Геометрия и топология полей квантовой глюодинамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Бойко, Павел Юрьевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Федеральное Государственное Унитарное Предприятие Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики имени А И Алиханова
На правах рукописи
Бойко Павел Юрьевич
Геометрия и топология полей квантовой глюодинамики
Специальность 01 04 02 - теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
111!1111111111!11!:1
и034 4С121
1 8 СЕН 2008
Москва - 2008
УДК 530 12
Работа выполнена в ГНЦ РФ Институт теоретической и экспериментальной физики им А И Алиханова, г Москва
Научный руководитель
Официальные оппоненты
Ведущая организация
доктор физико-магематических наук, профессор,
М И Поликарпов (ИТЭФ, г Москва) доктор физико-математических наук В А Новиков (ИТЭФ, г Москва) доктор физико-математических наук, А А Белавин (ИТФ, г Черно1 оловка) ГНЦ РФ ИФВЭ, г Протвино
Защита состоится « >■> 2008 г в часов па заседании
диссертационного совета Д 201 002 01 при ГНЦ РФ ИТЭФ, расположенном по адресу г Москва, ул Б Черемушкинская, д 25, конференц-зал
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ
Автореферат разослан «1» августа 2008 г
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ-мат паук
В В Васильев
1. Общая характеристика работы
Диссертация посвящена описанию вакуумного состояния решеточной квантовой глюодинамики
1.1. Актуальность темы
Нет сомнений в юм, что сильно взаимодействующие частицы состоят из кварков и глюонов, не наблюдаемых по отдельности Вопрос о юм, почему кварки связываются в адроны с наблюдаемыми свойствами, до сих пор далек от окончательного ответа
Опыт решения большого количества квантовомеханических задач учит тому, что первым делом следует попытаться понять основное состояние системы, после чего можно надеяться, что свойства возбуждений получатся естественным образом В этой работе мы сконцентрируемся исключительно на свойствах вакуума
Самые разнообразные модели вакуума были и остаются в разной степени феноменологически успешными В моделях "мешков" роль непертурбашвно-го вакуума сводится к граничным условиям на волновую функцию кварков на границе адронного мешка Вакуум Саввиди заполнен спонтанно генерирующимся хромомагнитным полем, в спагетти-вакууме магнитное поле ортни-зовано в тонкие трубки Вакуум модели дуальной сверхпроводимости имее! конденсат "магнитных зарядов', в результате (дуальный) эффект Мейснера сжимает "электрическое" поле между кварком и антикварком в трубку эта модель детально рассматривается в первой главе Множество вариаций модели инстантонной жидкости феноменологически успешны, особенно в описании свойств легких адронов
Мо1ут ли все эти модели быть (хотя бы отчасти) верными одновременно7 Можно ли получить их параметры из первых принципов7 На каком масштабе эффективное описание сшивается с теорией возмущений7 Как это происходит7
Решеточная КХД оказалась уникальным инструментом для поиска ответов на такие вопросы Действительно, численное Монте-Карло моделирование теории представляет наблюдаемые в виде статистических средних по ансамблям конфигураций калибровочных полей {А^(х)} Выделяя на каж-
дой конфшурации интересующие эффективные степени свободы например "инстантоны" или "магнитные монополи", можно непосредственно изучать их динамику в настоящем пепертурбативном вакууме (евклидовой) КХД При дополнительных предположениях оказывается возможным факторизо-вать вклад рассматриваемых объектов в физические наблюдаемые, такие как натяжение струны Можно рождать новые объекты, вычисляя эффективное действие Можно даже удалять объекты из вакуума, исследуя соответствующее изменение физических свойств теории Мы будем называть знания такого рода решеточной феноменологией
Накопление и интерпретация фактов решеточной феноменологии привели к существенному пересмотру старых моделей вакуума
1.2. Цели диссертационной работы
1 Изучение скейлинговых свойств монополей, определенных в максимальной абелевой калибровке решеточной БII(2) теории
2 Исследование свойств погруженной НР1 модели и проекции
3 Изучение структуры вакуумных флуктуаций топологической плотности методом погруженной НР1 модели
1.3. Научная новизна и основные результаты диссертации
Следующие новые научные результаты выносятся на защиту
1 Показана независимость геометрических свойств перколирующего кластера монополей от масштаба обрезания В частнос ги, получено значение для плотности монополей, принадлежащих перколирующему кластеру,
Рретс = 7 70(8) йп"3
2 Открыта корреляция направлений перколирующего кластера Показан
скеилинг и непрерывный предел соответствующей корреляционной длины Изучены скейлинговые свойства корреляторов монопольных токов, получены значения соответствующих массовых параметров
3 Показано, что плотность монополей, принадлежащих конечным кластерам, расходится в непрерывном пределе линейно по а-1,
р/1П ~ (1 2&п)"2 а'1
4 Показано, что удаление центральных вихрей приводит к исчезновению перколирующего кластера монополей Одновременно показано, что удаление монополей приводит к исчезновению перколирующего кластера центральных вихрей
5. Изучена конструкция погруженной кватернионной проективной (НР1) сг-модели и соответствующих решеточных операторов топологического заряда и его плотности Проведено сравнение с другими определениями
6, Предложена конструкция калибровочно-ковариантной НР1 проекции и изучены ее свойства Обнаружено, что НР1 проекция сохраняет такие непертурбативные динамические свойства, как глюонный конденсат киральный конденсат и натяжение струны Статистически достоверно определена квадратичная поправка к глюонному конденсату
(а,(?2/7г)нр = 0 066(2) СеУ4 + (95(5) МеУ)2 а'2
При этом наблюдаемые в НР1 проекции не имею: (по крайней мере лидирующего) пертурбативного вклада, такого как вклад нулевых колебаний в (й2) и кулоновский член в потенциале Напротив, остаток от проекции демонстрирует только пертурбативное поведение
7 Показано, что в формализме погруженной НР1 модели квадратичная поправка к глюонному конденсату соответствует линейной расходимости характерной плотности топологического заряда и справедлива оценка
у/№)~(1Ьп)~3 а"1 Это, в свою очередь, интерпретировано как проявление эффективно трехмерной структуры топологических флуктуаций
8 Предложено определение диффузионной размерности топологических флуктуаций в вакууме Показано, что существует масштабно-инвариантный режим диффузии, соответствующий эффективной размерности
структуры топологической плотности
D = 3 07(3)
независимо от шага решетки
1 4. Апробация диссертации и публикации
Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах ИТЭФ, университета Гумбольдта (Берлин), Института махема-тических исследований (Ченнай, Индия), на многочисленных международных конференциях в том числе Lattice 2001 (Берлин), 2002 (Бостон США), 2003 (Цукуба, Япония), 2007 (Рсгенсбург, Германия)
Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в зарубежных реферируемых журналах, включенных в перечень ВАК ]1-4], а также в трудах международных конференций [5-8]
1 5. Структура и объем диссертации
Диссертация включает в себя введение, две главы основного текста заключение и три приложения Объем диссертации 134 страницы, включая 21 рисунок и 9 таблиц Список литературы содержит 124 ссылки
2, Содержание работы
Во введении обоснована актуальность диссертционной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана научная и практическая значимость полученных результатов
Первая глава посвящена изучению скейлинговых овойсгв монополей определенных в максимальной абелевой калибровке решегочной SU(2) теории Ключевые результаты представлены в разделах 1 3 и 1 5 Глава основана на работах автора [1,4,6,7] Раздел 1.1 содержит необходимые предварительные сведения, начиная с обсуждения механизма дуальной сверхпроводимости и заканчивая определением максимальной абелевой проекции на peineiKe
В разделе 1.2 представлен краткий обзор наиболее важных феноменологических фактов, известных о монополях, определенных в максимальной
абелевой проекции (МАП), на сеюдняшний день Показано, что, несмотря на большую теоретическую неопределенность, решеточная феноменология МАК монополей оказывается крайне нетривиальной и, по-видимому указывает на глубокую связь динамики монополей и невылетания цвета Обсуждаются абелева и монопольная доминантность, дуальное уравнение Лондоном для монопольных токов в присутствии струны КХД, эффективный потенциал и оператор рождения монополя
Накопленные феноменологические знания о динамике монополей в максимальной абелевой проекции подтверждают картину дуальной сверхпроводимости Проблема, однако, заключается в модельно-зависимом характере наблюдений такого сорта Не имея сомнений в том, что дуальная абелева модель Хиггса может служить лишь приближением к описанию нспср гурбатив-ной динамики КХД, мы вынуждены искать место монополей в орш инальной неабслевой теории и связь их динамики с физическими наблюдаемыми Этим вопросам посвящена оставшаяся часть первой главы
Монополи определяются на решетке как граница дираковских струн, несущих сингулярный абелев поток Будучи геометрической границей, монополи представляют собой замкнутые ориентированные траектории х,,(т) в 4-мерном евклидовом пространстве-времени Операционно, процедура абелевой проекции может рассматриваться как отображение конфигурации решеточных калибровочных полей иц(х) в конфигурацию монопольных токов х;1(т) Такое представление об абелевой проекции как о "черном ящике", определяющим монополи по конфигурациям полей, является отправной точкой модельно-независимого описания динамики абелевых монополей и их роли в непертурбативной физике КХД Непосредственно наблюдаемыми при этом являются только траектории монополей, а единственным свободным параметром - масштаб ультрафиолетового обрезания а Раздел 1.3 посвящен исследованию зависимости геометрических свойств монопольных траекторий от масштаба обрезания Ключевую роль в анализе занимают два хорошо известных понятия асимптотический скейлинг и кластерная декомпозиция монопольных траекторий
По определению, кластер - это максимальная связная часть траектории Любая конфигурация токов хм(т) на решетке единственным образом разбивается на ансамбль непересекающихся кластеров На каждой Монте-
15
I. 10
а регс —•— /т о
Щ Ч : Ч Ч
А . ..
0.05 0.1 0.15
а, /7п
0.2
Рис. 1. Скейлинг плотности монополей, детали подгонок и обсуждение см. в тексте. Из работы [1].
Карло конфигурации ¡монопольных токов существует единственный перколирующий кластер монополей, размер которого пропорционален объему решетки, 1регс ос V, V —> оо.
Остальные кластеры имеют конечную длину в термодинамическом пределе1 V —> сю и характеризуются распределением по длинам Р(1). Соответствующие плотности монополей в перколирующих и в конечных кластерах принято нормировать следующим образом:
_ (¿регс) _ (¿Ёп)
Ррегс ~~ 4аЧг ' Р!т ~ 4<г>У ' где /регсЛпп ~ число ребер решетки в соответствующих кластерах, V число узлов решетки, а - шаг решетки. Полная плотность р равна сумме /9регс и р^л.
На рис. 1 показана плотность перколирующего кластера монополей р]КК как функция шага решетки а, полученная в работе [1]. Слабая зависимость от а подгонялась константой для значений (3 > 2.35. В результате получено значение в непрерывном пределе а —> 0 (показано сплошной линией на рис. 1).
ррегс = 7.70(8) Ьп
-з
(2)
1 При этом количество и суммарная длина конечных кластеров растут, конечно, пропорционально объему.
Далее в разделе 1.3 показано, что другие геометрические свойства перколирующею кластера тоже не зависят от масштаба обрезания Представлены скейлинги средней длины монопольной траектории между самопересечениями. среднего количества самопересечений в единице объема, корреляции направлений тока как функции собственного времени и пространственные корреляции токов Независимость свойств перколирующего кластера монополей от масштаба обрезания традиционно приводится в качестве оправдания "фи-зическои" или "калибровочно-инвариантной" природы монополей, определенных в максимальной абелевои проекции, и их адекватности как эффективных низкоэнергем ических степеней свободы
Плотность монополей в конечных кластерах расходится при а —* 0 и хорошо подгоняется следующей функцией (пунктирная линия на рис 1)
Отрицательная константа сигнализирует о невалидности подгонки в (пефи-зичсской) области сильной связи и не важна при малых а
Сосуществование одного перколирующею и конечных кластеров обладающих качественно различными скейлинговыми свойствами оправдывает кластерное разложение как подход к описанию геометрии монопольных токов Более того, было показано [9], что только лишь перколирующий кластер способен обеспечить натяжение струны в смысле монопольной доминантности Также известно [10], что пространственная перколяция монополей является параметром порядка при температурном переходе конфайнмен г-декон-файнмент в 31/(2) глюодинамике
Существование единственного экземпляра перколирующего кластера на каждой динамически важной Монте-Карло конфигурации выгляди! буквально как соответствующее утверждение теории перколяции Существенное отличие, -1ем не менее, заключается в том, что случайная перколяция предполагает достаточную конечную решеточную (те безразмерную) плотность 'занятых' ребер, необходимую для образования перколирующего кластера Это условие явно не выполняется для монопольных токов, решеточная плотность монополей стремится к нулю в непрерывном пределе
(3)
(р/гп + Ррегс) а3 ОС О? —► О, О ► 0
(4)
При типичном для работ автора значении шага решетки а ~ 0 1 fm монополи занимают всего около 1-2% ребер решетки, что на порядок меньше порога случайной иерколяции ребер в 4-мерном пространстве Таким образом, существование перколирующего кластера монополей в непрерывном пределе не имеет отношения к случайной иерколяции
Картина феноменологии абелсвых монополей была бы неполной без обсуждения их связи с другими известными низкоразмерными объектами, населяющими вакуум решеточной глюодинамики Раздел 1.4 посвящен связи монополей и центральных вихрей Приведена мотивация и крахкий обзор известных фактов о динамике центральных вихрей в решеточной SU(2) теории и их связи с невылетанием Геометрически вихри являются замкнутыми двумерными поверхностями Базовым наблюдением, показывающим фактическое единство монополей и вихрей, стало открытие сильной пространственной корреляции в положении монопольных траекторий с поверхностями вихрей [11] Кластерное разложение монопольных траекторий и поверхностей вихрей согласовано [12] на перколирующем кластере центральных вихрен лежит весь перколирующий монопольный кластер и малая в непрерывном пределе доля конечных кластеров Основная часть конечных монопольных кластеров занимает конечные кластеры вихрей Также показано [4|, что удаление центральных вихрей приводит к удалению практически всех монополей, принадлежащих перколирующему кластеру Симметрично, удаление монополей приводит к распаду единственного перколирующего кластера вихрои на несколько неперколирующих, но все еще довольно больших кластеров Хорошо известно, что в обоих случаях натяжение струны равно нулю на модифицированном ансамбле полевых конфигураций
Возвращаясь к расходимости (3), заметим, чго она явно смешивае-i инфракрасный ~ 1 fm) и ультрафиолетовый (а -С 1 fm) масштабы Другим примером подобного поведения является средний избыток неабелевого действия, связанный с монопольной траекторией единичной длины В конце раздела 1 3 приводится краткий обзор результатов работы [13], посвященной действию монопольных траекторий Показано, что добавочное действие, связанное с монопольной траекторией физической длины 1 ~ lim линейно
расходшся с шаюм решетки
Ш « —
91 а
Такое поведение типично для классического точечного монополя Дирака тот гоже имеет расходящийся как 1 /а лагранжиан (действие на единицу длины на языке чет ырсхмерной евклидовой теории)
Открытие ультрафиолетовых расходимостей, сочетающих масштабы Л^е/? и а в свойствах вакуума, является прямым вызовом теории Действительно в асимптотически свободной глюодинамике все эффекты на малых расстояниях должны быть понятны из первых принципов С дру1 ои стороны, явная зависимость от цепеней Лдсо ос ехр(—1/2боЛ8(а)) требуеч непертурбатив-ного описания
Интерпретации феноменологических данных посвящен раздел 1.5 В начале раздела приведена краткая сводка феноменологических фактов Интерпретация свойств монополей с точки зрения физики больших расстояний основывается на картине вакуума КХД как дуального сворхпроводника. подходящим формализмом является первично квантованная (евклидовая) квантовая теория поля (Приложение Б) По аналогии с компактной [/(1) теориси перколирующий кластер интерпретируется как классический конденсат на языке эффективной теории поля Независимость свойств перколирующею кластера от обрезания поддерживает картину дуальной сверхпроводимости, те генерацию натяжения струны конденсатом монополей Трудности, однако, возникают при интерпретации степенных расходимостей
Попытки последовательной интерпретации нетривиальной чувствительности монополей к масштабу обрезания и приводят к картине флуктуирующих двумерных бран [14], населенных конденсатом монополей Браны имеют следующие свойства полная площадь в единице объема не зависит 01 а, ассоциированное неабелевое действие расходится как а-2, браны населены скалярными частицами - монополями, мононоли перколируют (сконденсированы) на бранах, и, наконец, браны перколируют (сконденсированы) в пространстве Детальное обсуждение бран изложено в разделе 15 4 диссертации
(6)
а е1 а
Картина браи кажется менее удивительной, учитывая связь монополей и центральных вихрей, обсуждаемую выше И центральные вихри, и монополи дают вклад порядка а-2 в среднюю плотность действия В случае монополей квадратичная расходимость "собирается' из линейных расходимостей плотности и действия на единицу длины В случае вихрей плотность не зависит от а, зато действие на единицу площади расходится квадратично В работе [15] было указано на то, что вклад бран в среднее действие может быть представлен как квадратичная степенная поправка к лидирующей пертурбативпой расходимости (Приложение В) Квадратичная поправка дает линейныи по г вклад в статический потенциал на малых расстояниях, что соответствуем нашим утверждениям о том, что браны (вихри -+- монополи) генерируют натяжение струны 6У(г) = от на всех расстояниях, в том числе при г —> О Соответствие вклада бран в (б2) и У'(г) квадратичной поправке было интерпретировано как дуальность бран высшим порядкам теории возмущений а именно ультрафиолетовому ренормалону.
Выводы к первой главе представлены в разделе 1.6 Вторая глава посвящена изучению топологической структуры вакуума методом погруженной НР1 модели Основные результаты представлены в разделах 2 3 и 2 4 Глава основана на работах автора [2,3] Раздел 2.1 содержит необходимые предварительные сведения, начиная с обсуждения геометрической фазы в нерелягивистской квантовой механике, а так же калибровочной структуры комплексных проективных моделей в двух и кватернионных проективных моделей в четырех измерениях Общим для всех случаев является выражение
А„ = -г({(7)
для индуцированного калибровочного потенциала а структура нолей | д) в каждой модели своя Именно для кватернионных проективных (НР") моделей поле Ац принадлежит алгебре зи(2)
Идея конструкции погруженной НР" модели [16] состоит в том, чтобы рассматривать (7) в качестве (калибровочно-ковариантного) уравнения на скалярное поле | д) при заданном калибровочном поле Конец раздела 2 1 посвящен обсуждению существования ¡акого решения При условии, что решение уравнения (7) найдено, топологический заряд имеег смысл индекса отображения | д(х)) 5"1 —> НР", что позволяет сконструировать дискрет-
ные версии операторов топологического заряда и его плотности с 'хорошими" свойствами Описанию дискретной конс1рукции и ее свойств посвящен раздел 2 2
Процедура погружения НР1 модели заключав 1ся в построении конфигурации кватсрнионно-значного скалярного поля | ц) по исходной конфигурации калибровочных 81/(2) полей С/,, —> минимизируя функционал
Минимизация F[U, q] по всем конфигурациям {|д)} соответствует приближенному решению непрерывного уравнения (7) Дополнительная по сравнению с непрерывным выражением, нормировка в правой част (9) обеспечиваем унитарность U Глобальная минимизация F[U, q] реализуется в виде итеративного численного алгоритма Было показано, что на ансамблях калибровочных SU(2) конфигураций с дейсмвием Вильсона и 0 £ [2 3 2 6] функционал (8) имеет следующие свойства
1 Существует единственный глобальный минимум невязки F[U g],
2 Качество аппроксимации mmF[U, q] не зависит от ранга модели п
Исходя из этою, мы в дальнейшем, во-первых, ограничимся просхейшим случаем п = 1 и, во-вторых, будем считать поля погруженной НР1 модели | 9) [£/] однозначно определенными при заданных и Конец раздела 2 2 посвящен описанию решеточной конструкции операторов топологического заряда и его плошости в терминах поля |<7) € НР1 ~ 54, а также численному сравнению с дру1 ими определениями Показано, что определение топологического заряда методом погруженной НР1 модели согласуемся с теоретико-полевым определением на гладких полях и с определением через теорему об индексе кирального оператора Дирака на вакуумных полях Полученное значение топологической восприимчивости
невязки
(8)
где
Щ(х) =
\{q(x)\q(x + fi)\
(9)
Х1/4 = 216(4) MeV
(10)
согласуется с другими решеточными вычислениями [18]
Логичным следующим шагом стало определение НР1 проекции рассматриваемое в разделе 2.3,
ад -> |9(1)> - ад (и)
В отличие от абелевой проекции, обсуждавшейся в первой главе, НР1 проекция (11) явно калибровочно-коварианхна - при калибровочных поворотах поля 11 и Ы преобразуются в точности одинаково Уравнение (11) естественным способом позволяет рассматривать свойства полей К, рассматриваемых как обычные 81/(2) калибровочные поля Каждому оператору Х[[7] ставится в соответствие проецированный оператор Х[и] = Х\Ы\ Остаток ог проекции, поле ^(а:), определен как фактор
ад = ад иЦх) (12)
в калибровке П такой, чш
иг = -тгЦгН (13)
у/1 + М2 \ш/
Необходимость фиксации калибровки характерна для любого разделения полей вида (12)
Сводка наблюдаемых, вычисленных вНР1 проекции, приведена в хабл 1 В ней (С2) - средняя плотность действия, х ~ топологическая восприимчивость, а - натяжение струны и (фф) = (Тг В'1) - киральный конденсат Видно, что НР1 проецированные поля Ы в пределах ошибок воспроизводя г непертурбативиые наблюдаемые и не имеют следов теории возмущений И наоборот, остаток от проекции V демонстрирует только пертурбативные свойства
Самым ярким примером подавления лидирующего пертурбативного вклада является скейлинг средней плотности действия (С2) в НР1 проекции На рис 2 показана зависимость2 к а2(С2) от а2 Прямая линия соответствует лучшей подгонке прямой
(а^/тг) = 0 066(2) СеУ4 + (95(5) МеУ/а)2, (14)
Нормировочный коэффициент к = 7т,/24 вводится по традиции
Табчица 1 Сводка наблюдаемых (см определения в тексте), вычисленных на НР1 проецированных полях Ы и на остатке от проекции V Примечания ' сопас\ется с полным чеипвием, ** имеет сичьные поправки при конечном а
Наблюдаемая и V
(о,С2/тг) 0 066(2) веУ4 + (95(5) МеУ/а)2 со/а4*
\ а —> 0 (216(4) МеУ)4 0
а а -» 0 (460(10) МеУ)2 ** 0
{фу;), а —> 0 (278(6) МеУ)3 0
Рис 2 Скейлинг среднего плакетного действия на НР1 проецированных почях Прямая -чучшая подгонка вида (14) Из рабош [2]
при этом наклон прямой соответствует глюонному конденсату, а значение в пуле квадратичной поправке Видно, что скейлинг не содержит лидирующей пертурбативной расходимости (С2) ос 1/а4 Вместо этого присутствует глюонный конденсат размерности 4 и квадратичная поправка Численное со-итсие конденсатов с существующей литературой [17] оправдывает интерпретацию средней плотности действия в НР1 проекции как неперхурбативнои части (б2)
Теоретическая неопределенность конструкции велика - прежде всего из-за нелокальной и алгоритмически определенной процедуры погружения НР1 сг-модели Гипотеза о том, что поля описывают всю непергурбативную
дииамику исходных ансамблей и только ее, подтверждается исключительно феноменологическими данными Мы будем полагаться на эту гипотезу в дальнейшем
Раздел 2.4 посвящен пространственной структуре топологической плотности и состоит из двух частей В начале раздела показано, что геометрический смысл поля | д) как отображения | <7(2;)) 54 —» 54 позволяет связать лидирующие расходимости плотности действия и плотности топологического заряда в НР1 проекции Эскиз анализа выглядит следующим образом [3]
Параметризуем физическое пространство 54 и образ НР1 — 54 стереографическими координатами х^ и у^ и рассмотрим произвольную точку в которой отображение невырождено,
Вводя якобиан и метрику отображения,
= = (16) дх" 1+2/
можно показать, что и кривизна индуцированной связности, и плотность топологического заряда выражаются через (положительные) собственные значения Х(1 метрики, а именно (опущены численные коэффициенты пропорциональности)
С2 ос СПг5)2-ТУ52 ос (17)
ц2 ос йеЬд = ДА„ (18)
То же, конечно, справедливо для средних Выражения (17) и (18) составляют основу дальнейшего феноменологического анализа Подчеркнем, что выразить плотность действия и плотность топзаряда через одни и п с же удалось только благодаря простой геометрической картине отображения (15), другими словами - в НР1 проекции
Сравнивая (17) и феноменологические данные (14), получим
5>Л> ос^ + Л4, (19)
где мы условно обозначили инфракрасный масштаб Л и явно удержали все степени шага решетки Структура (19) предполагает нетривиальный скей-линг корреляторов А с шагом решетки В работе [3] было сделано предположение о том, что скейлинг вида (19) возможен только при локально сильно асимметричном отображении - только одно собственное значение сингулярно
(Ао) ос 1/а2, (А,) ос Л2, г = 1,2 3 (20)
где без потери общности сингулярность ос 1/а2 приписана первому со бешенному значению В этом случае корреляторы А любого порядка п веду! себя как Л2п~2(1 /а2 + Л2) В частности, это верно для характерной топологической ШЮ1Н0СТИ \J(q2), выражающейся через коррелятор А четвертого порядка см (18),
Л6
(q2) ос 4, (21)
а1
Более того, коэффициенты при квадрахичной расходимости корреляхоров А разного порядка связаны Конец раздела 2 4 1 посвящен проверке гипохе-зы (20) Показано, что действительно корреляторы разных порядков по А ведут себя как Л2г1-2(1 /а2 + Л2), и коэффициенты при лидирующих расхо-димостях связаны Для характерной плотности топзаряда это приводит к оценке
V^Fbafm)-3 а"1 (22)
Непосредственное измерение скейлинха характерной топологической плотности согласуется с этой оценкой
Асимметрия отображения | q(x)) (20) интерпретируется как эффективная трехмерность вакуумной структуры топологической плотности - вместо инстантона топзаряд порядка единицы несет сильно асимметричный "блин' характерного размера (lfm)3 х а Независимой проверке этой картины посвящена оставшаяся часть раздела
Идея, лежащая в основе определения диффузионной размерности, заключается в погружении простой динамической системы, эволюция которой зависит от размерности пространства, в фоновое поле топологической плотности Простейшей подходяхцей системой является случайное блуждание или уравнение диффузии на непрерывном языке
Модель, предложенная в [3], представляет собой модифицированное случайное блуждание вида
р(х, х + /}) = ¡—-—Щ^т—^7-7-ггтт, (23)
где р(х, х + р,) - вероятность перехода из узла х в направлении /г за один шаг и степень 7 > 0 не может быть зафиксирована a prion и остается свободным параметром модели Фоновое поле топологической плотности q(x) принимается заданным
Показано, что существует такое 7, что вероятность возврата процесса (23) зависит от времени степенным образом
ф(0 сх Г0^!2, (24)
что позволяет интерпретировать D{7*) как эффективную размерность структуры топологической плотности Оказалось, что ни 7*, ни D не зависят от шага решетки, и
D = 3 07(3), (25)
что прекрасно согласуется с утверждением об эффективно трехмерной структуре топологической плотности, сделанным на основании асимметрии (20) Выводы ко второй главе представлены в разделе 2.5 В заключении обсуждаются основные результаты работы и, прежде всего, интерпретация смешанных расходимостей вида (3),(5),(14),(22)
Публикации автора по теме диссертации
[1] V G Bornyakov, Р Y Boyko, М I Pohkarpov and V 1 Zakharov, Nucí Phys В 672 (2003) 222
[2] P Y Boyko, F V Gubarev and S M Morozov, Phys Rev D 73 (2006) 014512
[3] P Y Boyko and F V Gubarev, Phys Rev D 73 (2006) 114506
[4] P Y Boyko et al, Nucl Phys В 756 (2006) 71
[5] P Y Boyko, M N Chernodub, A V Kovalenko, S M Morozov and M I Pohkarpov, Nucl Phys Proc Suppl 106 (2002) 628
[6] P Y Воуко, М I Pohkarpov and V I Zakharov, Nucí Pliys Proc Suppl 119 (2003) 724
[7] V G Bornyakov, P Y Воуко, M I Pohkaipov and V I Zakharov, Nu<l Phys Proc Suppl 129 (2004) 668
[8] P Y Воуко, F V Gubaiev and S M Morozov, PoS LAT2007 (2007) 307 Список литературы
|9j A Hart and M Tepcr, Phys Rev D 58, 014504 (1998)
[101 v G Bornyakov, V К Mitrjushkin and M МиИег-Ргеиьькег, Phys Lett В 284, 99 (1992)
[11] L Del Debbio et al, arXiv hep-lat/9708023
[12] A V Kovalenko, et al, Nucl Phys Proc Suppl 129, 665 (2004), A V Kovalenko et al , Phys Rev D 71, 054511 (2005)
[13] V G Bornyakov et al, Phys Lett В 537 (2002) 291
[14] V I Zakharov, arXiv hep-ph/0306261
[15] V I Zakharov, arXiv hep-ph/0309178
[1G] F V Gubarev and S M Morozov, Phys Rev D 72, 076008 (2005)
[17] A Di Giacomo and G С Rossi, Phys Lett В 100, 481 (1981) , M Baig, UAB-FT-124, PEL Rakow, PoS LAT2005 (2006) 284
[18] В Lucim and M Teper JHEP 0106 (2001) 050
Подписано к печати 18 06 08 г Формат 60x90 1/16
Уел печл 1,14 Уч-изд л 1,63 Тираж 100 экз Заказ 540
Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б Черемушкинская, 25
Введение
1. Мотивация и обзор работы.
2. Общая характеристика работы.
Глава 1. Скейлинговые свойства МАП монополей
1.1. Магнитные монополи и невылетание
1.2. Обзор решеточной феноменологии.
1.3. Геометрические и скейлинговые свойства.
1.4. Связь с центральными вихрями
1.5. Интерпретация феноменологии
1.6. Выводы к первой главе
Глава 2. Погруженная НРП модель
2.1. Связь киральных и калибровочных теорий.
2.2. Погруженная НРП модель на решетке.
2.3. HP1 проекция
2.4. Структура топологических флуктуаций
2.5. Выводы ко второй главе
1. Мотивация и обзор работы
Нет сомнений в том, что сильно взаимодействующие частицы состоят из кварков и глюонов, не наблюдаемых по отдельности. Вопрос о том, почему кварки связываются в адроны с наблюдаемыми свойствами далек, однако, от окончательного ответа.
Опыт решения большого количества квантовомеханических задач учит тому, что первым делом следует попытаться понять основное состояние системы, после чего можно надеяться, что свойства возбуждений получатся естественным образом. В этой работе мы сконцентрируемся исключительно на свойствах вакуума.
Конечно, полное решение КХД включает описание вакуумного состояния, конфайнмента и свойств адронов. Решеточная КХД делает серьезные успехи на этом пути, предоставляя решение в виде систематически улучшаемых результатов численных расчетов. Тем не менее, приближенные модели вакуума остаются важной составной частью понимания этих результатов. Назначением моделей является качественное объяснение непертурбативных свойств теории, таких как конфайнмент, вакуумные конденсаты, фазовая диаграмма.
Самые разнообразные модели были и остаются в разной степени феноменологически успешными. В моделях "мешков" роль непертурбативного вакуума сводится к граничным условиям на волновую функцию кварков на границе адронного мешка. Вакуум Саввиди заполнен спонтанно генерирующимся хромомагнитным полем, в спагетти-вакууме магнитное поле организовано в тонкие замкнутые трубки (мы вернемся к этой идее в разделе 1.4). Вакуум модели дуальной сверхпроводимости имеет конденсат "магнитных зарядов", в результате (дуальный) эффект Мейснера сжимает "электрическое" поле между кварком и антикварком в трубку, мы детально рассмотрим эту модель в первой главе. Множество вариаций модели инстантонной жидкости феноменологически успешны, особенно в описании свойств легких адронов.
Могут ли все эти модели быть (хотя бы отчасти) верными одновременно? Можно ли получить их параметры из первых принципов? На каком масштабе эффективное описание сшивается с теорией возмущений? Как это происходит?
Решеточная КХД оказалась уникальным инструментом для поиска ответов на такие вопросы. Действительно, численное Монте-Карло моделирование теории1 представляет наблюдаемые в виде статистических средних по ансамблям конфигураций калибровочных полей {А^(х)}. Выделяя на каждой конфигурации интересующие эффективные степени свободы, например "инстантоны" или "магнитные монополи", можно непосредственно изучать их динамику в настоящем непертурбативном вакууме (евклидовой) КХД. При дополнительных предположениях оказывается возможным факторизо-вать вклад рассматриваемых объектов в физические наблюдаемые, такие как натяжение струны. Можно рождать новые объекты, вычисляя эффективное действие. Можно даже удалять объекты из вакуума, исследуя соответствующее изменение физических свойств теории. Мы будем называть знания такого рода решеточной феноменологией.
Накопление и интерпретация фактов решеточной феноменологии привели к существенному пересмотру старых моделей вакуума.
В первой главе мы увидим, к каким причудливым модификациям модели дуальной сверхпроводимости привела систематическая интерпретация решеточных данных. В центре внимания будет описание магнитных монополей (определенных в максимальной абелевой проекции SU(2) глюодинами
1 Предполагается, что читатель знаком с основами решеточных калибровочных теорий. Для ориентации см., например, учебники [1, 2]. ки) в терминах флуктуирующей геометрии "квантовых" траекторий. Будет показано, что монополи проявляют себя не только на больших расстояниях порядка Aкак положено эффективным низкоэнергетическим степеням свободы, но и на малых расстояниях вплоть до масштаба обрезания2 а. Например, плотность монополей имеет вид (см. подробности в разделе 1.3.1)
Р aqcd ■ а~1 i явно смешивая инфракрасный и ультрафиолетовый масштабы. Последовательная интерпретация (раздел 1.5) подобной "интерференции" масштабов неожиданно приводит к синтезу модели дуальной сверхпроводимости с картиной спагетти-вакуума центральных вихрей. Феноменологически, вклад вихрей и монополей в наблюдаемые идентифицируется в терминах квадратичной степенной поправки.
Другая феноменологически успешная модель вакуума - модель инстан-тонной жидкости (ILM) - испытала не меньшие метаморфозы под давлением решеточных данных. Специфика решеточной феноменологии ILM состоит в том, что наблюдение инстантонов требует явного разделения пертурбативно-го и непертурбативного вкладов. Так, плотность действия и плотность топ-заряда максимально флуктуируют пертурбативно,
G2) ос ос а"4 , не оставляя шансов заметить на пертурбативном фоне классическое решение с
С2) ос у/Щ ос K%CD .
Более того, уже определение плотности топологического заряда сталкивается на решетке с серьезными проблемами. Действительно, любая "наивная"
23десь и далее мы используем решеточную регуляризацию с шагом решетки а. дискретизация тензора напряженности = G^ + 0{ап) в определении q ос GG нарушает целочисленность топологического заряда: оо к—п
Проблема в том, что формально подавленные как степени а поправки на дискретизацию пропорциональны операторам высших размерностей и, вообще говоря, ультрафиолетово расходятся в среднем согласно размерности: (Л4к &к) ос а-4 для всех к. Отметим для сравнения, что в аналогичном разложении плотности действия G2 настоящим малым параметром выступает константа связи а3{аГ2) и только асимптотическая свобода обеспечивает сходимость дискретной версии оператора к непрерывной при а —» 0.
Отличные от наивной дискретизации определения решеточной плотности топологического заряда имеют свои серьезные недостатки. То же относится к широко распространенным рецептам "охлаждения" и сглаживания полей.
Во второй главе предлагается новый подход к конструкции оператора плотности топологического заряда в решеточной SU{2) глюодинамике. Конструкция состоит из двух частей.
Во-первых, калибровочное поле А^(х) аппроксимируется с помощью геометрической связности поля | q) (х) погруженной кватернионной нелинейной (Т-модели:
Aail~-i{q\Tadll\q), \q)G HP", А" е su(2).
Вопросы о том, что такое геометрическая связность, кватернионная проективная модель и как понимать приближенное равенство в выражении выше, подробно обсуждаются в разделе 2.1.
Во-вторых, геометрический смысл топологического заряда как индекса отображения | q) (х) : Sphys —> НРП позволяет сконструировать дискретные операторы топологического заряда и его плотности с "хорошими" свойствами. Описанию дискретной конструкции и ее свойств посвящен раздел 2.2.
Удивительным "побочным продуктом" конструкции погруженной HP1 модели оказывается полное подавление (по крайней мере лидирующего) пертур-бативного вклада в физические наблюдаемые. В разделе 2.3 мы познакомимся с определением HP1 проекции как калибровочно-ковариантного отображения полей А^ —> —i(q \тадц\ q), обобщающего подход к определению плотности топзаряда на другие операторы. Оказывается, что HP1 проекция сохраняет такие непертурбативные динамические свойства как глюонный конденсат, киральный конденсат и натяжение струны. Более того, статистически достоверно определена квадратичная поправка к глюонному конденсату. При этом наблюдаемые в HP1 проекции не имеют пертурбативных вкладов, таких как вклад нулевых колебаний в (G2) и кулоновский член в потенциале. Напротив, остаток от проекции демонстрирует только пертурбативное поведение, см. сводную таблицу наблюдаемых 2.2.
Итак, конструкция погруженной HP1 модели отвечает всем требованиям для открытия инстантонной жидкости в вакууме: хорошо определенный оператор плотности топзаряда и разделение пертурбативного и непертурба-тивного вкладов в наблюдаемые. Пространственной структуре топологической плотности посвящен раздел 2.4. По-видимому, квадратичная поправка к глюонному конденсату оказывается фатальной для ILM вакуума. В разделе 2.4.1 показано, что квадратичная поправка к (G2) соответствует линейной расходимости характерной плотности топзаряда у/Щ -(lfm)-3^"1.
Это, в свою очередь, интерпретируется как эффективно трехмерная структура флуктуаций топологической плотности в вакууме - вместо инстантона топзаряд порядка единицы несет сильно асимметричный "блин" характерного размера (1 fm)3 х а.
Определение диффузионной размерности (раздел 2.4.2) позволяет провести независимую проверку утверждения о низкоразмерной структуре топологических флуктуаций. Оказывается, что действительно существует режим диффузии на фоне (модуля) плотности топологического заряда при котором величина локального возмущения падает со временем по степенному закону Ф(£) ос t~D/2 с эффективной размерностью D — 3.07(3).
В Заключении обсуждаются основные результаты работы.
В следующем разделе представлена общая информация о работе: список результатов выносимых на защиту, апробация диссертационной работы, ее объем и структура, а также благодарности.
2.5. Выводы ко второй главе
Погруженная HP1 модель (раздел 2.1) позволяет сконструировать геометрически ясные решеточные операторы топологического заряда и его плотности (раздел 2.2). Теоретическая обоснованность для классических полей и численное сравнение с другими определениями в случае квантовых полей оправдывают применимость метода. В частности Хнр = 216(4) MeV, в согласии с общепринятым значением. Метод, однако, не ограничен расчетами топологической восприимчивости.
HP1 проекция (раздел 2.3) является калибровочно-ковариантным отображением полей, обобщающим определение топологической плотности для других наблюдаемых. Оказывается, что HP1 проекция сохраняет такие непертур-бативные динамические свойства как глюонный конденсат (2.3.1), киральный конденсат (2.3.3) и натяжение струны (2.3.2). Более того, статистически достоверно определена квадратичная поправка к глюонному конденсату. При этом наблюдаемые в HP1 проекции не имеют (по крайней мере лидирующего) пертурбативного вклада, такого как вклад нулевых колебаний в (G2) и кулоновский член в потенциале. Напротив, остаток от проекции (2.3.4) демонстрирует только пертурбативное поведение, см. сводную таблицу 2.2 и раздел 2.3.5.
Простой геометрический смысл полей погруженной HP1 модели позволяет связать лидирующие расходимости плотности действия и характерной плотности топологического заряда (раздел 2.4.1). Сделанные при этом дополнительные предположения о структуре отображения \q) (я) проверяются непосредственно. Показано, что квадратичная поправка к (G2) соответствует линейной расходимости q ~ (lfm)~3 • а-1. Это, в свою очередь, интерпретируется как эффективно трехмерная структура флуктуаций топологической плотности в вакууме.
Определение диффузионной размерности (раздел 2.4.2) позволяет провести независимую проверку утверждения о низкоразмерной структуре топологических флуктуаций. Оказывается, что действительно существует масштабно-инвариантный режим диффузии соответствующий эффективной размерности D = 3.07(3) независимо от шага решетки.
Заключение
Физические явления обычно организуются согласно иерархии масштабов. В вакууме квантовой глюодинамики отсутствуют априорные размерные параметры и соответствующие масштабы связаны с расходимостями. Их два: инфракрасный (ИК) масштаб A ~ lfm-1 определяется, например, как положение полюса Ландау; ультрафиолетовый (УФ) масштаб а <С lfm искусственно вводится для регуляризации ультрафиолетовых расходимостей. Физические наблюдаемые, например спектр возбуждений, зависят от А и не зависят от а в непрерывном пределе а —» 0. Нефизические "ненаблюдаемые", например энергия нулевых колебаний вакуума, зависят от а и не зависят от А. Физика малых расстояний не влияет прямо на физику больших расстояний и наоборот6. Асимптотическая свобода делает теорию возмущений надежным описанием физики на малых расстояниях и, напротив, процессы на масштабе А должны описываться как-то по-другому. Поэтому обычно в глюодинами-ке разделение "жесткого" УФ и "мягкого" ИК масштабов отождествляется с разделением пертурбативной и непертурбативной физики. При этом считается, что пертурбативная глюодинамика "тривиально" верна в своей области применимости.
Описанная картина, однако, неполна. Основным результатом этой диссертации является демонстрация одновременной зависимости от масштабов А и а вида
О) ос А "-(Г*3, 0. для большого количества величин, связанных с моделями вакуума. В таблице 2.5 собраны скейлинги разнообразных величин, обсуждаемых в этой работе. Подчеркнем, что все они определены "микроскопически", т.е. на масштабе обрезания а. Тем не менее, все они динамически чувствительны к инфракрас
6Примером "наоборот" является независимость ультрафиолетовых расходимостей от температуры.
Наблюдаемая" Скейлинг * стр.
Плотность перколирующего кластера монополей А3 31
Плотность самопересечений перколирующего кластера А4 35
Корреляционные длины для монопольных траекторий А-1 39
Плотность центральных вихрей ** А2 46
Топологическая восприимчивость в HP1 проекции А4 78
Плотность монополей, образующих конечные кластеры А2 • а""1 31
Действие монопольной траектории длины 1 ~ А-1 *** 1-а~1 42
Действие центрального вихря площади А ~ А-2 ** А-а~2 46
Глюонный конденсат в HP1 проекции А4 + А2 • а"2 80
Характерная топологическая плотность в HP1 проекции А3 • а"1 94
1. Creutz М. Quarks, gluons and lattices. — Cambridge, Uk: Univ. Pr. ( 1983) 169 P. ( Cambridge Monographs On Mathematical Physics).
2. Montvay I., Munster G. Quantum fields on a lattice. — Cambridge, UK: Univ. Pr. (1994) 491 p. (Cambridge monographs on mathematical physics).
3. Boyko P. Y., Polikarpov M. I.} Zakharov V. I. Geometry of percolating monopole clusters // Nucl. Phys. Proc. Suppl.— 2003.— Vol. 119. — Pp. 724-726.
4. Geometry of the monopole clusters at different scales / V. G. Bornyakov, P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2004. Vol. 129. - Pp. 668-670.
5. Boyko P. Y. et al. Once more on the interrelation between abelian monopoles and p-vortices in su(2) lgt // Nucl. Phys. — 2006. — Vol. B756. — Pp. 71-85.
6. Boyko P. Y., Gubarev F. V., Morozov S. M. SU(2) gluodynamics and HP1 sigma-model embedding: Scaling, topology and confinement // Phys. Rev. — 2006. Vol. D73. - P. 014512.
7. Boyko P. Y., Gubarev F. V. On the continuum limit of topological charge density distribution // Phys. Rev. 2006. - Vol. D73. - P. 114506.
8. Monopole clusters at short and large distances / V. G. Bornyakov, P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov // Nucl. Phys. 2003.-Vol. B672. - Pp. 222-238.
9. Monopoles and hybrids in Abelian projection of lattice QCD / P. Y. Boyko,
10. М. N. Chernodub, А. V. Kovalenko et al. // Nucl. Phys. Proc. Suppl — 2002. Vol. 106. - Pp. 628-630.
11. Boyko P. Y., Gubarev F. V.; Morozov S. M. On the structure of QCD confining string // PoS. 2007. - Vol. LAT2007. - P. 307.
12. Dirac P. A. M. Quantised singularities in the electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. bond. — 1931. Vol. A133. - Pp. 60-72.
13. Dirac P. A. M. The theory of magnetic poles // Phys. Rev. — 1948.— Vol. 74. Pp. 817-830.
14. Aharonov Y., В ohm D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev. 1959. - Vol. 115. — Pp. 485-491.
15. Абрикосов A. A. // ЖЭТФ. 1957. - Vol. 32. - P. 1442.15. !t Hooft G. — in 'High Energy Physics', Proceedings of the EPS International Conference, Palermo 1975, ed. A. Zichichi, Editrice Compositori, Bologna 1976.
16. Mandelstam S. // Phys. Rep. 1976. - Vol. C23. - P. 245.
17. Polyakov A. M. Compact gauge fields and the infrared catastrophe // Phys. Lett. 1975. - Vol. B59. - Pp. 82-84.
18. DeGrand T. A., Toussaint D. Topological excitations and monte carlo simulation of abelian gauge theory // Phys. Rev. 1980. - Vol. D22. — P. 2478.
19. Polyakov A. M. Particle spectrum in quantum field theory // JETP Lett. — 1974. Vol. 20. - Pp. 194-195.
20. Georgi H., Glashow S. L. Unified weak and electromagnetic interactions without neutral currents // Phys. Rev. Lett. — 1972. — Vol. 28. — P. 1494.
21. Bogomolny E. B. Stability of classical solutions // Sov. J. Nucl. Phys. — 1976.-Vol. 24,- P. 449.
22. Monopole condensation and color confinement / A. S. Kronfeld, M. L. Laursen, G. Schierholz, U. J. Wiese // Phys. Lett.— 1987.— Vol. B198. — P. 516.
23. Kronfeld A. S., Schierholz G., Wiese U. J. Topology and dynamics of the confinement mechanism // Nucl. Phys. — 1987. Vol. B293. — P. 461.
24. Ezawa Z. F., Iwazaki A. Abelian dominance and quark confinement in yang-mills theories // Phys. Rev. 1982. - Vol. D25. - P. 2681.
25. Suzuki Т., Yotsuyanagi I. A possible evidence for Abelian dominance in quark confinement // Phys. Rev. 1990. - Vol. D42. - Pp. 4257-4260.
26. Dual Superconductor Scenario of Confinement: A Systematic Study of Gribov Copy Effects / G. S. Bali, V. Bornyakov, M. Muller-Preussker, K. Schilling // Phys. Rev. 1996. - Vol. D54. - Pp. 2863-2875.
27. Bornyakov V. G., Ilgenfritz E. M., Mueller-Preussker M. Universality check of abelian monopoles // Phys. Rev. 2005. - Vol. D72. - P. 054511.
28. Stack J. D. Polyakov loops and magnetic screening from monopoles in SU(2) lattice gauge theory // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 1997. — Vol. 53. -Pp. 524-527.
29. Yee К. K. Abelian dominance in pure gauge SU(3) // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1994. - Vol. 34. - Pp. 189-191.
30. Ejiri S. Monopole condensation and Polyakov loop in finite- temperature pure QCD // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1997. - Vol. 53. - Pp. 491-493.
31. Suzuki T. et al. Monopoles and hadron spectrum in quenched QCD // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1996. - Vol. 47. - Pp. 374-377.
32. Miyamura 0. Chiral symmetry breaking in gauge fields dominated by monopoles on SU(2) lattices // Phys. Lett. — 1995. Vol. B353. — Pp. 9195.
33. Singh V., Browne D. A., Haymaker R. W. Structure of Abrikosov vortices in SU(2) lattice gauge theory // Phys. Lett. — 1993. Vol. B306. — Pp. 115119.
34. Schlichter C., Bali G. S., Schilling K. The structure of flux tubes in maximal abelian gauge // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1998. - Vol. 63. - Pp. 519-521.
35. String tension and monopoles in T not = 0 SU(2) QCD / S. Ejiri, S.i. Kitahara, Y. Matsubara, T. Suzuki // Phys. Lett. — 1995. — Vol. B343. — Pp. 304-309.
36. Frohlich J., Marchetti P. A. Magnetic monopoles and charged states in four-dimensional, abelian lattice gauge theories // Europhys. Lett. — 1986. — Vol. 2. Pp. 933-940.
37. Polikarpov M. I., Polley L., Wiese U. J. The Monopole constraint effective potential in U(1) lattice gauge theory // Phys. Lett. — 1991. — Vol. B253. — Pp. 212-217.
38. Chernodub M. N., Polikarpov M. I., Veselov A. I. Effective constraint potential for Abelian monopole in SU(2) lattice gauge theory // Phys. Lett. — 1997. Vol. B399. - Pp. 267-273.
39. Kennedy Т., King C. Spontaneous symmetry breakdown in the abelian higgs model // Commun. Math. Phys. 1986. —Vol. 104. - Pp. 327-347.
40. Nakamura N. et al. Disorder parameter of confinement // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1997. - Vol. 53. - Pp. 512-514.
41. Hart A., Teper M. Monopole clusters in abelian projected gauge theories // Phys. Rev. 1998. - Vol. D58. - P. 014504.
42. Hart A., Teper M. Monopole clusters, z(2) vortices and confinement in su(2) 11 Phys. Rev. 1999. - Vol. D60. — P. 114506.
43. Bornyakov V. G., Mitrjushkin V. K., Muller-Preussker M. Deconfinement transition and Abelian monopoles in SU(2) lattice gauge theory // Phys. Lett. 1992. - Vol. B284. - Pp. 99-105.
44. Grimmett G. Percolation. — Springer; 2 edition, 1999.
45. Ivanenko Т. L., Polikarpov M. I., Pochinsky А. V. Condensate of monopoles and confinement in an su(2) lattice gauge theory // JETP Lett. — 1991. — Vol. 53. Pp. 543-545.
46. Ivanenko T. L., Pochinsky A. V., Polikarpov M. I. Condensate of abelian monopoles and confinement in lattice gauge theories // Phys. Lett. — 1993. Vol. B302. - Pp. 458-462.
47. Langfeld K., Reinhardt H. Monopole anti-monopole excitation in mag projected su(2) lattice gauge theory. — 2002.
48. Bornyakov V. G. et al. Anatomy of the lattice magnetic monopoles // Phys. Lett. 2002. - Vol. B537. - Pp. 291-296.53. 't Hooft G. On the Phase Transition Towards Permanent Quark Confinement // Nucl. Phys. 1978. - Vol. В138. - P. 1.
49. Mack G., Petkova V. B. Comparison of Lattice Gauge Theories with Gauge Groups Z(2) and SU(2) // Ann. Phys. 1979. - Vol. 123. - P. 442.
50. Nielsen H. В., Olesen P. A Quantum Liquid Model for the QCD Vacuum: Gauge and Rotational Invariance of Domained and Quantized Homogeneous Color Fields // Nucl. Phys. 1979. - Vol. B160. - P. 380.
51. Ambjorn J., Olesen P. On the Formation of a Random Color Magnetic Quantum Liquid in QCD // Nucl. Phys. 1980. - Vol. B170. - P. 60.
52. Ambjorn J., Olesen P. A Color Magnetic Vortex Condensate in QCD // Nucl. Phys. 1980. - Vol. B170. - P. 265.
53. Greensite J. The confinement problem in lattice gauge theory // Prog. Part. Nucl. Phys. 2003. - Vol. 51. - P. 1.
54. Center dominance, center vortices, and confinement / L. Del Debbio, M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik. — 1997.
55. Engelhardt M., Reinhardt H. Center vortex model for the infrared sector of Yang-Mills theory: Confinement and deconfinement // Nucl. Phys. — 2000. Vol. B585. - Pp. 591-613.
56. Faber M. E., Greensite J., Olejnik S. Direct Laplacian center gauge // JHEP. 2001. - Vol. 11. - P. 053.62. de Forcrand P., D'Elia M. On the relevance of center vortices to QCD // Phys. Rev. Lett. — 1999.- Vol. 82. — Pp. 4582-4585.
57. Deconfinement in SU(2) Yang-Mills theory as a center vortex percolation transition / M. Engelhardt, K. Langfeld, H. Reinhardt, O. Tennert // Phys. Rev. 2000. - Vol. D61. - P. 054504.
58. Self-tuning of the P-vortices / F. V. Gubarev, A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov et al. // Nucl Phys. Proc. Suppl. 2004. - Vol. 129. - Pp. 671-673.
59. Properties of P-vortex and monopole clusters in lattice SU(2) gauge theory / A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn, V. I. Zakharov // Phys. Rev. 2005. - Vol. D71. - P. 054511.
60. Interplay of monopoles and P-vortices / A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn, V. I. Zakharov // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2004. — Vol. 129. Pp. 665-667.
61. The structure of projected center vortices in lattice gauge theory / R. Bertie, M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik // JHEP. — 1999. — Vol. 03. — P. 019.
62. Zakharov V. I. Hidden mass hierarchy in qcd. — 2002.
63. Chernodub M. N., Zakharov V. I. Towards understanding structure of the monopole clusters // Nucl. Phys. — 2003. — Vol. B669. — Pp. 233-254.
64. Zakharov V. I. Hints on dual variables from the lattice SU(2) gluodynam-ics. 2003.
65. Zakharov V. I. Non-perturbative match of ultraviolet renormalon. — 2003.
66. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and Resonance Physics. Sum Rules // Nucl. Phys. 1979. - Vol. B147. - Pp. 385-447.
67. Berry M. V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes // Proc. Roy. Soc. bond. 1984. - Vol. A392. - Pp. 45-57.
68. Wilczek F.; Zee A. Appearance of Gauge Structure in Simple Dynamical Systems // Phys. Rev. Lett. 1984. — Vol. 52, — P. 2111.
69. Дубровин . Новиков . Фоменко . . Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Эдиториал УРСС, 2001.
70. Polyakov А. М., Belavin A. A. Metastable States of Two-Dimensional Isotropic Ferromagnets // JETP Lett. 1975. - Vol. 22. - Pp. 245-248.
71. Gursey F., Tze C.-H. Complex and quaternionic analyticity in chiral and gauge theories, part 1 // Ann. Phys. — 1980. Vol. 128. - P. 29.
72. Narasimhan M., Ramanan S. // Amer. J. of Math. — 1963.— Vol. 85.— P. 223.
73. Construction of instantons / M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld, Y. I. Manin // Phys. Lett. 1978. - Vol. A65. - Pp. 185-187.
74. Zhang J. B. et al. Numerical study of lattice index theorem using improved cooling and overlap fermions // Phys. Rev. — 2002. — Vol. D65. — P. 074510.
75. Del Debbio L., Pica C. Topological susceptibility from the overlap // JHEP. 2004. - Vol. 02. - P. 003.
76. Gubarev F. V., Morozov S. M. Lattice gauge fields topology uncovered by quaternionic sigma-model embedding // Phys. Rev. — 2005. — Vol. D72. — P. 076008.
77. High statistics computation of the topological susceptibility of SU(2) gauge theory / A. S. Kronfeld, M. L. Laursen, G. Schierholz, U. J. Wiese // Nucl. Phys. 1987. - Vol. B292. - P. 330.
78. Phillips A., Stone D. Lattice gauge fields, principal bundles and the calculation of topological charge // Commun. Math. Phys. — 1986. — Vol. 103. — Pp. 599-636.
79. Preliminary evidence for U(l)-A breaking in qcd from lattice calculations / P. Di Vecchia, K. Fabricius, G. C. Rossi, G. Veneziano // Nucl. Phys.— 1981, —Vol. B192. — P. 392.
80. Bilson-Thompson S. О., Leinweber D. В., Williams A. G. Highly-improved lattice field-strength tensor // Ann. Phys. — 2003. — Vol. 304. — Pp. 1-21.
81. Neuberger H. Exactly massless quarks on the lattice // Phys. Lett. — 1998. — Vol. B417. Pp. 141-144.
82. Narayanan R., Neuberger H. A construction of lattice chiral gauge theories // Nucl. Phys. 1995. - Vol. B443. - Pp. 305-385.
83. Garcia Perez M., Philipsen O., Stamatescu I.-O. Cooling, physical scales and topology // Nucl. Phys. 1999. - Vol. B551. - Pp. 293-313.
84. Lucini В., Teper M. SU(N) gauge theories in four dimensions: Exploring the approach to N infinity // JEEP. - 2001. - Vol. 06. - P. 050.
85. Low lying eigenmodes localization for chirally symmetric Dirac operator / F. V. Gubarev, S. M. Morozov, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov. — 2005.
86. Rakow P. E. L. Stochastic perturbation theory and the gluon condensate // PoS. 2006. - Vol. LAT2005. - P. 284.
87. Baig M. Gluon condensation parameter in SU(2) lattice gauge theory and large N universality. — UAB-FT-124.
88. Di Giacomo A., Rossi G. C. Extracting the Vacuum Expectation Value of the Quantity alpha / pi G G from Gauge Theories on a Lattice // Phys. Lett. 1981. - Vol. B100. - P. 481.
89. Bali G. S., Schilling K., Schlichter C. Observing long color flux tubes in SU(2) lattice gauge theory // Phys. Rev. 1995. - Vol. D51. - Pp. 51655198.
90. Narayanan R., Vranas P. M. A numerical test of the continuum index theorem on the lattice 11 Nucl. Phys. 1997. - Vol. B506. - Pp. 373-386.
91. Banks Т., Casher A. Chiral Symmetry Breaking in Confining Theories // Nucl. Phys. 1980. - Vol. B169. - P. 103.
92. Horvath I. et al. On the local structure of topological charge fluctuations in QCD // Phys. Rev. 2003. - Vol. D67. - P. 011501.
93. Seller E. Some more remarks on the Witten-Veneziano formula for the eta' mass // Phys. Lett. — 2002. Vol. B525. - Pp. 355-359.
94. Horvath I. et al. Low-dimensional long-range topological charge structure in the QCD vacuum // Phys. Rev. 2003.- Vol. D68. - P. 114505.
95. Itzykson C., Drouffe J. M. Statistical Field Theory.— Cambridge Univ. Press, 1989.
96. Localization of low lying eigenmodes for chirally symmetric Dirac operator / M. I. Polikarpov, F. V. Gubarev, S. M. Morozov, V. I. Zakharov // PoS. — 2006. Vol. LAT2005. - P. 143.
97. Ambjorn J. Quantization of geometry. — 1994.
98. Ambjorn J., Durhuus В., Jonsson T. Quantum geometry. A statistical field theory approach. — Cambridge, UK: Univ. Pr., 1997. (Cambridge Monographs in Mathematical Physics). 363 p.
99. Polyakov A. M. Gauge fields and strings. — Chur, Switzerland: Harwood1987) 301 P. (Contemporary Concepts in Physics, 3).
100. Parisi G. Statistical field theory. — Redwood City, USA: Addison-Wesley1988) 352 P. (Frontiers in Physics, 66).
101. Feinberg G. Possibility of Faster-Than-Light Particles // Phys. Rev.— 1967. Vol. 159. - Pp. 1089-1105.
102. Gubarev F. V., Polikarpov M. /., Zakharov V. I. Physics of the power corrections in QCD // Surveys High Energ. Phys. — 2000. — Vol. 15. — Pp. 89144.
103. Zakharov V. I. Renormalons as a bridge between perturbative and non-perturbative physics // Prog. Theor. Phys. Suppl— 1998.— Vol. 131. — Pp. 107-127.
104. Beneke M. Renormalons // Phys. Kept. 1999. — Vol. 317. — Pp. 1-142.
105. Zakharov V. I. QCD'98: Status of the power corrections // Nucl Phys. Proc. Suppl 1999. - Vol. 74. - Pp. 392-398.
106. Zakharov V. I. From confining fields back to power corrections // Nucl Phys. Proc. Suppl — 2007. Vol. 164. - Pp. 240-247.
107. Balitsky I. I. Wilson loop for the stretched contours in vacuum fields and the small distance behavior of the interquark potential // Nucl Phys. — 1985. Vol. B254. - Pp. 166-186.
108. Dosch H. G., Simonov Y. A. The Area Law of the Wilson Loop and Vacuum Field Correlators // Phys. Lett. — 1988. Vol. B205. — P. 339.
109. Webber B. R. Estimation of power corrections to hadronic event shapes // Phys. Lett. 1994. - Vol. B339. - Pp. 148-150.
110. Bali G. S. Are there short distance non-perturbative contributions to the QCD static potential? // Phys. Lett. 1999. - Vol. B460. - P. 170.
111. Chetyrkin K. G., NarisonS., Zakharov V. I. Short-distance tachyonic gluon mass and 1/Q2 corrections // Nucl Phys. — 1999. — Vol. B550. — Pp. 353374.
112. Вепеке М., Zakharov V. I. Improving large order perturbative expansions in quantum chromodynamics // Phys. Rev. Lett.— 1992.— Vol. 69.— Pp. 2472-2474.
113. Gubarev F. V.} Stodolsky L., Zakharov V. I. On the significance of the quantity A2 // Phys. Rev. Lett. 2001. — Vol. 86. — Pp. 2220-2222.
114. Gubarev F. V., Zakharov V. I. On the emerging phenomenology of ((.Aa)2)min 11 Phys. Lett. 2001. - Vol. B501. - Pp. 28-36.
