Геометрические и экстремальные свойства регулярных функций в круге тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

► СИЖУК Татьяна Петровна

I

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2005

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Симоновский А.Я.

Официальные оппоненты: чл. корр. РАО, доктор физико-математических

наук, профессор Александров И.А.

кандидат физико-математических наук, профессор Соболев В.В.

Ведущая организация: Волгоградский государственный Университет

Защита состоится "IS" СШЯЛ 2005 года в / О часов на заседании диссертационного совета К212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: 344006, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан ¿jJL 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К212.208.06, кандидат физико-математических наук

Кряквин В.Д.

6Ъ5Ч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важных областей математического анализа является геометрическая теория функций комплексного переменного, в которой изучаются аналитические функции, определяемые какими-либо геометрическими свойствами, а также различные геометрические и экстремальные свойства тех или иных классов функций.

Наиболее употребительные и значимые классы образуют регулярные функции, которые участвуют в реализации конформных отображений, играющих заметную роль в математическом анализе, геометрии и других разделах математики. В связи с конформными отображениями теория регулярных функций комплексного переменного получила многочисленные применения в исследовании плоских задач теории движения жидкости, теории упругости и других задач. Поэтому естественно, что в геометрической теории регулярных функций важное место занимают вопросы, связанные с исследованием функционалов, непосредственно характеризующих искажения кривых и областей при соответствующих конформных отображениях, с изучением устойчивости или изменения геометрических свойств регулярных функций при интегральных преобразованиях.

Исследование указанных вопросов представляется актуальной задачей не только теоретического, но и практического значения. Проблемы, связанные с этими вопросами рассматривались в работах Г.М.Голузина, Ф.Г.Авхадиева, Л.А.Аксентьева, И.А.Александрова, И.Е.Базилевича, В.Я.Гутлянского, В.А.Зморовича, Д.В.Прохорова, Н.Б.Рахманова, Ю.Е.Хохлова, В.В.Черникова, С.Бернарди, Я.Кшижа, РЛиберы, Х.Поммеренке, М.Робертсона, С.Рушевея и других авторов. Указанными вопросами обусловлен круг задач, решаемых в диссертационной работе.

Цель работы. Настоящая работа посвящена исследованию геометрических и экстремальных свойств регулярных функций в круге. Целью работы является изучение геометрических свойств образов кругов со смещенным центром при конформных отображениях, осуществляемых регулярными однолистными функциями в единичном круге, определение экстремальных значений уклонения образов гладких кривых при конформных отображениях, осуществляемых регулярными выпуклыми функциями в единичном круге, исследование изменения геометрических свойств регулярных функций при интегральных преобразованиях Бернарда, Рушевея и их обобщения.

Методические основы исследования. В работе используются общие методы математического анализа, теории функций комплексного переменного, метод Зморовича решения экстремальных задач на классе Каратеодори. Развивается метод решения задач геометрической теории функций, основанный на достаточном условии максимума модуля регулярной функции на границе круга.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В работе выделены и получили решение новые задачи, связанные с почти выпуклостью однолистных функций в круге со смещенным центром; дан общий подход и указан новый функционал при изучении геометрических свойств образов гладких кривых, найдены экстремальные значения этого функционала на классе регулярных однолистных выпуклых функций в единичном круге; впервые рассмотрен вопрос об изменении (в плане улучшения) геометрических свойств регулярных функций при интегральных преобразованиях Бернарди, Рушевея и их обобщения.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы исследования могут найти применение в геометрической теории функций комплексного переменного, а также для решения задач прикладного характера, связанных с конформными отображениями. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов по теории однолистных функций и подготовке учебных пособий.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на семинарах по теории функций и функциональному анализу в Ставропольском государственном университете, на научно-методических конференциях «Университетская наука - региону» (2004г., 2005г. г.Ставрополь, СГУ), на II Всесибирском конгрессе женщин-математиков (15-17 января 2002г., г.Красноярск, КГУ), на конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (30 июня - 4 июля 2003г., г.Воронеж, ВГУ), в Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (26 января - 2 февраля 2005г., г.Воронеж, ВГУ), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета (руководитель - профессор Ю.Ф. Коробейник).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в работах [1-11]. Из имеющейся в этом списке одной совместной статьи [1] в диссертацию включена только теорема 2, доказанная автором.

Структура работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав (разбитых на параграфы), заключения, списка цитируемой литературы из 91 наименования и списка работ автора по теме диссертации. Общий объем работы - 89 страниц. Нумерация формул и теорем подчинена соответствующей главе и не зависит от параграфов. Параграфы нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает главу, а вторая - номер параграфа в этой главе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Охарактеризуем содержание работы с параллельным кратким обзором некоторых известных результатов, непосредственно связанных с рассматриваемым в ней кругом вопросов. Нумерация ниже приводимых глав, параграфов, утверждений соответствует принятой в тексте диссертации нумерации.

В дальнейшем: Е(с,р) = {г :| 2-е |< р), £=£(0,1); К - класс регулярных в круге Е функций /{г) с /'(г) ^ 0 в £; 5 - класс однолистных функций /{г) е Я, нормированных условиями /(0) = 0, /'(0) = 1; - класс функций /(г) е 51 таких, что

>0,2еЕ; (1)

- класс функций /(г)е5 таких, что

(2)

£ - класс функций /(г) е £ таких, что Яе/'(г) > 0 в круге Е.

Область С называется выпуклой, если любые две точки С можно соединить прямолинейным отрезком, лежащим в С, и называется звездообразной относительно точки м>йе.О, если любую точку й можно соединить с м>0 прямолинейным отрезком, лежащим в С.

Неравенства (1) и (2) есть необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция м> = /(г) отображала круг Е соответственно на выпуклую и звездообразную относительно точки лу = 0 область. В связи с этим функции класса 50 называются выпуклыми, а функцшпсласса - звездообразными функциями в круге Е. Функции класса -У по предложению В.А.Зморовича называются функциями с ограниченным вращением в круге Е.

М.Робертсон ввел понятие порядка выпуклости для /(г) е «5° и порядка звездообразное™ для f{z) е 51*, заменив условие выпуклости (1) на условие

где Р, 0 < р < 1, - порядок выпуклости /{г) , а условие звездообразно-сти (2) на условие

р, геЕ,

№

где р , 0 < Р < 1 , - порядок звездообразности /(г) . Функции, выпуклые порядка Р в Е и звездообразные порядка Р в Е , образуют подклассы классов 5° и Б*, которые обозначаются и Б*{р). Через £(/?)

обозначается подкласс функций из 5 с ограниченным вращением порядка р в Е, т.е. функции /(г)е5 таких, что Ие/'(г)>р, ге£,

о<р<\.

Регулярная в круге Е(с, р) функция м> = /(г) с /'(с) Ф 0, отображающая круг Е(с, р) на область С, называется выпуклой в Е(с, р), если О - выпуклая область, и называется звездообразной в Е(с, р), если О -звездообразная область относительно точки м>й = /(с). Аналитически выпуклость функции /(г) в Е(с, р) выражается неравенством

а звездообразность - неравенством №-№

Принимая это во внимание и следуя М.Робертсону, мы называем регулярную в круге Е(с, р) функцию /(г) , /'(с) Ф 0, выпуклой порядка Р, 0 < Р < 1, в Е{с, р), если

и назьшаем звездообразной порядка Р в Е(с, р), если /(г)-/(с)

Согласно определению В.Каплана, функция /(г)е/?, удовлетворяющая в Е условию

б

с некоторой (зависящей от /(г) ) выпуклой функцией g(z) в Е , называется почти выпуклой или близкой к выпуклой. Почти выпуклые функции являлись предметом исследования многих работ и их понятие обобщено в разных направлениях. В частности, введены в рассмотрение функции, почти выпуклые определенного порядка.

Известно, что функция /(г)£Л, нормированная условиями

/(0) = 0, /'(0) = 1, называется почти выпуклой порядка , 0 < ¡3 < 1, в Е , если существуют такие выпуклая функция g{z) е <5° и комплексная постоянная е, | е |= 1, что

Множество всех таких функций обозначаем через К(/3). Ясно, что К(0) = , АТ(1) = К - класс почти выпуклых функций в Е .

Регулярную в круге Е функцию /(г), /'(с) Ф 0 называем, по определению, почти выпуклой порядка /? , 0 < /? < 1, в круге Е(с,р) , если существует выпуклая в Е(с,р) функция g(z) такая, что

Первая глава диссертации посвящена определению границ заданного порядка выпуклости и почти выпуклости классов £ и К(/3).

Центральное место в исследованиях класса 5 и его подклассов занимают результаты, касающиеся величин, непосредственно характеризующих искажения отображаемой области. Весьма наглядно выясняют степень искажения однолистного отображения так называемые границы выпуклости и почти выпуклости. Они показывают какие из кругов Е(с,г)<^Е при однолистном отображении круга Е любой функцией

класса 5" (или некоторого его подкласса) переходят в области того или иного геометрического типа.

Р.Неванлинна нашел, что всякий круг \г\<г при 0 < г < 2 —\/з = 0,268... отображается любой функцией класса $ на выпуклую область. Число 2-Я нельзя заменить ббльшим. Оно называется границей выпуклости для класса 5.

И.А.Александров доказал, что всякий круг Е(с, г), лежащий в Е, при О < г <г{с) = 2--yj3+1 с |2 любой функцией f(z)eS отображается на выпуклую область. Число г(с), которое нельзя увеличить без дополнительных ограничений, названо И.А.Александровым границей выпуклости класса S в точке с.

Ставшие уже классическими, результаты Р.Неванлинны и И.А.Александрова послужили стимулом для отыскания границы почти выпуклости класса S. Впоследствии, Я.Кшиж и П.И.Сижук определили наибольшие радиусы кругов с центром в нуле, в которых каждая функция класса S почти выпукла и почти выпукла порядка J3 соответственно.

Наряду с исследованием границ выпуклости и почти выпуклости всего класса S проводились исследования по определению границ выпуклости и почти выпуклости его подкласса K(j3). В частности, Х.Поммеренке

нашел, что круг + Р , но не всегда бблыыий круг, ото-

бражается любой функцией класса К(/3) на выпуклую область. В.И.Кан установил, что круг | z -с |< 1 + ¡3-^2(5 + /?2 +1 с |2 , но не всегда ббль-ший круг, отображается любой функцией класса K(fi) на выпуклую область. Д.В.Прохоров и Н.Б.Рахманов определили границу (радиус) почти выпуклости порядка а класса K(f3).

Следуя И.А.Александрову, мы называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка 0 класса S в точке с €.Е точную верхнюю границу

Гр{с) {гр(с)) радиусов кругов E(c,r)<z Е, в каждом из которых любая

функция из класса S является выпуклой (почти выпуклой) порядка /? .

Аналогично, называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка а класса К(/3) в точке с е. Е точную верхнюю границу ra(c,j3) (га(с,Р)) радиусов кругов Е(с,г) с Е, в каждом из которых любая функция из класса K(J3) является выпуклой (почти выпуклой) порядка а.

В §1.1 установлен следующий критерий почти выпуклости порядка Р функций в круге Е(с, р), обобщающий известный критерий почти выпуклости порядка /? функций в круге Е .

Теорема 1.1. Функция /(z) из R почти выпукла порядка j3 в Е(с,р) тогда и только тогда, когда /'(z) ^ 0 в Е(с,р) и для всех г, 0 <r < р, (рх,(р2,д)х <(рг, выполняется неравенство

jRejl +

z = c + re"p.

<Pi

В §1.2 найдены точные нижние оценки функционала arg{(z2 -c)/'(z2)/(zj -c)/'(Z))} на классах S и £(/?)• Доказана, в частности,

Теорема 1.2. При любых zk=c + re"Pt, к = 1,2, 0 < ç?, < (р2 ^ 2л ; г+1 с |< 1, для f (г) е S справедлива оценка

О при 0 < а ^ 1 / 2;

И I--(4)

у/\(а) при 1/2<а<Л/5/8; (5)

Y lia) при 4ш<а<\, (6)

1 J

где

(а) = 2агс^(\-а2)/(4а2 -1) -4агат^(Аа2-\)!Ъ , (7) ^2 (а) = 2аrccfg + - а2 -1) - 21п а - я-, (8)

.Уо =Уо(а) ~~ единственный действительный корень полинома

+ а = 2г1{\ + гг-\с\2), аге{(-2-с)/'(22)/(7,-с)/'(2,)}

определяется по формуле

=Ъ ь«>/'(с+

Оценка (4) точная, но не достигается функциями класса Б. Оценки (5) и (6) являются точными в том смысле, что существуют функции /(г) е £, для которых в соответствующих неравенствах имеет место

знак равенства при некоторых г,, г2, | 2Х — с |=| г2 — с \= г.

В §1.3 с помощью результатов §§1.1 и 1.2 определена граница почти выпуклости порядка /? класса £ в произвольной точке се Е и граница почти выпуклости порядка а класса К(/3) в точке С; найдены границы выпуклости заданного порядка классов 5 и К(0) в точке с . Сформулируем результаты, относящиеся к классу £.

Теорема 1.4. Граница почти выпуклости порядка Р класса 5 в точке се Е есть число

где а0 - единственный в промежутке

(1/2,7578) корень уравнения ц/х (#)+ $71 = 0, если О < Р < 1 - (2/ 12), и единственный в про-

межутке

[л/578,1) корень уравнения у/2 (й) + рл = О, если 1 - (2 / л-)агсс^(1 / 2) < Р < 1. Здесь ^ (а) и Ц/г (а) определяются формулами (7) и (8).

Теорема 1.6. Граница выпуклости порядка /? класса точке с&Е

есть число

2 + 0\с\ - + А0\с\ + р2 +3

1+ Р

Из результатов §1.3 в частных случаях получаются все отмеченные выше результаты о границах выпуклости и почти выпуклости классов £ и К(Р).

Во второй главе рассматривается вопрос об уклонении образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых

функциями классов 5 и 5° .

Как известно, уклонением А плоской кривой и — и(() , V = , / -параметр, в некоторой ее точке М называется тангенс угла 5, образованного предельным положением прямой МЫ и нормалью к кривой в точке М, где N - середина хорды кривой, параллельной касательной в точке М, когда хорда стремится к М. Угол 8 называется углом уклонения, а предельное положение прямой МЫ - осью уклонения или аффинной нормалью к кривой. Величина уклонения А измеряет асимметрию кривой относительно нормали, проходящей через точку М, и является важной характеристикой кривой в окрестности точки М .

Геометрические свойства уклонения плоских кривых рассматривались во многих работах. В.В.Черников и С.А.Копанев положили начало исследованию экстремальных свойств уклонения линий уровня (образов концентрических окружностей | г (= г ) при однолистных конформных отображениях. В частности, В.В.Черниковым дано полное решение задачи об экстремальных уклонениях линий уровня в классе Б, а С.А.Копаневым -

в классе 5°. Впоследствии С.М.Югай получено решение задачи об экстремальных уклонениях образов окружностей со смещенным центром

вдоль вещественного диаметра круга Е при конформных отображениях, реализуемых всеми функциями класса и р -симметричными функциями из 5"°.

В §2.1 выводится формула для вычисления величины уклонения в произвольной точке образа достаточно гладкой кривой при конформном отображении мг = /{г) е 51. Эта формула является объектом исследования во второй главе. Поэтому приведем ее здесь.

Пусть у - трижды непрерывно дифференцируемая кривая в Е без особых точек (гладкая) с уравнением г = , «</</?. Фиксируем на у точку г0 = г((0) Ф 0 и обозначим через А(/,г0) уклонение образа У] ~ /00 кривой у при отображении и> = /(г)е5", подсчитанное в точке м>0= /(г0). Тогда

г ,„,

1т

Г(*о)

/Ы

ГЬо) Пч)

1т

где /0, гЦ, г" - производные функции г(7), вычисленные в точке , причем г'0 ^ 0, поскольку у - гладкая кривая. Из этой формулы в частных случаях получаются известные формулы для уклонения линий уровня и их ортогональных траекторий (образов радиуса круга Е ), а также формула для уклонения образов звездных кривых относительно точки г0 из работы.

В §2.2 рассматривается общая задача об изменении образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями класса £. Получены оценки (неточные) для функционала уклонения А(/, 20) в классе .У и доказана

Теорема 2.1 .В классе Б уклонение А(/,г0) при \v\<2q не ограничено снизу, если р. < 0; не ограничено сверху, если р. > 0; не ограничено снизу и сверху, если /1 = 0. Здесь

Я =

2К

1-г2

, р = 1т

2 г 1-г2

г =1

В §2.3 исследуется задача об экстремальных значениях функционала А(/,г0) на классе . Полное решение этой задачи дается следующими двумя теоремами, в которых сохраняются принятые в теореме 2.1 обозначения. Теорема 2.3. В классе уклонение А(/,г0) кривых уу = /(/) при

\vfeg (V О, если ц = ±(д2 -V2)) не ограничено снизу, если

2 2 2 2 /■К д —\>,ине ограничено сверху, если ¡л>у — д .

Теорема 2.4. В классе для уклонения А{/, г0 ) кривых Yf = /(у)

справедливы точные оценки: А/6 < А{/,г0) < А/6, где А и А определяются формулами

А =

Му>м) =

(9-1VI)2

м-я2

Вч(у,м)=- 2 2

А =

СЧ(У,И) =

м

(<7+И)2

м+я

ОЧ(У,М) = - 2 2 у -ц-д

при М<д(д-\у [) = //,,

при ^ <м<д(д+\у\) = м2,

пРи

при

при -р2<м<-м1,

при М>-М[,

если | у |> д, и формулами

{Вч(у,$ при д2-у2<М<&, -^\Сч(у,ц) при ~[СЧМ ЯР" А~\оч{у,М) при

если ^ д.

Из теоремы 2.4 в частном случае получается соответствующий результат С.М.Югай.

В третьей главе рассматривается вопрос об изменении геометрических свойств регулярных функций под действием на них интегральных операторов. Исследованию этого вопроса в теории однолистных функций посвящен большой цикл работ. Р.Либера доказал, что оператор

г

сохраняет принадлежность функций классам , и К . С.Бернарди доказал такое же утверждение относительно оператора

1 1 2 •

О

(10)

при каждом комплексном V , Яе v > 0 .

П.Мокану, М.Рид и Д.Рипеану уточнили результат Р.Либеры о звездо-образности оператора Х(/) . Они нашли порядок звездообразности /,(/)

в классе 5*, который определяется как наибольшее число /? = /?[£(£*)] такое, что Ь(Б*) С1 $'(/3). Р.Сингх и С.Сингх (1979г.) доказали, что утверждение Р.Либеры о почти выпуклости Р(г) в (9) имеет место, если в (3) условие выпуклости g(z) заменить на более слабое условие

Н.Сохи показал, что при у > 1 утверждение С.Бернарди о звездообразности и выпуклости функции Е(г) в (10) имеет место при более слабых условиях для /(г) : е , если /(г) = г + е Я и

Ст.Рушевей, обобщая результаты Р.Либеры и С.Бернарди об устойчивости свойства звездообразности регулярных функций относительно

интегральных операторов (9) и (10), доказал, что если функция f{z) е 5*,

а > 0 и И.е V > 0, тогда функция

и ^(г) е , если /{г) = г +... е Я и

у + а г

\ГХГ№

= г + .

(П)

также принадлежит классу 5*, т.е. оператор /?(/) = Е(г) в (11) сохраняет свойство звездообразности регулярных функций. Позднее С.Миллер, П.Мокану и М.Рид доказали, что оператор М(/) = /"(г), где

ад-

у+а + Г |>+г-1

(12)

при а>0,у>0 и у + у^. О отображает Б* в 5".

В.А.Зморович высказал предположение о том, что 51 с 5'*. Я.Кшиж привел пример функции, опровергающий это включение. С.Сингх и Р.Сингх (1982 г.) доказали, что #(£) с при -1 < V < 0 , т.е. предположение В.А.Зморовича верно для подкласса на который интегральный

оператор Бернарди (10) при каждом -1 < у < 0 отображает весь класс 5.

В связи с тем, что в основном все приведенные результаты получены методом, который опирается на известную лемму Жака или ее уточнение, данное С.Миллером и П.Мокану, представляет интерес задача: исчерпать возможности этого метода в исследовании вопроса об изменении (в плане улучшения) геометрических свойств звездообразности, выпуклости, почти выпуклости и ограниченного вращения регулярных функций при интегральных преобразованиях (9) - (12). Эта задача является главной среди задач, рассматриваемых в третьей главе.

В § 3.1 с помощью леммы Жака доказаны следующие две теоремы.

Теорема 3.1. Если функция /(2) = г + дг2г2 +...е7?, а>0, у> 0, + и

Ые-

№

> -а, г е Е,

где

<7 =

а2+\у + у\2 +л1(а2-\у + у\2 )2 +4а21ш2 у

тогда определяемая формулой (12) функция принадлежит классу Б *.

Теорема 3.2. Если f(z)eS*, а> 0, у>0, Re v + у> 0, тогда определяемая формулой (12) функция F(z) принадлежит классу S * (ß), где ß>jU - наибольший на интервале (0,1) корень уравнения

_(1 - /¿)(R ev + Sfi)__

82{\-p)2 + \v + Sp\2 +yj[ö2(1 ■-м)2~Iу + Sp|2] + 4S2 Im2 v(\-ц)г

= Sfi-y, S = a + y. Теорема 3.1 показывает, что в приведенных выше результатах Ст.Рушевея, С.Миллера, П.Мокану и М.Рида требование звездообразное™ f(z) можно ослабить, причем в интеграле (12) при комплексном v, а теорема 3.2 уточняет эти результаты.

Из теоремы 3.1 и определения класса S*(ß) следует, что М($* (ß)) с S* (0). В связи с этим естественно возникает вопрос о наибольшем числе ¡л таком, что имеет место включение M(S'(ß)) с S*(/u). Число ¡л называется порядком звездообразности оператора M{f) на классе

S* (/?). Доказана

Теорема 3.3. Если а, у, v - заданные вещественные числа такие, что а>0, у> 0, v>-^ + max{0,(l-2/?)a-l}, то порядок звездообразности интегрального операторы M{f) = F(z), где F(z) определена формулой (12), на классе S*(ß), есть число

a+y+v-1

(a + y)4a^fi) f-^———dx l(\ + x)2a(l~ß)

а + у

Эта теорема содержит (при а = у -1 и р = у = 0) результат П.Мокану,

М.Рида и ДРипеану о порядке звездообразности оператора (9) в классе £*.

В случае, когда у = 0 получен (теорема 3.4) результат, обратный теоремам 3.2 и 3.3. Некоторые из полученных результатов распространены на регулярные функции, заданные в круге Е(с, р).

В § 3.2 дается обоснование достаточных условий выпуклости в Е оператора Бернарди (10) и почти выпуклости в Е{с, р) интегрального оператора типа Бернарди.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.5. Пусть / (г) = г +... е /?, Яе^ > 0 и Р(г) определяется формулой (10). Тогда:

1) если функция /(г) удовлетворяет условию

1 /Ь)1 '

где

СТ, =а1(у) =

1+М2 +V0-|^|2)2+4Im2v ' (13)

то F(z)eS°;

2) если f{z) G S0, то функция F(z) принадлежит классу S°(jB), где р^/л - наибольший на интервале (0,1) корень уравнения

_(l-//)(Re^ + //)

(\-pf + \v + p\2 ^[(l-p)2-\v + p\2f+4l m2v(\-p)2 Теорема 3.6. Пусть функция f(z) = а0 + ах (z. - с) +..., ах Ф 0, регулярна в круге Е(с, р), Re v > 0 и

ReZM>0, zeE(c,p),

g О)

где g(z) = b0 + bl(z — c) +..., b{ Ф 0, - некоторая регулярная в круге Е(с,р) функция такая, что

Rejl + (z-c)^t41>-(71, г е Е(с,р),

I g(z)J

сг| = СГ, (v) задано равенством (13). Тогда функция

1 Г

F(z) = f(c)+¡(С - сГ' (Ж) - f(c))dÇ, F (с) = f{c), (14) (2~с) о

почти выпукла порядка 1 в круге Е[с,р).

Из утверждения 1) теоремы 3.5 при v>l получается упомянутый выше результат Н.Сохи, а из теоремы 3.6 при с = 0 и ослабленном условии на g(z) - результат Р.Сингха и С.Сингха (1979 г.).

Выведено достаточное условие выпуклости заданного порядка в круге Е(с, р) функции F(z), заданной формулой (14), выраженное в терминах тейлоровских коэффициентов функции f(z) и дано одно его приложение.

В § 3.3 исследуется свойство ограниченного вращения регулярных функций в связи с интегральным преобразованием Бернарди. Среди полученных результатов отметим следующие.

Теорема 3.8. Пусть f(z) = z + ...eR, Rev>-1 и F(z) определяется формулой (10). Тогда:

1) если функция f{z) удовлетворяет условию

, 1 + Rev Rе/(*)>---zeE,

|l + v|

то F(z)&S;

2) если f(z) eS, то F(z) e S(ß), где ß > ц,

1 + Rev

l + Rev + 2|l + v|2 ' Теорема 3.10. Если функция f(z) = z + ...eR, -l<v<0 и

\ + v

тогда определяемая формулой (10) функция F(z) принадлежит классу S *.

Эта теорема показывает, что установленный Р.Сингхом и С.Сингхом (1982 г.) результат о звездообразное™ интегрального оператора Бернарди (10) имеет место при более слабом условии для f(z) .

На защиту выносятся следующие основные положения

\(z2-c)f (z2)}

1. Получена точная нижняя оценка функционала arg-i->,

где z, и z2 лежат на границе круга Е(с, r)czE, в классах S и K(ß).

2. Найдены границы выпуклости и почти выпуклости заданного порядка классов S и K(ß) в произвольной точке круга Е .

3. Выявлены случаи неограниченности уклонения образов гладких (трижды непрерывно дифференцируемых) кривых при конформном отображении, реализуемом функциями класса S. Получены двусторонние оценки для уклонения в классе S.

4. Дано полное решение задачи об уклонении образов гладких при конформных отображениях, реализуемых функциями из класса S0 .

5. Выведено ослабленное (по сравнению с известным) достаточное условие звездообразное™ интегрального оператора (10). Получена оценка порядка звездообразное™ этого оператора на классе S* и найден его по-

рядок звездообразности на классе S*(ß) при определенных значениях входящих в него параметров.

6. Установлены ослабленные (по сравнению с известными) достаточные условия для того, чтобы интегральный оператор Бернарди (8) обладал свойством выпуклости, почти выпуклости или ограниченного вращения, отображал S в S*. Дана оценка порядков выпуклости и ограниченного вращения оператора Бернарди соответственно на классах 5° и S.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Сижук П.И., Сижук Т.П. О некоторых свойствах однолистных функций // Вестник Ставроп. гос.ун-та. 2001. Вып. 28. с. 8-11.

2. Сижук Т.П. Об интегральном операторе, сохраняющем звездообразные функции // II Всесибирск. конгресс женщин математиков. - Тезисы докл. - Красноярск: Изд-во Красноярск, гос. ун-та. 2002. с. 206-208.

3. Сижук Т.П. Интегральное преобразование звездообразных функций // Ученые записки физико-математического факультета Ставропольского гос. ун-та. - Ставрополь: СГУ. 2002. с. 87-90.

4. Сижук Т.П. Об интегральном преобразовании Бернарди регулярных функций с ограниченным вращением // Сборник научных трудов. Вып. №20,-Ставрополь: Филиал Ростовского военного ин-та Ракетных войск. 2002. с. 66-68.

5. Сижук Т.П. Радиус почти выпуклости порядка а для почти выпуклых функций порядка ß // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. №2. с. 14-16.

6. Сижук Т.П. Формула для уклонения образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях // Вестник Ставроп. ин-та им. В.Д. Чурсина. 2003. Вып. 2. с. 123-124.

7. Сижук Т.П. Граница почти выпуклости в точке для однолистных функций // Изв. вузов. Математика. 2003. №2. с. 55-58.

8. Сижук Т.П. Об уклонении образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях // Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений. Труды конференции. - Воронеж: Воронеж, гос. ун-т. 2003. с. 204-208.

9. Сижук Т.П. О почти выпуклости и звездообразности функций, представимых в круге интегралом Либеры // Материалы научно-методической конференции «Университетская наука - региону». - Ставрополь: Ставроп. гос. ун-т. 2004, 155-157.

10. Сижук Т.П. Достаточные условия звездообразности интегрального оператора Рушевея // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. - Воронеж: Воронеж, гос. ун-т. 2005. с.208-209.

11. Сижук Т.П. Свойство ограниченного вращения и интегральное преобразование Бернарди регулярных функций // Материалы научно-методической конференции "Университетская наука - региону". - Ставрополь: Ставроп. гос. ун-т. 2005. с.178-181.

Изд. лиц.серия ИД № 05975 от 03.10.2001 Подписано в печать 3.05.2005

Формат 60x84 1/16 Усл.печ.л. 1,05 Уч.-изд.л. 0,87

Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ 141

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета 355009, Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

р1137 5

РНБ Русский фонд

2006-4 6854

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Экстремальные задачи, связанные с обобщенной выпуклостью и почти выпуклостью функций.

§1.1. Критерий почти выпуклости заданного порядка регулярных функций в круге.

§1.2. Нижняя оценка arg{(z2 -c)f'(z2)/(zl -с)/'^)} на классах S и

КЦЗ).

§1.3. Границы почти выпуклости и выпуклости заданного порядка классов S и K(J3) в точке.

ГЛАВА 2. Уклонение образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях.

§2.1. Формула для вычисления величины уклонения.

§2.2. Об изменении уклонения образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях.

§2.3. Экстремальные значения уклонения образов гладких кривых при однолистных выпуклых отображениях.

ГЛАВА 3. Геометрические свойства и интегральные преобразования регулярных функций.

§3.1. Свойство звездообразности и интегральные преобразования регулярных функций.

§3.2. Достаточные условия выпуклости и почти выпуклости интегрального оператора Бернарди.

§3.3.Свойство ограниченного вращения и интегральное преобразование Бернарди регулярных функций.

Геометрическая теория функций комплексного переменного является в настоящее время интенсивно развивающейся областью математического анализа, в которой изучаются регулярные или мероморфные функции, определяемые какими-либо геометрическими свойствами, а также различные геометрические и экстремальные свойства тех или иных классов функций.

В геометрической теории аналитических функций комплексного переменного важное место занимают вопросы, связанные с исследованием функционалов, непосредственно характеризующих искажения кривых и областей при соответствующих конформных отображениях (см. [1-5; 9; 12; 13; 16; 17; 23-25; 28; 30-33; 36-41; 45-53; 60; 63; 88; 90]), с изучением устойчивости и изменения геометрических свойств аналитических функций при интегральных преобразованиях (см. [35; 42-44; 54; 64; 82; 84; 85]). Особенно актуальными являются эти вопросы для однолистных функций в круге, т.е. функций, принимающих в различных точках круга различные значения, которые реализуют конформные отображения и находят широкое применение во многих разделах математики и механики.

Настоящая работа посвящена изучению геометрических и экстремальных свойств регулярных функций в круге. Основными направлениями исследований в работе являются: изучение геометрических свойств образов кругов со смещенным центром при конформных отображениях, осуществляемых регулярными однолистными функциями в единичном круге, определение экстремальных значений уклонения образов гладких кривых при конформных отображениях, осуществляемых регулярными выпуклыми функциями в единичном круге, исследование вопроса об изменении геометрических свойств регулярных функций при интегральных преобразованиях. Все эти направления касаются указанных выше вопросов, этим обуславливается актуальность проводимых исследований.

Дадим обзор содержания диссертации с параллельным кратким обзором некоторых известных результатов, непосредственно связанных с рассматриваемым в ней кругом вопросов.

В дальнейшем: Е(с,р) = {z\\z-c\< р}, Е=Е(0,1)\ R - класс регулярных в круге Ефункций f(z) с f'{z) 0 в Е\ S — класс однолистных функций f(z)eR, нормированных условиями /(0) = 0, f'(0) = U S° ~ класс функций f(z)eS таких, что

Re{1+/lo}>0'z6£; (1)

S* - класс функций f(z)eS таких, что

Re^iUo ,zeE; (2)

S - класс функций f(z)eS таких, что Re /' (z) > 0 в круге Е.

Область G называется выпуклой, если любые две точки G можно соединить прямолинейным отрезком, лежащим в G, и называется звездообразной относительно точки w0 е G, если любую точку G можно соединить с w0 прямолинейным отрезком, лежащим в G.

Условия (1) и (2) есть необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция w = f(z) отображала круг Е соответственно на выпуклую и звездообразную относительно точки w = 0 область. В связи с этим функции класса S0 называются выпуклыми, а функции класса S* - звездообразными функциями в круге Е. Функции класса S по предложению В.А.Зморовича называются функциями с ограниченным вращением в круге Е.

Свойства выпуклых и звездообразных функций в круге Е к настоящему времени наиболее изучены в теории однолистных функций. Систематическое изучение экстремальных свойств функций с ограниченным вращением в круге Е начато В.А.Зморовичем [19; 21]. Ряд свойств этих функций указан И.М.Гальпериным [14], Т.Мак-Грегором [65] и другими авторами.

М.Робертсон [80] ввел понятие порядка выпуклости для f(z) е и порядка звездообразности для /(z)eS*, заменив условие выпуклости (1) на условие

Re{1+rM>/?'ze£' (3) где J3, 0 < Р < 1, - порядок выпуклости /(z), а условие звездообразности (2) на условие где Р, 0 < /? < 1, - порядок звездообразности /(z). Функции, выпуклые порядка Р в Е и звездообразные порядка /3 в Е , образуют подклассы классов и S*, которые обозначаются S°(p) и S*(J3). Через S(fl) обозначается подкласс функций из S с ограниченным вращением порядка /3 в Е, т.е. функции f(z)eS таких, что Re f\z) > J3, z е £, 0 < /? < 1.

Регулярная в круге Е(с,р) функция w = /(z), отображающая круг £(с, р) на область G, называется выпуклой в Е(с, р), если G - выпуклая область, и называется звездообразной в Е{с, р), если G - звездообразная область относительно точки w0 = f (с). Аналитически выпуклость функции /(z) в Е(с, р) выражается неравенством [4] а звездообразность - неравенством [5] f(z)-f(c)

Принимая это во внимание и следуя М.Робертсону [80], мы называем регулярную в круге Е{с,р) функцию /(z), /'(с) ^ 0, выпуклой порядка р, 0 < Р < 1 ,в круге Е(с, р), если

Refl.ML.z^fe,), и называем звездообразной порядка /? в круге Е(с, р), если

Z-C)/'(Z)

ДЮ-Дс)

По определению В.Каплана [59], функция f(z)eR, удовлетворяющая в £ условию

Re/M>0 (4) с некоторой (зависящей от f(z)) выпуклой функцией g(z) в Е, называется почти выпуклой или близкой к выпуклой (см. [11, с.583]). Почти выпуклые функции являлись предметом исследования многих работ (например, [8; 18; 29; 73-77]) и их понятие обобщено в разных направлениях (см. [26; 34; 55; 56; 62; 72; 85; 86; 89]). В частности, введены в рассмотрение функции, почти выпуклые определенного порядка.

Известно (например, [56]), что функция f(z)eR, нормированная условиями /(0) = 0, /'(0) = 1 > называется почти выпуклой порядка /3, 0</?< 1, в Е, если существуют такие выпуклая функция g(z)eS° и комплексная постоянная s, | s |= 1, что в Е g' 2

Множество всех таких функций обозначаем через К{@). Ясно, что К{0) = S°, iC(l) = К - класс почти выпуклых функций в Е. Классы K(fi), 0 < Р < 1, состоят из однолистных функций в Е [59] и являются специальными подклассами функций, введенных в [32].

Регулярную в круге Е(с,р) функцию f(z), /'(с) ф 0, называем, по определению, почти выпуклой порядка (5, 0 < р < 1, в круге Е(с, р), лежащем в Е, если существует выпуклая в Е{с,р) функция g(z) такая, что в Е(с,р) argiSS.

5)

Центральное место в исследованиях класса S и его подклассов занимают результаты, касающиеся величин, непосредственно характеризующих искажение отображаемой области. Весьма наглядно выясняют степень искажения однолистного отображения так называемые границы выпуклости, звездообразности, почти выпуклости и т.д. Они показывают какие из кругов Е(с,г)аЕ при однолистном отображении круга Е любой функцией класса S (или некоторого его подкласса) переходят в области того или иного геометрического типа.

Первая глава диссертации посвящена определению границ заданного порядка выпуклости и почти выпуклости классов S и K(J3) в произвольной точке с е Е.

Р.Неванлинна [70] нашел, что всякий круг | z |< г при

0 < г < 2 — л/3 = 0.268. отображается любой функцией класса S на выпуклую область. Число нельзя заменить большим. Оно называется границей выпуклости для класса S [15, с.165-166].

И.А.Александров [3] (см. также [4; 7, с. 163-164; 6, с.58; 11, с.565]) доказал, что всякий круг Е(с,г), лежащий в Е, при 0 < г < г {с) = 2-л/3+ | с |2 любой функцией f(z) е S отображается на выпуклую область. Позднее из других соображений этот результат получен Б.Н.Рахмановым [37] и Л.М.Бер [13]. Число г (с), которое нельзя увеличить без дополнительных ограничений, названо И.А.Александровым границей выпуклости класса S в точке с.

Ставшие уже классическими, результаты Р.Неванлинны и И.А.Александрова послужили стимулом для отыскания границы почти выпуклости класса S. Впоследствии, Я.Кшиж [60] и П.И.Сижук [38] определили наибольшие радиусы кругов с центром в нуле, в которых каждая функция класса S почти выпукла и почти выпукла порядка /3.

Наряду с исследованием границ выпуклости и почти выпуклости всего класса S проводились исследования по определению границ выпуклости и почти выпуклости его подкласса K(jB). В частности, Х.Поммеренке [74] нашел, что круг \z\<\ + Р-«^2(3 + [Зг, но не всегда больший круг, отображается любой функцией класса К(/3) на выпуклую область. В.И.Кан [27] установил, что круг \z-c\<\ + Р-^2Р + р2 + \ с \2, но не всегда больший круг, отображается любой функцией классаК{Р) на выпуклую область. Д.В.Прохоров и Н.Б.Рахманов [36] определили границу (радиус) почти выпуклости класса К(Р).

Следуя И.А.Александрову, мы называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка Р класса S в точке се£ точную верхнюю границу гр(с) (гр{с)) радиусов кругов Е{с,г) с Е, в каждом из которых любая функция из класса S является выпуклой (почти выпуклой) порядка р.

Аналогично, называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка а класса К(Р) в точке с еЕ точную верхнюю границу га(с,/?) (га (с, Р)) радиусов кругов Е{с, г) с Е, в каждом из которых любая функция из класса К(Р) является выпуклой (почти выпуклой) порядка а.

В § 1.1 устанавливается критерий почти выпуклости порядка /? в круге Е(с,р) функций f(z)eR. В частности, при с = 0 и р = 1 получаются соответствующие результаты работ [59; 77; 79].

В §1.2 находятся точные нижние оценки функционала arg{(z2 -c)/'(z2)/(z, -c)/'(z,)} на классах S и К(Р) при любых zk =c + reiVk, k = 1,2, 0 < (рх < (р2 < 2п, r+1 z |< 1. При с = 0 получается результат из работы [38] для функций f(z)eS.

В §1.3 с помощью результатов предыдущих параграфов определяется граница почти выпуклости порядка р класса S в произвольной точке се Е и граница почти выпуклости порядка а класса К(Р) в точке с; находятся границы выпуклости заданного порядка классов S и К(р) в точке с.

Соответствующие результаты работ [3; 13; 27; 36-38; 60; 70; 74] получаются в частных случаях.

Во второй главе рассматривается вопрос об уклонении образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями классов S и S0.

Как известно (см. введение в библиографию в [50]) уклонением А плоской кривой и = u(t), v = v{t), t - параметр, (6) в некоторой ее точке М называется тангенс угла 8, образованного предельным положением прямой MN и нормалью к кривой в точке М, где N - середина хорды кривой, параллельной касательной в точке М, когда хорда стремится к М. Угол 5 называется углом уклонения, а предельное положение прямой MN - осью уклонения или аффинной нормалью к кривой. Величина уклонения А измеряет асимметрию кривой относительно нормали, проходящей через точку М, и является наряду с кривизной важной характеристикой кривой в окрестности точки М.

Вопрос об изменении кривизны линий уровня (образов концентрических окружностей | z |= г) при однолистных конформных отображениях рассматривался в целом ряде работ (например, в [10; 20; 30; 47; 48; 51]). В некоторых классах однолистных функций он решен полностью. В.В.Черников и С.А.Копанев [50] положили начало исследованию экстремальных свойств уклонения линий уровня при однолистных конформных отображениях.

B.В.Черниковым [49; 50] (см. также [6, с.205-216]) дано полное решение задачи об экстремальных уклонениях линий уровня в классе S, а

C.А.Копаневым [50] (см. также [6, с.216]) - в классе S0. Впоследствии, П.И.Сижуком и А.А.Бутенко [39] эта задача решена в двух подклассах класса S0. С.М.Югай [52] получено решение задачи об экстремальных уклонениях образов окружностей со смещенным центром вдоль вещественного диаметра круга Е при конформных отображениях, реализуемых всеми функциями класса S0 и р -симметричными функциями из S0. Поведение функций класса S на окружностях с центрами, не совпадающими с началом рассматривалось в работах [88; 90].

В §2.1 выводится формула для вычисления величины уклонения в произвольной точке образа достаточно гладкой кривой при конформном отображении w = f(z)eS. Указанные в работах [50; 52] формулы для уклонения образов окружностей содержатся в нашей формуле.

В §2.2 рассматривается общая задача об изменении уклонения образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями класса S.

В §2.3 приводится полное решение задачи об экстремальных значениях уклонения образов достаточно гладких кривых при отображении круга Е функциями класса S0. В частных случаях получаются соответствующие результаты работ [50; 52].

В третьей главе рассматривается вопрос об изменении геометрических свойств регулярных функций под действием на них интегральных операторов. Исследованию этого вопроса в теории однолистных функций посвящен большой цикл работ (см. обзор в [1], [2] и введение в [44]).

Р.Либера [64] доказал, что оператор сохраняет принадлежность функций классам S*, S0 и К. С.Бернарди [54] доказал такое же утверждение относительно оператора при каждом комплексном у, Re v > 0.

П.Мокану, М.Рид и Д.Рипеану [69] уточнили результат Р.Либеры о звездообразности оператора !(/). Они нашли порядок звездообразности

L(f) в классе S*, который определяется как наибольшее число /? = J3[L(S*)] такое, что L(S*) с S*(/3).

Р.Сингх и С.Сингх [84], распространяя результаты Р.Либеры на более широкие классы функций, доказали, что если функция f(z) = z + . из класса

7)

B(f) = F(z) = ^lrlf(t)dt v + \zc

8)

R удовлетворяет в Е условию (3) при /? = —1/2, тогда представимая интегралом Либеры (7) функция F(z) принадлежит классу S0, а если для f{z) существует функция g(z), удовлетворяющая условию

1 g'Wj 2' такая, что имеет место неравенство (4), то функция F{z) принадлежит классу К. Они также доказали, что F(z) отображает круг |zj <

4-л/13 на выпуклую область, если f(z)eS.

Н.Сохи [87] показал, что при v > 1 утверждение С.Бернарди о звездообразное™ и выпуклости функции F(z) в (8) имеет место при более слабых условиях для f(z): F{z) е S*, если f(z) = z + .eR и и F(z)eS°,если f(z) = z + .eR и

2v

1 /'(Z) J 2v

Ст.Рушевей [82], обобщая результаты Р.Либеры и С.Бернарди об устойчивости свойства звездообразности регулярных функций относительно интегральных операторов (7) и (8), доказал, что если функция f(z)eS*, а > 0 и Re v > 0, тогда функция

F(z)s v + a tv~'fa{t)dt l/« z + .

9) также принадлежит классу S*, т.е. оператор R(f) = F{z) в (9) сохраняет свойство звездообразности регулярных функций. Позднее С.Миллер, П.Мокану и М.Рид [68] доказали, что оператор M(f) = F{z), где

1/(o+r) при а>0,у>0 и v + y>0 отображает S*в S*.

B.А.Зморович [19] высказал предположение, что каждая функция с ограниченным вращением в Е является звездообразной в Е. Я.Кшиж [61] привел пример функции с ограниченным вращением в Е, не являющейся звездообразной в Е.

C.Сингх и Р.Сингх [85] доказали, что высказанное В.А.Зморовичем предположение имеет место в подклассе функций с ограниченным вращением, на который интегральный оператор Бернарди (8) при -1 < v < 0 отображает весь класс S функций с ограниченным вращением в круг Е.

В многочисленных работах отечественных и зарубежных математиков изучались геометрические свойства регулярных функций в зависимости от коэффициентов их разложений в ряд Тейлора. Источником многих таких исследований явился результат Р.Ремака [78] (см. также работу [57] А.Гудмана) о том, что функция f(z) = z + агг2 +. + anzn +. из R звездообразна в Е, если со

Е4Ф1п=2

В связи с тем, что в основном все приведенные результаты получены методом, который опирается на лемму Жака [58] или ее уточнение, данное С.Миллером и П.Мокану [66], представляет интерес задача: исчерпать возможности этого метода в решении рассмотренных в работах [68, 82, 84, 85, 87] вопросов о геометрических свойствах функций (8) - (10) и на этом пути уточнить и распространить на другие классы регулярных функций результаты указанных работ. Эта задача является главной среди задач, рассматриваемых в третьей главе.

В § 3.1 устанавливается достаточное условие звездообразности интегрального оператора (10) при комплексном параметре у; дается оценка порядка звездообразности оператора (9) в классе S* и для ряда значений параметров определяется порядок звездообразности оператора (10) на классе S*(p); находится наибольший радиус круга Е(с, г), в котором функция /(z) в (9) звездообразна порядка j3, если F(z) е £*(/?). Соответствующие результаты работ [68; 82] уточняются и обобщаются. Результат работы [69] получается в частном случае.

В § 3.2 обосновываются достаточные условия выпуклости и почти выпуклости заданного порядка в круге Е(с, р) отнормированного интегрального оператора Бернарди (8); находится оценка порядка выпуклости оператора Бернарди на классе S0; выводится коэффициентное условие выпуклости заданного порядка в круге Е{с, р) отнормированного оператора Бернарди. Соответствующий результат работы [87] получается в частном случае, а работы [84] - в частном случае и при ослабленном условии на функцию g(z).

В § 3.3 получается условие, которому должна удовлетворять функция /(z), чтобы интегральный оператор Бернарди (8) обладал свойством ограниченного вращения в круге Е; дается оценка порядка ограниченного вращения оператора (8) на классе S; находится наибольший радиус круга |z| < г, в котором f(z) в (8) является функцией с ограниченным вращением порядка

Р, если F{z) е £*(/?); устанавливается условие, более слабое, чем в [85], которому должна удовлетворять производная функции /(z) в (8), чтобы интегральный оператор (8) при -1 < v < 0 отображал S в S*.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленные в главах 1-3 результаты проведенных исследований геометрических и экстремальных свойств регулярных (в том числе и однолистных) функций комплексного переменного являются новыми. Их достоверность обосновывается полными математическими доказательствами. Многие из полученных результатов совпадают в частных случаях с известными в литературе.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы исследования могут использоваться при решении задач геометрической теории функций комплексного переменного, для изучения некоторых классов аналитических функций (в том числе и однолистных), а также в теории упругости, газовой динамике, гидромеханике и т.п.

Основными результатами, выносимыми на защиту являются следующие:

1. Получена точная нижняя оценка функционала argi ——>, где z, и z2 лежат на границе круга Е(с, г) а Е, в классах S и K(j3).

2. Найдены границы выпуклости и почти выпуклости заданного порядка классов S и K(j3) в произвольной точке круга Е.

3. Выявлены случаи неограниченности уклонения образов гладких (трижды непрерывно дифференцируемых) кривых при конформном отображении, реализуемом функциями класса S. Получены двусторонние оценки для уклонения в классе S.

4. Дано полное решение задачи об уклонении образов гладких при конформных отображениях, реализуемых функциями из класса S0.

5. Выведено ослабленное (по сравнению с известным) достаточное условие звездообразности интегрального оператора (10). Получена оценка порядка звездообразности этого оператора на классе S* и найден его порядок звездообразности на классе S*(fi) при определенных значениях входящих в него параметров.

6. Установлены ослабленные (по сравнению с известными) достаточные условия для того, чтобы интегральный оператор Бернарди (8) обладал свойством выпуклости, почти выпуклости или ограниченного вращения, отображал S в S*. Дана оценка порядков выпуклости и ограниченного вращения оператора Бернарди соответственно на классах S0 и S.

Основное содержание диссертации изложено в работах [1-11] из списка работ автора. Из имеющейся в этом списке одной совместной работы [1] в диссертацию включена только теорема 2, доказанная автором.

1. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев JI.A. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // Успехи матем. наук. 1975. т.ЗО. №4. с. 3-60.

2. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев JI.A., Елизаров A.M. Достаточные условия ко-нечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Матем. анализ. 1987. с. 3-121.

3. Александров И.А. О границах выпуклости и звездообразности для функций однолистных и регулярных в круге // Докл. АН СССР. 1957. т.116. №6. с. 903-905.

4. Александров И.А. Об условиях выпуклости образов области при отображении её регулярными однолистными в круге функциями // Изв. вузов. Математика. 1958. №6. с. 3-6.

5. Александров И.А. О звездообразности отображений области регулярными однолистными в круге функциями // Изв. вузов. Математика. 1959. №4.с. 9-15.

6. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций- Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та. 2001. 220с.

7. Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного-М.: Высшая школа. 1984. 192с.

8. Александров И.А., Гутлянский В.Я. Экстремальные свойства почти выпуклых функций // Сибирск. матем. ж. 1966. т.7. с. 3-22.

9. Александров И.А., Попов В.И. Решение задачи И.Е. Базилевича и

10. Г.В. Корицкого о звездообразных дугах линий уровня // Сибирск. матем. ж. 1965. т.6. №1. с. 16-37.

11. Александров И.А., Черников В.В. Экстремальные свойства звездообразных отображений // Сибирск. матем. ж. 1963. т.4. №2. с. 241-267.

12. Аленицин Ю.Е., Кузьмина Г.В., Лебедев Н.А. Методы и результаты геометрической теории функций // Добавление к книге Г.М. Голузина «Геометрическая теория функций комплексного переменного».-М.: Наука. 1966. с.532-626.

13. Базилевич И.Е., Корицкий Г.В. О некоторых свойствах линий уровня при однолистных конформных отображениях // Матем. сб. 1962. т.58. №3. с.249-280.

14. Бер Л.М. Применение метода параметрических представлений к исследованию экстремальных задач теории отображений // Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук — Томск. 2002.

15. Гальперин И.М. К теории однолистных функций с ограниченным вращением // Изв. вузов. Математика. 1958. №3. с. 50-61.

16. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного-М.: Наука. 1966.

17. Горяйнов В.В., Гутлянский В.Я. Про рад1ус з1рчастости при конформному вщображенш // Доп. АН УРСР. 1974. сер.А. №2. с. 100-102.

18. Гутлянский В.Я. Области значений некоторых функционалов и свойства линий уровня на классах однолистных функций // Вопросы геометрической теории функций. Вып.4. Тр. Томск, гос. ун-та. 1968. т.200. с. 71-87.

19. Зиновьев П.М. Об одном свойстве почти выпуклых функций // Дифференциальные уравнения и теория функций Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та. 1981. с. 20-26.

20. Зморович В.А. Про деяю задач1 теорп унивалентных функций // Науков1 записки Кшвського университету. 1952. т. XI. вып. VI. с. 83-94.

21. Зморович В.А. О некоторых вариационных задачах теории однолистных функций // Укр. матем. ж. 1952. т. IV. №3. с. 276-298.

22. Зморович В.А. О некоторых специальных классах однолистных в круге аналитических функций // Успехи матем. наук. 1954. т. IX. №4. с. 175-182.

23. Зморович В.А. Об одном классе экстремальных задач, связанных с регулярными функциями с положительной вещественной частью в круге \z\ < 1 //

24. Укр. матем. ж. 1965. т. 17. №4. с. 12-21.

25. Зморович В.А. О границах выпуклости звездных функций порядка а в круге \z\ < 1 и круговой области 0 < \z\ < 1 // Матем. сб. 1965. т. 68. №4.с. 518-526.

26. Зморович В.А. Про радиус v -спиральности 0-спиральных функций в кол1 Ц<1 //ДоповщАНУРСР. 1965.№10. с. 1262-1265.

27. Зморович В.А., Якубенко А.А. Обобщение теоремы Мокану-Рида о границе а -выпуклости класса звездных функций // Матем. анализ и теория вероятностей.-Киев: Наукова думка. 1978. с. 70-74.

28. Зморович В.А., Похилевич В.А. Об от-почти выпуклых функциях // Укр. матем. ж. 1981. т. 35. №5. с. 670-673.

29. Кан В.И. Радиус выпуклости почти выпуклых порядка р функций // Исследования по математическому анализу и алгебре Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та. 1998. с. 18-22.

30. Кайдан В.А., Похилевич В.А. О некоторых свойствах дуг линий уровня вне круга радиуса выпуклости // Матем. анализ и теория веротностей Киев: Наукова думка. 1978. с.74-79.

31. Копанев С.А. Югай С.М. Экстремальные свойства класса почти выпуклых функций порядка /3 II Экстремальные задачи теории функций Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та. 1979. с. 42-48.

32. Корицкий Г.В. К вопросу о кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях // Успехи матем. наук. 1960. т. 15. №5. с. 179-182.

33. Максимов Ю.Д. Экстремальные задачи в некоторых классах аналитических функций // Докл. АН СССР. 1955. т. 100. №6. с. 1041-1044.

34. Попов В.И. О звездообразности дуг линий уровня при однолистных конформных отображениях // Докл. АН СССР. 1964. т. 155. №4. с. 757-760.

35. Прохоров Д.В. Об одном обобщении класса почти выпуклых функций // Матем. заметки. 1972. т. 11. №5. с. 509-516.

36. Прохоров Д.В. Интегралы от однолистных функций // Матем. заметки. 1978. т. 24. №5. с. 671-678.

37. Прохоров Д.В. Рахманов Н.Б. Радиус почти выпуклости порядка а в классе функций почти выпуклых порядка р И Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Вып. 6. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та. 1976. с. 135-140.

38. Рахманов Б.Н. О радиусах выпуклости и звездообразности однолистных функций // Исследования по дифференциальным уравнениям и теории функций. Вып. 3. Саратов. Изд-во Сарат. гос. ун-та. 1971. с. 58-62.

39. Сижук П.И. Радиус почти выпуклости порядка а в классе однолистных функций // Матем. заметки. 1976. т. 20. Вып. 1. с. 105-112.

40. Сижук П.И., Бутенко А.А. Об уклонении линий уровня и их ортогональных траекторий при однолистных выпуклых отображениях единичного круга//Укр. матем. ж. 1989. т. 41. №9. с. 1263-1267.

41. Степанова О.В. Об одном свойстве линий уровня при однолистных конформных отображениях // Докл. АН СССР. 1965. т. 163. №6. с. 1330.

42. Степанова О.В. О некоторых свойствах линий уровня при однолистных конформных отображениях // Матем. сб. 1965. т. 61. №3. с. 350-360.

43. Хохлов Ю.Е. Операторы и операции на классе однолистных функций // Изв. вузов. Математика. 1978. №10. с. 83-89.

44. Хохлов Ю.Е. Свёртка Адамара, гипергеометрические функции и линейные операторы в классе однолистных функций // Докл. АН СССР. Сер. А. 1984. №7. с. 25-27.

45. Хохлов Ю.Е. Свёрточные операторы, сохраняющие однолистные функции // Укр. матем. ж. 1985. т. 37. №2. с. 220-226.

46. Черней Н.И. Критерии устойчивой выпуклости области при однолистных конформных отображениях. I. // Укр. матем. ж. 1966. т. 18. №1. с. 86-91.

47. Черней Н.И. Критерии устойчивой выпуклости области при однолистных конформных отображениях. И. // Укр. матем. ж. 1966. т. 18. №5. с. 84-93.

48. Черников В.В. Об оценке кривизны линий уровня в одном классе однолистных функций //Матем. заметки. 1976. т. 19. №3. с. 381-388.

49. Черников В.В. Об оценке кривизны линий уровня в классе всех регулярных однолистных в круге функций // Сибирск. матем. ж. 1985. т. 26. №2. с. 210-213.

50. Черников В.В. Оценка уклонения линий уровня в классе всех регулярных однолистных в круге функций // Изв. вузов. Математика. 1986. №10. с. 7782.

51. Черников В.В., Копанев С.А. Об уклонении линий уровня и их ортогональных траекторий при однолистных конформных отображениях // Сибирск. матем. ж. 1986. т. 27. №2. с. 193-201.

52. Эзрохи Т.Г. О кривизне линий уровня и их ортогональных траекторий в классе функций с ограниченным вращением // Укр. матем. ж. 1965. т. 17. №4. с.91-99.

53. Югай С.М. Об оценках кривизны и уклонения образов окружностей при однолистных конформных отображениях // Экстремальные задачи теории функций Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та. 1992. с. 3-10.

54. Bernardi S.D. The radius of univalence of certain analytic functions// Proc. Amer. Math. Soc. 1970. v. 24. p. 312-318.

55. Bernardi S.D. Convex and starlike univalent functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. v. 135. p. 426-446.

56. Blezu D., Pascu N. Functions alpha-close-to-convex of order у II Studia Univ. Babes- Bolyai. Mathematica. 1982. v. XXVII. p. 37-43.

57. Goodman A.W. On close-to-convex functions of hingher order // Ann. Univ. Sci. Budapest. See. Math. 1972. №15. p. 17-30.

58. Goodman A.W. Univalent functions and nonanalytic curves // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. v. 8. p. 598-601.

59. Jack I.S. Functions starlike and convex of order a II J. London Math. Soc. 1971. №3. p. 469-474.

60. Kaplan W. Close-to-convex schlicht functions // Michigan. Math. J. 1952. v.l №2. p. 169-185.

61. Krzyz J. The radius of close-to-convexity within the family of univalent functions // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math., Astronomy, Phus. 1962. v. 10. №4. p. 201-204.

62. Krzyz J. A conter example concerning univalent functions // Mat. Fiz. Chem. 1962. v. 2. p. 57-58.

63. Libera R.J., Robertson M.S. Meromorphic close-to-convex functions // Michigan Math. J. 1961. №8. p. 167-175.

64. Libera R.J. Some radius of convexity problems // Duke Math. J. 1964. v. 31. №1. p. 143-158.

65. Libera R.J. Some classes of regular univalent functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. v. 16. p. 755-758.

66. Mac-Gregor T. Functions whosed derivative has a positive real part // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. v. 104. p. 532-537.

67. Miller S.S., Mocanu P.T. Second order differential inequlites // J. Math. Anal, and Appl. 1979. v. 65. №2. p. 289-305.

68. Miller S.S., Mocanu P.T. Univalent solutins of Briot-Bouquet differential equations // Lect. Notes Math. 1983. v. 1013. p. 292-310.

69. Miller S.S., Mocanu P.T., Reade M.O. Starlike integral operators // Pacific J. Math. 1978. v. 79. p. 157-168.

70. Mocanu P.T., Reade M.O., Ripeanu D. The order of starlikenes of a Libera integral operator//Mathematica. 1977. v. 19 (42). №1. p. 67-73.ft

71. Newanlinna R. Uber die schlichten Abbildungen der Einheitskreises // Oversikt av Finska Vet. Soc. Forh. (A). 1919-1920. v. 62. №6. p. 1-14.

72. Nunokawa M. On a estimate of the real part of f(z)/z for the subclass of univalent functions //Math. jap. 1990. v. 35. №3. p. 489-491.

73. Pascu N.N. Alpha-close-to-convex functions // Lucrarile celui de-al treilca Seminar romano-funlandes. Bucuresti. 1976.

74. Pommerenke Ch. On the coefficients of close-to-con vex functions // Michigan. Math. J. 1962. №3. p. 159-169.

75. Pommerenke Ch. On close-to-convex analytic functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. v. 114. №1. p. 176-186.

76. Reade M.O. Sur une classe de functions univalentes // C.R. Acad. Sci. Paris. 1954. v. 239. p. 1758-1759.

77. Reade M.O. On close-to-convex univalent functions // Michigan Math. J. 1955-1956. v.3.№l. p. 59-62.

78. Reade M.O. The coefficients of close-to-convex functions // Duke Math. J. 1956. v. 23. №3. p. 459-462.

79. Remak R. Uber eine spezielle Klasse schlichter konformen Abbildungen des Einheitskreises // Manhematica B. 1943. v.l 1. p.175-192.

80. Renyi A. Some remarks on univalent functions // Изв. Матем. ин-та. Болг. АН. 1959. т. 3. №2. с. 111-121.

81. Robertson М. S. On the theory of univalent functions // Ann. of Math. 1936. v. 37. p. 376-408.

82. Ruscheweyh S t., W ilken D .R. S harp e xtremates f or с ertain В riot-Bouquet subordinations // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1985. v. 30. p. 559-569.

83. Ruscheweyh St. Eine Invarianzeigenschaft der Basilevic-Functionen // Math. Z. 1973. v. 134. p. 215-219.

84. Ruscheweyh St., Singh V. On certain extremal problems for functions with positiven real part // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. v. 61. №2. p. 329-334.

85. Singh R., Singh S. Integrals of certain univalent functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. v. 77. №3. p. 336-340.

86. Singh S., Singh R. Starlikenes of close-to-convex function // Indian J. Pure and Appl. Math. 1982. v. 13. №2. p. 190-194.

87. Singh S., Singh R. On new subclasses of close-to-convex functions // Indian J. Pure and Appl. Math. 1981. v. 12. №6. p. 743-748.

88. Sohi N.S. On a subclass of p-valent functions // Indian J. pure appl. Math. 1980. v. 11. №11. p. 1504-1508.

89. Stankiewicz J., Switomak B. Generalized problems of convexity and starlikenes // Комплекс, анализ и прилож. // Докл. междунар. конф. София. 1986. с. 670-675.

90. Umezawa Т. Multivalenty close-to-convex functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. №8. p. 869-874.

91. Walsh J.L. On the circles of curvature of the umages of circles under a con-formal mapping // Amer. Math. Monthly. 1939. v. 46. p. 472-485.

92. Yoshikawa H., Yoshikai T. Some notes on Bazilevic functions // J. London. Math. Soc. 1979. v. 20. p. 79-85.

93. СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

94. Сижук П.И., Сижук Т.П. О некоторых свойствах однолистных функций // Вестник Ставроп. гос.ун-та. 2001. Вып. 28. с. 8-11.

95. Сижук Т.П. Об интегральном операторе, сохраняющем звездообразные функции // II Всесибирск. конгресс женщин математиков. Тезисы докл. -Красноярск: Изд-во Красноярск, гос. ун-та. 2002. с. 206-208.

96. Сижук Т.П. Интегральное преобразование звездообразных функций // Ученые записки физико-математического факультета Ставропольского гос. унта. Ставрополь: СГУ. 2002. с. 87-90.

97. Сижук Т.П. Об интегральном преобразовании Бернарди регулярных функций с ограниченным вращением // Сборник научных трудов. Вып. №20.-Ставрополь: Филиал Ростовского военного ин-та Ракетных войск. 2002. с. 6668.

98. Сижук Т.П. Радиус почти выпуклости порядка а для почти выпуклых функций порядка р //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. №2. с. 14-16.

99. Сижук Т.П. Формула для уклонения образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях // Вестник Ставроп. ин-та им.

100. В.Д. Чурсина. 2003. Вып. 2. с. 123-124.

101. Сижук Т.П. Граница почти выпуклости в точке для однолистных функций // Изв. вузов. Математика. 2003. №2. с. 55-58.

102. Сижук Т.П. Об уклонении образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях // Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений. Труды конференции. — Воронеж: Воронеж, гос. ун-т. 2003. с. 204-208.

103. Сижук Т.П. О почти выпуклости и звездообразности функций, представимых в круге интегралом Либеры // Материалы научно-методической конференции «Университетская наука региону». — Ставрополь: Изд-во Ставропольск. гос. ун-т. 2004. с. 154-157.

104. Сижук Т.П. Достаточные условия звездообразности интегрального оператора Рушевея // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т. 2005. с. 208-209.

105. И. Сижук Т.П. Свойство ограниченного вращения и интегральное преобразование Бернарди регулярных функций // Материалы научно -методической конференции " Университетская наука региону". Ставрополь: Ставропольск. гос. ун-т. 2005. с. 178-181.