Фи-структура на лиевских конечных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи 0 УДК 512.54

О

й7 о ^

- СУВОРОВА ОЛЬГА ВИКТОРОВНА

-

ф - СТРУКТУРА НА ЛИЕВСКИХ КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Диссертация выполнена на кафедре «Высшая математика» Нижегородского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Галкин Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Н.А. Вавилов доктор физико-математических наук, профессор М.И. Кузнецов Ведущая организация - Российский государственный педагогический

Университет имени АИ.Герцена

Защита состоится ол^Тл^^Р 1998 г. в часов на заседании диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете ( адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проводиться по адресу: 191011 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд.311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета. Автореферат разослан «/£» _ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного

Совета К 063.57.45 Р.А Шмидт

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 1962 году вышла замечательная работа Б.Фишера [1], центральным результатом которой является доказательство разрешимости группы правых трансляций ЩС)= <И«=(х-» х«а)| а,х е <3(»)> конечной дистрибутивной квазигруппы (3(°). Разумеется, этим же свойством обладает и группа левых трансляций Цв), порожденная отображениями Ь, =(х а • х). Работа Б.Фишера впервые продемонстрировала эффективность теоретико-групповых методов при изучении леводкетрибутивных квазигрупп.

В это же время происходит значительное расширение исследований в области простых конечных групп. Главным толчком к этому послужила знаменитая теорема Фейта и Томпсона, согласно которой любая конечная группа нечетного порядка разрешима [2].

Много работ посвящено группам с регулярными автоморфизмами. Интерес к этим группам связан с известной гипотезой о разрешимости их в случае конечного порядка. Дж.Томпсон доказал эту гипотезу для группы с автоморфизмом простого порядка [3]. Но полностью вопрос не был решен.

В начале 80-х годов В.М.Галкин вьщвинул гипотезу о разрешимости конечных леводистрибутивных квазигрупп [4]. Привлекательность данной гипотезы заключается в том, что она включает в

себя такие на первый взгляд далекие друг от друга утверждения, как упомянутые выше теоремы Фишера, Фейта-Томпсона, а также заключение о разрешимости групп с регулярными автоморфизмами. В дальнейшем гипотеза была сведена к чисто теоретико-групповой гипотезе о непростсп« так называемых ((>-групп [4]. Поэтому естественной выглядит попытка проверить известные простые группы на предмет несуществования в них нетривиального ср-автоморфизма. К настоящему времени подвергнуты проверке следующие простые группы спорадические группы, серия знакопеременных, симплектические группы в четной и симплектические группы малых размерностей в нечетной характеристике, серия проективных групп Ь„(я) , а также группы РДя),

Цель работы. Работа посвящена доказательству вышеупомянутой гипотезы для следующих групп: и„(я), С^я), ^(«О-

Общая методика исследования. Основным инструментом в исследовании являются методы теории конечных групп, в частности техника подхода Шевапле, кроме того привлекаются результаты из теории квазигрупп. Это связано с возможностью представления квазигруппы (3(°) однородным пространством П/Т левых смежных классов группы П по подгруппе Т, где Т определяется как подгруппа неподвижных элементов некоторого автоморфизма ср группы П, а квазигрупповая операция

выглядит тогда следующим образом: х«у=хср (х"'у)тсхЛ\ Эта связь обратима.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ряд утверждений, доказанных при разработке аппарата исследования, имеет самостоятельное значение и может найти применение в теории групп, а также в квазигрупповой теории. Выработанные при этом методы и способы проверки могут быть использованы при доказательстве вышеупомянутой гипотезы для оставшихся простых конечных групп. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на расширенном заседании кафедры алгебры МГУ, посвященном памяти А.Г.Куроша (Москва, 19%);

международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997);

алгебраических семинарах ННГУ, НГТУ (Нижний Новгород, 19961998)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Структура и объем работы. Диссертация изложена на 86 страницах, состоит из Введения и пяти глав. Список литературы включает 33 названия, в том числе и работы автора, написанные в соавторстве.

Содержание работы.

Во введении приводится краткий обзор работ теме диссертации и смежным вопросам, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты

В первой главе описаны примеры и основные свойства леводистрибутнвных квазигрупп, введено основное для дальнейшего понятие <р-группы, как группы П с выделенным автоморфизмом <р . Последний должен удовлетворять условию хф(х"')е sTs"1 => хеТ=<уеП | <р(у)=у>, которое гарантирует квазигрупповую структуру на однородном пространстве П/Т. Ввиду неоднозначности представления G=n/T заданной квазигруппы G(») проводится редукция к так называемому «минимальному» представлению. В нем П изоморфна комммутанту L'(G), порожденному подстановками вида Ц-Ц*1 (a,beG). В этой же главе выясняется строение минимальной квазигруппы, вводится определение разрешимых квазигрупп и некоторые их свойства, а также приводятся сведения о гомоморфизмах квазигрупп.

Во второй главе формулируется гипотеза о разрешимости конечных леводистрибутивных квазигрупп. Приводятся рассуждения, в результате которых устанавливается эквивалентность данной гипотезы гипотезе о непростоте <р-групп. Вполне естественен вывод: попытаться

проверить все известные простые группы на предмет несуществования в них нетривиального ^автоморфизма.

Третья глава содержит сведения о группах Шевалле. Теория групп Шевалле достаточно широко используется в дальнейшем при проверке гипотезы для конкретных групп. В этой главе дано описание исследуемых далее групп, а также ряд выводов с точки зрения данной теории.

В четвертой главе приведено доказательство гипотезы для унитарной группы и„(я). Сначала исключается случай Т=1. Далее ход доказательства предусматривает деление элементов подгруппы Т на полупростые и унипотентные и в каждом из этих случаев выводится заключение о наличие в Т инволюции. Затем рассматривается централизатор инволюции, с помощью индуктивных рассуждений устанавливается его ^тривиальность и ^тривиальность всей группы. Объем доказательства представляется достаточно большим из-за необходимости рассмотрения многих частных случаев, а также существенных различий в случае четной и нечетной характеристик.

В главе 5 проводится исследование групп в^я), 2Ог(я), 304(я). В основе проверки также лежит рассмотрение инволютивных элементов подгруппы Т ( снова доказывается их существование в предполагаемом контрпримере) и их централизаторов. Результат - данные группы имеют <р-тривиальную структуру.

Цитированная литература

1. Ficher В. Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung. Math. Zeitschr., 1964,83,s .267-303.

2. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в классификацию. -М.:Мир,1985.

3. Tompson J. Finite groups witn fixed-point-Free automorphisms of prime order. Proc.Nat. Amer. Sei USA, 1959,45,578-581.

4. Галкин В.М. Леводистрибугивные квазигруппы./ Докторская диссертация. - Горький, 1986.

Работы автора по теме диссертации.

1. Лещева C.B., Суворова О.В. О ф-структуре на проективной группе

L^q).// Математические заметки,т.63, №5,1998

2. Галкин В.М., Лещева C.B., Суворова О.В. О проективной группе Ln(q). Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева. Тезисы докладов, С.-Петербург, 1997, с. 186.

3. Суворова О.В. О группах G2 и 2G2. Деп. В ВИНИТИ 26 марта 1997 №936-В97.

4. Суворова О.В. О специальных автоморфизмах симплектических групп в

четной характеристике. Международная алгебраическая конференция

памяти Д.К.Фаддеева Тезисы докладов, С.-Петербург, 1997, с.234-235.

8

5. Лещева C.B., Суворова О.В. Группа U3 (q) и ее специальные автоморфизмы. Деп. в ВИНИТИ 7 апреля 1997 №1150-В97.

6. Лещева C.B., Суворова О.В. Специальные автоморфизмы унитарной

группы U„(q) в нечетной характеристике. Деп. В ВИНИТИ 31 декабря 1997 № 3852-В97.

7. Лещева C.B., Суворова О.В. Специальные автоморфизмы унитарной

группы U„(q) в четной характеристике. Деп. В ВИНИТИ 31 декабря 1997 №3851-В97.

8. Лещева C.B., Суворова О.В. Специальные автоморфизмы группы Деп. В ВИНИТИ 19 марта 1997 № 843-В97.

9. Лещева C.B., Суворова О.В ср-структура симплектических групп малых размерностей в нечетной характеристике. Деп.в ВИНИТИ 04 апреля 1997 №1095-В97.

10. Лещева C.B., Суворова О.В О ф-структуре на группе Sp2n(q) в четной характеристике. Деп. В ВИНИТИ 19 марта 1997 №844-В97.