Функционалы Ляпунова и разрешимость нелинейных параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ8 ОД

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСЖ1Р / ^ ММ? <00*3

I 1,Ци1 дщщ ндук^ и ВЫСШЕй ШКОЛЫ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫМ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Лаврентьев Михаил Михайлович

УДК 517.95

ФУНКЦИОНАЛЫ ЛЯПУНОВА И РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в Институте математики СО РАН и в НГУ

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Зеленяк Т.И. .

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент Российской Академии наук, профессор Коновалов А.Н.

доктор физико-математических наук,' профессор Михайлов В.П.

доктор физико-математических наук, профессор Белов Ю.Я.

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша

Защита состоится Л. 1993г. в ¿О час.

на заседании Специализированного совета Д 063.98.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан Яи^МЯ. 1993 года.

Ученый секретарь

Общая характеристика работы.

В настоящее время качественная теория эволюционных уравнений, основы которой были заложены еще А.М.Ляпуновым и А.Пуанкаре, стала одним из интенсивно развивающихся направлений. Этой тематике посвящено очень большое число публикаций и дать полный обзор литературы весьма сложно. Значительная часть этих публикаций - работа прикладного характера, где традиционные метода качественной теории, разработанные первоначально для обыкновенных дифференциальных уравнений, применяются к тем или иным конкретным задачам механики, химиии, биологии и др.

В данной диссертации речь пойдет об одном из таких методов, связанным с построением функций Ляпунова для решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Обобщение этого метода - построение так называемых функционалов Ляпунова- - оказывается весьма плодотворным при изучении эволюционных уравнений с частными производными. Так, известны}™ свойствами функций Ляпунова обладают, как правило, величины, лежащие в основе метода энергетических оценок. В диссертации на основе • построения семейств функционалов Ляпунова, обладающих рядом специальных свойств, доказывается корректность постановок смешанных задач для ряда нелинейных параболических уравнений второго порядка и устанавливаются качественные свойства их решений.

Созданию современной теории разрешимости смешанных задач для нелинейных параболических уравнений и исследованию качественных свойств их решений посвящены работы В.С.Белоно-сова, А.В.Бицадзе, Б.С.Владимирова, А.А.Дезина, Т.И.Зеленяка, А.С.Калашникова, С.И.Камынина, С.Н.Кружкова, В.Н.Крылова, С.П.Курдюмова, O.A. Ладыженской, В.П.Михайлова, О.А.Олейник, С.И.Похожаева, С.Л.Соболева, А.А.Самарского, B.C. Солонни-кова, А.Н.Тихонова, Н.Н.Яненко и многих других. Как уже отмечалось, трудно дать полный обзор этих работ, поэтому мы ограничимся лишь, указанием на некоторое из наиболее Слизких накгей тематике монографий и обзоров [1-5].

Одна из основных задач качественной теории состоит в описании асимптотического поведения решений эволюционных задач. В конце 60-х - начале ?0-ч гг. в связи с вопросами математического моделирования химических процессов Т.И.Зе-леняком было осуществлено систематическое исследование этой проблемы для квазилинейных параболических задач вида

. и. = a(x,u,u) и + Ъ(х,и,и). (0.1)

ъ Я» Я» 2/ Л

aiux - Ф1Си;|я;={ = О, (1=0,1), (0.2)

и(х,0) = и0(х). (О.Э)

Здесь (х, tj ( QT = 10,1 ]*[0,Т1 (число Т может равняться бесконечности), а £ ö > О, функции а, Ъ, uQ гладким образом зависят от всех своих аргументов.

В основе исследования лежало построение функционалов Ляпунова первого порядка, т.е. так,!а интегралов

I(u) = J Ф(cc,u,ux) dr, (0.4)

о

которне на решениях рассматриваемых параболических задач удовлетворяют соотношениям

й1(и)

-- = - 1(и). (0.5)

at

В литературе рассматривались, как правило, соотношения вида (0.5), где 1(и) и Ки) являются положительно определенными. Т.И.Зеленяком был предложен обидай способ построения таких функционалов. Оказалось, что в ряде случаев лишь величина 1(и) является положительно определенной. Тем не менее, построенные функционалы дали возможность доказать теорему о стабилизации любых ограниченных в подходящей норме* решений задач вида (о.О-(о.з) к стационарным решениям, оценить число этих стационарных решений и привести критерий их устойчивости, описать х-раницы областей притяжения устойчивых стационарных решений. Вопросы построения функционалов Ляпунова исследовались, также, Г.Е.Квасовой, О.Г.Проворовой, Б. Дамдиновым, Н.А.Чумаковой.

Оказалось, что специальные свойства иостоенных семейств функционалов Ляпунова позволяют доказывать априорные оценки вир|и | решений задач (о.1)-(о.з) при уже известной оценке sup|u|.

Вообще доказательство теорем существования решений для нелинейнчх параболических уравнений основано, как правило, на последовательном получении апрэоринх оценок решений ко

все более узких Банаховых пространстах вплоть до оценки Гельдеровских норм старших црозводных (см., например, следующие монографии [2, э]). Затем применяется теорема Шаудера о неподвижной точке в том или ином виде.

Отдельный вопрос составляют исследования минимальности требований гладкости данных задачи и определения обобщенных решений нелинейных уравнений. Эти вопросы в данной работе не рассматриваются. Мы будем изучать классические решения задач (0.2),(0.3) для уравнений (0.1), а также для нелинейных уравнений более общего вида

и = а(х,и,и ,и ) (аи > © > О). (0.6)

XX

Как уже отмечалось, данные рассматриваемых задач будут считаться достаточное число раз' непрерывно дифференцируемыми.

В основе получаемых результатов будет лежать изучение свойств функционалов Ляпунова первого порядка (0.4), а также функционалов.Ляпунова второго порядка, т.е. интегралов вида

1

1(и) = | Ф(Х,и,их,ихя) вХ. (О.Т)

о

Важно отметать, что систематическое применение функцио налов вида' (0.7) проводится, видимо, впервые... Существенно новым моментом является то, что эти функционалы не являются монотонными на решениях соответствующих эволюционных задач. Тем не менее, их изучение позволяет получить ряд результатов.

Целью данной рк5ош является получение априорных оценок и доказательство теорем существования решений смешанных задач для нелинейных параболических уравнений.

• йетдшз. исследования основана на построении семейств обобщенных функционалов Ляпунова, обладающих специальными свойствами, с последующим применением общих методов решения нелинейных задач.

Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1) Корректность постановок ряда смешанных задач для уравнений вида (0.1), не удовлетворяющих условиям Бернштейна на рост.нелинейностей по градиенту решения. Сложность задачи состоит в том, что, как показывают известные примеры [33, для некоторых начальных данных гладкое решение существовать-не может. Поэтому, в отличие от большинства работ в этом направлении, был выделен класс начальных данных, порождающих корректную постановку смешанной задачи.

2) Расширен класс нелинейных параболических уравнений вида (0.6), для которых разрешимы начально-краевые»" задачи.

3) Установлена разрешимость специального вида нелокальной постановки задачи для уравнений вида (0.1) с вырождающимся и со знакопеременным коэффициентом при старшей производной.

4) Доказаны априорные оценки старших производных решений ряда задач вида (0.1)-(0.3) со знакопеременный асимптотически положительным старшим коэффициентом, весьма неожиданные для вырокдагацихся уравнений. Существенным отличием

этих оценок от известных ранее являтся то, что получение аналогичных оценок для семейств приближенных решений позволило бы доказать теорему существования обобщенного решения задачи.

Результаты могут быть использованы при изучении качественных свойств решений нелинейных задач математической физики.

Основные результаты диссертации докладывались:

на семинарах академика Л.В.Овсянникова (Институт гидродинамики СО РАН), члена-корреспондента РАН С.П.Курдюмова (Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН), члена-корреспондента РАН В.Г.Романова (Институт математики СО РАН), профессора Т.М.Зеленлка (Институт математики СО РАН), профессора В.П. Михайлова (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН), профессора Е.Ыадженеса (Университет гор. Павиа, Италия), профессора Ченга (Университет Южной Калифорнии, Лос Анжелес, США), на Всесоюзных школах по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики (Кемерово, 1986; Омск, 1988; Барнаул, 1990), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и приложениям КДУ-4 (Руссе, Болгария, 1989), на Международной конференции по задачам со свободными границами (Новосибирск, 1991), на Международной конференции общества IMACS по математическому моделированию (Москва, 1990), на Советско-итальянском симпозиуме "Неклассические и некорректно поставленные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск - Самарканд, 1990), на Всесоюзной конференции '"'словно-корроктные задачи

математической физики и анализа" (Новосибирск, 1992), на Мездународной школе по эволюционным уравнениям ЮТЬ 92 (Прага, Чехо-Словакия, 1992).

.. Основные результат диссертации опу&гжованы в работах [12-18].

Структура диссертации: Работа состоит из введения и четырех глав. Каждая глава разбита на параграфы. Объем текста работы 140 страниц, библиография содержит 73 наим.

Презде, чем переходить к формулировке результатов диссертации по главам, рассмотрим ряд имеющихся результатов.

Формулировки известных в литературе теорем существования решений задач вида (Ол)-(О.З) содержат, как правило, несколько ограничений на нелинейности, т.е. на функции а, Ъ.

Во-первых, условия, позволяющие доказать ограниченность модуля решения (например, условия, обеспечивающие справедли-зость принципа максимума). Во вторых, условия, позволяющие показать оценку вир (и^Гх,если уже известна оценка мозоля самого решения u(x,t). Как указано в работах' С.Н.Круж-сова, для уравнений вида (0.1) оценка модуля градиента реше-гия является основной в том смысле, что после ее получения ¡уществование классических решений начально-краевых задач указывается без дополнительных предположений о структуре фавнения. (Отметим, что в случае нелинейных уравнений вида ;о.6) требуется также становить ограниченность второй гроизводной и^.)

Вторые условия, встречающиеся еще в работах С.Н.Берн-

штейна, М.Нагумо, Л.Тонелли, формулируются в терминах ограничений на рост отношения Ь/а(х,1по аргументу С- Точные формулировки этих ограничений можно найти работах С.Н.Круж-кова [6,7]. Выражаясь упрощенно, они состоят в том, что, при ограниченных значениях |т)| вышеуказанное отношение Ъ/а должно расти не быстрее квадратичной функции переменной Для случая, когда Ъ/а имеет порядок роста 2+е, построены примеры параболических задач, имеющих ограниченные решения с неограниченной производной [з].

Упомянутые ограничения на рост Ъ/а по аргументу С являются достаточными условиями продолжимости решения задачи Коши

у» = _ } у( ) = > у,( } = у (0-а)

а(х,у,у') .

на весь рассматриваемый интервал изменена х при любых, данных х0, у0, у,. В работе [1] для построения семейств функционалов Ляпунова, позволяющих, в частности, доказывать и оценку вир|а условия на- правую часть уравнения (0.1) формулируются именно в терминах продолжимости решений задач Коши (0.2).

В последнее время, как правило в связи с необходимостью изучения прикладных задач, возрос интерес к исследованию параболических уравнений, сод&ржапщх те или иные вырождения (см., например, [4, 53). Методики, основанные на построении семейств функционалов Ляпунова, оказалось возможным применить в ряде таких случаев.

Речь в данном случае идет о задачах вида

(0.9) (0.10)

и(х,0) = и0(х) . (0.11)

Здесь (х,г) € Ят = (0,1 }■*[(),11, и ц = oonst. Кроме того, гладкий коэффициент а(1) удовлетворяет неравенству

а(1) »8 >0

для > N и монет менять знак при |£| < Н.

Наш интерес к задачам вида (0.9)-(0.11) со знакопеременный старшим коэффициентом связан прежде всего с работами Н.Н.Яненко [43. Здесь ш не будем обсуждать физическую интерпретацию таких моделей. Соответствующие сведения и библиографию можно найти в ¡4]. Отметим лишь, что уравнения со знакопеременным старшим коэффициентом возникают при изучении первого дифференциального приближения некоторых конечно-разностных схем для расчета волнового уравнения.

Рассматривая (0.9) как одномерный аналог уравнения Навье-Стокса, мы получим, что сомножитель ) играет роль кинематической вязкости. Система Навье-Стокса с коэффициентом вязкости, зависящим от градиента решения, изучалась в работах К.К.Головкина, 0.А.Ладыженской. Было показано, что в ряде случаев эта зависимость позволяет доказать корректность исследуемых задач, т.е. служит регуляризатором для исходной система.

С математической точки зрения задача (0.9)-(0.11) оказалась весьма не простой. В работах Т.И.Зеленяка, В.А.

и% = *(%> %г + • '

иго, и = и(и) = 0 ,

Новикова, Н.Н.Яненко и др. [4] получена следующая априорная оценка гладких решений задачи

ЯС Ф o^fjibäi + вир(\и\ + luj) < К(и0,6,Я). (0.12) QT

Оценки вида (0.12) справедливы для различного типа регуляризованних задач, полученных, например, в результате замены дифференциальных операторов по пространственной переменной конечно-разностными операторами или добавлением к левой части уравнения (0.9) слагаемых вида - eö5u/Öx4öi, ед4и/дх4, ed3v^dx20t. Полученные оценки позволяют сделать вывод о слабой компактности семейств приближенных решений в соответствующих функциональных пространствах. Более того, доказана теорема существования обобщенного решения в случае, когда a(U 2 О, V£ е й (вырождение допускается на произвольном ограниченном множестве). Однако, до настоящего времени не обоснована возможность предельного перехода в Соболевских пространствах в главном нелинейном слагаемом а(и )и .

X XX

Правда, оценки (0.12) оказалось достаточно, чтобы обосновать равенство

lim а(ие) = а(и )

~ X X

е~>0

в смысле некоторой вероятностной меры [8]. Получаемые решения называют "меро - значными" (см. [8] и имеющуюся там библиографию) .

Основная трудность в обосновании вышеупомянутого предельного перехода состоит в агг^лорной неизвестности мно-

жества, на котором вырождается функция а(и'х). Исследованию уравнений с известной линией смены знака старшего коэффициента посвящено значительное число работ, см., например, [4]. Оказалось, что в ряде случаев корректные постановки получаются в результате рассмотрения так называемых нелокальных начальных данных. Это означает, что при t - 0 начальные данные задаются на множестве положительности старшего коэффициента, а на множестве ■ его отрицательности "начальные данные" задаются в конечный момент времени t=T.

Задаче (0.9) - (0.11) посвящено много других исследований. Так, проведено значительное количество численнных экспериментов. Интересным является тот факт, что применение различных разностных схем при.дроблении шагов дискретизации показывает сходимость численных решений к весьма похожим функциям. Проводился анализ стационарных решений, исследовались вопросы стабилизации и автомодельные решения, а такке щэугие вопросы (соответствующие ссылки можно найти в [4]).

Особо отметим работу [9], в которой построено специального вида семейство решений рассматриваемой задачи. Эти решения равномерно по норме пространства С сходятся к троизвольным. начальным данным при г — О, но не попадают в область отрицательности старшего коэффициента ни при одном ; > о.

В диссертации установлено, что гладкие решения задачи (0.9) - (0.11) удовлетворяют следующей оценке

где К - положительная константа, а {Зг_е = [0,1 }* [о,Т-ч,], е е (0,Т). Такие оценки являются весьма неожиданными для решений уравнения (0.9) с вырождающимся старшим коэффициентом.

Отметим, что получение (0.13) для множества приближенных решений позволило бы доказать теорему существования обобщенного решения исходной задачи. Это свойство и отличает оценку (0.1з) от известной ранее оценки (0.12).

Далее, пусть существует гладкое реиение задачи (0.9) -(0.11). Если начальные данные (0.11) попадают в область, где а(и^(х)) < 0 на некотором интервале, то мы получим параболическое уравнение с отрицательным старшим коэффициентом в некоторой подобласти прямоугольника <2Г. ■Тогда, в силу эффекта повышения гладкости решений параболических уравнений с положительным старшим коэффициентом, мы получим, что начальные данные и0(х) должны, грубо говоря, быть аналитическими на соответствующем интервале, вопреки исходно предполагаемой лишь двукратной ди$фэренцируемости.

Как нетрудно видеть, априорной информации (0.12) вполне достаточно для определения обобщенного решения задачи (0.9)-(0.11) с помощью обычного интегрального тождества. С другой стороны, для возможности существования решения из Сг в ряде случаев требуется аналитичность начальных данных, что заставляет усомниться в справедливости соответствующей

теоремы сутцествоганип решения.

В то же время, как уже отмечалось, некоторые расчеты показывают сходимость различных аппроксимаций к сходным объектам. Кроме того, известны примеры линейных задач со знакопеременным старшим коэффициентом, имеющих гладкие решения при любых начальных даных из ь (идея построения таких примеров принадлежит И.Г.Петровскому).

Нетрудно видеть, что решением задачи

= (1 + ) аыа) ихх , и(о,г) = и(%Л) = О , и(х,0) = и (х) будет функция

СО t

и(х,1) - ^ спехр|-гг2 f(1 + е_х;в1пт: йг| в±тх, (0.14) п=1 о

где сп - коэффициенты Фурье начальных данных и0(\х.).

Поскольку интеграл в (0.14) строго положителен при í > О, ряд (0.14) равномерно сходится, и функция и(х,Х) бесконечно дифференцируема при С > 0.

Отметим, что гладкость решения в смысле скорости убы-выния коэффициентов Фурье, возрастает на интервалах ? £ (2кк, (2к+1)%), где "коэффициент вязкости" положителен. На интервалах же % е ((2к-1)%, 2к%), где коэффициент отрицателен, скорость убивания коэффициентов Фурье уменьшается, т.е. решение теряет гладкость. Тем не менее, функция и(х,Х) остается бесконечно дифференцируемой при г > О.

Бить может, подобный эффект будет наблюдаться и в слу-

чае задачи (0.9)-(0.11).

Наконец, укажем на взаимосвязь между моделью (0.9) -(0.11) и так называемым уравнением Кана-Хилларда. Многие современные исследования, например [10], посвящены изучению

следующей задачи

<Эи д4v дг<y(v)

— = "7 —2 *■ -(0.15)

дх4 дх2

dv 03v

8х

х-О, 1

дх?

= О , (0.16)

®=о. 1

v\t,0= vo(x) • (0-17)

Здесь - ~(ги + 7;и2 * 70и, причем 7, уг положительные

константы.

В ряде случаев [11] моделями вида (0.15) - (0.17) описывается процесс разделения фаз в бинарном расплаве (в этой случае и соответствует возмущению концентрации одной из фаз). Правая часть уравнения (0.15) получается в результате вычисления вариации так называемой свободной энергии на

границе раздела фаз. Слагаемое — соответствует свободной энергии Гельмгольца. Слагаемое же высшего порядка (с точки зрения модели (О.9) оно играет роль регуляризатора задачи) возникает в результате предположения о зависимости свободной энергии от градиента концентрации.

Следует обратить внимание на тот факт, что в области отрицательности производной ц>^(v) коэффициент диффузии должен быть отрицателен. Этот факт, важный для построения модели, обсуждается в [11] с точки зрения физико-химических

представлений о протекании процесса.

Пусть v(x,t) - гладкое решение задачи (0.15Ы0.17) при 7=0. В силу граничных условий (0.16) интегрированием уравнения (0.15) легко получить, что

ut = <p'fusJ uM,

где

х

u(x,t) = { v(t,t) di ,

о

то есть dv/dx = и.

Легко видеть ((0.15),(0.1б)); что

и) л = const, ul , = const .

Ij s-1

Другими словами, мн получили задачу вида (о.9)-(о.11) при р. = о. Поэтому, мы можем сказать, что процесс разделения фаз в остывающем бинарном расплаве без учета зависимости свободной энергии от градиента концентрации моделируется задачей (о.9)-(о.11) при \х = о.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Перейдем к описанию результатов диссертации по главам. Отметим, првдже всего, что нумерация формул, теорем, лемм, определений, следствий и замечаний независимая в каждой главе. Первая цифра указывает на номер параграфа в главе, а вторая - на номер утверждения или формулы в данном зараграфе.

Во введении приведен обзор литературы, кратко изложено

содержание диссертации, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В первой глава рассмтриваются задачи вида (0.1)-(0.з). Следуя [1], в § I воспроизводится • построение функционалов Ляпунова вида (0.4) (Теорема 1.1). .Содержащиеся в конце ..параграфа замечания указывают на те обобщения теоремы, которые применяются в следующих параграфах и главах.

Основной результат главы - теорема 2.1 - доказан в § 2. Для его формулировки рассмотрим первую краевую задачу

u(0,t) = А, u(1,t) = В, (0.18)

для уравнения (0.1) в предположении, что

Ь(х,ц,0) - О . (0.19)

Определение 2.1. Через ц>(х0,х,у0,у t) будем обозначать решение задачи Кош

у = _ b(x,y,W) t (0-20) а(х,у,у')

У(хо} = У о' У'(хо} = У> ' Определение 2.2. Непродолжа&мое решение <р(х0,х,у0,у1. задачи (0.20), гладкое на содержицея xQ интервале Lc[0,1l, назовем особым решением, если его производная не я&ляета ограниченной для г < 4.

Определение 2.3. Чиоло

г = inf Inf inf (\z(x)-f(x)ii-\z'(x)-£\) , геШ. a€fо, 1 3 ЦКх)

где Sl - множество особых решений уравнения, (о.20), 1(х)

отрезок с концами. О, ?<(х), назовем обобщенным расстоянием от функции !(х) до тожества- "Л.

Теореиа 2.1. Пусть и(х^) - решение задачи (0.1), (О:18),(0.3) и выполнено равенство (0.19).

Тогда если начальные данные и0(х) лежат на положительном обобщенном расстоянии г*0 от множества особых решений ?! уравнения (0.20), выполнена оценка

аир \и (ХЛ)\ $ М) .

х. t

В § 3, как следствия теоремы 2.1, формулируются теорема существования классического решения задачи (0.1), (0.18), (о.З) и теорема о стабилизации этого решения к стационарному решению при г —> и.

Кроме того, проводится сравнительный анализ условия на скорость роста отношения Ъ/а по последнему аргументу и условия разрешимости в целом задачи Коши (0.2).

Вторая глава посвящена уравнениям вида (о.б). В § I воспроизводится построение функционалов Ляпунова второго порядка (0.7) (теорема 1.1).

§ 2 содержит основной результат главы - теорему 2.1 об оценке второй производной и решения. На краевое условие (0.2) накладывается дополнительное ограничение

(-1)1 ф^Си » О (0.21 )

для £ из множества значений решения задачи (0.6),(0.2), (0.3) на части границы х = ( прямоугольника

Теорема 2.1. Пусть и(х,г) € С3(С1Т) - решение задачи

(0.6), (0.2), (о.з), выполнены неравенства (0.21) и справедливы оценки

(х

вир Г|и(Х1.)| + |и < М,

. t 1 х }

0 С*<0.,) 0 *

Пусть, кроле того, для х € [0,1], |и|+|и | $ М, и е Я имеет место соотношение

8а(х,и,и ,и )

-х хх < N . (0.22)

ди

Тогда

вир |и (х,Х)\ < . (0.23)

При этом, если в оценке (0.22) Я = 0, то константу М) в (0.23) можно выбрать не зависящей от Т.

Следствием результатов глав 1, ? являются теоремы о разрешимости задач вида (0.6), (0.2), (о.з), одна из которых для случая первой краевой задачи

и(о,г) = нем; = о. (о.24)

приводится в заключение главы:

Теорема 2,2. Пусть е О3, и0 е С2+а и выпол-

нены. условия согласовать, нлчальних данных (0.3.) и граничных условий (0.24) нулевого и первого порядков (см. [Ъ\). Пуспъ, кроме того, выполнены следующие условия:

а(х,1,0,0) = О,

(~1)1 а(х,1,г),(~1)1Щг\)) 2 О, {0.25)

да

< Я- (0.26)

(Здесь положительная функция ф("т).) из (0.25) обладает свойством

г Т) (*}

-1 т)

о

а неравенство (0.26) справедливо дм (Ч.т^ ей, С € Я при любом выборе компакта К.)

Тогда существует классическое решение задачи (0.6), (0.24), (0.3).

В третьей главе доказывается разрешимость задачи (о.9)

-(0.11) при одной нелокальной постановке начальных условий. Фактически, рассматриваются две задачи с положительными старшими коэффициентами, вырождающимися на части границы области определения. Исследование проводится после применения характерной для задач Стефана замены независимых переменных и искомой функции. Полученная задача зазывается модельной и имеет вид:

у чу; ь>"(у)

v. — - у.--, (0.27)

„2

уу

v v

у у

где vQ € C2+<xay,,y2J;. 0<a<1, <p ( C2([0,T)), <p = const, w € € C4((yl,tj2]), (y,t) e Qj, = i\jry2l*(0,T] и выполнены условия

u'fyJ > О , y,<y«y2 , wry,; = о .

> О ;

u^fy; » е > о , VV = <PW, = v.

<p*it; <--ц ,

б

причем |i > 1.

В § I строится регуляризация уравнения (0.27) и доказывается теорема существования аппроксимирующего решения ve(y,t), а также его равномерные по е оценки

vEv(y,t) ? б - в, .

<рШ < ve(y,t) 5 v.

В § 2 доказана теорема 2.2 о равномерной оценке сверху производной решения задачи с параметром, выровдащейся при его предельном значении. Для справедливости результата требуется выполнение ряда свойств рассматриваемого" семейства задач. .

В § 3 теорема 2.2 применяется для исследования регуляризованного уравнения (0.27). В результате доказываются:

Теорема 3.2. Для ксайого у € (у,, уг1 имеет место оценка

1^0/,< ,

причем К3 зависит от разности у-у и не зависит от е.

Следствие 3,2. /Три калбо.« в > 0 всюду в [у)Г у 1*1о, Т] имеет место оценка

В § 4 полученные результаты интерпретируются в терминах исходной задачи (о.9)-(0.11) (р. = О). Основной результат главы составляет следующее утверждение, формулировке которого предпошлем полный список условий на данные задачи.

Рассмотрим в прямоугольнике ЦТ - Га, Ы*[0, Т] задачу

«Ч = ' <°-28>

и| 4=0 = "о^' (0.29)

Пусть:

1) функция принадлежит пространству С4, причем найдется такое у € Гу0, у2Л что

и'Гу; > о, уе(у1,уг1,

и'(у) < о, уегур.у,;,

w"fi€) > О,. t*0,2 ;

2) функции u0(x), \±т(х) принадлежат пространству Сэ+

причем

и£(х) > ö > 0, ■ и£(х) z 'ö > О, и'0(х0) = и^(хт) = уг

W = У^о' и'о(Ъ) * Ъ* ат(хт) = у,^, и^(а) = у0;

3) числа а < хт < xQ< Ъ таковы, что

< х0 -

где X > 1, И - max { вир и"0(х), вир и^Слг Л;

4) если '(у) > 0 для каких-либо значений yefy,, уг1, или w"'(у) < 0 для каких-либо у€.[у0, у,}, то число 1 удовлетворяет неравенству

Т < ж(1/к -

где число Д выбирается из (4.22), а Д > 2Д. Кроме того, эе = max] вир (¿"'(у), sup f-ш'"(¿ОЛ-

Для функции фа) € Сг(0,Т), такой что

ц>(0) = х0, (pfT; = -Ту, а < q>(t) < Ъ, (0.30)

будем обозначать

Q'V = ((x,t): О < t « Т, ср(t) < х < Ъ), = ((x,t): О $ t < Т, a Z х < q(t)}, = Qt\(xo,0)U(Xt,T)).

Определение 4.1. Функцию u(x,t) € С1 •'(Q'pUG^-°(<f) назовем решением задачи (0.28),(0.29), если шООетпся покоя ¡довлетворяюшря (0.30) функция фа), что u(x,t) е rQ'?UQp, всюду внугпрм Q'f выполняется уравнение (0.28) и траведливы условия (0.29) на соответствующих частях границы

Теореыа 4.3. Пусть выполнены условия вышеперечисленные 1Словия.

Тогда существует решение задачи (0.28), (0.29).

Наконец, глава 4 посвяцена получению сильных априорных >ценок (0.13) гладких решений задачи (0.9)-(О.11).

В § I рассматривается задача (0.9)-(0.11) при ц=0 и

Г - соз£, для НС-%/2,%/21 aft) = | (0.31)

Liu -тс/2, для ¡si ж/г.

Формулируется

Теорема 1.1. Пусть u(x,t) с C3(QT) - решение задачи 0.9)-(0.П) с функцией a(i) (0.31).

Тогда для любого s € (0,Т) выполнено неравенство

А й г < К б"'. (О.32}

и доказываются некоторые вспомогательные оценки.

В § 2 завершается доказательство теоремы .1.1, а в § : аналогичное утверждение доказывается. для полиномиально: функции аШ:

аги = -\г%г + 7,5 + Т0 • (О.ЭЭ

где уг > О и

Т» " > 0 ' (0,34

Условие (0.34) означает, что а(£) < О для £ е (1ГД0

7, = С-7, ± ^ 7? - 47072 УГ2Тг; • Теорема 3.1. Яусиь и.(х,Ь) £ С3 (От) - решение заЭач - fO.Ii; с функцией а(0 вида (0.33) и выполнен неравенство (0.34).

Тогда для каждого е > 0 справедливо неравенство (0.32). Важность рассмотрения таких функций аС?; определяется, частности, вышеотмеченной связью рассматриваемой задачи уравнением Кана-Хилларда.

Наконец, в § 4 изучается наиболее технически сложш случай, когда ц Ф О и аги имеет вид (0.31).

Итак, пусть коэффициент а(%) € Сг не имеет кратных ко] ней и таков,что

а(1)ап(£) < О , V? е Д. причем а(%) ^ 6 > О для ||| > № .

Теореыа 4.1. Пусть u(x,t) € G3(QT) - решение задачи

0.9)-(0.11).

Тогда для любого е е (0,Т) справедливо неравенство

0.32..

Доказанные теоремы 1.1, з.1, 4.1 свидетельствуют, что

бнаруженный эффект ограниченности Ъг - нормы второй

роизводной является характерным свойством моделей вида (0.9) (0.11).

Литература.

1. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблема в теории квазилинейных параболических уравнений (спецкурс для студентов математического факультета). - Новосибирск: НГУ. - 1975. - Г56С.

2. Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. - М.: Наука. - 1985. - 376С.

3. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука. - 1967. - 736 С.

4. Ларькин H.A., Новиков В.А., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. - Новосибирск: Наука. - 1983. -270 С.

5. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений/ Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. - М.: Наука. - 1987. - 480С.

6. Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными// Тр. сем. М.Г.

Петровского. - 1979.- - Вып.5. - С.217-272.

7. Кружков С.Н. Об основной априорной оценке для решений квазилинейных параболическх уравнений// Изв. Уз.ССР, сер. физ.-мат. наук. - 1972, JS3. - C.I6-20.

8. Slemrod М. Dynamics о Г Measured Valued Solutions to a Backward - Forward Heat Equation.// Journ.Dyn. Dlff.Eq.,

- 1991. - V.3, 1. - P. 1-28.

9. Holllg K. Existence of Infinitely many solutions for в forward backward heat equation.//Trans. Araer. Math. Soc.

- 1983. - V.278, J® 1. - P.299-316.

Ю. АПкакоз N.. Bates P., Fusco G'. Slow Motion for the Cahi Hllliard Equation in One Space Dimension.// J. Dili. Eq.

- 1991. - v.90, 11. - P.81-135.

11. Cahn J.W. On splnodal decomposition.//Acta Metallurglca.

- 1961. - v.9. - P.795-801.

Список работ автора no теле диссертации:

12. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорная .гладкость решений ряд? уравнений переменного типа.// Математическое моделирование. - 1990. - Т.2, J6 9. - С. 145-153.

13. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорные оценки решений нелинейных параболических уравнений.// Диф£. уравн. - 1982. -Т.18, № 5. - С. 868-877.

14. Лаврентьев М.М.(мл.) О нелинейных параболических уравнениях, не удовлетворяющих условии Бернштейна.// В кн,"Условно-корректные задачи математической физики и анализа' Темной докладов. - Новосибирск:ИГУ. - 1992. - С.200-201,

lf>. Лаврентьев М.М. (мл.) 0 свойствах приближенных решен«;

нелинейных уравнений переменного типа.// Сиб. мат. ж. -1980. - Т.21, № 6. - С.165-175.

5. Лаврентьев М.М.(мл.) 0 разрешимости краевых задач для некоторых параболических уравнений с вырождениями.// Сиб. мат. ж. - 1987. - Т.28, М 2. - С.79-95.

7. Лаврентьев М.М.(мл.) Оценки решений одного уравнения переменного типа.// Математическое моделирование. - 1989. - Т.1, Л II. - С.132-138.

3. Лаврентьев М.М.(мл.) Оценка старшей производной для некоторых нелинейных параболических уравнений.// Сиб. мат. Ж. - 1991. - Т.32, й I. - С. 72-81.