Математическое моделирование процессов неизотермического неупругого деформирования и накопления повреждений в конструкционных материалах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Макаров Дмитрий Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ В КОНСТРУКЦИОННЫХ

МАТЕРИАЛАХ

Специальность: 01.02.04 "Механика деформируемого твердого тела"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете "МАМИ" на кафедре "Теоретическая механика"

Научный руководитель - академик РАЕН,

доктор физико-математических наук, профессор Бондарь Валентин Степанович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ведущая организация - ФГУП «Красная звезда»

Защита диссертации состоится «28» декабря 2005 г. в 15 часов на заседании специализированного Совета Д212.133.04 при Московском институте электроники и математики (техническом университете) по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3/12, стр. 8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского института электроники и математики.

Автореферат разослан « »_2005 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

Дегтярев Владимир Петрович

доктор физико-математических наук, профессор

Васин Рудольф Алексеевич

к.ф-м.н., доцент

Яганов В.М.

2ооб~4

1У5$2>

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЫЛЫ

Диссертационная работа посвящена формулировке математической модели неупругого деформирования и накопления повреждений материала и созданию на основе разработанной модели программного комплекса оценки и прогнозирования ресурса материалов.

Актуальность темы.

Одной из насущных проблем современного машиностроения является необходимость повышения эксплуатационных характеристик, надежности и долговечности элементов конструкций ракетнокосмической и авиационной техники, тепловой и ядерной энергетики, химической промышленности и др., работающих в условиях высокого уровня силовых и температурных нагрузок. Обеспечение безопасности эксплуатации ответственных объектов (ядерных и тепловых энергетических установок, объектов химической, газовой, нефтяной промышленности, ракетнокосмической и авиационной техники и др.) в течение длительного срока службы (порой несколько десятилетий) требует достоверной информации о процессах накопления повреждений в конструкционных материалах. При выработке элементами конструкций проектной долговечности возникает задача продления срока службы и обеспечения их безопасной эксплуатации в течение этого срока.

Ввиду локальности мест предполагаемых разрушений, ресурс конструкционных элементов определяется ресурсом их опасных зон с наибольшими темпами накопления повреждений. Современные методы неразрушающего контроля состояния материала могут эффективно применяться только в зонах возможного доступа к ним на стадиях плановых ремонтов и остановок объектов. Реальные процессы нагружения конструкционных элементов приводят к тому, что в материале опасных зон этих элементов возникают вязкопластические (неупругие) деформации. Причем нагружение материала является сложным неизотермическим, и характер его изменения может быть самым произвольным в условиях повторности и длительности воздействия температурно-силовых нагрузок.

Решение этих проблем возможно только при реализации методологии эксплуатационного мониторинга, одной из основных задач которого является оценка выработанного ресурса и прогнозирование продлеваемого ресурса материала опасных зон наиболее нагруженных конструктивных элементов на базе математического моделирования процессов накопления повреждений с использованием современных теорий термовязкопластичности и неупругости.

Вопросам построения математических моделей в теориях вязкопластичности и неупругости ™<50т.

Основные направления построения мо

по

этому вопросу можно найти в монографиях, обзорах и отдельных работах A.A. Ильюшина, В.В. Новожилова, Ю.Н. Работнова, P.A. Арутюняна, И.А. Биргера, B.C. Бондаря, P.A. Васина, В.Г. Зубчанинова, Ю.И. Кадашевича, JI.M. Качанова, И.В. Кнетса, Ю.Г. Коротких, H.H. Малинина, Б.Е. Мельникова, Ю.М. Темиса, Г.М. Хажинского, Ю.Н. Шевченко, С.А. Шестерикова, Бойла и Спенса, Кремпла, Криега, Леметри, Линдхольма, Миллера, Оно, Харта, Шабоши и многих других ученых. Среди экспериментальных исследований, посвященных неупругому поведению и разрушению материалов, по результатам которых можно проводить тестирование (верификацию) моделей, можно отметить работы B.C. Ленского, A.C. Вавакина, P.A. Васина, А.П. Гусенкова, В.П. Дегтярева, В.Г. Зубчанинова, А.Г. Казанцева, П.И. Котова, Н.Л. Охлопкова, Охаши и др.

Наибольшее распространение в практических расчетах в настоящее время нашли дифференциальные теории пластического течения, базирующиеся на концепции комбинированного упрочнения. Среди этих теорий теории B.C. Бондаря, Ю.Г. Коротких и Шабоши являются наиболее экспериментально обоснованными и широко применяемыми для расчетов ресурса материалов в условиях термовязкопластического деформирования. Поэтому разработка на основе этих теорий программных комплексов оценки и прогнозирования ресурса материала конструкций, работающих в условиях высокого уровня силовых и температурных нагрузок, является весьма актуальной задачей в научном и практическом отношениях. Цели работы:

- разработка математической модели неупругого деформирования и накопления повреждений конструкционных материалов, основанной на теории неупругости B.C. Бондаря;

- создание на основе разработанной модели программного комплекса оценки и прогнозирования ресурса конструкционных материалов;

- проведение тестирования созданного программного комплекса на основе сопоставления результатов расчетов и экспериментов.

Научная новизна.

На основе предложенного варианта математической модели и разработанных эффективных методов, алгоритмов и программного комплекса реализованы практические задачи оценки и прогнозирования ресурса конструкционных материалов. На защиту выносятся:

- математическая модель неупругого деформирования и накопления повреждений материала;

- программный комплекс оценки и прогнозирования ресурса конструкционных материалов;

- тестирование программного комплекса на широком спектре программ экспериментальных исследований.

Достоверность положений, результатов и выводов обеспечивается их соответствием основным законам теорий пластичности и ползучести, прошедшим экспериментальную проверку; сопоставлением всех теоретических результатов с экспериментальными данными, полученными из экспериментов на автоматизированных испытательных машинах высокого класса точности.

Практическая ценность работы заключается в создании программного комплекса расчета неупругого деформирования и накопления повреждений материала, который может быть использован для достоверной оценки и прогнозирования ресурса конструкционных материалов. Программный комплекс внедрен в расчетную практику ФГУП «Красная звезда».

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, 2004 г.)

- на 49-ой Международной научно-технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных научных кадров» (г. Москва, 2005 г.)

- на VI международной конференции, «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (г. Санкт-Петербург, 2005 г.)

- на научном семинаре имени A.A. Ильюшина кафедры теории упругости МГУ. Научный руководитель профессор Кийко И.А. (г. Москва, 2004 г.)

- на межвузовском семинаре кафедры математического моделирования физико-механических систем МИЭМ (г. Москва, 2005 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ (из них 3 статьи).

Структура н объем диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 108 страниц, включая 131 рисунок и 22 таблицы. Список литературы включает 90 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели, представлена структура и общее содержание диссертации.

Все содержащиеся в работе результаты относятся к малым деформациям начально изотропных металлов при температурах, когда нет

фазовых превращений и скоростях деформаций, когда динамическими эффектами можно пренебречь.

Первая глава посвящена формулировке математической модели неупругого поведения и накопления повреждений материала при сложном неизотермическом нагружении.

Математическая модель неупругого поведения и накопления повреждений при сложном неизотермическом нагружении основывается на положениях теории неупругости B.C. Бондаря, относящейся к классу одноповерхностных теорий течения при комбинированном упрочнении. В данной теории принимается, что материал однороден и начально изотропен. В процессе неупругого деформирования в нем может возникать только деформационная анизотропия.

Тензор скоростей деформаций представляется в виде суммы тензоров скоростей упругой и неупругой деформаций:

¿и=е;+е;. (1)

Упругие деформации при изменении напряжений следуют обобщенному закону Гука, а при изменении температуры - закону температурного расширения. В этом случае, с учетом зависимости упругих параметров от температуры, упругие деформации будут определяться следующим образом:

К-МА, (2)

< = ocrSu - [ст - v(3<T0SV -CTV-I(з<т050

где E,v,aT- соответственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона, коэффициент температурного расширения, являющиеся функциями температуры Т;

Полагается, что в пространстве составляющих тензора напряжений существует поверхность нагружения, разделяющая области упругого и неупругого состояний. Поверхность нагружения изотропно расширяется или сужается и смещается в процессе нагружения. Уравнение поверхности нагружения принимается в следующем виде:

(з)

Здесь s'j = stJ -atj - девиатор активных

; stJ — девиатор напряжений. Тензор (девиатор) ау характеризует смещение

поверхности нагружения в девиаторном пространстве напряжений, а скаляр С отвечает размеру (радиусу) поверхности нагружения. Тензор смещения

(добавочных напряжений, остаточных микронапряжений) а„ и радиус С

являются функционалами процесса нагружения.

Для радиуса поверхности нагружения принимается следующее уравнение

С = Яеён*+ЧтТ-Ч* (4)

Здесь £г", - длина дуги траектории неупругой деформации (накопленная неупругая деформация); - интенсивность скоростей неупругой

деформации (скорость накопленной неупругой деформации); ~

функции, подлежащие экспериментальному определению. Первое слагаемое в уравнении (4) отвечает механическому упрочнению, второе описывает неизотермический переход, а третье обеспечивает возврат механических свойств при отдыхе или отжиге.

Смещение поверхности нагружения определяется уравнением:

-(5)

Здесь g,ge,ga,gl,gl,g?,ga - функции, подлежащие экспериментальному определению. Первые три слагаемых в уравнении (5) описывают процессы образования и снятия добавочных напряжений при неупругом деформировании, два следующих обеспечивают неизотермический переход, а два последних - снятие добавочных напряжений при отдыхе или отжиге. Параметры , в уравнениях (4)

и (5) являются функциями повреждения, что позволяет описать разупрочнение материала перед разрушением.

Неупругие деформации зависят от истории нагружения и являются функционалами процесса. Для определения скоростей неупругих деформаций используется ассоциированный с (3) градиентальный закон течения

(6)

Э<т(у 2 аи

Здесь <т* - интенсивность активных напряжений.

Для получения уравнения для скорости накопленной неупругой деформации используются уравнения (1) - (6). Тогда для случаев мягкого и, соответственно, жесткого нагружений уравнения для скорости накопленной неупругой деформации будут иметь следующий вид:

- Е.

2 а'

с=

Е.+Ъв

(8)

вт = дг+ятс К'+яК,

В*е;' + 8*аи,

ьи ~ . > "в — _ . ■

2 о;

Условия упругого и неупругого состояний следуют из того, что для неупругого состояния необходимо, чтобы изображающая точка процесса нагружения находилась на поверхности нагружения и определяемая скорость накопленной неупругой деформации была положительна, а упругое состояние' следует при нарушении любого из двух упомянутых условий. Тогда условия упругого и неупругого состояний будут иметь следующий вид:

а'и<С и ¿1, — 0 - упругость, ^

сг* = С П ¿Ц. > 0 - неупругость.

Здесь под ¿ц. подразумевается выражение, задаваемое уравнением, связывающим скорость накопленной неупругой деформации и любой набор скоростей напряжений и деформаций, например (7) или (8).

Для описания процесса накопления повреждений используется энергетический подход. В качестве энергии, расходуемой на создание повреждений в материале, принимается энергия, равная работе добавочных напряжений на поле неупругих деформаций. В процессе нагружения имеют место: накопление повреждений за счет работы добавочных напряжений, залечивание повреждений и охрупчивание материала. Залечивание и охрупчивание связаны с длительностью процесса нагружения. Кинетические уравнения накопления повреждений, залечивания и охрупчивания принимаются в следующем виде:

а,Ё"

УУ

# = (11) Здесь со - мера повреждения (й>е[0;1]); ¡V - энергия разрушения; gш,g^r,gw - функции, подлежащие экспериментальному определению. Первое слагаемое в уравнении (10) описывает процесс накопления повреждений за счет работы добавочных напряжений на поле неупругих деформаций. Второе слагаемое в уравнении (10) описывает процесс

залечивания повреждений, интенсивность которого зависит от уровня повреждения, а также от уровня и характера напряженного состояния. Первое слагаемое в уравнении (11) обеспечивает неизотермический переход. Второе слагаемое в уравнении (11) описывает изменение энергии разрушения (начальная энергия разрушения равна и определяется при пластическом деформировании) за счет процесса охрупчивания материала, интенсивность которого зависит от текущего значения энергии разрушения и уровня напряженного состояния. Критерием разрушения материала будет достижение повреждением предельного значения, обычно принимаемого равным единице.

В общем случае при нагружении можно выделить три варианта напряженно-деформированного состояния: мягкий режим (заданы напряжения), жесткий режим (заданы деформации) и смешенный режим (задан произвольный набор шести компонент напряжений и деформаций). Для каждого варианта будут свои уравнения модели неупругости, позволяющие связать скорости напряжений и деформаций.

Уравнения связи между скоростями напряжений и деформаций в матричном представлении для случая мягкого нагружения имеют вид:

Ы=НЫ+Ы- 02) ■'

[4]=М*у]+Ы. аз)

2ёа 2ё33 2ё31 X, (14)

[<т7]=[сг11 °22 °зз °\г °зз °з 1 Г- (I5) Здесь вектор внутренних переменных [/г,] имеет вид:

[А, ]= [еяи. еии е22 е"ъ £ип е2, г", ах, а22 а33 а12 а23а31С№&1 (16)

В уравнении (12) матрица [Су ] и вектор \ьЦ состоят из упругой и неупругой составляющих:

<17>

ъ\=Ы+Ш (18)

Для определения вектора внутренних переменных [И1 ] формулируется система уравнений на основе (4) - (7), (10) - (11), учитывая условия упругого и неупругого состояния (9).

В случае жесткого нагружения уравнения связи между скоростями напряжений и деформаций будут иметь следующий вид:

(19)

[ьНеШ+Ы- (20)

Матрица [Д, j и вектор ¡Д ] состоят из упругой и неупругой составляющих, т.е.

hbkl-kJkl- (2D

(22)

Для определения вектора внутренних переменных [А, ] формулируется такая же, как и ранее для мягкого нагружения, система уравнений кроме уравнения для скорости накопленной неупругой деформации, которое определяется в данном случае уравнением (8).

В случае смешенного нагружения, когда вектор скоростей состояния состоит как из напряжений, так и из деформаций, матрицу и вектор для уравнения связи, можно получить, выполнив преобразование исходной матрицы [С J и исходного вектора [¿, ] по алгоритму, изложенному в работах

B.C. Бондаря. Для 16 вариантов нагружения из 64, уравнения для скорости накопленной неупругой деформации и для скоростей компонент тензоров напряжений и деформации приводятся в диссертационной работе. В программном комплексе реализованы все 64 варианта уравнений.

В математической модели неупругого поведения и накопления повреждений при сложном неизотермическом нагружении определяющие функции выражаются через следующие материальные функции, подлежащие экспериментальному определению: Е(Т), v(t\ ат(т) - упругие параметры; Еа (т), <Ja (т), /3(т) - модули анизотропного упрочнения; Ср (г, е",) - функция изотропного упрочнения; W0{T) - начальная энергия разрушения;

Ьс (Г), Ъа (г), пс(Т), па (Т\ та(Т) - параметры изотропной и анизотропной ползучести;

Ьх (Г), Ьр (Г), пл(т), пр (Г) - параметры залечивания и охрупчивания.

Первые 8 материальных функций определяются по результатам испытаний в условиях упругопластического деформирования. Базовый эксперимент в этом случае включает в себя следующий набор данных:

- упругие параметры, которые определяются традиционными методами;

- диаграмма пластического деформирования при одноосном растяжении;

- диаграмма пластического деформирования при одноосном растяжении после предварительного сжатия;

- данные по циклическому одноосному растяжению-сжатию при постоянном размахе пластической деформации: число циклов до

разрушения и зависимость максимальных значении напряжении на цикле от числа циклов нагружения.

Остальные 9 материальных функций определяют по результатам испытаний на ползучесть и длительную прочность. В этом случае базовый эксперимент включает в себя следующий набор данных:

- данные по ползучести при постоянном напряжении растяжения: зависимость минимальной скорости ползучести от напряжения во всем диапазоне изменения напряжений от кратковременной до весьма длительной ползучести;

- данные по длительной прочности: кривая длительной прочности при растяжении, включающая все три участка, и кривая длительной прочности при сжатии, соответствующая только второму участку.

В диссертационной работе приведен пример определения материальных функций на основе сформулированного базового эксперимента. На основе обработки экспериментальных данных были получены материальные функции для следующих сталей: нержавеющей стали МЗ, нержавеющей стали 12Х18Н9, стали 40Х16Н9Г2С, стали 45, отожженной стали 45, стали 304 и стали 9X2. Материальные функции нержавеющей стали МЗ и стали 12Х18Н9, были получены в диапазоне температур от 20 до 700 °С и от 20 до 650 °С, соответственно. Для остальных сталей была определена часть материальных функций: упругие параметры, модули анизотропного упрочнения и функция изотропного упрочнения при нормальной температуре, а для стали 304 также были определены параметры изотропной и анизотропной ползучести для температуры 650 °С.

Во второй главе описывается разработанный программный комплекс расчета неупругого деформирования и накопления повреждений материала. Комплекс состоит из двух модулей: модуля определения материальных функций и модуля расчета напряженно-деформированного состояния и накопления повреждений.

Алгоритм модуля определения материальных функций основан на методике идентификации материальных функций, приведенной в 1-й главе. Из данной методики следует, что определение одних материальных функций может проходить после определения других материальных функций. Таким образом, алгоритм модуля функционально разбит на подпункты, каждый из которых позволяет создать отдельный блок для определения тех или иных материальных функций на основании набора данных базового эксперимента.

В основе алгоритма модуля расчета напряженно-деформированного состояния и накопления повреждений материала лежат соотношения (12) -(24), позволяющие связать между собой скорости напряжений, деформаций и внутренних переменных в случае произвольного шестиосного напряженного

состояния. На вход комплекса пользователем подается конечное время расчета, таблица материальных функций, закон нагружения, закон изменения температуры, вид нагружения и компоненты вектора напряжений и деформаций, соответствующие заданному виду нагружения. Исходя из заданного пользователем вида нагружения, производится расчет недостающих компонент векторов скоростей напряжений и деформаций, а также вектора скоростей внутренних переменных, на основе заданных компонент векторов скоростей напряжений и деформаций. В силу того, что эти уравнения связывают между собой векторы скоростей, для получения величин напряжений и деформаций, а также компонент вектора внутренних переменных, т.е. для решения задачи Коши, используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Помимо получения значений напряжений и деформаций, возможно получение значений вектора напряжений, вектора деформаций и векторов их скоростей в пространстве Ильюшина.

В этой же главе приводится описание работы с комплексом, порядок установки комплекса на компьютер, форматы таблиц входных и выходных данных.

Третья глава посвящена тестированию программного комплекса путем сопоставления результатов расчетов, проведенных с помощью разработанного программного комплекса, с данными экспериментальных исследований.

Вначале рассматриваются плоские траектории деформаций в виде: многозвенных ломаных траекторий деформаций, криволинейных траекторий деформаций постоянной кривизны в виде окружностей с различным расположением относительно начала координат, криволинейных траекторий деформаций переменной кривизны в виде спирали Архимеда и астроиды.

Исследование процесса упругопластического деформирования при сложном нагружении по траектории деформаций переменной кривизны в виде астроиды (рис. 1) проводится на стали 9X2. Реализовано два витка астроиды против часовой стрелки.

На рис. 2 и 3 приведен ы расчётные и экспериментальные траектории

напряжений соответственно на первом и втором витках траектории деформаций. Сплошные кривые на этих рисунках соответствуют расчету, а кружки — эксперименту,

ГнС« ^

проведенному В.Г. Зубчаниновым, Н.Л. Охлопковым и В.В. Гараниковым. Наблюдается удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных результатов.

Для остальных плоских траекторий деформаций также наблюдается надежное соответствие расчетных и экспериментальных (В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков и В.В. Гараников) результатов — отличие не превышает 10 -15%.

Исследование процесса неупругого деформирования при сложном нагружении по плоским траекториям напряжений (рис. 4) проводится на нержавеющей стали 304 при температуре 650 °С. Каждый цикл нагружения состоит из быстрого кручения, выдержки (точка А), быстрой разгрузки, быстрого совместного кручения и растяжения, выдержки (точка В) и последующей быстрой разгрузки. Интенсивности напряжений в точках А и В имеют равную величину 137.3 МПа. Длительность выдержки составляет 8 часов. Нагрузка и разгрузка производятся со скоростью, равной 49 МПа/мин. Угол в между векторами напряжений при их периодическом вращении в испытаниях и расчетах задается равным 180°, 150° и 90°.

С

2

0Д12

Рис.6

од» 25,/-Л

На рис. 5 и 6 приведены траектории деформаций соответственно для 0=150° и 90°. Сплошные кривые на этих рисунках соответствуют расчету, а кружки - эксперименту, проведенному Охаши, Оно и Каваи.

Наблюдается надежное соответствие расчетных и экспериментальных результатов - отличие не превышает 10%.

Затем рассматриваются пространственные траектории деформаций в виде винтовых линий с постоянными и переменными кривизной и кручением. Исследование процесса упругопластического деформирования при сложном нагружении по пространственным траекториям деформаций в виде винтовых линий проводится на стали 45. Рассматривается одна траектория с постоянной кривизной х = 333 и круткой г = 333 и четыре траектории с переменными кривизной и кручением. На рис. 7 показано изменение кривизны и крутки вдоль одной из траекторий деформаций.

РЬ

и

le úf,рад

Рис.7

О 0Д< 0.02 0.IQ 0.04 0.05 DJB 007 0«

Рис. 8

И

А \ Л 7 ¡3u

{ \ > V

Рис. 10

На рис. 8-10, приведены расчетные и экспериментальные изменения компонент вектора напряжений от длины дуги траектории деформаций, а на рис. 11 - изменения длины вектора напряжений.

ол! от ода а/и оде от од? от

Рис. 11

На всех рисунках сплошные кривые соответствуют расчету, а кружки -эксперименту, проведенному A.C. Вавакиным, P.A. Васиным и В.В. Викторовым. Сравнение результатов расчета и эксперимента показывает их удовлетворительное соответствие - отличие не превышает 20%.

Далее проводятся исследования процессов неупругого деформирования и накопления повреждений при изотермическом и неизотермическом циклическом нагружении нержавеющей стали 12X18Н9. Рассматриваются циклические диаграммы при нормальной (Т =20 °С) и повышенной (Г =650

°С) температурах в условиях достаточно быстрого (/4U цикл/час) и более медленного (30 циклов/час) жесткого нагружения.

На рис. 12 и 13 приведены расчетные (сплошные кривые) и экспериментальные (кружки) циклические диаграммы соответствующие 4-ому циклу нагружениия при изотермическом (Г =650 °С) и синфазном неизотермическом (150 <-> 650 °С) нагружениях. Экспериментальные результаты получены А.Г. Казанцевым.

На рис. 14 приведены данные соответствующие 30-му циклу жесткого симметричного циклического изотермического нагружения, с амплитудой равной 0.008 и при температуре, равной 650 °С. Расчетная кривая с номером 1 и экспериментальные (А.Г. Казанцев) максимальное и минимальное значения напряжений на цикле (кружки) соответствуют режиму, при котором время растяжения равно 1 мин и время сжатия равно 1 мин. Кривая 2 и треугольники соответствуют времени растяжения 1 мин и времени сжатия 20 мин. Кривая 3 и квадраты соответствуют времени растяжения 20 мин и времени сжатия 20 мин.

350--1---- ---■--

coos -flow -одоз о одл ить

Рис. 14

Также рассматривается малоцикловая прочность при изотермических и неизотермических режимах мягкого и жесткого циклического нагружения. На рис. 15 приведены расчетные кривые малоцикловой прочности и экспериментальные результаты (кружки, треугольники, светлые квадраты, звездочки, темные квадраты) при жестком циклическом нагружении при постоянной температуре Г =500, 550, 600, 650 °С и переменной температуре Г=150 <-> 650 °С (синфазный неизотермический режим). Длительность цикла составляет 2 мин (частота - 30 цикл/час). На рис. 16 приведены расчетные кривые малоцикловой прочности и экспериментальные результаты (кружки, треугольники, квадраты) при мягком циклическом

нагружении при постоянной температуре Г =650 С и двух режимах переменной температуры Г=150 650 °С, отличающихся частотой изменения температуры - 30 цикл/час и 60 цикл/час соответственно. Длительность цикла изменения напряжения составляет 2 мин (частота - 30 цикл/час). Экспериментальные данные были получены А.Г. Казанцевым.

-|Э0им*чк

0-Г=500'С й-Г = «0'С о-Г «ею'с » ~Г-«о'с

ром*'

,-|ZW„.

Ш"

1000 Nг

Ш

Т-150«в50*С

Рис. 15 Рис. 16

Сопоставление расчетных и экспериментальных результатов говорит об их удовлетворительном соответствии.

Далее проводятся исследования процессов ползучести и длительной прочности при изотермическом нагружении. Моделирование процесса ползучести при изотермическом нагружении проводится на нержавеющей стали 12X18Н9 при температуре 650 °С. Исследуется кратковременная ползучесть, ползучесть и длительная ползучесть. Исследование длительной прочности при изотермическом нагружении проводится на нержавеющих сталях 12Х18Н9 и МЗ. На рис. 17 приведены расчетные кривые и экспериментальные данные (светлые квадраты, кружки, темные квадраты) длительной прочности нержавеющей стали 12X18Н9 при температурах 550, 600, 650 °С. Экспериментальные данные получены А.П. Гусенковым и П.И. Котовым. Для нержавеющей стали МЗ расчетные кривые длительной прочности и экспериментальные данные, полученные В.В. Кашелкиным и С.А. Шестериковым, приведены на рис. 18.

Рис. 17 Рис. 18

Наблюдается удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных результатов по длительной прочности материалов в широком временном диапазоне.

В конце главы приводятся результаты, проведенных с помощью разработанного программного комплекса, расчетов ресурса материала в

наиболее нагруженной точке оболочечной конструкции (сталь МЗ) и одного из вращающихся элементов авиационного двигателя (сталь 12Х18Н9).

Расчеты для наиболее нагруженной точки одного из элементов авиационного двигателя были проведены для двух режимов. Законы изменения температуры и напряжения в наиболее напряженной точке элемента авиационного двигателя на всех этапах его работы на взлете, полете на крейсерской скорости и посадке, соответствующие режиму 1 приведены на рис. 19 и 20. Для 2-го режима закон изменения температуры остается таким же, а напряжение на взлете и наборе высоты увеличено на 10 МПа (на Т/о).

Ь-

Рис. 19 Рис. 29

На рис. 21 показано изменение параметра накопления повреждений а от общего времени эксплуатации двигателя, а на рис. 22 и 23 приведены изменения неупругой деформации е" и параметра накопления повреждений со во время одного из полетов. Кривые на рис. 21 — 23, соответствующие первому режиму, отмечены цифрой 1, а второму - цифрой 2.

/

С 1.

ею его 1000 1X0 1«о I. час

Рис.21

2ч

J 7-ой полет

Ч

Рис. 23

Рис. 22

Результаты расчетов показывают, что режим 2 приводит к увеличению повреждения материала конструкции двигателя на взлете и наборе высоты за каждый полет, что в конечном итоге приводит к уменьшению ресурса элемента авиационного двигателя

примерно в 3 раза, несмотря на более выраженную задержку ползучести во время полета на крейсерской скорости.

Расчеты ресурса материала в наиболее нагруженной точке оболочечной конструкции проводились для двух режимов сложного неизотермического нагружения. Законы изменения двух компонент напряжений (мягкое нагружение) и температуры, соответствующие первому режиму показаны на рис. 24. При данном режиме нагружения конструкция за один час выводится на форсированный режим, длительность которого составляет один год, затем за два часа уровни напряжений и температуры снижаются и расчет продолжается на номинальном режиме до разрушения материала конструкции. Суммарное время до разрушения при этом составило 99000 часов.

Второй режим определяется законами изменения напряжений и температуры, представленными на рис. 25. Материал конструкции сначала в течение пяти лет находится на номинальном режиме нагружения, затем за один час выводится на форсированный режим, который продолжается один год, после чего нагрузки опять соответствуют номинальному режиму. Разрушение материала конструкции наступило через 119000 часов, т.е. наблюдается существенное увеличение ресурса конструкции.

540 V

«»_1И.

/К

J2_

'» V

Огг

Рис. 24 Рис. 25

На рис. 26 и 27 приведены изменения параметра накопления повреждений со и энергии разрушения W для двух режимов нагружения. Кривые, соответствующие первому режиму отмечены цифрой 1, а второму -цифрой 2.

W

J к

мы*

V —-

о 13000 мюо лл «то t. ч*с о ixno эш> «п «то ( час

Рис. 26 Рис. 27

Из расчетов следует, что накопление повреждения материала носит существенно нелинейный характер и зависит от порядка следования

форсированного и номинального режимов. Очевидно, что оценка ресурса по правилу линейного суммирования при нагружениях по законам, изображенным на рис. 24 и 25, даст одинаковый результат, т.к. они отличаются друг от друга только различным порядком следования форсированного и номинального режимов. Существенная разница во времени до разрушения, полученная по различным программам нагружения, обусловлена нелинейным характером накопления повреждений материала конструкции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты и выводы диссертационной работы сводятся к следующим:

1. Сформулирована математическая модель неупругого деформирования и накопления повреждений материала.

2. Определены базовый эксперимент и разработана методика идентификации материальных функций.

3. Разработан программный комплекс оценки и прогнозирования ресурса конструкционных материалов, состоящий из модуля определения материальных функций по результатам базового эксперимента и модуля расчета кинетики напряженно-деформированного состояния и процесса накопления повреждений.

4. Проведено тестирование программного комплекса на широком спектре программ экспериментальных исследований. Получено надежное соответствие результатов расчетов и экспериментов как по компонентам напряженно-деформированного состояния, так и по характеристикам разрушения.

20 05 - 2 2 6 8 6

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЫ А1Ы ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В

РАБОТ* v'

1. Бондарь B.C., Данилин ВВ, Макс оценка ресурса материала кон Современные проблемы математш докладов международной научно? 2004. С. 56.

2. Бондарь B.C., Даншин В.В., Мс эксперимент и идентификация неупругости // Современные i информатики: Тезисы докладов международной tta¡ ... L Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 54-55.

3. Бондарь B.C., Даншин В В., Макаров Д.А. Расчетная оценка и прогнозирование ресурса материала конструкций высоких параметров // Материалы 49-ой Международной научно-технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных научных кадров». Секция 2. «Поршневые и газотурбинные двигатели». Часть 1. М.: Изд-во МАМИ, 2005. -С. 14-20.

4. Бондарь B.C., Даншин В.В., Макаров ДА., Титарев И.А. Программный комплекс оценки и прогнозирования ресурса материала высоконагруженных конструкций // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения: Труды VI Международной конференции. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2005. - С. 76 - 86.

5. Бондарь B.C., Макаров Д.А. Критерии малоцикловой длительной прочности материалов // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения: Труды VI Международной конференции. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2005. -

Макаров Дмитрий Алексеевич

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ В КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ»

Подписано в печать Заказ -05 Тираж 80

Бумага типографская_Формат 60x90/16_

МГТУ «МАМИ», Москва, 107023, Б. Семеновская ул., 38

РНБ Русский фонд

200624 23583

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕУПРУГОГО

ПОВЕДЕНИЯ И НАКПОЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ ПРИ СЛОЖНОМ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ.

1.1 Основные положения и уравнения модели неупругости.

1.2 Уравнения модели неупругости в случае шестиосного напряженного состояния.

1.3 Материальные функции.

1.4 Базовый эксперимент и методика идентификации материальных функций.

1.5 Пример определения материальных функций.

1.6 Материальные функции некоторых конструкционных сталей.

ГЛАВА 2. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС РАСЧЕТА

НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ МАТЕРИАЛА.

2.1 Алгоритм определения материальных функций.

2.2 Описание программного модуля определения материальных функций.

2.2.1 Установка комплекса на компьютер.

2.2.2 Работа с комплексом.

2.3 Алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния и накопления повреждений.

2.4 Описание программного модуля расчета напряженно-деформированного состояния и накопления повреждений материала.

2.4.1 Установка комплекса на компьютер.

2.4.2 Работа с комплексом.

2.4.3 Файл выходных данных.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ.

3.1 Сложное нагружение по плоским траекториям деформаций и напряжений.

3.2 Сложное нагружение по пространственным траекториям деформаций.

3.3 Малоцикловая прочность при изотермическом и неизотермическом нагружениях.

3.4 Ползучесть и длительная прочность при изотермическом нагружении.

3.5 Прогнозирование ресурса материала конструкций высоких параметров.

Одной из насущных проблем современного машиностроения является необходимость повышения эксплуатационных характеристик, надежности и долговечности элементов конструкций ракетнокосмической и авиационной техники, тепловой и ядерной энергетики, химической промышленности и др., работающих в условиях высокого уровня силовых и температурных нагрузок. Обеспечение безопасности эксплуатации ответственных объектов (ядерных и тепловых энергетических установок, объектов химической, газовой, нефтяной промышленности, ракетнокосмической и авиационной техники и др.) в течение длительного срока службы (порой несколько десятилетий) требует достоверной информации о процессах накопления повреждений в конструкционных материалах. При выработке элементами конструкций проектной долговечности возникает задача продления срока службы и обеспечения их безопасной эксплуатации в течение этого срока.

Ввиду локальности мест предполагаемых разрушений, ресурс конструкционных элементов определяется ресурсом их опасных зон с наибольшими темпами накопления повреждений. Современные методы неразрушающего контроля состояния материала могут эффективно применяться только в зонах возможного доступа к ним на стадиях плановых ремонтов и остановок объектов. Реальные процессы нагружения конструкционных элементов приводят к тому, что в материале опасных зон этих элементов возникают вязкопластические (неупругие) деформации. Причем нагружение материала является сложным неизотермическим, и характер его изменения может быть самым произвольным в условиях повторности и длительности воздействия температурно-силовых нагрузок.

Решение этих проблем возможно только при реализации методологии эксплуатационного мониторинга [58], одной из основных задач которого является оценка выработанного ресурса и прогнозирование продлеваемого ресурса материала опасных зон наиболее нагруженных конструктивных элементов на базе математического моделирования процессов накопления повреждений с использованием современных теорий термовязкопластичности и неупругости.

Вопросам построения математических моделей в теориях вязкопластичности и неупругости посвящено большое количество работ. Основные направления построения моделей и обширную библиографию по этому вопросу можно найти в монографиях, обзорах и отдельных работах А.А. Ильюшина [39, 40], В.В. Новожилов [42, 43, 59, 60], Ю.Н. Работнова [63], И.А. Биргера [67], B.C. Бондаря [3-9], Р.А. Васина [22-25], В.Г. Зубчанинова [34-37], Ю.И. Кадашевича [41-43], JI.M. Качанова [47], И.В. Кнетса [48], Ю.Г. Коротких [32, 49-51], Н.Н. Малинина [55], Б.Е. Мельникова [56], Ю.М. Темиса [66], Г.М. Хажинского [68], Ю.Н. Шевченко [70, 71], С.А. Шестерикова [33], Бойла и Спенса [1], Кремпла [76, 77], Криега [78-80], Леметри [81], Линдхольма [82], Миллера [83-85], Оно [87-90], Харта [69], Шабоши [72-7£] и многих других ученых. Среди экспериментальных исследований, посвященных неупругому поведению и разрушению материалов, по результатам которых можно проводить тестирование (верификацию) моделей, можно отметить работы B.C. Ленского [52-54], А.С. Вавакина [19-21], Р.А. Васина [19, 20, 23, 26], А.П. Гусенкова [28, 29], В.П. Дегтярева [30, 31], В.Г. Зубчанинова [36, 38], А.Г. Казанцева [46], П.И. Котова [29], Н.Л. Охлопкова [38, 62], Охаши [61, 86] и др.

Наибольшее распространение в практических расчетах в настоящее время нашли дифференциальные теории пластического течения, базирующиеся на концепции комбинированного упрочнения. Среди этих теорий теории B.C. Бондаря [3-9], Ю.Г. Коротких [32, 49-51] и Шабоши [7275] являются наиболее экспериментально обоснованными и широко применяемыми для расчетов ресурса материалов в условиях термовязкопластического деформирования. Поэтому разработка на основе этих теорий программных комплексов оценки и прогнозирования ресурса материала конструкций, работающих в условиях высокого уровня силовых и температурных нагрузок, является весьма актуальной задачей в научном и практическом отношениях.

Целями настоящей работы являются разработка математической модели неупругого деформирования и накопления повреждений материала, основанной на теории неупругости B.C. Бондаря, создание на основе этой модели программного комплекса оценки и прогнозирование ресурса материала, проведение тестирования программного комплекса на основе сопоставления результатов расчетов и экспериментов.

Все содержащиеся в работе результаты относятся к малым деформациям начально изотропных металлов при температурах, когда нет фазовых превращений и скоростях деформаций, когда динамическими эффектами можно пренебречь.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты и выводы диссертационной работы сводятся к следующим:

1. Сформулирована математическая модель неупругого деформирования и накопления повреждений материала.

2. Определены базовый эксперимент и разработана методика идентификации материальных функций.

3. Разработан программный комплекс оценки и прогнозирования ресурса конструкционных материалов, состоящий из модуля определения материальных функций по результатам базового эксперимента и модуля расчета кинетики напряженно-деформированного состояния и процесса накопления повреждений.

4. Проведено тестирование программного комплекса на широком спектре программ экспериментальных исследований. Получено надежное соответствие результатов расчетов и экспериментов, как по компонентам напряженно-деформированного состояния, так и по характеристикам разрушения.

Заключение

1. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 360 с.

2. Бондарь B.C. Решение нелинейных задач сложного нагружения оболочек вращения // Расчеты на прочность и жесткость: Межвуз. сб./ М.: Мосстанкин, 1982. Вып. 4. С. 85-95.

3. Бондарь B.C. Математическая модель неупругого поведения и накопления повреждений материала // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб./Горьк. ун-т. 1987. С.24-28.

4. Бондарь B.C. Теории пластичности, ползучести и неупругости в условиях сложного нагружения // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация исследований: Всесоюз. межвуз. сб./Горьк. ун-т. 1987. С.75-86.

5. Бондарь B.C. Математическое моделирование процессов неупругого поведения и накопления повреждений при сложном неизотермическом нагружении в условиях ионизирующего излучения П Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1988 Вып.29. С.23-29.

6. Бондарь B.C., Фролов А.Н. Математическое моделирование процессов неупругого поведения и накопления повреждений материала при сложном нагружении // Из. АН СССР. МТТ. 1990. №6. С.99-107.

7. Бондарь B.C. Неупругое поведение и разрушение материалов и конструкций при сложном неизотермическом нагружении // Автореферат диссерт. на соиск. уч. степени д.ф-м.н. Москва: МАМИ, 1990. 40с.

8. Бондарь B.C. Неупругость. Варианты теории. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -144с.

9. Бондарь B.C., Санников В.М. Малоцикловая усталость тонкостенных конструкций при повышенных температурах // Конструкционная прочность лопаток турбин ГТД: Тезисы докладов IV научно-техн. конф. / Куйбышев. 1976. С.75-76.

10. Бондарь B.C., Санников В.М. Усталость и устойчивость оболочек вращения при циклическом теплосиловом нагружении // Прикладная механика. 1981. Т. 17. №2. С. 118-121.

11. Вавакин А.С., Васин Р.А., Викторов В.В. и др. Упругопластическое поведение стали 45 на винтовых траекториях деформаций // Пластичность и разрушение твердых тел. М., 1988, С. 21-29.

12. Вавакин А.С., Васин Р.А., Викторов В.В. и др. Экспериментальное исследование упругопластического деформирования стали при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям деформаций. М., 1986. 67 с. Деп. в ВИНИТИ, № 7298-В86.

13. Вавакин А.С., Викторов В.В., Сливовский М, Степанов Л.П. Экспериментальное исследование упругопластического поведения стали при простом и сложном циклическом деформировании. М., 1986. 175 с. Деп. в ВИНИТИ, № 2607-В86.

14. Васин Р.А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость. Вып. I М.: Изд-во МГУ, 1971.-С. 59-126.

15. Васин Р.А. Экспериментально-теоретическое исследование определяющих соотношений в теории упругопластических процессов// Автореф. дисс. д.ф.-м.н. М. МГУ, 1987. - 36 с.

16. Васин Р.А. Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических процессов// Пластичность и разрушение твердых тел. М., 1988, - С. 3 - 75.

17. Васин Р.А. Определяющие соотношения теории пластичности//Итоги науки и техники, Сер. МДТТ, 1990, Т. 21 С. 3 - 75.

18. Васин Р.А., Широв Р.И. Исследование векторных свойств определяющих соотношений для металлов при плоском напряженном состоянии. Деп. ВИНИТИ 5.10.85, №7541. - 80 с.

19. By До Лонг. Вариант теории и некоторые закономерности упругопластического деформирования материалов при сложном нагружении // Автореферат диссерт. на соиск. уч. степени к-ф-м.н. Москва: МАМИ, 1999. 21 с.

20. Гусенков А.П. Прочность при изотермическом и неизотермическом малоцикловом нагружении: М.: Наука, 1979. - 295 с.

21. Гусенков А.П., Котов П.И. Малоцикловая усталость при неизотермическом нагружении. М.: Машиностроение, 1983. - 240 с.

22. Дегтярев В.П. Деформации и разрушение в высоконапряженных конструкциях. М.: Машиностроение, 1987. - 105 с.

23. Дегтярев В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций. -М.: Машиностроение, 1967. 131 с.

24. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд. АН СССР, 1963. 271 с.

25. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. -310с.41 .Кадашевич Ю.И. О различных тензорно-линейных соотношениях в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности / JL: Изд-во ЛГУ, 1967. Вып. 6. С.39-45.

26. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // ПММ. 1958. Т22. Вып.1. С.78-89.

27. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Об учете микронапряжений в теории пластичности // Инж. ж. МТТ. 1968. №3. С.83-91.

28. Казаков Д.А. Экспериментально-теоретическое исследование вязкопластического деформирования сталей в области повышенныху 1температур и скоростей деформаций до 10" с" . // Автореферат диссерт. на соиск. уч. степени к.т.н. Горький: ГГУ, 1985. 20 с.

29. Казаков Д.А., Капустин С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций // Нижний Новгород, ННГУ, 1999.

30. Казанцев А.Г. Малоцикловая усталость при сложном термомеханическом нагружении. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 248 с.

31. Качанов JI.M. Теория ползучести. -М.: Физматлит. 1960. 455 с.

32. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига: Зинатне, 1971.-147 с.

33. Коротких Ю.Г. О базовом эксперименте для модели термовязкопластичности // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб./Горьк. ун-т. 1977. Вып.6. С.3-20.

34. Коротких Ю.Г. Описание процессов накопления повреждений материала при неизотермическом вязкопластическом деформировании // Проблемы прочности. 1985. №1. С. 18-23.

35. Коротких Ю.Г., Угодчиков А.Г. Уравнения теории термовязкопластичности с комбинированным упрочнением. М.: Наука, 1981. 180 с.

36. Ленский B.C. Экспериментальная проверка законов изотропии и запаздывания при сложном нагружении // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. -№11.-с. 15-24.

37. Ленский B.C. Некоторые новые данные о пластичности металлов при сложном нагружении // Изв. АН СССР. ОТН. 1960. - №5. - с. 93-100.

38. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций // Вопросы теории пластичности. -М.: Изд-во АН СССР, 1961.-е. 58-82.

39. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

40. Миллер А. Математическая модель для монотонного и циклического изменения деформации и деформации ползучести, основанная на анализе неупругой деформации // Теоретические основы инженерных расчетов: Труды ASME. 1976.№2. -С.1-20.

41. Митенков Ф.М., Коротких Ю.Г. К вопросу о создании эксплуатационного мониторинга ресурса оборудования и систем ядерных энергетических установок. Проблемы машиноведения и надежности машин, РАН, №4, 2003, С.105-117.

42. Новожилов В.В. О сложном нагружении и перспективах феноменологического подхода к исследованию микронапряжений // ПММ. 1964. Т28. Вып.З. С.393-400.

43. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Физматгиз, 1966.-752 с.

44. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник / Под. общ. ред. В.И. Мяченкова. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

45. Романов А.Н. Энергетические критерии разрушения при малоцикловом нагружении // Проблемы прочности. 1974. №1. С.3-10.

46. Термопрочность деталей машин: Справочник. Под ред. И.А. Биргера и Б.Ф. Шорра. М.: Машиностроение, 1975. 455 с.

47. Хажинский Г.М. О теории ползучести и длительной прочности металлов // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №6. с. 29-36.

48. Харт. Уравнения состояния для неупругой деформации металлов // Теоретические основы инженерных расчетов: Труды ASME. 1976. №3 — С.1-7.

49. Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовязкопластичности. Киев: Наукова думка, 1982. - 238 с.У

50. Chaboche J.L. Constitutive equation for cyclic plasticity and cyclic viscoplasticity. Inter. J. of Plasticity. Vol. 5. №3, 1989, pp. 247-302.

51. Chaboche J.L. Thermodynamically based viscoplastic constitutive equations: theory versus experiment. ASME Winter Annual Meeting, Atlanta, GA(USA), 1991, pp.1-20.

52. Chaboche J.L. Cyclic viscoplastic constitutive equations, parts I and II. ASME J. of Applied Mechanics 60, -1993. p. 813-828.

53. Chaboche J.L., Rousselier G. On the plastic an viscoplastic constitutive equations // ASME J. of Pres. Vessel Techn. 1983. Vol. 105. p. 153-164.

54. Krempl E. The influence of state of stress on low-cycle fatigue of structural materials: a literature survey and interpretive report // Amer. Soc. Test. And Mater. Spec. Techn. Publ. -1974. -№549. p. 1-46.

55. Krieg R.D. A Practical Two Surface plasticity Theory // Journal of Applied Mechanics. 1975. V.42. p. 641-646.

56. Krieg R.D., Swearengen J.C., Rhode R.W. A physicallybased internal variable model for rate-dependent plasticity // Proc. ASME/CSME PVP Conference. 1978. p. 15-27.

57. Krieg R.D., Krieg D.B. Accurate of numerical solution methods for the elastic-perfectly plastic model // Trans. ASME. 1977. - 199, №4. - p. 510-515.

58. Lemaitre Jean. Coupled elasto-plasticity and damage constitutive equations // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1985. -51. №1-3. - p. 31-49.

59. Lindholm U.S., Chan K.S., Bodner S.R., Weber R.M., Walker K.P., Cassenti B.N. Constitutive modeling for isotropic materials (HOST). Second annual contract report. -NASA CR-174980. 1985.

60. Miller A.K. A unified approach to predicting interactions among creep, cyclic plasticity, and recovery I I Nuclear Eng. and Design. 1978. - Vol. 51. - p. 3543.

61. Miller K.J., Brown M.W. Multiaxial fatigue: a brief review // Adv. Fract. Res. Proc. 6th Iut. Conf. New Delhi 4-10 Dec. -1984. Vol. I. p.31-56.