Эллиптические граничные задачи в областях с негладкими границами в полных шкалах банаховых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ г.г} ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

РОЙТВЕРГ Борис Якович

ЕЛЩТИЧНІ ГРАНИЧНІ ЗАДАЧІ В ОБЛАСТЯХ 8 НЕГЛАДКИМИ МЕЖАМИ В ПОВНИХ ШКАЛАХ БАНАХОВИХ ПРОСТОРІВ

01.01,02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації иа здобуття наукового ступеня кандидата фіоико-математпчйих наук

Київ — 1997

Дисертацією е рукопис.

Роботу виконало на кафедрі математичного аналіоу Чернігівсыого державного педагогічного інституту ім. Т. Г. Шевченка. .

Науковий керівшас - доктор фіоико-математвчнях наук, акйдгиік НАН України

Вервояиеыяи Юрій Макаровичу Офіційні опонешв '**■ доктор фіонхо-иатематичнах паук.профе-сор Эйдельман Самуіл Давидович; доктор ф'іоико-матшатичшд наук, пр овідниЗ науковий співробітник ІЬрбачук Вшкштшіа

- Іванівна. .

Пройїдна установа: Інститут пр вкладної математики і иехагіян НАН України

Захист відбудеться "//* —. 1997 р. в год. па

оасіданні спорахгіооьааої вченої рада Д 01.66.02 в Інсти-

туті математики НАН України оа адресах»: 262601, Ктв-4, МСП, вуя. ТЬрещенківська, 3. ~

В дисертацією иожйа ооиайомнтися в бібліотеці Інституту ,

Автореферат рооісланин — Ш7 р.

Вчений секретар спеціалізованої Вченої

Загальна характеристика роботи Актуальність теми. Починаючи о 60-х років в роботах Люисл -Мадженесл, Ю.М. Березаікакого - С.Г. Крейнл - Я.А. Роііт-йЕРГД та ішітх було встановлено так опані теореми про повний набір ізоморфізмів для еліптичних оадач в областях о гладкими межами. Ці теореми стверджують, грубо кажучи, що оператор еліптичної оадачі встановлює ізоморфізм між просторами функцій, що ’’мають з і з - г похідних” (з - довільне дійсне число, г - порядок оадачі). Ці теореми, важливі самі по собі, знайшли чисельні застосування у спектральній теорії, для локального підвищення гладкості узагальнених роов’яоків, для дослідження слідів уоагальнепих роов’яоків еліптичних рівпянь на многоиидах різних роомірпостей, для побудови і вивчення матриць Гріна, для вивчення еліптичних оадач о степеневими особливостями в правше частинах, для вивчення класу сильно вироджених еліптичних оадач, для вивчення оадач про оптимальне управліппя, оадач механіки. В наведених вшце роботах еліптичні оадачі вивчались в областях о гладкими межами. Проте, після відомої- роботи В. А. КоидРАТЬЄПА (1967), еліптичні оадачі вивчались багатьма математиками в класах достатньо гладких функцій в областях, межі яких містять копі чиї точки, ребра, тощо. Відмітимо тут роботи В. Г. Мазьі, Б. О. Пламепепського, Гріспарда, Ескіна, Майстера, Костабеля, Дож, Россмана та іп. Тому природно виникає задача про встановлення теорем про повний иабір іооморфіомів для еліптичних граничних оадач в областях о негладкими межами і про розітненім аастосувапь цнх теорем. Розв'язанню цієї оадачі, поставленої Ю. М. Верезапсысйм, присвячено дану роботу. Крім того, в роботі досліджено питання про локальне підвищення гладкості узагальнених роов’яоків впритул до гладких відкритих кусків межі. Останню задачу посталив у 1992 році В. А. КоїіДРАТЬЄв.

Мета роботи. Довести теореми про повний набір іооморфіомів в областях о негладкими межами для еліптичних граничних оадач для одпого рівняння, для загальних систем рівнянь, для еліптичних оадач трансмісії; розвинута застосування цих теорем, довести твердження про локальне підвтцеппя гладкості уоапиіьнепях розв’язків.

Метод дослідження. Використовуються І розвиваються методи функціонального аналізу і теорії операторів, я8І В останні роки застосону-

ютьсл для дослідження роав’яоності грапичппх оадал в уоагальпенпх функціях.

Наукова новина. Одержані в роботі реоультатп є новрми. Теоретична і практична цінність роботи. В роботі досліджено еліптичні граничні о здач і, оадачі трансмісії в повних шкалах бапа-хових просторів. Ці реоультатп оастосовні до дослідження граничних оадач о довільшши степеневими особливостями правих частіш, для дослідження оадач о сильним виродженням, для побудови і дослідження матриць Гріна і т. д. Відмітимо також, що еліптичними граничними оадачами для оагальних систем є важливі оадачі теорії пружності і гідродинаміки.

Апробаціїі роботи. Реоультатп роботи доповідались па семінарах Інституту математики Н АН України та кафедри матаналіоу Чернігівського педінституту, а також на ряді міжнародних конференцій [2 , З, 7, -8]. •

Публікації. Основні реоультатп дисертації викладено в 10 роботах. Список публікацій - в кінці автореферату.

Структура та обсяг роботи. Дисертацію викладено на 104 сторінках. Вона складається о вступу, трьох рооділів та списку літератури. Основні реоультати, що виносяться до оахисту.

1. Теореми про локальне підвищення гладкості і про повний набір іооморфіомів для еліптичної оадачі для одного рівняння в області о негладкою межею.

2. ІЬоремя про локальне підвищення гладкості і про повний набір іооморфіомів для еліптичної оадачі для системи структури Дутліса -Ніренберга в області о неї гадкою межею.

3. ТЬореми про локальне підвищення гладкості і повний набір іоо-

морфіомів для еліптичних задач трансмісії в областях о негладкими межами. .

Зміст роботи

1. Поняття уоагальиеиого роов’яову еліптична? оадачі в негладкій області. Нехай С С Шп - обмежена область, її межа містить іонічні точки, ребра; АГ С Вв - множина особливих точок межі; 8й \ Л/ б С°°; всі похідні функцій, що падають Йб?\ М в локальних координатах, обмежені.

з

В <7 розглядається еліптична гранична оадача

£(х,В)и(х) = /(х) (х Є О, огсіЬ = 2т),

(*)

ЛДг, ДМхМод, = ^-(*) (і = 1,... ,т;огсШ;- = т,).

Скрізь у роботі вважається, що коефіцієнти диференціальних виразів визначені і нескінченно гладкі в окопах в Ш" множин <5 і вЄ, відповідно; всі похідні коефіцієнтів обмежені.

Введемо поняття узагальненого розв'язку оадачі (1). За допомогою інтегрування частинами онайдемо:

іт ■ .

(£и,и) = (и,£+о) + «»Лат-/+і«)

(и€С*(В\іО, «6С5(% де и належить до СЦ(5), якщо о Є £“(<?) анпулмється в деякому Околі в С? множини АГ. Тут і нижче (•,•) і (•, •) - скалярні добутки (або їх розширення) відповідно в Ьі(в) і Ьі(дв); вираз £+. формально спряжений до і; Д, = ід/ді/, «/-нормаль до дЄ \ М\ oгdЛ|^(ж,^)) = к - X (к = ш). ТЬму рівняння (1) еквівалентне співвідно-

шешіш

(«о, £+и) + 2 (и/«Лат-у+і^) = (/о.») (« € (<?)). (2)

1&'23т

Тут «о = «ь. “і = ^“Чвс\м, Л = /|д-

Аналогічно,якщо Ві{х%П) = Еі<і2т,+і #/*(*,0,)0^1,дє Вц(х,0')

- тангенціальні вираои порядків (т/ - Л +1), то граничні умови (1) запишуться у вигляді

£ Яд(г, Г)')и» = ф (і = 1,... ,т), (3)

1<»5ту+1

або у вигляді

£ <«*, В+ьІх, &)\з) = с) (о Є С^?(С), і = 1,..., т). (4)

І<А<т^4-1 ‘

Ототожнимо елемент и Є С“(3) о вектором («о,... ,йг), де и0 = *%. иі - ®і~'и\еа\м (/ = 1,..., г), і

г = тах{2т1п*+ 1,... ,тт + 1}. (5)

Будемо писати и = (ии,..., иг) для кожного и Є .. Якщо г > 2т, то ототожнимо елемент / Є С°°(СЇ) о вектором (/о.--м/г-2т),де/о = /|о. /і = 0Г‘/ІЄС\М (І = 1. • • • .Г ~ 2т). ТОДІ вектор и = («оі...,иг) Є С“(С) є роов’яоком оадачі (1)тоді і тільки тоді, коли викопуються співвідношення (2),- (4), і '

•0і-1Ь(я»-0)«Івс\іі/ = Л (І -2»п). (0)

Нехай тепер Мої/о ~ функції (узагальнені) иС,а и;-, Д - функції (уоагальпені) на дЄ \М (і = 1,... ,г, 1 < к < г — 2т). ТЬді вектор ч — (ио,...,иг) наавемо узагальненим розв’язком оадачі (1),'якщо викопуються співвідношення (2)-(4), (6).

2. Функціональні простори. Нехай р.р* Є (1,оо),1/р+ 1/р* =

1. Через Н,іР(Сі) (з > 0) поопачпмо простір бесселевпх потенціалів, а

посно розширення (•, •) скалярного добутку в Ьї(С); II і/(в) (з > 0) -оамиканпя С%(а) в Н‘*(С) - підпростір Я'-р(С); || • 11,*= || и,П ||^

- норма в Н‘^(И) (а Є Ш).

Черео В,'р(дй \ М) (а Є /Я, р Є (1, +со)) пооначішо простір Бесова, ((•))*,? = ((•» 5(7 \ Ні)),# - норма в ньому.

Нехай г > 0 - фіксоване ціле число, з,р є /й, 1 < р < со, ф к + 1 /р (к — 0,...,г — 1). Черео Лї*лМ = поопачпмо

поповнення С°°({5) по нормі

\\M\Un := (|| и,011^ + Л*»;-І+1-1/И,)1/Р. (7)

За допомогою методу і омплексної інтерполяції впопачаємо. простори Н,'р№ і норму (8) і, <дя виключених овачепь з. Нарешті, якщо г* = 0, то Покладемо

Я'^°) := ІЦиНкли := || и,Д .

Оамйігшаа б відображеная

и»—^ («Ігг» иІ5о\лг«. • *»(и € с іоометріек) між простором Н**М і підпросторои й^'^ простору

#,г,(г) я^(С?) х П \ М).

М

черга //"'^(О) = (Я‘‘р’(0))* - простір, спряжений до #Ьг (б) від-

Тому можна ототожнити кожний елемецт и 6 Н‘‘р^ о елементом

Зи = («о.....иг) Є 5**М. Для кожного и Є будемо писати

и = К..„иг)ЕМ ■ .

Оператор А (7), визначений співвідношеннями (2)~(4), (б),непере-рвно діє в парі просторів

%•*,(') К‘<Р ■- ц'-іт^іт-іт) х д В-ті-ІІр^д0 у (8)

Він співпадає о замиканням А,# відображення

, Чн {ОІ-1Іи\да\М : 1 <і < г -2ш},

' _ (9)

В\и\ва\м, • ■ • і Д?>иІ0о\л/) (« Є 0°°(Сх)),

що розглядається діючим в парі просторів (9).

Означенна. Елемент и € Є /Я,р Є (1,оо)), дяя якого

Аи = Р Є наовемо узагальненим роов’яоком оадачі (1).

Звідси впплпвае, що елемент и = (и0і..., иг) Є є узагальне-

ним розв’язкам оадачі (1) тоді і тільки тоді, коли виконуються співвідношення (2)-(4), (6).

3. Локальне підвищення гладкості узагальнених розв’язків. Нехай йо С С - підобласть О, що примикає до гладкого відкритого куска 7 межі 5(3. Кажуть, що елемент и — (и0,...,иг) Є належить локально п С?о впритул до 7 простору Н“'р,^гЦзі > а, Рі 5 р);Цв записують так: и Є 0і7)> якщо для кожної функ-

ції х Є ^(Ст), рівної нулю п деякому околі в С? множини (? \ (Ста и 7) (ці функції наовемо допустимими), викопується співвідношення Є //««.М. Аналогічно, елемент ^ Є Л',,? належить локально в Ста впритул до 7 простору Л,'І1?І (це оаплсують так; Р Є /<'^,(^0(7))і якщо ХР Є дйл кожної допустимої функції у.

Теорема 1. Нехай и » (ид,...,^) є Н,'г,^'){в ё /Л,1 < р < оо)

- узайдиьменай ’.мов задачі (І). Нехай йо Є <9£? \ И/ належить гладкому відкритому в 00 куску 7> і £/(»о) - достатньо малий окіл точки, хо д СІ, що прішигж дд 7. Тоді о Р Є ІГ^'(У, 7) (л( >

»>Рі > р) випливає, що и Є //^£"^({/,7). При цьому для кожної допустимої функції х існує стала с > О така, що

|||хи|||.1„1^)<с(ІІХГ|к.„1+|||и|||,іР>(г)).

Ця теорема дає відповідь аа питання, поставлене В.. А. Коп-дратьєвим у 1992 році.

4. Теорема про повний набір іооморфіомів длл бадані (1). Наслідки. В кожній точці ®о Є М рооглядатимемо відповідні мо-дельпі області П(х0) - конуси або двогранні кути, що характеризують дО в околі топки х0. Нехай Ао(хо, О) - головна частина оператора А(х, £>) о оаморожепами в точці Хо коефіцієнтами. Будемо вважати, що в кожпІй точці Хо Є М або оператор

А„ : Н‘'ТМ(П(х0» - К^(Щх0))- '

нетеровий, або фактор-простір Л'*'р(П(хо))/іл(Ао) - скінпенновимір-ний 1 ( ЩАо) ~ оамикавпя в ^'■'(П^о)) множини оначепь оператора Ао(х0,£))).

Теорема 2. Нехай задача (І) еліптична. Тоді для кожного я Є Ш < р € (1,оо) оператор А — А<1?, що неперервно діє е парі просторів • (9), с петеровим. Це означає, що

а) ядро 91,^ - {и Є : Аи = 0} - скінченноеимірне;

б) множина значень 5К(А,іР) замкнена в К'* і має скінченну корозмірність: існує скінченновимірний підпростір 91^ простору (К‘'ГУ, такий, що Задачі А«,ри = Р Є К‘* має розв'язок тоді і тількі тоді, коли

|г.У|*о (УКеог;,,) (іо)

(\Р, V) - значення функціонала Г Є К’* на елементі V є (К’*)* ).

'ІУт, на відміну від області о гладкою межею, ядро 91.,, і коядро 91^ оалежать від я апсі р: якщо «і > «і і ра > Рі, то

с =>«:,#,• (і!)

'Ці ;ио»і омадя «хіоя/стісі, іщо с( - юміїх» топі. '

ТЬму, якщо і» Є Н“^т'> - роов’яаок оадачі

Аи = Р Є К"* (а, > «,), (12)

то, навіть якщо 9г,1іЯ = 0, необов’яоково, щоб и є З (13)

випливає, що

1^| = о (ууєот;^). (13)

Дня того, щоб глобальне підвищення гладкості мало місце у випадку. *П„, = 0, необхідно і достатньо, щоб

{^і=0 (УУ€«П^). (14)

В оагальному випадку, якщо иає місце (14), то існує роов’яооі щ Є Нгі#'(т) оадачі (13»), такий, що « — в1 Є 91„,.

Нехай -бапис в9^>іРтахнн,що ЦV* -бапис

в 91?,Нехай ,1} € К00* тахі, що

ія. ^ | ї 5 (»*.і -»......о- (15)

Кожен елемент Р є Кн* представимо у вигляді

р= ЕІ^.УЯ^і + Л 06)

де Ґ Є К”*, і

[Г,Ц|=0 0 = 1..........0- (17)

Нехай *Л,І# = 0. Тоді оадача Аи = Р* має єдиний роов’яоок

с = А^Ґ Є (18)

З (17), (18) випливає, що роов’яоох и Є Н''**’) оадачі (13) можна представити у вигляді

ч = в+ £ е}ь} (е,- = \Р,V}],»; = А'^Р,), і-*+і

де V Є #,,лСг), V]- Є (;' = к + 1,і V} не оалежнть від Р.

ІЬхим чином, глобальне підвищення гладкості має місце лише тоді,

КОЛИ С| = ... = С| = 0.

Б. Еліптичні оадачі для оагалышх систем рівнянь. Роаглянемо еліптичну граничну оадачу (1) у випадку, коли Ь(х, £)) - система Дугліса- Нірепберга порядку (Г,5) = 0і,...,ілг,3і,...,з//):

Цх, И)и := (ЬГ}(х, 0))г^„,...ци(х) = Лщ) (х Є в),

(19)

В{х,И)и := (ВдДх, £)))л......-и(г) = ф{х) (х Є дй \ М).

Тут огсі£г;- < зт + £у, якщо аг + ^ > 0,' і £,;- = 0, якщо аг + ^ < 0;

лі + • • • + Вц + £і + • • • + = 2т; £і > • • > > > 0 = в\ > ... > ац\

огсіЯд; < <7д + Є;, якщо ай + і; > 0, і Вц = 0, якщо сгд + < 0;

сі > ... > *гтї <і,. ..,^,^1,.. ■ .««, «Ті... .,<гт-оадані ділі числа. Крім того виажаеыо, що умови регулярності коефіцієнтів і межі такі ж, ях в пункті 1, і що оадача (19) ■ еліптична.

Теореми 3 і 4 - це аналоги Теорем 1 і 2 дня оадачі (%9).

6. Еліптичні оадачі трансмісії. Нехай Є Є ІД* - обмежена область, Г - її межа. Поверхня 7 росбпває С? на дві підобласті і Є2, дЪк - межа Є/,; 80к — 7иГі (к = 1,2). Поверхні Г і 7 можуть містити конічні точки, ребра. Множину ціж особливих точок поверхонь 7иГ нооначимо черео Мо, Г \ Мо Є С00, 7 \ Мо Є С°°. Нехай М = Мои(ГП7). В Сі оадані лінійні диференціальні вп« раопіі(х,/?) (огіС* = 2т*). На Г* \ М оадані граничні вираяп.

= 1,...,т*), ана7 - впраоп

В?к (огсіЩк - т®4, і = І,...,ри + та), к = 1,2. Вивчається еліптична оадача

£*(*,!>)«*(*) = /*(*) (*ЄС*;*=1,2),

Вцик(х)>= д^(х)(х€ Тк\М;Ь *з 1*2; і = 1,...,т*), (20)

Я?и := В?,иі(*) + В^,и3(*) = да/(а!) (а?Є7\М;і = 1,...,п»і + т3).

Починаючи о 60-х років о здачі трансмісії в класах достатпьо гладких фунхцій вивчались у роботах Ліоігсл, Шехтера, О, О. Ладя* ЖЕПОЬКОІ, О. А. ОЛЕЙШК, В. А. Ільїил,!. А. ШншмАРьрвл, М. В. Житарлшу - С. Д. Ейдельмлпл, Я. А* РОЙТВЕРГА - 0. Ґ.

Щефтеля, М. В. Жптлрашу, 3. Г. Шефтеля та інших. В повних шкалах бапахових просторів ці оадачі в областях о гладкими межами вивчено Я.А. Ройтбергом, Я.А. Ройтбергом - З.Г. Шефтелем, І.П. Ковалепком - Л.А. Ройтбергом.

Теореми 5 і 6 - де аналоги Теорем 1 і 2 для оадачі (20).

7. Застосування теорем.

7.1. Доведеш теореми можна оастосуватп для побудови і вивчення матриць Грі па рооглянутпх задач.

7.2. їх можпа оастосуватп для вивчепня рооглянутпх оадач о довільними степеневими особливостями в правих частинах. .

7.3. Вопи дозволяють вивчлтп клсіс роогляпутпх оадач о сильппм

виродженням. ■

Осповпі результати дисертації опубліковано в роботах:

{1] Ройтберг Б. Я., Задачи трансмиссии в областях с негладкими границами // д0п. Ш України. - 1996.- 1ёЗ. - G. 15-20.

[2J Ройтберг Б. Я, Ройтберг Я. А. Эллиптические оадачи е ие-- гладкими границами в псинь-х шкалах банаховых пространств // Успехи мат. наук. - 1994. - 49, М, - С.ІІІ.

[3] Roitberg В. Ya., Elliptic boundary value problems in non-smooth

domains in completes scales of Banacb spaces//Abstracts of International Conference on Functional Differential Equations and Applications, Moscow, Moscow State Av. Institute, 199frP- 7071.

[4] Ройтберг Б. Я., Ройтберг Я. А.. Эллиптические оадачи в не-

гладких областях // Уіф. мат. лурп.- 1995. - 47, £5. .

- С. 701-709.

[5] Ройтберг Б. Я., Ройтберг Я. А., Локальное повышение гладкости обобщенных решений глиптических граничных оадач в негладких областях // Докл. РАН. - 1995. - 345, ЯП.

- С. 175-178. '

[в] Ройтберг Б. Я., Ройтберг Я. А.. 9дтіпттескив грапичішеоа-дачц в негладких областях в полиш шхалах баиаховьіх про* страшств// Докл. РАН.'- 1996. - 346, Js4. - 0. 448-451.

[7j Roitberg Ya. A., Roitberg B. Ya. Elliptic and parabolic (local

and non-local) boundary value problems in non-smooth domains in complete scales of Banach spaces.-Book of Abstracts,-J). 61.

(8) Roitberg Ya. A., Roitberg B. Ya. Elliptic and parabolic (lo-

cal and non-local) boundary value problems in non-smooth domains in complete scales of Banach spaces//International Conference ”Non-linear Differential Equations*, Book of abstracts, Kiev, 1995.-p.140.

[Dj Ройтберг Б. Я. Про регулярність робл’ясш'в еліптичних оадач в иегладкох областях// Тези don. четвертої Мізкмародної наукової конференції ім. академіка М. Кравчука,-Київ} КПГ, 1995,-С. S06.

|10) Ройтберг Б. Я. Еліптичні оадачі в негладких областях в повних шкалах баааховнх просторів/Матеріали Ювілейної конференції з фізики та математики, присвяченої вО-річчм Чернігівського державного пед. інчяу, 199в,-С 7-8,

її

ОСНОВНІ результати роботи:

1. Встановлені теореми про локальне підвищення гладкості 1 про повний набір ізокорфізміз для .еліптичної задачі для одного рівняння в області з нвгладкою меяао.

2. Встановлені теореми про локальне підвидання гладкості 1 про повний набір Ізоморфізаіз для еліптичної задачі для системи структури Зугліса-Ніренберга в області з негладкою «еаво.

3. Встановлені теореми про локальне підвиеєння гладкості 1 пов-

кяа набір Ізоюрфізаіа для еліптичная задач трансмісії в областях з пегладкийй катами.

„ 12

Ройтберг Б. Si. Эллиптические граничные оадачи в областях с негладкими границами в полных шкалах банаховых пространств. Рукопись. Диссертация па соискание ученой степени кандидата фиопко-математичесхих паук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения.- НАН Украины, Институт математики, Киев, 1997 г.

1. Докапала теорема о локальном повышении гладкости вплоть

до гладких кусков границы обобщенных решений эллиптических гра-шічішх оадач для уравнения порядка 2т и для систем структуры Дуглиса-Нирепберга в областях с негладкими границами и для оадач трансмиссии. '

2. Доказана теорема о петеровости операторов рассмотренных оадач в.полной шкале банаховых пространств.

Теоремы о локальном повышении гладкости дают ответ па вопрос, поставленими В.А.Кондратьевым в 1992 г., теоремы о петеровости операторов в полных шкалах банаховых пространств - на вопрос, поставленный Ю. М. Береоанским.

Roitberg В. Ya. Elliptic boundary value problems in non-smooth domain? in complete scales of Banach spaces. Mafauscript. Thesis for a degree of candidate of science (Ph.D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02-DifTerential Equnations.- National Academy ol Science of Ukraine, Mathematical Institute, Kyiv, 1997.

1. Theorems on local increasing in smoothness up to the smooth parts of tho boundary of the generalized воіиііопз of elliptic boundary valus problems are proved for 2mth-order equation and for Douglia-Nirenbcrg elliptic systems in non-smooth domains, and for transmission problems.

2. Theorem on Noetherity of the'operator of the problem under consideration із proved in complete scales of Banadi spaces.

The question consenting with the theorems on ІоеаЗ increasing in smoothness waa formulated by V. A. Kondrafcjev (1992). The question consenting with Noetherity of the operators In complete scales of Banach spaces vzs formulated by Ya. M. Berezanskii.

Кетоні слова: Еліптична оадача в області о негладкою межею, Легальне шдвищенгш гладкості уоагаяьшяпх розв'язків, Нетсровість садачі в повних шкалах банахоотіх про сторін, ЇЬорема про повний набір івоиорфіошз.