Геометрические аспекты пространств обобщенно-дифференцируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ••'■'"ТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УЖ 517.5 + 517.9

Водопьянов Сергей Константинович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОСТРАНСТВ ОБОБЩЕННО-ДИФФЕРЕНЦИРУЕ МЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

Автор сфера т диссертации на соискание ученой степени доктс ра физико-математических наук.

Новосибирск - 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа по аосибирского государственного университета и в отделе геометрии и анализа Института математики Сибирского отделения РА!

Официальные оппоненты:

чл.-корр. РАН, профессор 0. В.Бесов

доктор физ.-мат. наук, профессор В.И.Буренков

доктор физ.-мат. наук, профессор В. Б. Короткое

Ведущая организация: Ленинградское отделение Математического института им: В.А.Стеклоьа РАН

Защита диссертации состоится "_"_„__1992 г.

б_час. на заседании, специализированного совета

Д ОСЕ.23.02 пс защте диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики СО РАН (630090. Новосибирск, Университетский пр., 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН

Автореферат разослан "_"___._1992 г.

Ученый секретарь

Специализированного совета ^

доктор физ.-мат. наук V В.С.Белоносов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Возникшая некогда б математической физике концепция потенциала оказалась плодотворным понятием, стимулирующим развитие теории, ставшей в настоящее время обширной областью исследования. Идеи и методы теории потенциалз применяются в теории уравнений с частными производными, теории 'функций, функциональном анализе, теории вероятностей, задачах теории приближений, гармоническом анализе и других разделах математики. Существенное влияние на развитие этой теории оказала статья Ю.Г.Решетника "О понятии емкости в теории функций с обобщенными производными". В ней впервые были синтезированы идеи классической теории потенциала с идеями работ Н.Ароншайнз и К.Т.Смита о совершенном пополнении пространств функций, А.Р.Кальдеронэ, С.М.Никольского, Ж.-Л.Лионса и П.С.Лизоркина, Н.Ароншайна, К.Т.Смита, Ф.Муллы, П.Шептыц-кого и Д.Адамса о пространствах линейных бесселер-ых потенциалов, Г.Шоке об общей теории емкостей, Ж.Дени и Ж.-Л.Лионса об уточненных функциях класса Бепло Леви, Ж.Дени о емкости в функциональных пространствах, Б.Фугледе о связи между емкостью и экстремальной длиной и др. Работа Ю.Г. Решетника содержит в явном виде элементы ¿р-теории потенциала, основы которой закладываются в последовавшем за ней цикле статей В.Г. Мпзьи и В.П.Хавинэ, Д.Адамса, Н.Мейерса, Л.Хедберга и Т.Воль^. В рамках новой теории был развит язык и найдены подходы к окончательному решению целого ряда трудных задач теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функций "и теории функциональных пространств.

В 1965 году на Первом донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений ¡О.Г.Решетняк сформулировал задачу об

описании всех изоморфизмов однородных пространств Соболева зсД. порожденных квазиконформными отображениями <р евклидова пространства Ип по правилу <р'(и) = и°р. В работе С.К.Водо-"шянова и В.М.Гольдштейнэ пока-'-но, что токовыми являются структурные изоморфизмы пространства и только они. В рам-сах такого подхода к проблеме Решетняка возникает следующая ■-'•дача,- ка«!'!.:- метрические и аналитические свойства имеет

отображение <р, индуцирующее изоморфизм по правилу

<р*(т) /<у. /й; Варьируя функциональное пространство мы каждый раз приходим к новой задаче (см. работы С.К.Водопьянова и В.М.Гольдштейна, где рассмотрены однородные пространства Соболева р>п, и Бео.оьа ь'1~1(/"№л~\')> п> 3; В.М. Гольдштейна и А.С.Романова, где изучен случай пространства Соболева и"^, п-1<р<п; А.С.Романова и И.Г.Маркиной, в которых для пространств Соболева п), приведены различные по методу и возможностям распространения доказательства; В.М.Мазьи и Т.О.Шапошниковой, где к задаче применена теория мультипликаторов).

Более общая задача возникает тогда, когда в предыдущем с. учае требование изоморфизма (р* мы заменим нй условие огра-ыченноети оператора <р*. Б монографиях 0.В.Босове, Б.П.Ильича и С.М.Никольского, а также В.Г.Мазьи и Т.О.Шапошниковой г.риведены некоторые достаточные условия на гомеоморфизм чтобы оператор у", действующий либо в проса ранетках Соболева, либо в пространствах Бесова, был ограниченным.

Задача о продолжении дифференцируемых функций за границу области определения является традиционной для Функциональных пространств. Выделим условно два этапа исследования этой задачи. В начале изучались области, локально шляющиеся графиками функций некоторого класса, задающего гладкость границы, а дифференциальные свойства Функций, продолжаемых за границу такой области, описыьались в терминах все более усложняющихся шкал пространств. Не претендуя на полноту, отметим здесь работы 0.В.Бесова, О.В.Сесоьа и В.П.Ильина. Ю.Д.Бураго и В.Г.Мазьи, В.И.Буренкова; В.[¡.Ильича, Г.А.Калягина, С.Г.Михлина, С.М.Никольского, Ю.К.Солнцева, И.Стейна, М.Р.Хеетекса, К.Т.Смита.

На следующем этапе, начало которому положили работы С. К.Водопьянова, В.М.Гольдштейна, Т.Г.ЛатФуллина и П.В.Джонса, , для функций классов Соболева, определенных на локально равномерных областях, устанавливается возможность продолжить их за границу с сохранением гладкости. Геометрическая структура таких областей имеет значительно более сложную природу по сравнению с рассматриваемыми ранее. Развитие этих идей и распространение результатов о продолжении функций на другие

типы пространств см. в работах С.К.Водопьянова, В.М.Гольд-штейна, Б.Л.Файка, П.А.Шварцмана, М.Крайстз и др.

Близкой к рассматриваемой является задача об описании следов Функциональных пространств на замкнутых подмножествах евклидова пространства. Это направление исследований, берущее начало от классической работы Х.Уитни, включает также важный в приложениях к граничным задачам теории дифференциальных уравнений вопрос о граничных значениях функций из различных классов, поскольку он традиционно рассматривался в областях, из которых можно было продолжать функции. Б работах О.В.Бесова, Ю.А.Брудного и. П.А.Шварцмана, В.Н.Коновалова, Г.А.Мамедова, С.М.Никольского, Л.Н.Слободэцкого, С.В.Успенского и В.Г.Перепелкина, Д.Адамса, Е.Гальярдо, Г.Глезера, А.Йонссона, А.Йонссона и Х.Валлмна, Х.Трибеля и др. были рассмотрены различные типы пространств, разработаны новые методы исследования, и описаны следы функций, принадлежащих различным функциональным шкалам, на замкнутых множествах, имеющих определенную геометрическую однородность.

Выше уже были перечислены работы, в которых задача о граничном поведении дифференцируемых функций исследовалась для достаточно регулярных областей. Однако, как показывают работы С.М.Никольского, Г.Н.Яковлева, В.Г.Мазьи и С.В.Побор-чего, М.Ю.Васильчикэ и др., даже одна особая точка на границе, например, пик, направленный внутрь или наружу области, требует особых рассмотрений и изобретения все более рафинированных методов.

Цель работы состоит в многоплановом развитии идей, ме-тодог? и приложений теории потенциала, а также в изучении связи между геометрией, геометрической теорией Функций и теорией функциональных пространств на примере задач, описанных выше.

Методы исследования. В работе, в основном, применяются методы теории потенциала, гармонического анализа, теории Функциональных пространств, геометрической теории функций, э также оригинальные методы, основанные на синтезе геометрии с перечисленными здесь направлениями анализа.

Научная новизна работы выражается в результатах по теории потенциала, теории Функциональных проетрэкоть и теории

отображ чий, основанных на новых методах исследования и подходах к ряду обсуждаемых ниже задач.

Среди принципиально ноьых для весовой теории результатов и подходов,, подробное описание которых приводится ниже, упомянем соотношения между весовой емкостью и весовой мерой Хаусдорфа; исследование понятия разреженности множеств в весовой теории потенциала, включающее "весовые" аналоги теоремы Шоке, свойства Келлога и исследование иррегулярных в смысле Винера точек в задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений; двухвессвые оценки для интегральных операторов свертки с ядрами общего вида, а также обобщения этих результатов на однородные группы и более общие пространства. С'.'метим, что класс рассматриваемых в теории потенциала на однородных группах ядер включает, в частности, фундаментальные решения однородных дифференциальных операторов, удовлетворяющих некоторым условиям. В монографии Н.С.Ландкофа сформулирована общая проблема построения теории, в которой сохранялись бы основные свойства (линейных) потенциалов. Выделим три новых положения, лежащих ■ лове реализоанной в работе обобщающей концепции: систематическое изложение весовой -теории потенциала для ядер общего вида,- описание геометрии пространства, адекватное геометрии нелинейного потенциала ; развитие теории на пространствах однородного типа без групповой структуры.

Среди новых подходов отметим ещё связанную с Функциональными пространствами простую схему построения теории емкости, в рамках которой аналитические множества измеримы, а также полученную в абстрактной ситуации теорему об эквивалентности свойств уточненное™ и квазинепрерыьности, существенно используемую в главе 3.

Задача Ю.Г.Решетняка исследуется не только для нерассмотренных ранее случагв классов Соболева (1р *п, I > 1), но и для принципиально новых шкал дифференцируемых функций: трехиндексьых пространств Никольского - Бесова и Лизоркина -Трибеля и их анизотропных аналогов. Отметим, что для метрического описания отображений в аниз • ропном случае необходимо п'Мйшпь геометрию евклидова пространства так, чтобы она г, определенном смысле соответствовала геометрии функционал*.-

ного пространства. Полученные зцесь результаты полоны при задании обобщенных дифференцируемых структур на топологических многообразиях. Завершает этот цикл теорема о структурном изоморфизме для пространств функций, гладкость которых не превышает единицу, и абстрактная теорема о геометрических свойствах гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченные операторы пространств.

Кроме этого, без каких-либо априорных предположений решается задача описания гомеоморфизмов </>.•!("—к'1 таких, что оператор >р*:11<пп)-*//.Ск'1), ограничен. При этом

возникает шкала отображений, зависящих от вещестьекн'чго параметра р. При р=- - это гомеоморфизмы, удовлетворяющие условию Липшица, а при р = п - это квазиконформные гомеоморфизмы. Этот результат и метод его доказательства служат основой для описания отображений, порождающих по правилу замены переменной ограниченные операторы в других. пространствах дифференцируемых функций. Кроме того, в классах отображений, ассоциированных с фиксированными пространствами функций, решаются проблемы топологического и геометрического характера, происходящие из теории квазиконформных отображений. Отметим здесь геометрическое определение отображений, эквивалентное .аналитическому, вопросы, связанные со сходимостью отображений, а также задачу о граничном поведении отображений. Подход к последней задаче, основанный на работе автора [1], идейно связан с теорией простых концов Каратеодори, в различных направлениях развитой в работах Г.Л.Суворова и В.А.Зо-рича.

Основное утверждение первого параграфа главы 4 - это теорема о необходимых и достаточных условиях продолжения функций из анизотропного пространства Соболева 1 = (?ги,

Гр = 2, Г ^ г-1^1 +171), за границу плоской односвязной области. Это условие состоит в специальном требовании на геометрию области,- надо, чтобы граница области была жордановой кривой, удовлетворяющей обобщенному условию Альфорса, формулируемому в терминах подходяще подобранной однородной нормы, "поеоб доказательства этого рез>, 1ьтата развивает метод, рзз-V'огянный автором для соответствующей изотропной задачи, 'уть <;г'> состоит в полудни;; оценок гщ&у для кс{л-ы оперэто-

ра продолжения, явно зависящих от геометрии исходной области и дополнительной к ней, откуда получаются необходимые условия, ь ряде случаев совпадающие с достаточными. При доказательств отих оценок существенно используются результаты главы 3.

Цель §2 главы 4 состоит в том, чтобы мотивировать следующую точку зрения на пространства Функций в областях.- с каждым функциональным пространством, заданным на области евклидова пространства, естественно ассоциировать свою внутреннюю метрику области, задаваемую специальный образом. Внутренняя геометрия области, определяя функциональное пространство, отражает суть дела в рассматриваемых задачах, предоставлял удобные средства для их решения. Основным технически:/! средством для реализации этой идеи служит теорема об эквивалентных нормировках, ь которой устанавливается, что простра-ьства Соболева и Никольского при р ■= ~ допускают другую нормировку, эквивалентную общепринятой и характеризуемую явным вхождением в формулу внутренней метрики области1. Распространение этой идеи на пространства с интегральными нормами приводит к новому подходу к пространств .л липшицевых функций в областях.

В последнем параграфе главы 4 выводятся новые изолери-метрические соотношения для областей, удовлетворяющих условию продолжения. Эти соотношения связывают, в частности, ' различные меры в области с мерами в объемлющем пространстве; отметим среди них условие регулярности и набор условий для мер Хаусдорфа различных размерностей. Метод доказательства, предложенный автором для получения условия регулярности, применим также и в других ситуациях. -

В главе 5 изучается граничное поведение функций классов Соболева и Никольского при р=~ и их анизотропных аналогов. Областью определения функций в нашем случае, в отличие от рассматриваемых ранее, является произвольное открытое связное множество ь евллидовом пространстве к", п> 2. Отказ от каких-либо свойств регулярности евклидовой границы области требует введения новых понятий и разработки яныка, на кото ром они формулируются. Установлено, что граничные значения функций из рассматриваемых классов всегда сущестьуют,' если

их "понимать в некотором специальном смысле.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют в основном теоретический характер. Они находят применение в научных исследованиях и используются при чтении специальных курсов, подготовке учебных пособий и монографий.

Апробация. Основные части диссертации докладывались более чем на 20 конференциях, симпозиумах и школах. Сойди них: IX, • X, XI, XII Всесоюзные школы по теории операторов в Функциональных пространствах (1984, Тернополь; 1905, Новосибирск; 1966, Челябинск; 1967, Тамбов), Донецкий коллоквиум по теории квазиконформных отображений (1904). Школа по топологии и теории функций (1984, Кацивели), Международная конференция памяти А.Хагра (1965, Будапешт, Венгрия), 5-я Республиканская конференция по нелинейным уравнениям математической физики (1955. Львов), Всесоюзный семинар молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного анализа" (1985, Ташкент), XX Зимняя воронежская школа (1967, Воронеж), Школа-семинар по комплексному анализу и математической физике (1937. Красноярск), У1И Кубанская школа-коференция по геометрической теории, функций (1937, Краснодар), Всесоюзная конференция по геометрии "в целом" (1937, Новосибирск), 3 Международный симпозиум "Комплексный анализ и приложения" (1983, Герцег Нови, Югославия), Всесоюзная конференция по геометрии и анализу (1989, Новосибирск), Летняя . международная школа "Нелинейный анализ, функциональные пространства и приложения" (1990, Руднице на Эльбе, Чехословакия). Международная конференция по - теории потенциала (1990, Нягойя, Япо-п<ш), Баняховский семестр (1990, 'Варшава, Пол.ша), X Датино-змериканская математическая школа (1991, КордСа, Аргеити-ш).

Основные результаты диссертации в разные годы докладывались на семинарах по геометрии и анализу в Институте математики СО РАН (рук. акад. Ю.Г.Решетняк), . по теории функций лногих переменных в Институте математики РАН (рук. акад. П. 4. Никольский, чл.-корр. 0.В.Бесов и Л .Д. Кудрявцев), по тео-«н 1>у:«".цйЯ в "Институте математики РАН (рук. акад. А.А.Гон-ар), П-.1 теории функций в Ленинградском отделении МИР АН

(рук. проф. В.П.Ильин), кафедры теории функций Московского университета (рук. чл.-корр. П.Л.Ульянов), по теории Функциональных пространств в университете Дружбы народов им.П.Лу-мумбы (рук. проф. В.И.Буренков), по теории функций в Красноярском госуниверситете. (рук. проф. . Л.А.Айзенберг), по теории функций в Волгоградском госуниьерситета (рук. проф. В.М.Мик-•люков).

Публикации. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1-20].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав. Список литературы содержит наименования 263 ра-бо' отечественных и зарубежных авторов. Работа изложена на страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первых двух главах' диссертации, базирующихся на работах автора [б, 9, 11, 13, 15, 17-19], "свиваются идеи и методы теории потенциала и связанные с нею вопросы. Каждое обобщение основывается на некоторой концепции, . представляющей, по-видимому, самостоятельный интерес. Начнем с понятия ёмкости в функциональных пространствах, изложенного во второй главе. Примитивным объектом, на котором основывается определение ёмкости, является понятие насыщенного нормированного конуса [15]. В качестве элементов конуса рассматривается некоторый класс к неотрицательных полунепрерывных снизу функций, определенных на локально компактном пространстве х, обладающий следующими свойствами:

1) если функция / принадлежит К, то для любого вещественного числа t > 0 функция £/ также принадлежит К;

2) для любых функций / и ё из к существует функция такая, что выполняются соотношения f^íg и §*Ь.

(поточечное неравенство). Вместо Н будем в дальнейшем употреблять символ } <Э g,

Нормой в конусе к называется отображение ¡•||:К —[0,~), обладающее свойствами.•

1) 1|/11 =»0 тогда и только тогда, когда / О,

2) IIi/l! =i|i/!| для .любой фу.ииши fsi и числа i -О,

3) !|/©«I! < 1/11 !1 дл-1 любых функций « к.

Конус к называется насыщенным, если для любого компакта есХ существует Функция / к такая, что /{■>)> 0 для всех точек

гее.

Чтобы привести нетривиальный пример конуса, рассмотрим пробную максимальную Функцию

j/n-i „

M Д.г) = sup la!" 1 fr7К у.

« ХеВ ■>

в

•де 0 <7 <n, 1 <p<n/j, а / е /. (Rn) - неотрицательна функ-

Г )

1ия. Полунепрерывные функции из к = jg = м„/.-/* Lp, f > Oj образуют насыщенный конус С/ <£> » по определению есть м {/ + г)), юрма ||ê|K|| в котором равна |/)г.

Приведем ещё пример из п. 2.1.2, охватывающий множест-ю частных случаев. Пусть Е - абстрактная векторная решетка [ нормированное пространство одновременно, причем сбе струк-уры согласованы тек, что для любого элемента /ее верно f+\ < с||/||, где постоянная с не зависит от / ( как обычно '+=г.пхф, f) ). Конус положительных элементов в Е обозначим ерез f:\ Пусть ещё x - локально-компактное пространство, а [СО - пространство вещественных функций со стандартными алгебраическими операциями и порядком между функциями. Мономе-физм fe:E-»M(x) векторных пространств Е и М(х) такой, что ля любого элемента /е е функция W/^HIM неотрицательна полунепрерывна снизу, в векторном пространстве ЯХ) = НЕ) лределяет. норму = ||/|ЕЦ и конус К = { Hf+hf* Е >,

цоьлетворяющий условию мзжорируемости (см. определение ни-е). Предполагаем также, что свойства оператора k обеспечи-вют насыщенность конуса к. Очевидно, что в качес- ъе можно зять любое идеальное, в частности, симметрическое пр г гво. Отметим здесь, что под эту концепцию попадают ь ) пространства линейных потенциалов с плотностями из жже трёхиндексные шкалы пространств Никольского - Ь гооркина - Трибеля и их анизотропные аналоги.

Емкость компактного множества е<=х относительно есть функция

• '£(e)--inf| II/!: /Ы--*1 ДЛЯ ьоех Z'-e J.

Для произвольного множества л с X стандартным образом определяются внутренняя ёмкость

Ш)=эир| tie): ec/î, о - компакт | и внешняя ёмкость

ад): /icUcX, и - с гкрытое множество

В п. 2.1.1 доказывается, что функция множества ОД) есть обобщенная ёмкость в смысле Шоке, поэтому все аналитические множества e-измеримы ( то есть внутренняя и внешняя ёмкости совпадают ).

В связи со вторым из вышеописанных примеров возникает вопрос о соотношении свойств ёмкости относительно конуса к и с.-^йств функций пространства ЯХ), содержащего конус к. Наиб-лее полный ответ на этот вопрос получается в том случае, когда конус К ь нормированном пространстве ЯХ) удовлетворяет условию мажорируемости: для любой функции / * ЯХ) существует функция 7 е к такая, что

|/(х)! с 7(1), 1- 6-х. и I|7|?|] <M|l/mi.

где постоянная м не зависит от выбора функции /е?\ Условие мажорируемости играет ту же роль, какую выполняет свойство монотонности интеграла при построении интеграла Лебега по схеме Даниеля. Поэтому не удивительно, чп> особенности функций пространства У(Х) можно описать на языке соответствующей ёмкости аналогично тому, как для описания особенностей функций класса l применяются понятия теории меры. Первый результат в этом направлении обобщает утверждения из работ Ю.Г. Решетняка, В.Г.Мазьи и В.П.Хавина, Н.Ароншайна и К.Т.Смита, и др.

Теорема 2.1.2/1, Всякая фундаментальная в ЯХ) последовательность функций {fn), fn е ях), n =1,2_____ содержит

подпоследовательность, сходящуюся всюду за исключением множества нулевой внешней ёмкости, причем для произвольного с > 0 еущестьует открытое множество ие такое, что T'iiiJ < t и на множестве Х\и подпоследовательность сходится раъномерио.

Таким образом, эта теорема позволяет реализовать але-

менты пополнения 9 пространства 7- к;« класгч сквивалонтности функций, определенных кютвсюлу на х. ( Термин "г.ьэзив^оду" означж»твыполнение некоторого свойства г-.сплу зя исключением множества, имеющего внешнюю ёмкость нуль.) Кромо того, она мотивирует следующее определение: функция /с" нозыгоется С-уточненно'1, если существует последовательность {/„}, s е н, непрерывных Функций из г(Х) такая, что

1) иг. |/-/J~ii=0;

2) длч любого положительного с мокко указать тское открытое множество и , что t(Ue) < с и / равномерно в х\и при з —

Очевидно, что с-уточненная функция непрерывна вне некоторого открытого множества, внешняя емкость которого может быть сделана сколь угодно малой. Последнее своПстго называется квазинепрершностью и имеет самостоятельное значение. Его можно сформулировать для любой Функции /, определенной кьязивевду на X: функцию /;Х-*В будем называть т-кьтжтре-рывной, если для всякого с>0 можно найти такое открытое множество и <=Х, что ёШс; и сужение Функции / на мно-

жество х\Уг. непрерывно.

Важный для приложений" результат §2.3, дчя пространств бесселевых потенциалов доказанный в работе В.Г.Мазьь и В.П. Хзвина, состоит в том, что при' некоторых условиях на пространство ? свойства с-уточненности и квазинепрерывности для Функций, принадлежащих 3\ совпадают. Это утверждение устанавливается при следующих требованиях на пространство состоящее из функций, определенных на однородной группе G.-

1) пространство У рефлексивно; •

2) подпространство £ П С(0) плотно в г

3) из tiE; У) =0 вытекает IEI =0;

4) значения любой С-уточненноЙ функции /«." квазивсюду совпадает с пределом

lim p~v V /(ykiy. р-. о J

В(х.р)

Пространство с такими свойствами мы называем лебеговыми. Б §2.2 доказано, что таковыми являются основные пространства дифференцируемых функций (предложение 2.2.3/1). .

Основное утверждение §2.2, из которого вытекают многочисленные следствий есть новая

Теорема 2.2.3/2. Пусть 7 - лебегово пространство на однородной группе G. Если функция / е £ квазинепрерывна и для почти веек точек ie£ некоторого измеримого множества Ееg выполняется неравенство fix)>g(i), где ¿.•tUE'—R - полунепрерывная снизу Функция, что для кьазивсох 21 £ верно /(?.)> >g(x). ( Здесь £ - совокупность точек ненулевой плотности множества Е; формально £={.xtG: Пт1В(х,р)П£"1/1В(г,р')] >0>.)

Наиболее детально в первых двух главах исследуется специальный класс функций: пространства потенциалов с плот-№ стями из весовых L -пространств. Весовые функции удовлет--горяют либо л -условию Макенхаупта, р*(1,4, либо слабому /«^-условию. Ядром называется функция к(г,у) = ki\x -у|), где hip) - произвольная неотрицательная невозрастающая полунепрерывная снизу функция Ир), р> 0, удовлетворяющая условиям

1) J ит ldt <

о

2) для весовой функции и, рассматриваемой в контексте, ? kit)1 f i w Ч]сЯ~Ш)) <~ для любого числа р>0 и любой

р Wx.i) j

точки xeRn, где pq — р + q, а р с (1,»).

Пространство потенциалов Щ М) состоит из функций

вида K(-,f) = J K(z,y)/(y)dy, где f f LpM, pe(l,»l. Емкость сар(е; K(Lp(w))) компакта e cß" ь этом случае равна

infjj /(у)Ры(уИу: f»0,-K(',f)>l Hä ej

и попадает под вышеописанную концепцию ёмкости. Мы неизбежно приходим к понятию нелинейного потенциала, выясняя соотношение между решением рассматриваемой экстремальной задачи и двойственной ей, возникающей в положительном конусе пространства, сопряженного К K(Lp(u')) = {/((•,/): f*L{ u0>. В весовом случае нелинейный потенциал имеет вид

8

R

и с ним связаны некоторые ключевые формулы. Это, во-первых, выражение для (/?,р)-энергии борелевской меры р

W ъ>

®к (/и) - \ U р(х)ф(х),

и, во-вторых, альтернативные способы нахождения ёмкости:

capU>;,XÍ£.pM)j ' ^supjUpll/^-^O^j ^: р * М+(е)|,

где символ Mf(e) обозначает множество борелевских мер, сосредоточенных на в, а ||- полную вариацию меры, и

сар|е; XUp(w))J=sup|||jL¿||t: р е М+(е) и Ufcju(xM на supp pj.

Вышеприведенные формулы обобщают известные при и = 1 выражения из линейной (р = 2) (нелинейной (p*2}j теории.

Отправной точкой для дальнейшего развития теории явля-этся неравенство Вольфэ (см. работу Д.Хедберга и Т.Вольфа, "де оно доказано для ядер Рисса). Чтобы его сформулировать, введем ^-потенциал

Vf" р(х) = рг(р)'7~1р(Б(х,р))'7~1[ \ •l>i~4cly}d(-k<p)).

\ усредненную функцию

р

-п п-1

Kip)=p \k(t)t dt.

о

, ' о

Теорема 1.7.2/1. Пусть р - произвольная мера в R^.

1) Если \л"п с а^, то существуют постоянные и сг, не ависящие от ме^ы р., такие, что

W W

г>к >',<с1 MWdp(x) G

ДЛЯ X е г. выполняется

и и>

сМ p(x)<U р(х). к,р K.f

2) Если и1"9 е (w^J и для р > 0 верно fe(p) ~ к(р), то

W ш

G

Важными для дальнейшего являются оценки для емкости

шара, получение которых в общем случае требует существенного развития теории.

Предложение 2.3.4/1. 1) Если вес ы принадлежит а функция к произвольна (или w'^eA^, но kip)~Kip) при р> >0), то существует постоянная А такая, что для любого шара В(х.р)

cap(B(x,p);WLp(w)))<A,jj ЯШ [ I w^dyjdi-E«))} . p Blx,t)

(неравенство верно с Ш) вместо ttit) );

2) если вес и принадлежит Ар, и для р> 0 верно К(р)~-~Wp), то

cap(B(r,p); K(Lp(w)))~{ Jfe(t)9 '[ \ w^cZyjdC-fcW)} ?

р ßlx.t)

Новыми в весовой теории являются соотношения между ем-срстными и метрическими характеристиками множеств, которые обобщают результаты, известные в линейной теории, -как теоремы Фростмана, а в нелинейной установленные в работах В.Г.Ма-зьи и В.П.Хавина, и Н.Мейэрса для ¡дер' Рисса. Метрические характеристики множеств, адекватные весовой теории, уже • неинвариантны относительно сдвига и определяются на языке калибровочных семейств. Таким семейством на множестве £cRr* называется набор hfx.O; [О,-)—[о.-) возрастающих непрерывных функций, Мх.0) = 0 для всех х^Е, равномерно удовлетворяющих условию h(.X,p) ~ Ыу.р) При :reE, р > 0, у с В(г,р) ПЕ. Типичный пример [19] калибровочного семейства дает произведение hip) J wdy, где hip) - подходящая монотонная функция, а вес ы удовлетворяет условию удвоения. Для борелевско-го множества £с8Л определим величину

A^teJ-InfjEJiCx^): UBtij-.y, >;pj,

где 0<р. и нижняя грань берется по всем счетным покрытиям множества Е шарами В(z£,i£) с радиусами t. чр. Предел

lim «ЛЛ(Е) <«• ( функция множества Л 5°°'(£")) есть мера

р-г О

(вместимость) Хаусдорфа относительно калибровочного семейст-

ва Если семейство Mi,-) не зависит от -с, го мы име-

ем обычные меру и вместимость Хаусдорфа.

Теорема 2.-3.4/2. Пусть функция k произвольна Шр) ~ k(p) для р> 0), юс w пршадлекит А (>/*'? « ЫJ удоад творяет усло&ш удвоения), о семейство функций

nfx,p} = [ J па)4-1 [ J ]ri(-«(i))j

. . ■ г-.....

3(*,t)

,1 ~р

( Mi,p)-[ j kuf'1 [ J b>'q jd(-fe(i))j " ]

p 3(i,i)

является калибровочным на борелевеком ыножестье Ее в". Если

А (Е)<~ ( А, (Е) < ~ ), ТО с.чрСЕ; /С(L (w)))=0. % п Р

Теорема 2.3.4/3. Пусть функция произвольно, вес '

v)l~q принадлежит и н-з борелевском множестве £ = Rn задано

калибровочное семейство hii, *). Если для всех точек

<0

ы 1 a'(-KCt)) < М <

о

TO < Л;-;р_1сар(Е;К(^(ы))). В частности, Л^(Е)=0,

если сар(СЕ;/((г. Ы))=0.

Следующий результат представляет весовой всриант теоремы Неваилпнны.

Теорема 2.3.4/4. Пусть Функция kip) произвольна, множество ecf компактно, вес w1_<7 е удовлетворяет условию удвоения, и функция А^Лр) определена для любого р>0 как

nf 2Z ^ wl~4\k(p)~l, где нижняя 'грань берется по всем

k 1 * B{x"k,P) 3 -

юкрытиям компакта шарами радиуса р. Тогда

1 i -р

о

де в не зависит от «>, В частности, сар(<?; K(Lju>))) =0, если i .

1й

Следующая теорема, доказанная В.Г.Мазьёй и В.П.Хаьиным для ядер Рисса, показыьает, что сформулированные выше результаты при I!? — 1 в определенном смысле точны; ь линейной теории (р=-2) она была установлена М.Оцукой.

Рассмотрим убывающую последовательность ® = ] е н, положительных чисел таких, что <Ь . »;1. У * н, стандартным образом определяющую и-мерное канторовское множество Е№.

Теорема 2.3.4/5. Пусть и = 1 и Е(р)~/г(р) для р>О. Тогда следующие условия эквивалентны

ь .

1) сар(£(25); К(1 »>0; 2) гпЛ1~'1) [ к(р)'}~*р"с1{-к(р)Ь-.

Р О

Развитая теория применяется для решения ряда задач, к описанию которых мы сейчас переходим. В рамках нелинейной теории потенциала К.Ханссоном был найден подход к оценке емкостного интеграле, первоначально установленной В./'.Мазьёй. В формулируемой нкже теореме новым является случай нетривиальной весовой функции.

Теорема 1.7.3/1. Пусть функция Ир) произвольна, а весовая функция ы равна 1 (функция Е(р)~Ир) при р> О, а вес ы1-<? е удовлетворяет условию удвоения). Тогда для всех / с Ы) справедлива оценка

Р

^ сар[|х: №,/)>*}: К(г.рМ)]<«р < Б^|/(г)|ри(гИг.

о

Отсюда стандартным образом получаются условия ограниченности <Ар яУ\1рЫ)\р интегрального оператора /—К( •,/).- точная постоянная Ар у допускает оценки

л(еО

сар(е; К{1рЫ)

*Р.Ч*АР.Ч4:2Р.Ч<-РВ)1/Р- 3десЬ ~зир{

ее К". озр(е; КИ/:М))>о\.

Наибольший интерес ь этом рааультате предстаете! случай. когда условия ограниченности можно сформулировать в терминах шаров. Приводом здесь две теоремы, олг-бщ^ки* р-лудь-

тэты Д.Адамса м В.Г.Мазьи..

Используем далее следующие обозначения;

= | Лд-к(П)

Р

и

) t. i J

BU'-.t)

Теорема 1.7.3/3. ¡Пусть 1 < p < q < pp' ~p+p. и p - 6o-релевская мерэ © ¡3". 'Пусть t-ще (функция произвольна, а весовая, функция х> .раенэ 1 (Функция %ip)~kip) пря р--0. а

вес ы fw^J удо&летр-оряот условию удвоения). Тогда следующие условия эквивалентны.-

(О существует постоянная такая, "что для всех z * Rrt и р ■> О

v'q „ -v> г p(ß(i,p)) <с,с(р-) jp.(S(x.p)) *i*-.c(.x;p)

.1

(Ш существует постоянизя -сг такая, что для всех г с: к 1 р > О

i/o 1/р

рШг.р)) ' <^«p(5(:r.tp); л(?.оЫ)) ;

(!«) существует постоянная сг такая, что для любой неотрицательной функции f-xt iw) верно

ри этом наименьшие постоянные с,, сг, с, эквивалентны межу собой.

В случае ы = 1 мы получаем новое условие, легче проверяло© по сравнению с условием работы Р.Керманэ Е.Сойера.

Теорема 1.7.3/4. Пусть £(р>~Мр) для р> 0, а вес "^eiw/ij, pg = p+g, удовлетворяет условию удвоения, м -туклая, а N - дополнительная к ней. Пусть еще функция Ф, ратная для функции ¿—tw'd/f), обладав'; свойствами ¿Vit*1) ываег и стремится к нулю при и

J №)t"dt « сЧ'(р), P

где 4lt) = (íí(rij)'7_1. Тогда точная постоянная ь неравенстве

эквивалентна величине

A =sup|c(i; pf~>íi(Blz,p))N~1a/i¿(Bíx,p))): x*Rn, p>oj.

Комбинируя теорему 1.7.3/3 с результатами работы К'.Хан-ссона. получаем следующий результат о компактности интегрального оператора K:Lp-*l {р.), обобщающий соответствующие утверждения В.Г.Маььи для пространств Соболева. Пусть функция k произвольна и с(0) = 0.

Теорема. Оператор К:1 —LJ.^), 1 <р <q;. определенный по правилу /—Ж*,Л» "Дб f*LpÍR*) и р - Сорелеьская мера в Rn, компактен тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

( í/q l/pt •)

a) Urn sup c(5) : icRn|-0,

r »/<? l/p' i

ö) lim sup jp(B(r,á» c(ó) : x e Rn. B(¿, ó) Rn\ß(0, R)J =0.

В работе [17] большинство из вышеприведенных результатов доказано для потенциалов, определенных на пространствах однородного типа, включающих широкий набор встречающихся в анализе пространств. Отметим, что изложение первых-двух глав относится, в основном, к случаю риссовых ядер на произвольной однородной группе G. Поэтому формулируемые там теоремы -зто частные случаи приведенных здесь результатов.

Еще одно применение относится к фундаментальному понятию теории потенциала - понятию разреженности множества. Систе-¿ . ма?ич$ское исследование этой концепции в рамках весовой ¿.р-теорим позволь - получить аналоги результатов, известных . . в линейной "теории как теорема Шоке и свойство Келлога, и применить их к изучению иррегулярных в смысле Винера точек .. задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений.

Фиксируем функцию feiр), для которой J*lp)~k{p) при

р > 0, и весовую функцию на 11п.

Множество ЕсПп называется (К,р,ъ>)~разр >чм в точке 2 я", если

1) ] Мр) 1с!(-Мр))=~. рд=р+ч,

0 £Чх,р)

1 ^ ^

2) $ ¿(рУ^сар^ВСг,р)ПН; карЫ)]? ^Ж-кСр))

0 В(х,р)

В случае г = |Н], Ыр) = р1~п, р= 2, имг, приведенное определение разреженности согласуется с определением, данным ь заботе Е.Фейбса, Д.Джерисона и С.Кенига.

Предложение 2.4/1. Пусть вес ъ>1~я е Мудовлетворяет /словию удвоения, и в некоторой точке х0 е ип выполняется со-)тношение 1). Пусть еще множество Еси . Если существует ме->а р е м+ такая, что

II)

0} < Шй

гегг\<х0>

о множество Е (К,р,ш)-разреженно в точке х0.

Теорема 2.4/1. Пусть вес ы е Ар и в некоторой точке „ей выполняется условие 1). Множество Б ей (к,р,и)-раз-еженно в точке х0 тогда и т 1ько тогда, когда существует ера р е м+ такая, что выполняется неравенство предложения .4/1. . •

Символом СЕ) "обозначим множество точек гей'1 таких, го множество Е (Х^р.и)-разреженно в точке х.

Следующее утверждение представляет весовой вариант те->емы Шоке.

Теорема 2.4/2. Пусть Пусть Е - произвольное

южество на группе и". Тогда для каждого с> 0 существует крытое множество и такое, что

р(Е}си И сар^ПЕ; <£.

Из теоремы 2.4/2 в качестве следствия получаем весовой риант свойства Келлогя.

Теорема 2.4/3. Пусть ы е А , а Е - произвольное множество на группе Rn. Тогда capfe£ (£)П£; Ш.рЫ)) = 0.

Из теоремы 2.4/3 вытекает

Следствие 2.4/9. Множество иррегулярных в смысле Винера точек в задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений имеет весовую емкость нуль.

Напомним, что Е.Фейбс, Д.Джерисон и С.Кениг полечили* аналог критерия Бинера для вырождающихся эллиптических уравнений вида

Lu — -a .[ao.(r)3tv.(x))=0.

где коэффициенты a.jix) - вещественные, измеримые, симметричные и удовлетворяют неравенствам

В '! % 1\>(х) * a.?v * В! 51 %>Сх)

для всех х и ? в к" и некоторой постоянной S > 1, где весовая Функция w удовлетворяет ¿.-условию М-зкенхаупта. Они определили весовое пространство Соболева н^я.у), где U - область в Rn, и слабое решение и « ш) уравнения Lu= О.

Точка и с ой называется регулярной, если дл« любой непрерывной функция }i на Вй реш жие и --- Fh задачи Дирихле удовлетворяет Игл и (г ) = ЬХу). ^.Фейбс, Д.Джерисон и С.Кениг

x~ytx*Q

установили критерий Винера для этого класса уравнений: точка у t ,%>. регулярна тогда и только тогда, когда

0 г о •

\ ---или \ cap((Rn >Q*HB(u,oi; K(Uvl)—--=

J wteiy.s)) J ' w(fl(y.pj) p

Очевидно, что с иррегулярной точке у с дя множество - разреженно ь указанном эыше смысле. Подробное изложение этих результатов см. в [17]. Перейдем к описанию резу"штатов третьей главы, базирую-щ ихся на работах автора [1, ¡5, 1в]. Рассмотрим нормированные пространства N и ? функщй, определенных на R"1. Мы изучаем отображения tp:Rn—nn, порождающие по правилу замены переменной tp*f- f°tp ограниченны? оператор <р*:Н-*7. В этом случае мы пишем, что ip*TiN—j). Принимая во внимание, что при f = ! (I - тождественное отобр жение) оператор f о.епадг<-т с оператором вложения i: ьы можем интерпротарт i-:- рос-

сматриваемую задачу как задачу о вложении порожденном отображением f. Чтобы ь абстрактной ситуации1 поручить содержательные результаты, мы накладываем на пространства N и ¥ несколько ограничений геометрического характера. Первое из них связано с представлениями однопараметрическ.ой группы преобразований <5t =ехрЫ1пО, t> О, где л - положительная диагональная п*п-м-грица, и группы сдвигов аа. а £ в", где oa(i) = i + a. Точнее, мы говорим, что пространство N инвариантно относительно однопарэметрической группы St (группы сдвигов са), если для любой функции / е и суперпозиция <5*/ = = f°5t принадлежит N, причем полунорма пространства N однородна степени а относительно действия группы 5", то есть

Kl^I-n/l. i>0.

Другие ограничения связаны с поведением ёмкости кольца и ёмкости Тейхмюллера в пространствах N и 7. В п. 3.1.1 приводятся точные определения ёмкостей и ее свойства, шюльзуе-мые в дальнейшем. В теореме 3.1.2/1 найдены геометрические свойства отображений, принадлежащих классу Т(«—Я. Они формулируются в терминах нормы г(-) в ril, однородной относительно группы &t. Проинтерпретируем этот результат на примере основных шкал дифференцируемых Функций.

Пусть, например, в* а(Кп) - анизотропное пространство 5есова, где 1 е (R+)n - вектор .гладкости, матрица А равна

iiagöVy, где (П-1 = ~ОТ*, а в качестве соответствую-

г V1*

цего рис-стояния можно взять гjfz,у) = та х j 17. - у. I : i = 1,

.....4

Следствие 3.1.2/1. Пусть l, a«(Rj) - такие векторы,

1TO выполняются покомпонентные неравенства Ь > s., ¿«1,2,..

,п, а гомеоморфизм —к" принадлежит классу й (r")-»

а

О Т°ГДа В СЛУЧ8е

11 Г - П/р - n/q-О, p,q «-т IJ,..'), ОП,бр.1Ж--т1'- у Об-1здает свойством

шах rJ.v'ii-i.'j/yl)' ¡1!.' r.l'i f.u.y/i.,)) -= « . 'О 1)

где с не зазиепт ни от zt-Rn, ни от р>0;

2) Г - n/p'-^s*- n/q >0, p,g e [!,»], отображение р обладает СВОЙСТВОМ

(x),viy)) < crs(z,yf, (0.2)

где а = (a* -n/q)/G* - п/р) , а с не зависит от выбора точек . г, у * R ;

3) - п/а ^ I" - п/р < 0, о> так Cl/s., <J>1,

.....«

Р>1, отображение if обладает свойством

г3('Р-1(х),|рГуГ1) icrjfr.yf, (0.3)

где а = (Г - п/р)/(з* - n/q), a с не зависит от выбора точек z.y^R ;

Замена в атом утверждении однородных пространств на неоднородные приводит к локализации результатов, т.е. соотношения (0.1)-(0.3) выполняется для всех достаточно близких

Г,уеЦ .

Приведенные результаты мотивируют определение следующих понятий. Гомеоморфизм (непрерывное отображение) р;(нп, r3)~[Rn.r,) будем называть ¿-квазиконформным (с-гельдеровкм с показателем а е £0,1]), если для всех ре (0,г) (z,yeRn, r (r,y)<£) выполняется ^соотношение (0.1) ( (0.2) ). Гомеоморфизм ip : (Rn, г j) (R^, Tj) будг'м называть е-квазии-'ометри-ческим, с к (0,«], если как отображение <р, так и отображение ip~i являются e-гельдеровыми с показателем 1.

В изотропном случае в отличие от анизотропного локализации результатов ке происходит.

Предложение 3.1.2/1. Пусть гомеоморфизм ц>: Rn—Rn принадлежит • классу TiBlD ß -В* б ) mil 0 . )), где р *

g (1,«), ! > 0, 1 «; ßj Тогда в случае

1) 1р = п. > 1 (ip = п, > 1), п>2, отображение ,I<>.'Rn->-Rn ■»-квазиконформно и обратное отображение удовлетворяет условию I rp'\x) - '(~\у) I « M ДЛЯ. всех 7.,ijeRn, i 7 — у i — = i, если при этом 1 < £>, =ог < « ( j.«^«^«;» ), то существует постоянное число « еч'О.П такое; что для всг.-: t-w-k у П" . 1т-у1 <1, •

I? 'Ы-ч/ГЧуИ «М11-уГ;

2) п-1 <1р<п (1р>п), п>2, отображение, ¡р1 (у) ->-

дьдерово с показателем 1.

Замечание 1. Утверждение 2) этого предложения спр^е/;--1во также и для пространств к'^да2).

Сформулированные выше утверждения иллюстрируют доо^-чно широкий спектр геометрических условий на отображения, дуцирующие ограниченные операторы функциональных прост-нств. В более общей форме эти результаты доказываются в .1, содержащем также все необходимые для этого технические едства. 'Основное содержание третьей главы посвящено разви-ю обсуждаемых идей и принципов в следующих направлении*.

теоремы 3.1.2/2 вытекает свойство, согласно которому оп-деленное почти.всюду измеримое отображение («.•и'1— !*", *мду-руищее изоморфизм .пространств Гр>п, совпадает иоч-

всюду с £-квазиизометричоскмм (в' соответствующей метрике) эо'ражением. Распространение этого результата на . случгй *г п требует применения всей развитой в предыдущих параг-£ах теории.Вполне типичный результат содержит

Теорема 3.3.2/1. Пусть р,®е[1,-], 1*0^)" - вектор ;дкости, г - норма, однородная относительно группы растя-тай &1 = 1А, где ,4 =<1ш£и71г). Если определенное почти зду в Г<г' измеримое отображение (р: йп-«•!?" индуцирует изо-зфизм пространства то в случае

1) Гр = п, . существует (г,<?}-квазиконфермное ■Сражение <ра: совпадающее' с отображением <р почти )ду, причем найдутся такие постоянные ае(0,1], 0*1, что 1 всех точек х,уевп, Их, у)<е, выполняются неравенства

0"1г(г,у)1/а <Ог(г,у)а.

ее того, обратный гомеоморфизм также (г ¿О-квдлжонфзр-. В изотропном случзе, кроме этого, для всех точек е и", 1 х — у( верно

2~'1х~у| 'ир{х) - -у1,

3 - некоторая постоянная, не зависящая ог точек ч е н";

2) тех Е Г.1 < ¡> < п/Г, а * (1 -), или 1'р и. 0 1} •*'),

» »

существует ¿-квхзиметричеекое отображение (рс: н*1—к", совпа-г деющее с отображением <р почти всюду.- Б изотропном случае =... =!.п = г = I• I) параметры р и а могут быть такие, что либо 1 <■р1<П, эец.-о, либо р е (пл,«}. & « [1,~].

Г.оказнтсл*-ст&Ь этой теоремы проводится по схеме работы [15] и применимо ко всем основным пространствам дифференцируемых Функций. Абстрактный вариант этого результата составляет содержание теоремы 3.3.2/2. Отметим еще, если все компоненты г. вектора гладкости 1 меньше единицы, то е-квази-изометрнчно-лъ сюброжэнкя не 'только необходима, но и достаточна-для того, чтобы оператор был изоморфизмом анизст-рсгшых пространств Никольского - Бесова В* р,э е [1,-], или .Лизоркмна - Трибеля 1.р , е П,«) (см.теоремы 3.3.1/!-3).

Закапчивает ято направление теорема о структурном изоморфизме, описывающая строение абстрактных изоморфизмов пространств в1р сохраняющих порядок. Это означает, в частности, что гладкость меньше единицы. Понятия, необходимые для формулировки, результатов, взедены в п. 3.3.3. Основной результат - что 7

Теорем?! 3.3.3/2. Пусть £>р - - пространство Никольского - Бесова с компонентами гладкости, меньшими единицы, а К--пространство У состоит из всех измеримых функций /ьЗ таких что существует функция ь» с в' , такая, что !/1 Тогда 'для всякого у-структурного изоморфизма <р: вр з существует такое измеримое отображение <р. что <?"(/)» для любой функции

Применяя далее теорему 3.3.2/1, мы вицим, что. отображение <р обладает, в действительности, метрическими свойствами, зависящими от соотношений между показателями гладкости и суммируемости.

Другие результаты третьей главы посвящены свойствам отображений, индуцирующих ограниченные операторы пространств функций. Отметим, прежде всего, что уже метрические свойства §3.1 в ряде случаев являются не только необходимыми, но и достаточными для того, чтобы индуцированный оператор был ограничен. Хорошо известно, например, что *мвиконф">рмчп&> г-»-м оморфизм преобразует интеграл Дирихле к*ядоинь>

способом, поэтому он индуцирует изоморфизм пространств Аналогичный результат справедлив дли однородных пространств Бессва.

Теорема 3.2.4/1. Гомеоморфизм <р: к"—й" тогда и то.'шко тогда индуцирует изоморфизм пространства Бесова ., >р=п, р>п + 1а2, когда гомеоморфизм </> (Ы ,«0-ква?иконформен в евклидовой метрике.

При переходе к однородным пространствам Соболева 3£рШп), р'п, одних лишь геометрических' условий предложения 3.1.2/1 уже не достаточно для ограниченности оператора ц'. Дополнительные аналитические условия содержит

Георема 3.2.3/5. Гомеоморфизм ^й11—л*, п ->2, принадлежит классу ре [1,->, тогда и только тогда, когда

1) V •= <г1ос-.

2) при р р- п отображение <р липшицево и почти всюду верно ..

~1/р

!||^(х)| |с1е^(х)| [¿Л (0.4)

3) при р >п отображение ф квазиконформно,-

4) при р<п отображение ¡р-1 обладает Л?-сзойстьом Лузина й почти всюду выполняется (0.4). '

При этом норма оператора <р" эквивалентна наименьшей постоянной с из (0.4) и производные суперпозиции вычисляются по классическим формулам.

Имея в виду известную связь • между квазиконформными отображениями и пространством Соболева можно ожидать, что многие свойства квазиконформных отображений переносятся на отображения класса 2р. Б самом деле, приведем нес-

колько результатов подобного рода.

Теорема 3.2.5/1. Пусть р е ц,»), п !. Гомеоморфизм </>: н" принадлежит классу т{У.'р—£р) тогда и только тогда, когда для. любого и ей" выполняется неравенство

с*(уГ'п;)) < ьс'(и),

Ь Р

где постоянная к не зависит от выбора конденсатора ('

Здесь конденсатором в в'1 называется связное огрямпч^н • ное множество и, дополнение к которому состоит из дьуу сен1.;-

пых компонент -- ограниченной г0 и неограниченной а ег емкостью Ср(и) - величина тГЦ/|^|]р, где нижняя грань бе рется по всем ^ункцигм / еПс, равным нули на г0 и единиц

1,2 »V ,

Теорема У.2.1. Пусть -»нп, т е II, -- произвольна

последовательность отображений класса — Iс н, 'р< (1,"), оуодллаяся почти всюду в 1?п к отображению ^>:Кп—Б'1 Предположим. что последовательность норм ||<р*|| операторов р. ограничена. Тогда предельное отображение <р принадлежит клас

су гл/'-»(■/'} и выполняется неравенство ^ 11т[|<р*||.

Р Р ' т—™

Заметим, что ь сформулированном результате о предель ном переходе не требуется, чтобы отображения <рт были гомео

МОрфКЫМИ.

В п..'!.2.С обобщен метод пополнения области ¡¡■¡собствен ными элементами, предложенный автором в [1], применение ко торого позволяет решить задачу о граничном соответствия пр. гомеоморфизмах областей, связанных с функциональны:™ класса ми.

Теорема 3.2.С./1. Пусть ¡р.- о — О - гомеоморфизм, гласс Тогда отображение >р~1-.о' "С продолжается п непрерывности до непрерывного отображения ф.-пмс')—П?Ч'б) (Здесь п7{о) - объединение области 6 с множеством просты: ?-.концов области О. см. п. 3.2.1, снабженное специальной то по.погией).

Метод доказательства теорамы 3.2.3/5 применяется дл. описания отображений, индуцирующих по правилу супер;юзицй! ограниченные операторы пространств Соболева. В большинства случаев голучеиы окончательные или близкие к ним результаты Отметим теорему 3.2.3/1. в которой описаны произвольные ото браненця . класса р * (1,4, теорему 3.2.3/;

(3.2.3/3), где описаны гомеоморфизмы класса ГОл^Ш")-* —!>/рШл)), рь(1,~) (р = 1), и теорему 3.2.3/4, где описан! отображения класса ГО^Ш")—^(к")). В оставшихся утверждениях этого параграфа сформулированы сообщения теорем* 3.2.3'5 на весовые пространства Соболева.

Методы, разработанные в третьей главе, применимы такж! и другим задачам. В четвертой главе, основанной на ¡^чулк-

тэтах автора из работ [2, 3-7, 16], с их помощью исследуются области, 'для которых существует оператор продолжения за Гранину области определения, не улучшающий дифференциальные свойства функций. Основным результатом 1 этой главы является

■Теорема 4.1.3/1. Пусть О - конечносвязная ограниченная область в 11г. Для существования ограниченного оператора продолжения

ек1:11р(в)-'1.1р(Яп), 1*р =2, р> 1,

однородных анизотропных пространств Соболева необходимо и достаточно, чтобы каждая компонента связности границы эв, отличная от точки, являлась г-кривой Альфорса Сг-норма, однородная относительно группы растяжений = ехр(.41иг),'

Соответствующий результат для неоднородных анизотропных пространств Соболева сформулирован в теореме 4.1.3/2.

Определение г-кривой Альфорса. Плоская замкнутая жор-цановая кривая удовлетворяет трехточечному г-услозию Альфор-м, если для любых трех точек х, у и г на этой кривой выпол-1яется условие:

Нх,г)/г(х,у) < М, (0.5)

•де точка г лежит на дуге меньшего диаметра, определяемой сонцевыми точками г и у, а постоянная м не зависит от выбора ■очек, входящих в условие. В случае А = Е в качестве г мы ¡меем евклидову метрику и данное определение совпадает с оп->еделением Альфорса.

Условие теоремы 4.1.3/1 можно сформулировать также и во внутренних" терминах. Говорят, что область Ссй" удовлетво-лет (е,6)—условию, если существуют положительные постоянные = £(б) и 6 = <5(б), такие, что для любых точек х я у * о с (х,у)<б существует непрерывная кривая соединяющая х

у, И Такая, ЧТО ДЛЯ ЛЮбОГО 2'7 выполняются соотношения

г(х,г) + гСя.у) < е-1г(г,у),

(0.6)

г[ъ,дОг) > £1ш"п(г (1 ,х),г(х,у)). предложении 4.1 3/5 утверждается, что для коночнись;: щ,л

ос'части с с 1<г следующие условия эквивалентны:

a) область С с к" удовлетворяет (е.б)-условию;

b) доле мнительная область удовлетворяет. (¿,<5)-условие,-

c) любая ограниченная компонента связности Г£ границы ас, отличная от точки, является г-криьой Альфорсэ, в то время как для неограниченной условие (0.5) выполняется локально, то естэ лишь,для точек х, у границы этой компоненты, удовлетворяющих условию ¿>0.

Из этого утверждения вытекает, в частности, что область из теоремы 4.1.3/1 удовлетворяет (с,~)-услоы1ю. Сравним эту теорему с утверждением для неоднородных пространств Соболева.

Теорема 4.1.3/2. Пусть с - коннчнссвязная область в К2. Для существования ограниченного оператора продолжения

ех< .1/^(0-1^(3"), 1*р =2.

неоднородных анизотропных пространств Соболева необходимо и достаточно, чтобы область о удовлетворяла (¿.¿Ьусловию относительно нормы г, однородной относительно группы растяжений б4 ~ *хр(ЛпП, )>0, А =(Нае<1'7;£}).

Доказательство этих теорем базируется на оценках снизу для нормы оператора продолжения, явным образом зависящих как от геометрии исходной области, так и от геометрии области, дополнительной к ней. Во избежание громоздких формулировок, неизбежных для рассматриваемой в 5 1,2 главы 4 абстрактной ситуации, мы прнведрм здесь лишь следствия для конкретных пространств. Для этого нам потребуется новое понятие. Однородная относительно группы растяжений норма г определяет в облает 6 т. и" относительное расстояние г .(я, у) = 1пг{сиат у: где нижняя грань берётся-по всем кривым 7, а (Лат

у есть г-диамзтр то есть <Изт = зир{г(и,Ь):а,Ь е у}.

Предложение 4.1.1/1. Пусть —¡е>1.-д.,1)(С)-

-*-£™(вд» - оператор продолжения неоднородны-: (лш^'чу^ыя пространств Соболева. е [1,«]. " о г - норма, однородная -относительно группы растяжений о-4 = ехрМ1пО. 1-»С, где'л = '/!.}). Если ' ,

М=Нт зир{г^(х,у)/21 ага(х,у): х,уе<5, г(х,у)р) > л

р'-о

(V =Пш зцр{гг(я,у)/2 аг"(х,у): х,уеО, г ~а(х,у) < 1} > 4),

постоянная а определяется ниже, то для нормы оператора продолжения имеют мес то оценки I* -5

ехЛ >

при п = Р"Ч>

где и - постоянные.

Аналогично сформулированному доказывается предложение 4.1.1/2, в котором вместо пространств Соболева участвуют пространства Бесова. Эти утверждения применимы к областям, имеющим при п =2 (п*2) особенность типа пика (гребня), направленного во внутрь области. Кроме того, сущестьовадае при О < п*-~ оператора продолжения из области б автоматически приводит к эквивалентности её основной и относительной и метрик.

В 52 главы 4 получены соотношения изопериметрического характера, присущие ситуации, возникающей при На

плоскости из них вытекают геометрические условия для дополнительной области.'Здесь мы также ограничимся одним из следствий, необходимых для доказательства вышесформулированных теорем.

Следствие 4.5.2/1. Пусть М=зир г (х,у)/г(х,у), где

с *

верхняя грань берется по всем парам точек ,~,у дополнения с*=я\5, принадлежащим одной компоненте связности. Тогда для нормы оператора продолжения при однов-

ременном выполнении условий а )1*р<2;

или

Ы р > ¿71) при р> 1 или 1.»так!!"1, 1~1) при

о=1;

шеют место оценки снизу |е.\1|?»}1мр яри 1*р<2 и ¡|е>а| =« >7г(1п при 1'р = 2. ' '

(Здесь 2\ И /а - постоянные, точный вид которых приводится в глав? 4).

Таким образом, существование в плоском случае оператора продолжения приводит к эквивалентности в дополнительной области с' её относительной и основной метрик. Для плоских конечносвязчых "областей. при Гр = 2 необходимые условия продолжения двух последних утверждений совпадают с достаточными из работы П.А.Шварцмана, поскольку из предложения 4.1.1/1 вытекает первое из условий ТО.6), а геометрическое заключение следствия 4.1.2/1 эквивалентно второму условию из (0.6).

Другие результаты глявы 4 относятся, в основном, к новым геом! трмчег.ким условиям продолжения дифференцируемых функций, ь ряде случаев совпадающих с достаточными. Следует отметить, однако, что метод получения некоторых из них использует более слабое требование, чем условие продолжения: вложение 'рассматриваемого класса в пространство гёльдероьых функций. Цель главы 4 - показать значение и роль внутренних метрик при исследовании различных шкал пространств. В работах В.Р-.Васильковслого и А.Д.Мышкнса, а также В Н.Коновалова внутренняя метрика области естественно участвует ъ условии продолжения функций из классов Соболева г/ и близких к мим, при этом В.Н.Коновалов доказэл, что в плоских однос-вязных ограниченных областях условие эквивалентности внутренней и евклидовой метрик является необходимым для продолжения функций классов В работах автора [3, 6, 7. 12, 14, 20] установлено, уто связь внутренней метрики области и различных ей модификаций с теорией функциональных пространств проявляется также и для конечных индексов- суммирования, что может говорить только о более глубокой природе этой связи. Отправной точкой последующих рассмотрений является следующий результат. -

Теорема 4.2.1/2. Пусть о - область ь к"'. Ее* и существуют операторы продолжения

ехЦ.-'и^ОЗ) — Ь'Чк"), р > п |.»=1).

или -

1р > Г-< -=! - 1:,

I в области б внутренняя а-метрика с1а 0и.(/) локально экви-•лентна а-метрике а^х.у) ■=> 1т-у1а, при'этом! {ех^Ц > е постоянная К не зависит от области С.

Здесь внутренняя а--метрика ¿а с(х.у), а ^ ;о, 1], в об -

т '

юти С определяется как ,|<х, где нижняя грань

рется по всем кусочно-линейным кривым, составленным из от-зков [х^.х^со, 1=1,...т, хи = х, хт=*у- Очевидно, чтс-|'и а = 1 метрика г1{ 0 совпадает с общепринятой внутренней эрикой в области ¿, определяемой как нижняя грань длин рямляемых кривых, соединяющих в области в точки I и у.

Введем пространство Урй.с^), к =0,1.....

стоящее из определенных на области С функций, имеющих проводные порядка к и конечную норму

зир

И«*1 2 г(г,ч 1ы>1

с*, О -

е а=1-к, £ О^/Су)^1^ + К,-и,у), Оч\Л <

|У+5| в' ■'

к, а а(х,у) = ИА (-(г,у)1/а. Как обычно, два Функииональ-х пространства называются совпадающими, если оператор вло-ния одного пространства в другое является ограниченным эморфизмом.

Теорема 4.2.2/1. Пусть в - произвольная область ь н": 'Да ■

при I е н, а = 1, к =1-1 -пространство Соболева совпи-

зт а пространством УрОг.с^);

при к =0,1..... а=1 -к пространство Никольс-

'о я1(0 совпадает с пространством Ур(г,са).

Непосредственным следствием этой теоремы являются ус-гия продолжения функций из рассматриваемых классов. Смысл IX условий состоит в том. что замена метрики, я к но ьходя-5 в определение пространства 1.ф(7,иа), на эквивалентную, приводит к. ограниченному вложению соответствующих функци-льных пространств, что позволяет затем свести задачу г реме продолжении типа Уигни. Типичным результатом ят-лн;! -

Теорема 4 .'3.0/1. Пусть с - область в Rr'. Для существо-

1 7

гхмнич липецкого оператора продолжения e4tj.-Hp(c;) — Hp(R ) до-'.¡аточно, а прь к= О и необходимо, чтобы внутренняя в области о «-метрика da GU,y) была локально эквивалентна а-метри-ле dnh,y)

В пп.4 2.2--3 доказываются также аналоги двух последних результатов для анизотропных пространств Соболева и Никольского.

Идея геометрического подхода к пространствам гёльдеро-внх Функций,, определенных на некоторой области С применима также и к интегральным метрикам. Соответствующие определения и утверждения приведены е конце п.4.2.3.

В 4.3 исследуются соотношения изопериметричесчого харэктера. возникающие в областях, в которых выполняются не-когорнр теоремы вложения. Сформулируем' типичный результат, х арактррный для случая Ц>> п. Введем для этого новое понятие. Область о в к"' будем называть а-регулярной, если существуют положительные постоянные 6 и с такие, что для лябсго шара в(т,г) с центром в точке tt-c и радиусом г <6 выполнено неравенство j , г) П О ! >t |B(i,f)iu.

Теорема 4.3.1/2. Пусть г, - область в R" и пусть

ext ¿с-). 0, 1 tp<-, -

ограниченный оператор вложения. Тогда область G с.-регулярна,

Из этой теоремы и метода её доказательства вытекают

m

многочисленные следствия, в' частности, условие регулярности для области, за границу которой можно продолжать Функции классов Соболева и Bécota: мера псроооднкя шаря с областью сравнима с мерой шара.

При 1р<п возникаем более сложный наб^р изоперим^три-чесгнх С'отнощечий. Мы приведем зд^сь следс;втт-кчюшие м-* основного ре-.упмагч (теорема 4.3.2/1). .Для' ■чу» м з о^ла-

от|: Г, ,П('>ст:-)]'г.ЧН^ м.!МОП"> рЯДИу'~| j . О .»'• чм:с.!Ы

•">./1 !'•> WHKWif. л:об< m .»мыюй компонент»! .-л. .лпчя.ч vin,

7 га 'Ч>,,")П.:;. с.одг'р'-ч;-"1'!—* т^чку з, а ч-р^' ¡'¡.

Предложение 4.3.2/2. Если существует ограниченней (.;; >тор продолжения

Сер",

отропных пространств Соболева, то для любой точки 1 ь, < р < р0(:с)/2 справедливо неравенство

Я^З^х.р)) > уНехЦ"1^(й,,.^):« .^р.а-.р)},

е нижняя грянь берется по всем ограниченным открышм .ли,, ствам £=>ас(х,р).

Предложение 4.3.4/2. Если при всех ¿=-1,2,.. .п! су ствуют ограниченные операторы продолжения

пропных пространств Соболева, то яля любой точки > * о при р < р0(х)/2 ; грно соотношение

7 зависит от норм операторов е.ч1£.

Развиваемый в главе 5 метод исследования граничного едения дифференцируемых функций идейно базируется на тео-с 4.2.2/1 об эквивалентных нормировках. Действительно, эе вхождение в нормировку внутренней метрики мотивирум зматриьать функцию / е ц'р(£,Са), I е А;-»-!], к -0,1,..., !§ производные на метрическом пространстве :о,1], о. -1-к. Тождественное отображение !'a;•'гV"''('■ ) = г, в силу неравенства |!аМ - «а1х,у), <,

равномерно непрерывно. Отсюда вытекает возможность юлжить отображение ¿(1 до непрерывного отображгнил а—5 пополнения метрического пространства о ь замыкание сти О по евклидовой метрике.

Введем пространство 1л'р(1,£а), и, А? — 0,1..

элементами являются наборы 0 < ч к,1 <г (¡<, к>

состоящие из непрерывных на ¡^функций, для которых ко а норма |/"|ир(г,Й1||, определяемая как.

Е в„р|/- Ы| ♦ зир—---и../,

1,1 ¿„¿т. у) Г'

где верхняя грань берется по всем точкам х.у«& , a-1-k, остатки F. ti.y' определяются разложением

лр, , v /j*>) У-g''Htt(y)f _ , .

/ J 'х)=» 5- f J iy)---+ RA'X, у).

j/+s| <fc sl

Предложение 5.1.1/1. Существует естественная иьометри прострьнстс L.ip(f.,'?a) и l.ip(l,öe): любая функция / е l.ip({,6c<) и eü производные {D-'/}, j| < fe, единственным ос разом продолжаются на Р и являются на 3 элементами класс Lipö.Sj.

Множество аОи =■ Sn\Orx будем называть в дальнейшем с -границей области о. Ограничения здементов класса Lip(l,D на зса естественно рассматривать как. "граничные значения hj следы" функций класса Lip(i,f;a) на а-границе области в. Чт< бы придать точный смысл понятию следа, определим кла-Lipft ,bOt), элементами которого яьляются наборы {f(j' О < |./1 ч k, состоящие мЗ непрерывных на \döa,d^ с;) функци для которых конечна норма ¡¡/|Lip(i,.?srt)ü. определяемая суг мой (0.7) при условии, что верхняя грань берется по всем т< 4 КЗМ а,у *дСо. Оператор следа t,rl:Lip([,6cib-Lipl'.,'3Ga) С! ределяетси как композиция иаометрии из предложения 5.1.1/1 последующего ограничения элементов класса Lip(1,5а) на ■ границу С учетом теоремы 4.2.2/1 мы определяем так!

обрззом оператор следа (или оператор гоаничного поведен! и? пространства Соболева или Никольского в соответствуют пространство Lip(!,36ul. Полученная характеристика граничн. значений является обратимой.

Теорема 5.2.1/1. Пусть о - произвольная область f Существует линейный ограниченный оператор продолжения

exth:Lip(!,-дО^)l.ip(i,iefte.M+l], a ^l-k,

такой, что композиция 1гг с ех1м является. тождественным ок ражекием. ,

Кроме сформулированных здесь результатов р. гл»ве 5 г дробно исследован случай анизотропных проотранстг- Соболева Никольского. Результаты последней главы сформули}»'.*-«« и д<. казаны'в [6, 1С, 14, 20].

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Водопьянов С.К. О граничном соответстепи при ке*зи-л .""срмных отображениях пространственных облаете,'W Си6.run ;урн. - 1975. - Т.16, №3. - C.62Ô-631.

2. Водопьянов С.К. Геометрические свойства областей, девлетворяющих условию продолжения, для пространств доИ^рс-цируемых Функций//Некоторые приложения функционального ана-нза к задачам математической Физики/Тр. семинара ¿»K<a C.J1. эболеьа.-Новосибирск.- Ин-r ¡математики СО АН СССF - 1964. -2. - С. 65-95.

3. Водопьянов С.К. Изолериметрические соотношения и ус->вия продолжения дифференцируемых функций/'/Док л. АН СССР. -IÔ7.- Т.292, №1. - С. 11-15.

4. Водопьянов С.К. Геометрические свойства областей и ,енки для ¡¡ирмы оператора продолжения//Докл. АН СССР. -07,- Т.292, i«=4. - С.791-795.

5. Водопьянов С.К. Геометрические свойства отображений областей. Оценки снизу нормы оператора продолженин/Л-ксле-ьанпя по геометрии и математическому аналмзу/Тр. Ин-та ма-уштики. Т.7. - Новосибирск: Наука, 1967. - С.70 - im.

6. Водопьянов С.К. Внутренние. геометрии и пространства ФХ^ренцируемых функций//Функцион.чльный анализ и математика* Физика.- Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. -У7. - C.10-CÔ.

7. Voclop'yanov S.K. Existence conditions for the exten--iflity of differentiable l'imctiona oounrfj' for the norm

the extinsiun operator Collixjiiia Mathehiatiea aocieta-Janos Bolyai, 49: Proe. /A.Haar memoria] oui iterance, apest, Hungary, Aug. 1905. - Ног Mi-HeHni'U а. о., 19Й7, V.I, II. - P.S57 - 37.3.

">. Водопьянов C.K. Принцип максимума в теории лотенциа-4 теоремы вложения для анизотропных пр;>стран<:тЕ. диф^ерен-/емьк функций/УСиб. маг. жури. - I960 - Т.29, ---33.

9. Ведольянов С.К. Квазиэ'глиптическая / -гег.^ип ногти I.*, и ей при лощения-'/Док л. АЛ crVF. - I960.' - 7."90, Îf4 -

■10. Водопьянов C.K. Эквивалентные нормировки пространств дифференцируемых Функций в областях и их приложения// Докл. АН СССР. - 1988. - Т.300, №4. - С. 777-781.

11, Водопьянов С.К. "еория потенциала на однородных группах//Докл. АН СССР. - 1988. - Т.ЗОЗ, W. - С.11-16.

12 Vcx'op'yanov S.K. Equivalent normalizations of Sobo-lev and Nlkol'skil spaces In domains, boundary values and extension /,' Function Spaces and Applications: Proc./ US-Swedish Seminar. Lund, Sweden. June Í930. -Berlin a.o. : Springer, 1568.-P.397 - 409. - (. Lecture note? in mathematics; 1.3C2 ).

13. Р-одопьянов C.K. Теория потенциала на однородных грунпахЛ'Мзт. Сб. - 1989. - Т.180, №1. - С.57-77.

14. ¡У.'допьлнов с.К. Внутренние геометрии и граничные значения дифференцируемых функций.1.//Сиб. мат.' журн. -1989. - Т.30, №2. - С.29-52.

15. Водопьянов С.К. ¿^-теория потенциала и кызиконфор-ные отображения на однородных группах // Современные проблемы геометрик и анализа / Тр. Ин-та математики. 7.14. - Новосибирск Наука, 1959. - С.45-89.

16. Водопьянов С.К. Отображения однородных групп и вложения Функциональных пространста//Сиб. мат. журн. - 1989. -Т.ЗО, №5. - C.2S - 41.

17. Водопьянов С.К. ¿^-теория потенциала для обобщенны) ядер и ее приложения. Новосибирск, 1990. - 48 с. ЧПрепринт/ АН СССР. Сиб. огд-ьие. Ин-т математики, Ш).

18. Водопьянов С.К. ¿^-теория потенциала для обобщенны? ядер и ее приложения//Мат.заметки. - 1990. - Т.47, №5. -C.l<lP-i4f-.

19. Водопьянов С.К. Весовая L -теория потенциала на однородных группах//Дом. АН СССР,- 1990. - Т.Г.14, №1. - С.37 41.

'¿О.' Vcdop'yanov 5.К. Boundary b^haW^ur of different!' able functions and related topics // N'« .nHii-ar Analysis Function Spaces and Applications. V. 4: Froo./ Sorinj «cíh-^.. ^r.i.idhice n.td Labem. f-neoko^iov^ki- , trw*,.

Tr'^'iFR - TF;~E ' iur Mathen-ati«:, Eatui 'I:5, • '••