Функционалы памяти для распределений случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ РГг л „ ШСТЙТУТ МАТЕМАТИКО

КЛИГУНОВА Юлія Юріївна

ФУНКЦІОНАЛИ ПАМ’ЯТІ ДЛЯ РОЗПОДІЛІВ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

01.01.05 — «теорія ймопірпостей ça

• ' глатаматачпа статпстига

Аптороферат •

дисертації па «здобуття пвувовсго ступеня «япдядятя фЬггсо-мвтамптнпяик rrnyi

РГБ од 1 1 fl № Í9S5

КИЇВ — 1085

Дисертацією е ружопис Робота важояаяа в Інституті иатеи&ттш ПАН Увраїпп

Ивувовпй ввріоппн:

кандидат фЬніо-иатєи&тЕЧШік nsys ГАСАНЕНКО В. О. ,

Офіційні оповватв:

догтор «Їішііш-матеиатїг'шях us/s, професор

анісімовв.в.,

кьндвдл фЬика-Мй.'гсиг.твгчкпх iiîÿw

КУЗНЕЦОВ В. М. '

Провідай сргеїзЬодіа:

Інститут кібсркстижїї Б АН України, и. Kîia

Захист шдбудетьсл 25". (у 1C85 p. о гцц^вэ ва oa-

сідапні спеціьаюовлвої рада Д 01.66.01 прн Інститут) и&тшеяжяв ПАП України оа адресою: 252601 Кнїв-4, МСП, вуя. ТЬрт^тжІ всьхл, 3.

Э дксертадією ишква оппаЁомктвгя в бібліотеці Інституту

Автореферат рсюісляно $ Ъ- І If 1895 р.

Вчений сегр«т*.р '

сосці адЬовааої радн

доктор фкікіо-мптгилтячнлх науж

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Ажтусщьпість теми

Визначення функцій середнього (залишкового жаття з’явилося в літературі в працях Барлоу (Barlow) й Прошана (РгоксЬал) у середині 60-х років. Порівняно п функцією інтенсивності функція середнього’ оалншкового життя використовувалася досить мало. Ватсон (Watson) й Веллс (Wellg) використовували що функцію, але під іншою напною, для вивчення ефекту руйнування на корисне життя об’єкту. Прайсом (Вгуноп) н Сіддіїг’юї (Siclciiqai) використовували спадаючу функцію середнього оалншкового життя як один о можливих критеріїв старіппя й роовшіулн ряд моделей, де (застосовуються та*і критерії. Вайсс (Weiss) і Дішон (Dishou) ропвинулн роботи Ватсона и Веллса, вастасозуючи їхні критерії в економічних аспектах. Вони рооглядапи вартість ремонту чи оаміщення компонента, що спінила, о ладу, а також навели аналітичні моделі спеціальних функцій середнього оалпшкового життя. Пійнесс (Наі-неаз) і Сіш'нурвалла (Singpurwalla) виїшачшш границі класів функцій надійності для оростаючпх та спадаючих функцій середнього оалншкового життя. ІЬллаидер (Hollander) і Прошан побудували статистичні тести для спадаючих функцій середнього оалншкового життя.

У багатьох оадачах теорії надійності та обслуговування виникає питання, чи можна визначити вія компоненти, спираючись лшне па ймовірнісний оакоп її оалпшкового життя. У ов’яоку о цим Мют (Muth) рооглянув одну характеристику ймовірпісного розподілу, яку вионачнв як пам’ять. Ним було виоиачено чотири тппп пам’яті — нульову, додатну, від’ємну та досконалу, та по-

будовано три сгіособя вимірювання пам’яті: у точці, на інтервалі та па проиепі (відповідно паоваиі локальною, іптериальпою та глобальною).

Дисертаційпа робота прпсвячеаа внвчешш сягхтисостеп фуие-' дії середнього ошівшкоеого життя та властивостей палі’яті випадкових розподілів пра деяких перетвореннях вад ними. ТЬаож вивчаються властивості функціоналів паш’ті для моглеятін першого Епходу випадкових процесів о фіксованих областей. На основі цих властивостей паведгно цетод рсобнття фасових просторів для маркових регулярних процесів та отримані впрапп, :::;і дозволяють вивчати поведінку тппу глобальної пам’яті моменту першого виходу в (залежності від початкового стану процесу для вінерового процесу оі оносом та для узагальненого ну&ссонова процесу на-півнеиерервного оншу о від’шшш ОПОСОІЛ.

Мотв роботи ■

Мета дисертації полягає у вивченні властивостей функції середнього оаяішжового житлі та властивостей пам’яті. Іккохс у ро-иробці метода роіібпття фаіювпх просторів маркових регулярних процесів, в основі якого лежить мініміоація функціоналу відзначень глобальної пам’яті моментів першого виходу процесу о неперетян-вих підкласів а також вивченні поведінки типу глобальної пам'яті для моменту першого виходу випадкових процесів пуагсонова та вінерового типів о деяких областей в належності від початкового стану процесу.

Мятсд'їаа да-слїдиепь

Методика, яку використало в роботі, базується на методах теорії гїппадковах процесів, функціонального глаліоу та теорії обслуго-

ГуТГЛП'І.

Лгіукока иовганш ■ ■

У дисертації містяться такі ноні результати:

в отримані необхідні я достатні умова, яві «задовольняє функція ссргдиїлго оаппшгопого гхпттл у класі абсолютно неперервних функцій надійності, що правильно (змінюються;

о вивчено умова інваріантності глобальної пам’яті для суміші, огортаї та дія суші випадкового числа випадкових велотян;

о наведено ?.!стод рообнття евгіпченновпшрігах фаоовпх просторів наркозах процесів, оаспопапіга па міпіміоації функціоналу під оначега» глобальпої пам’яті .моментів першого ппходу о пепере-тппнпх підкласів;

о спинено попедінку глобальної пам’яті моменту першого ппходу ЕШіадюЕОГо процесу о інтервалів у оалежпості від початкового етапу процесу. Реоупьтатм отримані для еіперового процесу оі гшосом та узагальненого пуассонова процесу, папівпеперо-рвпого споту о від’ємяпгі опосом, функція рооподілу стрибків

ЯЕОГО Є ПОХаОШІЕОЕОГО.

ПрЕзтЕГгга та тоора,гн*їпа иінпіс'їь

Загальні реоультатп дисертації носіть теоретячпнп хараятер, айз

з роботі сагадсш приклади їх практичного оастосуваніш в овдачах

теорії обслуговування Та теорії надійності. Наведений в роботі метод рообиття фааових просторів та нагальний вигляд внраоів, що Еипначають тип глобальної пам'яті моменту першого виходу випадкових процесів в залежності від початкового етапу, можуть бути реалізованими на ЕОМ та є корисними в багатьох інженерних оадачах.

Апробація робота

Результати роботи доповідались ва IX Білоруській Зимовій школі-семінарі “Математичні методи дослідження систем та мрреж маг сового обслуговування” (2-5 лют. 1993 р.), на семінарах кафедри прикладної статистики факультету кібернетики Київського університету, відщлу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту математики НАІІ України та семінарах інституту кібернетики НАН України.

Публікації

По темі дисертації опубліковано 4 роботи, список яких наведення нижче'. Е

Структура та обсяг роботи

Робота обсягом ЮЦ сторінок машинопису складається чі вступу, трьох розділів, списку деяких стандартних пооначень та списку літератури, що містить уі( найменувань.

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертації, дається огляд найбільш близьких до ці« теля результатів та коротко накладено аміст днсзртгщії.

У ршдіяі І вппчаготьсл вллстіїеості функції середнього оалнш-госого жпттн та основні шіастпвості пам’яті. Наведено необхідні відомості про фунжціго г(£) та пам'ять випадкових розподілів. Всоппчеяпя 2.1.1 Функцією середнього оалпштгопого ігсіггтя па-аппг.сп,сп .

де Л(і) — функція надійності. Характеристичною пластлпістіо функції середнього оалігпігопого життя е те, що м(і) в її представленні е функцією надійності. Наведено зпоначегатя локальної, іптервальної та глобальної пам’яті.

Бпаначоппя 1.2.1 Мірою іитєрвадьпої пам’яті па езіпчеппому інтервалі (£|, і?) вшивається

Вкшіїгитаня 1.2.3 Мірою локальної нам’яті в точці Ь набивається

Ввояачеяна 1.2.3 Мірою глобальної пам’яті на нескінченному інтервалі (0, со) наливається

о

«у ^¿л^проіи-кшу иц^ ¿л*ь ї^чму^тьсіх до сіїромоііЛіості

рОі/НП'п ї^П'ОЬП, ¿nj ЬїК ^ і/: •• л.=^' ! гг; t? liUX; »A^Stí 'ПЯЬкЬ U

:J-'ibn^‘lLbwi s.1 í3: ; Які. ..v;,.;:.M-; ,:,

■ ' S> i ! \ •■' * < < *“■■ ¡ '*"^ | ' .•'«■' í ■' ‘ ' -"’ і Д • ' ; • ! •' 1 І ■’ ■ *■ ”- ■• ‘ : • ' ¡Í--.J-1 » iJl

¿i ;:ш;; ’ .. ;•. ■..• v- ;;■:• - ■ • ч:.-.*..'. ;, ■• - • ¿. i¿- .

Ttïim m Є (0, i i. '¡o í:-;>3ií¿-:;r.4 uac ,í:¡‘: v шш’кть. ■■

;Ul!U’> i і';Л IV ’

UciiUbííHsi omy¿,:.-JV неріпа: c г.ч; ї/їїлу c наступна теорема

f¿í>4¡ njrac’rüüíjcvi фуііїцп сіДі-Дііі^ни іиаг.ііпчншгй н:іііт.а.

. . __! О і. ,t(j.í¿ г- . ; * ■'- і; ' ' J - ї -у ■ : *■-' k ’■■ ■■■--■ -

г.ісю ссріоа^о¿v „vjj. ,г,:...-ї;¡/ í;.í«ci tói?CúyiW¡7»íi0 :ic-

uf);€-¡wnt.v ¿;:;;¡;,v4íiU íítu.'n.-'n:;;« t,.«;?-.-,, «40 m'actwuiw в<чш-»«».’«глпіьс/; ;¡ H!r;:£VKO¿: ■ t4>Ví;-»í.v*<> ti CKHffftCimKüO, Ш06-

: ,\

,;, ; HT». ---—-----= — д;

' í-к» r(i) .

Л »‘'(O , .

ч bin -7~r = І.

*-*« ru; _ _ ■

Далі Еставовашсться ub'ktkie між ¡cíú-com опукакх строго монотонно спадаючих фушціі> г(і) ти сфоги иинитонни иростшочих фуПСЦШ ІВТвиСИІШОСТІ ШДЖХяЗСНЬ.

ТЕОРЕМА І.Б.І Нехай функцій середнього залишкового '¿cumias е опуклою та сглрсго монотипно спаоакгкти. Тоді функиіг ттепсиїнссип oió.’.ioaatin> сиуюво Аіопатопно аро-

,,Т;т;?л -/fï'Л>у' УГЧ:”' И*'1'

\:vir5T?î. tvi’i'fvi í.".

і, ?, >J,

•Í. •áíH'fiiiViA ї.іі.І Its і, і - і.«,... — ;>,h:c.-ü«c4v.,'¡ .;;н>

pisuoposnnoUeui ùvna-Jtmji. vsiv'iiiaн. l‘o:}^Js-î:\''mhC:; 3V « ÜCÎat &> *'e w — аила&еозиЛ inf}-:r.c счмузскпз, ’¡to набиває значення O,і,2,.*. незалежно від £«> mö виконуються y«wets:

1) Efi = т < оо, Е£,2 — di < со V* = 1,2,...

2) 3Ev < сю, 3Ew* <ео,

л) >2, .

{'■"У .

ТГ'?! ГТ’.'.'^ЯЛ. -í 0.

У jinvrhi гл і.'і npíuKiíwvn■: лі '-.vu-; .'.лч-нн'о [кищшл^пгл >,.■■■

«”"і<Пт»Г» ‘•viü’-WUVO Í i t : ! - ' ■J- • V - ' • •■■■,! ■ .. ¡ 1 ! . ■ ' i - -

V! основі 9S0l*0 ГШЖИТЬ il!!:*. V. V- í ;:Л t : Л ■7 ! i U : : l. Vi У ”!Д i: л.

"oí пам’яті моменту першет «тюзду « .to&uuro «дає/ рг»:о:п-ч;і. 'КРИТЕРІЙ ІІЛ Лехай зл^пт? г}"цул2:тий марковий процес ¿і стппчеппою .чпоухнпап/ глг>и;-ч.:' л, .’шириием t-j — ti початтаашн ролпо^мол р ~ 1 Мехзй І — 1...., m е

яііьхість станів розбиття.", а Фільопі ottiuui я- s іпд’ляятт-ра.чп пмежноеті етапу с: ел Тп:

! _ 1 -Ч ’і а* І 0, 5; $3: ’

які повинні асдоаолышпи наступні умови:

1) у пожноліу шасі не метне одного етапу

■ П .

1 < У' а[ < п;

Іа\

2) умова балансу

ЕЕ“!-»;

і і

8) дл& фіксованого розбиття кожен етап належить лише до одного класу

ги

<*л

ва побудовою кожен набір векторів бульових змінних задає розбиття простору Е ко пеперстшші підкласи. Тоді хиу-паие розбитігш задається набором а, які мінімізують наступний функціонал:

• п4і..........................*£)« •

со

0 ІЄ{У-с^=°} і'Є{і:а|=1{

/* £ Ц лор.(0*

!_0 і€{і;в^=0} *'Є{*:о^=ї)

Е

(“'і.-.“*.)

-г“‘ і"»

2 1 * * 4 п

Thsojs псгааовлюсться ob’sook міїх павадгаїм методом розбиття Н йСЇШГГГОТН'ШИМ у^рупиепшш.

ІЬердгіопшз ІЇ.1 Лтцо задане розщіплєппя фазооого про-

w Г ч

стору реальної системи у оигллді Е ( J Ek, яке огш-

і—і

сусться фуіуяціею розбиття ф\(Е) і узгоджене з представленням Р = В) — В,, то F(^)(S)) 0 при є —* 0.

Третій розділ прпсмчет вивченню типу глобальної пам’яті моменту першого впходу вшіадгового процесу о фіксованої області в оалшпості під початкового столу процесу. Рсзгяадастьсз вішір-ппп вппадотішй процес сяду

- • ■ n-: s:ic:j]>:~

£x(t) = я? + ai + bw(t), 'l cscщі-„

де w(t) — стандартний віперіп процес (Еіу(і) — 0, Бгм2(б) = і), а х — £(0) — фіксовалс о інтервалу (а, (З). Поопачамо череп т~ момент першого впходу процесу £j(i) і ппгдеио функцію G(z) — 2(Ег.)3 - Ет?.

ЇЬзрдгіепнл Нехай £x(t) с віпероаилі процесом зі вко-

сом виду %z(t) — х -f at + fria(i). Тоді вираз, що аизіїачас тип глобальної псш'лті люліентпу першого виходу процесу зі смуги (а, 0) в залежності від початкового етапу х, лає оиглзд:

" ~t і ~ ~ ч/)>

. ' p

' f , і >;) _

•' ^ /• ' ./ r •,■ ;

У реяі, ЕОЛН ИСтТЕОБ® ОЕРЛОНЕЯ Процесу ДОСТЗГІНїИ> 6,№5ЬШ справа від а, загальний ввд останнього внраоу спрощується і е вірною наступна теорема.

ТЕОРЕМА НІЛ,!? Пж:й сппа^кооай прах',sc £,(*) ляе ««<>

£s(i) “ S + «Î 4* Î;£-ï{i)j eWitsàttOÙÙ OCAU4ÜUÜ Тя C MOMiiiiùïOr.i першого вигоді? прщ-sci;, кали його початкове апачспи.ж ûa-

сттпиьо близько спраоа еі<?а. Тоді с'лж II — 1 — ехр (—p-j

ЛІПІМО . ■ ■

1) ЮіЩО .

Lj — Sa'ft* — tda*i{ I — 4---------1-----\ + datr — 3¡>'’K' > 0,

\2 4a a / '

î,i£? m^r.) < 0;

Ù) Utilisa

Lt - 6-і2«2 ~ 8iT<i3üri? -r — + + daf?K* - 3b4 ІҐ < 0,

\7, 4a

mo mo{rz) > G'.

. і ^лп'ллллспгл плтнш'гггл^рллг-• л ■ " . і ;л:л;,!; ну;н:-

л'лП:''С ftUt » U!ü/шшіМ r-iv'-r-.:; •; • л:' тог«) Г‘>'

.-.■•і . !. > ллша;п::е:п. s їлг.-'лсті.с'л :!Ылл";лл і; лл-:л лоі штлті

.....г-' ГГЛ'ПЛ'.' rf'.*», '»") П гО,Т) л ír¡.‘-r'il)ЛС;Л

•',5л ’лл’ат;:;:;::”!'? ггацу nncnccv. У г’гст-'ппіл л: noc‘fi лл лпзло п::;- !'л ;;iд ni;f>any «ї.укаїії ' ! ' “ rHfh ко :'..ллл'лге t¡:.íi

...... ......

л.чЛ UL«J.i ilC’SCtÛ ¿¡C,,} ait О ПїІОЦСС í:{: S и’Г;из:‘СПЄрЄ~

г:;п:л:г — узйгальі'е.іни г:ц;-"с<: л;л л ,;л.л;\ллл,л лггссо.-і а < о, пяріинтпр якого 7, cmpitomi яояаснихоао jv-moutvicp.i s 'і<іраг;епурс.!і ¡i і яу.щлгпипа suit: 'лл’-ллу ---л,

ГІГ..Т) г. перш О sa (iUZOÓ.I \ïVC,iU'?;i ;• \ C і Л zUVlCWfí-tU

(ü.T\. FosH dhmtruist. «го ггг"..'п- ■•?,*<? ír*. г('лГ

rf.t. лглі’лзносїтїї бід я ."ас

> \ л!яг> -/-і' -- 4 ;

/r ( JEZÏïL _ URjThß _ 2Д~(Т)/і7 ^ Д^ГІт8 \ ^ " f у аЦап + у)г ■ аи + ч (an + 7)3 «(mi-f-7}3/ ’

2/плі2 _ ‘lARiTYr . 2ЛЯ(Т)ащ _ 2Л/?(?>7

*t^7;í 4- 7 Vі (/ш 4- 7)î (v/i -f •;*•)*' (stjt -г 7)3

-;(П(Т)П ~ Aff(T)} І Н?(Г)(тй - ?ґтн)\ '

+7) («;;-r 7)-" j

, z'R~(T)¡i2 j2ii1ni(T) ' 'blE(T)frá , ЛД(Г)ар»\

' (-;• -' 7:) ' V(й/х і- 7)3 *;2t7 ' •+- 7}* /

, _ -,1Д(Г)да7(а/і -і- 7 -і- і) ^ І^СПГ __

лл., ■ 7)'; Л>; —. л'

ЁЙ11 а72

Т2а( і2

Ъхр^Т

2й2^

а \ (а/і 4- 7)3 2(а/і 4- 7)2 (а/і 4- 7)5 (а/х 4- у)

Іі(П(Т)В - А#(Т))

Ч

ад 4- 7

де

ехр

у{х)

ЩТ)

А ~ -В

м.

|~ (д/і 4-7)ж|

а \о/і 4- 7 1

а/і 4-7

(а/і 4- 7)Т

/ш

й/і 4-7

)•

(а/і 4- 7)Г\ {~7а(Г 4- а) — 2а^/і]

а і V а /[ (а/і + 7)3 ]

07“

Т3а/і

ЧаціТ

2а3/і

(а/і Н- 7)3 2(а/і 4- 7)* (а/і 4- 7^* (в/1+7)4

*го - -¿{схр(-<ї^) х

«Г7 ГУ/* . **#*7

«(-

а(а/і + 7) (а/і 4- 7)* (о/і + 7)®

ару 2а/*7

(а/» + 7)» (ар + чУ’

Наведено тагож теорему про гярбальву пам’*ть моменту досягнення першого рівня.

ТЕОРЕМА ІІІ.2.2 Нехай маємо одноканальну систему з необмеженою чергою, ¿Є проміжки часу поміж моментами надходжень вимог взаемонезалежиі й мають показниковий розподіл а параметром А. Час обслуговуваним також по-казттовхгй э параметром /і. Нехай у початковий момент

часу довжина черги дорівнює нулеві, Т\ момент часу, поли черга вперше дорівнює одиниці. Тоді

то<г,)--(лТ70;<а

Оспоппі ршультатп дисертації опубліковалі d наступних роботах: -

1. Клыгунова Ю.Ю. Условия сохранения тала памяти при пехо-торьпс преобрапопляиях случайных величин // Аналптпчесїпе со-просы стохастпчесінх систем, Кпез: Ип-т матеиатпгсп АН Укра-ітпм, 1992. — С. 19-33.

2. Клыгунова Ю.Ю. Паиять тах одпо свойство распредглсппгі случайпіга ерлпчпп // Tfcn. IX Бсяорус. Огшпел Шшлы-семппара “Математпчесзне методы последования систем п сетея массового обслуживания”, Мппсз, февр. 1993 г. — Мпесз, 1993. — С. 64-65.

3. Клигунова Ю.Ю. Фупхція середнього оалшпгойого шггга у зласі гбсолютпо неперервних правильно оміппгсс функцій надійності// Асамптотігшнн апалЬ вппадговпх ешлюцій. —КпГп: Іп-т математики НАН Уїраїии, 1994. — С. 145-152.

4. Клыгунова Ю.Ю. Память для ыоыепта первого выхода случайных процессов вп фэтснрованпых областей. — Киев, 1994. — 34 с. — (Препр./ НАН Уіранньї. Ин-т ыатематшш;94,28).

Кдшупоїха ІО.ІО. "Фуыхционааы вашті для раснрвдзіїяіаі: сцгчеіі-ш паличіпі*. Рукопись. •

Дксссрт&цаа иа соисЕаака учёной стелена кгадрдг.та фтагізо-пате-іютгавх паук со спсциадьвостп 01,01.05 — теоргш ьсроятиостей а математическая статистика. Институт ц&теиатнжы НАН Уірашїи, Кіхгв, 1995.

З&щкц.ъатсг диссертация, соошцгітая Есслздаьгдшю свойств фуш;-іран средней оставалася хоіонз в свойств ц&ыятк иоиеатоа первого выхода случайных вроцессоэ их> фя^сирозанныя областей, Раесіштрсіш обобщенный пу&ссоноа цроцзсс» полунепрерывный сшззу с отрицательный cuocoы, а решеине одкорсдЕого стожа^тычесеого дЕффсрспдкйльЕого урааиеякя. Подучены nbtpaacsaa, оиредав ипщда тіш гЕзбадыюц к&шпгя ыоиеитй первого выхода отсх процассоз в оавксниастс от их начального состояния. Предоожеа сдан истод разбевшіа фзвосого пространства иар-ковсхях регулярных процессов с еоеочным шюаестазп сеетогшш, смеющей практическое вркмепезго.

Klygunova J. Yu. “Memory functionals for distributions of random variables".

Doctor of Philosophy thesis, speciality 01.01.05—probability theory c.ad mathematical etastice. Institute of Mathematics, National Academy ci Sd-cmces of Ukraine, Kiev, 1995. .

The thesis to bs defended deals v»itb Investigation of propertks of the mean residual lifa function and the memory of the first moment of tha leaving of tha process the fixed domains. Considered are tha gasaraiisad Poissoa process scini-coatiniioiu: from below with & nngativo driii and the воіцііоїі ci & homogenbua stochastic deflercntial equation. The esprtsaiona determlnlg the type of the global memory of the moment of the first baying of theso processes depending on tbsk initial etato cjo obtained. A Essthcd of partiiioa of tho phase в росо of the Markov regular process with finite pet of etbtcj is given, Trhich ю be applied to practice.

Ііізгез&і cssan&i Фушсціа сьредіаого оалиашоього ixirrrs, ir-uV.-:. рооігодіау сгтадЕовсЗ вшпгшнп.