Гельдеровские оценки и разрешимость начально-краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ПЖЛЕРСТЮ НЛУ1Ш - ЩДМ4Я НАЖ РЕСГШЖИ КАЗАХСТАН

ивйяуг и шшдюй КАТШЖКЙ

lia правах рукописи

/

УЖ 517.956.6

ЕЕЖЕШЕЕА КУЛНЯР ЩМЕШЖ

геядеоасш сшш и р/дашосяь рачшю - краешх задач да УРАЕЖ51 стадошт) эдштш) - трдгттчшот) ж\.

Ol.01.Ой. - ;?,гё?егенципльше урзвнеикл

Автор е ¿! е n s т дзюсергати на соискание тай степени кпцдкггиа ««зйко - мгтшаткческих щ/к

А Л M A Î ь; , Î996

йайога шкинена в &»®ткасоы ветсюбяшш-дфситл даституто 1&учный ]зук»йодатеяь: докгар фт^хнжяейжгачваовс наук АБМШШЗ М.А,

Ииюалыав сдаоненш: яжгор ^изааметеггатичесгва наук, профессор Текирбутгс® С.К.

ьэцздда? ¿гаико^хтетатшескж наук, дацзнт НасИУ Дхунксоз А.Т.

Весаупая органкзецкя: Апмаглтаой геоударстгсйкй уЕ&шерсжтет ш® Абая.

Защита даосвргеаии состоится 1ЭЭ€г. в 15 час

на заседании Спец^ашгаированного совета Д. 53.04.01. при Институте теоретической и прикладной математики Министерства гауки - Академии наук ЙС по адресу: 480021 , г. Алыагы , ул. Пушкюа , 1/5.

С даесзрпмдеей мовно оашяшгьая в Сййгаюгшв ИНН АН Ш.

Автореферат разослан "•//" сЬС€ы!>С- 1996г.

Ученый секретарь Специализированного сошга Д.- 53.04.01,

каздвд» ф^зтуштттесзпях. наук А.Т. Кулаж,«его!

О

\

ОЩШ ХАРШЕШЛШ РЖШ1.

Актуальность темы. Многий прикладные задачи ?латематической физики привода к необходимости исследований принципиальных вопросов установления априодаых оценок и разрешиюсти краегах задач для уравнений и систем со смешанной ашоттико-кэраболической структутой, причем такая теория, хотя и не укладывается в рсмки трайшмческой и эллиптической теорий, но эйцвк-тивность исследований угкжгаугых задач существенкш образе«/ зависит от основных выводов современной теории параболических и эллиптических уравнзний и систем.

Простейжй системой со смекашой элиэттжсмтараСа'шческой структурой является система

Система является линеаЕизовз№ъ?.< вариантом надшей-тай системы, Етонииащсй при описании фильтрации двухфазной несжимаемой явдкости, рассмотренной в работ;». Коновалова Л.Н., Белова Ю.Я., где численное решение задачи осуществляется путем введения малого параметра.

К системам со сметанной ахтептиксьгврййсиической структурой относятся так называемые папуэволядеонше системы и линеаризованная систем* уравнений Назье-Стогсса. Исследованию гфиддшкалших вопросов вывода априорных оценок и установления разрешимте различных шналько-краешх задач ддя скстеш йявье-Стокса в собсдсзекюс и гйльдвтюэских прсстрзнстгах поепяжено большое количество работ, среди которых тейп«» настоящей дассетеции наиболее близки извесш© робота Солсдаиова В.Д., Могилевсгеого И.Ш.

Задач*, шеойзгреимз в первых ггух гдзвзх.Сыеи исследованы в работах ■Абдраямачсаза М.Д., где япг»!отм;й опенки и рагреккмость задан устансвлсж

в соболеюких классах,а геяьдеровсяие оценки получены талью для модальных задач.

К необходимости £ - регуляризации качалько-краешх задач для параЗо-jawoaeoro уравнения приодел- аедеш, связанные с срвшшиями описания даи-жедая вязкой зщшости в вихревой каыврб, рассмотренные в работах. Нейльшна

Н.Э.Дуюноеова B.C..Зеленяка Т.И.

Исследуемое в третьей главе диссертации параболическое уравнение четаер

с малым шрзметром £ шравдаэтпя при £=о в псевдопараболичесясое уравнение IsA'fi Л J'y >\

"Нг

имешэе смешанную ижатико-парабсжкес^-о структуру. Мсследовашо адоаяь-ных 1ачальш-краеаых задач с данными Дфнхле на граница для псецяоларабо-лического уравнения в соболевских и гелздеровских классах посвящены работа Абдраюачош М.А.

В заклсневие краткого обзора известных работ во лшгйшм уравнениям и ааташ со сшешой шившшочйраосяичеекой структурой подчеркнем, что детальный аюлиз лдаеаризоваяшх задач яяяяется весьма пояезш дня изучения нелинейных уравнений и систем, но в то ж вреда линеаризованные оистеш с фото математической точки зрения также щадетавдаюгг несомненный интерес, поскольку вта системы не укладывается в классические параболические и эллиптические систем.!, чам и объясняется слошэсть получения точных, результатов по установления априорных оценок и разрешимости тчалыю-краешх задач.

13аиь работы. Вывод априорных оценок и разрешимости кадально-кразвай задачи в геявдеровских классах для систем* даос уравнений смешанного оллш-тикочтарабодиче-ского типа и установление в гельдеровских .классах равномерных £ - оценок задачи Коши и смененной паяупространственной задачи для параболического уравнения четвертого порядка с мальм параметром, шровдвоиегося

при £ = о в ireRiKreprxvaweistoe ypamswe, шжэдее текие счетинчуй а^шгггикмаряЗоййчеса^'ю ощктущ.

Обвая кетодита исследоааккя. В "основе метода исследования лежт ставшая в настоящее Бремя уже классической адея Шауцзра, которая позволяет использовать оценки реекнкй »/сдельных. задай.

Ш^ш^новюна^ В работе подучены следуйте результаты:

1. Доказаны априорные оценки и розрешимость 1!ачально-краевой задачи з гель-дерозских классах для системы двух уравнений яштштижмтаррйсшического типа в ограниченной области.

2. Установлены в гельдеровских классах равномерные £- оценки решений задачи Каш и сшишюй подупространственной задачи для параболического уравнения четвертого порядка с мальм параметром, шрсвдакизегося щи £-о в псоддогнраболдагеское уравнение.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работа представляют прежде всего теоретический интерес. Они могут Сыть иегшьзеганы в теории краегеж задач для дййерекзяальных уравнений з частных производных смешанного типа, а также при изучении математических вопросов теории фильтрации двухфазной несжимаемой аэдкости и движения вязкой зяцюооти в вихревой камере.

Гс/бжкзции. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [l-5j. Б совместных работах М.А.Абдрахманову принэлкеял1 постановка задачи.

Апробация работы. Основные, результаты работа дсюждавались и обсузща-лись та научных семинарах член-корр.НАН Ж, проф. С.Н.Харша (ИТГС^ HAH Ж), члйькорр.НАН Ж, проф. Н.К.Елиёва (ИГПМ HAH PK), член-корр.НАН PH,проф. М.О.Огелбаева и академика ИАН FK Ш.С.Стгудова (АТУ км.Абая), цлен-корр. HAH Ж,проф. Л.У.У»«Зетаэшва (ШШ HAH Ж), д.Ф.-м.н.,проФ. С.й.Теюгрбулато-ва-и д.Ф.-м.н. ,прсф. С.А.Алдадава (КазКГУ), а такта на юбилейной научной конференции, пссшшккой 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана, на IX Ресцублик^чской научной конферевдшда лагиг©шса'<и:м8хвнак8.

Огкуюура диссертации. Хыссегггаул состоит кз ззедения, -грех глав, дэсяги триграфов, списка литература. %меравдя фордо (утвердаяй) тройная: первая кийра указывает плаву, вторая - шраграй, третья - каюр сор-МУЛЯ (утвер^лйнкя) В НЧМ.

Введем обоашения, повитые з назтаяцей шботе: - 3-морное евкда-дою прсю^тзачстш.Ой^^^^^-ггооизвшы^ точка в ном, К, - 4-мерное евкяадозо пространство, точ<и в котором обозначены , где Хб К.

-Ь^Г^со.-юо) 9). - шяупосстрадатпо 4;>0 в - подупрострвн-

стю точек "С >0 в В, - полупространство Х,>о в К, ? - папу-пространство 4: > о в й- э К, - подтроетрвнегво С£ - о в Ц >

52 - область в гганкца , - «шицдр

т.е. еозск?/шость тачек (]£,■£) пространства 1с* с £.¿51, "¿^С0^!, ~ бокшая поверхность О,™ точнее, совокупность течек пространства

Й" с иЬ-Г] ,

, <=11 ^¿УЗ^У'

1Ь~ К. 1 =>

Видам йункдионалыйй пространства, применяемою в работе.

Через обоанач!

¡5)% (^з - & 1 /у^у / ^«.р ^ —---—-—

+ -Г-—ГГ +

Ом^Ьт] МТ

г.^.г.»-, ^ —т^г - (о.1)

<и> -^'-г -----;-——;

По повод/ обозначений и® " и т.д.

заметш, что в процессе получения оценок нам иногда бУвает достаточным рао-смагринагь <&нга$® с у-взадаэй гладкостью ( знак "О" при этом означает непрерывность по переменным "К. или ) > N —

/11 \

\ ш^У

+

Ц^Т]^^

I "Ь^к. ~РХ(с

Л

И:-**!™

(0.3)

-г

Сумма выписанных подуштм (ОД)-(О.З) решения однородной задачи в § 2 вой гланл оценена через сумму нош кототьк соответственно рзны

решения однородной задачи ви пер-

мГ^)» ыТ'*®,.

1М

А ' ^ 21

'■зХ,

+

-г ^р + <ц>>

i , т v. ^ о^

ин

(0.4)

(0.5)

5Т

-X* ^.цр ———--- — л

Б том хе §2 перши глаш исподьауэтея обозначение

Необходимость прдаенвдая обозначении (0.7) возникает при оценке решения 'неоднородной ¡гачально-краевой задачи для сиетеаы двух уравнений в ограниченной области.

Первая глава диссерганда, состоящая из двух параграфа, посачжш получению геадвровсккх оценок начально-краевой задачи дм системы дэух уравнений аплигадао-оахвбогйчесиого тала в ограниченной области. В §1 приведэ-ны некоторые известные вспомогательнью результаты, которые доказаны в работах М.А.Абдрахмадава и в §2, прнмення эти результате, доказана следующая Тоореа 1.2.1, Пусть таковы, что О

я в случае В р^О эти величиш произвольны, а в сдучзс вигаално-

4 А /> , $ ! !\

но неравенство ь^ > } *г>ЬЬ и сЕ&ткция имеет представ-

ление взда:

4-1 ^

= V

Тогда решение начально-краевой задачи

1и=Г . <зт=йх[.,т]

1 К~о а " ' > (0.10)

удовлетворяет оценив ^ ^

и „^М) , V , Ктг)

1Ы!~- +К|Й +10*10 +

, 1-Я , ЛГ.1П „ , ..О1»

+2<»*4>й 1М + ш +

+<г> ^ +у

% 1С Цт ь ^Т

кч А >0 Л

Доказательство проводится по методу 1Йаудера, в основе которого летит идея о том, что решение краевой задачи в каждой точке области зависит от известных данных в достаточно малой окрестности этой точки, что позволяет использовать оценки решений модельных задач, под моторам обычно понимаются задача Наш, смешанная начально-краевая полупространстаеянач задача и задача без начальных данных, причем после подробного изучения шдельшх задач для уравнений или систем с главны?® частями, краеше оператора которпс содержат тагов только главные части, решение по всей области "оклеивается" из решений модельных гадая путем шзбиения единицы.

Во второй главе, состол:цз"1 из двух параграфов, доказана разрешимость задачи (О.'Э)-(О.И), сшвл которого аакжч&етая в построении реташя для малых с пошчыо локашюго рюпрямюшя границы пси сгштшвс лредпо-дакениях ошосйташю ^¡с. . а затем псоледоваталш«« приданвняш

этого результата о разрешимости "в ьесюм" точить решение задачи для ло-бого конечного промежутка . Специальные предгшаш-взд относи-

тельно излестшх функций садятся к ся^чуэдзму:

= = 0 (ы^) (0.12)

Коли функции Цс . удовлетворяет условиям (0.12), то задачу

(0.9)—(0.11) назовем задачей с нулевом начальными данншк.

В §1 введены обозначения: Д - оператор задачи, т.е. Атс= [Аи )

определения ИШД состаяцэй ип сЕунюдай ,,0), где

при** и^^во » (;*/>> = о , '^(Х.^о , *

и с областью значений "V .состолчей из функций К.- <нр) с нормой /((к)-определяемой ниже с пошша йуняшоиага. (0.14). Тогда задача с цул?1ши начальным данкьми может быть гашеана в вида операторного уравнения

Теорша 2.1.1. Пусть для (0.13) ажшняогся условия разратюсти.укаг-эанньге в теореме ^¿ункци.я ^ шеет представления

вида (0.8), ^С^С^Ч^У, МШ^&ДД

Тогда при достаточно калом задача (0.13) с нулеаш нанальньми данньыи имеет единственное решение, для которого шеет место неравенство

С!* С

"С»

к-1 е мк

Л «чВ Д, ^М) з

• ^ о.--. ' л N / У N (-»/

Ь Ъ

(0.14)

К,1-1 ' а5« П А >0

с - +

Дике доказывается разрецжость задачи (0.9)—iO.ll) в цилиндре произвольной штаты. Имеет »«сто

7сср&.а 2.Е.1. Цусть для згуеии (0.9)—(0.11) шполкгаэтся все условия теория 2.1.1. и условия согласования:

0, л. ч * '

где и (*;о)реоениэ задачи Лмшхяе:

-А-и^,^) -

Тогда в цилкнирв существует единственное реиение задачи (019)—(0.11), для которого имеет место р (А+>Л -1

В третьей главе, состоящей из шести параграфов, подучены равномерные "- сценки в гельдеровских классах реиешя задачи Копи и полупрострзнст-венкой задачи для параболического ургжкешя четвертого порядка с мальм параметром, шрсздвпцзгося при £=-0 в псездопараболическое уравнение.

В §1 с помощью известного йучцшленггапьного реввкия строятся потасканы начального условия и объемный потенциал для уравнения

(0.15)

(0.16)

где £>0 - малый параметр, приводятся свойства потенциалов. В §2 доказана следущая Теорема З.Е.1. Решение задачи НЬши

где Ц^и/х) связаны межру собой соотношением

Ли^х) = Д'Чдх) ,

подчиняется оценке

В §3 рассмотрена задача Коши для неоднородного уравнения (0.15) с начальны® условиями (0.16), где (х) % (х) связаны меащу собой соотноша-

о *у \

нием:

(0.17)

Доказана следугацая

Теорема 3.3.1. Решение задачи Коши (0.15)-(0.16), где 11 и. связа-

о * ^

ны условие (0.17), удовлетворяет оценке

г,

-•„а, .II^

1 ^

«I

С|Ша1 ^

(0.18)

§4 посряиен шк-роснио й^щгиенгаяшого решения псодтространотвенной задачи дня уравнения Л "ь А ( \ _ Л п. _ л „ О1" Гт'с^ * >0

19)

с начальный условиями

- о

о

(0.20)

и с грдаганьми условиями:

и!

СЬ^о

ог =о (0.21)

где ^уннхвв* ^(¿^^(х^уде&гегаошсгг условиям:

'И ^-ь

В §5 доказана сакутукиэя

Тесреза 3.5.2. Решение задачи (0.19)-(0.21) подчиняется оценке

А „О^) и Л Д^Ъ

№11

Оо

Л'

+

№1

А М)

Со

«С

4 0

<$2

В §6 рассматривается задача определения решения в |£^падупростран-ственной гвдавд

(0.22)

u

YKi)

(0.23) (О.Й4)

Предполагается, что выполнены все условия согласования:

Доказана следующая

Tcqpeaa 3.6.1. При выполнении условий согласования (0.25) решение задачи (0.2?.)-(0.84) удовлетворяет оценке

Ü ^ ¡V

^ Оо

Со

оо

, П Г 6 С^х)

1 * а £

По теме диссертации опубликованы сшедуицие работа: 1. Кейсенбаева К.А., Абдрахманов М.А. Об регуляризации задают Кош для псевдопараболвдеского уравнения в гелъдеровских классах. Дел. в КазгосИНТИ от 23.11.95.г. № 6482-КаЭ5, 16стр.

2. Бейсенбаева К.А. Гельдеровсккз оценки решения началыкнкрееной ¡задачи дгл системы уравнений гарабсио-оллнптического типа з ограниченной области. Леи. в КазгосШТй от 04.С3.96г. № 6770-Ка96Д0 стр.

3. Бейсенбаева К. Л. Сценка решений полупрострганетзенной задачи дяя псевдо-пираболического уравнения в гельлероссккх классах. Поиск. Нэучиос прилже-нив яуркала Вестник шсирй виолы Казахстана, серия естестве! гых наук. 1996 г. № 1., стр. 135-139.

4. Вейсшбаеач К.А., АОдреимвнов «i.A. Об "с"- оегуляризафи задаки Коей для хюевдопаоЕбапкчзского уравнения в гедвдеровсаах классах,

Тезиаа докладов сбглейюй научной конференции, яосзяценной 50-леть-о развитая штеметки в бздеют каук Казахстана. Ajmkh, 1995г., сгр.55. 8. Бейсзнбаева it.А. Об одной задаче с коссй производной дяя псездопаркбо™ лкческого уравнения. Тезисы докладов IX Нзсцубляканскои научной коиЬетш-ции по матештикв и иахяшя. Алмазы, 1985г., стр. 6Н.

BSSCEHBAEBA Kymisp Aj&a#5a& i^xam APAJIAC nAPABOJIA-OJIjmnTilKAjlHK. TEKTEC TEfiliEyJIEP Yliiffi BACTAHKH-inF/rriK ECEIITm FEJIbflEP KJIACHKHAFH BAFACtJ JK8HE IIIElIIIM.mJIiri

Bya SYMMCTS apaa&c imp&Sosa-siijffiHTHKaiiMis tsstsc em Teipwy y^h CacraiKiM-xrEJT'ris eessriin aapiiopaHE; MSH EEaniMj&Hri aajiesAsiireH

sraac e — 0 fxwiPamia Tepmsyre aSHaaaxHH, e rinii

nspaaaxpiiie 6aikraji£icti«s xcpxiHOii perri napaSoaaKHi; rtimsy ynmi Ko-nm eccSi iseii apaoxac ^aprunat seiptTisTsri ec«ireii$ renLRep EnacHHflms filpi^JSMUTu "e" - 6apac£i aJi£XH?a.n.

(01.01.02 — flK^^epeHiiuajifliiig Teipssyaap)

BEISENBAEVA Kulaar Adambaevna HOLDER ESTIMATES AND SOLVABILITY OF INITIAL-BOUNDARY PROBLEMS FOR MIXED ELLIPTIC-PARABOLIC EQUATIONS

A priori estimates and solvability of initial-boundary problems in Holder classes for the system of two raised elliptic-parabolic equations are proved in this work, uniformly "c" - estimates of Cauchy problem and mixed semi-spatial problem for parabolic equation of the forth order with small parameter turning into pseudoparabclic equation at e = 0 are determined in Holder classes.

(01.01.02 — differential equations)