Геометрия дискретных равномерно квазиконформных и сходящихся групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

академия НАУК ссср сибирское отделение: институт математики

На правах рукописи

. ИСАЧЕНКО Николай Андреевич

УДК 517.54:517.547.2

ГЕОМЕТРИЯ ДИСКРЕГГШХ РАВНОМЕРНО КВАЗИКОНФОРМНЫХ И СХОДЯЩИХСЯ ГРУШ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандздата физико-математических наук

о

Новосибирск - 1989

Работа выполнена на кефедре теории функций Новосибирского государственного университета им. Ленинского комсомола

Нтучные руководители - доктор физико-математических

наук, профессор |П.П. Белинский(

• доктор физико-математических наук, профессор С.Л. Крушкаль

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук А.Д. Медных

кандидат физико-математических наук H.A. Гусевский

Берущее -учреждение: Ташкентский государственный университет им. В.И. Ленина

Защита диссертации состоится " _ " -

1989 г. в_часоЕ на заседании специализированного совета

К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук е Институте математики СО АН СССР (630090, Новосибирск-90, Университетский пр., 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_и ■ __.I9B9 г.

Ученый секретарь /

специализированного совета /1

кандидат физико-математических ?

наук, додент ./ .' • , В.В. Иванов

О . ь-

О

оецая xaf-штеристика рабош

Актуальность темы. Создание и развитие теории дискретных групп преобразований было вызвано потребностями различных областей математики: теории дифференциальных уравнений, теории функций, геометрии, топологии, теории чисел и др. Теория клейновых ipi-m (разрывных i^yrai мёбиусовых преобразований) и автоморфньос относительно них функций представляет сейчас одну из красивейших областей математики и продвинута очень далеко.

Одним из стимулов, способствовавших развитии этой теории, служила классическая проблема униформизации римановых поверхностей я многозначных аналитических функций, решение которой было получено различными методами s. Клейном, а. Пуанкаре и 0. .'Вебе. Это явилось источником многих плодотворных вдей и методов в математике.:

Оце А. Пуанкаре высказал еде» о связи теории клейновых 1 групп, рассматриваемых как дискретные группы движений пространства Лобачевского, с топологией многообразий. Однако вплоть до начала 60-х годов в этой, области не было получено сколь-либо существенных результатов, по крайней пере, сравнимых с результатами классиков качала века.

Теория возродилась в начале 60-х годов после того, как в 1964 году Альфорс доказал свои знаменитую теоре:^ конечности Пробудившийся интерес к теории клейновых групп и связанной с нею теории унифармизации был вызван развитием

* ^ Afalfors L.T. Finitely generrVed Kleiníaá groups // Amar. J. Math. - 1964. - V. 96, H0.2. » P. 413-429.

' - * ' - * -л - - ' • - ! <4

мощных методов топологии, теории функций многих переменных и теории кгазиконформных отображена "■.

Значительный вклад в развитие теории внесли Л. Альфорс, Ь. Маскит, Л. Берс, Л. Гринберг, А. Марлен, С.Л. Круикаль, И. Кра, А.Д. Медных, H.A. Гусевский, Л.Д. Потягайло, М.З.Ка-пович и др.

Особый всплеск интереса к теории дискретных групп яре-образований в начале 80-х годов связан с влиянием Тёрстона. Доказанная им теорема о существовании гиперболических структур на атороидальных хакеновых многообразиях позволила решить многие сложные проблемы трехмерной топологии.

«

3 последнее десятилетие наряду с группами мебиусовых преобразований интерес специалистов по анализу, топологии и геометрии1привлекли введенные Герингом и Мартином ^ равномерно квазиконформные и сходящиеся групп.л. Эти.группы являются естественным обобщением^ групп мебиусовых преобразований, Здесь прежде всего следует отметить работы Тукиа, Сул-ливана, Геринга, Мартина, Фридмана ь Скоры, Каповича.

Равномерно квазиконформные и сходящиеся группы тесно сеязаны с квазиконформным и билипшицевымк структурами на многообразиях.

Вопросы, связанные с теорией клейг.овых групп и их непосредственных обобщений - разрывных равномерно квазиконформных и сходящихся групп, актуальны в современном анализе и имеют многочисленные приложения к другим свластям математики.

2) ' ■' ■ ■ -

Gehrini; F., Martin G. Discrete '^uasiconioi-aai g.oops, .1

// Рос. London l'ath. - T937. - V. Uo.3- - Р.

Л

Цель работы. Диссертационная работа посвящена изучению дискретных равномерно квазиконформны): и сходящихся групп гомеоморфизмов пополненного евклидова пространства

Т.ад.н-г.'.з.

Методика исследования. Работа основана на применении методов топологии трехмерных многообразий, теории дискретных групп мебиусовъи преобразований и геометрии Лобачевского.

Научная новизна работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней:

1. Изучено предельное множество некоторого класса свободных разрывных сходящихся групп» действующих в ^ .

2. Доказано существование равномерно квазиконформных

конечнопороаденных групп, действующих на области в спо-*

бодно и разрывно к не изоморфных, как абстрактные группы, никаким группам мэбиусовых преобразований & .

3. Доказано, что всякая неэлементарная группа мебиусо- » вых преобразований двумерной сферы имеет минимальную систему порождающих, состоящую только из локсодромических преобразований.

4. Получен критерий дискретности неэлементарных групп мебиусовых преобразований двумерной сферы.

Практическое и теоретическое значение» Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут использованы для дальнейшего развитая анализа, теории дискретных групп преобразований, геометрии и топологии трехмерных многообразий.

Апробация работы. Резулмчты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по геометрии "в целом" Шовс л-

бирск, 1987), на Всесоюзной иколе-семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 19Ш), на каучно-ис-следог -гтельских семинарах по комплексно!/;/' анализу и топологии Института математики СО АН СССР и на кафедре теории функций Новосибирского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы е работах [1! - [зЗ-

Объем работы. Диссертация изложена на 71 странице, состоит из введения, трех глав и списка литературы из 42 наименований,- а также содержит один рисунок.

- ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ ' . .

Во введении дан краткий сбэор содержания диссертации. Первые три параграфа первой главы содержат основные определения и известные результаты из теории мебиусовых и сходящихся групп и топологии трехмерных многообразий.

Группа Сг гомеоморфизмов П. мерно?, сферы на себя называется сходящейся, если из любого бесконечного семейства Рс. Сг можно выбрать последовательность { удовлетворяющую одно>7 из следующих условий:

(¿) существует гомеоморфизм / : Я* ^^ такой, что £е- сходятся к / равномерно ьа * ;

( ) Существуют точки ЗГ,, ул € , возможно совпадающие, такие, что сходятся К £ В с/„ , $£ сходятся, к Ан«^ равномерно на компактах в .¡У* 4 й $ 4 соответственно..

Группа . €г действует разрывно в точке « £ £ , если существует окрестность с " точки х тлкач, -чтс

р ^е^-ф не более чем для конечного числа % & .

Множество всех таких точек называется множеством

разрывности, а его дополнение - пре-

дельным множеством группы Сг . Группа называется рагрмЕной, если Ф .

Четвертый параграф первой главы посвящен изучении предельного множества некоторого класса свободных сходящихся групп. ■ А именно, зд-сь доказана следующая

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть О- - сходящаяся разрывная свобод- ;

на«* группа ранга Лг > 2 , действующая" в Й* имеющая инвариантную компоненту области разрывности,

и фактэрмногообразие М— /& компактно. Тогда предельное множество Л Ф?) гомеоморфно канторовскоыу дисконтинуум.

Во второй главе диссертации изучаются равномерно квазиконформные группы, действующие в трехмерной сфере В ** . Глава фактически посвящена доказательству существования равномерно квазиконформных групп, не изоморфных мебиусовым. и

Группа Се гомеоморфизмов на себя называется

равномерно квазиконформной, если каждый ее элемент является квазиконформным и коэффициенты квазиконформности ограничены в совокупности.

Всякая равномерно квазиконформная группа является сходящейся и наследует многие свойства мебиусовых групп. Тем не менее, в главе 2 показано, что класс равномерно ква."м..онфор-ыных групп много шире класса мебиусовых групп. Основным результатом второй главы является ТЕОРЕМА 5.1. Существует, равномерно квазиконформная ко-нечнопорожденная группа & , действующая разрывно и свободно на области {<*-. и не изоморфная, * ; •>

абстрактная группа, никакой группе мебиусовых преобразований £ „

Р шестом пара^афе дается краткая схема доказательства

31

теоремы 5.1. Используется пример Каповича ' трехмерного многообразие М , на котором не существует плоской конформной структуры, но на некотором его регулярном конечнолистном накрытии такая структура существует, причем униформи-

зируемая, то есть М^ — /Г , где . П - клейнова группа, при этом Г7 изоморфна свободному произведению групп поверхностей рода больше единицы, ¡а? - инвариантная кошюнента облает,'1 разрывности группы /"* . Тем самым, имеем диаграмму накрытий

А

где Д * р «Рл.

В § 7 доказывается, что накрытие , рл '• Ct? —^ М регулярное и группа Cr ^накрывающих гомеоморфизмов этого Закрытия равномерно квазиконформная.

§ 8 посвящен доказательству того, что обрад группы ii"4 (М) при любом гомоморфизме i группу М3 всех мебиу- . совых преобразований S является разрешимо Л группой. Отсюда следует, что группа Gr накрыьающих "преобразоганий накрытия Рл.: —*■ М разрешимая: При доказательстве

3) ™~ "

Кяповкч М.Э. Плоские конформные структуры на трехмерных'.

многообразиях и клейновы группы: Дис. ... канн.физ.-мат. :

наук: 01.01.01. - Новосибирск, IS67.

в

разрешимости существенно используется геометрия действия мебиусовых преобразований в трехмерном пространстве. С другой стороны, Сг содержит подгруппу Г° , являюп!уюся свободным произведением групп поверхностей, что противоречит разрешимости. Полученное противоречие и доказывает теорему

5.1.

В последней, третьей, главе диссертации рассматриваются группы мебиусовых преобразований двумерной сферы.

§ 9 носит предварительный характер. Здесь даны основные свойства таких групп и .глассификация мебиусовых преобразований двумерной сферы.

Действие всякого мебиусова преобразования может быть единственным образом продолжено в верхнее полупространство.

Двумерную сферу будем отождествлять с"пополненной комплексной плоскостью С Через Н обозначим верхнее полупространство f ■£) ■■ ъ б- <С, > О У о введенной в нем метрикой постоянной отрицательной кривизны, определяемой дифференциалом . Каждое ыебиу-сово преобразование <С , продолженное в Н* , является изометрией

/Л

Через «Л/^ обозначим группу всех мебиусовых преобразований С .

Действуя в

, каадое преобразование оставляет хотя бы одну точку в //3£/(С неподвижной. Через ^¿х ($) обозначим множество всех неп движных точек эле-■ мента ^ .

Мебиусово преобразование $ & называется эллиптическим, если Р'сх (р) /) И Ф ; параболическим, если (р) <= {/£>J с £ ;

локсодромическим, если Ftx (f) ** {fr f 7er ^-t P^f-Подгруппа Cr группы н&зыЕается элементарной,

если существует конечная (i--орбита точки из H*U €■ . В противном случае группу Cr будем называть неэлементарной.

Основным результатом третьей глаЕы является ТНЮРЕМА 10.1. Пусть Gr - неэлементарная подгруппа Mjl . Тогда существует минимальная система порождающих группы Cr , состоящая только из локсодромических преообра-зований.

При доказательстве теоремы 10.I существенно используется геометрия действия мебиусовых преобразований как изомет-рий пространства Лобачевского.

Результат, аналогичный теореме ЮЛ, независимо от автора получен Г. Розенбергером

В заключительном параграфе диссертации, опираясь на теорему 10.I, мы даем 5фитерий дискретности неэлементарных подгрупп Mt .

ТЕОРЕМА II.2. Неэлементарная подгруппа Mt дискретна тогда и только тогда, когда каждая ее подгруппа, порожденная двумя локсодромическими элемента»®, дискретна.

Полученный критерий дискретности усиливает результат Йсргенсена

4)

iiosenberger G. Minimal generating sicterns of subgroups of SL(2,C) // Proc. Edinburgh II; ch. Soo, - 1988. - V. 31. -P. 261-265.

5)

Jjirgensen T. On discrete groups of Möbius transformations // Aorr. J. iath» - 1976. - V. 98. - P. 736-749.

Автор глубоно признателен П.Г1. Белинскому и С.Л. Круикалю за научное руководство и всестороннюю поддержку, а также Л.Д. Потягайло и М.Э. Каповичу за неоднократные и плодотворные обсуждения результатов.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исаченко H.A. О порождающих подгрупп

// Всесоюзная конференция по геометрии "в целой", 28 - 30 сент, 1987: Тез. докл. - Новосибирск, Институт математики, 1987. - С. 54.

2. Исаченко H.A. О равномерно квазиконфох>мньк группах, не изоморфных мебиусовым // Всесоюзный семинар "Ак /альные вопросы комплексного анализа1*, Ь - 10 июня I989i Тез. докл. - Ташкент, ТашГУ, 198Э. - С. 50.

3. Исаченко H.A. О предельных множествах свободных сходящихся групп // Всесоюзная конференция по анализу и геометрии: Тез. докл. - Новосибирск, Институт "»тематики,

.1989. - С. .36. . - :

и.