Генерация внутренних волн в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

СМИРНОВ Сергей Андреевич

ГЕНЕРАЦИЯ ВНУТРЕННИХ НОЛИ В ВЯ'ЖОП НЕПРЕРЫВ1 Ю С.ТРДТ11ФМI и IРО ПАП НОЙ Ж11ДКОСТ11

01.04.02. - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фншко-математическпх наук

Автор: (^ 'С/ -: /

Москва - 1998 г.

Работа выполнена в Московском государственном инженерно* физическом институте (техническом университете)

I кучный руководитель: доктор физико-матсматичсских наук,

профессор ЧашечкинТО. Д.

Официальные ошюнешы: доктор физико-математических наук,

профессор Городцов В. А. доктор физико-математических наук, , профессор Кожевников В. II.

Ведущая организация: МФТИ

Защита состоится "1?" июнй 1998 г. в у^Г^чае. на заседании диссертационного совета К 053.03.01 в МИФИ но адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, 31, МИФИ, аул. . ■;'-■.;

тел. 324-84-98,323-91-67. ; \ - : " > V - :

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ..

Автореферат разослан * ОАС^ 1998 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-матсматичсских наук,

старший научный сотрудник Руднев И. А.

Подписано в печать во. очп . Заказ _. Тираж , ¿0 экз.

Типография МИФИ, Каширское шоссе, 31.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Значительный прогресс в изучении динамики природных систем связан с идентификацией различных форм движения среды (волны, вихри, струи) и разработкой моделей, описывающих процессы их генерации.. Натурные наблюдения и измерения свидетельствуют об их тесной связи и взаимовлиянии. Открытие в конце 19 века волн, амплитуды которых достигают максимальных значений внутри жидкости (внутренние волны) значительно улучшило понимание происходящих в окружающей среде процессов, связанных с переносом энергии, импульса и массы.

Задачи генерации внутренних- волн в стратифицированных (переменных по плотности) средах - океане и атмосфере - представляют общенаучный и прикладной интерес.

. Уравнение внутренних волн в вязкой жидкости не относится к классу традиционных уравнений математической физики. Анизотропия и диспер-V сия внутренних волн выделяет их из класса привычных волновых движе-..ний, звуковых или световых волн. Энергия такими волнами передается с групповой скоростью не по нормали к поверхности постоянной фазы -гребням и впадинам волн, а вдольних.

Внутренние полны используются в качестве индикаторов и предвестников протекающих в атмосфере процессов, включая развитие опасных явлений типа сильных гроз, штормов, смерчей. Их неустойчивость приводит к появлению областей интенсивной турбулентности, влияющих на безопасность полетов. В океане, содержащем большое количество продуктов , жизнедеятельности организмов, которые являются источником питания для различных биологических видов, внутренние волны влияют на распределение и потоки питательных веществ в экосистеме.

Внутренние волны традиционно подразделяют на нестационарные, генерируемые короткодействующим источником вида ¿>(х)д'(I) {5- функция Дирака,-т и г — пространственная и временная переменные) или эволюционирующим турбулентным пятном; монохроматические, обусловленные гармоническими осцилляциями с частотой со источников вида схр(ю>/); и

присоединенные, возникающие при обтекании гор потоком или движении со скоростью И источника вида б(х -1к) в стратифицированной среде.

Несмотря на большое количество работ по генерации внутренних волн в идеальных и диссипатшшых средах (с учетом вязкости и диффузии) эту задачу нельзя считать завершенной. Моделирование обтекания реального тела сингулярными массовыми или силовыми источниками, интенсивность и пространственное распределение которых заимствуют из теории однородной жидкости, ограничено приближением дальнего поля и ие учитывает других возможных форм движения жидкости (пограничные течения).

Полученные решения отличаются пространственными особенностями структуры волнового поля. Решения для днссипативных и бездиссипа-тивных сред в предельных случаях не переходят одно в другое, значения волновых амплитуд зависят от способа моделирования обтекания реального препятствия.

Ввиду неполноты теории внутренних'волн представляет особый интерес корректная постановка задачи генерации внутренних волн в вязкой . стратифицированной жидкости, позволяющая самосогласованно учитывать возможные формы движения без введения феноменологических параметров, а также контроль адекватности различных моделей по непосредственному сравнению с экспериментом.

Цель работы

Разработка методики и выполнение расчетов амплитудных и фазовых характеристик нестационарных,'двухмерных и трехмерных монохроматических и присоединенных.внутренних волн с учетом вязкости и диффузии; представление результатов в форме, допускающей непосредственное сравнение с экспериментом и определение условий применимости и точности

моделей по данным независимо выполненных лабораторных измерений. *

Методы исследования

В основе выполненных в диссертационной работе исследований лежит использование методов интегральных преобразований, многомерного анализа Фурье, теории функций комплексного переменного, численного

4. ■ ■.■-..• -

интегрирования, а также методов вычислительной математики. Полученные решения сравниваются с данными известных и специально проведенных экспериментов. "-..•'•.' '

: Научная новизна

В работе получены следующие новые результаты

- осуществлена постановка и построены решения линейной задачи генерации внутренних волн в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости с учетом-внутренних пограничных течений, обеспечивающих точное выполнение всех граничных условий;

- выполнен, расчет параметров нестационарных внутренних волн, образующихся при возмущении исходного равновесного распределения плотности в жидкости, установлен характер закона изменения волновой амплитуды со временем, определена предельная точность прямого метода измерения профиля периода плавучести;

- проведен расчет амплитудных и фазовых характеристик двухмерных и трехмерных полей монохроматических внутренних волн, генерируемых осциллирующими пластиной и цилиндрической оболочкой соответственно, определены условия перестройки фазовой структуры волнового поля;

- решена линеаризованная задача генерации присоединенных внутренних волн при движении тела под произвольным углом к горизонту, исследована фазовая структура волнового поля; определены области существования нормальных и косых волн;

- проведено детальное сравнение построенных решений с данными лабораторных экспериментов, позволяющее уточнить границы применимости линейного приближения, определить геометрические характеристики эффективного источника генерации 'внутренних' волн.

' ■ - • «

Практическая значимость .'•'-"■' ; _

Результаты, полученные в работе, использовались при выполнении плановой работы "Физическое и Теоретическое Моделирование Естественных Гидрофизических Процессов и их Взаимодействия с Полями Различной Природы" (№ 01.0.60.001.546 в рамках Федеральной многоцелевой программы "Мировой Океан") и могут найги применение в геофизике и

. 5

океанологии при построении моделей генерации внутренних волн в природных условиях и определении основных характеристик источника по данным измерений параметров волновых полей (решение обратной задачи). ' ; ■

На защиту выносится

- методика расчета нестационарных, двухмерных и трехмерных монохро- . матичсских и присоединенных внутренних волн в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости; : : '-у'*

- решение линейной задачи генерации нестационарных,' двухмерных и трехмерных монохроматических и присоединенных внутренних воли в вяз- • кой непрерывно стратифицированной жидкости;

- оценка границы применимости линейного приближения на основании сравнения теоретических результатов с экспериментальными данными. .

Апробация работы ' _/. : .'.-. . .:

Основные результаты диссертации опубликованы в препринтах и статьях, докладывались на семинарах и международной конференции "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows" (Москва, 1997).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация объемом 90 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы m/02 наименований, включает ■'/ j' рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Интерес ^процессам, происходящим в стратифицированных средах, впервые возник в конце 19.века и получил свое выражение в работах зарубежных (Bjerknes V., Ekman V.W., Taylor G.I., Gortier H., Lyra G., Scorer R.S.) и российских (Дородницын A.A., Кочин Н.Е.) ученых. В середине 20 века теоретические и экспериментальные исследования нашли свое прак-

тическое применение: впервые были идентифицированы крупные вихри и Бошгы в толще океана и атмосферы земли. Изучение зарождения, эволюции и взаимодействия различных форм движения в природных системах оказало значительное влияние на формирование представлений о динамике процессов в окружающей среде. В настоящее время интерес к природным системам обусловлен необходимостью разработки эффективных методов прогнозирования эволюции состояния окружающей среды (прогноз погоды и климата), а также решением практически важных задач идентификации источника возмущений в среде и определением его основных характеристик (размер, параметры движения, продолжительность.действия) в связи с проблемой локализации мест природных и техногенных катастроф, включая детектирование ядерных взрывов в атмосфере и других неоднородных средах.

Стратифицированная среда характеризуется масштабом стратификации Л = |*//лрД£|-' или частотой плавучести .V = 1пр/</:\ (р - плотность жидкости, £ - ускорение свободного падения, вертикальная ось О: противоположна по направлению вектору начало отсчета выбирается на

свободной поверхности жидкости). В лабораторных- условиях эти величины традиционно измеряются косвенными методами (весовым или рефрактометрическим). Такая процедура измерения вносит неконтролируемую погрешность за счет неопределенности горизонта отбора проб жидкости и ошибки в измерении малых отклонений плотности. В настоящей работе рассматривается прямой метод определения профиля частоты плавучести

- I ■

по глубине, основанный на регистрации смешений и осцилляций плот-ностноП метки - гидродинамического следа, образующегося за свободно всплывающим газовым пузырьком, .допускающий простую экспериментальную реализацию.

В диссертации рассматриваются внутренние волны трех типов, обусловленные различными причинами. Нестационарные волны возбуждаются погружающимся тонким следом (плотностнои меткой). Монохроматические - осциллирующими с частотой (О пластиной и цилиндрической оболочкой в двухмерном и трехмерном случаях соответственно. Прнсосдпнен-

ные волны возникают при наклонном обтекании трехмерного препятствия потоком стратифицированной жидкости.

В невязкой жидкости модель сингулярных источников, заимствован' ная из теории однородной жидкости, удовлетворительно описывает фазовую структуру волнового поля на большом удалении от тела (Lighthill J, Miles J.W., Stevenson T.N., Janowitz G.S., Voisin В., Городцов В.-А., Макаров С.А., Стурова И.В.). При этом предполагается выполнение условий слабой стратификации (число Фруда /•" = I! ND » 1, гдеЧ/ и /) - характерные скорость и размер источника) н потенциальности обтекания. При малых размерах источника амплитуда волн .пропорциональна геометрическому объему тела. Волновая картина существенно зависит от соотношения между размером тела D и значением дднны волны Л. Экспериментальные данные (Long R.R., Lin Q., Boyer D.L.; Çhomaz J.M., Castro j.P-V Baines P.G., Чашечкин Ю.Д., Аксенов A.B., Букрееп В.Й.) и результаты численного мо- • делирования (Hanazaki H., Smolarkievich P., Diin'aii D.R., Белоцерковский O.M., Кожевников В.H.) указывают на то, что границы применимости результатов расчетов волновой картины по линейной теории оказываются гораздо шире, чем это следует из математических условий се применимости Интенсивность и взаимное расположение источников в пространстве являются подгоночными параметрами, определяемыми из эксперимента, так что задача не является замкнутой. Хотя структура волнового поля качественно согласуется с экспериментальными данными, рассчитанные амплитуды волн значительно отличаются от измеренных и зависят от выбора модели.

Эксперименты по генерации внутренних волн свидетельствуют о наличии неволновой зоны вблизи поверхности тела (Peters F., Чашечкии Ю.Д.). Формирование многомасштабного течения около препятствия связано с различием значений кинетических коэффициентов (кинематической вязкости, диффузии) и нарушением горизонтальной однородности стратифицированной среды вблизи непроницаемой границы. При движении тела часть его энергии расходуется как на излучение волн, так и на поддержание возникающей неоднородности стратификации (Кистович Ю.В., Байду-лов В.Г.). Учет вязкости меняет порядок и тип основного уравнения внутренних волн. Ввиду несовмести мости его симметрии с : симметрией гра-

8 ..'.-• \ч ■ ■■'■Г К-

ничных условий в настоящее время отсутствует общий метод решения задачи генерации внутренних волн в вязкой среде даже в случаях источников совершённой формы (круговой цилиндр, сфера). В невязком случае переход в криволинейную систему координат позволяет разделить переменные в уравнении и граничных условиях и уточнить решение задачи возбуждения волн, выделив характеристики, на которых решение становится сингулярным, как в двухмерной (Hurley D.G., Габов С.А.), так и в трехмерной постановке (Sarma L., Krishna D.V., Appleby J.C.. Criuliton D.G.). С увеличением расстояния от источника, происходит трансформация фазовой структуры волнового поля(Макаров С.А., Иванов A.B.).

Система уравнений гидромеханики задачи генерации внутренних волн включает в себя уравнения неразрывности, переноса импульса, сохранения массы соли, уравнение состояния среды, а также граничные н начальные данные (условие прилипания и непротекання соли на поверхности тела £, затухание всех движений на бесконечности и отсутствие возмущений при/ ¿0) _ .

JivV = 0. />— = -VI' + i>p+ rjr

dS 10

"Г = OAS, dp = p„y ilS dt .

v\z=Cl{r,t). 0,

Vxyvy:J\ p,S -> 0 (.r- + v" + -> oo) •V„ =KV= К = /'=/> =S = 0 (f = 0) Здесь V, l'.S.p - поля скоростей, давления, концентрации соли и плотности жидкости; у ~ коэффициент солевого сжатия; A v - коэффициенты диффузии и кинематической вязкости среды; d/di = r/rt + KV - гидродинамическая производная, it - внешняя нормаль к поверхности тела, Cl(r.t) - вектор скорости тела. Рассматривается экспоненциалы» стратифицированная жидкость равновесной плотности ри( :) = ршехр(-:/Л), где

Poo = Л = х/A'2 const - масштаб стратификации, ,V = 2л /Th -

частота и период плавучести. Система (I) является в этом случае системой с постоянными коэффициентами. Среднее состояние .среды (характер распределения плотности) предполагается неизменным. Принимая за масштаб

длины - размер тела а, масштаб скорости - скорость движения тела II, можно ввести следующие безразмерные параметры движения: Не = На ' V - число РеГшольдса, /•' = I /А' а - число Фру да, С = Л' а - отношение масштабов, &'=»•//)-число Шмидта.

Для линеаризации (1) используется предположение о малой крутизне волны (Ап « А, где Ап и /. -амплитуда и длина волны). Сжимаемость среды (зависимость плотности от давления) слабо влияет на внутренние волны (Л «с2/х, где с= |05см/с - скорость звука), поэтому среда считается несжимаемой. В природных условиях стратификация является слабой (масштаб изменения всех величин задачи много меньше Л), что позволяет использовать приближение Буссинеска. Так как в жидкости значение коэффициента диффузии Л = 10"5 см2/с много меньше коэффициента.кинематической вязкости V = !0": см:/с, то на временах порядка периода плавучести влияние диффузии на характеристики внутренних волн значительно слабее, чем вязкости (Л'г = г/А)=г Ю1» I). Для получения результатов в аналитическом виде используется приближение малой вязкости (длинноволновое приближение к « V .V / г, где к -характерное значение волнового вектора). Таким образом, применение асимптотического анализа (/,/•->«, г - расстояние от источника возмущений) в задаче генерации

внутренних, волн обусловлено следующим соотношением между параметрами задачи Л » Н » г »А. а >> л/N (Н - глубина жидкости). Различие масштабов фундаментальных процессов (волны, пограничные течения) делает возможным их независимое изучение в области параметров задачи, где они слабо взаимодействуют между собой. Для осуществления сравнения с экспериментом наблюдения должны проводится в области применимости расчетов, а для регистрации пограничных течений пространственное разрешение методов должно превышать 1 мм.

Линеаризованная система уравнений (1) с указанными выше приближениями преобразуется к одному уравнению относительно Уг

[д}А-ус,Лг + =0. А = Дх+<?г (2)

где = д], + . Решение ищется методом интегральных преобразований: по х используется бесконечное преобразование Фурье, по поперечным координатам в качестве ядра интегрального преобразования выбираются соб-

ственные функции оператора внутренних волн, записанного с учетом симметрии задачи (в трехмерном случае аксиальной симметрии - функция Ганкеля первого порядка, в двухмерном - экспонента). Дисперсионное уравнение для внутренних волн имеет вид

0}2к2+1а>\4:4-Ы2к1=0. кг=к1+к; (3)

где А:, и кх- продольная и поперечная компоненты волнового вектора.

В качестве нестационарных внутренних волн рассматриваются свободные внутренние колебания, образующиеся при погружении гидродинамического следа (плотностной метки), который формируется за свободно всплывающим газовым пузырьком в жидкости. В сиутиое гидродинамическое течение за nyn.ipi.KOM вовлекается более плотная жидкость, которая затем медленно погружается вниз п. вследствие вязкого трения, вовлекает в движение окружающую жидкость. Вокруг плотностной метки с периодом свободных внутренних колебаний Ть 'последовательно образуется система

нестационарных внутренних волн. Хотя-, основанный на их регистрации прямой метод определения профиля частоты нлавччести получи.! широкое распространение, до настоящего времени эмпирические данные, положенные в его основу не получили необходимого теоретического обоснования. В частности не дана оценка предельной точности измерения частоты плавучести и возможности определения других характеристик среды.

Для расчета параметров нестационарных волн решается задача Коти для вертикального смешения частиц вязкой безграничной среды г] (К. =рт]/г1) в цилиндрической системе координат. В начальный момент времени жидкость покоится и распределение смешений частиц в следе считается заданным. Уравнение (2) решается с помощью интегрального преобразования Бесселя по поперечной координате г. Интегралы вычисляются методом Лапласа при / —> <я на фиксированном расстоянии от точки наблюдения до центра метки. Учитывая реальные свойства стратифицированных сред и параметры метки в лабораторных экспериментах, можно принять, что расстояние до точки наблюдения много больше радиуса метки (г К) и толщины вязкого пограничного слоя г <>' . В большинстве опытов К = 0.04 см. Л' ^ 0.07 см. что много меньше расстояния до зонда г = 0,2-0,6 см.

Выражение для ;/ является экспоненциальной функцией расстояния г. Погружающийся след за газовым пузырьком возбуждает синфазные колебания во всем пространстве. Амплитуда возмущений спадает со временем степенным образом (Г1). Потенциальная точность метода определения периода колебании достаточно высокая (не ниже 5% уже на первых колебаниях и улучшается с ростом времени). Пространственное разрешение определяется толщиной вязкого пограничного слоя (¿) '(\>'И),/2 ~1 мм).

Возмущения в среде, связанные со свободными колебаниями, отчетливо выделяются и теневыми, и зондовыми методами. Экспериментальная зависимость от времени вертикальных смещений жидких частиц в фиксированной точке пространства достаточно хорошо согласуется с расчетной, что, в частности, свидетельствует о степенном характере спадания амплитуды. Данный метод может быть использован и для прямого измерения частоты плавучести в природных условиях. Для этого стационарные измерительные системы должны быть дополнены устройствами создания свободных компактных возмущений (маркеров) среды.

Задача генерации монохроматических внутренних волн решается в трехмерной постановке для бесконечной цилиндрической оболочки радиуса Л, обладающей анизотропными механическими свойствами: она бесконечно жесткая в поперечном направлении и растяжимая и сжимаемая в продольном. В целом оболочка покоится, но некоторая ее часть высоты а совершает как целое вертикальные колебания вдоль своей образующей по заданному закону 11(2, I)- В двухмерной постановке волны, генерируются частью бесконечной плоскости, составляющей произвольный угол <р с горизонтом и обладающей такими же механическими свойствами. Ее часть шириной а совершает колебания нчус целое вдоль своей поверхности по заданному закону 11(/;,1), где £ - координата вдоль плоскости. В задаче используются три системы координат: лабораторная система (х,:)\ система, связанная с плоскостью (£,£"); сопутствующая система, связанная с пучком

внутренних волй (р, (]). При установившемся режиме колебаний зависимость всех величин от времени носит гармонический характер ехр(-1йЯ).

Вместо функции Уг вводится функция тока У, через которую записываются все граничные условия. Уравнение (3) имеет относительно к в общем случае четыре корня. В приближении малой вязкости два корня от-

вечают распространяющимся внутренним волнам, а остальные - внутреннему пограничному течению, характерный масштаб пространственной изменчивости которого N. Полное решение линейной задачи генерации внутренних волн записывается в виде суперпозиции функций тока, отвечающих разномасштабным движениям. Движения в пространственно осциллирующем пограничном течении экспоненциально спадают с удалением от источника. Его продольная структура повторяет зависимость скорости движения тела.

Волновое поле образует в пространстве систему двух конических поверхностей или четырех пучков, наклоненных под углом 0 = агсьт(а / N) к горизонту, в трехмерном и двухмерном случаях соответственно. Наиболее простой вид волновое решение имеет в сопутствующей пучку системе координат (<! - продольная, р - поперечная координаты). В двухмерном случае вертикальное смещение частиц жидкости из положения равновесия 77 может быть представлено в виде

X

где F(p,q) = j у'2 ус'у cx¡^iapyv^iy-, а' = а-:ъп(в-<р)-проекция пласти-

ны на направление распространения волнового пучка; а = \¡2NcosO/u]; fj = si^rtfsin2 в - sm1 tp).

Выражение (4) аналнтично во всем пространстве (за исключением угла в = -<р) и имеет регулярный предел равный нулю при со —> О, N и при

V—>0, что указывает на существенно вязкий механизм генерации внутренних волн. При переходе к однородной среде (N -» 0) выражение (4) преобразуется к классическому решению Стокса. Решения для волн и пограничного течения в трехмерном случае отличаются от аналогичных решений для двухмерной задачи Только геометрическим фактором. Это свойство позволяет тестировать полученные в трехмерном случае решения на плоских задачах, когда относительно большие смещения частиц среды облегчают регистрацию волн.

Из (4) следует, что расстояние на котором происходит трансформация фазовой структуры волнового пучка из бимодальной (два максимума в

профиле огибающей волновых смешений) в одномодальную (один максимум) имеет вид

Ь =

а*Ысо.чО.\т*(в-<р)

4 у у*

(5)

(у- корень алгебраического уравнения). '

При а -> то и ц < Ь выражение (4) стремится к конечному пределу.

Это означает, что волновые пучки от краев пластины перестают интерфе- ' рироватъ между собой и распространяются независимо. В дальнем поле ^»Ь) волновые амплитуды растут монотонно с увеличением ширины

пластины и спадают с расстоянием как </~2 что согласуется с известными результатами.

Сравнение теоретических результатов для волновых амплитуд и внутренних пограничных течений, построенных по предложенной мстоди-. ке для вязкой жидкости и с использованием модели сингулярных силовых источников показывает, что внутренние пограничные течения описываются последними всегда неверно, а значения волновых амплитуд совпадают в случае горизонтальной пластины.

Из теоретического анализа следует, что экспериментальные методы должны обеспечить регистрацию волновой картины и тонкоструктурных неоднородностей, связанных с внутренними пограничными течениями. В опытах в качестве генераторов волн использовались пластины шириной 1; 3; 6 см и толщиной I мм, а также полый цилиндр высотой 3,5 см и диаметром 1,6 см, осциллирующие с амплитудой 1,5 мм. Для регистрации возмущений среды использовались оптические и зондовые методы. Харак-. терная картина волнового поля от пластины шириной 3 см изображена на Рис. 1.

Волновые движения концентрируются в узких пучках, исходящих из краев источника. Нелинейные эффекты практически не наблюдаются. Горизонтальные мелкомасштабные прослойки, которые начинаются около кромок излучателя и простираются далеко за границы поля зрения без видимых эффектов перемешивания или опрокидывания (Рис. I), обусловлены отрывом внутренних пограничных течений от поверхности генератора. Эти течения характеризуются различными масштабами пространственной из-

менчивости скорости и плотности. Профиль амплитуды волны поперек пучка имеет на его оси один минимум (Рис. 2). Небольшое различие в значениях максимумов и минимума свидетельствует о переходной зоне в трансформации модальности волнового поля, где интерференция пучков наиболее сильна. Рассчитанные амплитуды волн отличаются от экспериментальных незначительно, что указывает на доминирование вязкого механизма генерации волн.

Рис. I. Теневая картнна поля монохроматических внутренннх волн, генерируемого осциллирующей пластиной (».= 3 см, <р = 45°, Л'= 1.14 рад/с, <о = 0,81 рад/с, £М5°)

. Фазовая структура волнового пучка, направление распространения которого совпадает с плоскостью колебаний пластины, всегда одномо-дальная, а характер спадания с удалением от источника является степенной функцией расстояния, показатель которой зависит от соотношения между шириной пластины и вязким волновым масштабом Ц. - ^/Т^» / N. Неудовлетворительное теоретическое описание этого пучка свидетельствует о том, что поршневой механизм генерации волн является для него более существенным. С уменьшением частоты колебаний источника появляется большее число волновых мод л, удовлетворяющих условию генерации п-ео<М.

р, сш

Рис. 2. График зависимости амплитуды колебаний частиц жидкости в поперечном пучке от координаты р на расстоянии 5 см от источника (я = 3 см, /р = 45°, N = 0,84 рад/с, т = 0,64 рад/с, №=50°).

При наклонном обтекании трехмерного препятствия потоком вязкой безграничной стратифицированной жидкости картина присоединенных внутренних волн усложняется и состоит из нормальных и косых волн, которые частично заполняют пространство и в предельном случае соответствуют волнам, образующимся при горизонтальном и вертикальном движениях тела. В качестве модели генератора в работе используется дублет, состоящий из равнообильных точечных источника и стока, разнесенных на некоторое расстояние друг от друга. Параметры дублета зависят от формы тела и выбираются по теории однородной жидкости.

Процедура нахождения решения разбивается на два этапа. На первом этапе ищется асимптотическое решение для внутренних волн в невязкой жидкости, для чего выполняется преобразования Фурье по пространственным координатам и Лапласа - по времени. Условие излучения, определяющее направление распространения энергии от источника, выполняется автоматически как следствие принципа причинности. Для вычисления ин-

тегралов обратных преобразований по стандартной методике находятся точки стационарной фазы. Форма поверхностей постоянной фазы к R = const, где R=(X.Y,Z) - радиус-вектор в С-системе, связанной с потоком, задается параметрическими уравнениями sin2 reos2

х = cosa\

V sin9

los2 0-1) . ( . mt'fl)

- + sma\ sin t—

тв ) ': \ sin OJ

:0s1 в\ . ( cos* в)

- + мпа\ ais T—r—

sine) \ sin1 в)

= -casatsin гcnsO) - sin al-

• V sind J

_ '('■-. cos у = rwal cost si n x

(6)

Здесь а - угол наклона' потока к горизонту, ()<0<ж, 0<т<2х, х « (N/11 ) • X (аналогично для других компонент радиус-вектора).

На втором этапе в приближениях малой вязкости и слабой стратификации (Л >>Я •• д/у/Ы ) полученное решение используется для расчета

картины волн с учетом вязкости и без приближения Буссинеска. Полное выражение для вертикальных смешений частиц в волне имеет громоздкий характер и приводится в диссертации.

.' При подходе к фронту волны (граница области существования присоединенных внутренних воли) амшнггуда волн спадает более медленно (/•~5 ?), чем в волновой зоне (г1). На фронте волны кривизна поверхности постоянной фазы обращается в нуль «I решение выражается через функцию "Эйрн. Уравнение волнового фронта в сечении У = О

в=9а= ж- arctg

Г*

\+ь7

(7)

(Ь = япа, <1 = сача) определяется из условия в особых точках поверхностей постоянной фазы (дх/(?в = (?5/еЮ = 0) и зависит только от угла, образуемого потоком жидкости с горизонтов

' Типичная картина волнового поля в эксперименте приводится на Рис. 3 для сферы диаметром 1 см, где четко выделяются обе группы волн (нормальные - деформированные дуги окружностей в нижнем полупространстве и косые в верхнем, выше линии движения).

Рис. 3. Теневая фотография пиля присоединенных внутренних волн (а= 1 Iе; Т» = 4,2 с; Ъ = 1 см; {/ = 0.6 см/с; Г = 0.4; ){с = 60. С = 440).

Оптическими и зондовыми методами идентифицируются следующие элементы течения: опережающее возмущение перед телом, присоединенные внутренние волны, спутный след с высокограднснтпымн прослойками (скачками плотности) на его краях.. Особенностью негоризонтального обтекания является наличие только одной оболочки следа (верхняя оболочка следа скользит вдоль поверхности сферы до тех пор, пока не сольется с нижней). Единственная граница спутного следа визуализируется как слегка изогнутая темная линия. Нормальные волны выражены.более четко, чем косые. Отчетливо заметна внешняя граница волнового поля. Поскольку в этом режиме разность плотностей жидкости.в следе и окружающей среде на том же горизонте невелика, граница следа сохраняет свою сплошность.'

При увеличении угла наклона натекающего потока меняется тонкая, структура плотностного следа и относительная интенсивность существующих групп волн. Нормальные волны выражены слабо, а косые - более отчетливо. Их форма удовлетворительно согласуется с расчетной. Поскольку более тяжелая жидкость, увлекаемая с нижележащих горизонтов, теряет свою устойчивость и осыпается тонкими вертикальными струйками - солевыми пальцами, нижняя граница плотностного следа становится нерегулярной. Слабые нормальные волны не могут преодолеть плотностную неоднородность на границе течения и попасть выше линии движения.

Из условия максимальной близости расчетной и наблюдаемой волновых картин для каждого опыта осуществлялся поиск центра волновых воз-мущек.л - эффективного источника генерации, положение которого не

совпадало с центром тела. Во всех случаях эффективный источник располагался на линии движения выше по поток}' на расстоянии, которое зависит от характерной длины волны. В пределах точности опыта экспериментальная зависимость может быть аппроксимирована прямой Л/ = 0,5-Я + 0,25 см, т.е. эффективный источник опережает центр препятствия на половину длины волны. Эта величина фактически является масштабом длины области блокировки перед препятствием.

Построенные зависимости волновых амплитуд при различных значениях числа Фруда для сферы и удлиненного препятствия (цилиндр, вытянутый вдоль линии движения со сферическими оголопками), дают основание заключить, что при V «1)Ы(1: «I) возбуждаются волны малой амплитуды, которая нарастает с увеличением скорости и размера препятствия,'достигая максимума при /■' = 0(\). С увеличением удлинения тела амплитуда излучаемых волн растет. Хотя теоретические и экспериментальные кривые качественно подобны, отличие в измеренных и рассчитанных значениях амплитуд весьма значительны, что свидетельствует о влиянии неволновых форм движения (блокировки, пограничного слоя, спутного • следа).на.эффективность волнообразования и требует учета нелинейных членов в уравнении генерации внутренних волн.

Таким образом, линейная теория присоединенных внутренних волн в вязкой стратифицированной жидкости удовлетворительно описывает картину волн при произвольной 'ориентации натекающего потока в широком диапазоне определяющих параметров, в" том числе и при /■"<!, когда формально не выполняются условия ее применимости. В общем случае волновая картина может быть представлена как комбинация нормальных и косых волн, относительная интенсивность которых зависит от параметров стратификации, скорости потока и характеристик источника возмущений (удлинения). Форма гребней и впадин, а также уравнение фронта волны определяются только геометрией задачи и не зависят от формы препятствия.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Впервые корректно поставлена линейная задача генерации внутренних волн (с точным выполнением граничных условий на поверхности тела) в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости, позволяющая

рассчитывать параметры волновых полей без введения феноменологических констант. - '. л ■ "/ ' V V

2. Построено решение для нестационарных внутренних волн, возбуждаемых свободно погружающимся тонким следом (плотностной меткой) с однородным поперечным распределением плотности. Амплитуда волн является экспоненциальной функцией расстояния г, се изменение со временем носит степенной характер (/"')■ Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными. Точность прямого метода измерения профиля периода плавучести, основанного на предложенной методике, не ниже 5%. . . . '• •'/ •

. 3. Получено аналитическое во всем пространстве решение линейной задачи генерации двухмерных и трехмерных монохроматических внутренних волн, генерируемых осциллирующими пластиной и цилиндрической . оболочкой соответственно, в виде суперпозиции двух выражений, отвечающих распространяющимся внутренним волнам (крупномасштабные, движения) и внутренним пограничным течениям (мелкомасштабные движения). •'-':■".;'•..'■■-

4. Проведено сопоставление расчетов характеристик монохроматических внутренних волн с данными лабораторных измерений, которое показало хорошее согласие значений волновых амплитуд. Выделены две формы фазовой структуры волнового поля -• одномодальная и бимодальная, опре- ' делены условия трансформации Одной формы в другую. Определены условия применимости традиционной модели сингулярных силовых источников. - ' ' V •.'"•.-' = ''/! •/•Г: .

5. В рамках линейной теории рассчитаны амплитудные и фазовые характеристики трехмерных присоединенных внутренних волн, возни-. кающих при произвольной ориентации натекающего потока отноаггелыю препятствия, в вязкой стратифицированной жидкости. Задача решена в традиционной постановке (с использованием модели сингулярных массовых источников). Впервые построено аналитическое во всем пространстве решение для наклонного обтекания тела, допускающее непосредственное сравнение с экспериментом. ■

6. Рассчитанные форма волновых гребней и впадин, положение границы волновой зоны удовлетворительно согласуются с данными лабора-

20

торных измерений. Волновая картина представлена в виде комбинации нормальных и косых волн. В ряде режимов в эксперименте наблюдалась мелкомасштабная неустойчивость спутного течения, при которой в оболочке следа формировались "солевые пальцы". Центр эффективного источника генерации внутренних волн опережал препятствие на расстояние, которое определяется длиной волны.

7. Сравнение рассчитанных волновых амплитуд с экспериментальными данными показало, что линейная теория генерации присоединенных внутренних волн применима даже в том диапазоне чисел Фруда (/•" < 1 ), где формально не выполняются условия ее применимости. Рассчитанные значения волновых амплитуд меньше наблюдаемых, что указывает на необходимость учета в расчетах неволновых форм движения (спутный след, : возмущение перед телом).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Смирнов С.А. Амплитудно - фазовые характеристики присоединенных внутренних воли, генерируемых телом, движущимся под углом к горизонту: Препринт № 574, М.: ИПМ РАН. 1996. 44 С.

2. Smirnov S.A. Lee waves at arbitrary orientation of incident flow // Abstracts of the International Conference "Stability and Instability of Stratified and/or Rotating Flows". Moscow, June 24-26, 1997, p. 114.

3. Ильиных Ю.С., Кистович Ю.В., Левицкий B.B., Смирнов C A., Чашечкин Ю.Д. Особенности генерации, распространения и отражения пучков внутренних воли в вязкой произвольно стратифицированной жидкости. Отчет по НИР (проект 01.04.04 'Физическое моделирование волн' Государственная Научно-Техническая Программа 'Комплексное Исследование Океанов и Морей Арктики и Антарктики'), М.: ИПМ РАН. 1997. 50 С,

5.3 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На Рис. 5.4-5.8 приведены примеры расчета поверхностей постоянной фазы для различных углов обтекания препятствия (пунктирными линиями показаны впадины, сплошными - гребни) и теневые фотографии внутренних волн (границы черных и белых полос отвечают их гребням и впадинам).

При горизонтальном обтекании фазовые поверхности в центральном сечении - полуокружности. В эксперименте (Рис. 5.4, а = 0°, тело малого диаметра, о « ьу = \[ёу! N - вязкий волновой масштаб) форма гребней не везде совпадает с расчетной. Нижняя часть волнового поля сильнее прижимается к оси движения, что связано с некоторым непостоянством частоты плавучести. Наиболее удачное совпадение теоретических и экспериментальных фазовых поверхностей соответствует положению мнимого источника на линии движения на расстояние 1,4 см от центра сферы вперед по потоку, при этом экспериментальные кривые пересекают полуокружности в двух точках: выше линии движения при /3 = 20°, у = 50°; ниже - при /? = - 20°, у = - 40° (углы отсчитываются от линии движения, Рис. 5.5). Эти отклонения обусловлены эффектом Доплера - увлечением волн сдвиговым течением в следе. Зная величину отклонения экспериментальной кривой от расчетной Вх„, с учетом (5.10), можно вычислить локальное значение скорости Но = Ох,, Ть. Ее зависимость от угла ф, отсчитываемого от линии движения, показана на Рис. 5.6. Максимум скорости находится в центре следа. В основном диапазоне углов сдвиг скорости остается постоянным. На периферии волнового поля в диапазоне углов от 20° до 50° наблюдается противотечение. С увеличением номера волны происходит уменьшение скорости.

При горизонтальном обтекании сферы большого диаметра (В > Ьу) центр мнимого источника располагается на расстоянии 2,5 см перед телом. Волны замыкаются на высокоградиентные оболочки следа, толщина которых порядка д = « 10"3 см, ка- коэффициент диффузии соли.

В волновой картине, образующейся при движении препятствия под углом ос к горизонту (а = ж/ 2 - у/), можно выделить два типа волн - нормальные и косые. В типичной картине течения (Рис. 5.7, а= 11°) выделяются обе группы волн (нормальные - деформированные дуги окружностей в нижнем полупространстве и косые в верхнем, выше линии движения). Особенностью негоризонтального обтекания является наличие только одной высокоградиентной оболочки следа (верхняя оболочка следа скользит вдоль поверхности сферы до тех пор, пока не сольется с нижней). Единственная граница спутного следа визуализируется как слегка изогнутая темная линия. Поскольку в этом режиме разность плотностей жидкости в следе и окружающей среде на том же горизонте невелика, граница следа сохраняет свою сплошность. Внутренние волны заполняют все доступное пространство, включая и область следа. Нормальные волны выражены более четко, чем косые. В этом режиме отчетливо выделяется фронт волны (граница области существования присоединенных внутренних волн). Расчетное угловое положение каустики - 30° от линии движения.

При увеличении угла наклона натекающего потока (Рис. 5.8, а = 30°) меняется тонкая структура плотностного следа и относительная интенсивность существующих групп волн. В этом случае нормальные волны выражены слабо, а косые - более отчетливо. Их форма удовлетворительно согласуется с расчетной (5.12). Поскольку более тяжелая жидкость, увлекаемая с нижележащих горизонтов, теряет свою устойчивость и осыпается тонкими вертикальными струйками - солевыми пальцами, нижняя граница плотностного следа становится нерегулярной. Слабые нормальные волны не могут преодолеть плотностную неоднородность на границе течения и попасть выше линии движения. В этом режиме не образуется истинного фронта волны, поскольку не выделяется область одновременного существования двух волновых систем.

При увеличении размеров препятствия растет амплитуда излучаемых волн (Рис. 5.9, а = 10°). Клюв волновой поверхности около тела визуализи

77 рует тонкий плотностной пограничный слой. В картине волн можно видеть скачок фазы, который располагается на прямой, выходящей из области клюва и расположенный под углом 22° к линии движения (12° к горизонту). Угловое положение границы волновой зоны - 55° от линии движения (эксперимент), каустики - 32° (теория). Вероятно, различие угловых положений каустик может быть уменьшено, если в расчетах учесть нестационарные волны на границе волнового фронта.

Во всех случаях мнимый источник располагался на линии движения выше по потоку на расстоянии, которое зависит от характерной длины волны (5.18). В пределах точности опыта экспериментальная зависимость может быть аппроксимирована прямой Х{ = 0,5 -Я 1 0,25 см, т.е. мнимый центр опережает центр препятствия на половину длины волны (Рис. 5.10; вертикальными отрезками на рисунке отмечены погрешности величины Х\, вытекающие из неоднозначности выбора оптимального положения мнимого источника). Эта величина фактически является масштабом длины области блокировки перед препятствием.

Амплитуды волн (5.19), нормированные на диаметр сферы {г/о = г]2/ £>), приведены на Рис. 5.11 для случая горизонтального обтекания при различных значениях числа Фруда (Т7 = II / NI)). Для полноты картины, изображены зависимости как для сферы, так и для удлиненного препятствия (цилиндр, вытянутый вдоль линии движения со сферическими оголовками и удлинением - I / Д где Ь - длина цилиндра). При (I « О-И (¡< « \) возбуждаются волны малой амплитуды, которая нарастает с увеличением скорости и размера препятствия, достигая максимума при Р = 0(1). С увеличением удлинения препятствия амплитуда излучаемых волн растет (кривые 2, 3 на Рис. 5.11). Хотя теоретические и экспериментальные кривые качественно подобны, отличие в измеренных и рассчитанных значениях амплитуд весьма значительны, что свидетельствует о влиянии неволновых форм движений (блокировки, пограничного слоя, спутного следа) на эффективность волнообразования.

Для типичных атмосферных условий (высота одиночного препятствия -изолированной горы - составляет 1 км, скорость горизонтального ветра 10 м/с, частота плавучести N = Ю'2 с"1) расчеты по приведенным формулам показывают, что на расстоянии Я = 10 км значения амплитуд и длин внутренних волн составляют 100 м и 6 км, что вполне согласуется с наблюдениями подветренных волн вблизи горы в атмосфере [91, 92]. Для стандартных океанических условий (высота препятствия 100 м, скорость потока 0,1 м / с, частота плавучести n = 10~3 с"1) эти величины составляют 10 м и 0,6 км, что является типичным для поля короткопериодных внутренних волн [3, 98, 99]. Таким образом, линейная теория может использоваться для разработки методики и анализа измерений характеристик подветренных внутренних волн и в природных условиях.

5.4 ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Линейная теория присоединенных внутренних волн в вязкой стратифицированной жидкости удовлетворительно описывает картину волн при произвольной ориентации натекающего потока в широком диапазоне определяющих параметров, в том числе и при Т7 = и / N1) < 1, когда формально не выполняются условия ее применимости. При постоянной скорости тела длина волн не зависит, а амплитуда волн слабо зависит от числа Рейнольдса. Максимум волновых амплитуд достигается в области i7 = [0,8;1,5], где наблюдается доминирование волнового движения. Наилучшее соответствие между экспериментальными фазовыми поверхностями и линейной теорией наблюдается при F > 0,5. При F < 0,5 согласие ухудшается по мере приближения к центру следа. Это отклонение связано с конечными размерами тела и взаимодействием между волнами и следом. Данные выводы, сделанные на основании сравнения качественного поведения волновых амплитуд от числа Фруда и формы фазовых поверхностей с экспериментальными данными, согласуются с результатами других авторов для картины линий тока позади препятствия [45, 75, 76, 101].

В общем случае волновая картина может быть представлена как комбинация нормальных волн, присутствующих в горизонтальном потоке, и косых волн, сохраняющихся при вертикальном обтекании. Их относительная интенсивность зависит от параметров стратификации, скорости потока и характеристик источника возмущений (удлинения). Форма гребней и впадин, уравнение фронта волны, задающее границу волновой зоны, определяются только геометрией задачи и не зависят от формы препятствия, что согласуется с известными ранее аналитическими расчетами [64, 66, 93, 102], а также результа

79 тами численного моделирования [94, 95, 96]. Следует отметить, что численные методы требуют расчетов для каждого конкретного случая и не позволяют получать зависимостей характеристик волн от параметров источника в отличие от аналитических методов.

При изменении ориентации потока меняется положение областей максимальных смещений и войдов - зон отсутствия волновых движений позади препятствия. Асимптотическая теория удовлетворительно описывает картину волн и дает заниженные значения амплитуд, поскольку не позволяет описать другие элементы течения (спутный след за телом, вихри), дающих свой вклад в результирующую амплитуду волн [55, 56, 77, 97].

В ряде режимов в эксперименте наблюдалась мелкомасштабная неустойчивость спутного течения, при которой в оболочке следа формировались тонкие "солевые пальцы". Центр модельного источника опережает препятствие на расстояние, которое определяется длиной волны, что указывает на возможность существования эффекта блокировки в трехмерном случае по аналогии с двухмерным [53, 54].

Полученные асимптотические результаты не применимы вблизи траектории движения источника, где длина волны обращается в нуль

РИС. 5.3 Пространственное распределение длины волны: 1 - а - 0°, 2 - а = 11°, 3-а = 40° (а=тг/2+ у/).

РИС. 5.4 Фазовые поверхности и теневая фотография поля присоединенных внутренних волн (а = 0°; Ть = 4,2 с; I) = 1 см; II = 0,7 см/с; Р = 0,5; Ке = 72; С = 440).

РИС. 5.5 Взаимное расположение теоретических и экспериментальных фазовых поверхностей с номерами п и п+\ в сечении 7=0(1- теория, е -эксперимент).

I.I*-1-.

О 20 40 Ф,°

РИС. 5.6 Профиль скорости IIо для третьей волны поля внутренних волн (а = 0°; 7* = 4,2 с;Г> = 1 см; [/=0,7 см/с; 0,5; Яе = 72; С = 440).

РИС. 5.7 Фазовые поверхности и теневая фотография поля присоединенных внутренних волн (а = 11°; 7), = 4,2 с; О = 1 см; II = 0,6 см/с; 17 = 0,4; Ре = 60; С = 440).

РИС. 5.8 Фазовые поверхности и теневая фотография поля присоединенных внутренних волн (а = 30°; Ть =4,1 с; О - 1 см; ГУ = 1,5 см/с; 17= 1; Ке = 153; С = 440).

-10

-5

X, ст

РИС. 5.9 Фазовые поверхности и теневая фотография поля присоединенных внутренних волн (а - 10°; Ть = 8 с; I) = 4 см; II = 0,9 см/с; I7 - 0,3; Ке = 344; С = 400).

РИС. 5.10 Зависимость положения мнимого источника от длины волны (1 -£>= 1 см, а=0°;2-£> = 2,5 см, а= 0°; 3 -1) = 4 см, а =10°).

РИС. 5.11 Зависимость относительной амплитуды волны в точке х = 0, 2 = 12 см от числа Фруда (сплошные линии - расчет, значки - эксперимент: 1 и 4 -л = 420 см, 1; 2 и 5 - л = 1680 см, 5; 3 и 6 - Л = 420 см, 5).

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Впервые корректно поставлена линейная задача генерации внутренних волн (с точным выполнением граничных условий на поверхности тела) в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости, позволяющая рассчитывать параметры волновых полей без введения феноменологических констант.

2. Построено решение для нестационарных внутренних волн, возбуждаемых свободно погружающимся тонким следом (плотностной меткой) с однородным поперечным распределением плотности. Амплитуда волн является экспоненциальной функцией расстояния г, и затухает обратно пропорционально времени. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными. Точность прямого метода измерения профиля периода плавучести, основанного на предложенной методике, не ниже 5%.

3. Получено аналитическое решение линейной задачи генерации двумерных и трехмерных монохроматических внутренних волн, генерируемых осциллирующими пластиной и цилиндрической оболочкой соответственно, в виде суперпозиции двух выражений, отвечающих распространяющимся внутренним волнам (крупномасштабные движения) и внутренним пограничным течениям (мелкомасштабные движения).

4. Проведено сопоставление расчетов характеристик монохроматических внутренних волн с данными лабораторных измерений, которое показало хорошее согласие значений волновых амплитуд. Выделены две формы фазовой структуры волнового поля - одномодальная и бимодальная, определены условия трансформации одной формы в другую. Определены условия применимости традиционной модели сингулярных силовых источников.

5. В рамках линейной теории рассчитаны амплитудные и фазовые характеристики трехмерных присоединенных внутренних волн, возникающих при произвольной ориентации натекающего потока относительно препятствия, в вязкой стратифицированной жидкости. Задача решена в традиционной постановке (с использованием модели сингулярных массовых источников). Впервые построено аналитическое во всем пространстве решение для наклонного обтекания тела, допускающее непосредственное сравнение с экспериментом.

6. Рассчитанные форма волновых гребней и впадин, положение границы волновой зоны удовлетворительно согласуются с данными лабораторных измерений. Волновая картина представлена в виде комбинации нормальных и косых волн. В ряде режимов в эксперименте наблюдалась мелкомасштабная неустойчивость спутного течения, при которой в оболочке следа формировались "солевые пальцы". Центр эффективного источника генерации внутренних волн опережал препятствие на расстояние, которое определяется длиной волны. Линейная теория присоединенных внутренних волн дает удовлетворительные результаты даже в диапазоне малых чисел Фруда.

7. В тех случаях, когда рассчитанные значения волновых амплитуд меньше наблюдаемых, влияние неволновых форм движения (спутный след, возмущение перед телом) может быть учтено введением феноменологических констант в модели источника.

Автор признателен проф. Чашечкину Ю.Д. за осуществление научного руководства и поддержку на всем пути проведения настоящего исследования, проф. Городцову В.А. и к.ф.-м.н. Кистовичу Ю.В. за обсуждение результатов и ценные критические замечания, к.т.н. Ильиных Ю.С. за помощь в проведении экспериментов, ГЭг. Воппе1;оп'у за благожелательность и внимание, проявленное к работе автора.

1. Гилл, А. Динамика Атмосферы и Океана. Т. 1, М.:Мир, 1986. 360 С.

2. Госсард, Э., Хук, У. Волны в Атмосфере, М.: Мир, 1978. 570 С.

3. Сабинин, К.Д., Коняев, К.В. Волны внутри Океана, Л.: Гидрометеоиздат,1992.300 С.

4. Каменкович, В.М. Основы Динамики Океана, Л.: Гидрометеоиздат,1973.240 С.

5. Лайтхилл, Дж. Волны в Жидкости, М: Мир, 1981. 598 С.

6. Романова, Н.Н., Якушкин, И.Г. Внутренние гравитационные волны внижней атмосфере и источники их генерации (обзор). Изв.РАН Физика атм. и океана. 1995. Т. 31. № 2, С. 163-186.

7. Smith, R.B. Hydrostatic air flow over mountains. Adv. Geophys. 1979. V.31, P. 1-41.

8. Кожевников, B.H. Нелинейная многослойная модель обтекания гор произвольного профиля. Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1993. Т. 29. № 6, 780-792.

9. Xing, J., Davies, A.M. Internal lee waves and turbulence mixing over an isolated seamount: results from turbulence energy models. Int. J. for Num. Methods in Fluids. 1996. V. 23, P. 1043-1072.

10. Секерж-Зенькович, с.я. Построение фундаментального решения оператора внутренних волн. Прикл. мат. и мех. 1981. Т. 45. № 2, С. 266274.

11. Чашечкин, Ю.Д., Макаров, С.А. Нестационарные внутренние волны.

12. Доклады АН СССР. 1984. Т. 276. № 5. С. 1246-1250.

13. Габов, С.А., Свешников, А.Г. Линейные Задачи Теории Нестационарных Внутренних Волн, М.: Наука, 1990. 343 С.

14. Чашечкин, Ю.Д., Макаров, С.А., Беляев, С.В. Присоединенные Внутренние Волны, Препринт № 144, ИПМ АН СССР, 1983. 63 С.

15. Konyaev, K.V., Sabinin, K.D., Serebryany, A.N. Large amplitude internalwaves at the Mascaren Ridge in the Indian Ocean. Deep-Sea Res. 1995. V. 42(11/12), P. 2075-2091.

16. Mowbray, D.E., Rarity, B.S.H. A theoretical and experimental investigationof the phase configuration of internal waves of small amplitude in density stratified liquid. J.Fluid Mech. 1967. V. 28, P. 1-16.

17. Gordon, D., Klement, U.R., Stevenson T.N. A viscous internal wave in astratified fluid whose buoyancy frequency varies with altitude. J.Fluid Mech. 1975. V. 69(3), P. 615-624.

18. Stevenson, T.N., Woodhead, T.J., Kanellopulos, D. Viscous effects in someinternal waves. Appl.Sci.Res. 1983. V. 40, P. 185-197.

19. Stevenson, T.N., Bearon, J.N., Thomas, N.H. A internal wave in a viscousheat-conducting isothermal atmosphere. J. Fluid Mech. 1974. V. 65(2), P. 315-323.

20. Hurley, D.G. A general method for solving steady-state internal gravity waveproblems. J. Fluid Mech. 1972. V. 56, P. 721.

21. Hurley, D.G. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders.

22. Part 1. Inviscid solution. J. Fluid Mech. 1997. V. 351, P. 105-118.

23. Hurley, D.G., Keady, G. J. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 2. Approximate viscous solution. J. Fluid Mech. 1997. V. 351, P. 119-138.

24. Макаров, С.А., Неклюдов, В.И., Чашечкин, Ю.Д. Пространственная структура пучков двумерных монохроматических внутренних волн в экспоненциально стратифицированной жидкости. - Изв. РАН Физ. атмосферы и океана 1990. Т. 26. № 7, 744-754.

25. Иванов, А.В. Генерация внутренних волн осциллирующим источником.- Изв. АН СССР Физ. атмосферы и океана. 1989. Т. 25. № 1, С. 84-89.

26. Sarma, L.V.K.V., Krishna, D.V. Oscillation of axisymmetric bodies in a stratified fluid. Zastosow. Matem. 1972. V. 13, P. 109.

27. Appleby, J.C., Crighton, D.G. Internal gravity waves generated by oscillations of a sphere. J. Fluid Mech. 1987. V. 183, P. 439-450.

28. Appleby, J.C., Crighton, D.G. Non-boussinesq effects in the diffraction ofinternal waves from an oscillating cylinder. Q. J. Mech. appl. Math. 1986. V. 39(2), P. 209-231.

29. Hendershott, M.C. Impulsively started oscillations in a rotating stratifiedfluid. J.Fluid Mech. 1969. V. 36, P. 513-527.

30. Peters, F. Schlieren interferometry applied to a gravity wave in a densitystratified liquid. Experiments in Fluids 1985. V. 3, P. 261-269.

31. Кистович, А.В., Чашечкин, Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно стратифицированной среде . Доклады АН. 1992. Т. 325. № 4, С. 833-837.

32. Байдулов, В.Г., Чашечкин, Ю.Д. Пограничное течение, индуцированноедиффузией около неподвижного горизонтального цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости. Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т. 32. № 6. С. 818-823.

33. Кистович, Ю.В., Чашечкин, Ю.Д. Отражение пучков внутренних гравитационных волн от плоской жесткой поверхности. Прикл. мат. и мех. 1995. Т. 59. №4, С. 607-613.

34. Кистович, Ю.В., Чашечкин, Ю.Д. Линейная Теория Пучков Гармонических Внутренних Волн в Произвольно Стратифицированной Жидкости с Учетом Эффектов Вязкости и Диффузии (Задачи Распространения и Отражения), Препринт ИПМ РАН № 570, 1996. 44 С.

35. Черноусько, Ф.Л. О движении тела с полостью, частично заполненнойвязкой жидкостью. Прикл. мат. и мех. 1966. Т. 60. № 6, С. 977-992.

36. Foster, M.R., Saffman, P.G. The drag a body moving transversely in a confined stratified fluid. J.Fluid Mech. 1970. V. 43, P. 407-418.

37. Кистович, Ю.В., Чашечкин, Ю.Д. Задача генерации монохроматических внутренних волн: точное решение и модель силовых источников. Доклады АН 1997. Т. 355. № 1, С. 54-57.

38. Кочин, Н.Е., Кибель, И.А., Розе, Н.В. Теоретическая Гидромеханика.

39. Часть 1, М.: ГИФМЛ, 1963. 580 С.

40. Ekman, V.W. "On dead water". In: Scientific Results of the Norwegian North

41. Polar expedition 1893-1896. 1904. V. 15, P. 150.

42. Lilly, D.K. A severe downslope windstrom and aircraft turbulence event induced by a mountain wave. J. Atmos.Sci. 1978. V. 35, P. 59-77.

43. Чашечкин, Ю.Д. Гидродинамика сферы в стратифицированной жидкости. Изв. АН СССР Механика жидкости и газа. 1989. Т. 1, С. 3-9.

44. Сысоева, Е.Я., Чашечкин Ю.Д. Пространственная структура следа засферой в стратифицированной жидкости. ПМТФ. 1988. Т. 5, С. 5965.

45. Lin, Q., Lindberg, W.R., Boyer, D.L., Fernando, H.J.S. Stratified flow past asphere. J.Fluid Mech. 1992. У. 240, P. 315-354.

46. Long, R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids. Part 3. Continiousdensity gradients. Tellus 1955. V. 7, P. 341-357.

47. Lin, J-T., Pao, Y-H. Wakes in stratified fluids. Ann.Rev.Fluid Mech.1979. V. 11, P. 317-338.

48. Spedding, G.R., Browand, F.K., Fincham, A.M. Turbulence, similarity scaling and vortex geometry in the wake of a towed sphere in a stably stratified fluid. J.Fluid Mech. 1996. V. 314,. P. 53-103.

49. Chomaz, J.M., Bonneton, P., Hopfinger, E.J. The structure of the near wakeof a sphere moving horizontaly in a stratified fluid. J. Fluid Mech. 1993. V. 254, P. 1-21.

50. Castro, J.P., Snyder, W.H., Marsh, G.L. Stratified flow over three dimensional ridges. J.Fluid Mech. 1983. V. 135, P. 261-282.

51. Castro, J.P. A note on lee wave structures in a stratified flow over three dimensional obstacles. Tellus. 1987. V. A39, P. 72-81.

52. Sheppard, P.A. Airflow over mountains. Q.J.R.Met.Soc. 1956. V. 82, P.528.529.

53. Drazin, P.G. On the steady flow of a fluid of varible density over an obstacle.-Tellus 1961. V. 13, P. 239-251.

54. Castro, I.P., Snyder, W.H. Upstream motions in stratified flow. J. Fluid

55. Mech. 1988. V. 187, P. 487-506.

56. Hanazaki H. A numerical study of three dimensional stratified flow past asphere. J.Fluid Mech. 1988. V. 192, P. 393-419.

57. Hanazaki H. On the three dimensional internal waves excited by topographyin the flow of a stratified fluid.- J.Fluid Mech., 1994. V. 263, P. 293-318.

58. Boyer, D.L., Davies, P.A., Fernando, H.J.S., Zhang, X. Linearly stratifiedflow past a horizontally circular cylinder. Phil.Trans.R.Soc.Lond. 1989. V. A328, P. 501-528.

59. Воейков, И.В., Чашечкин, Ю.Д. Гидродинамика Цилиндра в Стратифицированной Жидкости, Препринт № 519 ИПМ РАН., 1992. 50 С.

60. Baines, P.G. Observation of stratified flow over two dimensional obstacles influid of finite depth. Tellus. 1979. V. 31(4), P. 351-371.

61. Букреев, В.И. Экспериментальное исследование волн в двухслойнойжидкости. В сб.: Нелинейные Проблемы Теории Поверхностных и

62. Внутренних Волн. (ред. Овсянников JI.B.), 1985. Новосибирск: Наука, С.243-269.

63. Yih, C-S. Stratified Flows, NY: Acad. Press, 1980. 418 P.

64. Аксенов, A.B., Кириллов, В.П., Можаев, B.B., Скороваров, В.Е., Шеронов, A.A. Структура внутренних волн в канале. Изв. АН СССР Мех. жидкости и газа. Т. 1. 1985. С. 106-110.

65. Аксенов, A.B., Можаев, В.В., Скороваров, В.Е., Шеронов, A.A. Фазоваяструктура трехмерных внутренних волн в канале. Изв. АН СССР Мех. жидкости и газа. 1989. Т. 1. С. 129-135.

66. Бежанов, К.А., Онуфриев, А.Т., Тер-Крикоров, A.M. Пространственнаязадача обтекания неровности дна потоком слоистой жидкости. Докл. АН СССР. 1987. Т. 296. № 2. С. 303-306.

67. Степанянц, Ю.А., Стурова, И.В., Теодорович, Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн. Итоги Науки и Техники. Механика Жидкости и Газа. М.: ВИНИТИ. 1987. Т. 21, С. 93-179.

68. Кистович, A.B., Чашечкин, Ю.Д. Генерация, распространение и нелинейное взаимодействие внутренних волн. Итоги Науки и Техники. Механика Жидкости и Газа. М.: ВИНИТИ. Т. 24, 1990. С. 77-144.

69. Макаров, С.А., Чашечкин, Ю.Д. Присоединенные внутренние волны вжидкости с экспоненциальным распределением плотности. ПМТФ. 1981. Т. 6. С. 47-54.

70. Макаров, С.А., Чашечкин, Ю.Д. Присоединенные внутренние волны ввязкой несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1982. Т. 18. № 9. С. 986-994.

71. Miles, J.W. Internal waves generated by a horizontally moving source.

72. Geophys.Fluid Dyn. 1971. V. 2(1), P. 63-87.

73. Стурова, И.В. Внутренние волны, возникающие в экспоненциально стратифицированной жидкости при произвольном движении источника. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1980. Т. 3, С. 67-74.

74. Стурова, И.В. Генерация внутренних волн в стратифицированной жидкости. В сб.: Нелинейные Проблемы Теории Поверхностных и Внутренних Волн. (ред. Овсянников Л.В.), Новосибирск: Наука, 1985. С. 200-242.

75. Voisin, В. Internal wave generation in uniformly stratified fluids.Part 1.Green's function and point sources. J. Fluid Mech. 1991. V. 231, P. 439-480.

76. Voisin, B. Internal wave generation in uniformly stratified fluids. Part2. Moving point sources. J.FluidMech. 1994. V. 261, P. 333-374.

77. Тер-Крикоров, A.M. Фундаментальное решение уравнения внутреннихволн для среды с разрывной частотой Брента-Вяйсяля. Прикл. мах. и мех. 1997. Т. 61. № 4, С. 621-627.

78. Боровиков, В.А., Владимиров, Ю.В., Кельберт, М.Я. Асимптотики Решений Уравнения Внутренних Волн с Финитными Правыми Частями, Препринт ИПМ АН СССР № 236, 1984. 60 С.

79. Gray, Е.Р., Hart, R.W., Farrell, R.A. The structure of the internal wave Mach front generated by a point source moving in a stratified fluid. Phys. Fluids 1983. V. 26(10), P. 2919-2931.

80. Городцов, В.А., Теодорович, Э.В. К теории волнового сопротивленияповерхностные и внутренние волны). В сб.: Н.Е. Кочин и развитие механики, М.: Наука, 1984. С. 131-149.

81. Городцов, В.А., Теодорович, Э.В. Излучение внутренних волн при быстром движении цилиндров и шаров. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1982. Т. 6, С. 94-100.

82. Аксенов, А.В., Городцов, В.А., Стурова, И.В. Моделирование Обтекания Цилиндра Стратифицированной Идеальной Несжимаемой Жидкостью, Препринт ИПМ АН СССР. 1986. № 282, 58С.

83. Miles, J.W., Huppert, Н.Е. Lee waves in a stratified flow. Part 2. Semicircular obstacle. J. Fluid Mech. 1968. V. 33(4), P. 803-814.

84. Robey, H.F. The generation of internal waves by a towed sphere and its wakein a thermocline. Phys.Fluids. 1997. V. 9(11), P. 3353-3367.

85. Ильиных, Ю.С., Чашечкин, Ю.Д., Левцов, В.И., Беляев, B.C. Прецизионный гидрологический зонд для океанологических исследований. -Измерительная техника. 1995. Т. 8. С. 39-42.

86. Boyer, D.L., Tao, L. On the motion of linearly stratified rotating fluids pastcapes. J. Fluid Mech. 1987. V. 180, P. 429-449.

87. Некрасов, В.И., Чашечкин, Ю.Д. Измерение скорости и периода внутренних колебаний жидкости методом плотностных меток. Метрология 1974. Т. 11. С. 36-41.

88. Hartunian, R.A., Sears, W.R. On the instability of small gas bubbles movinguniformly in various liquids J.Fluid Mech. 1957. V. 3, P. 27-48.

89. Федорюк, M.B. Асимптотика. Интегралы и Ряды, М.: Наука, 1987. 5441. С.

90. Гвоздев, А.В., Неклюдов, В.И., Чашечкин, Ю.Д. Сравнительный анализдинамических характеристик контактных преобразователей в непрерывно стратифицированной жидкости. Измерительная техника. 1990. Т. 3, С. 33-35.

91. Абрамович, М., Стиган, И. Справочник по Специальным Функциям,1. М.: Наука, 1979, 830 С.

92. Thomas, N.H., Stevenson, T.N. A similarity solution for viscous internalwaves. J. Fluid Mech. 1972. V. 54, P. 495-506.

93. Шлихтинг, Г. Теория Пограничного Слоя. М.: Наука. 1969. С. 90-91.

94. Васильев, JI.A. Теневые Методы, М.: Наука, 1968. 450 С.

95. Чашечкин, Ю.Д., Байдулов, В.Г., Кистович, Ю.В. и др. Моделирование

96. Внутренней Структуры и Динамики Природных Систем, Препринт № 592 ИПМ РАН., 1997. 96 С.

97. McEwan, A.D., Plumb, R.A. Off-resonant amplification of finite internal wave packets. Dyn. Atmos. and Oceans. 1977. V. 2, P. 83-105.

98. Teoh, S.G., Ivey, G.N., Imberger, J. Laboratory study of the interaction between two internal rays. J. Fluid Mech 1997. V. 336, P. 91-122.

99. Дородницын, А.А. Возмущения воздушного потока, вызываемые неровностями на поверхности Земли. Труды ГГО. 1938. Вып. 23(6). С. 3-17.

100. Скорер, Р. Аэродинамика Окружающей Среды. М.:Мир. 1978. 532 С.

101. Stevenson, T.N. The phase configuration of internal waves around a bodymoving in a density stratified fluid. J.Fluid Mech. 1973. V. 60, P. 759767.

102. Smolarkiewicz, P.K., Rotunno, R. Low Froude number flow past three dimensional obstacles. Part 1. Baroclinically generated lee vortices. J. Atmos. Sci. 1989. V. 46(8), P. 1154-1164.

103. Smolarkiewicz, P.К., Rotunno, R. Low Froude number flow past three dimensional obstacles. Part 1, Baroclinically generated lee vortices. ~ J. At-mos. Sci. 1989. V. 46(8), P. 1154-1164.

104. Grubisic, V., Smolarkiewicz, P. The effect of critical levels on 3D orographicflows: linear regime. J.Atmos.Sci. 1997. V. 54(15), P. 1943-1960.

105. Schar, C., Durran, D.R. Vortex formation and vortex shedding in contini-ously stratified flows past isolated topography. J.Atmos.Sci. 1997. V. 54(4), P. 534-554.

106. Пыркова, О.А. Приближенный учет вязкости в пограничном слое и следе за цилиндром в двухмерном потоке стратифицированной жидкости. В сб. Некоторые Проблемы Фундаментальной и Прикладной Математики (МФТИ), 1996. С. 163-180.

107. Филлипс, О.М. Динамика Верхнего Слоя Океана, JL: Гидрометеоиздат,1980. 319 С.

108. Миропольский, Ю.З. Динамика Внутренних Гравитационных Волн в Океане, JL: Гидрометеоиздат, 1981. 302 С.

109. Rarity, B.S.H. The two dimensional wave pattern produced by a disturbance moving in an arbitrary direction in a density stratified liquid. .

110. J.Fluid Mech. 1967. V. 30(2), P. 329-336.

111. Janowitz, G.S. Lee-waves in three dimensional stratified flow. J.Fluid Mech. 1984. V. 148, P. 97-108.

112. Rehm, R.G., Radt, H.T. Internal waves generated by a tranlation oscillating body.- J. Fluid Mech. 1975. V. 68(2), P. 235-258.

113. Смирнов C.A., Чашечкин Ю.Д. Подветренные (присоединенные) внутренние волны при произвольной ориентации набегающего потока. Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 34. № 4. (в печати).

114. Смирнов С.А., Чашечкин Ю.Д., Ильиных Ю.С. Высокоразрешающий метод измерения профиля периода плавучести. Измерительная техника. 1998. (в печати).