Фазовые переходы в жидкости: описание в рамках статистической модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правахрукописи

КАТКОВ НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ЖИДКОСТИ: ОПИСАНИЕ В РАМКАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Специальность 01.04.07. - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ 2004

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Научный руководитель: кандидат ф.-м. н., доцент

Сон Леонид Дмитриевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор ф.-м. н., профессор Мирзоев Александр Аминулаевич

кандидат ф.-м. н., ст. научн. сотр. Юрьев Анатолий Аркадьевич

Институт химии твердого тела УрО РАН

Защита состоится 06 декабря 2004 г. в 16-00 часов на заседании специализированного совета К 212.285.01 при Уральском государственном техническом университете, 5-ый учебный корпус, в ауд._.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УГТУ.

Отзыв на автореферат в одном экземпляре с подписью составителя, заверенный печатью организации, просим отправлять по адресу: 620219, г. Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26, УрГПУ, физический факультет, кафедра теоретической физики, Каткову Н.Н.

Автореферат разослан 04 ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.И. Токманцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

К настоящему времени существует большое количество экспериментальных данных, подтверждающих наличие структуры в жидкости. К ним относятся рентгеноструктурные исследования жидкого состояния, которые показали, что пространственное распределение частиц в жидкости не является полностью беспорядочным: обнаруживаются корреляции в расположении ближайших частиц, а также наблюдаются некоторые предпочтительные расстояния между частицами.

В дальнейшем, при изучении структурно-чувствительных физических свойств жидкости - вязкости, плотности, электропроводности и т.п. - на их зависимостях от температуры были обнаружены различные аномалии (скачки и перегибы) [1]. Это указывало на возможность существования жидкости, по крайней мере, в двух структурных модификациях. Позже это было подтверждено, однако, вопрос о том, происходит ли при этом фазовый переход 1-го рода, долгое время оставался дискуссионным.

Ряд сравнительно недавних исследований подтверждает не только существование структуры в жидкости, но и ее «экстремальное» проявление - фазовые превращения в жидкости. Это установлено для широкого класса простых веществ под высоким давлением [2]. При этих переходах наблюдаются резкие изменения таких свойств жидкости, как плотность, теплоемкость и электропроводность. На фазовых диаграммах при этом присутствуют фазовые переходы двух типов: плавление и резкое изменение локальной структуры в системе.

Итак, накопленные экспериментальные данные требуют адекватного теоретического описания жидкого состояния. Традиционные модели, не смотря на значительные успехи в описании ряда свойств жидкости, имеют и определенные ограничения. Для одних моделей эти ограничения связаны с серьезными вычислительными трудностями, как в методе интегральных уравнений. Другие модели, основанные на предположении о квазикристалличности жидкости, описывают жидкость только в достаточно узком температурном интервале вблизи линии плавления и теряют предсказательные свойства с повышением температуры.

Таким образом, необходима универсальная модель, позволяющая описать как плавление, так и структурные переходы в жидкости. В этой модели должны быть введены параметры, характеризующие структуру жидкости, а также понятие о связности структурных элементов жидкости. Наиболее удачной в этом аспекте является модель А.З. Паташинского [3].

Есть основания предполагать, что ее можно распространить и на и структурные переходы в жидкости. В этом случае появится единый подход к описанию фазовых превращений в веществе.

Цель работы:

Целью работы является описание механизмов фазовых переходов в кристаллических и жидких веществах в рамках единого подхода, основанного на формализме представлении локальных состояний конденсированного вещества. В соответствие с этим были поставлены следующие задачи:

• определить расчетные параметры модели в рамках единой теории;

• провести проверку модели путем расчета бинарных фазовых диаграмм для известных систем, и сравнить с результатами, полученными ранее;

• провести расчеты фазовых диаграмм для простых веществ S) в переменных температура-давление;

• получить фазовую диаграмму углерода в переменных температура-давление и сравнить ее с экспериментом и данными молекулярно-динамического моделирования;

• описать бинарные фазовые диаграммы для чистых веществ с полиморфизмом, где вместо давления используется другой способ термодинамического воздействия - изменение концентрации примеси.

Научная новизна

В данной работе получены следующие новые результаты:

• рассчитаны диаграммы состояния для простых веществ S) в переменных температура-давление и получено хорошее согласие с экспериментом;

• рассчитана фазовая диаграмма углерода в переменных температура-давление;

• предсказаны новые типы бинарных фазовых диаграмм для веществ с полиморфизмом с добавлением примеси и сделаны предположения о классах веществ, относящихся к данному типу.

Практическая ценностьработы

• предложена сравнительно простая методика расчета бинарных фазовых диаграмм;

• впервые в рамках единой модели рассчитана фазовая диаграмма углерода, уточнено положение тройной точки жидкость-графит-алмаз, а также рассчитано продолжение линии перехода графит-алмаз в жидкости.

Назащиту выносятся:

Методика расчета бинарных фазовых диаграмм с использованием одного подгоночного параметра.

расчетные фазовые диаграммы для простых веществ S) в переменных температура-давление;

расчетная фазовая диаграмма для углерода, на которой предсказано возможное положение линии перехода графит-алмаз в жидкости, а также уточнено положение тройной точки жидкость-графит-алмаз;

новые типы бинарных фазовых диаграмм для веществ с полиморфизмом с добавлением примеси;

описание механизмов фазовых переходов в кристаллических и жидких веществах.

Апробациярезультатов работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

1. L.D. Son, G.M. Rusakov, N.N. Katkov Calculation ofbinary phase diagrams, Abstract of 11-en International Symp. "Thermodynamics of Alloys", Roma, Italy, 2002, p. 58.

2. H.H. Катков Фазовые переходы в расплавах простых веществ под давлением, V Уральская школа-семинар металловедов - молодых ученых, Екатеринбург 2003, сборник тезисов.

3. N.N. Katkov, L.D. Son, G.M. Rusakov, V.E. Sidorov New types of the binary phase diagrams, Abstract Book of 12-th International Conference on Liquid and Amorphous Materials, Metz, France, July 2004, p. 45.

4. H.H. Катков, Л.Д. Сон, Г.М. Русаков Новые типы бинарных фазовых диаграмм, Труды XI Российской конференции «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов», Екатеринбург 2004, том I, с. 74-78.

5. Л.Д. Сон, Г.М. Русаков, Н.Н. Катков Термодинамика плавления двойных систем с ограниченной взаимной растворимостью, Научные труды Международной конференции Эвтектика-6, Запорожье, Украина, 2003, с. 90-92.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 4 работы, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объемработы

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы. Она изложена на 107 страницах, включая 30 рисунков. Список цитированной литературы содержит 88 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, ее научное и практическое значение, сформулированы цели и задачи работы, дана краткая характеристика основных разделов диссертации.

Первая глава включает 3 раздела и посвящена анализу современных экспериментальных исследований структуры жидкости.

В первом разделе приводится обзор экспериментов, посвященных свойствам и строению жидкостей. В качестве примера приводятся исследования практически значимых веществ, таких как железо и железо-никелевые сплавы, вода и бинарные системы.

Понятие о структуре жидкости возникло после первых рентгеноструктурных исследований. Было показано, что жидкость в локальном объеме (1-2 координационные сферы) обладает структурой, схожей с таковой в твердом состоянии. Вдальнейшем были обнаружены аномалии на структурно-чувствительных свойствах, что свидетельствовало о возможных структурных изменениях, происходящих в жидкости. Так, например, для железа было установлено, что в жидкости могут присутствовать ОЦК- и ГЦК-подобные образования и в определенном интервале температур наблюдаются аномалии на политермах вязкости, плотности, электросопротивления и т.д. Однако, в силу разброса экспериментальных данных, вопрос о фазовых переходах в жидкости остался дискуссионным.

Тем не менее, для некоторых систем, таких как бинарные системы с ограниченной растворимостью, было надежно установлено наличие фазового перехода, связанного с расслоением жидкости (рис.1).

Таким образом, экспериментально доказано, что жидкость обладает структурой. При определенных условиях структура жидкости может претерпевать изменения, о чем свидетельствуют данные структурного анализа, а также скачки и перегибы на зависимостях физических характеристик.

Рис 1 Бинарная фазовая диаграмма системы с ограниченной растворимостью Ga-Pb Сплошная линия — данные эксперимента, пунктир - наш расчет

Во втором разделе обсуждается полиморфизм в кристаллах. В твердом состоянии вещество может находиться в нескольких полиморфных модификациях. С термодинамической точки зрения полиморфные модификации любого вещества представляют собой различные фазы, относительная устойчивость которых определяется величиной их свободной энергии При изменении температуры и давления условие минимума свободной энергии может вызвать переход из одной формы в другую Полиморфные превращения в значительной степени аналогичны переходу из твердого в жидкое состояние Переход одной твердой фазы в другую, как и изменение состояния сопровождается скачкообразным изменением объема, а также выделением или поглощением тепла Такие полиморфные переходы широко распространены и представляют собой фазовые превращения первого рода

В третьем разделе приводится обзор экспериментальных исследований простых веществ под высоким давлением Впервые вопрос о структурных изменениях в жидкости поставил С М Стишов при исследовании теллура, на кривой плавления которого имеется максимум. При этом в твердом состоянии не происходит никаких изменений и очевидно, что появление максимума связано с изменениями в жидкости

Позднее, в институте физики высоких давлений группа Бражкина В В обнаружила для широкого класса веществ существование фазового перехода в жидкости, который является аналогом полиморфного перехода

в твердом. Этот переход продолжается в жидкую область, где заканчивается критической точкой. Примером может служить фазовая диаграмма серы, представленная на рис.2.

Рис 2 Фазовая диаграмма серы в переменных давление - температура Экспериментальные данные отмечены точками, сплошная линия - наш расчет Кружком отмечена критическая точка Температура дана в единицах температуры плавления при атмосферном давлении.

Отметим, что рассмотренные два типа систем - бинарные с ограниченной растворимостью и простые вещества под давлением имеют некоторое сходство - наличие двух структур. В первом случае это связано с присутствием атомов двух сортов, а во втором - влиянием внешнего воздействия - давления. В этом смысле диаграммы этих веществ одни и те же, только построены в разных термодинамических переменных.

Во второй главе, содержащей 2 раздела, приводится обзор известных теоретических моделей жидкого состояния.

В первом разделе обсуждаются современное состояние теории жидкостей и известные теоретические модели жидкого состояния.

Второй раздел посвящен феноменологическому подходу, разработанному Паташинским, основанному на представлении локальных состояний.

В конденсированном веществе взаимодействие атомов в малом (1-2 координационные сферы) объеме приводит к существенному ограничению на относительное расположение соседей - в веществе существует локальный порядок (кластер). Кластер можно представить как деформированную идеальную фигуру (в плотноупакованной системе

такими идеальными фигурами могут быть фрагменты ГЦК, ГПУ решеток и икосаэдр).

Будем полагать, что вещество состоит из кластеров одинакового

размера. Каждый кластер может находиться в одном из N локальных состояний, набор которых одинаков для всей системы. Каждое состояние

имеет свой номер / = Состояние всего вещества характеризуется

полем С1 (г) , где С-, (г) есть N -компонентный «вектор», определяемый по правилу: С,(/') = 1, если состояние кластера в точке Т имеет номер I , и О^ (г) = 0 , если это не так. Для статистической теории необходимо задать эффективный гамильтониан, как функционал

на конфигурациях полей {(Т¡ (г) }. В соответствии с концепцией эффективного гамильтониана предполагается, что только эти поля существенны для описания состояния системы, по всем остальным степеням свободы уже произведено термодинамическое усреднение. Эффективный гамильтониан должен включать независимые вклады от отдельных кластеров и энергию их взаимодействия:

Я(<т) = -|2;<7((г)МДг-г>Дг')-5;а,(г>г((г). (1)

Здесь и ниже выполняется правило суммирования по повторяющимся индексам. В выражении (1) величина есть

собственная энергия кластера в точке системы Т в состоянии с номером , а для энергии взаимодействия использовано парное приближение самого общего вида. Гамильтониан (1) позволяет определить поле параметра порядка как среднее по ансамблю Гиббса:

Где статистическая сумма включает

суммирование по всем конфигурациям полей . Величина

есть, очевидно, вероятность обнаружить кластер в точке в состоянии с номером .

В приближении среднего поля можно записать термодинамический потенциал, причем в качестве поля параметра порядка удобно использовать обладающее прозрачным физическим

смыслом поле вероятности . Тогда выражение для функционала

через поле параметра порядка имеет вид:

(3)

Таким образом, мы получили некий «конструктор», который позволяет при конкретизации набора состояний и вида матрицы взаимодействия описывать различные процессы, происходящие в веществах при воздействии на них, например, температурой, давлением и т.д. Известным примером такого подхода является модель Изинга в теории магнетизма. В последующих разделах рассмотрено применение этого формализма в конкретных задачах.

Третья глава состоит из 5 разделов. В ней приводится расчет двойных фазовых диаграмм.

В первой части главы рассматривается механизм плавления.

Рассмотрим модель, в которой имеется N равноправных локальных состояний, а взаимодействие имеет диагональный вид:

(4)

Эта модель известна как модель Поттса и является обобщением модели Изинга на случай произвольного числа равноправных состояний.

В данном случае набор локальных состояний следует понимать как набор возможных пространственных ориентацщ локального кластера частиц.

Ориентационным параметром порядка выступает величина - вероятность обнаружить кластер в точке в состоянии с

номером Далее рассматривается фазовый переход в однородной системе (р) = 0)1. Чтобы получить этот фазовый переход будем искать решения с нарушенной симметрией между состояниями. Для этого нужно

формально выделить одно из N равноправных состояний, в котором система окажется при нуле температуры. Без потери общности можно считать это состояние первым. Естественно, что остальные состояния, по-прежнему, остаются равноправными:

1-0)

сох=а), (01Л =

ЛГ-1

(5)

Тогда получаем неравновесный термодинамический потенциал системы на один кластер:

(6)

С нашей точки зрения эта модель привлекательна как достаточно простая и в тоже время универсальная модель фазового перехода первого рода с нарушением симметрии, что, собственно говоря, и требуется для описания плавления. Подходящий выбор всего двух ее

феноменологических параметров и позволяет добиться не только качественного, но и количественного описания термодинамики плавления. В частности, позволяет описать нелинейную температурную зависимость теплоемкости кристалла вблизи перехода, а также дает разумные соотношения между тремя величинами: температурой плавления, скрытой теплотой перехода и избыточным нелинейным вкладом в теплоемкость кристалла в точке плавления.

Вторая часть посвящена описанию веществ с двумя типами локальной структуры, где взаимодействие между атомами таково, что глубокий минимум энергии локального кластера осуществляется для двух разных идеальных фигур. Для двухкомпонентного сплава естественно полагать, что два типа локальной структуры обусловлены наличием двух сортов атомов А и В. Таким образом, мы предполагаем, что два типа локальной структуры отвечают ближнему кристаллическому порядку в решетках чистых компонентов. По аналогии с предыдущим случаем, указав вид взаимодействия, мы можем записать термодинамический

потенциал в приближении среднего поля, учтя, что каждая структура описывается своим ориентационным параметром порядка.

Для вероятностей реализации локальных состояний естественно

принять:

(7)

0)х =0)2,

®м =

р-щ

Здесь р есть вероятность реализации второго типа локальной структуры в кластере (концентрация кластеров типа В). Соотношения (7), по аналогии с моделью Поттса, основаны на идее ориентационного упорядочения: первый номер для каждого типа локальной структуры присвоен той ориентации, которая принимается наиболее вероятной в кристаллическом состоянии, остальные ориентации считаются равновероятными. В жидкой фазе все ориентационные состояния, включая первое, имеют одинаковую вероятность реализации. Для дальнейшего удобно ввести условные вероятности:

(8)

которые являются параметрами ориентационного порядка для первого и второго типа локальной структуры соответственно. Очевидно, что (О ] есть вероятность найти кластер с первым типом локального порядка в выделенном ориентационном состоянии. Величина описывает

соответствующую вероятность для кластера со вторым типом локальной

структуры. Три вероятности образуют полный набор

параметров порядка системы, т.е. однозначно задают ее термодинамическое состояние при данной температуре. Выражение для равновесного термодинамического потенциала (на один кластер) как функции состава и температуры записывается теперь следующим образом:

Положение фазовых границ на диаграмме состояния определяется всего пятью параметрами JN2» & • При этом две

первые пары описывают плавление чистых компонентов А и В, т.е. одинаковы для всех диаграмм, в которых задействован соответствующий компонент. Нетрудно видеть, что число этих параметров при описании одной системы с фазовыми переходами типа плавления и расслоения невозможно уменьшить. Действительно, три энергетических параметра

5 ' ^ , фактически определяют взаимодействия А-А, В-В, А-В , а

параметры и задают скачки энтропии при плавлении чистых

параметры и задают скачки энтропии при плавлении чистых

веществ А и В.

В третьей части приводится расчет системы Ag-Cu Фазовая диаграмма системы серебро - медь характеризуется широкой областью несмешиваемости в твердом состоянии, полной смешиваемостью в жидком состоянии, и эвтектическим равновесием.

Параметры модели для расчета фазовой

диаграммы определялись по теплофизическим данным плавления чистых металлов. Выбор этих параметров обеспечивал точное соответствие расчетных и экспериментальных температур плавления для серебра и меди. Оставшийся параметр модели S, подбирался так, чтобы обеспечить равенство расчетной и экспериментальной температуры эвтектического равновесия.

Экспериментальная и рассчитанная фазовые диаграммы системы Ag - Си приведены на рис.3. При их сопоставлении необходимо помнить, что расчетные составы выражены в долях кластеров с локальным порядком типа Ag или Си, а не буквально в долях атомов компонентов.

Си, ат. %

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

'О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ag Си, ат. % Си

Рис З Фазовая диаграмма системы Ag - Си Сплошные линии -эксперимент, пунктирные—нашрасчет

Совпадение атомной концентрации с долей соответствующих кластеров, строго говоря, выполняется только в первом приближении. Это замечание относится и к фазовой диаграмме Оа-РЪ, рассматриваемой далее.

В четвертой части обсуждается система Оа-РЪ. Фазовая диаграмма системы галлий - свинец характеризуется почти полной несмешиваемостью компонентов в твердом состоянии, довольно низкой их растворимостью друг в друге в температурном интервале равновесия твердого раствора на основе свинца с жидким раствором на основе галлия, и широкой температурно-концентрационной областью несмешиваемости в жидком состоянии. В системе наблюдается два типа трехфазного равновесия - монотектическое и эвтектическое. Экспериментальная и модельная фазовые диаграммы системы Оа-РЪ приведены на рис.1.

Необходимо отметить, что в отличие от фазовой диаграммы А -Си, расчет диаграммы Оа - РЪ позволяет гораздо лучше оценить возможности модели. При расчете диаграммы А& - Си для выбора значения параметра мы имеем только температуру эвтектического равновесия. Для проверки адекватности модели остаются лишь характерные концентрации, но последние, выраженные в атомных и кластерных долях, как говорилось выше, могут заметно отличаться друг

от друга. При расчете диаграммы системы Оа - РЬ имеются три характерные температуры для выбора значения параметра . Это температура критической точки и температуры двух тройных равновесий в системе. Теперь после выбора значения параметра В по одной из этих трех температур, мы можем сравнить расчетные и экспериментальные величины двух оставшихся.

Подбор производился по значению критической температуры, при этом расчет для оставшихся двух характерных температур согласуется с экспериментом в пределах погрешности их измерения. Таким образом, модель хорошо описывает температуры фазовых превращений в системе Ga - Pb. Поскольку модель не оперирует непосредственно атомными концентрациями, ее возможности предсказания составов, находящихся в равновесии фаз, заметно хуже.

Пятая часть посвящена обсуждению результатов. Статистическая модель, рассмотренная в настоящей работе, претендует на описание термодинамики плавления и расслоения двойных сплавов на основе одного эффективного гамильтониана. Такая модель неизбежно является грубой, поскольку оба эти явления представляют собой весьма сложные физические процессы.

Мы проверили адекватность модели в ее наиболее экономном варианте, который позволяет описывать относительно простые диаграммы состояния. Даже в таком сознательно огрубленном виде модель оказывается полезной. В концептуальном плане она демонстрирует возможности идеи локального порядка в конденсированных фазах и является конкретным примером реализации формализма представления локальных состояний.

В четвертой главе, состоящей из 3 разделов, описываются простые вещества под высоким давлением.

В первом разделе представлен расчет S. Рассматривается система, в которой наличие второго типа локального порядка обеспечивается не примесью, а взаимодействием атомов - поэтому допустимы перестройки локальных кластеров. Вместо бинарной смеси мы имеем дело с веществом, в котором возможны две полиморфные модификации. Термодинамический потенциал (5) дает возможность построить фазовую диаграмму и в этом случае. Результаты расчета для серы представлены на рис.2. Классификация возможных фаз в системе, представленных на диаграмме: 1 - кристалл с первым типом локального порядка; 2 - жидкость с первым типом локального порядка; 3 - кристалл со вторым типом локального порядка; 4 - жидкость со вторым типом локального порядка.

Во втором разделе представлен расчет Se. Для селена расчет проводился подобным же образом, с той лишь разницей, что для селена

линия полиморфизма в кристалле

экспериментально неизвестна.

Существует лишь предположение о том, где она должна проходить. Поэтому мы старались подбором параметров реализовать это предположение.

Рис 4 Фазовая диаграмма селена в переменных давление — температура Экспериментальные данные отмечены точками, сплошная линия - наш расчет Кружком отмечена критическая точка Температура дана в единицах температуры плавления при атмосферном давлении температура плавления при атмосферном давлении Нумерация фаз соответствует классификации в тексте

Результаты расчета для серы представлены на рис 4. Классификация возможных фаз в системе, представленных на диаграмме: 1 - кристалл с первым типом локального порядка; 2 - жидкость с первым типом локального порядка; 3 - кристалл со вторым типом локального порядка; 4 - жидкость со вторым типом локального порядка.

Третий раздел - обсуждение результатов. Основным достоинством модели является то, что все возможные фазы описаны в рамках одного и того же параметра порядка - вектора средних вероятностей Это позволяет записать неравновесный термодинамический потенциал теории Ландау и изучать фазовые переходы в приближении среднего поля.

Экспериментально наблюдаемые резкие изменения структуры и свойств жидкости под давлением описываются как продолжение линии полиморфных фазовых переходов в жидкую область, где она оканчивается в критической точке.

' - »■.....' - •« -■

I I llrifiii.lliliii.ii.ili I». I_>_1—1

5 г |3 9,«яе»

Модель единым образом описывает все фазовые переходы, происходящие в простом веществе под высоким давлением, - плавление и полиморфизм в твердом и жидком состоянии. Это описание верно не только качественно, но и количественно.

Можно провести аналогию между бинарными системами с ограниченной растворимостью компонентов и простыми веществами под высоким давлением. Полученные фазовые диаграммы этих веществ - это диаграммы одной и той же модели, но представленные в разных переменных.

Пятая глава, включающая 3 раздела, посвящена расчету фазовой диаграммы углерода.

3« й \ , 10 16 28

Рис.5. Р-Т диаграмма состояния углерода штрих-пунктирная линия -экспериментальная линия графит-алмаз [4]; штриховая линия -экспериментальная линия плавления графита [5]; сплошные линии -результатымоделирования с использованием потенциала Бренера[6].

В первом разделе обсуждается выбор параметров модели. Выбор параметров модели производился так, чтобы воспроизводились известные экспериментальные и расчетные данные, касающиеся фазовой диаграммы углерода в той области, где они не вызывают сомнений. Эти данные приведены на рис.5. Во втором разделе производится расчет фазовой диаграммы С. Результаты расчетов представлены на рис.б. Расчеты были проведены для п = 4 и п = 11.

Изменение параметров п и е влияет на диаграмму следующим образом. При изменении п от 4 до 11 изменяется наклон линии перехода в жидкости, от положения а) до положения б) на рис.6. Изменение параметра 8 приводит лишь к изменению критической температуры, т.е. влияет на протяженность линии перехода в жидком состоянии. Все остальные линии диаграммы не претерпевают существенных изменений -

их смещение находится в пределах современных экспериментальных

температура — давление. Сплошная линия соответствует п = 11, пунктирная п = 4. Заштрихованная область - предсказываемая область существованиялинии полиморфного перехода в жидком состоянии.

Третий раздел содержит выводы. Наши расчеты позволяют сделать два содержательных утверждения:

• Если линия перехода графит - алмаз продолжается в область жидкости, то она лежит в заштрихованном секторе рис.7;

• В твердом состоянии линия полиморфизма при высоких температурах меняет свой наклон и «загибается в сторону» • графита, что связано с сильными предплавильными эффектами, происходящими в алмазе вблизи тройной точки графит - алмаз -жидкость со структурой алмаза.

Кроме того, модель позволяет определить протяженность линии перехода в жидкости - для этого нужно экспериментально измерить энергию межфазной границы графит - алмаз.

Последняя, шестая глава, содержащая 4 раздела, описывает бинарные системы с полиморфизмом с добавлением примеси.

В первом разделе проводится постановка задачи о получении новых типов фазовых диаграмм. Для простых веществ под давлением на диаграмме состояния была установлена топология расположения линий фазовых превращений (плавление и полиморфизм в твердом и жидком состоянии).

Рассмотрим теперь вещество, обладающее полиморфизмом при нормальных условиях. Зададимся вопросом: какова будет топология фазовых превращений для такого вещества при некотором

термодинамическом воздействии? В качестве воздействия можно выбрать добавление примеси, причем ограничимся пока такой примесью, которая приводит к снижению температуры плавления и повышению температуры полиморфного перехода, при этом линии этих превращений пойдут навстречу друг другу Анализ диаграмм простых веществ под давлением приводит, очевидно, к выводу о возможности полиморфизма в жидкости и у рассматриваемого нового класса веществ

Во втором разделе производится выбор параметров модели Третий раздел посвящен обсуждению новых типов фазовых диаграмм. Модель предсказывает для веществ, изначально обладающих полиморфизмом, новые типы бинарных фазовых диаграмм (рис 7)

Концентрация примеси

Рис 7 Возможная топология фазовых диаграмм в переменных температура - концентрация примеси Двухфазные области выделены затенением ^1, Ж1 - кристалл и жидкость с 1-ым типом локальной структуры, Кр2, Ж2 - кристалл и жидкость со 2-ым типом локальной структуры Тп - температура полиморфного перехода, Тпл -температура плавления

Существует три типа таких диаграмм На диаграммах возникают двухфазные области, обусловленные перераспределением примеси между фазами Первый и второй тип были получены нами в расчетах при физически разумных зависимостях параметров модели от концентрации примеси и температуры. Третий тип является «экзотическим», поскольку растворимость в жидкости ниже, чем в твердом, и требует для своей реализации зависимости параметров модели от параметра порядка

Остановимся подробнее на втором типе диаграмм, который напоминает систему железо-углерод

Рис.8. Предсказываемый тип бинарной фазовой диаграммы (слева) и существующий (справа) для системы железо-углерод при малых концентрацияхуглерода.

Обсудим две особенности на экспериментальной диаграмме железо-углерод, приведенной на рис.8. Первая - это вторая линия тройного равновесия, обнаруженная при измерении магнитной восприимчивости Лякуткиным и Сидоровым. Выше этой линии жидкость имеет 5-подобную структуру и кристаллизация происходит в 5' -структуру, хотя из диаграммы следует, что кристаллизация должна проходить в структуру. И только в тройной точке происходит смена кристаллической структуры 5-у. Это можно объяснить существованием вблизи этой точки купола расслоения жидкости на 5- и у- структуры. Когда мы опускаемся ниже критической точки купола, то мы имеем дело уже с -подобной жидкостью и начинается кристаллизация в структуру. Это и вызывает переход в тройной точке.

Вторая особенность - перегибы на политермах структурно -чувствительных свойств (вязкость, магнитная восприимчивость), происходящие на пунктирной линии рис.8. Впервые это было обнаружено А.П.Довгополом и позднее подтверждено многочисленными исследованиями. В нашей модели эта линия описывается как продолжение средней линии купола несмешиваемости, на которой зависимость р(Т) действительно имеет перегиб.

Есть надежда, что при определенных условиях появится возможность «вытащить» купол в область равновесных состояний, и система железо-углерод будет иметь в точности предсказанный тип диаграммы (добавление кислорода или рассмотрение системы при отрицательных давлениях - в капилляре).

В четвертом разделе формулируются основные выводы. Для веществ, обладающих полиморфизмом при нормальном давлений с

добавлением примеси, на диаграмме состояния была установлена топология расположения линий фазовых превращений (плавление и полиморфизм в твердом и жидком состоянии).

Был рассмотрен случай, когда, во-первых, примесь понижает температуру плавления и повышает температуру полиморфного перехода, во-вторых, температура плавления выше температуры полиморфного перехода.

В качестве примера приведены три возможных при этом типа диаграмм (рис.7). Двухфазные области на диаграммах обусловлены перераспределением примеси между фазами.

Высказаны предположения о возможных кандидатах на обнаружение у них одного из предсказанных типов диаграмм. Это системы на основе железа и никеля, например, железо-углерод. Последняя система, при определенных условиях - добавлении кислорода, возможно, даст второй тип диаграммы из представленных на рис. 7.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе предложено описание фазовых переходов в кристаллических и жидких веществах на основе представления локальных состояний.

Основные результаты работы следующие:

1. Проведена тестовая проверка модели путем расчета известных бинарных фазовых диаграмм для систем и Ga-Pb) и получено хорошее согласие результатов с экспериментальными данными. Предложена методика построения бинарных фазовых диаграмм для веществ с ограниченной растворимостью.

2. Проведены тестовые расчеты для систем Se и S. Рассчитанные фазовые диаграммы в переменных температура-давление хорошо согласуются с экспериментом.

3. Рассмотренная модель позволяет провести аналогию между переходами в простых веществах под высоким давлением и расслоением в бинарных системах. Фазовые диаграммы простых веществ под высоким давлением и веществ с ограниченной растворимостью - это фазовые диаграммы одной и той же модели, построенные в разных переменных.

4. Рассчитана фазовая диаграмма углерода в переменных температура-давление. Определены границы области существования полиморфного перехода в жидком состоянии графит-алмаз. Уточнен вид линии полиморфизма в твердом состоянии при высоких температурах, которая имеет загиб, обусловленный сильными предплавильными эффектами в

алмазе вблизи тройной точки графит - алмаз — жидкость со структурой алмаза. Получено хорошее согласие с экспериментом и данными молекулярно-динамического моделирования.

5. Предсказаны новые типы бинарных фазовых диаграмм для веществ, обладающих полиморфизмом при нормальном давлении с добавлением примеси. Сделаны предположения о классах веществ, относящихся к данному типу.

6. Дано описание механизмов фазовых переходов, имеющих различную природу (плавление и полиморфизм) в рамках единого подхода. Плавление при этом представляется как ориентационное разупорядочение, а полиморфизм - как изменение локальной структуры.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1. Л.Д. Сон, Г.М. Русаков, Катков Н.Н. Расчет двойных фазовых диаграмм, основанный на статистической модели // Физика металлов и металловедение 2003, т. 96, №3, с. 3-14.

2. L. Son, G. Rusakov, N. Katkov, Pressure-temperature phase diagrams of selenium and sulfUr in terms of Patashinski model // Physica A 324 (2003) 634-644.

3. L. Son, G. Rusakov, N. Katkov, Pressure-temperature phase diagrams of Se and S in terms of Patashinski model, NATO Science Series: series II. Mathematics, Physics and Chemistry - Vol.81 2001 295-306.

4. Г.М. Русаков, Л.Д. Сон, Н.Н. Катков Расчет диаграмм состояния двойных сплавов с ограниченной растворимостью компонентов, Труды школы-семинара «фазовые и структурные превращения в сталях», Магнитогорск 2002, выпуск 3, с. 108-135.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1]. БА. Баум Металлические жидкости, Наука, М., 1979.

[2]. V.V Brazhkin, S.V. Popova, R.N. Voloshin High-pressure transformation in simple melts, High Pressure Research, 1997, Vol. 5, pp. 267-305.

[3]. Паташинский А.З., Шумило Б.И. Теория плавления вещества, основанная на гипотезе локального кристаллического порядка. - ЖЭТФ, т.89,вып.1,1985,315 с.

[4]. F.P. Bundy, J. Chem. Phys. 38,618 (1963); 38, 631 (1963).

[5]. М. Togaya, Behaviors of liquid carbon at high pressure Proceedings of the NATO Advances Reserch Workshop, Volga River, on New Kinds of Phase

Transition: Transformations in Disordered Substances, edited by V.V. Brazhkin, S.V. Buldyrev, V.V. Ruzhov and H.E. Stanley. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

[6]. J.N. Glosli, F.H. Ree, Liquid-Liquid Phase Transformation in Carbon // PHYSICAL REVIEW LETTERS V. 82, № 23, 1999.

12 65 1 О

Подписано в печать 29.10.2004. Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Печать на ризографе.

Усл. п. л. 1, . Тираж 100 экз. Заказ tbZ(. Оригинал макет отпечатан в отделе множительной техники Уральского государственного педагогического университета 620017, Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26. E-mail: uspu@dialup.utk.ru

ВВЕДЕНИЕ.

1. Структура, свойства и фазовые переходы в жидкостях.

1.1.Экспериментальные представления о структуре жидкости.

1.2.Полиморфизм в кристаллах.

1.3.Полиморфизм в простых веществах под высоким давлением.

2. Теоретические модели в теории жидкости.

2.1.Особенности жидкого вещества и состояние теории жидкости.

2.2.Представление локальных состояний.

3. Расчет двойных фазовых диаграмм.

3.1.Модель Поттса и плавление простых веществ.

3.2.Система с двумя типами конкурирующего локального порядка.

3.3 .Диаграмма состояния Ag-Cu.

3.4. Диаграмма состояния Ga-Pb.

3.5.Вывод ы.

4. Простые вещества под высоким давлением.

4.1.Расчет фазовой диаграммы для серы.

4.2.Расчет фазовой диаграммы для селена.

4.3.Вывод ы.

5. Углерод.

5.1.Выбор параметров.

5.2.Результаты расчета.

5.3 .Выводы.

6. Бинарные системы с полиморфизмом с добавлением примеси.

6.1 .Постановка задачи.

6.2.Подбор параметров.

6.3.Возможные типы бинарных фазовых диаграмм.

6.4.Вывод ы.

Актуальность работы.

К настоящему времени существует большое количество экспериментальных данных, подтверждающих наличие структуры в жидкости. К ним относятся рентгеноструктурные исследования жидкого состояния, которые показали, что пространственное распределение частиц в жидкости не является полностью беспорядочным: обнаруживаются корреляции в расположении частиц, не очень удаленных друг от друга, а также наблюдаются некоторые предпочтительные расстояния между частицами.

В дальнейшем, при изучении структурно-чувствительных физических свойств жидкости - вязкости, плотности, электропроводности и т.п. - на их зависимостях от температуры были обнаружены различные аномалии (скачки и перегибы). Это указывало на возможность существования жидкости, по крайней мере, в двух структурных модификациях. Позже это было подтверждено, однако, вопрос о том, происходит ли при этом фазовый переход 1-го рода, долгое время оставался дискуссионным.

Ряд сравнительно недавних исследований подтверждает не только существование структуры в жидкости, но и ее «экстремальное» проявление — фазовые превращения в жидкости. Это установлено для широкого класса простых веществ под высоким давлением. При таких переходах наблюдаются резкие изменения свойств жидкости - плотности, теплоемкости, электропроводности и т. д. На фазовых диаграммах при этом присутствуют фазовые переходы двух типов: плавление и резкое изменение локальной структуры в системе.

Итак, накопленные экспериментальные данные требуют адекватного теоретического описания жидкого состояния. Традиционные модели, не смотря на значительные успехи в описании ряда свойств жидкости, имеют и определенные ограничения. Для одних моделей эти ограничения связаны и с серьезными вычислительными трудностями, как в методе интегральных уравнений, разработанного Боголюбовым, Борном, Кирквудом и Грином. Другие модели, основанные на предположении о квазикристалличности жидкости, описывают жидкость только в достаточно узком температурном интервале вблизи линии плавления и теряют предсказательные свойства с повышением температуры; или в рамках единого формализма не удается связать, например, плавление и структурный переход в жидкости.

Таким образом; необходима универсальная модель, позволяющая описать как плавление, так и структурные переходы в жидкости. В этой модели должны быть введены параметры, характеризующие структуру жидкости, а также понятие о связности структурных элементов жидкости. Наиболее удачной в этом: аспекте является модель А.З. Паташинского. Есть основания предполагать, что ее можно распространить и на и структурные переходы в жидкости. В этом случае появится единый подход к описанию фазовых превращений в веществе. Цели и задачи работы:

Целью.работы является описание механизмов фазовых переходов.в кристаллических и жидких- веществах в рамках единого подхода, основанного на формализме представлении локальных состояний конденсированного вещества. В соответствие с этим были поставлены следующие задачи:

• определить расчетные параметры модели в рамках единой теории;

• провести проверку модели путем расчета бинарных фазовых диаграмм для известных систем, и сравнить с результатами, полученными ранее;

• провести расчеты фазовых диаграмм для простых веществ (Se, S) в переменных температура-давление;

• рассчитать фазовую диаграмму углерода в переменных температура-давление и сравнить ее с экспериментом и данными молекулярно-динймического моделирования;

• описать бинарные фазовые диаграммы для чистых веществ с полиморфизмом, где вместо давления используется другой способ термодинамического воздействия на систему - изменение концентрации примеси.

Научная новизна.

В данной работе получены следующие новые результаты:

• рассчитаны диаграммы состояния для простых веществ (Se, S) в переменных демпература-давление и получено хорошее согласие с данными молекулярной динамики и экспериментом;

• рассчитана фазовая диаграмма углерода в переменных температура-давление, на которой предсказана область существования полиморфизма в жидком состоянии, а также уточнен вид линии: полиморфизма в твердом состоянии в области высоких температур;

• предсказаны новые типы бинарных фазовых диаграмм для вещества полиморфизмом с добавлением примеси и сделаны предположения о веществах, относящихся к данному типу.

Практическая ценность работы

• предложена сравнительно простая методика расчета бинарных фазовых диаграмм;

• впервые в рамках единой модели рассчитана фазовая диаграмма углерода, уточнено положение тройной точки жидкость-графит-алмаз, а также рассчитано продолжение линии перехода графит-алмаз в жидкости.

На защиту выносятся:

• методика расчета бинарных фазовых диаграмм с использованием одного подгоночного параметра;

• "расчетные фазовые диаграммы для простых веществ (Se, S) в переменных температура-давление;

• расчётная фазовая диаграмма для углерода, на которой предсказано возможное положение линии перехода графит-алмаз в жидкости, а также уточнено положение тройной точки жидкость-графит-алмаз;

• новые типы бинарных фазовых диаграмм для веществ с полиморфизмом с добавлением примеси;

• описание механизмов фазовых переходов в кристаллических и жидких веществах.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

1. L.D. Son , G.M.-Rusakov, N.N.-Katkov Calculation of binary phase diagrams, Abstract of 11-en International Symp. "Thermodynamics of Alloys", Roma, Italy, 2002, p. 58.

2. H.H. Катков Фазовые переходы в расплавах простых веществ под давлением, V Уральская школа-семинар металловедов — молодых ученых, Екатеринбург 2003, сборник тезисов.

3. N.N. Katkov, L.D. Son , G.M. Rusakov, V.E. Sidorov New types of the binary phase diagrams, Abstract Book of 12-th International Conference on Liquid and Amorphous Materials, Metz, France, July 2004, p. 45.

4. H.H. Катков, Л.Д. Сон, Г.М. Русаков Новые типы бинарных фазовых диаграмм, Труды XI Российской конференции «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов», Екатеринбург 2004, том I, с. 74-78.

5. Л.Д. Сон, Г.М. Русаков, Н.Н. Катков Термодинамика плавления двойных систем с ограниченной взаимной растворимостью, Научные труды Международной конференции Эвтектика-6, Запорожье, Украина, 2003, с. 90-92.

Публикации

1. JI.Д. Сон, Г.М. Русаков, Катков Н.Н. Расчет двойных фазовых диаграмм, 'основанный на статистической модели // Физика металлов и металловедение 2003, т. 96, №3, с. 3-14.

2. L. Son, G. Rusakov, N. Katkov, Pressure-temperature phase diagrams of selenium and*sulfur in terms of Patashinski model // Physica A 324 (2003) 634-644.

3. L. Son, G. Rusakov, N. Katkov, Pressure-temperature phase diagrams of Se and S in terms of Patashinski model, NATO Science Series: series II. Mathematics, Physics and Chemistry - Vol.81 2001 295-306.

4. Г.М. Русаков, Л.Д. Сон, Н.Н. Катков Расчет диаграмм состояния двойных сплавов с ограниченной растворимостью компонентов, Труды школы-семинара «фазовые и структурные превращения в сталях», Магнитогорск 2002, выпуск 3, с. 108-135.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы. Она изложена на 107 страницах, включая 30 рисунков. Список-цитированной литературы содержит 88 наименований.

Основные результаты работы следующие:

1. Проведена тестовая проверка модели путем расчета известных бинарных фазовых диаграмм для систем (Ag-Cu и Ga-Pb) и получено хорошее согласие результатов с экспериментальными данными. Предложена методика построения бинарных фазовых диаграмм для веществ с ограниченной растворимостью.

2. Проведены расчеты для простых веществ - Se и S. Рассчитанные фазовые диаграммы в переменных температура-давление хорошо согласуются с экспериментом.

3. Рассмотренная модель позволяет провести аналогию между переходами в простых веществах под высоким давлением и расслоением в бинарных системах. Фазовые диаграммы простых веществ под высоким давлением и веществ с ограниченной растворимостью - это фазовые диаграммы одной и той же модели, построенные в разных переменных.

4. Рассчитана фазовая диаграмма углерода в переменных температура-давление. Определены границы области существования полиморфного перехода в жидком состоянии графит-алмаз. Уточнен вид линии полиморфизма в твердом состоянии при высоких температурах, которая имеет загиб, обусловленный сильными предплавильными эффектами в алмазе вблизи тройной точки графит - алмаз - жидкость со структурой алмаза. Получено хорошее согласие с экспериментом и данными молекулярно-динамического моделирования.

5. Предсказаны новые типы бинарных фазовых диаграмм для веществ, обладающих полиморфизмом при нормальном давлении с добавлением примеси. Сделаны предположения о классах веществ, относящихся к данному типу.

6. Дано описание механизмов фазовых переходов, имеющих различную природу (плавление и полиморфизм) в рамках единого подхода. Плавление при этом представляется как ориентационное разупорядочение, а полиморфизм - как изменение локальной структуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертационной работе предложено описание фазовых переходов в кристаллических и жидких веществах на основе представления локальных состояний. Использованный подход позволяет в рамках статистической теории единым образом описывать плавление и полиморфизм как в твердом, так и в жидком состоянии. Фазовый переход в жидкости представляется как продолжение полиморфного перехода в кристалле.

Модель позволяет описать следующие классы веществ: бинарные системы с ограниченной растворимостью (наличие двух типов локального порядка обусловлено двумя сортами атомов), простые вещества под давлением (два типа локального порядка соответствуют полиморфным модификациям, возникающим при внешнем воздействии - давлении), и, наконец, вещества, обладающие полиморфизмом при нормальном давлении с добавлением примеси (два типа локального порядка также вызваны двумя полиморфными модификациями).

1. Романова А.В. Структура и свойства металлических расплавов. В кн.: Металлы, электроны, решетка. Киев: Наукова думка, 1975.

2. Б.А. Баум Металлические жидкости, Наука, М., 1979.

3. Г.Н. Кудрин, В.А. Кудрин Строение и свойства жидкого металла -технология качество. М., «Металлургия», 1984, 238 с.

4. Н.А. Ватолин, Э.А. Пастухов Дифракционные исследования строения высокотемпературных расплавов. М., «Наука», 1980, 189 с.

5. Б.Г. Гольтяков, В.Е. Сидоров, Л.Д. Сон. Температурные зависимости магнитной восприимчивости разбавленных расплавов Fe-Ni. Тезисы докладов конференции «Физические свойства металлов и сплавов». Екатеринбург, УГТУ-УПИ, 2003, с. 87.

6. Е.Г. Понятовский, В.В. Синицын, Т.А. Позднякова // Письма в ЖЭТФ, т. 60,360(1994).

7. P.V. Hobbs. Ice physics. Clarendon, Oxford 1974.

8. R.P. Elliott. Constition of binary alloys. McGraw-Hill, N. Y. 1970.

9. А. Верма, П. Кришна Полиморфизм и политипизм в кристаллах, пер. с англ., М., 1969.

10. V.V Brazhkin, S.V. Popova, R.N. Voloshin High-pressure transformation in simple melts, High Pressure Research, 1997, Vol. 5, pp. 267-305.

11. D.A. -Young, Phase Diagrams of the Elements, University of California Press, Berkley, 1991.

12. D.C. Hamiltonian and F.H. Ree, J. Chem. Phys., 90, 4972 (1989).

13. E.Y. Tonkov, High Pressure Phase Transformation, Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia, 1992, 1, 2, 3.

14. Ю.И. Шарыкин и др., Доклады Академии Наук, 244, 78 (1979).

15. A.R. Hansen, С.A. Eckert, J. Chem. Eng. Data, 36, 252 (1991).

16. L. Bosio, J. Chem. Phys., 68. 1221 (1978).

17. R.M. Waghorne, V.G. Rivlin, G.I. Williams, Adv. Phys., 16, 215 (1967).

18. F.P. Bundy et al., Carbon, 34, 141 (1996).

19. M. Van Tiel, F.M. Ree, Phys. Rev. В 48, 3592 (1993).

20. F.P. Bundy, J. Chem. Phys. 38, 618 (1963); 38, 631 (1963).

21. J.N. Glosli, F.H. Ree, Liquid-Liquid Phase Transformation in Carbon // PHYSICAL REVIEW LETTERS V. 82, № 23, 1999.

22. B.M. Глазов, С.Г. Ким, Осцилляции скорости ультразвука в электронных расплавах при их нагревании // ДАН СССР. 1983. т. 273. № 2. с. 371-374.

23. A.G. Umnov, V.V. Brazhkin, High Pressure Research, 13, 233 (1995).

24. Yoshinori Katayama, Takeshi Mizutani, Wataru Utsumi, Osamu Shimomura, Masaaki Yamakata & Ken-ichi Funakoshi, A first-order liquid-liquid phase transition in phosphorus // Nature vol. 403, № 6766, pp 170-173, 2000.

25. J. Parthasarathy, W.B. Holzapfel, Phys. Rev. В 38, 10105 (1988).

26. S Susse, R. Epain, C. R. Acad. Sci., 263, 613 (1966).

27. M.C. Bellisent-Funel et al., Phys. Rev. В 50, (1994).

28. Д. Фишер Статистическая теория жидкостей. М.: Физматгиз, 1961.280 с.

29. Я.С. Уманский. Рентгенография металлов и полупроводников, М., 1969.

30. Я.И. Френкель Кинетическая теория жидкостей. М.: АН СССР. 1945. 424 с.

31. И.З. Фишер Состояние и задачи кинетической теории жидкостей. — УФЖ, 1967, т. 12, №1.

32. П.В. Гельд, Б.А. Баум, М.С. Петрушевский. Расплавы ферросплавного производства. М.: Металлургия, 1973.

33. В.И. Данилов. Строение и кристаллизация жидкостей. Киев, Изд-во АН УССР, 1956.

34. Марч Н.Г. Жидкие металлы. М.: Металлургия, 1972. - 125 с.

35. Боголюбов Н.Н. Избранные труды по статистической физике. М.: изд-во МГУ, 1979.- 343 с.

36. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. M.-JL: Гостехиздат, 1946. - 120 с.

37. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. -М.: Мир, 1978, Т.2.-399 с.

38. Биндер К., Сиперли Д., Ансен Ж.-П. Методы Монте-Карло в статистической физике.- М.: Мир, 1982. — 400 с.

39. Наберухин Ю.И. Структура простых жидкостей. Новосибирск: изд-воНГУ, 1978.-78 с.

40. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering, metastability and phase transition in two-dimensional systems. J.Phys.C., v.6, N 7, p. 1181, 1973.

41. D.R. Nelson, B.I. Halperin, Phys. Rev. В 19 (1979) 2457.

42. Паташииский A.3., Шумило Б.И. Теория плавления вещества, основанная на гипотезе локального кристаллического порядка. ЖЭТФ, т.89, вып. 1, 1985,315 с.

43. Лихачев В.А, Михайлин А.И, Шудегов В.Е Строение стекол. В сб.: Моделирование в механике. Новосибирск: 1987, т. 1 N 3, с. 105-130.

44. Son L., Patashinski A., Rusakov G., Ratner M. Modeling melting in binary systems. Physica A

45. A.3. Паташинский, В.Л. Покровский Флуктуционная теория фазовых переходов. М.: Наука. 1982. 382 с.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964, 654 с.

47. Жуковский В.М., Петров А.Н. Термодинамика и кинетика реакций в твердых телах. Свердловск: изд-во УрГПУ, 4.1, 1987, 167 с.

48. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1985, 234 с.

49. Бернал Дж.Д. Структура жидкости. В сб.: Квантовая микрофизика: над чем думают физики. М.: 1967, с. 117-127

50. Zachariasen W.H.J. Approximation to liquid.structure by random net of bonds. Am.Chem.Soc., v. 54, p. 3841, 1932.

51. A.C. Митусь, А.З. Паташинский. ЖЭТФ, 1981, т. 80, №4, с. 15511565.

52. A.Z. Patashinski, M.V. Chertkov. Local state representation in Statistical Mechanics of Condensed matter. Budker Institute of Nuclear Physics, preprint №91-51, 1992.

53. J. Michalski, A.C. Mitus, A.Z. Patashinski How to distinguish the local structures of the melts // Phys. Let. A. 1987. V. 123. №6. P.293.

54. A.C. Mitus, A.Z. Patashinski Statistical description of local structure of condensed matter//Physica A. 1988. V. 150. P. 383.

55. F.Y. Wu Potts model // Rev. Mod. Phys. 1982. V. 54. P. 239

56. A.Z. Patashinski Liquid: local and global order. Budker institute of nuclear physics. Novosibirsk: Preprint INP 90-115, 1990.

57. A.3. Паташинский, Л.Д. Сон Жесткость конденсированного вещества при высоких температурах//ЖЭТФ. 1993. Т. 103. Вып. 3. С. 1087-1099.

58. А.Р. Уббелоде Расплавленное состояние вещества. М.: Металлургия. 1982. 376 с.

59. Б.Г. Лифшиц, B.C. Крапошин, Я.Л. Линецкий Физические свойства металлов и сплавов. М.: Металлургия. 1980. 320 с.

60. М.И. Канцельсон, А.В. Трефилов Динамика и термодинамика кристаллической решетки. М.: ИздАТ. 2002. 384 с.

61. Я.А. Крафтмахер Точеные дефекты и теплофизические свойства металлов. Обзоры по теплофизическим свойствам веществ. М.: ИВТАН. 1990. №4 (84). 107 с.

62. В.Е. Зиновьев Кинетические свойства металлов при высоких температурах. Справочник. М.: Металлургия. 1984. 328 с.

63. Дж. Займан Модели беспорядка. М.: Мир. 1982. 592 с.

64. М. Хансен, К. Андерко Структура двойных сплавов. Т. 1. М.: ГНТИ. 1962. 608 с.

65. Диаграммы состояния двойных металлических систем. Справочник. Т. 1. М.: Машиностроение. 1996. 992 с.

66. Б.К. Вайнштейн, В.М. Фридкин, В.Л. Инденбом Современная кристаллография. Т. 2. Структура кристаллов. М.: Наука. 1979. 360 с.

67. Р. П. Элиот Структуры двойных сплавов. Т. 2. М.: Металлургия. 1970. 472 с.

68. Диаграммы состояния двойных металлических систем. Справочник Т. 2. М.: Машиностроение. 1997. 1024 с.

69. V.V. Brazhkin, S.V. Popova, R.N. Voloshin. Physica В 265, 64 (1999).

70. B.B. Бражкин, Р.Н. Волошин, А.Г. Ляпин, С.В. Попова УФН, т. 169, №9, с. 1035(1999).

71. А.С. Mitus, A.Z. Patashinski. Model of structural phase transition in amorphous system. Preprint INP 85-83, Novosibirsk, 1985.

72. A.C. Mitus, A.Z. Patashinski. Acta Phys. Pol. A 74 779 (1988).

73. B.M. Глазов, C.H. Чижевская, H.H. Глаголева. Жидкие полупроводники. Москва, Наука, 1967.

74. A.F. Ioffe, A.R. Regel. Progr. Semicond. 4, 237 (1960).

75. G.H. Drickamer. In: Phase stability in metals and alloys, ed. by P.S. Rudman, Mc-Graw Hill, New York, 1967.

76. M. Togaya. Phys. Rev. Lett., 1997, v. 79, № 13, p. 2474-2477.

77. J.F. Elliot, M. Gleiser. Thermochemistry for Steelmaking, vol. 1. Reading: Addison-Wesley, 1960.

78. J. Chipman. Met. Trans. 3 (1972) 55.

79. E. Schurmann, R. Schmid. Arch. Eisenhuttenwes. 50 (1979) 101.

80. E. Schurmann, R. Schmid. Arch. Eisenhuttenwes. 50 (1979) 185.

81. G. Hagg. Kristallogr. 89 (1934) 92.

82. A.A. Жуков, Р.Л. Снежной. ДАН СССР, 211,1 (1973) 145.

83. V.E. Sidorov, L.D. Son, G.M. Rusakov, B.A. Baum. Peculiarities in the Ciystallization of Iron Containing Up to 2.0 wt % of Carbon // High Temperature Materials and Processes, p. 263-271.

84. B.B. Сингер, С.П. Довгопол, Л.А. Крокин и др. ФММ, 48(4), 736-749, 1979.