Генерирование вакуумных аксиально-симметричных решений уравнений ОТО с помощью стационарных евклидонов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ГЕНЕРИРОВАНИЕ ВАКУУМНЫХ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ОТО С ПОМОЩЬЮ СТАЦИОНАРНЫХ ЕВКЛИДОНОВ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре теоретической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Гуцунаев Царай Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бронников Кирилл Александрович

кандидат физико-математических наук,

доцент Сунчалин Андрей Марсович

Ведущая организация:

Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского.

Защита состоится «_»__ 2005 г. в _ ч._мин.

на заседании диссертационного совета К 212.203.01 при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул Орджоникидзе 3,_ .

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198, г Москва, ул. Миклухо-Маклая, л 6)

Автореферат разослан «__» _____2005 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук доцент ' 4— Т.К. Чсхлова

шт

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена проблеме получения точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла. Прогресс в общей теории относительности связан прежде всего с получением точных решений. Именно точные решения позволяют глубже проникать в физическую сущность теории. В силу этого тема диссертации представляется актуальной.

Цель работы

Целью данной диссертации является разработка математических методов и приемов, позволяющих на основе евклидонных решений находить как известные так и новые аксиально-симметричные решения уравнений ОТО.

Научная новизна работы

Получена физическая интерпретация статического и стационарного евклидонных решений; построена квазиинерциальная система отсчета для метрики Керра; методом вариации постоянных получен новый класс точных аксиально-симметричных решениий

(' *ОС НАЦИОНАЛЬНАЯ S ИМ ПОТЕКА I

— I ....J

стационарных уравнений Эйнштейна; получены новые аксиально-симметричные статические электровакуумные решения, позволяющие описывать внешнее гравитационное поле массы, обладающей электрическим зарядом или магнитным дипольным моментом.

Положения, выносимые на защиту

1. Физическая интерпретация евклидонных решений уравнений Эйнштейна.

2. Нелинейная суперпозиция стационарного евклидонного решения со статическим полем Зипоя.

3. Использование стационарных евклидонных решений для статических полей Эйнштейна-Максвелла.

Научная и практическая ценность работы

Методы получения точных решений, основанные на евклидонных решениях, могут быть использованы в дальнейшем для получения новых точных решений стационарных уравнений Эйнштейна а также статических уравнений Эйнштейна-Максвелла. Найденные точные решения могут представлять интерес для ряда астрофизических и астрономических приложений, где требуется знание внешних гравитационных полей различных источников.

Апробация работы

»о*»

I »

»«, ОМ «<•

Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов, на 5-й международной конференции по гравитации и астрофизике стран Азиатско-Тихоокеанского региона (Москва, 1-7 октября 2001 г.), на международном семинаре, посвященном 75-летию профессора Николая Александровича Черникова (Дубна, 25-27 февраля 2004 г.).

Личное участие автора

Основные результаты, приведенные в диссертации, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 84 страницы печатного текста. Библиография содержит 120 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении приведен краткий обзор наиболее известных точных решений уравнений Эйнштейна в случае аксиальной симметрии.

В первой главе диссертации приводятся стационарные аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна-Максвелла как в различных формах так и в разных часто используемых координатах. Метрика стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля выбирается в форме Льюса-Папапетру. Также приведены преобразования симметрии.

Вторая глава посвящена статическим евклидонным решениям. В первом параграфе приводятся уравнения статических аксиально-симметричных полей Эйнштейна для метрики Вейля. Во втором параграфе рассмотрены различные методы получения статического евклидонного решения. В третьем параграфе предлагается физическая интерпретация статических евклидонных решений. Обстоятельство, что пространство-время, описываемое метрикой статического евклидона является плоским, показывает, что статические евклидонные решения связаны с различными релятивистскими неинерциальными системами отсчета в рамках СТО и имеют ясную физическую интерпретацию. Получены формулы перехода от неинерциальной системы отсчета, описываемой метрикой статического евклидона, к инерциальной системе отсчета, отвечающей метрике Минковского. Покоящаяся точка НСО с точки зрения ИСО совершает прямолинейное релятивистское равноускоренное движение вдоль оси симметрии. В четвертом параграфе рассматривается статическое 2Ы-евклидонное асимптотически плоское решение. Частным случаем статического двухевклидонного решения является решение Шварцшильда, которое можно рассматривать как условное «наложение» двух плоских пространств, отвечающих разным неинерциальным системам отсчета.

Третья глава посвящена стационарному евклидонному решению. В первом параграфе приводятся основные уравнения стационарных аксиально-симметричных полей Эйнштейна. Попутно приводятся одна новая возможность записи этих уравнений в симметричной форме, что позволяет записать одно важное преобразование симметрии в особенно простой форме.

Во втором параграфе рассматривается класс решений Льюиса, который содержит стационарное евклидонное решение как частный случай.

В третьем параграфе дается физическая интерпретация стационарных евклидонных решений. Тот факт, что пространство-время, описываемое метрикой стационарного евклидона наряду с метрикой статического евклидона является плоским, показывает, что стационарные евклидонные решения также связаны с различными релятивистскими неинерциальными системами отсчета в рамках СТО и имеют ясную физическую интерпретацию. Получены формулы перехода от неинерциальной системы отсчета, описываемой метрикой стационарного евклидона, к инерциальной системе отсчета, отвечающей метрике Минковского. Покоящаяся точка НСО с точки зрения ИСО совершает прямолинейное релятивистское равноускоренное движение вдоль оси симметрии, одновременно вращаясь вокруг той же оси с постоянной угловой скоростью.

В четвертом параграфе рассматривается нелинейная суперпозиция стационарного евклидонного решения с произвольным стационарным аксиально-симметричным вакуумным полем Эйнштейна, которое осуществляется методом вариации постоянных. Этот метод был разработан Ц.И. Гуцунаевым и его учениками. Рассмотрены приложения

метода. Построена нелинейная суперпозиция двух стационарных евклидонов, частным случаем которой является решение Керра.

Для физической интерпретации в координатах Бойера-Линквиста построена квазиинерциальная система отсчета для метрики Керра в приближении слабого отклонения от сферической симметрии, когда мала величина момента импульса.

Методом вариации постоянных получено новое стационарное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию стационарного евклидона с обобщенным двух-параметрическим статическим полем Зипоя. С помощью этого метода и теоремы симметрий получен новый класс аксиально-симметричных стационарных решений уравнений Эйнштейна.

В последней четвертой главе стационарное евклидонное решение используется для построения нового класса статических уравнений Эйнштейна-Максвелла.

В первом параграфе приводятся основные уравнения статических электровакуумных полей.

Во втором параграфе метод вариации постояных применяется в случае электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла. Методом вариации постоянных получено новое аксиально-симметричное статическое электровакуумное решение, содержащее двух-параметрическое статическое поле Зипоя в частном случае.

Таким образом, получен новый класс аксиально-симметричных электростатических и магнитостатических решений уравнений Эйнштейна-Максвелла. Рассмотрены частные решения полученного класса, которые являются не только асимптотически плоскими но и

переходят в решение Шварцшильда в отсутствии электромагнитного поля.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты работы

1. Предложена физическая интерпретация статического и стационарного евклидонных решений уравнений Эйнштейна.

2. Осуществлена нелинейная суперпозиция двух стационарных евклидонов, частным случаем которой является решение Керра.

3. Построена квазиинерциальная система отсчета для метрики Керра.

4. Методом вариации постоянных получено новое стационарное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию стационарного евклидона с обобщенным двух-параметрическим статическим полем Зипоя. С помощью этого метода и трансформационной теоремы получен новый класс аксиально-симметричных стационарных решений уравнений Эйнштейна.

5. Используя стационарный евклидон для статических уравнений Эйнштейна-Максвелла метолом вариации постоянных получено новое аксиально-симметричное статическое электровакуумное решение. В

частном случае Это решение переходит в двухпараметрическое

статическое решение Зипоя.

Результаты диссертации опубликованы в работах

1. Гуцунаев Ц.И., Шайдеман А.А., Эльгольц C.JI. Об одном спосоье построения метрики Керра-НУТ //Вестник РУДН. Серия Физика.-1998.-№6(1).-С. 12-14.

2. Ts. I. Gutsunaev, А.А. Shaideman and S. L. Elsgolts. On a generalization of a soliton solution in General Relativity //Gravitation and Cosmology.-2000,- V.10.- № 3(23), P. 254-256.

3. Ts. I. Gutsunaev, A.A. Shaideman. One way to construct Herlt solution //V Международная конференция по гравитации и астрофизике стран Азиатско Тихоокеанского региона. Тезисы докладов.- М.: Изд-во РУДН,-2001.-С. 12-13.

4. Ts. I. Gutsunaev, А.А. Shaideman. Stationary soliton in a static electrovacuum gravitation field // Gravitation and Cosmology.- 2002.- V. 8.-№3(31).- P. 206-208.

5. Ts. I. Gutsunaev A.A. Shaideman. Axially symmetric gravitational field III. New methods of generating stationary vacuum Einstein fields. // Gravitation and Cosmology.- 2003,- V. 9.- № 4(36).- P. 229-234.

6. Ц.И. Гуцунаев, А. А. Шайдеман, X.A. Пауйак Уаман. «Об одном классе решений статических уравнений Эйнштейна-Максвелла» //Применение и развитие идей Лобачевского в современной физике: Труды международного семинара, посвященного 75-летию профессора Николая Александровича Черникова. Дубна, 25-27 февраля 2004г.- Дубна, 2004,- С. 160-170.

ю

Шайдеман Александр Александрович (Россия)

Генерирование вакуумных аксиально-симметричных решений уравнений ОТО с помощью стационарных евклидонов

Для стационарных аксиально-симметричных вакуумных уравнений Эйнштейна, а также для статических аксиально-симметричных электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла с помощью метода нелинейной суперпозиции решений (с использованием евклидонных решений) получены несколько новых точных решений. Дается попытка физической интерпретации некоторых точных решений уравнений ОТО с помощью физического анализа, проведенного для евклидонных решений.

Shaideman Alexander Alexandrovich (Russia)

Generation of vacuum axially symmetric solutions of General Relativity equations using stationary euclidons

Some new exact solutions of the stationary axially symmetric vacuum Einstein equations and the static axially symmetric electrovacuum EinsteinMaxwell equations are obtained, using euclidon solutions. It's given an attempt to do a physical interpretation of some exact solutions of General Relativity equations using the physical analysis of euclidon solutions.

11-6 1 10

РНБ Русский фонд

2006-4 3962

Подписано в печать^З.^/«^Формат 60x84/16. Тиражэкз. Усл. печ. л. • Заказ О-

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

Введение

1 Стационарные аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна-Максвелла

1.1 Уравнения стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля.

2 Статический эвклидон

2.1 Статические аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна в вакууме.

2.2 Получение статического евклидонного решения различными методами.

2.3 Физическая интерпретация статического евклидонного решения.

2.4 Суперпозиция статических евклидонных решений.

3 Стационарный евклидон

3.1 Стационарные аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна в вакууме.

3.2 Класс решений Льюиса . 3G

3.3 Физическая интерпретация стационарного евклидонного решения.

3.4 Метод нелинейной суперпозиции стационарного евклидона с произвольным стационарным полем Эйнштейна.

4 Использование стационарного евклидона для построения нового класса решений статических уравнений Эйнштейна-Максвелла

4.1 Уравнения статического гравитационного поля электровакуума.

4.2. Метод вариации постоянных в случае электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла.

Точным решениям в любой нелинейной теории принадлежит особое место. Трудно переоценить их роль и в раскрытии физического содержании эйнштейновской общей теории относительности (ОТО), совершившей, по всеобщему признанию, переворот в представлениях на пространство и время. Точные решения ОТО прочно вошли в арсенал современной астрофизики и космологии, определяя, а иногда и открывая, как это имело место, например, в случае физики черных дыр [1-4], целые направления их развития.

Ввиду сложности уравнений ОТО, представляющих собой систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, точные решения обычно ищутся для определенных классов задач, обладающих симметриями. Большой интерес при этом представляет случай аксиальной симметрии, где в последние два десятилетия был достигнут заметный прогресс благодаря развитию различных методов генерирования новых решений из уже известных. В настоящей работе рассматриваются точные решения уравнений Эйнштейна, которые, обладая аксиальной симметрией, являются также асимптотически плоскими, т.е. описывают внешние гравитационные поля, создаваемые так называемыми островными системами, для которых метрический интервал на больших расстояниях от источников переходит в обычную метрику Минковского неискривленного пространства-времени. Этот широкий класс решений уравнений гравитации включает в себя статические и стационарные поля Эйнштейна и ему принадлежат как уже известные решения, имеющие фундаментальное значение для ОТО, так и решения, которые в недалеком будущем смогут найти широкое применение для большого круга астофизических задач.

Вскоре после выхода в свет работы Эйнштейна [5], в которой уравнения общей теории относительности получили окончательную формулировку, Шварцшильд [6] нашел точное сферически-симметричное решение, описывающее внешнее гравитационное поле невращающейся звезды или сколлапсированиого объекта. Уникальность метрики Шварцшильда состоит в том, что, согласно теореме Биркгоффа [7], она является единственным статическим сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна. Кроме того, как позднее было математически строго доказано Израэлем [8], никакое другое статическое вакуумное решение не может иметь полностью регулярного горизонта событий.

Заметное влияние на дальнейшие исследования в области точных решений оказала работа Вейля [9], в которой были получепы два класса аксиально-симметричных решений, содержащих произвольную гармоническую функцию: класс статических вакуумных решений уравнений Эйнштейна и класс статических решений уравнений Эйнштейна-Максвелла (класс электровакуума Вейля). Среди вакуумного класса Вейля можно отмстить метрику Шази-Керзоиа [12, 13], структура сингулярностей которой отлична от сингулярностей метрики Шварцшильда.

В работах Лыоиса [14] и Ван Стокума [15] были даны первые примеры стационарных вакуумных нолей, которые, правда, не являются асимптотически плоскими. Несмотря на этот недостаток данных решений, они в дальнейшем были использованы для получения асимптотически плоских, физически интересных метрик. Класс стационарных вакуумных полей был получен Папапетру [16] благодаря записи метрического аксиально-симметричного интервала в так называемой канонической форме (наиболее широко используемой в настоящее время), которая позволила существенно упростить вид полевых уравнений. Известным решением, принадлежащим классу Папапетру, является метрика Ныомена-Унти-Тамбуриио (НУТ) [17], которая, не обладая свойством асимптотической плоскостности, все же некоторое время рассматривалась как стационарное обобщение решения Шварцшильда.

Среди работ, посвященных полям деформированных источников, следует отметить статью Эрсца и Розена [20]. Этими авторами была предложена метрика, описывающая внешнее гравитационное поле статической массы, обладающей произвольным квадрупольным моментом. Этому же вопросу посвящены работы [21-25], в которых предложены новые методы построения гравитационных мультиполей, повзоляющис в ряде случаев получать более простые выражения для метрических функций. Работа [20] примечательна еще и тем, что в ней впервые были использованы координаты вытянутого эллипсоида вращения, которые впоследствии стали широко применяться для нахождения новых точных решений.

Первое асимптотически плоское решение, описывающее гравитационное поле стационарно вращающегося аксиально-симместричного изолированного источника, было найдено в 19G3 году Керром [26] при изучении алгебраически специальных вакуумных метрик, однако лишь спустя четыре года после работы Бойера и Линдквиста [27] стала возможной его строгая физическая интерпретация. Теорема Робинсона [3] устанавливает, что метрика Керра - единственное асимптоматически плоское стационарное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме, имеющее гладкий и выпуклый горизонт событий. Временной интервал в сорок семь лет, разделяющий решения Шварцшильда и Керра, наглядно свидетельствует о трудности нахождения точных решений.

Из обобщений метрики Керра можно отметить решение Демьянского и Ныомена [28], описывающее суперпозицию метрик Керра и НУТ.

Новый подход к отысканию новых точных аксиально-симметричных решений был предложен Эрнстом [31, 32]. В случае стационарных вакуумных полей задача интегрирования уравнений Эйнштейна была им сведена к решению нелинейного дифференциального уравнения второго порядка для одной комплексной функции. Благодаря исключительно симметричному виду уравнения Эрнста [31] Томимацу и Сато сумели построить серию новых решений [33, 34], зависящую от целочисленного параметра <5, которые могут описывать внешние гравитационные поля стационарно вращающихся деформированных источников. В статическом случае эти решения переходят в решение Зипоя [35] с соответствующими параметрами дисторсии

Класс Томимапу-Сато привлек большое внимание исследователей. В одних работах [36-38] для решения этого класса были получены новые точные соотношения и выяснены некоторые вопросы физической интерпретации. В других же [39-41] были сделаны попытки расширения этого класса, в частности, на случай непрерывно изменяющегося параметра дисторсии S, а также указаны похожие классы решений. Ямазаки [43] сумел построить рекуррентные формулы нахождения метрических функций в случае произвольного целочисленного S.

Во второй половине 70-х годов быстрыми темпами начали развиваться методы генерирования точных решений, основанные на использовании внутренних симметрий уравнений Эйнштейна. Начало этому направлению было положено работами Элерса [44], Освача [45] и Харрисона [46], а вклад в его дальнейшее развитие внесли несколько исследователей, разрабатывавших в основном три различных подхода.

Теоретико-групповой метод, с помощью которого можно генерировать новые метрики, содержащие произвольное число параметров, был введен Герочем [47, 48] и Киннерсли [49], а затем развит в работах Киннерсли и Читра [50-52]. Основные достижения этого подхода связаны с отысканием группы непрерывных преобразований уравнения Эрнста, известных под названием преобразований Хоснселаерса-Киннерсли-Ксаптополуса (ХКК) [53], с помощью которых был построе ряд асимптотически плоских стационарных метрик [54-60].

Второе направление начало развиваться на пути применения к уравнениям Эйнштейна метода обратной задачи рассеяния. В оснополагающих работах Белинского и Захарова [61, 62] данным методом было найдено хорошо известное теперь N-солитониое решение, подробный анализ которого приведен в [63]. Явная детерминантная форма вакуумных солитонных решений была получена Алексеевым [64]. Метод обратной задачи рассеяния разрабатывается в настоящее время представителями различных гравитационных школ [60-69].

Третий подход использует для генерирования новых точных решений преобразования Бэклунда, существование которых для случая стационарных аксиально-симметричных вакуумных полей было доказано Харрисоном [70] и Нойгебауэром [71]. Преобразования Бэклунда, теория которых для уравнений Эйнштейна получила дальнейшее развитие в работах [72-74], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [75]. Наиболее известный результат, полученный данным методом - решение Крамера-Нойгебауэра [7G], описывающее нелинейную суперпозицию двух ксрровских масс, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено позднее Ямазаки на случай N вращающихся масс [77], которые, по его мнению, удерживаются в равновесии благодаря тому, что гравитационное притяжение компенсирует отталкивание, обусловленное вращением.

Взаимозависимость и математическая эквивалентность всех трех указанных подходов к генерированию точных решений была установлена Косгровом [82].

Метод вариации постоянных, предложенный в работе [83], позволяет находить новые асимптотически плоские метрики, содержащие произвольное число действительных параметров. Среди метрик, полученных данным методом, большой физический интерес представляют найденные совсем недавно точные решения уравнений Эйнштейна, переходящие в метрику Шварцшильда в статическом пределе [84-106].

Анализ мультипольной структуры конкретных метрик открывает широкие перспективы для более детального физического исследования в области точных решений уравнений гравитации. Начало этому исследованию было положено в работах Героча [107] и Хансена [108]. Хоенселаерс [109] сумел найти рекуррентные соотношения, необходимые при вычислении релятивистских мультипольных моментов произвольной стационарной вакуумной аксиально-симметричной деформированной массы.

В настоящее время поиск решений с произвольной мультипольной структурой является одним из основных направлений деятельности исследователей в области точных решений, но можно определенно сказать, что на пути получения общего стационарного аксиально-симметричного решения уравнений Эйнштейна-Максвелла предстоит преодолеть еще очень много математических трудностей. С такими поисками непосредственно смыкается и работа по отысканию наиболее широкого класса преобразований, позволяющего генерировать решения из заданных метрик [114, 115]. С другой стороны, возрастает актуальность получения новых частных метрик, представляющих интерес для конкретных астрофизических приложений (к примеру, большое значение имело бы построение реалистичной суперпозиции метрики Керра с безмассовым магнитным диполем). В связи с вышесказанным трудно не согласиться с мнением известного американского специалиста Киниерсли [116], который, анализируя перспективы развития различных методов интегрирования уравнений Эйнштейна, отводит точным решениям приоритетную роль.

Основной целью настоящей диссертации является получение новых асимптотически плоских аксиально-симметричных метрик, пригодных для описания гравитационных и электромагнитных полей реальных астрофизических объектов. Большинство полученных точных решений является результатом использования и дальнейшего развития методов генерационной техники.

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе рассмотрены основные уравнения, описывающие гравитационные и электромагнитные поля с аксиальной симметрией, их запись в форме Эрнста, а также иекоторьле преобразования симметрии для уравнений Эйнштейна-Максвелла.

Вторая глава посвящена статическому евклидопному решению. Приведены различные методы получения этого решения. Основной результат второй главы состоит в получении физической интерпретации статического евклидона. Также рассмотрена суперпозиция евклидонных решений.

В третьей главе рассматривается стационарное евклидонное решение. Приведены различные методы получения этого решения. Одним из основных результатов третьей главы состоит в получении физической интерпретации стационарного евклидона. Также показано, что суперпозиция двух стационарных евклидонов содержит решение Керра как частный случай. Еще один важный результат третьей главы — построение квазиинерциальной системы отсчета для метрики Керра. Методом вариации постоянных получено повое стационарное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию стационарного евклидона со статическим полем Вейля специального вида.

В последней, четвертой главе, методы генерирования точных решений применены к статическим полям Эйнштейна-Максвелла. Здесь среди полученных результатов следует отметить новые точные решения, позволяющие описывать внешнее гравитационное поле аксиально-симметричной массы, обладающей электрическим зарядом или магнитным дипольным моментом.

Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, использованные и развитые в настоящей диссертации, могут найти применение в различных нелинейных теориях, приводящих к аналогичным полевым уравнениям. В частности, даже в рамках ОТО они могут быть использованы для генерирования точных решений, описывающих распространение гравитационных волн. Найденные точные решения представляют несомненный интерес для астрофизики, поскольку все они допускают строгую физическую интерпретацию и могут быть использованы при описании внешних гравитационных полей реальных астрофизических объектов.

Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Российского университета дружбы народов, на 5-й международной конференции по гравитации и астрофизике стран Азиатско-Тихоокеанского региона (Москва, 1-7 октября 2001 г.), на международном семинаре, посвященном 75-летию профессора Николая Александровича Черникова (Дубна, 25-27 февраля 2004 г.).

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе.

1. Получена физическая интерпретация статического и стационарного евклидонных решений.

2. Построена нелинейная суперпозиция двух стационарных евклидонов, частным случаем которой является решение Керра.

3. Построена квазиинерциальная система отсчета для метрики Керра.

4. Методом вариации постоянных получено новое стационарное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию стационарного евклидоиа с обобщенным двух-параметрическим статическим полем Зипоя. С помощью этого метода и теоремы симметрий получен новый класс аксиально-симметричных стационарных решений уравнений Эйнштейна.

5. Построенным на основе стационарного евклидоа методом вариации постоянных в случае статических уравнений Эйнштейна-Максвелла получено новое аксиально-симметричное статическое электровакуумное решение, содержащее двух-параметрическое статическое поле Зииоя в частном случае. Таким образом получен новый класс аксиально-симметричных электростатических и магнитостатических решений уравнений Эйнштейна-Максвелла.

1. Носиков И.Д., Фролов В.П. Физика мерных дыр М.: Наука, 1986-326с.

2. Зельдович Я.В., Новиков И.Д. Релятивистская астрофизика.- М.: Наука, 1967.- 656с.

3. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2 частях.-М.: Мир, 1986.- 2 ч.

4. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э. Точные Решения Уравнений Эйнштейна.- М.: Энергоиздат, 1982.- 416с.

5. Einstein A. Die Feldgleichungen tier Gravitation //Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.- 1915.- V.48.- P.844-847.

6. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfield eines Massenpiinktes nach der Einsteinschen Theorie //Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.- 1916.-V.B7.- P. 189.

7. Birkhoff G.K. Relativity and Modern Physics.- Cambridge: Harvard University Press, 1923.- 255p.

8. Israel W. Event horizons in static vacuum space-times //Phys.Rev.-1967.- V.164.- P.1776-1779.

9. Weyl H. Zur Gravitationstheorie //Annal. Physik.- 1917.- V.54.- P.117-145.

10. Reissner H. Uber die Eigengravitation des Elektrischen Felds Nach der Einsteinschen Theorie //Annal. Physik.- 1916.- V.50.- P.106-120.

11. Nordstrom G. On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory //Proc. Kon. Ned. Akad. Wet.- 1918.- V.20.- №9-10.- P.1238-1245.

12. Chazy J. Sur le champ de gravitation de deux masses fixes dans la theorie de la relativite //Bull. Soc. Math. France.- 1924.- V.52.- P.17-38.

13. Curzon H.E.J. Cylindrical solutions of Einstein's gravitational equations //Proc. London Math. Soc.- 1924.- V.23.- P.477-480.

14. Lewis T. Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravitational Fields //Proc. Roy. Soc. London.- 1932.- V.A136.- P. 176192.

15. Van Stockum W.J. The Gravitational Field of a Distribution of Particles Rotating About an Axis of Symmetry //Proc. Roy. Soc. Edinburgh.- 1937.- V.A57.- P.135-154.

16. Papapetrou A. Eine Rotationssymmetrische Losung in dcr Allgemeinen Relativitatstheorie //Annal. Physik.- 1953.- V.12.- P.309-315.

17. Newman E.T., Tamburino L., Unti T. Empty-Space Generalization of the Schwarzchild Metric //J. Math. Phys.- 1963.- V.4.- P.915-923.

18. Bonnor W.B. Static Magnetic Fields in General Relativity //Proc. Phys. Soc. London.- 1954.- V.A67.- P.225-232.

19. Bonnor W.B. Exact Solutions of the Einstein-Maxwell Equations //Z. Phys.- 1961.- V.185.- P.439-444.

20. Ercz G., Rosen N. The gravitational field of a particle possessing a multipole moment //Bull. Res. Council Isr.- 1959.- V.F8.- P.47-50.

21. Gutsunaev Ts. I., Manko V.S. On the Gravitational Field of a Mass Possessing a Multipole Moment //Gen. Rclat. Grav.- 1985.- V.17.- P.1025-1027.

22. Quevedo H. On the Exterior Gravitational Field of a Mass with a Multipole Moment //Gen. Relat. Grav.- 1987.- V.19.- №10.- P.1013-1023.

23. Quevedo H. General Static Axisymmetric Solution of Einstein's Vacuum Field Equations in Prolate Spheroidal Coordinates //Phys. Rev.-1989.- V.D39 №10.- P.2904-2911.

24. Manko V.S. On a General Static Axisymmetric Solution of the Einstein Vacuum Equations //Gen. Relat. Grav.- 1989.- V.21.- №11.- P.1193-1195.

25. Manko V.S., Khakimov Sh.A. General static axisymmetric solution of the vacuum Einstein equations possessing a regular event horizon //Phys.Lett.- 1990.- V.A149.- №7,8.- P.351-353.

26. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics //Phys.Rev.Lett.- 1963.- V.ll.- №5.- P.237-238.

27. Boyer R.H., Lindquist R.W. Maximal analytic extension of the Kerr metric //J.Math.Phys.- 1967.- V.8.- №2.- P.265-281.

28. Demianski M., Newman E.T. A Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equations //Bull.Acad.Polon.Sci.Ser.Math.Astron.Phys.-1966.- V.14.- №10.- P.653-657.

29. Newmann E.T., Couch E., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., Torrence R. Metric of a rotating charged mass //J.Maht.Phys.- 1965.-V.6.- т.- P.918-919.

30. Bonnor W.B. An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a magnetic dipole //Z.Phys.- 1966.- V.B190.- P.444-445.

31. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem //Phys.Rev.- 1968.- V.167.- №5.- P. 1175-1178.

32. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II //Phys.Rev.- 1968.- V.168.- №5.- P.1415-1417.

33. Tomimatsu A., Sato H. New exact solution for the gravitational field of a spinning mass //Phys.Rev.Lett.- 1972.- V.29.- №19.- P.1344-1345.

34. Tomimatsu A. Sato H. New series of exact solutions for gravitational fields of spinning masses //Prog.Theor.Phys.- 1973.- V.50.- №1.- P.95-110.

35. Zipoy D.M. Topology of some spheroidal metrics //J.Math.Phys.-1966.- V.7.- P. 1137-1143.

36. Tanab Y.A. Comment oil physical interpretation of the Tomimatsu-Sato metrics //Prog.Theor.Phys.- 1974.- V.52.- №.- P.727.

37. Economu J.E., Ernst F.J. Weyl conform tensor of J = 2 Tomimatsu-Sato spinning mass gravitational field //J.Math.Pliys.- 1976.- V.17.-№.- P.52.

38. Yamazaki M. On the Kerr-Tomimatsu-Sato family of spinning mass //J.Math.Pliys.- 1977.- У.18.-Ж2.- P.2502-2508.

39. Kinnersley W., Kelley E.F. Limits of the Tomimatsu-Sato gravitational fields //J.Math.Phys.- 1974.- V.15.- №12,- P.2121.

40. Cosgrove C.M. New family of exact stationary axisyrnmetric gravitational fields generalizing Tomimatsu-Sato solutions //J.Phys.A: Math.Gen.- 1977.- V.10.- №9.- P.1481-1524.

41. Yamazaki M. On the Kerr-Tomirnatsu-Sato family of solutions with nonintegral distortion parameter //J.Math.Pliys.- 1978.- V.19.- №9.-P.1847.

42. Ernst F.J. Charged version of Tomimatsu-Sato spinning mass field //Phys.Rev.- 1973.- V.D7.- №8.- P.2520.

43. Yamazaki M. On the charged Kerr-Tomimatsu-Sato family of solutions //J.Math.Phys.- 1978.- V.19.- т.- P.1376.

44. Ehlers J. Exterior solutions of Einstein's gravitational field equations admitting a two-dimensional Abelian group of isometric correspondences //Colloq.Theorie Relativ.- Bruxelles, 1959.- P.49-57.

45. Geroch R.J. A method for generating solutions of Einstein's equations //J.Math.Phys.- 1971.- V.12.- №G.- P.918-924.

46. Geroch R.J. A method for generating solutions of Einstein's equations. II //J.Mafcli.Phys.- 1972.- V.13.- №3.- P.394-404.

47. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. I //J.Math.Phys.- 1977.- V.18.- №8.- P.1529-1537.

48. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. II //J.Math.Phys.- 1977.- V.18.- №8.- P.1538-1542.

49. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. Ill //J.Math.Phys.- 1978.- V.19.-№9.- P.1926-1931.

50. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. IV //J.Math.Phys.- 1978.- V.19.- №10.- P.2037-2042.

51. Hoenselaers C., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Generation of asymptotically flat, stationary space-times with any number of parameters //Phys.Rev.Lett.- 1979.- V.42.- №8.- P.481-482.

52. Hoenselaers C. On a new solution of Einstein's equations //J.Math.Phys.- 1980.- V.21.- №8.- P.2241-2245.

53. Hoenselaers C. A static solution of the Einstein-Maxwell equations //Prog.Theor.Phys.- 1982.- V.67.- №2.- P.697-G98.

54. Dictz W., Hoenselaers C. Stationary system of two masses kept apart by their gravitational spin-spin interaction //Phys.Rev.Lett.- 1982.- V.48.-№2.- P.778-780.

55. Hoenselaers C., Dietz W. The rank N HKX transformations: new stationary axisymmctric gravitational fields //Gen.Relat.Grav.- 1984.-V.16.- т.- P.71-78.

56. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a rotating deformed mass //Phys.Lett.- 1985.- V.A109.- P. 13-18.

57. Quevedo H., Mashhoon B. Generalization of Kerr spacetime //Phys.Rev.- 1991.- V.D43.- №12.- P.3902-3906.

58. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a charged rotating mass with arbitrary quadrupole moment //Phys.Lett.- 1990.-V.A148.- №3-4.- P.149-153.

59. Белинский В.А., Захаров B.E. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений //ЖЭТФ.- 1978.- Т.78.- С. 1953-1971.

60. Белинский В.А., Захаров В.Е. Стационарные гравитационные солитоны с аксиальной симметрией //ЖЭТФ.- 1979.- Т.77.- С.3-19.

61. Алексеев Г.А., Белинский В.А. Статические гравитационные солитоны //ЖЭТФ.- 1980.- Т.78.- С.1297-1313.

62. Алексеев Г.А. О солитонных решениях уравнений Эйнштейна в вакууме //ДАН СССР.- 1981.- Т.256.- е 4, С.827-830.

63. Алексеев Г.А. N-солитоиные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла //Письма в ЖЭТФ.- 1980.- Т.32, С.301-303.

64. Gleiser R.J. On the physical interpretation of some simple soliton solutions of Einstein's equations //Gen.Relat.Grav.- 1984.- V.1G.- №11.-P.1077-1094.

65. Tomimatsu A. Distorted rotating black holes //Phys.Lett.- 1984,-V.A103.- Ш- P.374-376.

66. Ibat)ez J., Verdaguer E. Multisoliton solutions to Einstein's equations //Phys.Rev.- 1985.- V.D31.- №2.- P.251-257.

67. Belinsky V. Gravitational breather and topological properties of grav-isolitons //Phys.Rev.- 1991.- V.D44.- №10.- P.3109-3115.

68. Harrison B.K. Backlund transformation for the Ernst equation of general relativity //Phys.Rev.Lett.- 1978.- V.41.- P. 1197-1200.

69. Neugebauer G. Backlund transformations of axially symmetric stationary gravitational fields //J.Phys.A: Math.Gen.- 1979.- V.12.- №4.-P.L67-L70.

70. Neugebauer G. A general integral of the axially symmetric stationary Einstein equations //J.Phys.A: Math.Gen.- 1980.- V.13.- P.L19-L21.

71. Neugebauer G. Relativistic gravitational fields of rotating bodies., Phys.Lett.- 1981.- V.A86.- №2.- P.91-93.

72. Kramer D., Neugebauer G. Backlund transformations in general relativity //Lect.Notes Phys.- 1984.- V.205.- P.l-25.

73. Neugebauer G. Recursive calculation of axially symmetric stationary ^ Einstein fields //J.Phys.A:Math.Gen.- 1980.- V.13.- P.1737-1740.

74. Kramer D., Neugebauer G. The superposition of two Kerr solutions //Phys.Lett.- 1980.- V.A75.- №4.- P.259-261.

75. Yamazaki M. Stationary line of N Kerr masses kept apart by spin-spin interaction //Phys.Rev.Lett.- 1983.- V.50.- №14.- P.1027-1030.

76. Kramer D., Neugebauer G. Prolongation structure and linear eigenvalue equations for Einstein-Maxwell fields //J.Phys.A: Math.Gen.- 1981.-V.14.- P.L333.

77. Kramer D. Equivalence of various pseudopotential approaches for Einstein-Maxwell fields //J.Phys.A: Math.Gen.- 1982.- V.15.- P.2201.

78. Neugebauer G., Kramer D. Einstein-Maxwell equations //J.Phys.A: Math.Gen.- 1983.- V.16.- P.1927.

79. Kramer D. Kerr solution endowed with magnetic dipole moment //Class.Quant.Grav.- 1984.- V.I.- P.L45.

80. Cosgrove C.M. Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions //J.Math.Phys.- 1980.- V.21.- P.2417-2447.

81. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a stationary generalization of the Schwarzschild solution //Class.Quantum Grav.- 1989.- V.6.- №8.-P.L137-L139.

82. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New stationary electrovacuum generalization of the Schwarzschild solution //Phys.Rev.- 1989.- V.D40.- №6.-P.2140.

83. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S., Elsgolts S.L. New exact solutions of the static Einstein-Maxwell equations //Class.Quant.Grav.- 1989.- V.6.-P.L41.

84. Manko V.S. On a new static solution of the Einstein-Maxwell equations for a massive magnetic dipole //Phys.Lett.- 1989.- V.A141.- №5,6.-P.249.

85. Abramyan S.M., Gutsunaev Ts. I. A class of asymptotically flat solutions of the static Einstein-Maxwell equations //Physics Letters A.-1990.- V.144.- №8,9.- P.437.

86. Castejon-Amenedo J., Manko V.S. Superposition of the Kerr metric with the generalized Erez-Rosen solution //Phys.Rev.- 1990.- V.D41.-№6.- P.2018-2020.

87. Castejon-Amenedo J., Manko V.S. On a stationary rotating mass with an arbitrary multipole structure //Class.Quant.Grav.- 1990.- V.7.- №5.-P.779-785.

88. Гуцупаев Ц.И., Манько B.C. Об одном точном решении уравнений электростатики в ОТО //В сб.: Статистическая физика и теория поля, М.: Изд-во РУДН, 1990.- С.28-31.

89. Manko V.S. New exact solution for the exterior gravitational field of a spinning mass //Phys.Rev.Lett.- 1990.- V.21.- №11.- P.1193-1195.

90. Manko V.S. New axially symmetric solutions of the Einstein-Maxweel equations //Gen.Relat.Grav.- 1990.- V.22.- №7.- P.799-809.

91. Манько B.C., Хакимов Ш.А. Новое точное решение уравнений Эйнштейна для гравитациооного поля стационарной осесимметричной массы //Письма в ЖЭТФ.- 1990.- Т.51.- е 10, С.493-495.

92. Chamorro A., Manko V.S., Denisova Т.Е. New exact solution for the exterior gravitational field of a charged spinning mass //Phys.Rev.-1991.- V.D44- № 10.- P.3147-3151.

93. Денисова Т.Е., Манько B.C., Шорохов С.Г. Об одном обобщении решения Керра-Ньюмена //Известия ВУЗов. Сер. Физика.- 1991.-Т.34.- ell.- Р.119-120.

94. Денисова Т.Е., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Стационарное электровакуумное обобщение решения Шварцшильда, отличное от метрики Керра-Ныомена //Письма в ЖЭТФ.- 1991.- Т.53.- е 1, C.54-5G.

95. Гуцунаев Ц.И., Бейсекеев С.Б. Об одном классе решений вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна //Письма в ЖЭТФ.- 1991.- Т.54.- е 11, С.597-599.

96. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Точное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для поля массивного магнитного диполя //Известия ВУЗов. Сер. Физика.- 1991.- Т.1.- С. 120.

97. Manko V.S., Khakimov Sli.A. Oil the gravitational field of an arbitrary axisymmetric mass possessing a magnetic dipole moment //Phys.Lett.1991.- V.A154 №3-4.- P.96-98.

98. Denisova Т.Е., Manko V.S. Exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a charged spinning mass //Class.Quant.Grav.1992.- V.9.- т.- P.57-60.

99. Chamorro A., Manko V.S., Suinago J. New exact solution of the Einstein equations for a spinning mass //Nuovo Cirnento.- 1993.- V.108.-m.- P.717-719.

100. Manko V.S. New generalization of the Kerr metric referring to a magnetized spinning mass //Class.Quant.Grav.- 1993.- V.10.- №12.- P.L239-L242.

101. Geroch R. Multipolc moments. II. Curved space //J.Math.Phys.- 1970.-V.ll.-m.- P.2580-2588.

102. Hansen R.O. Multipole moments of stationary space-times //J.Math.Phys.- 1974,- V.15.- №1.- P.46-52.

103. Hoenselaers C. On multipole moments in general relativity //In: Proceedings of the 14th Yamada Conference on gravitational collapse and relativity (ed. by Sato H. and Nakamura Т.), World scientific, 1986.-P. 176-184.

104. Thorne K.S. Relativistic stars, black holes and gravitational waves //In: Proceedings of the International School of Physics i-cEnrico Fermini (eds. by Sachs B.K.), Academic Press, 1971.- P.237-283.

105. Beig R., Simon W. //Proc.Roy.Soc.London.- 1981.- V.A376.- P.333.

106. Beig R., Simon W. The multipole structure of stationary space-times //J.Math.Phys.- 1983.- V.24.- №5.- P.1163-1171.

107. Giirsel Y. //Gen.Relat.Grav.- 1983.- V.12.- P.1003.

108. Ehlers J. //In: Grundlagenprobleme der Modernen Physik (eds. by Nitsch J., Pfarr J. and Stachov E.-W.), Bl-Verlag, Mannheim, 1981.-P.65-84.

109. Kramer D., Neugebauer G. Eine exakte stationare losung der Einstein-Maxwell-Gleichungen //Annal.Physik.- 1969.- V.24.- P.59-61.

110. Kinnersley W. Recent progress in exact solutions //In: General Relativity and Gravitation (Proceedings of GR7, Tel-Aviv 1974), Wiley, New York, London, 1975.- P.109-135.

111. Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.- М.: Наука, 1988.- 510 с.

112. Waylen Р.С. The general axially symmetric solution of Einstein's vacuum equations //Proc. Roy. Soc. London.- 1982.- V.A382.- P.467-470.

113. Гуцунасв Ц.И. Электромагнитное поле заряда вблизи особенности метрики Шварцшильда //Изв. ВУЗов СССР. Физика.- 1976.- №11.-С.145-148.

114. Gutsunaev Ts.I., Chernyaev V.A. and Elsgolts S.L. Stationary euclidon in the gravitational field //Gravitation & Cosmology.- 1999.- V. 5.- №4 (20).- P.335-337.