Геометрические и экстремальные свойства регулярных функций в круге тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

СИЖУК ТАТЬЯНА ПЕТРОВНА

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2004

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Симоновский А.Я.

член корр. РАО, доктор физико-математических наук,профессор Александров ИА.

доктор физико-математических наук, профессор Коробейник Ю.Ф.

Ведущая организация:

Казанский государственный университет

Защита состоится " 2004 года в ^часов на заседании

диссертационного совета К212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: 344006, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан

«Я» аш^а.

2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К212.208.06, кандидат физико-математических наук

Кряквин В.Д.

2005-4

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

12638

Актуальность темы. Одной из важных областей математического анализа является геометрическая теория функций комплексного переменного, в которой изучаются аналитические функции, определяемых какими-либо геометрическими свойствами, а также различные геометрические и экстремальные свойства тех или иных классов функций.

Наиболее употребительные и значимые классы образуют регулярные функции, которые участвуют в реализации конформных отображений, играющих заметную роль в математическом анализе, геометрии и других разделах математики. В связи с конформными отображениями теория регулярных функций комплексного переменного получила многочисленные применения в исследовании плоских задач теории движения жидкости, теории упругости и других задач. Поэтому естественно, что в геометрической теории регулярных функций важное место занимают вопросы, связанные с исследованием функционалов, непосредственно характеризующих искажения кривых и областей при соответствующих конформных отображениях, с экстремизацией функционалов и получением оценок для регулярных ограниченных функций и функций с положительной вещественной частью, с изучением устойчивости геометрических свойств регулярных функций относительно интегральных операторов.

Исследование указанных вопросов представляется актуальной задачей не только теоретического, но и практического значения. Проблемы, связанные с этими вопросами рассматривались в работах Г.М.Голузина, Ф.Г.Авхадиева, Л.А.Аксентьева, И.А.Александрова, И.Е.Базилевича, В.Я.Гутлянского, В.А.Зморовича, Д.В.Прохорова, Н.Б.Рахманова, Ю.Е.Хохлова, В.В.Черникова, С.Бернарди, Я.Кшижа, Р.Либеры, Х.Поммеренке, М.Робертсона, С.Рушевея и других авторов. Указанными вопросами обусловлен круг задач, решаемых в диссертационной работе.

Цель работы. Настоящая работа посвящена исследованию геометрических и экстремальных свойств регулярных функций в круге. Целью работы является изучение геометрических свойств образов кругов со смещенным центром при конформных отображениях, осуществляемых регулярными однолистными функциями в единичном круге, определение экстремальных значений уклонения образов гладких кривых при конформных отображениях, осуществляемых регулярными выпуклыми функциями в единичном круге, рассмотрение задач, связанных с экстремизацией функционалов и получением точных оценок для регулярных ограниченных функций и функций с положительной вещественной частью в круге со смещенным центром, исследование устойчивости геометрических свойств регулярных функций относительно интегральных операторов

¡БИБЛИОТЕКА СП« * 08

Методические основы исследования. В работе используются общие методы математического анализа, теории функций комплексного переменного, метод Зморовича решения экстремальных задач на классе Каратеодори. Развивается метод решения задач геометрической теории функций, основанный на достаточных условиях экстремума модуля регулярной функции.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. На основе классических теорем математического анализа и геометрической теории функций комплексного переменного выведены необходимые условия для максимума модуля в круге со сдвинутым центром регулярной функции, позволяющие решать геометрические и экстремальные (в частности, прикладные) задачи в различных классах регулярных функций; выделены и получили решение новые задачи, связанные с почти выпуклостью однолистных функций в круге со смещенным центром; дан общий подход и указан новый функционал при изучении геометрических свойств образов гладких кривых, найдены экстремальные значения этого функционала на классе регулярных однолистных выпуклых функций в единичном круге; получены новые оценки для регулярных ограниченных функций и функций с положительной вещественной частью в круге; введены новые интегральные операторы на классах регулярных функций, сохраняющие или улучшающие геометрические свойства функций.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы исследования могут использоваться при решении задач геометрической теории функций комплексного переменного, в частности, при решении задач геометрического и экстремального характера в классах регулярных однолистных функций, для изучения некоторых классов аналитических функций, а также в теории упругости, газовой динамике, гидромеханике и т.п. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов по теории однолистных функций и подготовке учебных пособий.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на семинарах по теории функций и функциональному анализу в Ставропольском государственном университете, на 45, 47, 48, 49 научно-методических конференциях «Университетская наука - региону» (2000г., 2002-2004гг., г.Ставрополь, СГУ), на II Всесибирском конгрессе женщин-математиков (15-17 января 2002г., г.Красноярск, КГУ), в международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти НБ.Ефимова (5-11 сентября 2002г., Абрау-Дюрсо, РГУ), в

Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (26 января - 2 февраля 2003 г., г.Воронеж, ВГУ), на конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (30 июня -4 июля 2003г., пВоронеж, ВГУ), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственного университета (руководитель - профессор Ю.Ф. Коробейник).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в работах [1-12] из списка работ автора. Из имеющихся двух совместных работ [1, 2] в диссертацию включены только те результаты, которые получены ее автором: из работы [1] - теорема 1, а из работы [2] - теорема 2, причем теорема 1 из [1] в диссертации значительно обобщена.

Структура работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, четырех глав (разбитых на параграфы), заключения, списка цитируемой литературы из 91 наименования и списка работ автора по теме диссертации. Общий объем работы - 100 страниц. Нумерация формул и теорем подчинена соответствующей главе и не зависит от параграфов. Параграфы нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает главу, а вторая — номер параграфа в этой главе.

Охарактеризуем содержание работы с параллельным кратким обзором некоторых известных результатов, непосредственно связанных с рассматриваемым в ней кругом вопросов. Нумерация ниже приводимых глав, параграфов, утверждений соответствует принятой в тексте диссертации нумерации.

В дальнейшем обозначаем: Е(с,р) = {г:\г-с\< р}, £ = £(0,1),/?-класс всех регулярных функций в круге Е,Б- класс однолистных функций /(г)еЯ со стандартной нормировкой /(0) = /'(0)-1 = 0, -класс функций /(г)е5, отображающих круг £ на выпуклую область.

Регулярная в круге Е(с,р) функция м> = /(г), отображающая Е(с,р) на некоторую область С7, называется выпуклой в Е(с,р), если О - выпуклая область, и называется звездообразной в Е(с,р), если С - звездообразная область относительно точки м>0 = /(с). Выпуклая в Е(с,р) функция f{z) характеризуется неравенством

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

>0, ге Е(с,р).

Следуя В.А.Зморовичу, функцию/(г)е Л, удовлетворяющую в Е{с,р) условию Яе/'(г)>0, называем функцией с ограниченным вращением в Е(с, р).

Согласно определению В.Каплана, функцию/(г)еЯ, удовлетворяющую в Е условию

с некоторой (зависящей от /(г)) выпуклой функцией в Е, называем почти выпуклой или близкой к выпуклой в Е. Почти выпуклые функции являлись предметом исследования многих работ и их понятие обобщено в разных направлениях. В частности, введены в рассмотрение функции, почти выпуклые определенного порядка.

Известно, что функция/(г)ей, нормированная условиями /(0) = 0, /'(0) = 1, называется почти выпуклой порядка /?, 0 < /3 < 1, в Е, если существуют такие выпуклая функция g(z)eR, §(0) = 0, #'(()) = 1, и комплексная постоянная е, | е |= 1, что

Множество всех таких функций обозначаем через К{р). Ясно, что = К — класс почти выпуклых функций в Е. Функцию /(г)е Я называем, по определению, почти выпуклой порядка Р, 0 < ¡3 < 1, в круге Е(с,р), лежащем в Е, если существует выпуклая в Е{с,р) функция g(z) такая, что

и называем выпуклой порядка /? (по Робертсону), 0</?<1, в Е{с,р), если

Первая глава диссертации посвящена определению границ заданного порядка выпуклости и почти выпуклости классов 5 и К((3).

Центральное место в исследованиях класса 5 и его подклассов занимают результаты, касающиеся величин, непосредственно характеризующих искажения отображаемой области. Весьма наглядно выясняют степень искажения однолистного отображения так называемые границы выпуклости и почти выпуклости. Они показывают какие из кругов Е(с,г)с.Е при однолистном отображении круга Е любой функцией класса Б (или некоторого его подкласса) переходят в области того или иного геометрического типа.

Р.Неванлинна [1] нашел, что всякий круг | г |< г при

0<г<2-л/з =0,268... отображается любой функцией класса 5 на выпуклую область. Число 2—Уз нельзя заменить ббльшим. Оно называется границей выпуклости для класса 5.

И.А.Александров [2] доказал, что всякий круг Е(с,г), лежащий в Е,

при 0<г <г(с) = 2-■у]з+\с\2 любой функцией /(г)е Б отображается на выпуклую область. Число г(с), которое нельзя увеличить без дополнительных ограничений, названо И.А.Александровым границей выпуклости класса 5 в точке С.

Ставшие уже классическими, результаты Р.Неванлинны и И.А.Александрова послужили стимулом для отыскания границы почти выпуклости класса 5. Впоследствии, Я.Кшиж [3] и П.И.Сижук [4] определили наибольшие радиусы кругов с центром в нуле, в которых каждая функция класса 5 почти выпукла и почти выпукла порядка /3 соответственно.

Наряду с исследованием границ выпуклости и почти выпуклости всего класса 5 проводились исследования по определению границ выпуклости и почти выпуклости его подкласса К(/3). В частности, Х.Поммеренке

[5] нашел, что круг \ г\<1+/3-^2/3+/З2 , но не всегда ббльший круг, отображается любой функцией класса К(/3) на выпуклую область.

В.И.Кан [6] установил, что круг \г-с\<\+(3-^2/3+/32+\с\2 , но не всегда ббльший круг, отображается любой функцией класса К(р) на выпуклую область. Д.В.ГГрохоров и Н.Б.Рахманов [7] определили границу (радиус) почти выпуклости порядка а класса К(/3).

Следуя И.А.Александрову, мы называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка ¡3 класса 5 в точке се Е точную верхнюю границу

Гд(с) (гр{с)) радиусов кругов £(с,г) с £, в каждом из которых любая функция из класса 5 является выпуклой (почти выпуклой) порядка /?.

Аналогично, называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка а класса К{р) в точке се Е точную верхнюю границу га(с,/3) (га(с,р)) радиусов кругов Е(с,г) с Е, в каждом из которых любая функция из класса К{0) является выпуклой (почти выпуклой) порядка а.

В §1.1 установлен следующий критерий почти выпуклости порядка Р функций в круге Е(с,р), обобщающий известный критерий почти выпуклости порядка ¡5 функций в круге Е.

Теорема 1.1. Функция /(г) га Я почти выпукла порядка ¡3 в Е(с,р) тогда и только тогда, когда /'(г)* О в Е(с,р) и для всех г,0<г<р, (Р\,(Рг>(Р\<(Рг> выполняется неравенство <рг

<Рг с

н

Re^ 1 + (z - с)-—jcfy? > -fin, Z = C + re'p.

В §1.2 найдены точные нижние оценки функционала arg{(z2 -c)/'(z2)/(z, ~c)f'(zl)} на классах S и K(f!). Доказана, в частности,

Теорема 1.2. При любых zk = с+ге1<Рк, А = 1,2, 0<ç\<<p2<2n ; г+1 с |< 1, для f(z)e S справедлива оценка

О при 0 < а <1/2; (2)

щ{а) при 1/2<а<Л/5/8; (3)

Wi(<*) при 4ш<а<\, (4)

argi(^2-c)/>2) 1

(zj -c)f'(z,)

где

щ(а) = 2агсЩ,1(1-а2)/(4а2 -1) -4агсвт-^(4о2-1)/3 , (5)

уг2(а) = 2агсЩу0+1п(у$-а2 -1)-21па-л, (6)

у0 =Уо(а) — единственный действительный корень полинома уР-уР+у+с/1— 1, й = 2/7(1+г2-|с|2), аг§{(г2 -с)/'(г2)/(г1-с)/'(г1)} определяется по формуле

Оценка (2) точная, но не достигается функциями класса 51 Оценки (3) и (4) являются точными в том смысле, что существуют функции /(г) б для которых в соответствующих неравенствах имеет место знак равенства при некоторых \г1-с\=\г2-с\=г.

В §1.3 с помощью результатов §§1.1 и 1.2 определена граница почти выпуклости порядка /3 класса Б в произвольной точке се Е и граница почти выпуклости порядка а класса К(Р) в точке с; найдены границы выпуклости заданного порядка классов 5 и К{/3) в точке с. Сформулируем результаты, относящиеся к классу 5.

Теорема 1.4. Граница почти выпуклости порядка ¡} класса Б в точке се Е есть число

где а0 — единственный в промежутке (1 / 2, л/зТз) корень уравнения щ{а)+{}я=0, если 0 </?< 1 -(2/л)агсс!^\/2), и единственный в промежутке

,1) корень уравнения щ{а)+, если \-{2! л^агс^^/Т)^ /3<\. Здесь щ{а) и {//2(д) определяются формулами (5) и (6).

Теорема 1.6. Граница выпуклости порядка ркласса 5 в точке се Е есть число

2+у5[с[-^2 +40\с\ + рг + Ъ 1+0

Из результатов §1.3 в частных случаях получаются все результаты, отмеченные в начале главы.

Во второй главе рассматривается вопрос об уклонении образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями классов S и

Как известно (см. введение и библиографию в [8])', уклонением А плоской кривой и = \=\(1), ? - параметр, в некоторой ее точке Мназывается тангенс угла 5, образованного предельным положением прямой МЫ и нормалью к кривой в точке М, где Ы— середина хорды кривой, параллельной касательной в точке М, когда хорда стремится к М. Угол 3 называется углом уклонения, а предельное положение прямой МЫ - осью уклонения или аффинной нормалью к кривой. Величина уклонения А измеряет асимметрию кривой относительно нормали, проходящей через точку М, и является важной характеристикой кривой в окрестности точки М.

Геометрические свойства уклонения плоских кривых рассматривались во многих работах. В.В.Черников и С.А.Копанев [8] положили начало исследованию экстремальных свойств уклонения линий уровня (образов концентрических окружностей | z |= г ) при однолистных конформных отображениях. В.В.Черниковым [8] дано полное решение задачи об экс-

рАс)

тремальных уклонениях линий уровня в классе Я, а С.А.Копаневым [8] - в классе 5°. Впоследствии С.М.Югай [9] получено решение задачи об экстремальных уклонениях образов окружностей со смещенным центром вдоль вещественного диаметра круга Е при конформных отображениях, реализуемых всеми функциями класса 5° ир -симметричными функциями из 5°.

В §2.1 выводится формула для вычисления величины уклонения в произвольной точке образа достаточно гладкой кривой при конформном отображении м> = Дг)е5. Эта формула является объектом исследования во второй главе. Поэтому приведем ее здесь.

Пусть у - трижды непрерывно дифференцируемая кривая в Е без особых точек (гладкая) с уравнением г - г(/), «</</?. Фиксируем на у точку 20 = 2(/0) * 0 и обозначим через А(/,г0) уклонение образа Уу = /(у) кривой у при отображении подсчитанное в точ-

ке и>0 = /(г0). Тогда

Ч

1т

Л(/>о) = -

ioJ

-Ч-^о2

Ч

з[7'(*0Л гы АгЬъ)) /Хч)

1т

Ч | _/ /'(го)"! КЧ ° /Ъо))

где , 2д, г" - производные функции г(/), вычисленные в точке /0, причем Ф 0, поскольку у - гладкая кривая. Из этой формулы в частных случаях получаются формулы для уклонения линий уровня и их ортогональных траекторий (образов радиуса круга Е), известные по работе [8], и формула для уклонения образов звездных кривых относительно точки 20 из работы [9].

В §2.2 рассматривается общая задача об изменении образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями класса Б. Получены оценки (неточные) для функционала уклонения Л(/,20) в классе 5 и доказана

Теорема 2.1. В классе Б уклонение А(/,г0) при \у\<2д не ограничено снизу, если [л < 0; не ограничено сверху, если /и > 0; не ограничено снизу и сверху, если // = 0. Здесь

21 го I 4 1 -г2

ц = 1т

Ч

2 г 1-г2

.±1 Ч

,г=\ч\-

В §2.3 исследуется задача об экстремальных значениях функционала А(/,г0) на классе 5°. Полное решение этой задачи дается следующими двумя теоремами, в которых сохраняются принятые в теореме 2.1 обозначения.

Теорема 2.3. В классе Б уклонение А(/,г0) кривых У/ = /(У) при |у|<<7 (уф 0, если /и = ±(с[2 -v2)) не ограничено снизу, если ¡л<ц2 -v2, и не ограничено сверху, если Ц>\>2 -д2.

Теорема 2.4. В классе Б° для уклонениякривых^ У/ - /(У) справедливы точные оценки: А/6 < А(/,г0)< А/6, где А и А определяются формулами

А =

Аа(У,М) =

__М

А =

Ba(y,jU) =

C4(V,JU) = CAv,/i)

м-я

v2 л-fi-q2

И

(q+\v\)2

v -[i-q

AAv,M)

при ju^q(q-\v\) = jUi,

при цх <fi<q(g+\v\)=fi1,

при M>M2-,

при 2>

при ~M2 <M<>

при M^-Mu

A=

если | V |> q, и формулами

[ВЧ<У,$ при q2-v2 <ц</г2, -{Cq{v,jLi) при ]Cq{v,fi) при M>Ml- [Dg(y,/x) при -ftZfi^-q1,

если |v| < q.

Из теоремы 2.4 в частном случае получается соответствующий результат из работы [9].

В третьей главе исследуются экстремальные свойства ограниченных функций и функций с положительной вещественной частью в круге Е(с,р).

СМиллер и П.Мокану [10] доказали, что если функция f(z) = anzn+an+lzn+l+...eR, z0=r0e'«>eE и |/(z0)|=max|/(z)|,TO

Д*о) 1 Л*о) J

где т > п > 1. На справедливость указанного здесь равенства впервые обратил внимание И.Жак [11]. Поэтому утверждение об этом равенстве часто называется леммой Жака.

Н.Йошикава и Т.Йошикан [12], обобщая известный результат Ст.Рушевея и В.Сингха, определили наибольший радиус круга \г\<г, О < г < 1, в котором имеет место неравенство

где к>0, ¡л - комплексное число, О, для любых регулярных с

положительной вещественной частью в Е функций р[г) и <7(2), ^(0) = 1.

Этот результат и лемма Жака оказались полезными при решении многочисленных экстремальных задач теории специальных классов аналитических функций в круге Е. Поэтому представляет интерес для исследования экстремальных свойств аналитических функций в произвольном круге Е(с,р) иметь аналоги приведенных результатов для этого круга.

В §3.1 сначала приводится в простейшей форме лемма Шварца для круга со смещенным центром, а затем дается следующее обобщение ее.

Теорема 3.1. Если функция /(2) регулярное [г - с[ < р и |/(2)|<1 в|г-с[<р, то при любых г, 2/ из |г-с|</Э

2-2.

Р2-(2,-с)(2-С)

(7)

(8)

Знак равенства в (8) имеет место только для функций

а в (7) — только для функций (9) с а=г1.

На основании неравенства (8) способом рассуждений, первоначально использованном Г.М.Голузиным [13], доказана

Теорема 3.3. Если функция /(2) = с0 + ^ ск (2 - с)к, п > 1, регулярна в

к=п

|г-(\<р и |/(г)|<1 в\г-(\<р, тов \г-с\<р

р -|г-с}

Знак равенства здесь при 2ФС имеет место только в случае, когда

р"+£с0(г-с)"

и иаг£(г-с) = а^(£с0).

Дано усиление теоремы 3.3 путем учета величины | с01 и | с„ | в оценке | /'(г) | (теорема 3.4). Теоремы 3.1 - 3.4 содержат как частные случаи известные [14; 14, с. 319-320,323-325] оценки для ограниченных функций.

В §3.2 с помощью выведенной из неравенства (7) оценки |/(г)| обоснованы необходимые условия для максимума модуля в круге регулярной функции, которые представлены в следующей теореме.

Теорема 3.5. Пусть функция /(г) регулярна в области Б, с е £), и с1-

расстояние от с до границы области Д. Если г0 = с+г0е">ь, 0 <г0<с1, и |/(г0)| = шах ¡/(г)] ,то

[г-с|2г0

7Ы 1 ° /Ы

>т,

где

т><

[(|/(^о)|-|/(0|)/(|/(го)| + |/М|)>0, когда Дс)#0, [и, когда /(с) = /'(с) =... = ^п~1\с) = 0, /(л)(с) * 0, и = 1,2.....

Отметим, что эта теорема позволяет исследовать многие геометрические и экстремальные свойства регулярных функций в круге Е(с,р) путем модификации рассуждений, приводимых обычно при исследовании таких свойств регулярных функций в круге Е с помощью упомянутых выше результатов работ [10,11], которые получаются из теоремы 3.5 при с = б, когда /(0) = /'(0) =.../(пЧ)(0) = 0, /(п)(0) * 0.

В §3.3 известные [15, с. 156 -157; 16; 12] оценки и неравенства для регулярных функций с положительной вещественной частью в круге Е распространяются на регулярные функции с положительной вещественной частью в круге Е{с,р) и с их помощью доказывается полезная для дальнейшего

Теорема 3.8. Пусть р{£) и д(г) - регулярные функции в < р, Яе р(г) > 0 и Кед(г) > 0 —с| < р, д(с) = 1. Пусть V - вещественное неотрицательное число и р.- комплексное число, + у Ф 0. Тогда

в — с| < Гр(у,/л), где

1+у) при Ц =

\р^А->Л? !\у-ц\ при цфу,

A = j/¿¡2 +v2 + 4v + 2, B = A2 — Jv2 — /¿2J . Здесь rp{v,ju) не может быть

заменено большим числом.

Теорема 3.8 в частном случае при с = 0 и р=1 содержит упомянутый выше результат Н.Йошикавы и Т.Йошикаи [12].

Четвертая глава посвящена приложению теорем 3.5 и 3.8 к вопросу устойчивости геометрических свойств регулярных функций в круге Е(с,р) относительно интегральных операторов.

Ст.Рушевей [17], обобщая известные результаты Р.Либеры и С.Бернарди об интегральных преобразованиях звездообразных функций в круге £ доказал, что если функция /(z) = z +••■ звездообразна в Е, а> О и Rey>0, тогда функция

также звездообразна в Е.

В.А.Зморович (1952г.) высказал предположение о том, что каждая функция с ограниченным вращением в Е является звездообразной в Е. Я.Кшиж (1962г.) привел пример функции с ограниченным вращением в Е, не являющейся звездообразной в Е. С.Сингх и Р.Сингх [18] доказали, что предположение В.А.Зморовича имеет место в подклассе функций с ограниченным вращением, на который оператор Бернарди

. 2

Bvf{z)=~ \gvf{g)dg, —1< v <0, 2 ¿

отображает весь класс функций с ограниченным вращением в Е.

Р.Сингх и С.Сингх [19], распространяя результат Р.Либеры на более широкие классы функций, доказали, что если регулярная в Е функция /(z) = z +••• удовлетворяет условию

Re{l+z/'(z)//'(z)}> —1/2, тогда представимая интегралом Либеры функция

F(z)=^]f(g)dg о

выпукла в Е, а если существует регулярная в Е функция g(z), удовлетворяющая условию Re{l+zg'(z)/ g'(z)} > -1 / 2 и такая, что имеет место неравенство (1), то функция F(z) почти выпукла в Е.

В §4.1 при помощи простого следствия теоремы 3.5 доказана Теорема 4.1. Если функция /(z) звездообразна в круге Е(с,р), а>0 и v -комплексное число такое, что Rev>0, тогда функция

Яг) = Лс) +

Уа

и-1

{/{О-тТк

,Пс) = /(с), (Ю)

также звездообразна в круге Е{с,р).

С помощью теоремы 3.8 обосновано утверждение, обратное теореме 4.1, и найден круг с центром в точке с, в котором определяемая формулой (10) функция £(г) выпукла, если функция /{г) звездообразна в Е(с,р). Соответствующие результаты работ [18; 13] содержатся в §4.1.

В §4.2 при помощи теоремы 3.5 доказаны следующие утверждения, относящиеся в вопросу об устойчивости свойства ограниченного вращения функции Л2) относительно оператора Бернарди, определяемого в круге Е(с,р) формулой

^ г

в/(г)=ад=/(С)+7^Цг к- су~1 (до - туе, ф(с)=/(с), (п)

(2-е) I

Теорема 4.4. Если /(г) - функция с ограниченным вращением в круге Е{с,р), V - комплексное число, Яе V > -1, тогда с ограниченным вращением в круге Е(с, р) является и функция Ф(г), определяемая формулой (11).

Теорема 4.6. Если /(?)- функция с ограниченным вращением вЕ(с,р), -1<с<0, тогда определяемая формулой (11) функция Ф{г) звездообразна в Е(с,р).

С помощью теоремы 3.8 установлен результат, обратный теореме 4.4. Теорема 4.6 содержит результат работы [18], относящийся к предположению В.А.Зморовича.

В §4.3 на основании теоремы 3.5 получены условия, которым должна удовлетворять регулярная в Е(с,р) функция /(г), чтобы интегральный оператор Либеры, определяемый в круге Е(с,р) формулой

г

2 _

2-С с

переводил /(г) в выпуклую, звездообразную или почти выпуклую функцию в Е{с,р). Например, доказана

Теорема 4.9. Если функция Л2) регулярна в круге Е(с,р) и удовлетворяет в нем условию (1) с некоторой регулярной в круге Е(с,р) функцией g(z) такой, что

¿/(2) = С(г) = Дс)+-±- ¡(/(£)~/(с)№, С(с) = /(с),

Яеи+(г-с)

Шк 1

геЕ(с,р),

{ ЕЬ)\

тогда определяемая формулой (12) функция С(г) почти выпукла в Е{с,р).

Из доказанных §4.3 утверждений о выпуклости и почти выпуклости функции О^) в частном случае получаются указанные выше результаты из работы [19].

В §4.4 получены достаточные условия звездообразности и выпуклости в круге Е(с,р) регулярных функций, выраженные в терминах их тейлоровских коэффициентов, при помощи которых доказана

Теорема 4.11. Пусть функция /(2) - ^ ап (г - с)" регулярна в круге

п=0

Е(с,р) и функция Ф(г) задается формулой (12), в которой У>-1. Тогда

во

1) Ф(г) звездообразна в круге Е(с,р), если ^ пр"~1 \ап | !{п + у) < [а^ | /(1+у);

и=2

* РО

2) Ф(г) выпукла в круге Е(с,р), если У п2р"~1\ап\/(и + у) < ¡а^/(1 + у).

п=2

На защиту выносятся следующие основные положения

1. Найдены границы выпуклости и почти выпуклости заданного порядка в произвольной точке единичного круга класса 5 и его подкласса Кф) почти выпуклых функций порядка Д

2. Дано полное решение задачи об уклонении образов гладких (трижды непрерывно дифференцируемых) кривых при конформных отображениях, реализуемых выпуклыми функциями из класса

3.Выведены необходимые условия для максимума модуля регулярной функции в произвольном круге.

4. Развит на случай круга со смещенным центром метод решения задач теории специальных классов аналитических функций, основанный на необходимых условиях для максимума модуля в круге регулярной функции.

5. Получен ряд точных оценок для регулярных ограниченных функций и функций с положительной вещественной частью в произвольном круге, обобщающих известные оценки для таких функций в единичном круге.

6. Исследована устойчивость в круге со смещенным центром геометрических свойств регулярных функций относительно интегральных операторов Либеры, Бернарди и Рушевея.

Список литературы

l.Newanlinna R. Uber die schlichten Abbildungen der Einheitskreises // Oversikt av Finska Vet. Soc. Forh. (A). 1919-1920. v. 62. №6. p. 1-14.

2. Александров И.А. О границах выпуклости и звездообразности для функций однолистных и регулярных в круге // Докл. АН СССР. 1957. т.116. №6. с. 903-905.

3.Krzyz J. The radius of close-to-convexity within the family of univalent functions // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math., Astronomy, Phus. 1962. v. 10. №4. p. 201-204.

4. Сижук П.И. Радиус почти выпуклости порядка а в классе однолистных функций // Матем. заметки. 1976. т. 20. Вып. 1. с. 105-112.

5.Pommerenke Ch. On close-to-convex analytic functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. v. 114. №1. p. 176-186.

6.Кан В.И. Радиус выпуклости почти выпуклых порядка /? функций // Исследования по математическому анализу и алгебре.- Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та. 1998. с. 18-22.

7. Прохоров Д.В., Рахманов Н.Б. Радиус почти выпуклости порядка а в классе функций почти выпуклых порядка /3 II Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Вып. 6. - Саратов: Изд-во Са-рат. гос. ун-та. 1976. с. 135-140.

8. Черников В.В., Копанев С.А Об уклонении линий уровня и их ортогональных траекторий при однолистных конформных отображениях // Сибирск. матем. ж. 1986. т. 27. №2. с. 193-201.

9.Югай СМ. Об оценках кривизны и уклонения образов окружностей при однолистных конформных отображениях // Экстремальные задачи теории функций - Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та. 1992. с. 3-10.

10. Miller S.S., Mocanu P.T. Second order differential inequlites //J. Math. Anal, and Appl. 1979. v. 65. №2. p. 289-305.

11. Jack I.S. Functions starlike and convex of order ¿1! // J. London Math. Soc. 1971. №3. p. 469-474.

12. Yoshikawa H., Yoshikai T. Some notes on Bazilevi6 functions // J. London. Math. Soc. 1979. v. 20. p. 79-85.

13. Голузин Г.М. Оценка производной для функций, регулярных и ограниченных в круге // Матем. сб. 1945. т. 16. №3. с. 295-306.

14. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного пе-ременного.-М.: Наука. 1966.

15. Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного.-М.: Высшая школа. 1984.192с.

16. Robertson M.S. Extremal problems for analytic functions with positive real part // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. v. 106. p. 236-253.

17. Ruscheweyh St. Eine Invarianzeigenschaft der Basilevic-Functionen // Math. Z. 1973. v. 134. p. 215-219.

18. Singh S., Singh R. Starlikenes of close-to-convex function // Indian J. Pure and Appl. Math. 1982. v. 13. №2. p. 190-194.

19. Singh R., Singh S. Integrals of certain univalent functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. v. 77. №3. p. 336-340.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Сижук П.И., Сижук Т.П. Необходимые условия экстремума модуля регулярной функции в круге // Исследования по математическому анализу и алгебре. - Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та. 2000. с. 135-140.

2. Сижук П.И., Сижук Т.П. О некоторых свойствах однолистных функций // Вестник Ставроп. гос.ун-та. 2001. Вып. 28. с. 8-11.

3. Сижук Т.П. Об интегральном операторе, сохраняющем звездообразные функции // II Всесибирск. конгресс женщин математиков. - Тезисы докл. - Красноярск: Изд-во Красноярск, гос. ун-та. 2002. с. 206-208.

4. Сижук Т.П. Оценка производной регулярных ограниченных в круге функций // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Труды участников.-Ростов-на-Дону. 2002. с. 156-157.

5. Сижук Т.П. Интегральное преобразование звездообразных функций // Ученые записки физико-математического факультета Ставропольского гос. ун-та. - Ставрополь: СГУ. 2002. с. 87-90.

6. Сижук Т.П. Об интегральном преобразовании Бернарда регулярных функций с ограниченным вращением // Сборник научных трудов. Вып. №20.-Ставрополь: Филиал Ростовского воен. ин-та ракетных войск. 2002. с. 66-68.

7. Сижук Т.П. Об одном неравенстве для регулярных функций с положительной вещественной частью в круге // Современные методы теории функции и смежные проблемы: Материалы конференции. - Воронеж.: Воронеж, гос. ун-т. 2003. с. 227-228.

8. Сижук Т.П. Радиус почти выпуклости порядка а для почти выпуклых функций порядка ß // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. №2. с. 14-16.

9. Сижук Т.П. Формула для уклонения образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях // Вестник Ставроп. ин-та им. В.ДЛурсина. 2003. Вып. 2. с. 123-124.

10. Сижук Т.П. Граница почти выпуклости в точке для однолистных функций // Изв. вузов. Математика. 2003. №2. с. 55-58.

11. Сижук Т.П. Об уклонении образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях // Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений. Труды конференции. -Воронеж: Воронеж, гос. ун-т. 2003. с. 204-208.

12. Сижук Т.П. О почти выпуклости и звездообразности функций, пред-ставимых в круге интегралом Либеры // Физико-математические науки: Материалы научно-методической конференции «Университетская наука — региону». - Ставрополь: Изд-во Ставропольского гос. ун-та. 2004. с. 154-157.

Изд. лиц.серия ИД № 05975 от 03.10.2001 Подписано в печать 18.06.2004

Формат 60x84 1/16 Усл.печ.л. 1,05 Уч.-изд.л. 0,95

Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ 147

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета. 355009, Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

PI 79 4 1

РНБ Русский фонд

2005-4 12638