 1 т(Гг>Гг>Тг(Г,>ГМ) =

2лг йУг dyr

Чтобы найти т = т(уг,у„Тг), необходимо провести серию экспериментов на сплошном образце для различных начальных температур и скоростей круток, получить две зависимости Тг =Тг(у,у,Т0) и М = М(у,у,Т0), и, используя

• • • выражение для т(уг,уг,Тг(у„уг,Т0)), получить г = т(уг,уг,Тг).

Зависимость Тг = Тг(у,у,Т0) необязательно получать из эксперимента. Показано, что для быстрых процессов можно воспользоваться предположением о локальной адиабатичности, то есть из окрестности каждой точки тела нет оттока тепла, выделившегося за счёт работы внутренних напряжений. В этом случае для текущей температуры получается простая формула, по которой температуру легко вычислить.

Для медленных процессов температуру можно считать постоянной и пользоваться изотермической формулой Бэкофена-Филдса.

Для средних по времени процессов можно пользоваться так называемой средней температурой, которая получается из предположения о постоянстве температуры в поперечном сечении образца. Изменение температуры во время эксперимента обусловлено количеством тепла, выделяющимся в образце за счёт работы внутренних напряжений.

Существует так же класс экспериментов на тонкостенных трубках. В таких экспериментах можно прикладывать осевую силу, момент, внутреннее и внешнее давление. В силу малой толщины образца напряжённо-деформированное состояние можно считать однородным, что упрощает связь искомых и задаваемых параметров. Эксперименты на тонкостенных образцах можно найти в работах А.А. Ильюшина, B.C. Ленского, В.Г. Зубчанинова, И.М.Коровина, Ohashi Y., Tanaka Е. Методики определения функционалов пластичности из таких экспериментов описаны в работах А.А. Ильюшина, Р.А. Васина, В.П. Дягтерёва, B.C. Ленского и др.

Но тонкостенные трубки обладают недостатком, они быстро теряют устойчивость (при сдвиговых деформациях 5-7%), а значит, на тонкостенных образцах невозможно исследовать большие деформации. Поэтому приходится использовать толстостенные и сплошные образцы и разрабатывать специальные методики определения свойств материала. Сложность таких экспериментов в том, что в образце возникает неоднородное напряжённо-деформированное состояние, которое полностью экспериментально выяснить невозможно, что усложняет методики обработки экспериментальных данных. В методиках Людвига, Бэкофена-Филдса и обобщённой методике Бэкофена-Филдса используются как раз сплошные (в последней - и толстостенные) образцы.

В работах В.И. Максака, Г.А. Дощинского, А.А. Ильюшина, Р.А. Васина, П.А. Моссаковского разработана методика фиктивной тонкой трубки [7, 29, 30]. Согласно этой методике проводится пара экспериментов на паре толстостенных образцов, "близких" по радиусу, затем, условная разность напряжённо-деформированных состояний в этих трубках берётся как напряжённо-деформированное состояние в воображаемой тонкой трубке. Недостатки этой методики вытекают из необходимости согласовывать размеры соответствующей пары трубок и проводить два согласованных эксперимента вместо одного, для случая тонкостенного образца. Хотя для класса однопараметрических траекторий для реализации N траекторий требуется N+1 эксперимент. Но проблема согласования размеров образцов остаётся.

Существует другая, технически легче реализуемая методика, базирующаяся на экспериментах с толстостенными образцами. По этой методике проводятся эксперименты, соответствующие двузвенным траекториям деформаций с ортогональным изломом. Эта методика предложена в работе А.В. Муравлёва [38].

Стоит упомянуть и про ещё один экзотический класс экспериментов. Это эксперименты, в которых искомые свойства материала находятся в результате изгиба балок. В таких экспериментах возникает неоднородное напряжённо-деформированное состояние, которое вызывает непростое изменение температурного поля, а значит, и объёма, что естественно усложняет задачу моделирования такого эксперимента.

Следует отметить, что параллельно с разработкой новых экспериментальных методик развивалась и теория определяющих соотношений. Качественный скачок в её развитии произошёл в 40-50гг. XX столетия, благодаря работам А.А. Ильюшина и У. Нолла [16, 86]. Ими был разработан систематический, аксиоматический, не зависящий от конкретной сплошной среды подход к построению определяющих соотношений. Одним из базовых принципов современной теории определяющих соотношений является тензорное представление основных характеристик (напряжений и деформаций). Выбор тензорной меры не однозначен [ 2, 5, 9, 25, 26, 27, 33, 35, 46, 48, 49, 57, 60, 64, 86, 72 ]. Множество тензорных мер имеет мощность континуум. Тензорные меры принято разделять на голономные и неголономные. Первые характерны тем, что напряжённо-деформируемое состояние в любой точке определяется только значениями этих тензоров в этой точке. В случае неголономных мер напряжённо-деформируемое состояние определяется всей предысторией изменения этих мер. В частности, меры Генки, которые нас будут интересовать в дальнейшем, являются голономными, а меры, соответствующие объективным коротационным производным являются неголономными. Первые работы, посвящённые объективным производным, принадлежат Зарембе и Яуману. Во второй половине XX века в этом направлении работали Олдройд, Коттер, Ривлин, Трусделл, Седов, Ильюшин, Дине, Трусов, Маркин, Левитас, Бровко и другие. С применением коротационных мер деформаций связаны некоторые сложности, например при использовании меры деформаций, соответствующей производной Яумана, возникают осцилляции для процессов простого сдвига. Особый интерес представляют сопряжённые меры напряжений и деформаций, то есть меры, свёртка которых даёт работу. Классы таких сопряжённых мер подробно рассмотрены в работах Г.Л. Бровко [2-5].

В данной работе используется обобщённая методика Бэкофена-Филдса и проводится её развитие. Дальнейшие усовершенствования этой методики связаны с тем, что первоначально экспериментальные методики строились в рамках предположений о малости деформаций. И если уж и проводились эксперименты, в которых достигались большие деформации, то мера деформаций, как правило, оставалась прежней, унаследованной от малых деформаций. Хотя попытки интерпретации узких классов экспериментов на языке новых, более адекватных мер проводились давно, чёткой методики для конечных деформаций не было предложено до сих пор. Одним из первых, кто обратил внимание на необходимость считать деформации иначе, был П. Людвиг [72]. Он предложил использовать натуральную деформацию. В работах А. Надаи [46] эти исследования продолжены, рассмотрены процессы растяжения и сдвига (простого и чистого) с позиций натуральных деформаций. Для процессов растяжения показана согласованность натуральной меры деформаций и истинных напряжений по работе:

W = Jcrcfe = J<j(1 + s)-=f<Tucads. С использованием натуральной меры о о ^+ £ о деформаций Людвиг получал единые диаграммы для экспериментов на кручение, растяжение и сжатие.

В этой работе предлагается в обобщённой методике Бэкофена-Филдса перейти от сдвига и скорости сдвига к натуральному сдвигу и скорости натурального сдвига. Этот вид новой скоростной чувствительности предлагается впервые. По этой модифицированной методике были обработаны экспериментальные данные Маккуина (McQueen H.J.), полученные из экспериментов на горячее кручение сплошных образцов. Результаты такой обработки показали целесообразность перехода к натуральному сдвигу и скорости натурального сдвига. Далее, для класса процессов предлагается новый вариант определяющих соотношений для термовязкопластических тел. Обобщены две экспериментальные методики на случай конечных деформаций, позволяющие находить диаграммы сдвига из экспериментов с толстостенными образцами при больших деформациях и при неоднородном напряжённо-деформируемом состоянии по радиусу.

Работа состоит из двух глав.

Первая глава посвящена нахождению термовязкопластических свойств материала из экспериментов на кручение сплошных образцов. Сначала даётся общая постановка задачи для толстостенного цилиндрического образца. Затем, в первой части, описывается обобщённая методика Бэкофена-Филдса. В третьей части первой главы вводятся натуральный сдвиг и скорость натурального сдвига, и производится переход к этим аргументам в обобщённой методике Бэкофена-Филдса. Далее, по модифицированной методике обрабатываются экспериментальные данные Маккуина (McQueen), полученные из экспериментов на горячее кручение сплошных образцов. Полученные результаты анализируются. Во второй части описываются две другие экспериментальные методики, полученные из предположений о малости деформаций.

Во второй главе простой сдвиг подробно рассматривается с позиций теории деформаций и теории процессов. В изображающем пространстве Ильюшина строятся траектории этого процесса, соответствующие тензорам Генки и нейтральной коротационной мере Динса. Эти траектории анализируются, и на базе этого анализа во второй части главы предлагается конкретный вид определяющих соотношений. В третьей части проводится обобщение методик, описанных во второй части первой главы, на случай конечных деформаций, при этом используются предложенные определяющие соотношения в упрощённом виде. В четвёртой части главы указываются некоторые недостатки определяющих соотношений, и предлагается модифицированный вид определяющих соотношений. В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений и списка литературы.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1) Предложена модификация обобщённой методики Бэкофена-Филдса, на случай построения диаграммы сдвига в виде зависимости т(у,у,Т) сдвигового напряжения от натурального сдвига и скорости изменения натурального сдвига. По модифицированной методике построены диаграммы сдвига по результатам экспериментов на горячее кручение сплошных цилиндрических образцов для некоторых металлов и сплавов.

2) Дано обоснование построения единой диаграммы деформирования термовязкопластического материала в виде единой зависимости интенсивности девиатора напряжений от интенсивности девиатора тензора конечных деформаций Генки, скорости его изменения и температуры на основе результатов экспериментов по одноосному растяжению, одноосному сжатию и простому сдвигу.

3) Предложен вариант определяющих соотношений теории процессов малой кривизны для термовязкопластического материала на основе определения скалярных свойств по голономной мере деформаций, а векторных свойств по неголономной мере деформаций.

4) Дано обобщение двух экспериментальных методик на случай построения диаграммы сдвига в виде зависимости у = у(т) натурального сдвига от сдвигового напряжения в экспериментах по осевому или окружному сдвигу толстого цилиндрического слоя, с неоднородным по радиусу напряженно деформируемым состоянием.

1. Беллман Р., Кук К. Теория дифференциально-разностных уравнений. М.: Мир, 1967.

2. Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных от тензорных процессов в механике сплошной среды. Механика твёрдого тела, №1,1990

3. Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях. Доклады Академии наук СССР. 1989, том 308, №3

4. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред. Прикладная математика и механика. Том 54, вып. 5, 1990

5. Бровко Г.Л. Об одном семействе голономных тензорных мер деформаций и напряжений. Вестник Московского Университета, сер.1, Математика. Механика. 1992, № 4

6. Бэкофен В. Процессы деформации. М.: Металлургия, 1977,288 с.

7. Васин Р.А., Ильюшин А.А., Моссаковский П.А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и толстостенных трубчатых образцах. Механика твердого тела. №2,1994. с. 177-184.

8. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности, Уфа, 1998

9. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. Издательство "Мир", Москва, 1965

10. Ю.Иксарь А.В. Элементы теории эксперимента для термовязкопластических тел при конечных деформациях, в кн.: Упругость и неупругость. / Под редакцией профессора И.А. Кийко, профессора Р.А. Васина, профессора Г.Л. Бровко. М.: ЛЕНАНД, 2006, С. 147-152

11. П.Иксарь А.В. Элементы теории эксперимента для термовязкопластических тел при конечных деформациях; Московский государственный университет им. Ломоносова, 2005. 51 с. Библиогр.: 46 назв. - Рус. -Деп. в ВИНИТИ 28.10.05 № 1381-В2005

12. Иксарь А.В. Моделирование простого сдвига на основе теории упругопластических процессов; Московский государственный университет им. Ломоносова, 2005. 21 с. Библиогр.: 70 назв. - Рус. -Деп. в ВИНИТИ 31.01.06 № Ю9-В2006

13. З.Ильюшин А.А. Пластичность. М: Гостехиздат, 1948.

14. Н.Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.

15. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

16. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

17. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Мысль, 1970. 280с.

18. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. Переизд.: М.: Наука, 1969. 420 с.

19. Кийко И.А. Теория пластического течения. М.: Изд-во Моск. унта, 1978.75с.

20. Кийко И.А. Теория пластического течения (в приложении к процессам обработки металлов давлением). В кн.: Вопросы прочности и пластичности.М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. С.53-64.

21. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М: Изд-во Моск. ун-та, 1979.

22. Колмогоров B.JI. Механика обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1986. 688 с. Втор, изд.: Екатеринбург: Изд-во Уральск, госуд. техн. ун-та УПИ, 2001. 836 с

23. Кондауров В.И. Конечные деформации упруговязкопластиче-ских сред. Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. М.: 1987. 44с.

24. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. Наука, 1970. 720 с.

25. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении, Киев, "Наукова думка", 1987

26. Левитас В. И. Определяющие соотношения для упругопла-стических материалов при конечных деформациях. Сообщ.1. Кинематика. Аналог теории упругопластических процессов А.А.Ильюшина. ВИНИТИ. Деп. 03.10.85 JV«7018-B-85.39 с.

27. Левитас В. И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. М. 1988. 34с.

28. Ленский B.C. Вопросы теории пластичности. М.: Изд. АН СССР, 1961.

29. Максак В.И., Дощинский Г.А. Исследование больших пластических деформаций при сложном нагружении. Изв. Томск, политехи, ин-та. 1970. Т. 173. С. 10-12.

30. Максак В.И., Дощинский Г.А. Методика и исследование больших пластических деформаций при простом нагружении. Изв. Томск, политехи, ин-та. 1970. Т. 173. С. 3-9.

31. Малый В.И. Разложение функционала напряжений по малому параметру. Вести. Моск. ун-та. Матем., механ. 1967. №2. С.73-80.

32. Малый В.И. Исследование некоторых функционалов теории упругопластических процессов. В кн.: Упругость и неупругость. Вып.5. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. С. 107-116.

33. Маркин А.А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных упругопластических деформациях. Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. М.: 1988. 38с.

34. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. №2.

35. Маркин А.А., Толоконников JI.A. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всес. межвуз. сб. Горький: Изд-во Горьковского ун-та, 1987. С. 32-37.

36. Муравлев А.В. Некоторые общие свойства связи напряжений с деформациями в теории пластичности. Изв. АН СССР, МТТ, 1984, №6, с. 178-179.

37. Муравлев А.В. Об определении свойств упруго-пластических материалов при сложном нагружении из экспериментов на толстостенных трубчатых образцах. Сб. "Некоторые задачи о поведении вязких и упругопластических конструкций". М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

38. Муравлев А.В. Построение материальных функций некоторых двухзвенных процессов в экспериментах с толстостенной трубкой. М: Деп. в ВИНИТИ №540В-89 23.01.89 13с.

39. Муравлёв А.В., Иксарь А.В., Об использовании логарифмических деформаций в теории упругопластических процессов А.А.Ильюшина, Научная конференция Ломоносовские чтения, секция механики, тезисы докладов, изд. Московского университета, Москва 2005г, С. 154

40. Муравлев А.В., Сретенский КВ. Обобщение формулы Бэкофена-Филдса для термовязкопластичности. Сб. "Упругость и неупругость". Изд-во Моск. Ун-та 2001. с. 224-226.

41. Надаи Т. Пластичность и разрушение твёрдых тел. T.l. М.: ИЛ, 1954, 648с.

42. Победря Б.Е. Понятие простого процесса при конечных деформациях. В кн.: Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С.129-135.

43. Победря Б.Е. К теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела. В кн.: Упругость и неупругость. 4.1. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1993. С. 119-127.

44. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. Теория, алгоритмы, приложения. Москва, издательство "Наука", 1986

45. Рааб Г.И., Валиев Р.З., Равноканальное угловое прессование труднодеформируемых металлов, Кузнечно-штамповочное производство, обработка материалов давлением, 2001, № 4, Стр. 23-27

46. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

47. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973.

48. Сретенский Н.В. Определение термовязкопластических свойств материалов в опытах с цилиндрическими образцами. Диссертация. МГУ, 2004.

49. Теория пластичности. Сб. перев. под ред. Работного Ю.Н. М.: ГИТТЛ, 1948.

50. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Издательство "Наука", Москва, 1977

51. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях. В кн.: Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Калининск. ун-та, 1986. С.49-57.

52. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Изменение упругих свойств в результате конечного пластического деформирования. В кн.: Проблемы нелинейной теории упругости. Калинин: Изд-во Калининск. политехи, ин-та, 1989. С.137-142.

53. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Свойства материалов при конечном пластическом деформировании. В сб.: Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. 4.2. Киев: 1984. С.57-58.

54. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. Издательство "Мир", Москва, 1975

55. Трусов П. В. Обобщение теории упругопластических процессов на случай больших пластических деформаций. Автореф. Дис. д-ра физ.-мат. наук. М.: 1986. 25с.

56. Хилл Р. Математическая теория пластичности, М.: Гостехиздат, 1956г., 407 с. (перев. с англ.: The mathematical theory of plasticity by R.Hill. Oxford, At the Clarendon Press, 1950).

57. Чумаченко E.H., Смирнов O.M., Цепин M.A., Сверхпластичность: материалы, теория, технология, Москва: КомКнига, 2005г, 320с.бб.Шемякин Е.И. Введение в теорию упругости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.95 с.

58. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений. Справочное пособие. Киев, "Наукова думка", 1981

59. Экспериментальная механика. Москва, "Мир", 1990. Под редакцией А. Кобаяси, в двух книгах.

60. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

61. Fields D.S., Backofen W.A. Determination of strain-hardening characteristics by torsion testing. Proceedings ASTM. V. 57, 1957. p. 1259-1271.

62. Hein Peter Stuwe, Equivalent Strains in Severe Plastic Deformation, Advanced engineering materials 2003, 5, No. 5, Pp. 291-295.

63. Ludwik Von P., Scheu R. Vergleichende Zug-, Druck- und Walzversuche stahl und Eisen 45. Jahrg 11 1925 373-381.

64. McQueen H.J. and Ryan N.D., Hot Workability of 316 and Other 300 Series Steels, Strength of Metals and Alloys, 1989, Vol. 3.

65. McQueen H.J. and Baudelet В., Comparison and Contrast of Mechanisms, Microstructures, Ductilities in Superplasticity Dynamic Recovery and Recrystallization, Strength of Metals and Alloys, 1980, Vol. 1.

66. McQueen H.J. and Bourell D.L., Thermomechanical Processing of Iron, Titanium and Zirconium Alloys in the BCC Structure, J. Materials Shaping Technology, Vol. 5, No 1,1987.

67. McQueen H.J. and Fulop S., Hot Torsion Testing of Waspaloy, Forg. and Prop. Aerosp. Mater. Proc. Int. Conf., Leeds, 1977-1978.

68. McQueen H.J. And Jonas J.J., Recent Advances in Hot Working: Fundamental Dynamic Softening Mechanisms, J.Applied Metalworking, American Society For Metals, Vol. 3, No 3, July 1984.

69. McQueen H.J. and Luton M. J., Fritzemeier L., Dislocation Substructure in Dynamic Recovery and Recrystallization of Hot Worked Austenitic Stainless Steel, Strength of Metals and Alloys, 1980, Vol. 1.

70. McQueen H.J. and Ryum N., Hot Working and Subsequent Static Recrystallization of A1 and Al-Mg-Alloys, Scandinavian Journal of Metallurgy 14 (1985), pp. 183-194.

71. McQueen H.J., Avramovic-Cingara G., Salama A. and McNelley T.R., Hot Working and Resultant 300°C Mechanical Behavior of Al-Fe and Al-Fe-Co Alloys, Strength of Metals and Alloys, 1989, Vol. 3.

72. McQueen H.J., Evangelista E., Substructure in Aluminum from Dynamic and Static Recovery, Czech. J. Phys. B38 (1988).

73. McQueen H.J., Kassner M.E., Nguyen N.Q. and Henshall G.A., The effects of temperature and strain rate on extended ductility of aluminum, Mater. Sci. Eng., A123 (1991) 97-105.

74. McQueen H.J., Sankar J. and Fulop S., Fracture Under Hot Forming Conditions, Vol 2., ICM 3, Cambridge, England, August 1979.

75. McQueen H.J., Verlinden B. and Wouters P., Aernoudt E. and Delaey, Cauwenberg S., Effect of Different Homogenization Treatments on the Hot Workability of Aluminum Alloy AA2024, Mater. Sci. Eng., A123(1990) 229-237.

76. McQueen H.J.,Verlinden B. and Wouters P., Aernoudt E. and Delaey, Cauwenberg S., Mater. Sci. Eng., A123 (1990) 143-149.

77. N0II W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V.2. Pp. 197-226

78. Stuart B. Brown, Kwon H. Kim, Lallit Anand, An internal variable constitutive model for hot working of metals, International Journal of Plasticity, Vol. 5, pp. 95-130, 1989.