Геометрические аспекты пространств обобщенно-дифференцируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

|;7,0 В 3 2

' ' * 1

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ -ч.-ТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Кз правах рукописи УДК 517.5 +517.3

Водопьянов Сергей Константинович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОСТРАНСТВ ОБОБЩЁННО-ДКФФЕРЕНЩФУЕШ>!Х ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктт рз физико-математических наук.

Новосибирск - 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа по ьосибирского государстьенного университета и ь отделе геометрии и анализа Института математики Сибирского отделения РАН

Официальные оппоненты.-

чл.-корр. РАН, профессор 0. Б.Весов

док гор фяз. -мат. наук, профессор В.И.Буренкоь

доктор физ.-мат.наук, профессор В. Б.Короткое

Ведущая организация.- Ленинградское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится " ¿У " О О__1992 г.

в ^ час, на заседании специализироьанного совета Д 002.23.02 пс защите диссертация на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики СО РАН (С30090. Новосибирск» .Университетский пр.. 4).

С диссертацией можно ознакомиться ь библиотеке Института математики СО РАН

Автореферат разослан г' " 0& 1592 г.

Ученый секретарь

Специализированного соаета ^

доктор фкз.-мат. наук В.С.Белоносов

О

Г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Возникшая некогда ь мзтшатичоскоЗ физике концепция потенциала оказалась плодотворным понятием, стимулирующим развитие теория, ставшей в настоят«-« время обширной областью исследования. Идеи и методы теории почлшиапз применяются е. теории уравнений с мастными производными, теории функций, функциональном анализе, теории вероятностей, сдачах теории приближений, гармоническом анализе и других разделах математики. Существенное влияние на развитие этой теории оказала статья Ю.Г.Решеткяка "О понятии емкости б теории функций с обобщенными производными". В ней впервые были синтезированы идеи классической теории потенциала с идеями работ И.Ароншайна и К.Т.Смита о совершенном пополнении пространств Функций, А.РХальдероиа, С.М.Никольского, Ж.-Л.Лпонса и П.С.Лизоркина, Н.Ароншайна, К.Т.Смита, Ф.Мулли, П.Шептыц-кого и Д.Адаме» о пространствах линейных бессолевых потенциалов, Г.Шоке об общей теории емкостей, Ж.Дени и Ж -Л.Лмонса об уточненных функциях класса Беппо Лот, Ж.Дени о емкости в функциональных пространствах, Б.Фугледе о связи между емкостью и экстремальной длиной и др. Работа Ю.Г. Решетника содержит в явном виде элементы 1 -теории потенциала, основы которой закладываются в последовавшем за ней цикле статей В.Г. Мазьи ч В.П.Хавина, Д.Адамса, Н.Мейерса. Л.Хедберга и Т.Во-ль'1>а. В рамках новой теории был развит язык и найдены подходы к окончательному решению целого ряда трудных задач теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функций и теории функциональных пространств.

В 1965 году на Первом донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений ¡О.Г.Решетняк сформулировал задачу об

описании всех изоморфизмов у/ однородных пространств Соболева г*. порожденных квазиконформными отображениями <р евклидо-ъз пространства Кп по правилу <р'(ч) В работе С.К.Водо-

чьянова и В.М.Гольдшт^йнз пока-'чю, что таковыми являются структурные изоморфизмы пространства х1п и только они. В рампах такого подхода к проблеме Рошетняка возникает следующая •адача; г!''■': метр .г-'^с!' №■ и аналитические свойства имеет

отображение <р, индуцирующее изоморфизм ¡р": по правилу

<р"(Л = /Варьируя функциональное пространство х^, мы каждый раз приходим к новой задаче (см. работы С.К.Водопьянова и В.М.Гольдштейна, где рассмотрены однородные пространства Соболева Хр, р>п, и Бесоьа п> 3; В.М. Гольдштейна и А.С.Романова, где изучен случай пространства Соболева ,. п-1 < р < п; А.С.Романова и И.Г.Маркиной, в которых для пространств Соболева у/1, />*(!, г»), приведены различные по методу и возможностям распространения доказательства; В.М.Мазьи и Т.О.Шапошниковой, где к задаче применена теория мультипликаторов).

Более общая задача возникает тогда, когда ь предыдущем с.'учае требование изоморфизма ¡р" мы заменим на условие ограниченности оператора <рг. Б монографиях 0.В.Бесова, В.П.Ильича и С.Ы.Никольского, а также В.ГлЛазьн и Т.О.Шапошниковой г.ривэдены некоторые достаточные условия на гомеоморфизм <р. ■4тобы оператор ¡р*, действующий либо в пространствах Соболева, либо ь пространствах Бесова, был ограниченным.

Задача о продолжении дифференцируемых Функций за границу области определения является традиционной для функциональных пространств. Выделим условно два этапа исследования этой задачи. В начале изучались области, локально являющиеся графиками функций некоторого класса, задающего гладкость границы, а дифференциальные свойства функций, продолжаемых за границу такой области, описывались в терминах все более усложняющихся шкал пространств.. Не претендуя на полноту, отметим здесь работы О.В.Бесовэ, 0.В.Бесова и В.П.Ильина, Ю.Д.Бураго и В.Г.Мазьи, В.И.Буренкова, В.II.Ильина, Г.А.Калягина, С.Г.Михлина, С. М. Никольского, (0.К.Солнцева, И.Стейна, М.Р.Хестенса. К.Т.Смита. -

На следующем этапе, начало которому положили работы С. К.Водопьянова, В.М.Гольдштейна, Т.Г.Латфуллина и П.В.Джонса, для функций классов Соболева, определенных на локально равномерных областях, устанавливается возможность продолжить их за границу с сохранением гладкости. Геометрическая структура таких областей имеет значительно более сложную природу по сравнению с рассматриваемыми ранее. Развитие этих, идей и распространение результатов о. продолженим Функций на другие

типы пространств см. в работах С.К.Водопьянова, В.М.Гольд-штейна, Б.Л.Фяйна, П.А.Шварцманэ, М.Крайста и др.

Близкой к рассматриваемой1 является задача об описании следов функциональных пространств на замкнутых подмножествах евклидова пространства. Это направление исследования, беру-цее начало от классической работы Х.Уитни, включает также важный в приложениях к грэничным задачам теории дифференциальных уравнений вопрос о граничньх значениях функций из различных классов, поскольку он традиционно рассматривался в областях, из которых можно было продолжать функции. В работах О.В.Бесова, Ю.А.Брудного и П.А.Шварцмана, В.Н.Коновалова, Г.А.Мамедова, С. М. Никольского, Л.Н.Слободецкого, С.В.Успенского и В.Г.Перепежина, Д.Адамса, Е.Гальярдо, Г.Глезера, А.Йонссонэ, А.Йонссона и Х.Валлина, Х.Трибеля и др.' были, рассмотрены различные типы пространств, разработаны новые методы исследования, и описаны следы функций, принадлежащих различным функциональным шкалам, на замкнутых множествах, имеющих определенную геометрическую однородность.

Выше уке были перечислены работы, в которых задача о граничном поведении дифференцируемых -функций исследовалась для достаточно регулярных областей. Однако, как показывают работы С.М.Никольского, Г.Н.Яковлева, В.Г.Мазъи и С.В.Побор-чего, М.Ю.Васидьчикэ и др.. даже одна особая точка на границе, например, пик, направленный внутрь или наружу области, требует особых рассмотрений и изобретения все более рафинированных методов.

Цель работы состоит в многоплановом развитии идей, методов и приложений теории потенциала, а также в изучении связи между геометрией, геометрической теорией функций и теорией функциональных пространств на примере задач, описанных выше.

Методы исследования. В работе, в основном, применяются методы теории потенциала, гармонического анализа, теории функциональных пространств, геометрической теории функций, з также оригинальные методы, основанные на синтезе геометрии с перечисленными здесь направлениями анализа.

Научная новизна работы выражается в результатах по теории потенциала, теории функциональных простраьоть и теории

отойраж'.ний, основанных на новых методах исследования и подходах к ряду обсуждаемых ниже задач.

Среди принципиально ноьых для весовой теории результатов и подходов, подробное,описание которых приводится ниже, упомянем соотношения между весовой емкостью и весовой мерой Хаусдорфа; исследование понятая разреженности множеств ь весовой теории потенциала, включающее "весовые" аналоги теоремы Шоке, свойства Келлога и исследование иррегулярных в смысле Винера точек в задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений; двухвесовые оценки для интегральных операторов свертки с ядрами общего вида, а' также обобщения этих результатов на однородные группы и более общие пространства. С :метим, что класс рассматриваемых ь теории потенциала на однородных группах ядер включает, в частности, фундаментальные решения однородных дифференциальных операторов, удовлетворяющих некоторым условиям. Б монографии Н.С.Ландкофа сформулирована общая проблема построения теории, ь которой-сохранялись бы основные свойства (линейных) потенциалов. Выделим три новых положения, лежащих • ,нове реализоанной в работе обобщающей концепции.- систематическое изложение весовой ¿. -теории потенциала для ядер общего вида; описание геометрии пространства, адекватное геометрии нелинейного потенциала,- развитие теории на пространствах однородного типа без групповой структуры.

Среди новых подходов отметим ещё связанную с Функциональными пространствами простую схему построения теории емкости, в рамках которой аналитические множества измеримы, а также полученную ь абстрактной ситуации теорему об эквивалентности свойств уточненное™ и квазинепрерывности, существенно используемую ъ главе 3.

Задача Ю.Г.Решетняка .исследуется не только для нерассмотренных ранее случаев классов Соболева (1р*п, I > 1), но и для принципиально новых шкал дифференцируемых функций: трехиндекеных пространств Никольского - Бесова и Лизоркина -Трибеля и их анизотропных аналогов. Отметим, что для метрического описания отображений в аниз • .юпном случае необходимо и'.ментъ геометрию евклидова пространства так, чтобы она ъ определенном смысле соответствовала геометрии Функционал*. -

¡Того пространства. Полученные зцесь результаты полезны при задании обобщенных дифференцируемых структур на топологических многообразиях. Запертзет этот цикл теорема о структурном изоморфизме для пространств функций, гладкость которых не превышает единицу, и абстрактная теорем« о геометрических свойствах гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченные операторы пространств.

Кроме этого, без каких-либо априорных предположений решается задача описания гомеоморфизмов >р:к"— Р.'1 таьих, что оператор р«[1,-!, ограничен. При этом

возникает шкала отображений, зависящих от вещественного параметра р. При р = ~ - это гомеоморфизмы, удовлетворяющие условию Липшица, а при р = п - это квазиконформные гомеоморфизмы. Этот результат и метод его доказательства служат основой для описания отображений, порождающих по правдлу замены переменной ограниченные операторы ь других. пространств™ дифференцируемых функций. Кроме того, в классах отображений, ассоциированных с фиксированными пространствами функций, решаются проблемы топологического и геометрического характера, происходящие из теории квазиконформных отображений. Отметим здесь геометрическое определение отображений, эквивалентное аналитическому, вопросы, связанные со сходимостью отображений, а также задачу о граничном поведении отображений. Подход к последней задаче, основанный на работе автора [1], идейно связан с теорией простых концов Каратеодори, в различных направлениях развитой в работах Г.Л.Суворова и В.А.Зо-рича.

Основное утверждение первого параграфа главы 4 - это теорема о необходимых и достаточных условиях продолжения функций из анизотропного пространства Соболева I/*, 1 = (',,г:),

1"р-2, I" -2-1(1~1 + 171), за границу плоской односвязкой области. Это условие состоит в специальном требовании на геометрию области; надо, чтобы граница области была жордановой кривой, удовлетворяющей обобщенному условию Алъфорса, формулируемому в терминах подходяще подобранной однородной нормы. Способ доказательства этого рез;, 1ьтата развивает метод, рзз-рабогянный автором для соответствующей изотропной задачи. Суть его состоит в получении оиенок снизу для оперйто-

ра продолжения, явно зависящих от геометрии исходной области-и дополнительной к ней, откуда получаются необходимые условия, ь ряде случаев совпадающие с достаточными. При доказательстве этих оценок существенно используются результаты главы 3.

Цель §2- главы 4 состоит в том, чтобы мотивировать следующую точку зрения на пространства функций в областях.- с каждым функциональным пространством, заданным на области ев-клидсва пространства, естественно ассоциировать слою внутреннюю метрику области, задаваемую специальный образом. Внутренняя геометрия области, определяя функциональное пространство, отражает суть дела в рассматриваемых задачах, предоставлял удобные средства для их решения. Оснозным технически:.! средством для реализации этой идеи служит теорема об эквивалентных нормировках, в которой устанавливается, что простра-ьства Соболева и Никольского при р = ~ допускают другую нормировку, эквивалентную общепринятой и характеризуемую явным вхождением в формулу внутренней метрики области. Распространение этой идеи на пространства с интегральными нормами приводит к новому подходу к. пространств .л липшицевых Функций в областях.

В последнем параграфе главы 4 выводятся новые изодери-метрические соотношения для областей, удовлетворяющих условию продолжения. Эти соотношения связывают, в частности, различные меры в области с мерами в объемлющем пространстве; отметим среди них условие регулярности и набор условий для мер Хаусдорфа различных размерностей. Метод доказательства, предложенный автором для получения услое.ия регулярности, применим также и в других ситуациях. .

В главе 5 изучается граничное поведение функций классов Соболева" и Никольского при р=~ и их анизотропных аналогов. Областью определения функций в нашем случае, в отличие от рассматриваемых ранее, является произвольное открытое связное множество в евклидовом пространстве !?п, п> 2. Отказ от каких-либо свойств регулярности евклидовой границы области требует введения новых понятий и разработки я:'.ыка, на кото ром они формулируются. Установлено, что граничные значения функций из рассматриваемых классов всегда существуют, если

их понимать в некотором специальном смысле.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют в основном теоретический характер. Они находят применение в научных исследованиях и используются при чтении специальных курсов, подготовке учебных пособий и монографий.

Апробация. Основные части диссертации докладывались более чем на 20 конференциях, симпозиумах и школах. Соеди них: IX, X, XI, XII Всесоюзные школы по теории операторов в функциональных пространствах (1934, Тернополь; 1965, Новосибирск,- 1936, Челябинск; 1967, Тамбов), Донецкий коллоквиум по теории квазиконформных отображений (1964), Школа по топологии и теории функций (1554, Кацивели), Международная конференция памяти А.Хаара (1985, Будапешт, Венгрия), 5-я Республиканская конференция по нелинейным уравнениям математической физики (1965. Львов), Всесоюзный семинар молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного анализа" (1905, Ташкент), XX Зимняя воронежская шкода (1987, Воронеж), Школа-семинар по комплексному анализу и математической физике (1937, Красноярск), УШ Кубанская школа-коференция по геометрической теории функций (1937, Краснодар). Всесоюзная конференция по геометрии "в целом" (1957, Новосибирск), 3 Меж- • дународный симпозиум "Комплексный анализ и приложения" (1953, Герцег Нови, Югославия), Всесоюзная конференция по геометрии и анализу (1989, Новосибирск), Летняя международная школа "Нелинейный анализ, функциональные пространства и приложения" (1990, Руднице на Эльбе, Чехословакия). Международная конференция по теории потенциала (1990, Нагойя, Япония), Банаховский семестр (19Э0, 'Варшава, Пол..ша), X Латиноамериканская математическая школа (1991, КордС •>, Аргентина),

Основные результаты диссертации в разные годы докладывались нз семинарах по геометрии и анализу в Институте математики СО РАН (рук. акад. Ю.Г.Решетняк), . по теории функций многих переменных в Институте математики РАН (рук. акад. п. •I.Никольский, чл.-корр. 0.В.Бесов и Л.Д.Кудрявцев), по тео-»й: в Кногитуте математики РАН (рук. акад. д.А.Гон-

«)<), П"> теории Функций в Ленинградском отделении ЩРАН

(рук. проф." В.П.Ильин), кафедры теории функций • Московского университета (рук. чл.-корр. П.Л.Ульянов), по теории функциональных пространств в университете" Дружбы пародов им.П.Лу-мумбы (рук.. проф. В.И.Буренков), по теории Функций в Красноярском госуниверситете. (рук. проф. Л.А.Айзенберг), гю теории функций в Волгоградском госуниверситета (рук. проф. В.М.Мик-люкоб). . 4

Публикации. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1-20].

Структура диссертации.' Диссертация состоит из введения и пяти глав. Список литературы содержит наименования 263 ра-бо отечественных и зарубежных ■ авторов. Работа изложена на страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первых двух главах- диссертации, базирующихся на работах автора [й, 9, 11, 13, 15, 17-19], "взвиваются идеи и методы теории потенциала и связанные с нею вопросы. Каждое обобщение основывается на некоторой концепции, . представляющей, по-видимому, самостоятельный интерес. Начнем с понятия ёмкости в функциональных пространствах, изложенного во второй главе. Примитивным объектом, на котором основывается определение ёмкости, является понятие насыщенного . нормированного конуса [15]. В качестве элементов конуса рассматривается некоторый класс к неотрицательных полунепрерывных снизу функций, определенных на локально компактном пространстве х, обладающий следующими свойствами,-

1) если функция / принадлежит к, то для любого вещественного числа £ > 0 функция tf также принадлежит К;

2) для любых функций / и ё из к существует функция И'-К такая, что выполняются соотношения /«£ и £ск (поточечное неравенство), Вместо Ь будем в дальнейшем употреблять символ /©¿,

Нормой в конусе К называется отображение Цфк-ЧО,-), обладающее свойствами:.

¡¡/5=*0 тогда и только тогда, когда /" = 0,

?,) [í/|!=¡'¡¡/¡ для любой фу.[К11ПП ft к и чкслэ 1*0,

3) \f®e\*\}\ + 8s| л>и дкузых Фуикцяп -- к.

Конус к называется насыщенным, <к;ли ^ля я»"5сг<> компакта есХ существует Функция f к токая, что /íy> > о для еоех точек

гее.

Чтобы привести нетривиальный пример конуса, рассмотрим дробную максимальную функцию

у/'"-1,.

ИуД.г) - sup lis! i /SHy,

0 ^ R В ,J

где 0<7<п, t < p <n/j, a /''p-- неотрицательная функ-' ция. Полунепрерывные функции из К -»Mv/:/ « /" > oj образуют насыщенный конус [¡Фа по определению есть М </ • £)). норма в котором равна \f\L

Приведем ещё пример из п. 2.1.2, охвотымкициЯ множество частных случаев. Пусть е - 8^от|"лктн:>я в*кторгля реитка и нормирование пространство одновременно, причём сбе структуры согласованы так, что для любого элемента f * Е верно lbf+!l где постоянная с не зависит от / í как обычно

/+=г,1дхЮ, /) ). Конус положительных элементов в Е обозначим через Е+. Пусть ещё X - локально-компактное пространство, а Mix) - пространство вещественных Функций со стандартными алгебраическими операциями и порядком между функциями. Мономорфизм fe:Е-»м(X) векторных пространств Е и м(х) такой, что для любого элемента f * Е функция k(f+) е м(х) неотрицательна и полунепрерывна снизу, в векторном пространстве F(X) = fc(E) определяет корму j!W/)|?1i = ¡|/|Ej| и конус fc(/+k/ее >,

удовлетворяющий условию манорируемоста (см. определение ни-«е). Предполагаем также, что свойства оператора k обеспечивают насыщенность конуса к. Очевидно, что в качес ъе можЮ таять любое идеальное, в частности, симметрическое пр г :тьо. Отметим здесь, что под эту концепцию попадают ь vO пространства линейных потенциалов с плотностями из :акжэ трёхиндексные шкалы пространств Никольского - ь 1изоркина - Тркбеля и их анизотропные аналоги.

Емкость компактного множества в <= х относительно ; есть Функция

■ í(tí) = ¡ut'l II/II: f(l)> 1 ДЛЯ ьоех ree j.

Для произвольного множества л сх стандартным образом определяются внутренняя ёмкость

C(/l)=sup| Cíe): ес/1, е - компакт | и внешняя ёмкость

C(i4)=inf| t(U): ^c(jcx, и - открытое множество

В п. 2.1.1 доказывается, что функция множества Ш) есть обобщенная ёмкость в смысле Шоке, поэтому все аналитические множества е-измеримы ( то есть внутренняя и внешняя ёмкости совпадают ).

В связи со вторым из вышеописанных примеров возникает вопрос о соотношении свойств ёмкости относительно.конуса к и сз)йств функций пространства содержащего конус к. Наи-

более полный ответ на этот вопрос получается в том случае, когда конус к в нормированном пространстве У(х) удовлетворяет условию мажорируемости: для любой функции /1 í(x) существует функция J е К такая, что

l/(x)l хех, и ||7|у|| <мц/|*1.

где постоянная м не зависит от выбора функции / е у. условие мажорируемое™ играет ту же роль, какую выполняет свойство монотонности интеграла при построении интеграла Лебега по схеме Даниеля. Поэтому не удивительно, что особенности функций пространства можно описать на языке соответствующей ёмкости аналогично тому, как для описания особенностей функций класса l применяются понятия теории меры. Первый результат в этом направлении обобщает утверждения из работ Ю.Г. Решетняка, В.Г.Мазьи и Б.П.Хавина, Н.Ароншайна и К.Т.Смита, и др.

Теорема 2.1.2/1, Всякая фундаментальная в ЯХ) последовательность функций {fj, fn е F(x), n =1,2..... содержит

подпоследовательность, сходящуюся всюду за исключением множества нулевой внешней ёмкости, причем для произвольного ¿>0 существует открытое множество ие такое, что ?.(v)<£ и на множестве x\U£ подпоследовательность сходится равномерно.

Таким образом, эта теорема позволяет реализовать ьле-

менты пополнения ¥ пространства ? как классам эквивалентности функций, определенных квазивсюду .на X. ( Термин "квазивсюду" означаетвыполнение некоторого свойства всюду за исключением множества, имеющего внешнюю ёмкость нуль.) Кроме того, она мотивирует следующее определение: функция / е $ называется с-уточненной, если существует последовательность {fs), sen, непрерывных Функций из ЖХ) такая, что

« Hrr, ||/-/JJi|=0;

2) для любого положительного с можно указать такое открытое множество ис, что t(Uc)<c и /,-*■/ равномерно в х\ие при s-*-.

Очевидно, что с-уточненная функция непрерывна вне некоторого открытого множества, внешняя ёмкость которого может быть сделана сколь угодно малой. Последнее свойство называется квазинепрерывностью и имеет самостоятельное значение. Его можно сформулировать для любой функции /, определенной квазивсюду на X: функцию /.-х-• R будем называть ?"-квазикепре-рывной, если для всякого £>0 можно найти такое открытое множество и, сх, что 7)<с и сужение функции / на множество X\U£ непрерывно.

Важный для приложений " результат §2.2, дня пространств бесселевых потенциалов доказанный в работе В.Г.Мазьь и В.П. Хавина, состоит в том, что при некоторых условиях на пространство ? свойства c-уточненности и квазинепрерывности для функций, принадлежащих 9*. совпадают. Это утверждение устанавливается при следующих требованиях на пространство состоящее из функций, определенных на однородной группе G:

Í) пространство ? рефлексивно; '

2) подпространство 9T)C(G) плотно в

3) из 'CÍE; Я=0 вытекает IEI =0;

4) значения любой С-уточненной функции квазивсюду совпадает с пределом

1 i m p~v í fly~)dy. p-o J

B(x,p)

Пространство с такими свойствами мы называем лебеговыми. Б §2.2 доказано, что таковыми являются основные пространства дифференцируемых функций (предложение 2.2.3/1).

Основное утверждение §2.2, из которого вытекают многочисленные следствия есть новая

Теорема 2.2.3/2. Пусть ? - лебегово пространство на однородной группе G. Если функция / «У кьазинепрерыьна и для почти всех точек х е£ некоторого измеримого множества fcG выполняется неравенство fix)*g{t), где ¿;cU£—R - полунепрерывная снизу функция, что для квазивсех х^Е верно fix) > >¿(1). ( Здесь Р - совокупность точек ненулевой плотности

множества Е; формально E={itG: Uml5(г,р)Г1£1/1В(г,р)1 >0).)

р-о -

Наиболее детально в первых двух главах исследуется специальный класс функций: пространства потенциалов с плот-H' стями из весовых L -пространств. Весовые функции удовлет-f-оряют. либо Лр-условию Макенхаулта, ре тбо слабому /I„-условию. Ядро,м называется функция Kix,y) = fe(li -yl), где /;(р) - произвольная неотрицательная невозрастающая полунепрерывная снизу функция к(р), р> 0, удовлетворяющая условиям

1) J kit)? 1dt <

2) для весовой функции и, рассматриваемой в контексте,

\ Ш\ [ "^гК-ИО) <" для любого числа р>0 и любой Р в(*,о

точки 1ее", где рд^р+д, а ре(1,").

Пространство потенциалов ки.рШ) еоглолт из функций

вида К(-,/) = ^ к(х,у)/(уИу, где /«ум), ре(1,~1. Емкость

сар(е; компакта <? в этом случае равна

1пг|| /(у/;»0, К(-,/)> 1 на е|

И попадает под вышеописанную концепцию ёмкости. Мы неизбежно приходим к понятию нелинейного потенциала, выясняя соотношение между решением рассматриваемой экстремальной задачи и двойственной ей, возникающей в положительном конусе пространства, сопряженного к к(1 Ы) = {к(',Я: /б/^>0>. В весовом случае нелинейный потенциал имеет вид

У* = $ К(1,у)|и-_1(у)^ ¿у

к" а"

и с ним связаны некоторые ключевые формулы. Это, во-первых, выражение для (к.рЬэнергии борелевской меры р

W UI

®к J^ " \ и р(х)ф(х), Р i*

и, во-вторых, альтернативные способы нахождения ёмкости:

Г 11/Р г г w +1

capk; Kao(w))j =sup[||p||/[sKipMj :pcM+W|,

где символ м'Ъ) обозначает множество борелеьских мер, сосредоточенных на в, а |] • - полную вариацию меры, и

capjp; cVCt^fw)Jj-=sup^0/м; р е М+(е) и U^pCxM на supp pj.

Вышеприведенные 'формулы обобщают известные при w-1 выражения из линейной (р = 3) (нелинейной (p*2)j теории.

Отправной точкой для дальнейшего развития теории является неравенство Вольфэ (см. работу Л.Хедбергз и Т.Вольфа', где оно доказано для ядер Рисса). Чтобы его сформулировать, введем »/-потенциал

l/ p(r) = р))9"1 [ \ ^ "''с/у] d(-k!p)).

it усредненную функцию

р

Е(р) = р П jft«)" <if.

о

Теорема 1.7.2/1. Пусть р - произвольная мера в Rn.

1) Если ы1'"7 е Ат, то существуют постоянные с4 и сг, не зависящие от меры р, такие, что

и> с w '

в

и для ху о выполняется

c2IV (Дх) «и ft(r).

2) Если w1-9 с (wMj и для p > О верно Mp) ~ к(р), то

~ W рМф(г).

G

Важными для дальнейшего являются оценки для емкости

шара, получение которых в общем случае требует существенного развития теории.

Предложение 2.3.4/1. 1) Если вес w принадлежит Ari, а функция к произвольна (или ч А^, но Ир)~Шр) при р> >0), то существует постоянная а такая, что для любого шара S (х,р)

1 1 cap(ß(x,p);Wyw)))<>!3{j [ j to1_t?tiyjd(-Km)} P

. p &{x , ¿)

(неравенство верно с kit) вместо Kit) );

2) если вес ь> принадлежит ар, и для р > 0 верно К(р)~ ~Мр), то

se ^

cap(ö(r,p); кар(ы)))~| [ \ w1_<?dy]d(-Hi))}

р ßfc.t)

Новыми в весовой теории являются соотношения между ем-состными и метрическими характеристиками множеств, которые обобщают результаты, известные в линейной теории, как теоремы Фростмана, а в нелинейной установленные в работах В.Г.Ма-зьи и В.П.Хавина, и Н.Мейэрса для .дер Рисса. Метрические характеристики множеств, адекьатнЕю весовой теории, уже • неинвариантны относительно сдвига и определяются на языке калибровочных семейств. Таким семейством на множестве Е с Rr* называется набор h.{x, О: [о.-)—[о,-) возрастающих непрерывных функций, М*,0)=0 для всех z е н, равномерно удовлетворяющих условию h(x,p) ~ Му,р) при reE, р > О, у £ В(х,р) Г1Я. Типичный пример [19] калибровочного семейства дает произведение Мр) ^ wdy, где h(p) - подходящая монотонная функ-

В(х,р)

ция, а вес w удовлетворяет условию удвоения. Для боредеьско-го множества £cr" определим величину

= Е с U b{Xj,ij), if -;р|,

где 0 < р < ■» и нижняя грань берется по всем счетным покрытиям множества Е шарами в(xi,ti) с радиусами I. < р. Предел

lim h'j^iE) = ЛЛ(£) <« ( функция множества '(£.)) есть мерз (вместимость) Хаусдорфа относительно калибровочного семейст-

во Мг.О. Если ссмойстео h(.x, •) „не зеьисит от с, го мы имеем обычные меру и вместимость Хаусдорфэ.

Теорема 2.3.4/2. Пусть функция k прг,йзе.«>яы1а (P.ip) ~

творяет уепорп» удвоения), а сеь:-?йство Функций

kip) для р > 0), пес w пркнэдлежит А Ы е удоиле-

а(х,р)=( j Иг"1 [ J ы1-4 ]d(-K(w]1"p

( Mx,p)-( J b(i)7-1 [ | to1"4 ]а(-Ш)]К" J p

является калибровочным на боу.елеьеком множестве £cr", Если

л (£•)<- ( !\hw)<" ), to сар(е,- /c(lp(w)))=0.

Теорема ?,.3.4/3. Пусть функция Ыр) произвольно, вес и1"' принадлежит и на Оорелевском множестве ecr" задано

калибровочное семейство Мх, •). Если для всех точек z е Е 0

то Al-lp~lcap(.E;K(L №)). В частности, л,^(Е)=0,

если cap(fE;K(i, Ы)) =0.

Следующий результат представляет весовой вариант теоремы Невзплппны.

Теорема 2.3.А/А. Пусть Функция kip) произвольна, множество c?cRn компактно, вес и1-<? е удовлетворяет условию удвоения, и функция A™ip) определена для любого р>0 как

inf S i vl-t? МрГ1, где нижняя "грань берется по всем

покрытиям компакта е шарами радиуса р. Тогда

1 1 -р сар(е; | ^{p)1_<?d(-Wp))j .

о

где & не зависит от <?. В частности, сар(е; к(Ljw)))-0, если i

Следующая теорема, доказанная В.Г.МазьЗй и В.П.Хаьиным для ядер Рисса, показыьает, что сформулйроьанше ьыше результаты при ы — 1 в определенном смысле точны,- в линейной теории (р-2) она была установлена М.Оцукой.

Рассмотрим- убывающую последовательность »н, положительных чксел таких, что 2Ь)Ч1< Ь .ч1, j с н, стандартным образом определяющую п-мерное канторовское множество ааз).

Теорема 2.3.4/5. Пусть ы=-1 и К(р)~Нр) для р>0. Тогда следующие условия эквивалентны . -

ь.

■>

сарСЕСЕЯ; Ш ))>0,- 2) ЗГ. ? к1р)ч~1рпс1(-к(р)) <

Р

Развитая теория применяется для решения ряда задач, к описанию которых мы сейчас переходим. В рамках нелинейной теории потенциала К.Ханесоном был найден подход к оценке емкостного интеграле, первоначально установленной В./.Мазьёй. В формулируемой ниже теореме новым является случай нетривиальной весовой функции.

Теорема 1.7.3/1. Пусть функция Ир) произвольна, а весовая функция w равна 1 (функция £(р)~к(р) при р>0, а вес е (w/i^) удовлетворяет условию удвоения). Тогда для всех f е 1рЫ) справедлива оценка

оо ,

J' cap [{г: К(у.Я>*|; й\'|/(х)|рш(хЫг-.

Отсюда стандартным образом получаются условия ограии-

раль

оц 1/,

ченности ЦШ-./Л'Ч^Ср)]! < ар яу\1рь»)\р интегрального оператора /"—Ж •,/).- точная постоянная Ар ^ допускает оценки

id<?)

*Р.Ч*АР.Ч*1РЛРВ)1/Р- ЗДеСЬ 2Р.9""3ир{ ecli", oapfe; > о}.

Наибольший интерес ь этом рга/«ьта1е предетаьляе! случай. когда условна ограниченности можно сформули[»л>ать ь терминах шаров. Приведем здесь лье тэдреми, обобщ^м.;^; р-.ч/дь-

тэты Д.Адамсз ая ©Т.'Мазьи..

Используем далее следующие обозначения:

Р'~1 п

= ^ «ft) t di-Ш)

dz.pM MO [ ] V ¡а'(-МрУ!.

Теорема 1.7,3/3. ¡Пусть 1< р < <?<», pp'~p*p, и p - 6o~ релевская мера -в ¡ап. Пусть еще функция к(р) произвольна, а весовая функция ад равна 1 (функция при' р --0, а

вес w Н»'« («MJ удовлетворяет условию удвоения). Тогда следующие условия эквивалентны;

(О существует постоянная .с, тркзя, что для всех г * Rft и р -»О

р(е(х,р)) s;cLc(p■) - :!/t(ö(.r,,p).)

•■г

(10 существует постоянная с, такая, что для• всех г с R я р > О

i/o i-/ р

pXb(r,p)) <с/;ар(Э(:с,[р); Kit Ы)) ;

ii'i'i) существует постоянная с, такая, что для любой неотрицательной функции f*-tp(w) верно

При этом наименьшие постоянные ct, сг, с, эквивалентны между собой.

В случае w = l мы получаем новое условие, легче проверяемое по сравнению с условием работы Р.Кермана Е.Сойера.

Теорема 1.7.3/4. Пусть %(p)~k(p) для р> О, а .вес е (w/1J, pg=p+g, удовлетворяет условию удвоения, м -выпуклая, в N - дополнительная к ней. Пусть еще функция <?, обратная для Функции i — W'fi/O, обладаем свойствами t<?(t'') убывает и стремится к нулю при i —», и

YC-Of'dt < cWp),

p

где li!(t) = (ti{t"i)f~1. Тогда точная постоянная в неравенстве

эквивалентна величине

А = supjcCx; р)р~')1(В(х,рУШ'1а/ц(д(х,p))h- z ^ Rn, р > о|.

Комбинируя теорему 1.7.3/S с результатами работы К.Хан- . ссона, получаем следующий результат о компактности интегрального оператора K.-L^—L^.), обобщающий соответствующие утверждения В.Г.Мазьи для пространств Соболева. Пусть функция k произвольна и с(0) = 0.

Теорема. Оператор K:ip-~i (¡u), 1 <р <qi. определенный по правилу /—Ж*,/). "Де и ¡.i - борелевская мера в

R", компактен тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

' с '/<? l/P' i

a) 1ш sup. |/ЛВ(а\<5)) c(ó) : xeRnj=-0,

С i/q i/pt

b) l lm sup |¿t(£(r,<5)) c(<5) : Х6 1Л a(x,ó) cRn\B(0,R)| =0.

В работе [173 большинство из вышеприведенных результатов доказано для потенциалов, определенных на пространствах однородного ■ типа, включающих широкий набор встречающихся в анализе пространств. Отметим, что изложение первых-двух глав относится, в основном, к случаю рисотвых ядер на произвольной однородной группе G. Поэтому формулируемые там теоремы -это частные случаи приведенных здесь результатов.

Еще одно применение относится к фундаментальному понятию теории потенциала - понятию разреженности множества. Систе-ма^ч^ское исследование этой концепции в рамках весовой ¿.^-теории позволяв- получить аналоги результатов, известных в линейной Teopife как теорема Шоке и свойство Келлога, и применить их к изучению иррегулярных в смысле Винера точек задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений. Фиксируем функцию к(р), для которой К(р)~к(р) при

р > 0, и весовую функцию на П .

Множество £сйп называется (/с,р,и)-разр^ • ••?$ в точке если

-7-1Г , 1-<?'

1) ^ Ир)1 [ рд^рн-д,

3 (х,р)

1 ^ ^

, 2) ^ к(рР~*ыр[в[х,р)ПЕ; ^уь))]17 [ ~9]с/(-Д(р))

0 В(х,р)

В случае г = Н. к(р)^р'~п, р= 2, ы^Аг, приведенное определение разреженности согласуется с определением, данным в работе Е.Фембса, Д.Джерисона и С.Кенига.

Предложение 2.4/1. Пусть вес и*"9 е {\íAJ удовлетворяет условию удвсения, и в некоторой точке выполняется со-

отношение 1). Пусть еще множество Есгд . Если существует мера р е м+ такая, что

р^ < И21 ^к

«г\{г0) х

то множество е (к,р,ъ>)-разреженно в точке х0.

Теорема 2.4/1. Пусть вес и в некоторой точке

х0еа выполняется условие 1). Множество Ее г? (к,р,шЬраз-' реженно в точке г0 тогда и т 1Ько тогда, когда существует

и.

мэра ц е м такая, что выполняется неравенство предложения 3.4/1.

Символом р[е) обозначим множество точек гецп таких, )то множество Е (к!р,и)-разреженно в точке х.

Следующее утверждение представляет весовой вариант те->ремы Шоке.

Теорема 2.4/2. Пусть ыеа . Пусть е - произвольное тожество на группе Тогда для каждого £ > 0 существует ткрытое множество и такое, что

ек Р(Е)си и сар^ПЕ,- КОрЫ)] <с.

Из теоремы 2.4/2 в качестве следствия получаем весовой эриант свойства Келлога.

Теорема '¿.4/3. Пусть weAn, а Е - произвольное множество на группе Кг\ Тогда oapf<?£ ГЕ)ЛЕ; К(/>(ы)))=0.

Из теоремы 2.4/3 вытекает

Следствие 2.4/9. Множество иррегулярных в смысле Винера точек в задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений имеет весовую емкость нуль.

Напомним, что Е.Фейбс, Д.Джерисон и С.Кениг пол"чили аналог критерия Винера для вырождающихся эллиптических уравнений вида

Lu- -д^/ЩчЫЪ-О.

где коэффициенты ~ вещественные, измеримые, симметри-

чны« и удовлетворяют неравенствам

з11SI гы{х 1 a..(x)z fi. ВI § I \.(x)

дли всех x и ъ r" и некоторой постоянной 6^1, где весовая функция у удовлетворяет /.-условию Мзкенхаупта. Они определили весовое пространство Соболева н'сп.у), где я - область в к", и слабое решение гг е уравнения lu = О.

Точка ¡.'«Oil называется регулярной, если для любой непрерывной функция h на ой реш жтс и --- Fh задачи Дирихле удовлетворяет lim u(x)=My). ^.Фейбс, Д.Джерисон и С.Кениг

х~у tx«О

установили критерий Винера длч этого класса уравнений: точка уе ж« регулярна тогда и только тогда, когда

" о ■

\-------или i eap((rn vrl nfi('j.p); KCUvV—12--% =

i wiBiy.s)) J ' wfSCy.pJ) ''

Очевидно, что в upper; лярной точке у г an множество - разреженно ь указанном ^ыше смысле. Подробное изложение этих Результатов см. в [17]. Перейдем к описанию рез^ чьтагов третьей главы, о'азирую-щ ихся на работах автора [1, ¡5, 1R]. Рассмотрим нормированные пространства н и $ функщй, определенных на R71. Мы изучаем отображения ^.-к'1—нп, порождающие по правилу замены переменной <р*/'-/°<р ограниченный оператор ^-.N-*?. В этом случае мы пишем, что f * t{N—f). Принимая во внимание, что гцпч ц< -1 (1 - тождественное отобр жение) оператор <. * совпадет с оператором вложения i: т ы можем интерпрстмрсг оос-

сматриваемую задачу как задачу о вложении -р , порожденном отображением <р. Чтобы ь абстрактной ситуации1 вг."учить содержательные результаты, мы накладываем на пространства и и У несколько ограничений геометрического характера. Первое из них связано с представлениями одногшраметрической группы преобразований 61 = ехрЫЫ), ¿>0, где а - положительная диагональная -грица, и группы сдвигов оа, аен", где

оа(х) = х + а. Точнее, мы говорим, что пространству Ы инвариантно относительно однопарэметрической группы (группы сдвигов аа), если для любой функции / е ы суперпозиция <5*/ ~ = /<>^ принадлежит я, причем полунорма пространства N однородна степени а относительно действия группы 5*, то есть

«¡1= ПЛ1. ¿>0. асв"1.

Другие ограничения связаны с поведением ёмкости кольца и ёмкости Тейхмюллера в пространствах n и т. В п. 3.1.1 приводятся точные определения ёмкостей и ее свойства, ьопользуе-мые ь дальнейшем. В теореме 3.1.2/1 найдены геометрические свойства отображений, принадлежащих классу т(ы —Л. Они формулируются в терминах нормы г(-) в й", однородной относительно группы <5Г Проинтерпретируем этот результат на примере основных шкал дифференцируемых Функций.

Пусть, например, В^ вШп) - анизотропное пространство Бесова, где 1еи1+)л - вектор гладкости, матрица а равна

<Иа£(Г/1£), где (ГГ1 = ±ПГ.1, а & качестве соотьетствую-

, 1./Г

щего расстояния можно взять г-^х.у) = I - 1 :('-=!, 2.....

Следствие 3.1.2/1. Пусть 1, - такие векторы,

что выполняются покомпонентные неравенства 1( ¿-1,2... ,,п, а гомеоморфизм р.-й" — Е!11 принадлежит классу т(ь! ,, (й") —

—Ь^ атг')). Тогда ь случае

11 !* - п/р - 5,* - п/|; =("), р.дк^А,"), иГ'/бр.!.^ -ни*- об-

ладает свойством

тня » 1,7.Гу1)/ У,"г1 > I. •/-(>/!> . И) ])

Га ' ' - 1 '

где с не зависит im от zkR*1, ни от р> О,-

2} i* - n/p&s* - n/q >0, p,(je [!,"], отображение обладает свойством

¡ }('p(x),tpCi/)) <crs(i,yf, (0.2)

где а - n/q)/(l*-n/p) , а с не зависит от выбора точек i,y « R ;

3) б'* - r/o l" - n/p < 0, g> max El'/sj, g>I,

./=1 ,.... ^

P>i, отображение ц. обладает свойством

-scr^yf, (0.3)

где а = (Г - n/pVis* - n/q), а с не зависит от выбора точек х,у «i Ffn;

Замена в этом утверждении однородных пространств на неоднородные приводит к локализации результатов, т.е. соотношения (0.1)-(0.3) выполняются для всех достаточно близких г,у г h .

Приведенные результаты мотивируют определение следующих понятий. Гомеоморфизм (непрерывное отображение)- <р:Шп, r^)-»(Rn,rj) будем называть е-квазикоиформным Сс-гельдероьым с показателем о с (ОД]!, если для всех р * (0,г) (i,yeRn, r,.(r,v) <с) выполняется соотношение (0.1) •( (0.2) ). Гомеоморфизм (p;(R".rj)-»(Rn,rj) будг-м называть г-квззиг'-ометри-ческим, с е (если как отображение ip, так и отображение <p~i являются с-гельдеровыми с показателем 1.

В изотропном случае в отличие от анизотропного локализации результатов не происходит.

Предложение 3.1.2/1. Пусть гомеоморфизм <р: Rr'-Rn принадлежит классу <T(Lpi6 где Ре

ч (1,«), 1 > 0, 1 v «. ftj«;. Тогда в случае

1) 1р**п. &1>1 Üp-n, &t>\), nt>2, отображение —квазиконформно и обратное отображение удовлетворяет условию 1<р~1(х)-гр"'\у)| для всех I.yeR", 17. — у I = = 1, если при этом 1<£1 = 9г<~ ( 1 * а, = .9г * ~ ), то существует постоянное число ««(0,11 такое' что для ьог.-: т у « R" ,. ! х - yl < 1,

2) n -1 <Ip <n (1р>л), отображение • 1 —

гсдьдерово с показателем 1.

Замечание 1. Утверждение 2) этого предложения спрзьел-ливо также и для пространств wJ(r!).

Сформулированные выше утверждения иллюстрируют дглиа-точно широкий спектр геометрических условий на отображения, индуцирующие ограниченные операторы функциональных пространств. В более общей форме эти результаты доказываются е §3.1, содержащем также все необходимые для этого технические средства. Основное содержание третьей главы посвящено развитию обсуждаемых идей и принципов в следующих направлениях. Из теоремы 3.1.2/2 вытекает свойство, согласно которому определенное почти всюду измеримое отображение i,":Rn-»Rn, индуцирующее изоморфизм пространств В* f;, Гр > п. совпадает почти всюду с е-квэзиизометрическим (в' соответствующей метрике) отображением. Распространение атого результата на случай !"р *; п требует применения всей развитой в предыдущих параграфах теории.Вполне типичный результат содержит

Теорема 3.3.2/1. Пусть 1,-], 1 е (r+)n - вектор

¡•ладности, г - норма, однородная относительно группы растяжений &t=tA, где A =dUag(i7i£). Если определенное почти асюду в r'1 измеримое отображение <р: r"->-r" индуцирует изоморфизм пространства в* а, то в случае

1) 1*р=п, 8 с (1,-),. существует (г.гО-квазиконфсрмпое яображение <ра: ¡?n-»Rn, совпадающее' с отображением ip почти ьсюду, причем найдутся такие постоянные а е (0,1], ОИ, что цля всех точек x,yeRn, г(х, у)че, выполняются неравенства

q'V(x,y)1/a <Qrix,yf.

>олее того, обратный гомеоморфизм также (г ¿О-квазиконформен. В изотропном случае, кроме этого, для всех точек :,y«;Rn, li-yl верно

cT'U-yl ii/'(i) - ipUj) I 21 r -yl,

•де о - некоторая постоянная, не зависящая от то ,ек ¡,;/г и";

2) шах С Г1 < ¡1 < гУГ, h ь (! '•). или }"(>■• и.

1 . i L

существует л-къ?лиметрическс« отображение <р0: ^-»б", совладеющее с отображением <р почти всюду. Б изотропном случае (!1 — - ... ='п = г = 1-1) параметры р и а могут быть та-КУО, ЧГО либо У«-р1<п, либо [I е (гЛ,-), в -г [1,.-].

Доказательство этой теоремы проводится по схеме работы Г!5] и применимо ко всем основным пространствам дифференцируемых Фуьхций. Абстрактный вариант этого результата составляет содержание теоремы 3.3.2/2. Отметим еще, если все компоненты I/ вектора гладкости 1 меньше единицы, то е-квази-. изометричность отображения <р не только необходима, но и достаточна для того, чтобы оператор -р" был изоморфизмом анизотропных пространств Никольского - Бесова В* 0, р,& е [1,<->], или Лизоркина - Трмбеля ¡.^ <= Я,») (см.теоремы З.ЗЛ/ЬЗ).

Заканчивает зто направление теорема о структурном изоморфизме, описывающая строение абстрактных изоморфизмов пространств 0(' Л, сохраняющих порядок. Это означает, в частности, что гладкость меньше единицы. Понятия, необходимые для формулировки результатов, введены в п. 3.3.3. Основной результат - что

Теореме 3.3.3/2. Пусть ^ - пространство Никольского - Бесова с компонентами гладкости, меньшими единицы, а л-пр'-стрчнство У состоит из всех измеримых функций /о таких. что существует функция ¿> 0 такая, что !/!<,?. Тогда 'для всякого У-структурного изоморфизма <р: ь1 в существует такое измеримое отображение <р. и" —что $>*(/)--=/°1р для любой функции

Применяя далее теорему 3.3.2/1, мм видим, что. отображение <р обладает, в действительности, метрическими свойствами, зависящими о.Т' соотношений между показателями гладкости и суммируемо зти.

Другие результаты .третьей главы посвящены свойствам отображений, индуцирующих ограниченные операторы пространств функций. Отметим, прежде всего, что уже метрические свойства §3.1 в ряде случаев являются не только необходимыми, но и достаточными для того," чтобы индуцированный оператор был ограничен. Хорошо известно, нэпрамер, что «гдаичонфулдн» г>-м.оморфизм преобразует интеграл Дирихле кг..азииньар:.:■■•"■■¡н'/м

способом, поэтому он индуцирует изоморфизм ьро'лрансть 5£'ш1г), ! п >2. Аналогичный результат сграведлиь для однородные пространств Бессва.

Теорема 3.2.4/1. Гомеоморфизм <р: н'1 —В*' тогда и только тогда индуцирует изоморфизм пространства Бесоэа Ь1 , ?р = п, р>п +1»2, когда гомеоморфизм <р (I -I,~)-ква?иконфсрмен в евклидовой метрике.

При переходе к однородным пространствам Соболева 5£рШп), р*п, одних лишь геометрических условий предложения 3.1.2/1 уже не достаточно для ограниченности оператора </Л Дополнительные аналитические условия содержит

Георема 3.2.3/5. Гомеоморфизм р:Пп-»ц'\ п>2, принадлежит классу р <? Г1,™>, тогда и только тогда, когда

1)

2) при р > п отображение <р лмпшицево и почти всюду вер-

¡|Ц-:/(х)| |с1ец/(г)1 |/-Л<С (0.4)

■3) при р-хп отображение <р квазиконформно; -

4) при р ч п отображение <р~1 обладает //-свойством Лузина и почти всюду выполняется (0.4). '

При этом норма оператора <р" эквивалентна наименьшей постоянной с из (0.4) и производные суперпозиции /о<р, / * £1, вычисляются по классическим формулам.

Имея в виду известную связь • между квазиконформными отображениями и пространством Соболева £можно ожидать, что многие свойства квазиконформных отображений переносятся на отображения класса Б самом деле, приведем нес-

колько результатов подобного рода.

Теорема 3.2.5/1. Пусть ре (1,4, п >1. Гомеоморфизм у. и'1—а" принадлежит классу ть^—х.1) тогда и только тогда, когда для любого и с к,г выполняется неравенство

где постоянная к не зависит от выбора коидонеагора и

Здесь конденсатором в и" нчзыьз^тея сьязн' ч 1..гр«кИ'ин • ное мм>т*пь> и. дополнение к которому соогоиг из .ньух свю

;5.8

пых компонент - ограниченной г0 и неограниченное! а его емкостью Ср(И) - величина 1пГ1/|^|1р, где нижняя грань берется по всем функциям /е'£р Пс, равным нулю на Г0 и единице на г1.

Теорема 3.2.1. Пусть -и", щеН, -- произвольная

последовательность отображений класса КНр-мрК 1с н, 'р «(1,-), сходящаяся почти всюду в к отображению Предположим, чю последовательность норм операторов огруниченз. Тогда предельное отображение <р принадлежит классу 7П/' —V!1) л выполняется неравенство Цу'1} -ч 11шЕу>*8.

" Р л> —•»•>

Заметим, что ь сформулированном результате о предельном переходе не требуется, чтобы отображения (рт были гомео-морфгыми.

П п.."1.2.С обобщен метод пополнения области несобственными элементами, предложенный автором в [1], применение которого позволяет решить 38Д»чу о грэничном соответствия при гомеоморфизмах областей, связанных с функциональными классами.

Теорема С..2.6/1. Пусть у: о-* с' - гомеоморфизм гласеа Тогда отображение продолжается по

непрерывности до непрерывного отображения Ф.-ПМс') —ПУ(б). (Здесь п~(б) - объединение области с с множеством простых 7-концов области о, см. п. 3.2.1, снабженное специальной топологией).

Метод доказательства теоремы 3.2.3/5 применяется для описания отображений, индуцирующих по правилу суперпозиции ограниченные операторы пространств Соболева. В большинстве случаев получены окончательные или близкие к ним результаты. Отметим теорему 3.2.3/1. в которой описаны произвольные отображения класс а ■ ТМр(ип)-'Ур(В.п)), р* С1,~), теорему 3.2.3/2 (3.2.3/3), где списаны гомеоморфизмы класса ТО^Ш")-» -»'^(н*)), рм1,~) (р = 1). и теорему 3.2.3/4, где описаны отображения класса Пи^Ш*)—3 оставшихся утверждениях этого параграфа сформулированы обобщения теоремы 3.2.3'5 на весовые пространства Соболева.

Методы, разработанные в третьеО главе, применимы так^е и " другим задачам. В четвертой главе, лсв<>г«нно? на р-зуль-

тэтах автора из работ [2, 3-7, 16], с их помощью исследуются области, 'для которых существует оператор продолжения за границу области определения, не улучшающий дифференцкалыше свойства функций. Основным результатом § 1 этой главы является

Теорема 4.1.3/1. Пусть в - кснечносвязная ограниченная область в Кг. Для существования ограниченного оператора продолжения

ех1:4.£(С)-*.£(Яп), 1"р =2, р> 1,

однородных анизотропных пространств Соболева необходимо и достаточно, чтобы каждая компонента связности границы ас, отличная от точки, являлась г-кривой Альфорса (г--норма, однородная относительно группы растяжений <54 =ехрМ1иЛ," Л=(1шб{1*Л£».

Соответствующий результат для неоднородных анизотропных пространств Соболева сформулирован в теореме 4.1.3/2.

Определение г-кривой Альфорса. Плоская замкнутая жор-дановая кривая удовлетворяет трехточечному г-условий Альфорса, если для любых трех точек х, у и г на этой кривой выполняется условие:

г(х,;г)/г(г,у) < м, (0,5)

где точка г лежит на дуге меньшего диаметра, определяемой концевыми точками х и у, а постоянная м не зависит от выбора точек, входящих в условие. В- случае а = е в качестве г мы имеем евклидову метрику и данное определение совпадает с определением Альфорса.

Условие теоремы 4.1.3/1 можно сформулировать также и во "внутренних" терминах. Говорят, что область беи" удовлетворяет (е,5)-ус;ловию, если существуют положительные постоянные £ = £(<3) и & = 5(0, такие, что для любых точек г и у «■■ о с г1зг,у)<6 существует непрерывная кривая у <=5, соединяющая х и у, и такая, что для любого выполняются соотношения

г(г,г) + Их,у) « гГ1г(х,у),

(О.Ш

г1х,/Ю) я» £1пт(г(х,г),г(2,у)). В предложении 4.1 3/5 угьерждаеюя, что для ксцьы^ьк -жЛ

области с с кг следующие условия эквивалентны:

а) область Рсцг удовлетворяет (е,б)-услоы<ш;

и) дополнительная класть с*=п2\?> удовлетворяет. (¿,<5)-условию,-

с) любая ограниченная компонента связности Гг границы до, отличная от точки, является г-кривой Альфорсэ, в то время как для неограниченной условие (0.5) выполняется локально, то ест о'лишь . для точек х, у границы этой компоненты, удовлетворяющих условию Ко.,у) <6, 6>0.

Из этого утверждения вытекает, в частности, что область из теоремы 4.1.3/1 удовлетворяет (е,~)-услоеию. Сравним эту теорему с утверждением для неоднородных пространств Соболева.

Теорема 4.1.5/2. Пусть о - конечносвязная область в п\ Дня существования ограниченного оператора продолжения

сх< Гр= 2. р..и

неоднородных анизотропных пространств Соболева необходимо и достаточно, чтобы область о удовлетворяла (£,6)-услови» от-посятпьно нормы г, однородной относительно группы растяжений 61 = ехр(/,1пП. /?=(1ш5<!*/г£)).

Доказательство эти;-: теорем базируется но оценках снизу для нормы оператора продолжения, явным образом зависящих как от геометрии исходной области, так и от геометрии области, дополнительной к ней. Во избежание громоздких формулировок, неизбежных для рассматриваемой в § 1,2 главы 4 абстрактной ситуации, мы приведем здесь лишь следствия для конкретных пространств. Для этого нам потребуется - новое понятие. Однородная относительно группы растяжений норма г определяет в ибла<:гц Се:!?'* относительное расстоянье гй(х,у) = ш£{Мат у. х^б}, где нижняя грань берётся-по всем кривым ц, а (Наш X есть г-диамэтр то есть (Нэт у = зир{г(а,Ь):а.Ь«

Предложение 4.1.1/1. Пусть ех1.:Ур(С) *>е>л..-с/1(а)-

— ¿™(В'г}) - оператор продолжения неоднородны:; (одн^родкчу) пространств Соболева. р,де[1,«1 ' в г - чо' ма, однородная относительно группы растяжений б4 =ехр(,11пП. 1 где а -

- <11'«й{<"/",.». Если

М =11111 вир {г Лт.,ц)/2 ~ г (г, у): х,у е <3, г(г,у) р) > .1 ри О

= Пт зир{г'с(а,у)/2 ~агп(х,у): х,у еГ,, г ~л[х,у) < 1) > 4), р-°

постоянная а определяется ниже, то для нормы оператора продолжения имеют мес то оценки

5Xt.ll

Г -5

7,Н р при 0 < т* - * а - Оя" - 2)/Я" - 2 1

Р '

при т 1 — т, р~д, а = 1.

где ^ и у, - постоянные.

Аналогично - сформулированному доказывается предложение 4.1.1/2, в котором вместо пространств Соболева участвуют пространства Бесова. Эти утверждения применимы к областям, имеющим при л =2 (тг > 2) особенность типа пика (гребня), направленного во внутрь области. Кроме того, существование при оператора продолжения из области б автоматически приводит к эквивалентности её основной и относительной и метрик.

В §2 главы 4 получены соотношения изопэриметрического характера, присущие ситуации, возникающей при т*--2«;0. На плоскости из них вытекают геометрические условия для дополнительной области. Здесь мы также ограничимся одним из следствий, необходимых для доказательства вышесформулироьанных теорем.

Следствие 4.1.2/1. Пусть М = зир г (г,у)/г(х,у), где

с *

верхняя грань берется по всем парам точек .г, у дополнения . С* = 1Г\8, принадлежащим одной компоненте связности. Тсгда для нормы оператора продолжения ех1:1}рки)-+1\(Пг) при одновременном выполнении условий

a) 1*р

или

b) р > тахЦ^Л 171) при р>1 или 1 ^ »пахЯу1, I'1) при

Н*

имеют место оценки снизу ¡¡е*.1|| *}4МР при Гр <2 и ¡|еч1|| -1п мри 1"р--- 2.

(Здесь и 1г - постоянные, точный вид которых приводится в главе Л).

Таким образом, существование в плоском случае операторе! продолжения приводит к аквивалзнтности в дополнительной области с' el1 относительной и основной метрик. Для плоских конечносвязчых областей при 1*р = 2 необходимые условия продолжения двух последних утверждений совпадают с достаточными Vi3 работы П.А.Шварцмана. поскольку из предложения 4.1.1/1 вытекает первое из условий Г0.6), а геометрическое заключение следствия 4.1.?,Л эквивалентно второму условию из (0.6).

Другие результаты главы 4 относятся, в основном, к новым геом< тричегким условиям продолжения дифференцируемых фу нкций. ь ряде случаев совпадающих с достаточными. Следует отметить, однако, что метод получения некоторых из них использует более, слабее требование, чем условие продолжения: вложение рассматриваемого класса в пространство гёльдеровых функций. Цель ¿2 главы i - показать значение и роль внутренних метрик при исследовании различных шкал пространств. В работах В.В.Вйсильковского и А.Д.Мышкиса, а также В Н.Коновалова внутренняя метрике области . естественно участвует в условии продолжения функций из классов Соболева «/ и близких к кчм, при этом В,Н.Коновалов доказал, что в плоских однос-вязиых ограниченных областях условие- эквивалентности внутренней и евклидовой метрик является необходимым для продолжения Функций классов ivf.. В работах автора [3, 6, 7. 12, 14, 20] установлено, что связь' внутренней метрики области и различных ей модификаций с теорией функциональных пространств проявляется также и для конечных индексов суммирования, что может говорить только с более глубокой природе этой связи. Отправной точкой последующих рассмотрений является следующий результат.

Теорема 4.2.1/2. Пусть G - область в i-i". Ее ¡¡и существуют опрраторы продолжения

extj.-W^t;) —Up(Rrt), р>п 1.x =1).

или

v.xll:ll1(r,)-*Hi (fi"). ¡p > » (ч - П.

о в области О внутренняя а-метрмка с*а 6и,<;) лскьлию эм-.и--

алентна <л-метрике а^х.у) « 1х-у1а, при'этоМ ¡ех1г|| кц1^"^

ле постоянная к не зависит от области р.

Здесь внутренняя а-метрика ¡1 61х.у), а (О, Л, в Обет 1

асти в определяется как тГ .¡'\ где нижняя грги^-

г=1 1

ерется по всем кусочно-линейным кривым, составленным из от-езков [г^.х }=<?. ¿=1,...т, х0«х, х =>у. Очевидно, что ри а = 1 метрика ^ в совпадает с общепринятой внутренней етрикой в области с, определяемой как нижняя грань длин трямляемых кривых, соединяющих в области о точки т и у.

Введем пространство 1Лр(1,<5и-), I ь (к.к+1], к =0,1.....

^стоящее из определенных на области с функций, имеющих про-зводные порядка к и конечную норму

' ¡/1ира.ОпЦ = р 4 зир -1---—- !

1/1 !

(е а = 1—к, Ы/(х) = И О-^Ду)—^ + Й,(х,у), 0<|У| «

к, а ЗсЧ с(г,у) = ^л с(г,у)1/<х. Как обычно, два Функциональ-.|х пространства называются совпадающими, если оператор вло-?ния одного пространства в другое является ограниченным юморфизмом.

Теорема 4,2.2/1, Пусть с, - произвольная область в г?а.

гда

при I е н, а = 1, к = 1-1 -пространство Соболева Ь'^СО совпа-\ет с пространством Ир(к,С1);

при Ы(к,к+1), к =0,1..... а=1-к пространство Никольо-

го Н^.О совпадает с пространством ир(1,б ).

Непосредственным следствием этой теоремы являются ус~ вия продолжения функций из рассматриваемых классов. Смысл лх условий состоит в том. что замена метрики, яько входя• :й в определение пространства УрР.С ). на -жвпвал.лггную приводит к. ограниченному вложению соответствующих Функци-зльных пространств, что позволяет затем свести задачу г. зреме продолжения типа Уигнм. Типичным резульшоп яг-лня •

Теорема 4.2.3/1. Пусть с - область в И*. Для существования лкнеЯногс оператора продолжения ехЦ.-и^с?)-*н\(кп) достаточно. а пр>. и необходимо, чтобы внутренняя в области г, «-метрика ¿и,у) оыла локально эквивалентна а-метри-ке 4<1,у)

В пп.4 2.2-3 доказываются также аналоги двух последних, результатов для анизотропных пространств Соболева и Никольского.

Идея геометрического подхода к пространствам гёльдеро-вых функций,, определенных на некоторой области с применима также и к интегральным метрикам. Соответствующие определения и утверждения приведены е конце п.4.2.3.

В 4.3 "исследуются соотношения изопериметричесчого характера, возникающие в областях, в которых выполняются некоторые теоремы вложения. Сформулируем типичный результат х арактерный для случая 1;> > п. Введем для этого новое понятие. Область о в будем называть «-регулярной, если существуют положительные постоянные бис такие, что для любого шара В(т,г) с центром в точке г* с и радиусом г <5 выполнено неравенство ¡В(х,г) П1-] >б|В(х,г-)1и.

Теорема 4.3.1/2. Пусть о - область в й" и пусть /С). 1 *Р<~, -

ограниченный оператор вложения. Тогда область о а-регулярна,

Из этой теоремы и метода её доказательства вытекают многочисленные • следствия, в частности, условие регулярности для области, за границу которой можно продолжать функции классов Соболева и Бесова: мера пересечения шаря с областью сравнима с мерой шара.

При 1р < п возникает более сложный набор изопериметри-ческих соотношений.- М»; приведем зд-^сь следе; вин. вытекающие из основного результата (теорема 4.3.2/1). .Для точ'-и з области <~ и достаточно малого радиуса р---г. .-.г Р,(т./>) замыкание л:обгП связной компоненты от;•■•ыто! о мноч-г--

О ' 1

тья Р(т,р) По, содержали".' точку х, а чер^з "уЛл.р1 - им.» ■■-<■-т'■'•'} Г\-Ь ,р) П5(х.р).

Предложение 4.3.2/2. Если существует ограниченный опч->ятор продолжения

Сер",

['зотрелных пространств Соболева, то ¿ля любой точки хч-д при ) < р < р0(.т)/2 справедливо неравенство

де нижняя грань берется но всем ограниченным открытым мно~ еествэм §=>вс(х,р).

Предложение 4.3.4/2. Если при всех £-1,2,-.. ,п-1 су-(ествуют ограниченные операторы продолжения

зотропных пространств Соболева, то для любой точки J й при < р < р0(г)/2 зрно соотношение

де у зависит от норм операторов ех^.

Развиваемый в главе Б метод исследования граничного оведения дифференцируемых функций идейно базируется на тео-знл 4.2.2/1 об эквивалентных нормировках. Действительно, зное вхождение в нормировку внутренней метрики мотивируем зссматривать функцию / «1лр(¿,Са). А =0,1,...,

её производные на ■ метрическом пространстве Са = Ю,11а й). е (0,1], а=1-}г. Тождественное отображение ':а:Г'и 1(х) = х, х е ва, в силу неравенства | £аЫ - 1"а(у)| < За(:с,.у), .< «Сп, равномерно непрерывно. Отсюда вытекает возможность зодолжить отображение I до непрерывного отображения пополнения метрического пространства & ь замыкание 5ласти в по евклидовой метрике.

Введем пространство МрЦ.Я^), I е {к.к^П, А?-0,1... ■о элементами являются наборы (/'■7)}, 0 ч | у I к,1 с (к, к> 1], состоящие из непрерывных на 8 Функций, для которых ко |».на норма ||/|ир(1,8)|, определяемая как

Г (П I 'М-'-У1!

' 1 ¿п

где верхняя грзьъ берется по всем точкам г.уь^, а-l-k, а остатки Я d.y1 определяются разложением

Е ---—+ R,(r.y).

¡./+л| <h ' з! "

Предложение 5.1.1/1. Существует естественная изометрмя пространств Lip(l,Ga) и Up(i,Sa): любая функция /е е l.ip(!,Ga) и её производные {dj/}, ¡j| единственным образом продолжаются на ?? и являются на 3 элементами класса LipG.5wi. '

Множество дОи = Sn\Ort будем называть в дальнейшем а--граниаей области с. Ограничения элементов класса Lip(l,SK) на эва естественно рассматривать как "граничные значения иди ■следы" <|ункинй класса Lipd.G ) на а-границе области О. Чтобы придать точный смысл понятию следа, определим . класс Lip il.dCJ, элементами которого являются наборы {/<j)}, 0<|./| *fe. состоящие ms непрерывных на i^s ,d б) функций, для которых конечна норма ¡¡/iLipd,.?^)!!, определяемая суммой (0.7) при условии, что верхняя грань берется по всем то-ч кам z,yc.jGa. Оператор следа t,rl:Lip(i,Gci)-"Up(i,ao;a) определяется как композиция изометрии из предложения 5.1.1/1 и последующего ограничения элементов класса Lip(l,Sa) на а-границу ¿юл.' С учетом теоремы 4.?.,2/1 мы определяем таким образом оператор следа (или оператор граничного поведения] из пространства Соболева или Никольского в соответствующее пространство Lip(!,3Gul. Полученная характеристика граничных значений является обратимой.

Теорема 5.2J/1. Пусть о - произвольная область в"1. Существует линейный ограниченный оператор продолжения

extM:Lipa,^al-Lipa,Ga), t £ (fc.M-l], a^l-к, '

такой, что композиция 1гг с ex.tk являетеч тождественным отображением. t

Кроме сформулированных здесь результатов ь главе 5 подробно исследован случай анизотропных пространств Соболева и Никольского. Результаты последней главы е<]х.рмулир<.А^чч и доказаны в [6, .10, 14, 20].

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. ВоДОПЬЯНОЬ С.К. О граничном соответствии При KEii'iH-Кл ""«рмных отображениях пространственных областей/^ Си б.мат журн. - 1975. - Т.16, №3. ~ С.628-631.

2. Водопьянов С.К. Геометрические свойства областей, удовлетворяющих условию продолжения для пространств дифф-ре-нцируемых функций//Некоторые приложения Функционального анализа к задачам математической физики/Тр. семинара акад С.Л. Соболева.-НовосибирскИн-т математики СО АН СССР - 1964. -№2. - С.65-95.

3. Водопьянов С.К. Изопериметрические соотношения и условия продолжения дифференцируемых функций//Докл. АН СССР. -1937.- Т.292, №1. - С. 11-15.

4. Водопьянов С.К. Геометрические свойства областей »1 оценки для нормы оператора продолжения//Докл. АН СССР. -1987.- Т.292, ,„4. - С.791-795.

5. Водопьянов С.К. Геометрические свойств* отображений и областей. Оценки снизу нормы оператора продолжения//Исследования по геометрии и математическому анализу/Тр. Ин-та математики. Т.7. - Новосибирск.- Наука, 1987. - С.70 - 1Ш.

6. Водопьянов С.К. Внутренние. геометрии и пространства дифференцируемых функций//Функциональный анализ и математическая физика.- Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. -.1987. - С.18-38.

7. Vodop'yanov S.K. Existence conditions for- the extsn-i&bility of differentiable functions and oounds' for- the norm if the extension operator /' Ooilo^uia Matheiiiatica sooieta-

Janes Bolyai, 49: Ргое. /А.Нааг memorial conference. Budapest, Hungary, Aug. 1965. - liorih-Heliand а. о., 1ЭД7. - V.I, II. - Р.&57-ЭТЗ.

8. Водопьянов С.К. Принцип максимума в теории потенция-ia и теоремы вложения для анизотропных пространств дифГ-ерен-цфуемых функций//Сиб. маг. журн. - 1988. - Т.29, №2. -

17-33.

9. Водопьянов С.И. Квазиэплипгнческая ' -Tw.pn.-i цог^н -шал г. и ей при лоч"?нняЛ'Докл. Ail СССР, - !988. - Т 2S8, (14 -: 750-704.

10. Водоп'.-янов C.K. Эквивалентные нормировки пространств эдфферечиируемых (функций а областях и их приложения/7 Докл. АН СССР. - 1966. - Т.300, - С.777-7в1.

И. Водопьянов С.1С. теоркя потенциала на однородных-Г'руппах//Докл. АН СССР. - 1986. - T.303s №1. - С.11-16.

12 VoCop'yanov S.K. Equivalent normalizations of Sobo-!ev and Ш!о1\чкИ spaces in domains, boundary values and extension /,' Function Spaces and Applications: Proc./ US-Swedish Seminar. Lund, Sweden. June 1966. -Berlin ч а.о.: Springer, 15в8.-Р.В97 - 409. - ( Ucture note; in mathema-tiVs; 1"С/г i.

13. Рюдопьяное. C.K. Теория потенциала на однородных группах//М->т. сб. - 1969. - 7.1Ö0, №1. - С.57-77.

14. [»одопьянов O.K. Внутренние геометрии и граничные значения дифференцируемых функций Л.//Сиб. мат.' журн. 1985. - Т.30, кг. - С.29-42. ' Г

15. Водопьянов С.К. ¿р-теория потенциала и квазиконфор-ные отображения из однородных группах // Современные проблемы геометрик и анализа / Тр. Ин-та математики. 7.14. - Новосибирск- Наука. 1959. - С.45-69.

16. Водопьянов С.К. Отображения однородных групп и вложения функциональных лрострячстз//Сиб. мат. журн. - 1989. -Т.30, №5. - С.- 41.

17. Водопьянов С.К. Lr-теория потенциала для обобщенных ядер и ее .приложения. Новосибирск, 1690. - 48 с. -Шрепринт/ АН СССР. Сиб. отд-ьие. "Ин-т математики. tWi.

18. Водопьянар с.К. i. -теория потенциала для обобщенных ядер п ее приложения//Ыат.заметки. - J990. - Т.47, №5. -С.1ЛР-148.

19. Водопьянов С.К. Весовая /.^-теория потенциала на однородных группах//Докл. АН СССР,- 1990. - Т.?14, №1. - 0.3741.

'¿О. Vcdop'yanov S.K. Boundary bchaW^ur ...Г oifferentl-яЫ-т functions and related topics // !<</ni invar Analysis, Fci'Otir.n "p.=>o-;s and Applications. V, ¿: F-co./ Spring • ■•-.'.4-г«;. rir initW"' n.ic1 LaЬепI. cthvoko.'-io^.Hi; , !:V-

- TF"7E ' tur MaMivi a'il;, ~.aii'i MP, ' " '