Геометрическая топология областей голоморфности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МАТЕМАТИЧЕСКИИ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи УДК 517.5, 515.1

Немировский Стефан Юрьевич

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ ОБЛАСТЕЙ ГОЛОМОРФНОСТИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Отделе комплексного анализа Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С. М. Гусейн-Заде доктор физико-математических наук, профессор С. 1Т. Пинчук доктор физико-математических наук, профессор А. К. Цих

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ

Уфимского Научного Центра РАН

Защита диссертации состоится-12 октября 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д002.022.01 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу:. 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "_"_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.022.01 при МИАН, профессор I В. А. Ватутин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из наиболее важных эффектов в многомерном комплексном анализе является возможность аналитического продолжения всех голоморфных функций из некоторых областей. Особый интерес представляют ситуации, в которых существование такого продолжения следует из геометрических и топологических условий.

Классическим примером является теорема Хартогса, согласно которой всякая функция, голоморфная в окрестности связной компактной вещественной гиперповерхности в Cn, п > 2, голоморфно продолжается в ограниченную этой гиперповерхностью область. Из этой теоремы следует, например, что если D и D' — ограниченные области со связными гладкими границами в Cn, п > 2, то всякое биголоморфное отображение их границ продолжается до биголоморфизма самих областей. Поэтому биголоморфную классификацию многомерных областей можно-изучать, исходя из классификации их границ:

Для важного класса строго псевдовыпуклых областей, с вещественно-аналитическими границами задача локальной биголоморфиой классификации их границ была решена в классической работе Ш.-Ш. Черпа и Ю. Мозера1. Немного позже С. И. Пинчук2 обнаружил эффект продолжения локально заданных биголоморфных отображений вдоль путей в границе. Такое продолжение приводит, вообще говоря, к: многозначному отображению границ, к которому нельзя непосредственно применить теорему Хартогса. Необходимое обобщение этой теоремы, найденное X. Кернером3, естественно формулируется на языке универсальных накрытий. Таким образом, глобальная комплексная геометрия универсальных накрытий областей этого класса оказывается связанной с локальной комплексной геометрией их границ.

1S. S. Chern, J. К. Moser, Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math. 133 (1974), 219-271.

2C. И. Пинчук, Об аналитическом продолжении голоморфных отображений, Мат. сб. 98 (1975), 416-435; О голоморфных отображениях вещественно-аналитических гиперповерхностей, Мат. сб. 105 (1978), 574-593.

3Н. Kerner, Überlagerungen und, Holomorphiehüllen, Math. Ann. 144 (1961), 126-134.

Теорему Хартогса можно обобщать и в другом направлении, а именно, рассматривать вместо гиперповерхностей произвольные компактные вещественные подмногообразия М (= С". Воспользовавшись теоремой Лефшеца для многообразий Штейна4, можно показать, что если вещественная размерность к — dim® М подмногообразия М строго больше п (т.е. комплексной размерности объемлющего пространства), то оболочка голоморфности всякой его окрестности содержит некоторую (А; + 1)-мерную цепь, ограниченную этим подмногообразием.

Относительно недавно было обнаружено, что на двумерных комплексных многообразиях подобные эффекты возникают и для вещественных подмногообразий, размерность которых равна комплексной размерности объемлющего комплексного многообразия, т.е. для вещественных поверхностей в комплексных поверхностях. По-видимому, это явление было впервые подробно изучено при решении следующих двух задач, поставленных А. Г. Витушкиным в 80-х годах прошлого века в связи с проблемой обращения полиномиальных отображений в С2.

Гипотеза А. Если гладко вложенная двумерная сфера в комплексной проективной плоскости CP2 представляет непулевой класс двумерных гомологий, то любая голоморфная в окрестности этой сферы функция постоянна.

Гипотеза В. Нельзя приклеить аналитический диск снарумси к диф-феоморфной шару строго псевдовыпуклой области в С2.

Первый шаг в направлении доказательства гипотезы А был сделан в 1994 г. С. М. Ивашковичем и В. В. Шевчишиным5. Предложенный ими подход опирался на теорию псевдоголоморфных кривых М. Громова6 и позволил получить доказательство этой гипотезы для частного случая симплектически вложенной сферы.

4 A. Andreotti, Т. FVankel, The Lefschetz theorem on hyperplane sections, Ann. of Math. (2) 69 (1959), 713-717.

5S. Ivashkovich, V. Shevchishin, Structure of the moduli space in the neighbourhood of a cusp curve and meromorphic hulls, Invent. Math. 136 (1999), 571-602.

6M. Gromov, Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. Math. 82 (1985), 307-347.

Другое направление исследований было связано с построением примеров, проясняющих суть сделанных в гипотезах А и В геометрических предположений. При этом использовались работы Х.-Ф. Лая7 и В. М. Харламова и Я. М. Элиашберга8 о геометрии вещественных поверхностей в комплексных поверхностях.

Сопоставление этих результатов достаточно естественно указывало-на связь между гипотезами Витушкина и_открытыми в последнее время топологическими инвариантами гладких четырехмерных многообразий. Более того, постепенно стало ясно, что ключевую роль в доказательстве гипотез А и В должны играть так называемые "неравенства присоединения" (adjunction inequalities), дающие нижнюю оценку для рода вещественной поверхности, реализующей заданный класс гомологий в комплексной поверхности. Такие неравенства были получены в 90-х годах прошлого века П. Кронхаймером и Т. Мрувкой9 и другими авторами10'11 при доказательстве известной гипотезы Рене Тома. (Эта гипотеза утверждает, что неособая алгебраическая кривая в комплексной алгебраической поверхности имеет наименьший род среди всех вложенных вещественных поверхностей в ее гомологическом классе.)

Цель работы. В диссертации рассматриваются различные применения методов геометрической топологии (в частности, теории инвариантов Зайберга-Виттена гладких четырехмерных многообразий) к задачам продолжения аналитических функций и отображений. Дается доказательство гипотез А и В и теоремы униформизации для штейновых строго псевдовыпуклых областей.

7Н. F. Lai, Characteristic classes of real manifolds immersed in complex manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 172 (1972), 1-33.

8B. M. Харламов, Я. M. Элиашберг, О числе комплексных точек вещественной поверхности в комплексной поверхности, Труды Ленинградской международной топологической конференции (23-27 августа 1982 г.), Л.: Наука, 1983.

9Р. В. Kronheimer, Т. Mrowka, The genus of embedded surfaces in the projective plane, Math. Res. Lett. 1 (1994), 797-808.

10R. Fintushel, R. Stern, Immersed spheres in A-rnaniJolds and the immersed Thom conjecture, Turk. J. Math. 19 (1995), 145-157.

nP. Ozsvâth, Z. Szabö, The symplectic Thom conjecture, Ann. of Math. (2) 151 (2000), 93-124.

Научная новизна. Исследованы геометрические и топологические условия, необходимые и достаточные для продолжения голоморфных функций и отображений из окрестностей вещественных гиперповерхностей и подмногообразий половинной размерности в комплексных многообразиях.

Основными результатами работы являются

— теорема упиформизации для штейповых строго псевдовыпуклых областей (теорема 2.1.1)

— теорема о линейности локальных биголоморфных отображений вещественных гиперповерхностей с невырожденной знакопеременной формой Леви в СР" (теорема 2.9.6)

— точное неравенство для топологических характеристик вещественной поверхности, погруженной в штейнову комплексную поверхность (теорема 3.7.1)

— описание оболочек голоморфности погруженных вещественных поверхностей в С2 (п. 4.1), в СР2 (п. 4.2) и в произведении СР1 на некомпактную риманову поверхность (п. 4.3)

— доказательство-гипотезы Витушкина о невозможности приклеить аналитический диск снаружи к диффеоморфной шару строго псевдовыпуклой области в С2 (следствие 4.5.3)

— построение Леви-плоских гиперповерхностей со штейновым дополнением в компактных комплексных поверхностях и многообразиях большей размерности (п. 4.6)

— доказательство существования гомологически нетривиальной вложенной п-мерной сферы в дополнении к общей аффинной гиперповерхности в С" при п > 3 (теорема 5.3.1)

Указанные здесь основные результаты являются новыми и обоснованы строгими математическими доказательствами. Точные формулировки приведены ниже.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в ряде разделов многомерного комплексного анализа и геометрической теории функций.

Методы исследования. В диссертации, используются методы комплексного анализа и дифференциальной топологии.

Апробация работы _и публикации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах в МГУ, МИАН, Математическом институте Макса Планка, Институте Анри Пуанкаре и в других научных центрах, а также на российских и международных конференциях. Работы о гипотезах Витушкина были отмечены премиями Московского Математического Общества и Европейского Математического Общества для молодых математиков. Результаты опубликованы в одиннадцати статьях, список которых приведен в конце автореферата^

Структура-диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав; первая глава раздел снана 7 пунктов, вторая — на 9 пунктов, третья — на 8 пунктов, четвертая — на 6 пунктов, и пятая — на 4 пункта. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 125 наименований. Общий объем диссертации — 144 страницы.

Обзор содержания диссертации

Во введении формулируются основные результаты диссертации и обсуждаются необходимые для их доказательства геометрические идеи.

Глава 1 посвящена изложению используемых в дальнейшем результатов теории аналитического продолжения функций многих комплексных переменных.

В пунктах 1.1-1.2 дается определение и описание основных свойств многообразий Штейна и строго псевдовыпуклых областей. Обсуждаются, в частности, теорема Стаута12 об алгебраической аппроксимации и

12Е. L. Stout, Algebraic domains in Stein manifolds, Banach Algebras and several complex variables. Proc. Conf. New Haven/Conn. 1983. Contemp. Math. 32 (1984), 259266.

фундаментальные результаты Андреотти-Франкеля13 и Элиашберга14 о топологическом строении многообразий Штейна.

В пунктах 1.3-1.6 рассматривается понятие оболочки голоморфности и приводятся различные результаты об описании оболочек в терминах многообразий Штейна. Пункт 1.5 содержит изложение теоремы Кернера15, которая существенно используется в главе 2. Пункт 1.6 посвящен свойствам оболочек голоморфности над комплексным проективным пространством.

В пункте 1.7 дается новое доказательство теоремы С. М. Ивашковича16 о продолжении локально биголоморфных отображений.

Глава 2 посвящена доказательству теоремы униформизации для строго псевдовыпуклых областей и ее аналогов и обобщений.

В пункте 2.1 формулируется основной результат для строго псевдовыпуклых областей с вещественно-аналитическими границами:

"Теорема 2.1.1. Пусть D и D' — штпейновы строго псевдовыпуклые области с вещественно-аналитическими границами. Универсальные накрытия областей D и D' биголоморфны тогда и только тогда, когда их границы OD и OD' локально биголоморфно эквивалентны (в каких-то точках р G dD up' G dD').

В частности, теорема 2.1.1 утверждает, что штейнова строго псевдовыпуклая область универсально накрывается единичным шаром тогда и только тогда, когда ее граница является сферической, т.е. локально биголоморфна сфере.

Пункт 2.2 посвящен изложению результатов С. И. Пинчука и А. Г. Ви-тушкина с учениками об аналитическом продолжении локальных голоморфных эквивалентностей между строго псевдовыпуклыми гиперпо-

13А. Andreotti, Т. Frankel, Op. cit.

14 Ya. Eliashberg, Topological characterization of Stein manifolds of dimension > 2, Int. J. Math. 1 (1990), 29-46.

15H. Kerner, Op. cit.

16C. M. Ивашкович, Продолжение локально биголоморфных отображений областей в комплексное проективное пространство, Изв. АН СССР. Сер. мат. 47 (1983), 197-206.

верхпостями. Здесь приводится также найденный Бернсом и Шнайдером17 пример непродолжаемого отображения из сферы в компактную гиперповерхность.

Утверждения "тогда" и "только товда" теоремы 2.1.1 доказываются в пунктах 2.3-2.4-и 2.6-2.7 соответственно. При этом области со сферическими и несферическими границами рассматриваются отдельно, и в обоих случаях получаются несколько более точные результаты. В частности, для отображений универсальных накрытий областей с несферическими границами имеет место следующий принцип соответствия границ:

Теорема 2.7.3. Пусть D и D' — штейновы строго псевдовыпуклые области с вещественно-аналитическими границами. Если универсальные накрытия (открытых) областей D и D' не биголоморфны единичному шару, то всякий биголоморфизм между ними продолжается до биголо-морфизма универсальных накрытий замкнутых областей D и D'.

В пункте 2.8 показывается, что утверждение "только тогда" теоремы 2.1.1 справедливо и для не обязательно штейновых строго псевдовыпуклых областей, в то время как для утверждения "тогда" предположение о штейновости оказывается существенным.

В пункте 2.5 обсуждаются две гипотезы о свойствах метрики Бергмана строго псевдовыпуклой области. Гипотеза Чена утверждает, что шар — это единственная строго псевдовыпуклая область, метрика Бергмана которой является метрикой Кэлера-Эйнштейна. Гипотеза Рамада-нова гласит, что области со сферической границей характеризуются отсутствием логарифмического члена в асимптотическом разложении ядра Бергмана на границе. С помощью теоремы 2.1.1 показывается, что гипотеза Чена следует из гипотезы Рамаданова, откуда выводится справедливость гипотезы Чена для областей в С2. Материал этого пункта обобщает работу Фу и Вонга18.

17D. Burns, S. Shnider, Spherical hypersurfaces in complex manifolds, Invent. Math. 33 (1976), 223-246.

18S. Fu, B. Wong, On strictly pseudoconvex domains with Köhler-Einstein Bergman metrics, Math. Res. Lett. 4 (1997), 697-703.

Пункт 2.9 посвящен продолжению локально биголоморфных отображений вещественных гиперповерхностей с невырожденной знакопеременной формой Леви в комплексном проективном пространстве. Здесь доказывается следующее утверждение-о линейности таких отображений:

Теорема 2.9.6. Пусть М и М' — это комппктные гиперповерхности в комплексном проективном пространстве СР" с невырожденной знакопеременной формой Леви. Предположим, что М вещественно-ана-литична, а М' вещественно-алгебраична. Если М и М' локально биго-ломорфно эквивалентны, то эта эквивалентность задается автоморфизмом пространства СРП.

В главе 3 изучаются топологические инварианты вещественных поверхностей в комплексных поверхностях и доказываются необходимые л достаточные условия существования штейновой окрестности у погруженной вещественной поверхности в данном изотопическом классе.

В пункте 3.1 определяются основные топологические~характеристики погруженной ориентируемой поверхности. В пункте 3.2рассматриваются точки самопересечения- погруженных поверхностей и вводится удобное для дальнейших приложений понятие существенной двойной точки.

Определение 3.2.2. Двойная точка х = ¿(а) = ¿(6) погруженной поверхности 5" = ¿(Ед) С X называется существенной, если для любого пути 7 : [0,1] —► Еэ, соединяющего-точку а с точкой Ъ, гомотопически нетривиальна замкнутая петля £ о 7([0,1]) с X. Число положительных и отрицательных существенных двойных точек поверхности 5 С X будем обозначать через х±!3(5', X) .

Пункты 3.3-3.4 посвящены комплексным точкам вещественных поверхностей в комплексных поверхностях. (Точка р € 5 С X называется комплексной, если касательная плоскость ТрБ в этой точке является комплексной прямой в ТрХ.) Здесь приводятся формулы Лая19 для алгебраического числа таких точек, а также дается элементарное доказательство теоремы Харламова и Элиашберга20 о сокращении пар комплексных то-19Н. Г. Ьал, Ор. си.

20В. М. Харламов, Я. М. Элиашберг, Ор. ей.

чек различного типа.

В пункте 3.5 излагаются основанные на теоремах Лая и Харламова-Элиашберга результаты Форстнерича21 и автора о существовании штей-новых окрестностей у малых деформаций вещественных поверхностей.

Теорема 13.5.1. Погруженная вещественная поверхность S рода g в комплексной поверхности X, удовлетворяющая неравенству

[5] • [5] + KdpO, [5])| < 2д - 2 + 2x+{S) - 2*_(S),

изотопна погруженной поверхности S', имеющей фундаментальную систему трубчатых штейновых окрестностей.

В пунктах 3.6-3.7 теория инвариантов Зайберга-Виттена гладких четырехмерных многообразий применяется для доказательства следующего основного топологического неравенства ("неравенства присоединения") для погруженных вещественных поверхностей в штейновых комплексных поверхностях.

Теорема 3.7.1. Пусть S = ¿(£g) С X — погруженная вещественная поверхность рода g в штейновой комплексной поверхности. Если S не является двумерной сферой, представляющей тривиальный класс двумерных гомотопий, то выполнено неравенство

[5] • [S] + |(Cl(X), [5])| < 2д - 2 + 2X+(S) - 2*^{S,X).

Из этой теоремы немедленно следует, что условие теоремы 3.5.1 является не только достаточным, но и необходимым для существования трубчатых штейновых окрестностей у погруженной поверхности в данном изотопическом классе. (В трубчатой окрестности поверхности все ее двойные точки существенны, и, следовательно, неравенства из теорем 3.5.1 и 3.7.1 совпадают.) Обратно, из теоремы 3.5.1 легко вывести, что неравенство в теореме 3.7.1 является точным.

21F. Forstneriö, Complex tangents of real surfaces in complex surfaces, Duke Math. J. 67 (1992), 353-376; Stein domains in complex surfaces, J. Geom. Anal. 13 (2003), 77-94.

В последнем пункте 3.8 рассматриваются аналоги предыдущих результатов для неориентируемых вещественных поверхностей и приводится топологическая классификация штейновых комплексных структур на Корасслоениях над вещественными поверхностями.

Глава 4-посвящена главным образом приложениям результатов главы 3 к описанию оболочек голоморфности окрестностей вещественных поверхностей в различных комплексных поверхностях.

В пункте 4.1 рассматриваются вещественные поверхности в С2. Продолжение голоморфных функций, определенных в окрестности погруженной ориентируемой поверхности 51 С <С2 рода д, имеющей х+ положительных и Х- отрицательных двойных точек, описывается следующим образом:

1. Если 0 < д—1+х+ — то поверхность 5 С С2 изотопна погружен-ной^поверхности 5" С С2 с фундаментальной системой штейновых окрестностей. Каждая такая окрестность совпадает со своей оболочкой голоморфности, поэтому можно сказать, что в этом случае "принудительного продолжения" голоморфных функций не происходит.

2. Если 0 > д — 1 + яг+ — .то все функции, голоморфные в окрестности и Э 5 продолжаются- в риманову область, в которой поверхность 5 является гомотопически тривиальной сферой или имеет несущественные двойные точки. Таким образом, в этом случае оболочка голоморфности сколь угодно малой окрестности V 13 Б "затягивает" какие-то нетривиальные гомотопические классы на Б.

В частном случае вложенной сферы (т.е. при д - >с+ = х- = 0) это описание дает следующий результат:

Теорема 4.1.1. Вложенная двумерная сфера в С2 гомотопна нулю в оболочке голоморфности любой своей окрестности.

Аналогичные утверждения справедливы и для неориентируемых поверхностей. Например, пусть задано вложение I : КР2 «—» С2 вещественной проективной плоскости в С2. Если нормальное число Эйлера этого

вложения равно —2, то поверхность ¿(RP2) может иметь сколь угодно малые штейновы окрестности. С другой стороны, если нормальное число Эйлера равно +2, то (единственная) гомотопически нетривиальная петля в t,(KP2) ограничивает погруженный диск в оболочке голоморфности любой окрестности U D ¿(MP2).

В пункте 4.2 рассматриваются оболочки голоморфности гомологически нетривиальных вещественных поверхностей в CP2. Аналитическое продолжение из окрестности ориентируемой поверхности S С CP2 рода д, имеющей положительный индекс пересечения d с проективными прямыми, описывается следующими утверждениями:

1. Если выполнено неравенство

^ <Р + 3d+2

д + лг+ - >---,

то поверхность S изотопна погруженной поверхности S" С CP2, имеющей фундаментальную систему штейновых окрестностей.

2. Если же выполнено обратное неравенство

(Р + 3d + 2 д + мг+ - <---,

то все непостоянные голоморфные функции в окрестности поверхности S продолжаются в штейнову риманову область, -в которой поверхность-S имеет несущественные отрицательные двойные точки.

В частности, если вложенная поверхность рода д и степени d > 0 в CP2 удовлетворяет неравенству д < \(<Р + 3d + 2), то все голоморфные в ее окрестности функции постоянны, так как двойным точкам взяться неоткуда. Это неравенство заведомо выполнено, если род поверхности равен нулю, откуда вытекает гипотеза А.

В пункте 4.3 дается еще одно доказательство этой гипотезы, основанное на применении теоремы Дональдсона22 о невозможности разложения

22S. К. Donaldson, Polynomial invariants for smooth four-manifolds, Topology 29 (1990), 257-315.

компактной кэлеровой комплексной поверхности в связную сумму гладких многообразий, в форме пересечения каждого из которых имеется положительный квадрат.

Пункт 4.4 посвящен оболочкам голоморфности вещественных поверхностей в прямом произведении СР1 на произвольную некомпактную ри-манову поверхность У. Здесь получаются результаты, вполне аналогичные сформулированным выше. В частности, если вложенная поверхность рода д и положительной степени й > 0 в СР1 х У удовлетворяет неравенству д < <1 + 1, то любая голоморфная в ее окрестности функция продолжается в окрестность множества СР1 х 7Гу(£). (Степень (1 ориентированной поверхности 5 С СР1 х У определяется как топологическая степень ее проекции на СР1 сомножитель.) Рассматривая график гладкого отображения / : СР1 —> У как вложенную сферу степени 1 в СР1 х У, из последнего утверждения легко вывести принадлежащее Е. М. Чирке23 обобщение классической леммы Хартогса, сформулированное в качестве гипотезы А. В. Домриным.

Следствие 4.4.2. Пусть непрерывная комплекснозначная функция у?: Д-»Се (замкнутом) единичном круге А — {г € С | \г\ < 1} ограничена по модулю единицей. Тогда любая функция, голоморфная в окрестности обобщенной фигуры Хартогса

Дг> = {{гМ*)) € С2 | г е А} и {(г, и;) е С2 | |г| = 1, М < 1},

голоморфно продолжается в окрестность замкнутого единичного би-диска И С С2. (Классическая фигура Хартогса получается, если функция р тождественно равна нулю или, чуть более общим образом, голоморфна в А.)

В пункте 4.5 рассматривается задача Витушкина о (не)возможности подклейки аналитического диска снаружи к строго псевдовыпуклой области. Применение теоремы 3.7.1 позволяет получить следующий общий результат:

23 Е. М. Чирка, Обобщенная лемма Гартогса и нелинейное 9-уравнение, Комплексный анализ в современной математике, 19-30, М.: Фазис, 1998.

Теорема 4.5.1. Пусть аналитический диск /(А) приклеен снаружи к строго псевдовыпуклой области U в штейновой поверхности X с тривиальной группой двумерных гомологий Н2(Х;R). Тогда в области U не существует гладко вложенного диска с той же границей.

Гипотеза В легко выводится из этой теоремы с помощью инверсии. Здесь же приводится обобщение теоремы 4.5.1 для аналитических дисков с дырками и рассматриваются примеры, иллюстрирующие точность полученных результатов.

В последнем пункте этой главы приводится конструкция, позволяющая разрезать некоторые компактные комплексные многообразия и, в том числе, комплексные алгебраические поверхности разных типов па штейновы части вдоль гладких Леви-плоских поверхностей. Получающиеся штейновы области с Леви-плоскими границами обладают весьма неожиданными аналитическими свойствами. Кроме того, эта конструкция представляет интерес ввиду следующих двух геометрических результатов. С одной стороны, известная гипотеза утверждает, что такое разрезание невозможно для комплексной проективной плоскости CP2. С другой стороны, Акбулут и Матвеев24 доказали, что всякое гладкое четырехмерное многообразие можно разрезать на две части, диффеоморфные многообразиям Штейна.

В главе 5 рассматривается вопрос о представимости гомологических классов в дополнении к алгебраической гиперповерхности в С™ вложенными сферами и его приложения к комплексному анализу.

Пункт 5.1 содержит обзор классических результатов о существовании вложенных сфер в данном п-мерном классе гомотопий на 2п-мерном вещественном многообразии при п> 3.

В пункте 5.2 излагается вариант выполненного Фамом25 вычисления гомологий комплексной гиперповерхности в Сп, задаваемой уравнением

24S. Akbulut, R. Matveyev, A convex decomposition theorem for i-manifolds, Internat. Math. Res. Notices (1998), no. 7, 371-381.

25Ф. Фам, Обобщенные формулы Пикара-Лефшеца и ветвление интегралов, Математика 13:4 (1969), 61-93.

вида

п

= 2<dj<oo,

j=i

где по определению Zj° = eZj. Этот результат позволяет получить удобные формулы для индексов пересечения тг-мерных циклов на универсальном накрытии дополнения к общей аффинной гиперповерхности в С".

В пункте 5.3 результаты.предыдущих двух пунктов применяются для_ доказательства следующей теоремы, отвечающей на вопрос, поставленный А. К. Цихом в связи с многомерной теорией вычетов.

Теорема 5.3.1. Пусть Я С С" - общая алгебраическая гиперповерхность степени d. Если п > 3 и d > 3, то существует гладко вложенная n-мерная сфера, представляющая нетривиальный класс гомологий в Сп\ Н.

Эта теорема не имеет места для квадратичных гиперповерхностей, (это доказывается методами пункта 5.2) и для гиперповерхностей любой степени в пространстве С2 (это легко следует из теоремы 4.1.1). Обратно, теорема 5.3.1 показывает, что теорема 4.1.1 не имеет места в С™ при п ф 2.

Следствие 5.3.4. При любом п ф 2 существует вложенная п-мерная сфера в С™, которая гомологически нетривиальна в оболочке голоморфности любой своей достаточно малой окрестности.

В последнем пункте 5.4 рассматривается поставленная Стольценбер-гом26 задача о сравнении рационально и полиномиально выпуклых оболочек для (ко)односвязных компактов в С™. Доказывается, что (вопреки ожиданиям) эти оболочки могут иметь существенно разную топологию. А именно, n-мерная группа когомологий рационально выпуклой оболочки такого компакта может быть нетривиальной, в то время как для полиномиально выпуклой оболочки эта группа обращается в нуль по классической теореме Серра.

26G. Stolzenberg, Polynomially and rationally convex sets, Acta Math. 109 (1963), 259289.

Эта работа была бы невозможна без определяющего влияния академика А. Г. Витушкина (1931-2004). Результаты главы 2 были получены совместно с Р. Г. Шафиковым. Автор признателен также проф. В. К. Бе-лошапке, к.ф.-м.н. А. В.Домрину, д.ф.-м.н. С. М. Ивашковичу, к.ф.-м.н. Н. Г.Кружилину, к.ф.-м.н. С. Ю. Оревкову, проф. А. Г. Сергееву, чл.-корр. Е. М. Чирке, Бг. ЬаЬ. В. В. Шевчишину и д.ф.-м.н. Н. В.Щербине за многочисленные полезные обсуждения затрагиваемых в диссертации тем.

Работы автора по теме диссертации

1. С. Ю. Немировский, Штейновы области на алгебраических многообразиях, Мат. заметки 60 (1996), 295—298.

2. -, Голоморфные^ функции и вложенные вещественные поверхности, Мат. заметки 63 (1998), 599-606.

3. -, Вложения двумерной сферы в штейновы поверхности, Докл.

Рос. Акад. Наук Сер. мат. 362 (1998), 442-444.

4. -, Комплексный анализ и дифференциальная топология на комплексных поверхностях, Успехи Мат. Наук 54:4 (1999), 47—74.

5. -, Штейновы области с Леви-плоскими границами на компактных комплексных поверхностях, Мат. заметки 66 (1999), 632-634.

6. -, Geometrie methods in complex analysis, European Congress of

Mathematics, Vol. II (Barcelona, 2000), 55-64, Progr. Math., 202, Birkhäuser, Basel, 2001.

7. -, Топология дополнений к гиперповерхностям и рационально

выпуклые оболочки, Труды Мат. Инст. им. Стеклова 235 (2001), 169-180.

8. -, Adjunction inequality and coverings of Stein surfaces, Turk. J.

Math. 27 (2003), 161-172.

9. -, P. Г. Шафиков, Униформизация строго псевдовыпуклых областей, I, Изв. Рос. Акад. Наук Сер. Мат. 69:6 (2005), 115-130.

10. -, Р. Г. Шафиков, Униформизация строго псевдовыпуклых областей, II, Изв. Рос. Акад. Наук Сер. Мат. 69:6 (2005), 131-138.

11. -, Р. Г. Шафиков, Гипотезы Чена и Рамаданова, Успехи Мат.

Наук 61:4 (2006), 193-194.

Соавторство. В совместных с Р. Г. Шафиковым работах [9,10,11] автору принадлежат применения глобальных геометрических методов, составляющих основное содержание диссертации.

Введение

1 Продолжение функций многих комплексных переменных

1.1 Многообразия Штейна.

1.2 Топология многообразий Штейна.

1.3 Римаиовы области и проблема Леви.

1.4 Оболочки голоморфности и мероморфности.

1.5 Накрытия и оболочки голоморфности

1.6 Теория функций на проективном пространстве.

1.7 Локально биголоморфные отображения

2 Универсальные накрытия и границы областей

2.1 Области с локально эквивалентными границами.

2.2 Продолжение локальных эквивалентностей

2 3 Применение теоремы Кернера.

2.4 Униформизация области со сферической границей.

Одним из наиболее важных эффектов в многомерном комплексном анализе является "принудительное аналихическое продолжение" всех голоморфных функций из некоторых областей. Особый интерес представляют ситуации, в которых существование такого продолжения можно вывести из геометрических и топологических условий.

Классическим примером является теорема Хартогса, согласно которой всякая функция, голоморфная в окрестности связной замкнутой вещественной гиперповерхности в Сп, п > 2, голоморфно продолжается в ограниченную этой гиперповерхностью область. Как показал намного позже X. Кернер [64], подобное утверждение справедливо также и для многозначных аналитических функций и отображений.

Теорему Харто1 са-Кернера можно применить, например, к построенным в работах С.И.Пиичука и А. Г. Витушкина многозначным продолжениям ростков юломорфных эквивалентностей между строго псевдовыпуклыми вещественно-аналитическими гиперповерхносгями. Получающееся в резулыахе утверждение об аналитическом продолжении локальных отображений границ строго исевдовыиуклых областей оказывается точным: имеет место теорема, объединяющая многомерные аналоги теоремы униформизации и принципа соохвехслвия границ [89, 90].

Теорема. Пусть D и D' — строго псевдовыпуклые области с вещественно-аналитическими границами на многообразиях Штейна. Тогда эквивалентны следующие два условия:

1. Универсальные накрытия областей D и D' биголоморфны.

2. Границы этих областей 3D и 0D' локально биголоморфны.

В частности, штейнова строго псевдовыпуклая область с вещественно-аналитической границей тогда и только тогда голоморфно накрывается шаром, когда ее граница локально биголоморфна сфере.

Доказательство эюй теоремы изложено в главе 2 наряду с другими результатами о соответствии между локальными отображениями вещественных гиперповерхностей и глобальными отображениями содержащих их комплексных многообразий.

Теорему Хартогса можно обобщать и в другом направлении, а именно, рассматривать вместо гиперповерхностей произвольные компактные вещественные подмногообразия М <ё Сп. Воспользовавшись теоремой Лефшеца для многообразий Штейна, нетрудно показать, что если вещественная размерность к = dimR М подмногообразия М строго больше п (т.е. комплексной размерности объемлющего пространства), то оболочка голоморфности всякой его окрестности содержит некоюрую (к + 1)-мерную цепь, ограниченную эгим подмногообразием (см. раздел 1.2).

Относи!ельно недавно было обнаружено, что на двумерных комплексных многообразиях подобные эффекты возникают и для вещественных подмногообразий, размерность которых равна комплексной размерности объемлющего комплексного многообразия, т.е. для вещественных поверхностей в комплексных поверхностях. По-видимому, это явление было впервые подробно изучено при решении следующей задачи, поставленной А. Г. Витушкиным в 80-х годах прошлого века.

Гипотеза А. Если гладко вложенная двумерная сфера в комплексной проективной плоскости CP2 представляет ненулевой класс двумерных гомологий, то любая голоморфная в окрестности этой сферы функция постоянна.

Как заметил С. М.Ивашкович, это действихельно задача об аналитическом продолжении — гипотеза утверждает по существу, что всякая голоморфная в окрестности такой сферы функция i оломорфно продолжав 1ся на всю проективную плоскость и, следовательно, постоянна в силу компактности CP2 и принципа максимума.

Справедливость гипотезы А была установлена авюром в рабохе [81]. Доказательство опиралось с одной стороны на общие результаты об аналитическом продолжении, а с другой — на свойства гладких четырехмерных многообразий, установленные в последнее десятилетие с помощью инвариантов Дональдсона и Зайберга-Виттена. В диссертации изложены два варианта этого рассуждения (см. следствие 4.2.1 и теорему 4.3.2).

Методы, использованные при доказательстве гипотезы А, позволяют получить целый ряд утверждений об аналитическом продолжении функций, голоморфных в окрестности вложенных или, более общим образом, погруженных вещественных поверхностей в комплексных поверхностях. Глава 4 посвящена главным образом изложению результатов такого типа в различных геометрических ситуациях. Отметим, в частности, "лемму Чирки-Хартогса" и ее обобщения (см. раздел 4.4), а также аналог ги-погезы А для двумерных сфер, вложенных в С2 (теорема 4.1.1). Кроме того, те же особенности дифференциальной топологии штейновых комплексных поверхностей применяются в разделе 4.5 для доказательства еще одной гипотезы А. Г. Витушкина:

Гипотеза В. Нельзя приклеить аналитический диск снаружи к диф-феоморфной шару строго псевдовыпуклой области в С2.

Здесь стоит отметить, чю хотя гипо!езы А и В возникли в связи с известной "гипотезой о якобиане," их положительное решение никак на статус этой гипотезы не повлияло (подробнее об эюм см. [25] и [123]).

Основным топологическим ингредиентом доказательства гипотез А и В является так называемое "неравенство присоединения1," позволяющее оценить род вещественной поверхности, реализующей заданный классе гомологий на комплексной поверхности. Такие неравенства были первоначально получены на компактных комплексных поверхносхях П. Кронхаймером и Т. Мрувкой [68], Р. Финташелом и Р. Стерном [36] и, в наиболее общем виде, П. Ожватом и 3. Сабо [96] в ходе доказательсхва известной гипотезы Рене Тома (см. пример 3.6.6). П. Лиска и Г. Матич [73] ^то не очень благозвучный перевод английского термина adjunction inequality и авюр [81] перенесли их на штейновы комплексные поверхности при помощи теоремы Э. JI. Стаута [115] об алгебраической аппроксимации многообразий Штейна. В главе 3 изложен подробный вывод весьма общего неравенства присоединения (см. раздел 3.7) и объяснена его связь с проблемой существования штейновых окрестностей вещественных поверхностей в комплексных поверхностях.

Неравенства присоединения для вещественных поверхностей выражают весьма специфические геометрические свойства четырехмерных гладких многообразий. Поэтому не удивительно, что вытекающие из них утверждения об оболочках вещественных подмногообразий половинной размерности как правило не имеют места на комплексных многообразиях комплексной размерности п > 3. С общей точки зрения эю объясняется глубокой теоремой Я. М. Элиашберга [30] (см. раздел 1.2). В главе 5 рас-сма!ривается достаточно конкретная ситуация вложенной n-мерной сферы в Сп при п > 3 и доказывается, что в отличие ог двумерного случая такая сфера можег быть гомологически нетривиальна в своей оболочке голоморфности и даже в своей рационально выпуклой оболочке. Этот результат (теорема 5.3.1) иллюстрирует отличие "очень" многомерного случая от двумерного и дает положительный ответ на вопрос А. К. Циха о существовании гомологически нетривиальных сфер в дополнении к общей алгебраической гиперповерхности в Сп при пф 2. * *

Эта работа была бы невозможна без определяющего влияния академика А. Г. Витушкина (1931-2004). Результаты главы 2 были получены совмес1НО с Р. Г. Шафиковым. Автор признателен также проф. В. К. Бе-лошапке, к.ф.-м.н. А. В.Домрину, д ф.-м.н С. М. Ивашковичу, к ф.-м.н. Н. Г. Кружилину, к.ф.-м.н. С. Ю. Оревкову, проф. А. Г. Сергееву, чл.-корр. Е. М. Чирке, Dr. hab. В. В. Шевчишину и д.ф.-м.н. Н. В. Щербине за многочисленные полезные обсуждения затрагиваемых в диссертации тем.

1 Аналитическое продолжение функций многих комплексных переменных

1. P. Ahern, W. Rudin, Totally real embeddmgs ofS3 in C3, Proc Amer. Math. Soc. 94 (1985), 460-462.

2. S. Akbulut, R Matveyev, A convex decomposition theorem for 4-manifolds, Internat. Math Res Notices (1998), no. 7, 371-381

3. H. Alexander, Holomorphic mappings from the ball and pohjdisc, Math. Ann. 209 (1974), 249-256.

4. A. Andreotti, T. Frankel, The Lefschetz theorem on hyperplane sections, Ann of Math. (2) 69 (1959), 713-717.

5. A. Andreotti, R. Narasirnhan, A topological property of Runge pairs, Ann of Math. (2) 76 (1962), 499-509.

6. В. И. Арнольд, A. H. Варченко, С. M. Гусойн-Заде, Особенности дшрфе-ренцируемых отображений Монодромия и асимптотики интегралов, М : Наука, 1984.7J W. Barth, С. Peters, F Van de Ven, Compact Complex Surfaces, Springer-Vorlag, Berlin, 1984

7. E Bedford, B. Gaveau, Envelopes of holomorphy of certain 2-spheres in <C2, Amer J Math. 105 (1983), 975-1009.

8. E. Bedford, W. Klingenberg, On the envelope of holomorphy of a 2-sphere in C2, J. Am Math Soc. 4 (1991), 623-646

9. В. К. Белошапка, Пример пепродолжаемого голоморфного преобразования аналитической гиперповерхности, Мат. заметки 32 (1982), 121-123.

10. Е. Bishop, Holomorphic completion, analytic continuation, and the interpolation of semi-norms, Ann Math. 78 (1963), 468-500

11. E Bishop, Differentiable manifolds in complex Euclidean space, Duke Math. J. 32 (1965), 1177-1192

12. R Bott, On a theorem of Lefschetz, Michigan Math. J. 6 (1959), 211-216.

13. L Boutet de Monvel, Le noyau de Bergman en dimension 2 (suite), Seminaire E D P., Ecole Polytechnique, 1987-88, expose n° 22.

14. L. Boutet de Monvel, J. Sjostrand, Sur la smgularite des noyaux de Bergman et de Szego, Journees- Equations aux Dorivees Partielles de Rennes (1975), pp. 123-164. Asterisque, No 34-35, Soc. Math. France, Paris, 1976

15. D. Burns, S Shnider, Spherical hypersurfaces in complex manifolds, Invent. Math. 33 (1976), 223-246

16. Н. А. Бурученко, А. К. Цих, О гомологическом приведении циклов в дополнении к алгебраической гиперповерхности, Мат. сб. 186 (1905), 3140

17. S.-Y. Cheng, Open Problems, Conference on Nonlinear Problems in Geometry held in Katata, September 3-8, 1979, p. 2, Tohoku University, Department of Mathematics, Sendai, 1979.

18. S -Y. Cheng, S -T. Yau, On the existence of a complete Kahler metric on non-compact complex manifolds and the regularity of Fefferman's equation, Comm Pure Appl. Math. 33 (1980), 507-544.

19. S. S. Chern, S. Ji, On the Riemann mapping theorem, Ann. of Math. (2) 144 (1996), 421-439.

20. S. S. Chern, J. K. Moser, Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math. 133 (1974), 219-271.

21. E. M. Чирка, Обобщенная лемма Гартогса и нелинейное д-уравнение, Комплексный анализ в современной математике, 19-30, М Фазис, 1998.

22. К. Diederich, Т Ohsawa, Harmonic mappings and disc bundles over compact Kahler manifolds, Publ Res. Inst. Math. Sci 21 (1985), 819-833

23. F. Docquier, H Grauert, Levisches Problem und Rungescher Satz fur Teilgebiete Steinscher Mannigfaltigkeiten, Math. Ann 140 (1960), 94-123.

24. А. В. Домрина, Пример строго псевдовыпуклой гомеоморфной шару области, к которой снаружи подклеивается комплексный диск, Мат заметки 60 (1996), по 6, 919-924.

25. S. К. Donaldson, Polynomial invariants for smooth four-manifolds, Topology 29 (1990), 257-315

26. J Duval, Convexite rationnelle des surfaces lagrangiennes, Invent. Math. 104 (1991), 581-599.

27. J Duval, N Sibony, Polynomial convexity, rational convexity, and currents, Duke Math. J. 79 (1995), 487-513.

28. A. Eastwood, A propos des varietes hyperboliques completes, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 280 (1975), A1071-A1074.

29. Ya. Eliashberg, Topological characterization of Stem manifolds of dimension > 2, Int. J. Math. 1 (1990), 29-46

30. Ya. Eliashberg, Filling by holomorphic discs and its applications, Geometry of low-dimensional manifolds, London Math. Soc. Lect. Notes 151, 45-67, London,1990.

31. В. М Харламов, Я М Элиашберг, О числе комплексных точек вещественной поверхности в комплексной поверхности, Труды Ленинградской международной топологической конференции (23-27 августа 1982 г.), JI.: Наука, 1983

32. L. Evens, The cohomology of groups, Oxford University Press, New York, 1991.

33. E Falbel, A simple proof of the Riemann mapping theorem for domains with spherical boundary, Complex Var. Theory Appl. 48 (2003), 277-282.

34. C. Fefferman, The Bergman kernel and biholomorphic mappings of pseudoconvex domains, Invent. Math. 26 (1974), 1-65.

35. R. Fintushel, R Stern, Immersed spheres in 4-manifolds and the immersed Thorn conjecture, Turk J. Math. 19 (1995), 145-157.

36. J. E. Fornaess, E L0w, Proper holomorphic mappings, Math Scand 58 (1986), 311-322.

37. J E. Fornaess, D Ma, A 2-sphere in C2 that cannot be filled m with analytic discs, Int. Math. Res. Notices 1 (1995), 17-22.

38. F. Forstneric, Complex tangents of real surfaces in complex surfaces, Duke Math. J 67 (1992), 353-376.

39. F. Forstneric, Stem domains m complex surfaces, J. Georn Anal. 13 (2003), 77-94.

40. S. Fu, B. Wong, On strictly pseudoconvex domains with Кahler-Einstein Bergman metrics, Math. Res Lett. 4 (1997), 697-703.

41. R Fujita, Domaines sans point critique mteneur sur I'espace projectif complexe, J. Math. Soc. Japan 15 (1963), 443-473.

42. R. Fujita, Domaines sans point critique interieur sur I'espace produit, J. Math. Kyoto Urnv 4 (1965), 493-514.

43. D. Gay, Symplectic 2-handles and transverse links, Trans. Airier. Math. Soc 354 (2002), 1027-1047

44. W. Goldman, M Kapovich, B. Leeb, Complex hyperbolic manifolds homotopy equivalent to a Riemann surface, Comm. Anal. Georn. 9 (2001), 61-95

45. R. E. Gompf, Handlebody construction of Stein surfaces, Ann. of Math (2) 148 (1998), 619-693.

46. R. E. Gompf, Stem surfaces as open subsets of C2, J. Symplectic Geom. 3 (2005), 565-587.

47. R. E Gompf, A Stipsicz, 4-mamfolds and Kirbxj calculus, Graduate Studies in Mathematics, 20. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

48. I. Graham, Boundary behavior of the Caratheodory and Kobayashi metrics on strongly pseudoconvex domains in Cn with smooth boundary, Trans Amer. Math. Soc 207 (1975), 219-240.

49. R Graham, Scalar boundary invariants and the Bergman kernel, Springer Lecture Notes in Math., vol. 1276, pp. 108-135, Springer, Berlin, 1987.

50. H Grauert, On Levi's problem and the imbedding of real-analytic manifolds, Ann Math. 68 (1958), 460-472; Русский перевод- Математика 4-3 (1960), 29-40

51. H. Grauert, R. Remmert, Konvexitat m der komplexen Analysis Nicht-holomorph-konvexe Holomorphiegebiete und Anwendungen auf die Abbildungstheone, Comment. Math. Helv. 31 (1956), 152-183

52. M. Громов, Дифференциальные соотношения с частными производными, М : Мир, 1990.

53. A. Hatcher, Notes on basic 3-manifold topology, Available online from http://www.math.Cornell.edu/~hatcher.

54. C. D. Hill, R Shafikov, Holomorphic correspondences between CR manifolds, Indiana Math. J. 54 (2005), 417-442.

55. L. Hormander, L2 estimates and existence theorems for the д-operator, Acta Math 113 (1965), 89-152

56. JI. Хермандер, Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, М.: Мир, 1968.

57. X Huang, S. Ji, Global holomorphic extension of a local map and a Riemann mapping theorem for algebraic domains, Math. Res. Lett. 5 (1998), 247-260.

58. С. M. Ивашкович, Продолжение локально биголоморфных отображений областей в комплексное проективное пространство, Изв. АН СССР. Сер мат. 47 (1983), 197-206.

59. S. Ivashkovich, The Hartogs-type extension theorem for meromorphic maps into compact Kahler manifolds, Invent Math. 109 (1992), 47-54

60. S. Iva&hkovich, V. Shevchishin, Structure of the moduli space in the neighbourhood of a cusp curve and meromorphic hulls, Invent. Math. 136 (1999), 571-602.

61. С. M. Ивашкович, В. В. Шевчишин, Деформации некомпактных комплексных кривых и оболочки мероморфности сфер, Мат. сб 189 (1998), 23-60.

62. H Kerner, Uber die Fortsetzung holorriorpher Abbildungen, Arch. Math. 11 (1960), 44-49

63. H. Kerner, Uberlagerungen und Holomorphiehullen, Math Ann 144 (1961), 126-134.

64. P. Kiernan, Extensions of holomorphic maps, Trans. Amer. Math. Soc. 172 (1972), 347-355.

65. P F. Klembeck, Kahler metrics of negative curvature, the Bergmann metric near the boundary, and the Kobayashi metric on smooth bounded strictly pseudoconvex sets, Indiana Univ. Math. J. 27 (1978), 275-282.

66. M. Klnriek, Plunpotential theory, Clarendon Press, Oxford, 1991.

67. P. В Kronheimer, T. Mrowka, The genus of embedded surfaces m the projective plane, Math. Res. Lett 1 (1994), 797-808.

68. H. Г. Кружилин, Двумерные сферы в границах строго псевдовыпуклых областей в С2, Изв. АН СССР. Сер мат 55 (1991), 1194-1237.

69. Н. F Lai, Characteristic classes of real manifolds immersed in complex manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 172 (1972), 1-33

70. J. Alexander Lees, The surgery obstruction groups of С. Т. C. Wall, Advances in Math 11 (1973), 113-156

71. A Libgober, Homotopy groups of the complements to singular hypersurfaces II., Ann. of Math. (2) 139 (1994), 117-144

72. P Lisca, G. Matic, Tight contact structures and Seiberg-Witten invariants, Invent. Math. 129 (1997), 509-525.

73. P. Lisca, G. Matic, Stem 4-manifolds with boundary and contact structures, Topology Appl 88 (1998), 55-66.

74. Q -K Lu, On Kahler manifolds with constant curvature, Acta Math Sinica 16 (1966), 269-281 (Chinese). (English transl. in Chinese Math.-Acta 8 (1966), 283-298.)

75. W. S Massey, Proof of a conjecture of Whitney, Pacific J. Math. 31 (1969), 143-156

76. Y. Mdtsushima, A. Morimoto, Sur certames espaces fibres holomorphes sur une variete de Stem, Bull. Soc Math. France 88 (1960), 137-155.

77. Дж. Милнор, Теория Морса, М.: Мир, 1965.

78. Н. М Мишачев, Я. М. Элиашберг, Введение в h-припцип, М.: Издатель-ciBO МЦНМО, 2004.

79. С. Ю. Немировский, Штейновы области на алгебраических многообразиях, Маг. заметки 60 (1996), 295-298

80. С. Ю. Немировский, Голоморфные функции и вложенные вещественные поверхности, Мат заметки 63 (1998), 599-606.

81. С. Ю. Немировский, Применение топологических методов к задачам продолжения аналитических функций, Дисс. канд. физ.-мат. наук, МГУ, мех-мат ф-т, 1998.

82. С. Ю. Немировский, Вложения двумерной сферы в штейновы поверхности, Докл. Рос Акад Наук Сер. мат. 362 (1998), 442-444.

83. С. Ю. Немировский, Комплексный анализ и дифференциальная топология на комплексных поверхностях, Успехи Мат. Наук 54:4 (1999), 47-74.

84. С. Ю. Немировский, Штейновы области с Леви-плоскими границами па компактных комплексных поверхностях, Мат заметки 66 (1999), 632— 634.

85. S Neinirov&ki, Geometric methods in complex analysis, European Congress of Mathematics, Vol. II (Barcelona, 2000), 55-64, Progr. Math., 202, Birkhauser, Ba&el, 2001.

86. С. Ю. Немировский, Топология дополнений к гиперповерхностям и рационально выпуклые оболочки, Труды Мат. Инст. им Стеклова 235 (2001), 169-180

87. S Nemirovski, Adjunction inequality and coverings of Stem surfaces, Turk. J Math 27 (2003), 161-172

88. С. Ю. Немировский, P. Г. Шафиков, Упиформишция строго псевдовыпуклых областей, I, Изв Рос Акад. Наук Сер. Мат. 69.6 (2005), 115-130.

89. С. Ю. Немировский, Р. Г. Шафиков, Униформимция строго псевдовыпуклых областей, II, Изв Рос Акад. Наук Сер. Мат. 69 6 (2005), 131-138.

90. С Ю Немировский, Р. Г. Шафиков, Гипотезы Чена и Рамаданова, Успехи Мат Наук 61-4 (2006), 193-194.

91. L. Nicolaescu, Notes on Seiberg-Witten theory, Graduate Studies in Mathematics 28. AMS, Providence, RI, 2000.

92. T. Ohsawa, A Stem domain with smooth boundary which has a product structure, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 18 (1982), 1185-1186.

93. T. Ohsawa, On the complement of Levi-flats in Kahler manifolds of dimension > 3, preprint, 2005

94. К. Ока, Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables IX. Domames finis sans point critique intirieur, Jap. J. Math. 23 (1953), 97-155

95. P Ozsvath, Z Szabo, The symplectic Thorn conjecture, Ann. of Math. (2) 151 (2000), 93-124.

96. Ф. Фам, Обобщенные формулы Пикара-Лефшеца и ветвление интегралов, Математика 13:4 (1969), 61-93.

97. С. И Пинчук, О собственных голоморфных отображениях строго псевдовыпуклых областей, Сиб. мат. ж. 15 (1974), 909-917

98. С. И. Пинчук, Об аналитическом продолжении голоморфных отображений, Мат. сб. 98 (1975), 416-435.

99. С. И. Пинчук, О голоморфных отображениях вещественно-аналитических гиперповерхностей, Мат. сб 105 (1978), 574-593

100. С. И. Пинчук, Аналитическое продолжение голоморфных отображений и проблемы голоморфной классификации многомерных областей, Маг. заметки 33 (1983), 301-314.

101. С. И Пинчук, Голоморфные отображения в Сп и проблема голоморфной эквивалентности, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления Т. 9. М., 1986, 127-196.

102. С. И. Пинчук, Ш. И. Цыганов, Гладкость CR-отображений между строго псевдовыпуклыми гиперповерхностями, Изв АН СССР 53 (1989), 1120-1129.

103. Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, М.: ИЛ, 1956.

104. I. P. Ramadanov, A characterization of the balls in <Cn by means of the Bergman kernel, C. R Acad Bulgare Sci. 34 (1981), 927-929.

105. J.-P. Rosay, A counterexample related to Hartogs' phenomenon (a question by E Chirka), Michigan Math J. 45, 1998, 529-535.

106. J -P. Rosay, Sur une caracterisation de la boule parmi les domames de C" par son groupe d'automorphismes, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 29 (1979), ix, 91-97.

107. R. Shafikov, Analytic continuation of germs of holomorphic mappings between real hypersurfaces in Cn, Michigan Math. J. 47 (2000), 133-149.

108. R Shafikov, Analytic continuation of holomorphic correspondences and equivalence of domains in Cn, Invent. Math. 152 (2003), 665-682.

109. H. В. Щербина, Газложение общей границы областей голоморфности на аналитические кривые, Изв АН СССР 46 (1982), 1106-1123.

110. Y.-T. Siu, Every Stem subvanety admits a Stem neighbourhood, Invent. Math. 38 (1976), 89-100

111. Y.-T. Siu, д-regularity for weakly pseudoconvex domains in compact Hermitian symmetric spaces with respect to invariant metrics, Ann of Math. (2) 156 (2002), 595-621

112. K. Stein, Uberlagerungen holomorph-vollstandiger komplexer Raume, Arch. Math. 7 (1956), 354-361.

113. G. Stolzenberg, Polynomially and rationally convex sets, Acta Math 109 (1963), 259-289.

114. E. L. Stout, Algebraic domains in Stem manifolds, Banach Algebras and several complex variables. Proc Conf. New Haven/Conn 1983 Contemp. Math. 32 (1984), 259-266

115. А. Б. Сухов, О граничной регулярности голоморфных отображений, Мат. сб 185 (1994), 131-142.

116. A. Takeuchi, Domaines pseudoconvexes mfinis et la metrique riemanmenne dans un espace projectif J. Math. Soc. Japan 16 (1964), 159-181.

117. A. Takeuchi, Domaines pseudoconvexes sur les varietes Kahleriennes, J. Math Kyoto Univ 6 (1967), 323-357.

118. N. Tanaka, On the pseudo-conformal geometry of hypersurfaces of the space ofn complex variables, J. Math Soc. Japan 14 (1962), 297-429

119. T. Ueda, Pseudoconvex domains over Grassmann manifolds, J. Math. Kyoto Univ 20 (1980), 391-394

120. А. Г. Витушкин, В. В. Ежов, Н. Г Кружилин, Продолжение локальных отображений псевдовыпуклых поверхностей, Докл. АН СССР 270 (1983), 271-274

121. А. Г. Витушкин, Вещественно-аналитические гиперповерхности в комплексных многообразиях, Успехи мат. наук 40 2 (1985), 3-31.

122. А Г. Витушкин, Описание гомологий разветвленной накрывающей над С2, Мат. заметки 64 (1998), по. 6, 839-846.

123. S Webster, On the mapping problem for algebraic real hypersurfaces, Invent. Math 43 (1977), 53-68.

124. B. Wong, Characterization of the unit ball in Cn by its automorjihism group, Invent Math. 41 (1977), 253-257.