Некоторые точные решения аксимально-симметричных стационарных уравнений Эйнштейна тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Основные уравнения стационарных аксиально

1.1 Уравнения гравитационного поля и метрика Папапетру

1.2 Разные формы уравнений стационарного аксиально-симметричного поля и трансформационные теоремы

2 Статические решения вакуумных уравнений Эйнштейна

2.1 Решение Вейлена для статических аксиально-симметричных полей Эйнштейна.

2.2 Решение уравнений Вейля с учетом сингулярных источников

2.3 Евклидонные решения . . :-■-.•■.

2.4 Солитонные решения и их деформация.

3 Стационарные решения вакуумных уравнений Эйнштейна

3.1 Класс решений Льюиса.

3.2 Класс решений Папапетру.

3.3 Класс Томиматсу-Сато.

3.4 Метод суперпозиции решения Керра с произвольным

4 Теорема Боннора для аксиально-симметричных симметричных гравитационных полей стационарным полем Эйнштейна стационарных полей Эйнштейна

4.1 Суперпозиция решения Боннора с произвольным полем

Эйнштейна-Максвелла.

Согласно современным представлениям, физика пространства-времени и материи описывается уравнениями Общей Теории Относительности (ОТО). Чтобы делать общие выводы о порожденной материей структуре 4-пространства-времени, необходимы точные решения уравнений теории Эйнтшейна. Точные решения ОТО, получившие ясное физическое истолкование, прочно вошли в арсенал современной астрофизики и космологии, определяя и даже открывая [1, 2, 3, 4] целые направления их развития. Уравнения ОТО представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, и нахождение их точных решений является весьма трудной задачей.

В 1916 году Шварцшильд [5] нашел первое точное решение уравнений Эйнштейна, которое описывает пространство-время вне тела со сферически-симметричным распределением вещества. Это решение объясняет аномалию в смещении перигилия Меркурия. Решение Шварцшильда допускает существование черных дыр. Если массивное тело сжать в сферу определенного радиуса, то пространство-время вблизи него искривляется так сильно, что совпадающую с горизонтом сферу радиуса Шварцшильда не может покинуть никакой материальный объект. Уникальность метрики Шварцшильда состоит в том, что, согласно теореме Биркгофа [6], она является единственным статическим, сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна. Кроме того, как позднее было математически строго доказано Израэлем [7], никакое другое статическое вакуумное решение не может иметь полностью регулярного горизонта событий.

Вращение - это общее свойство, присущее планетам, звездам и галактикам. Поэтому большой астрофизический интерес представляет случай аксиальной симметрии.

В настоящей диссертации рассматриваются точные решения уравнений Эйнштейна, которые, обладая аксиальной симметрией, являются также асимптотически плоскими, т.е. описывают внешние гравитационные поля, создаваемые так называемыми островными системами, для которых метрический интервал на больших расстояниях от источников переходит в обычную метрику Минковского неискривленного пространства-времени. Этот широкий класс решений уравнений гравитации включает в себя статические и стационарные поля Эйнштейна, и ему принадлежат как уже известные решения, имеющие фундаментальное значение для ОТО, так и решения, которые в недалеком будущем смогут найти широкое применение для большого круга астрофизических задач.

Исследование аксиально-симметричных гравитационных полей берет свое начало в работах Вейля [8, 9], в которых были получены два класса аксиально-симметричных решений, содержащих произвольную гармоническую функцию: класс статических решений уравнений Эйнштейна и класс статических решений уравнений Эйнштейна-Максвелла. Среди вакуумного класса Вейля имеется метрика Шази Керзона [10, 11], которая не имеет особенности в отличие от сферически-симметричного решения Шварцшильда.

Общее статическое аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме Вайлен [12] представил в виде интеграла, в котором решения Шварцшильда и Шази-Керзона являются частными случаями.

Первое статическое аксиально-симметричное решение, описывающее внешнее гравитационное поле массы, обладающей мультипольным моментом, было найдено Эрецом и Розеном [13]. Они использовали сплющенные эллипсоидальные координаты, которые теперь широко применяются для нахождения новых точных решений уравнений Эйнштейна.

Гуцунаев Ц.И. и Манько B.C. [14] нашли новое статическое аксиально-симметричное решение вакуумных уравнений Эйнштейна, описывающее гравитационное поле массы, обладающей произвольным мультипольным моментом. Решения Эреца-Розена [13] и Гуцунаева-Манько [14] существенно отличаются друг от друга, но оба решения на больших расстояниях от источника переходят в ньютоновский потенциал с массой, обладающей квадрупольным моментом [15].

В работах Льюиса [16] и Ван Стокума [17] были даны первые примеры стационарных вакуумных полей, которые не являются асимптотически плоскими. Несмотря на это, они в дальнейшем были использованы для получения асимптотически плоских, физически интересных метрик. Класс стационарных вакуумных полей был получен Папапетру [18] благодаря записи метрического аксиально - симметричного интервала в так называемой канонической форме (наиболее широко используемой в настоящее время), которая позволила существенно упростить вид полевых уравнений. Известным решением, принадлежащим классу Папапетру, является метрика Ньюмена - Унти - Тамбурино (НУТ) [19], которая, не обладая свойством асимптотической плоскостности, все же некоторое время рассматривалась как стационарное обобщение решения

Шварцшильда.

В 1954 году Петров А.З. [20] предложил новый метод инвариантного исследования характеристик гравитационного поля, основанный на изучении алгебраической структуры тензора Римана. Анализ аксиально-симметричных полей в вакууме, основанный на методе Петрова, проводится в работах [21, 22].

Первое асимптотически плоское решение, описывающее гравитационное поле стационарно вращающегося аксиально-симметричного изолированного источника, было найдено в 1963 году Керром [23] при изучении алгебраически специальных вакуумных метрик, однако лишь спустя четыре года после работы Бойера и Линдквиста [24] стала возможной его строгая физическая интерпретация. Теорема Робинсона [3] устанавливает, что метрика Керра - единственное асимптотически плоское стационарное аксиально - симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме, имеющее гладкий и выпуклый горизонт событий.

Новый метод нахождения точных аксиально-симметричных решений вакуумных уравнений Эйнштейна был предложен Эрнстом [25, 26]. Эрнст показал, что аксиально-симметричное стационарное решение вакуумных уравнений Эйнштейна может быть записано в терминах единственной комплексной функции, удовлетворяющей нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка. А любое стационарное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла Эрнст [26] описал в терминах пары комплексных функций, удовлетворяющих системе двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Пользуясь симметричным видом уравнений Эрнста [25], Томиматсу и Сато [27, 28] построили новый класс решений, зависящий от целочисленного параметра дисторсии. В статическом случае решение Томиматсу-Сато переходит в решение Зипоя [29] с соответствующим параметром дисторсии.

Во второй половине 70-х годов быстрыми темпами начали развиваться методы генерирования точных решений, основанные на использовании внутренних симметрии уравнений Эйнштейна. Начало этому направлению было положено работами Элерса [30], Освача [31] и Харрисона [32], а вклад в дальнейшее развитие внесли несколько исследователей, разрабатывавших в основном три различных подхода.

Теоретико-групповой метод, с помощью которого можно генерировать новые метрики, содержащие произвольное число параметров, был введен Герочем [33, 34] и Киннерсли [35], а затем развит в работах Киннерсли и Читра [36, 37, 38]. Основные достижения этого подхода связаны с отысканием группы непрерывных преобразований Хоенсела-Киннерсли-Ксантополуса (ХКК) [39], с помощью которых был построен ряд асимптотически плоских стационарных метрик [40]-[46].

Второе направление начало развиваться на пути применения к уравнениям Эйнштейна метода обратной задачи рассеяния. В основополагающих работах Белинского и Захарова [47, 48] данным методом было найдено хорошо известное теперь И-солитонное решение, подробный анализ которого приведен в [49]. Явная детерминантная форма вакуумных солитонных решений была получена Алексеевым [50]. Метод обратной задачи рассеяния разрабатывается в настоящее время представителями различных гравитационных школ [51, 52, 53, 54].

Третий подход использует для генерирования новых точных решений преобразования Бэклунда, существование которых для случая стационарных аксиально-симметричных вакуумных полей было доказано Харрисоном [55] и Нойгебауэром [56]. Преобразования Бэклунда, теория которых для уравнений Эйнштейна получила дальнейшее развитие в работах [57, 58, 59], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [60]. Наиболее известный результат, полученный данным методом — решение Крамера-Нойгебауэра [61], описывающее нелинейную суперпозицию двух керровских масс, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено позднее Ямазаки на случай N вращающихся масс [62], которые, по его мнению, удерживаются в равновесии благодаря тому, что гравитационное притяжение компенсирует отталкивание, обусловленное вращением. Взаимозависимость и математическая эквивалентность всех трех указанных подходов генерирования точных решений была установлена Косгровом [63].

Метод вариации постоянных, предложенный в работе [64], позволяет находить новые асимптотически плоские метрики, содержащие произвольное число действительных параметров. Среди метрик, полученных данным методом, большой физический интерес представляют найденные совсем недавно точные решения уравнений Эйнштейна, переходящие в метрику Шварцшильда в статическом пределе [65]-[87].

Анализ мультипольной структуры конкретных метрик открывает широкие перспективы для более детального физического исследования в области точных решений уравнений гравитации. Начало этому исследованию было положено в работах Героча [88] и Хансена [89]. Хоенсела [90] сумел найти рекурентные соотношения, необходимые при вычислении релятивистских мультипольных моментов произвольной стационарной вакуумной аксиально-симметричной деформированной массы.

В настоящее время поиск решений с произвольной мультипольной структурой является одним из основных направлений деятельности исследователей в области точных решений, но можно определенно сказать, что на пути получения общего стационарного аксиально-симметричного решения уравнений Эйнштейна предстоит преодолеть еще очень много математических трудностей. С такими поисками непосредственно смыкается и работа по отысканию наиболее широкого класса преобразований, позволяющего генерировать решения из заданных метрик [91, 92]. С другой стороны, возрастает актуальность получения новых частных метрик, представляющих интерес для конкретных астрофизических приложений (к примеру, большое значение имело бы построение реалистичной суперпозиции метрик Керра с безмассовым магнитным диполем). В связи с вышесказанным трудно не согласиться с мнением известного американского специалиста Киннерсли [93], который, анализируя перспективы развития различных методов интегрирования уравнений Эйнштейна, отводит точным решениям приоритетную роль.

В последние годы трансформационные теоремы и преобразования симметрии стали наиболее эффективными методами для получения новых решений и для понимания существующей связи между старыми и решениями. Объем внутренней симметрии, содержащийся в уравнениях поля, поразительно велик и никто еще полностью не осознал всего его основания [93]. Главной областью применения преобразования симметрии является класс стационарных аксиально-симметричных полей Эйнштейна-Максвелла. Среди решений, полученных с помощью преобразований симметрии и трансформационных теорем, можно привести, например, решение Боннора [94] для поля массивного магнитного диполя, "намагниченные"решения Шварцшильда, Керра, Керра-Ньюмена [95], найденные Эрнстом [96] и Уайлдом [97], вселенная Мелвина [98], класс асимптотически плоских электровакуумных решений Херльта [99], [100].

Полный перечень всех известных точных решений уравнений Эйнштейна дан в обзорных работах [4, 93, 101, 102].

В настоящее время усилия исследователей в области точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла концентрируются на двух направлениях. Одно направление стремится показать, что единственно приемлемым физическим аксиально-симметричным стационарным электровакуумным решением является заряженное поле Керра [95]. Второе направление стремится, с одной стороны, найти наиболее широкий класс преобразований, позволяющий генерировать новые решения из заданных, а с другой стороны, найти новое оригинальное точное решение, не являющееся результатом применения простейших преобразований симметрии к уже известным решениям. В области точных решений уравнений ОТО наиболее важной остается проблема нелинейной суперпозиции известных решений, например, суперпозиция двух произвольных стационарных аксиально-симметричных решений уравнений Эрнста.

Отметим также большую важность и значимость, которую приобретает разработка программ и применение электронных вычислительных машин для получения и анализа новых точных решений уравнений Эйнштейна. С результатами по применению ЭВМ к задачам ОТО можно ознакомиться, в частности, в работах [103,104,105].

Целью данной диссертации является разработка математических методов, позволяющих находить новые аксиально-симметричные решения стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна и статических уравнений Эйнштейна-Максвелла.

Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава посвящена основным уравнениям гравитационного поля. Рассматривается метрика Льюиса-Папапетру и приводятся разные формы вакуумных уравнений Эйнштейна в случае аксиальной симметрии. Вторая глава посвящена описанию известных частных решений статических аксиально-симметричных вакуумных уравнений Эйнштейна. Схема изложения материала основана на рассмотрении различных методов решения уравнений гравистатики Эйнштейна. Также проведен подробный анализ евклидонных решений. В третьей главе единым образом изложены различные классы решений аксиально-симметричных стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна. Методом вариации постоянных для стационарных уравнений Эйнштейна получено новое аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию решения Керра со статическим полем Вей ля, которое есть, в свою очередь, суперпозиция обобщенного решения Шази-Керзона и решения Зипоя. Частным случаем является решение, которое в отсутствии вращения переходит в обобщенное решение Шази-Керзона. В четвертой главе рассматривается теорема Боннора для аксиально-симметричных стационарных полей Эйнштейна. Методом вариации постоянных для статических уравнений Эйнштейна-Максвелла получено новое точное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию решения Боннора со статическим полем Вейля, которое есть, в свою очередь, суперпозиция обобщенного решения Шази-Керзона и решения Зипоя. Частным случаем является решение, которое описывает массу, обладающую аксиально-симметричным распределением заряда, и которое, кроме того, в отсутствии электромагнитного поля переходит в обобщенное решение Шази-Керзона.

Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Российского университета дружбы народов, на 40-й научной конференции Факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (19-23 апреля 2004 г.), на международном семинаре, посвященном 75-летию профессора Николая Александровича Черникова (Дубна, 25-27 февраля 2004 г.).

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе.

1. Из уравнений Вейля для вакуумного аксиально-симметричного гравитационного поля получена различными методами основная часть известных статических решений.

2. В координатах кривизн проведен графический анализ евклидонных статических решений.

3. Единообразно получены основные классы аксиально-симметричных стационарных уравнений Эйнштейна.

4. Методом вариации постоянных для стационарных уравнений Эйнштейна получено новое аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию решения Керра со статическим полем Вейля, которое есть, в свою очередь, суперпозиция обобщенного решения Шази-Керзона и решения Зипоя. Частным случаем является решение, которое в отсутствии вращения переходит в обобщенное решение Шази-Керзона.

5. Методом вариации постоянных для статических уравнений Эйнштейна-Максвелла получено новое точное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию решения

Боннора со статическим полем Вейля, которое есть, в свою очередь, суперпозиция обобщенного решения Шази-Керзона и решения Зипоя. Частным случаем является решение, которое описывает массу, обладающую аксиально-симметричным распределением заряда, и которое, кроме того, в отсутствии электромагнитного поля переходит в обобщенное решение Шази-Керзона.

1. Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр.- М.: Наука, 1986.-326с.

2. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Релятивистская астрофизика.- М.: Наука, 1967.- 656с.

3. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2 частях.-М.: Мир, 1986.- 2 ч.

4. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э., Точные Решения Уравнений Эйнштейна.- М.: Энергоиздат, 1982.- 416с.

5. Schwarzschild К. Uber das Gravitationsfield eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie //Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.- 1916.-V.B7.- P.189.

6. Birkhoff G.K. Relativity and Modern Physics.- Cambridge: Harvard University Press, 1923.- 255p.

7. Israel W. Event horizons in static vacuum space-times //Phys.Rev.-1967.- V.164.- P.l776-1779.

8. Weyl H. Zur Gravitationstheorie //Annal. Physik.-1917.- V.54.- P.117-145.

9. Weyl H. Bemerkung über die axialsymmetrischen Losungen der Einsteinschen Gravitationsgleichuungen //Ann. Physik.- 1919.- V.B59.-P.185.

10. Chazy J. Sur le champ de gravitation de deux masses fixes dans la theorie de la relativité //Bull. Soc. Math. France.- 1924.- V.52.- P.17-38.

11. Curzon H.E.J. Cylindrical solutions of Einstein's gravitational equations //Proc. London Math. Soc.- 1924.- V.23.- P.477-480.

12. Waylen P.C. The general axially symmetric solution of Einstein's vacuum equations //Proc. Roy. Soc. London.- 1982.- V.A382.- P.467-470.

13. Erez G., Rosen N. The gravitational field of a particle possessing a multipole moment //Bull. Res. Council Isr.- 1959.- V.F8.- P.47-50.

14. Gutsunaev Ts. I., Manko V.S. On the Gravitational Field of a Mass Possessing a Multipole Moment //Gen. Relat. Grav.- 1985.- V.17.- P.1025-1027.

15. Quevedo H. On the Exterior Gravitational Field of a Mass with a Multipole Moment //Gen. Relat. Grav.- 1987.- V.19.- №10.- P.1013-1023.

16. Lewis T. Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravitational Fields //Proc. Roy. Soc. London.- 1932.- V.A136.- P.176-192.

17. Van Stockum W.J. The Gravitational Field of a Distribution of Particles Rotating About an Axis of Symmetry //Proc. Roy. Soc. Edinburgh.- 1937.- V.A57.- P.135-154.

18. Papapetrou A. Eine Rotationssymmetrische Losung in der Allgemeinen Relativitätstheorie //Annal. Physik.- 1953.- V.12.- P.309-315.

19. Newman E.T., Tamburino L., Unti T. Empty-Space Generalization of the Schwarzchild Metric //J. Math. Phys.- 1963.- V.4.- P.915-923.

20. Петров А.З. Пространства Эйнштейна,- M.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1961.- 464 с.

21. Collinson C.D., Dodd R.K. Petrov classification of stationary axisym-metric empty space-time //Nuovo Cimento.- 1968.- V.B62.- P.229.

22. Collinson C.D., Dodd R.K. Symmetries of stationary axisymmetric empty space-times //Nuovo Cimento.- 1971.- V.B3.- P.281.

23. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics //Phys.Rev.Lett.- 1963.- V.ll.- №5.- P.237-238.

24. Boyer R.H., Lindquist R.W. Maximal analytic extension of the Kerr metric //J.Math.Phys.- 1967.- V.8.- №2.- P.265-281.

25. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem //Phys.Rev.- 1968.- V.167.- №5.- P.1175-1178.

26. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II //Phys.Rev.- 1968.- V.168.- №5.- P.1415-1417.

27. Tomimatsu A., Sato H. New exact solution for the gravitational field of a spinning mass //Phys.Rev.Lett.- 1972.- V.29.- №19.- P.1344-1345.

28. Tomimatsu A. Sato H. New series of exact solutions for gravitational fields of spinning masses //Prog.Theor.Phys.- 1973.- V.50.- №1.- P.95-110.

29. Zipoy D.M. Topology of some spheroidal metrics //J.Math.Phys.-1966.- V.7.- P.1137-1143.

30. Ehlers J. Exterior solutions of Einstein's gravitational field equations admitting a two-dimensional Abelian group of isometric correspondences //Colloq.Theorie Relativ.- Bruxelles, 1959.- P.49-57.

31. Ozvach J. New homogeneous solutions of Einstein's field equations with incoherent matter //Abhandl.Math.Natur.Cl.Acad.Wiss.Ind.Liter.-1965.- V.I.- P.l-31.

32. Harrison B.K. New solutions of the Einstein-Maxwell equations from old //J.Math.Phys.- 1968.- V.9.- №11.- P.1744-1752.

33. Geroch R.J. A method for generating solutions of Einstein's equations //J.Math.Phys.- 1971.- V.12.- №6.- P.918-924.

34. Geroch R.J. A method for generating solutions of Einstein's equations. II //J.Math.Phys.- 1972.- V.13.- №3.- P.394-404.

35. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. I //J.Math.Phys.- 1977.- V.18.- №8.- P.1529-1537.

36. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell equations. II //J.Math.Phys.- 1977.- V.18.- №8.- P.1538-1542.

37. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell equations. Ill //J.Math.Phys.- 1978.- V.19.- №9.- P.1926-1931.

38. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell equations. IV //J.Math.Phys.- 1978.- V.19.- №10.- P.2037-2042.

39. Hoenselaers С., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Generation of asymptotically flat, stationary space-times with any number of parameters //Phys.Rev.Lett.- 1979.- V.42.- №8.- P.481-482.

40. Hoenselaers C. On a new solution of Einstein's equations //J.Math.Phys.- 1980.- V.21.- №8.- P.2241-2245.

41. Hoenselaers C. A static solution of the Einstein-Maxwell equations //Prog.Theor.Phys.- 1982.- V.67.- №2.- P.697-698.

42. Dietz W., Hoenselaers C. Stationary system of two masses kept apart by their gravitational spin-spin interaction //Phys.Rev.Lett.- 1982.- V.48.-№12.- P.778-780.

43. Hoenselaers C., Dietz W. The rank N HKX transformations: new stationary axisymmetric gravitational fields //Gen.Relat.Grav.- 1984.-V.16.- т.- P.71-78.

44. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a rotating deformed mass //Phys.Lett.- 1985.- V.A109.- P.13-18.

45. Quevedo H., Mashhoon B. Generalization of Kerr spacetime //Phys.Rev.- 1991.- V.D43.- №12.- P.3902-3906.

46. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a charged rotating mass with arbitrary quadrupole moment //Phys.Lett.- 1990.-V.A148.- №3-4.- P.149-153.

47. Белинский В.А., Захаров B.E. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений //ЖЭТФ.- 1978.- Т.78.- С. 1953-1971.

48. Белинский В.А., Захаров В.Е. Стационарные гравитационные солитоны с аксиальной симметрией //ЖЭТФ.- 1979.- Т.77.- С.3-19.

49. Алексеев Г.А., Белинский В.А. Статические гравитационные солитоны //ЖЭТФ.- 1980.- Т.78.- С.1297-1313.

50. Алексеев Г.А. О солитонных решениях уравнений Эйнштейна в вакууме //ДАН СССР.- 1981.- Т.256.- е 4, С.827-830.

51. Gleiser R.J. On the physical interpretation of some simple soliton solutions of Einstein's equations //Gen.Relat.Grav.- 1984.- V.16.- №11.-P.1077-1094.

52. Tomimatsu A. Distorted rotating black holes //Phys.Lett.- 1984.-V.A103.- т.- P.374-376.

53. Ibaljez J., Verdaguer E. Multisoliton solutions to Einstein's equations //Phys.Rev.- 1985.- V.D31.- №2.- P.251-257.

54. Belinsky V. Gravitational breather and topological properties of grav-isolitons //Phys.Rev.- 1991.- V.D44.- №10.- P.3109-3115.

55. Harrison B.K. Backlund transformation for the Ernst equation of general relativity //Phys.Rev.Lett.- 1978.- V.41.- P. 1197-1200.

56. Neugebauer G. Backlund transformations of axially symmetric stationary gravitational fields //J.Phys.A: Math.Gen.- 1979.- V.12.- №4.-P.L67-L70.

57. Neugebauer G. A general integral of the axially symmetric stationary Einstein equations //J.Phys.A: Math.Gen.- 1980.- V.13.- P.L19-L21.

58. Neugebauer G. Relativistic gravitational fields of rotating bodies., Phys.Lett.- 1981.- V.A86.- №2.- P.91-93.

59. Kramer D., Neugebauer G. Backlund transformations in general relativity //Lect.Notes Phys.- 1984.- V.205.- P.l-25.

60. Neugebauer G. Recursive calculation of axially symmetric stationary Einstein fields //J.Phys.A-.Math.Gen.- 1980.- V.13.- P.1737-1740.

61. Kramer D., Neugebauer G. The superposition of two Kerr solutions //Phys.Lett.- 1980.- V.A75.- №4.- P.259-261.

62. Yamazaki M. Stationary line of N Kerr masses kept apart by spin-spin interaction //Phys.Rev.Lett.- 1983.- V.50.- №14.- P.1027-1030.

63. Cosgrove C.M. Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions //J.Math.Phys.- 1980.- V.21.- P.2417-2447.

64. Гуцунаев Ц.И., Манько И.О., Абрамян C.M. Новые статические решения уравнения Эйнштейна-Максвелла, имеющие• Шварцшильдовский предел //Проблемы статистической физики и теории поля.- М.: Изд-во УДН, 1987.- С.129-134.

65. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New static solutions of the EinsteinMaxwell equations //Phys.Lett.- 1988.- V.A132.- №2-3.- P.85-87.

66. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a family of solutions of the EinsteinMaxwell equations //Gen.Relat.Grav.- 1988.- V.20.- №4.- P.327-335.

67. Castejôn-Amenedo J., MacCallum M.A.H., Manko V.S. On an axisym-metric solution of the vacuum Einstein equations for a stationary rotating mass //Class.Quant.Grav.- 1989.- V.6.- №11.- P.L211-L215.

68. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a stationary generalization of the Schwarzschild solution //Class.Quantum Grav.- 1989.- V.6.- №8.-P.L137-L139.

69. Tauber G.E. The gravitational field of electric and magnetic dipoles //Canad. J. Phys.- 1957.- V.35.- P.477-480.

70. Das K.S. New set of asymptotically flat static and stationary solutions //Phys. Rev.- 1983.- V.D27.- P.322-327.

71. Darmois G. Memorial des Sciences Mathématiques //(Gauthier-Villars, Paris), Fase. 25, 1927.

72. Дорошкевич А.Г.,Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Гравитационный коллапс несимметричных и вращающихся масс //ЖЭТФ.- 1965.-V.49.- С.170-181.

73. Castejön-Amenedo J., Manko V.S. Superposition of the Kerr metric with the generalized Erez-Rosen solution //Phys.Rev.- 1990.- V.D41.-№6.- P.2018-2020.

74. Castejon-Amenedo J., Manko V.S. On a stationary rotating mass with an arbitrary multipole structure //Class.Quant.Grav.-1990.- V.7.- №5.-P.779-785.

75. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C. Об одном точном решении уравнений электростатики в ОТО // В сб.: Статистическая физика и теория поля, М.: Изд-во РУДН, 1990.- С.28-31.

76. Manko V.S. New exact solution for the exterior gravitational field of a spinning mass //Phys.Rev.Lett.- 1990.- V.21.- №11.- P. 1193-1195.

77. Manko V.S. New axially symmetric solutions of the Einstein-Maxweel equations //Gen.Relat.Grav.- 1990.- V.22.- №7.- P.799-809.

78. Манько B.C., Хакимов Ш.А. Новое точное решение уравнений Эйнштейна для гравитациооного поля стационарной осесимметричной массы //Письма в ЖЭТФ.- 1990.- Т.51.- е 10, С.493-495.

79. Chamorro A., Manko V.S., Denisova Т.Е. New exact solution for the exterior gravitational field of a charged spinning mass //Phys.Rev.-1991.- V.D44.- № 10.- P.3147-3151.

80. Денисова Т.Е., Манько B.C., Шорохов С.Г. Об одном обобщении решения Керра-Ньюмена //Известия ВУЗов. Сер. Физика.- 1991,-Т.34.- ell.- Р.119-120.

81. Денисова Т.Е., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Стационарное электровакуумное обобщение решения Шварцшильда, отличное от метрики Керра-Ньюмена //Письма в ЖЭТФ.- 1991.- Т.53.- е 1, С.54-56.

82. Гуцунаев Ц.И., Бейсекеев С.Б. Об одном классе решений вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна //Письма в ЖЭТФ.- 1991.- Т.54.- е И, С.597-599.

83. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Точное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для поля массивного магнитного диполя //Известия ВУЗов. Сер. Физика.- 1991.- Т.1.- С.120.

84. Manko V.S., Khakimov Sh.A. On the gravitational field of an arbitrary axisymmetric mass possessing a magnetic dipole moment //Phys.Lett.1991.- V.A154.- №3-4.- P.96-98.

85. Denisova Т.Е., Manko V.S. Exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a charged spinning mass //Class.Quant.Grav.1992.- V.9.- т.- P.57-60.

86. Chamorro A., Manko V.S., Suinago J. New exact solution of the Einstein equations for a spinning mass //Nuovo Cimento.- 1993.- V.108-m.- P.717-719.

87. Manko V.S. New generalization of the Kerr metric referring to a magnetized spinning mass //Class.Quant.Grav.- 1993.- V.10.- №12.- P.L239-L242.

88. Geroch R. Multipole moments. II. Curved space //J.Math.Phys.- 1970.-V.ll.- т.- P.2580-2588.

89. Hansen R.O. Multipole moments of stationary space-times //J.Math.Phys.- 1974.- V.15.- №1.- P.46-52.

90. Hoenselaers C. On multipole moments in general relativity //In: Proceedings of the 14th Yamada Conference on gravitational collapse and relativity (ed. by Sato H. and Nakamura T.), World scientific, 1986.-P. 176-184.

91. Ehlers J. //In: Grundlagenprobleme der Modernen Physik (eds. by Nitsch J., Pfarr J. and Stachov E.-W.), BI-Verlag, Mannheim, 1981.-P.65-84.

92. Kramer D., Neugebauer G. Eine exakte Stationare losung der EinsteinMaxwell-Gleichungen //Annal.Physik.- 1969.- V.24.- P.59-61.

93. Kinnersley W. Recent progress in exact solutions //In: General Relativity and Gravitation (Proceedings of GR7, Tel-Aviv 1974), Wiley, New York, London, 1975.- P.109-135.

94. Bonnor W.B. An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a magnetic dipole //Z.Phys.- 1966.- V.B190.- P.444-445.

95. Newmann E.T., Couch E., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., Torrence R. Metric of a rotating charged mass //J.Maht.Phys.- 1965.-V.6.- m.- P.918-919.

96. Ernst J. Black holes in a magnetic universe //J.Math.Phys.- 1976.-V.17.- P.54.

97. Ernst J., Wild J. Kerr black holes in a magnetic universe //J.Math.Phys.- 1976.- V.17.- №2.- P.182.

98. Melvin M.A. Pure magnetic and electric geons //Phys.Lett.- 1964.-V.8.- P.65.

99. Herlt E. Static and stationary axially symmetric gravitational fields of bounded sources.jl. Solutions obtainable from the Van Stockum metric //Gen. Relat. Gravit.- 1978.- V.9.- №8.- P.711.

100. Herlt E. Static and stationary axially symmetric gravitational fields bounded sources. II. Solutions obtainable from Weyl's class //Gen.Relat.Gravit.- 1979.- V.U.- №5.- P.337.

101. Ehlers J., Kundt W. Exact solutions of the gravitational field equations //In:Witten L. (Ed.), Gravitation: an introduction to current research, Wiley, New York, London, 1962.

102. Башков В.И. Классы точных решений уравнений Эйнштейна. Итоги науки и техники. Серия Алгебра, Топология, Геометрия.-М.: ВИНИТИ, 1976.- Т.14.- С.281.

103. Hoenselaers С. An axisymmetric stationary solution of Einstein's equations calculated by computer //J.Phys.Math. and Gen.- 1981.- V.14.-№11.- P.L427.

104. Dautcourt G., Jann K.P., Riemer E., Riemer M. User's guide to REDUCE subroutines for algebraic computations in general relativity //Astron.Nachr.- 1981.- V.302.- №1.- P.l.

105. Hern A.C. REDUCE 3.2 User's Manual (The Rand Corporation, Santa Monica, California). 1985.

106. Ландау Л.д., Лифшиц E.M. Теория поля.- М.: Наука, 1988.- 510 с.

107. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. Т.2.- М.: Мир, 1977.525 с.

108. Carter В. Black hole equilibrium states. //In: De.Witt В., and D.(Eds.). Black Holes (Les Houches Lectures 1972). Gordon and Breach. New York.

109. Chandrasekhar S. The Kerr metric and stationary axisymmetric gravitational fields //Proc.Roy.Soc.London.- 1978.- V.A358.- P.405.

110. Reina C., Treves A. Axisymmetric gravitational fields //Gen.Relat.Gravit.- 1975.- V.10.- P.817.

111. Levy H. Classification of stationary axisymmetric gravitational fields //Nuovo Cimento.- 1968.- V.B56.- №2.- P.253-263.

112. Marek J.J.J. Some solutions of Einstein's equations in general relativity //Proc.Camb.Phil.Soc.- 1968.- V.64.- P.167-170.

113. Ehlers J. Konstruktionen und Charakterisierungen von losungen der Einsteinschen gravitationsfeldgleichungen //Dissertation.- Hamburg, 1957.

114. Bonnor W.B. Exact Solutions of the Einstein-Maxwell Equations //Z. Phys.- 1961.- V.185.- P.439-444.

115. Гуцунаев Ц.И., Ермолаев Ю.Г. Об одной возможности обобщения статических солитонных решений уравнений гравитации. //Проблемы статистической и квантовой физики. М.: Изд-во УДН, 1983.- С.97.

116. Yamazaki М. On the Kerr-Tomimatsu-Sato family of spinning mass //J.Math.Phys.- 1977.- V.18.- №12.- P.2502-2508.

117. Hori S. Generalization of Tomimatsu-Sato solutions //Prog. Theor. Phys.- 1996.- V.95.- №6.- P.1097-1120.

118. Cosgrove C.M. New family of exact stationary axisymmetric gravitational fields generalizing Tomimatsu-Sato solutions //J.Phys.A: Math.Gen.- 1977.- V.10.- №9.- P.1481-1524.

119. Ernst F.J. A new family of solutions of the Einstein field equations //J. Math. Phys.- 1977.- V.18.- №2.- P.233-234.

120. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C. Об одном методе решения статических аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна-Максвелла. //Изв. ВУЗов СССР. Физика.- 1985.- №4.- С.116-118.

121. Hoffman R.B. Stationary "noncanonical"solutions of Einstein vacuum field equations //J. Math. Phys.- 1972.- V.10.- №5.- P.953-956.

122. Цейтлин М.Г. Решения двухмерных уравнений Эйнштейна, параметризованными произвольными функциями генерирования -0(2,1) сг-моделью //Теор. Мат. Физ.- 1985.- Т.64.- №1.- Р.51-60.

123. Islam J.N. A class of approximate exterior rotating solutions of Einstein's equations //Math. Proc. Camb. Phil. Soc.- 1976.- V.79.- P.161-166.

124. Islam J.N. On the existence of a general rotating solutions of Einstein's equations //Gen. Relat. Grav.- 1976.- V.7.- №10.- P.809-815.

125. Hoffman R.B. Stationary axially symmetric generalizations of the Weyl solutions in general relativity //Phys.Rev.- 1969.- V.182.- P.1361-1368.

126. Demianski M., Newman E.T. A Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equations //Bull.Acad.Polon.Sci.Ser.Math.Astron.Phys.-1966.- V.14 №10.- P.653-657.

127. Misner C.W. //In: Lectures in Applied Mathematics (Ed. by J. Ehlers, AMS, Providence, Rhode Island), 1967.

128. Bonnor W.B. A new interpretation of the NUT metric in general relativity //Proc.Camb.Phil.Soc.- 1969.- V.66.- P.145-151.

129. Sackfield A. Physical interpretation of NUT metric //Proc.Camb.Phil.Soc.-1971.- V.70.- P.89-94.

130. Voorhers B.H. Static axially symmetric gravitational fields //Phys. Rev.- 1970.- V.D2.- P.2119-2122.

131. Das K.C. Odd-soliton solutions of the Einstein equations in a vacuum //Phys. Rev.- 1985.- V.D31.- №4.- P.927-928.

132. Cosgrove C.M. A new formulation of the field equations for the stationary axisymmetric vacuum gravitational field. I. General theory // J.Phys. A: Math. Gen.- 1978.- V.All.- P.2389-2404.

133. Dale P. Axisymmetric gravitational fields: a nonlinear differential equation that admits a series of exact eigenfunction solutions //Proc. Roy. Soc. London.- 1978.- V.A362.- P.463-468.