Функционалы памяти для распределений случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

on ..

01.01.Q5- теорія ймовірностей та Математична статистика

, Автореферат .

дисертації на здобуття наукового стугони кандидата фізико-матвматичиих нзух

На правах рукопису КЛИГУНОВА ЮЛІЯ ЮРІЇВНА

ФУНКЦІОНАЛИ ПАМ’ЯТІ • ДЛЯ РОЗПОДІЛІВ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

КИЇВ-1996

Дисертація е рукопис ЇЧхкла виконана в Іпстіпугі иатшатики ЛАН України їв на кафедрі прикладної сттисписн Київського універсптс-іу імені Тараса Шевченки

Наумові кершінки: . .

члсц-корссаондеігг І і АН України, доктор фізико-ииішіпичтіх наук, професор АНІСІМОВ Володимир Бладислаьошіч ишдцдиг фізнко-лттематичіпіх наук ГАСАНЕНКО Віталій Олексійович

4 .

Офіційні опоненти: ' •

Доктор фшко-иатематичних наук, професор КАКТАШОБ Микола Валентинович Доктор фізкко-штсштнчшіх наук, професор КЛОІІОВ Павло Сшюионоаин Провідна усшіока:

Інститут прикладної математики та иеяднші НАНУ, и. Донецьк

Захист відбудеться "2}' 1997 р. о 14 годині на аасідшші

спеціалізованої рад» К 01,01,21 при Київському уніиерентегі і«е«і -Тараса.!Левченка за адресою: 25212"/, и. Київ-127, пр. Глушхоьа, о, корпус иехшііко-ішсштіічноі чі факультету, ьуд. 42. .

З дііссргаціею моыни шпайоьишил о бКшогші уніисрсііияу ай адресом-, м. Київ, вуд. ВолодішнрськЕ, 48.

Акорсферег розісШі! і 'іґ2- & " 199 ґр

Вчений секретар

шеишіїішшшї вченої ради КУІ'ЧШИчО 0.0,

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми .

Визначення функцій середнього «залишкового тиття (з'явилося в літературі в працях Барлоу (Barlow) й Прошана (Proschan) у середині 60-х років. У порівнянні о функцією інтенсивності відказів функція середнього залишкового життя, використовувалась порівняно мало. Зацікавленість у вивченні цієї функції пов'язана о тим, що у моделях, які описують людську смертність, знос, старіння, ремонт тощо, керуються властивостями, що спостерігаються та фізичними принципами і досить часто трактують процес старіння у термінах спадаючої функції середнього залишкового життя. Така функція є доброю характеристикою в визначенні емпіричної функції розподілу. Виходячи о цього Ватсон (Watson) й Веллс (Wells) використовували цю функцію для вивчення ефекту руйнування корисного життя компоненти. Брайсон (Bryson) й Сідцікі (Siddiqui) користовувалися спадною функцією середнього залишкового збиття як одним з можливих критеріїв старіння. Вейсс (Weiss) і Дішон (Diahon) пристосовували функцію середнього залишкового життя в економічних аспектах, визначаючи за її допомогою вартість ремонту чи заміщення компоненїи, що вийшла з паду,- Гкйнесс (Harness) і Сінгпурвалла (Singpurwalla) визначили границі класів функцій надійності для зростаючих та спаданих функцій середнього залишкового життя.

Широко відома властивість відсутності післядії у експоненти (властивості системи у будь-який момент часу тїж самі що й в початковий момент) часто використ дуються для побудови різноманітних моделей. Але при розв'язку багатьох задач, які з'являються в економиці, біології соціології Тощо такі припущення часто не є обгрунтовані. ТЬму у 70 p.p. американський вчений Муте (Muth) ввів нову характеристику ймовірносного • розподілу, яку визначив як пам’ять. Він запропонував ^рй ото-

соби вимірювання пам'.гі: у точці, на інтервалі та на промені, Й класифікував їх по значенням на чотири типи.

Дисертаційна робота присвячена вивченню властивостей функції середнього (залишкового життя та властивостей пам’яті ішовірносних розподілів. Вивчаються властивості інваріантності пам‘яті відносно деяких типів перетворень. Вводяться нові функціонали глобальної та локальної пам'яті для дискретних розподілів та досліджуються оастосування в задачах рообиття фазового простору марківських процесів.

Задачі неасимптотичного укрупнення розглядалися в роботах Кемені й Снела, а також О.М. Захарігщ, де було одержано умови на перехідні ймовірності процесі/*,, при яких укрупнений процес знову буде марковським. Задачі асимптотичного укрупнення досліджувалися в роботах B.C. Коропюка, А.Ф. Турбіна, В-В. Анісімова, М.В. Карташова, де досліджувалися умови слабкої збіжності укрупнених процесів до марковських. У роботах

В.В. Анісімова і М.В. Карташова одержані оцінки близькості розподілів укрупнених процесів до марковських в термінах коефіцієнтів перемішування або максимальних власних чисел операторів, які відповідають перехідним ймовірностям. Одна*, треба відмітити, що у цих роботах питання про оптимальність відповідного рообиття фазового простору марковського процесу, по якому будується укрупнений процес, спеціально не досліджувалось. .

У роботі пропонується новий підхід до задач аналізу укрупнення фазових просторів марківських процесів на базі одержаних властивостей функціоналів глобальної пам'яті часів перебування марківських процесів у скінченій підмножщгі станів. Побудовано новий функціонал глобальної пам'яті для рообиття, який розглядається як міра якості розбиття, по якому будується укрупнений процес:. Оптимальне розбит-гя шукається шляхом мінімізації функціоналу глобальної пам'яті для розбиття. .

Мета {робити ' ■

Метою дисертаційної роботи с: .

• вивчення властивостей функції середнього залишкового життя та властивостей Пам’яті, побудова функціоналів глобальної та-локальної пам'яті для дискретних розподілів

• вивчення властивостей пам'яті часів перебування у підмйо-

жині станів харківських процесів та побудова функціоналу глобальної пам'яті для розбиття фазового Простору марків-ських йроЦесій; ’

• вивчення поведінки типу глобальної пам’яті для моменту першого виходу деяких кладів випадкових процесів о фіксованих областей в залежності від Початкового стану процесу.

Мс тодика досліджень

Методика, яку використано в роботі, базується па методах теорії випадкових процесів, аналітичній теорії марківсетих процесів, методах функціонального аналізу та теорії обслуговування.

Наукова новизна •

• встановлено необхідні й достатні умови, яким задовольняє функція середнього залишкового життя у класі абсолютно неперервних функцій надійності, що правилпьйосмі’псються;

• на базі вивчення властивостей функції середнього валиш- .

кового життя встановлено зв'язок поміж певними класами . фугікцій середнього залишкового життя та функцій інтенсивності підказів; ■ .

в досліджено властивості інваріантності глобальної пам’яті рбо-поділів підносно суміші та згортки;

• введеш нові поняття функціоналів глобальної та локальної пам'яті для дискретних розподілів; ч

• • вивчено поведінку глобальної пам'яті моментів виходу із під-шюжшш марківських процесів. Одержані необхідні й достатні умови, які характеризують ці моменти в термінах функціоналів глобальної пам'яті;

о побудовано новий функціонал глобальной пам'яті для розбиття та вивчено його властивості;

о оапропонований новий підхід, який дозволяє розглядати задачу укрупнення фазового простору о точки зору побудови оптимального розбиття, шляхом мінімізації функціоналу пам'яті для розбиття, яким розглядається як міра якості розбиття; .

о розглянуто деяхі класи випадкових процесів й одержані загальні вирази, як функції від початкових станів процесів, яхі визначають тип глобальної пам’яті моменту першого виходу випадкового процесу в фіксованої області. . ■

ГІрак-тнчна та теоретична цінність •

Результати дисертації носять теоретичний харахтер. Вони складають основу нового підходу до задач укрупнення фазово. > щ. > стору харківських процесів. Наведений в роботі метод розбиття фазових просторів та загалі,ний вигляд виразів, що визначають тип глобальної пам’яті моменту першого виходу випадкових процесів в залежності від початкового стану, можуть бути реалізовані на ЕОМ та є корисніша в багатьох інженерних задачах. Крім того, воли можуть аканти застосування також: в економічних задачах. ’

Апробація роботи

Основні результати дисертації доповідались та обговорювались

на: .

• IX Віпорусьхій Зимовій школі-семінарі "Математичні методи дослідження систем та мереж масового обслуговування" (Мінск, 2-5 лютого 1993 р.);

• семінарах відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту математики НАНУ (керівних семіиару-професор А.Ф. Турбін);

• семінарах ” Статистичний, аналіз я оптішіоація стохастич-них систем” Наукової Ради по проблемі "Кібернетика” НАНУ при кафедрі прикладної статистики факультету кібернетики Київського університету ім. Т. Шевченка (керівній семінару-професор В.В. Анісімов);

• семінарах кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики Київського університету ш. Т. Шевченка (керівник семінару-професор М.Й. Ядреихо)..

Публікації

Основні результата дисертації опубліковано в 5 роботах, список

яких наведений в кінці автореферата. ’

Структура та обсяг роботи ,

Робота обсягом 132 сторінок машинопису складається зі вступу,

трьох розділів, 9 параграфів та списку літератури, що містить

38 найменувань.

основний ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертації, дається огляд найбільш близьких до цієї теми результатів та коротко викладено оміст дисертації. '

У розділі 1 вивчаються властивості функції середнього залишкового життя та основні властивості пам'яті ймовірносних розподілів. ,

Визначення 1.1 Функцією середнього залишкового життя називається

1 °°

г^ = Щ IRMdx'

де Я(() — функція надійності.

В параграфі 1 встановлено необхідні й достатні умови, який повинна задовольняти функція середнього оалишкового життя в класі абсолютно неперервних правильно змінних функцій надійності порядку р < —1. ’ '

ТЕОРЕМА 1.3 Для того, щоб функція r(t) була функцією середнього залишкового життя у класі абсолютно неперервних функцій надійності, що правильно зшннюються з порядком р < —1, необхідно й достатньо, щоб виконувалися наступні умови:

1) V* > 0 r(t) > 0; . .

2) VI > 0 3 r'(t) > -1;

3) Ііш — = С.

' t~»00 r(t)

Якщо при р = —1 вионачен 7™ Я(г)сіх,то

4) .

ft dx .

lim/ -----=-+оо.

t~i<x>J0 r(x) .

Встановлено зв’язок між класом опуклих строго монотонно спадних функцій r(t) та строго монотонно зростаючих функцій інтенсивності відмовлень. '

ТЕОРЕМА 3.1 Нехай функція середнього залишкового життя є опукла спадаюча. Тоді функція інтенсивності від-клзів строго монатоно зростаюча. Обернене невірно.

Б параграфі 2 побудовано нові функціонали глобальної та локальної пам'яті для дискретний розподілів які відрізняються від неперервних аналогів.

Вионачепня 1.2. Мірою локальної пам’яті в точці І напивається

Впгшачєппя 2.3 Мірою глобальної пам’яті на нескінченному інтервалі (0, оо) називається

Вконачепия 2.4 Функціоналом локальної пам'яті для дискретної випадкової величини Т , що приймає значення (1,2,навивається .

Виопачєпнп 2.5 Функціоналом глобальної пам'яті для дпасрет-ної випадкової вєяіі лши Т, що приймає значення (1,2,називається ’ ' '

Розподіли поділяються за значеннями, що набуває ш, на ' чотири типа:

Якщо т = {0}, то розподіл має нульову пам’ять.

Якщо т ~ {1}, то рооподіл має досконалу пам’ять.

т^[к) = г[Щ — г{к + 1), к>0.

т°=2~ ~т~

ЕТ'1 + Е:Г

Якщо т Є (0,1), то рооподіл має додатну пам’ять.

Якщо ш Є (-оо, 0), то розподіл має від’ємну пам’ять.

Спід оауважити, що шцо рооподіл є експонентою або геометричний, то глобальна пам'ять нуль. Обернене в вагальному випадку невірно..

Також досліджені властивості інваріантності глобальної пам’яті відносно суміші та огортки. ■

Твердження 4.6 Додатна глобальна пам'ять інваріантна відносно згортки.

Твердження 4.8 Від’ємна глобальна пам'ять інваріантна відносно сухііиіі.

У другому рооділі вивчаються властивості пам'яті, пов'язані в рооподілом часу виходу іо скінченої підмножини станів МП о дискретним та неперервним часом.

Розглядається ланцюг Маркова о дискретним часом й скінченим фазовим простором. Розглядається підмнокіша /, яка є неовідною та незаихненою (тобто не містить оамкпених під-множин), ті є час час перебування процесом в підмножині І до першого виходу. Позначимо Р = \р,})і,]сі- Наступна теорема характеризує часи перебування в підмножинах в термінах функціоналів глобальної пам'яті.

ТЕОРЕМА 1.1 Якщо Р незвідна, то для того, щоб нас перебування в підмножині І неш залечсав від початкового розподілу й був геометрично розподілений, необхідно й достатньо щоб для будь-якого і Є І тв(т,) — 0.

Аналогічна властивість справедлива й для регулярнії и маркових процесів о неперервним часом. В доведенні цих теорем використовуються методи стохастичних співвідношень, властивості власних чисел і власних векторів підстохастичних матриць та методи матричних перетворень. .

ТЬка харахтерізація розподілу як пам'ять дає змогу розглядати задачу укрупнення фаоових просторів марківських процесів

(МП) о точки зору побудови оптимального розбиття на підмно-2ШНИ шляхом мінімізації функціоналу глобальної пам'яті.

Нехай 7 = {/„, а = 1, %}, 1 < пу < п є розбиття таке, що

X = иаІ1/а, Іа П Ір = , а ф (З

й <ІітІа > 1, т,а є час перебування в тдмножині Іа МП при умові, що £о = і € Іа Введено наступні визначення:

Визначеная. Функціоналом глобальної пам'яті для розбиття 7 називається:

Ні)=

а=1 ,є,“

Введений функціонал можна розглядати як міру якості розбиття, а саме: шм менше оначепня функціоналу па розбитті, тим краще це розбиття з точки оору укрупнення марновського процесу. Шукане розбиття одержується шляхом мінімізації функціоналу Р. ■ ■

В роботі на основі встановлених властиве "тец продемонстровано, що такий підхід має рацію. Опишемо властивості функціоналу Р.

Лема про здрібненість Якщо на деякому розбитті 7 : Р(7) = 0 та Деякий клас Іа з 7 оводимий, то 7 можна одрібн *тп до У так, що Р(7') = 0. В розбитті 7 зводимий клас Іа роощішпоється на незвідні підкласи І'а : Іа = иІ'а. Тоді справедливі наступні леми:

Лема 1.1 Якщо існує таке розбиттяя 7, що Р(7) = 0,то викопуються умови, що

" ' Е Рхл

№а

не залежать від і для VІа Є Ц, тобто часи перебування г“ геометрично розподілені.

Лема 2.1 Яещо існує таке розбиття 7, що Р(у) = 0,то виконуються умови = що ' • *-■

• • Е а.,,

№.

де залежать від і для Via 6 7. тобто часи перебування г“ показниково роапо ділені.

Т^зеба зауважити, що умови укрупнення Кемені-Снела більш загальні, щодо умов лем 1.1 та 2.1.

Далі досліджуються асимптотичні властивості функціоналу глобальної пам'яті дяя розбиття. Розглядається збурений мар-ківський процес залежний від малого параметру є, матриця перехідних ймовірностей вкладеного ланцюга Маркова має тзид:

де Ро є блочно-діаг • нanьна, a Pj є матриця обурення.. Згідно о роботами B.C. Королюка та А.Ф. Турбіна таке представлення

■ матриці породжує розбиття фазового простору:

Класи розбиття Іа є істотні, замкнені та неовідні для незбуре-ного процесу. Нехай т‘а є час перебування (с в Іа при умові

£о = * Є Іа-

Наступна теорема описує властивість функціоналу глобальної пам'яті моменту виходу о одного підкласу.

ТЕОРЕМА 3.1 Якщо для збуреного процесу іг.нує роз-’ биття"!, ■вкє породжене представленням Ре, то для У і Є Л, та V/„ Є 7 піа(тса) = 0(г) при є 0, тобто часи перебувань асимптотично показникові.

Позначимо "ерез Р£ функціонал на розбитті 7, яке поро-

• джєне представленням Ре = Р0 - єРу.

Лема 3.2 Якщо існує у породжене представленням Р. = Р0~ єР, то ^(7) -+ 0 при є-+0.

Ре = Ро~ єРі

X — UaJQ, ІаГ\ Ip — (^) , а Ф (З

У випадку копи існує едике розбиття 7а, породжене представленням Ре = Р0- єРі, таке що Fe(7o) -> 0 єдине при є -» 0, то справедлива наступна теорема:

ТЕОРЕМА 3.3 Якщо існує єдине розбиття 70 таке, що і\(7о) -+ 0, є -> 0 , а на

. • V7' ^7о: \іт Fe{i) > 0,

• С—>и

то Зе0: Уе < є0. уе = 70

де '

7е = argminFE(7), 70 = argmmlim^fr).

Встановлені властивості показують, що F ноже виступати мірою якості рообиття. ‘

Третій розділ присвячено вивченню типу глобальної пам’яті моменту першого виходу випадкового процесу о фіксованої області в залежності від початкового стану процесу. Розглядається вінерів-ський процес зі оносом

£t(t) = х at -f bw(t),

де w(t) — стандартний вінерів процес (Еш(<) = 0, Еіu2(t) — t), аі - £(0) — фіксоване з інтервалу (а,/3). Позначимо через тг момент першого виходу процесу £t(<) і введемо функцію G(x) = 2(Етт)2 - Ет*. '

Твердження 1.1 Нехай £z(t) є вінеровим процесом зі зносом £x(t) — x+ati-bw(t). Тоді вираз, що визначає тип глобальної пам’яті моменту першого виходу процесу зі смуги (а,(3) в залежності від початкового стану х, має вигляд:

. G{x) = 2\ф2{х){2Сх + і)2 - -2ф(х){(х - а)(-(2Сі + -)+

^~WA)+о. - +і)+і(аді))}+

. із

Де

о

^Х) ~ 2^ ^ ~ ЄхрЬ2^(а - “])>

2 ЇФ(Р)-Ф(3) ■

с»=^/*!тёга"-<*>‘ь' '

М,{х) = ФІХ^ЇСі + І) - ;

, У разі, юпи початкове значення процесу достатньо близько справа від а, «загальний вид останнього вираоу спрощується і є вірною наступна теорема. .

• • * • ТЕОРЁМА 1.2 Нехай випадковий процес £*(<) має вид£х$) = а: + а4 +випадкова величина тх є моментом п'ршцго виходу процесу, коли його почащкове значення достатньо

близько справа від а. Тоді для К = 1 — ехр[ ——] маємо

1) якщо . *

Ьі = 8йга2 - Ма2К[ї + ■?-’+■-) + йаЬ2 - ЗЬ4Х7 > 0,

\2 4а а> ~

то та(тх) < 0;

2) якщо

2,1 = &<Ґ а2 - Ш2К(^ + — + - ЗЬ4К2 <11,

■ то тСі (т*) >0.

. Далі розглядається напівнеперервний знизу узагапьнепий

■ пуассонів процес ((і) о від’ємним сносом а < 0, стрибки якого показниково розподілені, і вивчається поведінка глобальної пам’яті моменту першого виходу т(х. 7) о інтервалу (0,Т) р залежності

від початкового стану процесу. У наступній теореііі наведено оа-гальний вигляд вираоу в(х) як функції від а; = £(0), що вионачає тип глобальної пам’яті т(х,Т).

ТЕОРЕМА 2.1 Нехай задано процес £(£) напівнеперервний

о/іизу — узагальнений пуассонів з від’ємним зносом а <

0, параметр якого у, стрибки показниково розподілені з

параметром ц і кумулянта має вигляд к(з) = — ——7,

' 5 "Ь /і

т(х,Т) є моментом першого виходу процесу ^(і) з інтервалу

(0,Т). Тоді функція, що визначає тип глобальної пам'яті

г(г,і) в залежності від х має вигляд

і, АЩТ)у> 2АЩТ)уц _ 2Я2(7>7 іВДг\

*■ ^а2(ац+у)2 а/і + 7 (ор + 7)3 а(а/і + 7)3' 2/гуА2 _ 2АЕ(Т)у2 2ЛД(Т)а/і7 _ 2АН{Т)цу _

а(ац -{- у)2 (а/і+ 7)2 (а^7)2 (а/і+7)3

7(Д(Т)В - ЛД'(Т)) Д2(Т)(72 - 2а/і)| '

а(ар + 7) + (аМ+-7)3 *

х2Я?(Т)ц2 ґ2цуЯ2(Т) _ 2АД(Т)й2а АЩТ)арг\

(а/і + 72) + На/і + 7)3 ’ /іо 4 7 +(а/і+7)2'

. мдтй^(ді±і±і1+/гасДД (Т)у (а„+г)<.

• (а^ + 7)2 (аМ + 7)3

Д2(Г) г а72 Г2а/і2 2а^7Г _ 2а2/і і _

а і(а/і 4-7)3 *" 2(а/і + 7)2 + (ар 4-7)3 (а/<+7)4'

/і(Д(Т)3 - АД'(Т)) . ,

а/і+7 ’

де .

,(.) = ^.[-Ьїійг],'

Я(Г) = .^1( .-.і-еХр|_1“еілЕь. _.«ц,

. а^а/г ~ЬЧ І а * а/і + 7' .

А =-------т-(—х-(і -№)) + &),

в ,

' Г °72 . Т2а/і2 2о^7У 2аУ ц

Ца/і+7)3 2(а/і + 7)2 (о/і->-7)3 (а/і4-7)4^’

ад = -1{е,р(-!г£±л!1)ж /

х (_ *7 + Д7/* ^ 2а/і7 \ _

\ а(а/и 4- 7) (“Р + 7)2 (<>/* + 7)!'' -

а/іга 2о/і7

(а/х + 7)2 (о/і+7)г

Розглянуто одноканальну систему обслуговування о необмеженою чергою, де проміжки часу поміж моментами надходжень вимог показниково розподілені а параметром А. Час обслуговування також показниковий о параметром /і. Нехай у початковий момент часу довжина черга дорівнює нулеві, Пі — момент часу, коли черга ваерше дорівнює одиниці. ІЬді

тс(Р.) = -

2А/і

(Л + /«):

<0.

висновки

Таким чином, в дисертаційній роботі отримані тахі результати:

• Встановлено необхідні й достатні умови яким повинна оа-довольняти функція середнього залишкового життя в класі абсолютно неперервних правильнозмінних функцій надійності;

» Встановлено зв'язок між класом опуклих спадних функцій середнього залиті' вого життя таг строго монотонно зростаючих функцій інтенсивності відказів;

• Досліджено інваріантність глобальної пам'яті відносно згортки та суміші;

• Введено нове визначення локальної та глобальної пам'яті для дискретних розподілів;

9 Одержані необхідні й достатні умови, які характеризують моменти виходу із підмножини станів МП-в термінах функціоналу глобальної пам'яті;

• Введено нове поняття функціоналу глобальної пам'яті для розбиття та досліджені його властивості, пов'язані з розбиттям ФП МП з неперервним та дискретним часом;

• Одержані вирази, які визначають тип глобальної пам'яті як.

функції від початкового стану процесу для моменту виходу а області вінерівського процесу зі зносом та напівнепере-рвного знизу узагальненого Пуасонова процесу з від'ємним а носом. . .

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Клыгунова Ю.Ю Условия сохранения типа памяти при не-которьтк преобразованиях случайных величин // Аналитические вопросы стохастических систем, Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992. — С. 19-33.

2. Клыгунова Ю.Ю. Память как одно свойство распределений

случайных величин // гЛз. IX Белорус. Зимней школы-семинара “Математические методы исследования систем и сетей массового обслуживания”, Мийск, февр. 1993 г. — Минск, 1993. —

С. 6-4-65. ' • ‘ ,

3. Клигуыова Ю.Ю. Функція середнього оалшпкового життя у класі абсолютно неперервних правильно омінних функцій надійності// Асимптотичний аналіз випадкових евотоцій. — Київ: Ін-т математики НАН України, 1994. — С. 145-152.

4. Клыгунова Ю.Ю. Память для момента первого выхода случайных процессов ш фиксированных областей. — Киев, 1994. — 34 с. — (Препр./ НАН Украины. Ин-т математихи;94,28).

5. Klygunova Y.Y. Applied aspects of tlie memory^ notion for the first time-leaving the fixed domain by stochastic process, //Thesis The 3d Intern. Congress on Industrial and Applied Matheni., Hamburg, 3-7 July, 3995.-P. 53.

Клыгунова Ю.Ю. “Функционалы пашіти для распределз-. ния случайных величин”. '

, Диссертация на соискание учёной степени кандидата физика-. математичних наук по специальности 01.01.06 — теория вероятностей и математическая статистика. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1996. '

Защищается диссертация, посвящённая исследованию свойств функций средней оставшейся жионн а свойств функционалов пашіти моментов первого выхода случайных процессов но фиксированных областей, Предложен новый подход а садичак укрупнения фазовых пространств иарковсгшс процгсссв с конечный множеством состояний, основанный на шшиштаащш функционала глобальной паняти для разбиения . . .

Klygunova J. Yu. “Memory functional for distributions of random variables”.

Doctor of Philosophy thesis, speciality 01.01.05—probability theory and mathematical stastica. Kyiv Тагоз Shevchenko University, Kyiv, 1996. . *

The thesis to be defended deals with the investigation of prop-, erties.of the mean residual life function and the memory of the first moment of the leaving of the process the fixed domaine. A new approach in the problems of merging of the phase space of the Markov regular process with finite set of states is given.

Ключові слова: Функція середнього о ялинкового лшттд, пам’ять розподілу випадкової величини* функціонал глобальної паїі'яті. .

Підписано до друку 20.12.95,

Формат 60x84/16. Офс.пал. Офс.друк.

Умов.друк.прк. 1,16. Облік.-вид.арк.(1,9. '

Тираж 100 прим, Зам. №183. •

Поліграфічна дільниця Інституту економік і НАН України. 252011, Кііїв-11, вул. Панаса Мирного, 26. ‘