Эволюционные уравнения в задачах идентификации динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. ЗАДАЧИ АПОСТЕРИОРНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ И ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРА

МЕТРАМИ.

§ I. Невырожденные квадратичные ограничения

1.1. Совместное квадратичное ограничение

1.2. Полувыроаденное совместное квадратичное ограничение.

1.3. Раздельные квадратичные ограничения

§ 2. Обобщенное совместное квадратичное ограничение^

2.1. Общие свойства решений. Нерегулярные сигналы.

2.2. Аппроксимация решений для регулярных сигналов.

2.3. Примеры.

2.4. Дискретный аналог задач наблюдения и идентификации для систем с обобщенным квадратичным ограничением

§ 3. Экстремальные сигналы.

3.1. Построение экстремальных сигналов

3.2. Восстанавливаемые системы

3.3. Задача о продолжении сигнала

Глава П. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИЯ

§ I. Эволюционные уравнения в задаче оценива ния весовой функции.

§ 2. Уравнения минимаксного фильтра в задаче оценивания состояния

2.1. Вывод уравнений минимаксного фильтра

2.2. Модельные примеры

§ 3. Эволюционные уравнения в задаче уточнения состояния системы.

3.1. Варьирование момента оценивания состояния системы.

3.2. Варьирование момента окончания измерений

§ 4. Эволюционные уравнения в задаче прогнозирования состояния системы

4.1. Варьирование момента оценивания состояния системы.

4.2. Варьирование момента окончания измерений

Глава Ш. АПРИОРНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЙ И ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ

СИСТЕМЫ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

§ I. Априорное оценивание состояния системы с неопределенными параметрами.

1.1. Постановка задачи

1.2. Принцип дуальности

§ 2. Сравнение априорных и апостериорных оценок

§ 3. Априорное решение задачи идентификации

В теории оптимальных процессов управления классическими стали такие фундаментальные результаты, как принцип максимума Л.С^ Понтрягина, метод динамического программирования Р.Беллмана, теория линейных систем управления, развитая в трудах Н.Н.Красовско -го, РЛСалмана, и другие. Характерной чертой этих исследований является то, что они направлены на изучение систем с точно заданными исходными данными. Однако математическая формализация значи -тельного числа прикладных задач управления приводит к рассмотре -нию систем с неполной априорной информацией, когда точные значе -ния параметров математической модели неизвестны. Так, например, входные воздействия, результаты допустимых измерений текущего положения системы и т.д. могут быть заданы неточно. Последнее привело к возникновению новых разделов теории управления - теории стохастического управления, теории дифференциальных игр и др.

Существенным моментом в развитии этих новых теорий явилась разработка методов позиционного управления [34, 36, 41, 58, 69, 81, 85] . Для систем с недоопределенными исходными данными пост -роение позиционных стратегий управления, как правило, требует решения задачи оценивания фазового вектора системы по текущим значениям допустимых измерению параметров системы. Представляет интерес также решение задачи идентификации, т.е. задачи уточнения значений параметров системы на основе результатов наблюдений. Указанные задачи имеют и самостоятельное прикладное значение. Они могут рассматриваться как обратные задачи математической физики [10, 54, 55 ], когда по неточно измеренному "движению" системы требуется восстановить значения исходных краевых или начальных данных, а также априорно неизвестных параметров системы, оценив тем самым параметры самой траектории системы.

В теории стохастического оценивания изучаются системы, неопределенная информация о которых описывается в рамках вероятност -ных схем [8, £3, 72, 76, 84, 88, 97] . Однако распространенными являются также ситуации, когда статистическая информация о неоп -ределенных величинах системы отсутствует, но априорно заданы об -ласти их допустимых значений. Задачи оценивания параметров и состояния системы в указанных информационных предположениях состав -ляют предмет теории идентификации и наблюдения в условиях неопределенности.

Рассматриваемые в работе вопросы изучаются в рамках минимаксного подхода к решению задач наблюдения, восходящего к исследо -ваниям Н.Н.Красовского [33, 34 ] . Дальнейшее развитие указанный подход получил в работах А.Б.Куржанского [44-48, 106, 108, 109] .

Суть минимаксного подхода к решению задач наблюдения и идентификации заключается в том, что разрешающая операция, определяющая правило обработки наблюдаемого сигнала, строится, исходя из принципа получения гарантированного результата в расчете на наихудшие возможные реализации возмущений в системе. Разрешающая операция может строиться либо заранее, на основе лишь априорной информации о неопределенных величинах системы, либо апостериорно, с учетом значений конкретного измеренного сигнала. В первом случае вне зависимости от реализации сигнала будет обеспечен некоторый гарантированный результат оценивания [34] , при этом говорят, что построена оптимальная операция априорного наблюдения (идентификации) для неопределенной величины системы. Во втором случае разрешающую операцию называют апостериорной, или позиционной операцией наблюдения (идентификации). Для построения последней вычисляется область, называемая информационной, которая содержит все те значения неопределенной величины, которые могли бы, реализовавшись в системе, породить данный измеренный сигнал [46 ] . По смыслу задачи информационное множество заведомо непусто. В качестве оптимальной оценки искомого параметра принимается наилучший в не -котором смысле элемент информационной области. Точность оценки при этом будет, естественно, зависеть от конкретной реализации сигнала.

Изучение адаптивных и позиционных управлений в системе, функ ционирующей в условиях неопределенности, может вызвать необходимость непрерывного оценивания параметров и состояния системы. В этом случае задачи наблюдения и идентификации должны рассматри -ваться в динамике. Особое значение в такой постановке приобретают эволюционные уравнения, описывающие динамику информационных областей и минимаксных оценок неопределенных величин системы [31, 46, 47, 53, 93, 108, 109, Пб] .

Различным аспектам задач минимаксного наблюдения и иденти -фикации посвящены работы [2, 4, 13, 17-21, 25-27, 32, 56, 62-64, 87, 103, 104, 115 ] .

Цель данной диссертационной работы составляет изучение за -дач гарантированного наблюдения и идентификации для линейных управляемых систем с неопределенной матричной весовой функцией.

Рассматривается система тсЬ = НсЪЯо +\Нс4

-т) ucndx, (i) о весовая функция НсЪ в которой является неизвестной,с наблюдаемым сигналом ул^) = й(Ъосс4) + ^ с4) (О^-ЫТ) (2) где ^ (Ъ - неопределенная помеха. Исследование указанной системы мотивировано тем, что математической моделью широкого класса физических процессов является система линейных дифференциальных уравнений с неопределенной матрицей, непосредственное наблюдение фазового вектора которой невозможно, но доступна измерению вели -чина вида (2).

Ранее система (Г), (2) рассматривалась, например, в работах А.Б.Курканского [108, 109] в связи с решением задач об эволюционном описании информационных областей состояний систем линейных дифференциальных уравнений с неопределенно заданной матрицей. Такая система изучалась также в работах А.И.Исакова [20, 21] , где было получено решение задачи оценивания весовой функции при сов -местном интегральном ограничении на неопределенные параметры системы.

В настоящей работе рассматриваются следующие вопросы.

В задачах наблюдения и идентификации для системы (I), (2) с различными априорными квадратичными ограничениями приводится описание информационных областей состояний и весовых функций при данных результатах измерений. При специальном виде входных воздействий в системе и априорном ограничении на неопределенные .величи -ны, заданном в виде совместного квадратичного невырожденного неравенства, построены эволюционные уравнения информационных областей состояний и эволюционные уравнения для минимаксной оценки весовой функции в задачах фильтрации, уточнения и прогнозирования. Изучаются экстремальные свойства сигналов и свойство восстанавливаемости системы в задачах апостериорного наблюдения и идентификации. Исследуются также свойства оптимальных разрешающих операций в задачах априорного оценивания состояния и весовой функции системы с неопределенными параметрами по результатам доступных измерений при геометрических ограничениях на неопределенные параметры системы.

Результаты работы по исследованию задач позиционного наблю -дения и идентификации применимы к задачам позиционного и адаптивного управления системами с неопределенными параметрами. Выведенные эволюционные уравнения могут быть использованы при изучении и моделировании различных физических и биологических процессов. Полученные в работе соотношения позволяют также оценивать разброс траекторий систем с неопределенными параметрами по данным измерений.

Тематика данной работы тесно примыкает к исследованию новых классов задач гарантированного наблюдения и идентификации. В ней развиваются идеи и методы работ [46, 108, 109] .

Изложим содержание диссертации и основные результаты. Весь материал работы разделен на три главы.

Первая глава (§§ 1-3) посвящена задачам апостериорного наблюдения и идентификации линейных систем с неопределенной весовой функцией,

В § I изучаются невырожденные квадратичные ограничения на неопределенные величины.

В пункте 1.1 приведены постановки задач оценивания весовой функции и состояния системы по результатам измерений для системы (I), (2) с совместным априорным квадратичным ограничением на неопределенные величины Н(1) и ^ (Ъ : - т

О о

О < А < г = пгалс 1аТ}

Такое ограничение названо невырожденным совместным квадратичным ограничением. Здесь 1-1 - а^-мерный вектор, полученный из п*Ю -матрицы И с!о расположением ее столбцов один под другим, начиная с первого. Матрицы - положительно определенные, симметрические. Задача заключается в том, чтобы по сигналу ( 04-к ¿Т) оценить весовую функцию и вектор ТШ в системе (1)-(3). В этой задаче различают три ситуации: (задача фильтрации), (задача уточнения), задача прогнозирования). Для нахождения по сигналу ^т^ оптимальной оценки весовой функции системы строится информационное множество весовых функций ¿К (-#1|т (О), состоящее из всех тех элементов { Н^, Н<0 ¡¡е £ ^ * £ Ю, 1], для которых найдется такая функция ^ (О 6 е Ь^СоД], что будут выполнены условия — г — т

Н^РНЛ ^Нс^Л/сЬНсЪЛк+Ь'^МсЬ^сй: ¿х

О о Сс-ЬоссЪ-н £ (40 при почти всех -к е [0,Т] ; оссь^хс!, Но^ - траектория системы (I), отвечающая функции И СО , а нахождение оптимальной оценки вектора Х(е) основано на построении информационного множества состояний X 1|т0У) -совокупности всех тех векторов СС е > для каждого из которых найдется такой элемент I Ме,, Н сл 1 £ , что будет выполнено равенство ос = 1-й Хо + ] Н (а-тжсОсЖ*:. о

Показано, что множества ЗДсй^ОУ) и X (&,уг0\) суть ограниченные эллипс оиды: <Нсо-Нк Л (Псо-Н°со)> ос- х°, РЛ ос- х")") ^ X

Центр эллипсоида есть элемент 10, Noj , в котором функция H с-Ь определяется из уравнения Фредгольма второго рода с симметричным неотрицательным ядром, а центром эллипсоида

10

ОС является вектор = \ M (fl-ïDuractt . Установлено также, что задача прогнозирования, т.е. случай $ >Т , эквивалентна некоторой задаче фильтрации. i

Б пункте 1.2 показано, что результаты исследования задач оценивания весовой функции и состояния в системе (1)-(3), полу -ченные в пункте I.I, справедливы и при предположениях, что в неравенстве (3) R>0 , |\/cb>0 , АД с 4y>0.

В пункте 1.3 рассмотрены задачи оценивания весовой функции и состояния для системы (I), (2), когда априорное ограничение на неопределенные величины задано в виде раздельных квадратичных неравенств:

H fbv) s t

П^А/сЪ НокмЛ-и 0 о ц в которых матрицы R , 1\/сЬ и N\(b -положительно определенные.

В этой задаче строится процедура аппроксимативного описания множеств ЗДс^^СЛ} и с помощью решений задач оценивания весовой функции и состояния системы (I), (2) по тому же сигналу ^т^ « но Уже ПРИ совместном невырожденном ограничении на неопределенные величины.

В § 2 изучаются задачи оценивания весовой функции и состояния системы (I), (2) по сигналу при априорном ограничении ч, т

Ни»,13 Нее)) + $1\/с4,г> У1 г-тт , когда каждое из трех слагаемых в левой части неравенства (4) -неотрицательная квадратичная форма на соответствующем пространстве Ограничение такого вида названо обобщенным квадратичным ограничением.

Для описания множеств (£,1^.(0) и ОС у,т6У) , которые в данной задаче уже , вообще говоря, не являются ограниченными, здесь применяется подход, аналогичный методу регуляризации, используемому для решения некорректных задач [14, 15, 791

В пункте 2.1 доказано, что множество весовых функций, совместимых с реализацией , представимо в виде — = ^М. 2 и^с-У} ® X , где X - линейное подпространст

2. 7. во в х В зависимости от сигнала » множе ство !34 ^ (й^С-Я либо имеет непустую относительную внутренность (соответствующие сигналы названы регулярными), либо состоит из одной точки (нерегулярные сигналы). В последнем случае информационные множества получены в явном виде.

Для регулярных сигналов в пункте 2.2 изучается аппроксимация множеств Л и ОС (Л) решением вспомогательных задач наблюдения и идентификации в системе (I), (2) с априорным ограничением

0 0 о г-, - (5)

ЧЙсе^НтЬ к\$Нс4^Нс4^оЦ Ьо. о

Показано, что при достаточно малых значениях параметра & множества и,тс-У) и Ц/т ОА - информационные множества весовых функций и состояний б системе (I), (2), (5), совместимых с сигналом, - непусты, и для всех £ ^ К"' и £ К11 * х ЮД] справедливы соотношения рик*,1<со1 с^слО = (л-т рс е I ОС им^соУ) - 1гпг р с и ос к . 1 '

В пункте 2.3 обсуждается ряд ситуаций в задачах оценивания весовой функции и состояния в системе (I), (2), (4), когда множество с1 X является эллиптическим цилиндром.

Сравнительному анализу решениц задач апостериорного наблюдения и идентификации для систем с неопределенной весовой функцией при непрерывном и дискретном времени посвящен пункт 2.4.

В § 3 изучаются некоторые экстремальные свойства сигналов и информационных областей в задачах наблюдения и идентификации систем с неопределенными параметрами.

Рассматривается множество £ ! ™ [0,Т 1 - совокупность всех сигналов * которые только и могут реализо ваться в системе (I) - (3). Устанавливается, что диаметры множеств и X (£Л1|,Т(-У) , как функционалы на У , одновременно принимают свои экстремальные значения. Сигналы, для которых диаметр множества Xявляется наибольшим или наименьшим среди всех информационных областей состояний, отвечающих сигналам б ^ , названы экстремальными (или со -ответсвенно наибольшими и наименьшими ъ У ) сигналами. В пункте ЗД получено описание экстремальных сигналов в У

В пункте 3.2 изучаются восстанавливаемые системы вида (I) -(3), Приведены необходимые и достаточные условия для того, чтобы по сигналу со можно было восстановишь значения реализовавшейся в системе (I) весовой функции Нс-1) при 4: и при почти всех -к б Со,

В пункте 3.3 рассматривается задача о продолжении сигнала. По условиям этой задачи сигнал, реализовавшийся в системе (I) -(3), когда $ - Т , предполагается известным не полностью, а лишь на промежутке -Ь^ Т (г ^ >и это есть фунКцИЯ

0) . Требуется построить функцию , & , которая, если ее рассматривать как продолжение имеющейся реализации г ел , определит сигнал со в системе (I) -(3), для которого диаметры информационных множеств ЗД (3, у,теУ> и X сд, - наибольшие из возможных. Установлено, что функция р*сЬ с указанными свойствами существует, единственна, и найдена формула для вычисления ее значений.

В главе П (§§ 1-4) задачи оценивания весовой функции и состояния в системе (1)~(3) по результатам измерений рассматриваются в динамике. В предположении, что управляющее воздействие в системе (I) - функция и (4) - удовлетворяет специальному условию и. -- Си , и (о) = и0 С6) где С - матрица с постоянными коэффициентами, получены дифференциальные уравнения для функции Нс-дТ), а также для параметров эллипсоида ОСс^^сУ) : вектора х°(£,Т) , матрицы Р(0,~Г) и скалярной величины х2 (Т).

В начале главы доказана теорема, на основе которой устанавливается правомерность всех выполняемых далее операций дифференцирования.

-- О | !

В § I получено описание эволюции элемента И (•, Т ) в задаче фильтрации. Установлено, что если матрица в условии (б) является диагональной, то указанная функция определяется из некоторой системы уравнений в частных производных. Пока зано, как эти уравнения применяются к исследованию динамики фу— ° m нкции И в задачах уточнения и прогнозирования.

В § 2 строятся уравнения минимаксного фильтра. Показано, что динамика величин , Р С А) и ^i-dï на промежутке

0<t ^ -íi описывается интегро-дифференциалъными уравнениями. При условии (б) указанные величины определяются из системы дифференциальных уравнений. В частном случае эти уравнения были ранее получены в работе [ 108 ] .

В пункте 2.2 описаны результаты расчетов с помощью уравнений минимаксного фильтра для модельных примеров.

В последующих двух параграфах данной главы выводятся эво -люционные уравнения величин X в задачах уточнения (§ 3) и прогнозирования (§ 4). Для каждой из указан -ных задач получены две системы уравнений, описывающих динамику величин и Р U,Т) по # и по Т соответсвенно.

Динамика величины #а(Ъ в задачах уточнения и прогнозирования описывается теми же самыми уравнениями, что и в задаче фильтрации.

Глава Ш (§§ 1-3) посвящена задачам априорного наблюдения и идентификации для системы (I), (2) при геометрических ограничениях на неопределенные параметры системы. Здесь используются ре -зультаты и методы [ 46; § 9 ] .

В § I приведена постановка задачи об априорном оценивании Z -вектора \ » L Xíb) в системе (1),(2) по наблюдаемому сигналу, под которым здесь понимается элемент 6 R™"* * L^ LO.tf] , где = ОСС^ + ^ , ^ припжвж { б[01£]

Априорное ограничение на неопределенные величины [ И^ ^ Н со ] и имеет вид:

Н с-Ь £ (3 с-Ь при п.в.

НИ $ '■> ч ^ - й*^ №~ сЪ^Вс-!:) при п.в. 4:6 Ю^], б 5 О) , = - Бс4>.

В классе операций (ш'^цсЬсИ , ставящих в соответствие сигналу ^ 1 -вектор » тре буется построить оптимальную операцию V , доставляющую по каждому сигналу ^ величину Н^Сир » наименее уклоняющуюся от истинного значения параметра =■ .

Б пункте 1.1 установлено, что если множество °\\Г является птх.г , тхл. , , слабо компактным в пространстве К * 1.0,Я.) , то оп тимальная разрешающая операция существует.

В пункте 1.2 для случая г = 1 , й (4) = 1о} показано, что задача минимаксного наблюдения скалярной величины 1 эквивалентна некоторой задаче оптимального управления на мини -мум фазового ограничения, и описаны свойства оптимальной разрешающей операции г> 0 о *

В § 2 проводится сравнение величин с и о (ус^-наибольших ошибок при оценивании вектора при априорном и апостериорном способах построения разрешающих операций. Установлено, что если ОСо - о , X = i и Н tb - 0 , то для всех сигналов выполнено неравенство e*(yTofl * б*«» ¿ 6°

Показано, что существует вектор R такой, что велиг» О 0 с чина о - гарантированный результат оценивания скалярной ве -личины Li ОССV) при априорном способе построения разрешающей операции и величина 8* ((У) - наибольшая ошибка при ano -стериорном оценивании параметра по нулевому сигналу совпадают.

В § 3 изучаются свойства решения задачи априорного оценива -ния в системе (I) с ОС0-0 и весовой функции И (о и скалярного параметра У" = <Хо), Н(о> .

Библиография к диссертации содержит 118 наименований. В нее включены известные автору работы, имеющие непосредственное отношение к теме данного исследования.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах отдела оптимального управления Института математики и механики УНЦ АН СССР (руководитель семинара - член-корреспондент АН СССР А.Б.Куржанский) и на семинаре в Институте проблем механики АН СССР (руководитель семинара - профессор Ф.Л.Черноусько) и опубликованы в работах [73-75] .

В работе используются обозначения:

R* - евклидово пространство ^ -мерных вектор-столбцов;

II'II - евклидова норма элементов из R^ ;

• i 0 - скалярное произведение векторов в R* ;

0,Т] - гильбертово пространство п-векторных функций, интегрируемых с квадратом на 110 ,Т] ; II • Ни - норма элемента пространства ^[оГГ] ;

•„•?■ - скалярное произведение в [Д [0,Т] ; II • II* - норма линейного ограниченного оператора, действующего в [Д [ О Т ] ; Ей. - единичный оператор в 13' п и

А'

Г ®

- единичный оператор в 1Г^[0,Т ]

-для (ихи.) -матрицы И это есть и, -мерный вектор, полученный из матрицы Н расположением ее столбцов один под другим, начиная с первого;

- матрица, транспонированная к А ;

- оператор, сопряженный к Jt ;

- оператор кронекеровского произведения матриц [81] ; р U IX ) = sup I dx) I ос 6 X ) - опорная функция [ 71 ] множества ОС

1. Гусев LI.И., Куржанский А.Б. О ситуациях равновесия в многокритериальных игровых задачах.- Докл. АН СССР, 1976, т.229, Ш 6, с.1295--1298.

2. Иванов А.П., Кирин Н.Е. К методам наблюдения линейных возмущаемых систем.- Дифференц.уравнения, 1974, т.Ю, й 5, с.788--791.

3. Иванов В.К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода.- Дифференц.уравнения, 1967, т,3, №3, с.410-421.

4. Иванов ВЛС., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.- М.: Наука, 1978.- 206 с.

5. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.- МЛ Наука, 1974.- 479 с.

6. Исаков А.И. О двойственных соотношениях в задачах идентификации и наблюдения.- Автоматика и телемеханика, 1975, № 8,с.167-170.

7. Исаков А.И. Об оценке весовых функций линейных управляемых систем по результатам измерений.- Тр. ИММ УНЦ АН СССР, 1979, вып. 30. Оптимальное управление в динамических системах,с.26-33.

8. Исаков А.И. Об оценке весовых функций линейных управляемых систем по результатам измерений, П.- Тр. ИММ УНЦ АН СССР,1980, вып.31. Оптимальное управление системами с неопределенной информацией, с.20-25.

9. Исаков А.И. Некоторые задачи квадратичной идентификации для линейных дискретных систем.- Прикл.математика и механика,1981, т.45, вып.2, с.241-248.

10. Исаков А.И. Задачи идентификации динамических систем с неопределенными параметрами: Дисс.канд.физ.-мат.наук Свердловск,1982,- III с.

11. Калман P.E. Об общей теории систем управления.- В кн.: Тео -рия дискретных оптимальных и самонастраивающихся систем.- М.: Изд-во АН СССР, 1961, с.521-547.

12. Калман., Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.- М.: Мир, 1971.- 400 с.

13. Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1977.- 741 с.

14. Кац И.Я., Куржанский А.Б. О двойственности статистических задач оптимального управления и наблюдения.- Автоматика и телемеханика, 1971, № 3, с.12-21.

15. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаго -вых системах.- Докл. АН СССР, 1975, т.221, Ш 3, с.535-538.

16. Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г., Навродский В.О. Минимаксные рекуррентные оценки параметров динамических систем.- Докл. АН СССР. А, 1978, Ш IX, с.1021-1025.

17. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: ИЛ, 1958.- 474 с.

18. Колмановский В.Б., Черноусько Ф.Л. Оптимизация помех при на -блюдении за динамической системой.- Изв. АН СССР. Тех.кибер -нетика, 1972, № 2, с.170-176.

19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1981.- 542 с.

20. Кощеев A.C. Об оценивании состояния управляемых систем в условиях неопределенности.- Дифференц.уравнения, 1977, т.13, № 12, с.2168-2179.

21. Кощеев A.C., Куржанский А.Б. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности.- Изв. АН СССР, Техн.кибернетика, 1983, № 4, с.72-93.

22. Красовский H.H. К теории управляемости и наблюдаемости линей -ных динамических систем.- Прикл.математика и механика, 1964, т.28, вып.1, с.3-14.

23. Красовский H.H. Теория управления движением.- М.: Наука, 1968^- 475 с.

24. Красовский H.H. Игровая задача о коррекции движения.- Прикл. математика и механика, 1969, т.ЗЗ, вып.З, с.386-396.

25. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений.- М.: Наука, 1970.- 420 с.

26. Красовский H.H. Об управоении при неполной информации.- Прикл. математика и механика, 1976, т.40, вып.2, с.197-206.

27. Красовский H.H. О дифференциальных эволюционных системах.-Прикл. математика и механика, 1977, т.41, вып.5, с.774-782.

28. Красовский H.H. Задача об управлении в условиях неполной информации.- Прикл. математика и механика, 1984, т.48, вып.4, с.533-539.

29. Красовский H.H., Осипов Ю.С. Задача управления с неполной информацией.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1973, № 4, с.5-14.

30. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры.- М.: Наука, 1974.- 456 с.

31. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе.- Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1983,2, с.51-60.

32. Куржанский A.B. О построении методом моментов оптимального управления, минимизирующего среднеквадратичную ошибку.- Автоматика и телемеханика, 1964, № 5, с.624-630.

33. Куржанский А.Б. О двойственности задач оптимального управле -ния и наблюдения.- Прикл.математика и механика, 1970, т.34, вып.З, с.429-439.

34. Куржанский А.Б. К теории позиционного наблюдения. Общие соотношения.- Изв.АН СССР. Техн.кибернетика, 1973, № 5, с.20-31.

35. Куржанский А.Б., Управление и наблюдение в условиях неопределенности.- М.: Наука, 1977.- 392 с.

36. Куржанский А.Б. Информационные множества управляемых систем.-Дифференц.уравнения, 1977, т.13, № II, с.1957-1965.

37. Куржанский А.Б. Об информационных множествах управляемой системы.- Докл. АН СССР, 1978, т.240, № I, о.14-17.

38. Куржанский А.Б. Об адаптивном управлении в механических системах.- Теорет. и прилож.механика. София, 1978, т.9, кн.2,с.28-31.

39. Куржанский А.Б. Динамические задачи принятия решений в условиях неопределенности.- В кн.: Современное состояние теории исследования операций. М.: Наука, 1979, гл.7, с.197-235.Оптимизация и исследование операций).

40. Куржанский А.Б., Никонов О.И. Оптимальное управление ансамблем траекторий.- В кн.: Игровые задачи управления: Сб.статей/ АН СССР, УНЦ, ИММ. Свердловск, 1977, с.53-67.

41. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. Об оптимальном управлении при стесненных координатах.- Прикл.математика и механика, 1969, т.33, вып.4, с.705-719.

42. Куржанский А.Б., Пищулина И.Я. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях. I-Ш.- Дифференц.уравнения, 1976, т.12, Ш 8, с.1434-1446; Ж 9, с.1568-1579; № 12, с.2149-2158.

43. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.- М.: Наука, 1980.286 с.

44. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения.-М.: Мир, 1970.- 336 с. ■

45. Леонов Ю.П. Метод наименьших квадратов в задачах идентификации динамических систем.- Докл.АН СССР, 1971, т.198, № I,с.64-67.

46. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление.- М.: Наука, 1966.- 176 с.

47. Ли Э.-Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. -М.: Наука, 1972.- 574 с.

48. Лионе К.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.- М.: Мир, 1972.- 414 с.

49. Мелешко В.И. Фильтрация и идентификация стохастических систем управления с использованием квазиобращений.- Кибернетика, 1980, № 5, с.130-140.

50. Наконечный А.Г., Григорьев A.B. Минимаксная фильтрация для систем с помехами внутри модели.- Вычисл. и прикл.математика.Респ.межвед.сб., 1979, вып.38, с.152-159.

51. Никольский М.С. Идеально наблюдаемые системы.- Докл. АН СССР,1970, т.191, Ш 6, с.1224-1227.

52. Никольский М.С. Об идеально наблюдаемых системах.- Дифференц. уравнения, 1971, т.7, № 4, с.631-638.

53. Никонов О.И. О сочетании процессов управления и наблюдения в задачах игрового уклонения движения.- Дифференц.уравнения, 1977, т.13, Ш 7, с.1053-1060.

54. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. О динамическом решении операторных уравнений.- Докл. АН СССР, 1983, т.269, № 3, с.552-556.

55. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.- М.: На^ка, 1965.- 127 с.

56. Покотило В.Г. Об асимптотических свойствах минимаксных оценок при случайных возмущениях.- Докл. АН СССР, 1982, т.264, Ш 5,с.1084-1086.

57. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Адаптивные алгоритмы оценивания (сходимость, оптимальность, стабильность). Автоматика и телемеханика, 1979, 3, с.71-84.

58. Понтрягин JI.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.: Наука, 1983.- 392 с.

59. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. О задачах наблюдения в дискретных системах.- Прикл.математика и механика, 1981, т.45, вып.Х, с.3-10.

60. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.- М.: Мир, 1973.- 469 с.

61. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления.- М.: Наука, 1974.- 246 с.

62. Сивергина И.Ф. Об оценивании состояния системы с неопределенными параметрами при интегральном квадратичном ограничении общего вида. Свердловск, Ин-т математики и механики УНЦ АН СССР, 1984.- 25 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 24 мая 1984 г.,Ш 3398-84 Деп.

63. Сивергина И.Ф. Эволюционные уравнения в задаче идентификации систем с квадратичными ограничениями.- В кн.: Эволюционные системы в задачах оценивания. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985,с.77-84.

64. Сивергина И.Ф. Об эволюционных уравнениях в задаче оценивания травкторий систем с априорными квадратичными ограничениями на неопределенные параметры.- Автоматика и телемеханика, 1985,Ш I, с.84-94.

65. Современные методы идентификации систем/ П.Эйкхофф.- М.: Мир, 1983.- 400 с.

66. Субботин А.И., С убботина H.H. К вопросу обоснования метода динамического программирования в задачах оптимального управления.- Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, Х983, № 2, с.24-32.

67. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления.- Докл. АН СССР, 1965, т.162, № 4, с.763-765.

68. Тихонов А.Н., Ароенин В.Я. Методы решения некорректных за -дач.- М.: Наука, 1974.- 224 с.

69. Трикоми Ф. Интегральные уравнения.- М.: ИЛ, I960.- 299 с.

70. Уоэм У.М. Линейные многомерные системы управления: геометрический подход.- М.: Наука, 1980.- 375 с.

71. Филиппова Т.Ф. Минимаксная задача программного управления при связанных ограничениях.- Тр. ИММ УНЦ АН СССР, 1979, вып.30, Оптимальное управление в динамических системах, с.87-108.

72. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального ис -числения.- М.: Наука, 1969.- 607 с.

73. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации.- М.: Наука, 1984.- 320 с.

74. Ченцов А.Г. Об игровой задаче, сходящейся в заданный момент времени.- Мат.сб., 1976, т.99, Ш 3, с.394-420.

75. Черноусько Ф.Л. Об оптимизации процесса наблюдения.- Прикл. математика и механика, 1969, т.33, Ш I, с.101-111.

76. Черноусько Ф.Л., Овсеевич А.И.,Клепфиш Б.Р., Трущенков В.Л.Эллипсоидальное оценивание состояния управляемых динамическихсистем.- М»: 1983.- 52 с. (Препринт/ АН СССР, Ин-т проблем механики; № 224).

77. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.- М.: Мир, 1975.- 688 с.

78. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.-М.: Мир, 1979.- 399 с.

79. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений.-М.: Наука, 1976.- 416 с.

80. Barmish B.R., Blume L.L., Chikte S.D. Robustness of systems with uncertainties in the input.- J. Math. Analysis & Appl., 19S1, vol.84, no.1, p.208-234.

81. Basar Т., Mintz M. Minimax terminal state estimation for linear plants with unknown forcing functions.- Intern. J. Control, 1972, vol.16, no.1, p.49-70.

82. Bertsekas D.P., Rhodes I.B. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty.- IEEE Trans. Automat. Control, 1971, vol.16, no.2, p.117-128.

83. Bucy R.S., James W.P. Adaptive finite time filtering.- IEEE Trans. Automat. Control, 1962, vol.7, no.4, p.10-19.

84. Catlin D.E. The independence of forward and backward estimation errors in the two-filter form of the fixed interval Kalman smoother.- IEEE Trans. Automat. Control, 1980, vol. 25, no.6, p.1111-1114.

85. Chandrasekharan P.C. Observability and decoupling.- IEEE Trans. Automat. Control, 1971, vol.16, no.5, p.482-484.97* Davis M.H.A. Linear estimation and stochastic control.-Hew York: Wiley, 1977.- 224 p.

86. Palb Р.Ъ., Wolovich W.A. Decoupling in the design and synthesis of multivariable control systems.- IEEE Trans. Automat. Control, 1967, vol.12, no.6, p.651-659.

87. Pogel E. System identification via membership set constraints with energy constrained noise.- IEEE Trans. Automat. Control, 1979, vol.24, no.5, p.752-758.

88. Praser D.C., Potter J.E. The optimum linear smoother as a combination of two optimum linear filters.- IEEE Trans. Automat. Control, 1969, vol.14, no.4, p.387-390.

89. Kalaba R.E., Zagustin E.A. Estimation of state and system parameters.- J. Franklin Inst., 1978, vol.306, no.2, p. 191-193.

90. Kalman R.E. On a new approach to filtering and prediction problems.- Pap. Amer. Soc. Mech. Eng., 1959» no.IRD-11. 39 p.

91. Kurzanskii A.B. On minimax control and estimation strategies under incomplete information.- Probl. Control & Inform. Theory, 1975, vol.4, no.3, p.205-218.

92. Kurzanskii A.B., Gusev M.I. Multicriterial game-theoretics problems of control for systems with incomplete information.- In: Link Sci. and Appl. Automat. Control: Proc. 7th Trienn World Congr. IFAC, Helsinki, 1978.Vol.2. Oxford, 1979, p.1041-1048.

93. Kurzanskii A.B. Dynamic control system estimation under uncertainty conditions.I.- Probl. Control & Inform. Theory, 1980, vol.9, no.6, p.395-406; II.- 1981, vol.10, no.1, p.33-42.

94. Kurzanskii A.B. Estimation of control system dynamics under uncertainty in parameters and inputs.- In: 8th IFAC Congr., Kyoto, 1981.Vol.6. S.I., s.a., p.V158-Vl64.

95. Igung L. Asymptotic behavior of the extended Kalman-filter as a parameter estomator for linear systems.- IEEE Trans. Automat. Control, 1979, vol.24, no.1, p.36-50.

96. Mayn D.Q. A solution of the smoothing problem for linear dynamics systems.- Automatica, 1966, vol.4, p.73-92.

97. Mehra R.K. Optimal inputs for linear system identification.-IEEE Trans. Automat. Control, 1974, vol.19, no.3, p.192-200.

98. Mehra R.K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems: Survey and new results.- IEEE Trans. Automat. Control, 1974, vol.19, no.6, p.753-768.

99. Rissanen J. Recursive identification of linear systems.-SIAM J. Control, 1971, vol.9, no.3, p.420-430.

100. Schlaepter P.M., Schweppe F.C. Continuous-time estimation under disturbances bounded by convex set.- IEEE Trans. Automat. Control, 1972, vol.17, no.2, p.197-205.

101. Schweppe i\C. Recursive state estimation: Unknown but bounded errors and system inputs.- IEEE Trans. Automat. Control, 1968, vol.13, no.2, p.22-28.

102. Usoro P.B., Schweppe F.C., Gould L.A., Wormley A. Lagrange approach to set-theoretic control synthesis.- IEEE Trans. Automat. Control, 1982, vol.27, no.2, p.393-399.