Геометрия квазисасакиевых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

московский ордена ленина II ордена трудового красного знамени

педагогический государственный университет

нменн В. И. ЛЕНИНА

Диссертационный Сопет К 053.01.02

РГ6 од

На правах рукописи

1 С -Г.'.'г

РУСТАП0В Алпглджп Рабаданошп

ГЕОМЕТРИЯ КВАЗИСАСАКИЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзнко-математнчсскпх наук

Москва 1994

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО В. Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор ШЕЛЕХОВ А. М.,

кандидат физико-математических наук, доцент БУРЛАКОВ М. П.

Ведущая организация — Московский государственный университет.

в аудитории ..Н.оЛпа заседании диссертационного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, 14, МПГУ им. В. И. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина: 119435, Москва, Малая Пироговская, 1, МПГУ имени В. И. Ленина.

Автореферат разослан .......1994 г.

Защита состоится «

1994 г. в

часов

Учены )ь диссертационного Совета,

доцент КАРАСЕВ Г. А.

• - 3 -ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. С появлением статей Дж.Грея [1,2.3], Бузби а Вана [41.посвященных контактным структурам на многообразиях.началось интенсивное исследование контактных и почти контактных структур на многообразиях. На 2г\ +1 - мерном многообразии М контактная структура задается 1 -формой такой.что

1 МсИ)*"^ ^ • • л(Л ^ 4 0,т.е. "I з (Лл'т'М, в каждой

п

точке многообразия М. Многообразие М,снабженное контактной структурой.называется контактным многообразием.Понятие почти контактных многообразий и почти контактных метрических многообразий введены М. Греем [2] в 1959 г.

Внимательному анализу подвергались специальные классы почти контактных метрических и контактных многообразий. Одним из наиболее интересных и малоизученных классов почти контактных

9

метрических структур являится так называемые кваэисасакиевы структуры.т.е. нормальные почти контактные метрические структуры, фундаментальная 2-форма которых замкнута [5].

Теория квазисасакиевих многообразий возникла в исследованиях Блэра. После диссертационной работы и&Зб г.) в А967 г. бпубликована статья С 5],заложившая основы этой теории.

Существуют несколько классов*квазисасакиевих многообразий, обусловленных рангом 1-формы Ч .При их перечислении первым можно считать класс косимплектических многообразий,определяемых условием <1*1* О 17 =0.и последним - сасакиево многообразие,

для которого л. (Ач)'1^ О I гд 1« 2«и Ач )•

1-форма 1 имеет ранг 1 = 2р,если (<И)Р О и 7л(сИ)1о

а ранг 1 =«2р+1 .если тмсЬ^ 0 и («Ц^*' =0. Число 1 называется рангом кнаэисасакиевой структуры [51,

Доказано [Ь,6],что: не существует квазисасакиевой структуры четного ранга; найдены условия.при выполнении которых ква-зисасакиево многообразие локально является.произведением саса-киева многообразия и келарова многообразия; структурный вектор. % является вектором Киллянга; квазисасакиево многообразие постоянной кривизны яаляатся с точностьо до гомотетичного преоб-... разовачня структуры сасакиевим либо косимплектяческим; квазиса-

сакиевэ многообразие строго положительной кривизны является са-сакиевым.

Одним из наиболее актуальных вопросов контактной и почти контактной геометрии является изучение контактных и почти контактных многообразий.удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей 17].jyiK почти контактного метрического многообразия, было введено понятие 4>-голоморфной секционной кривизны 181, под которой понимается секционная кривизна площадки )X,ФХ i » где Ф - аффинор - структуры, а X - произвольный орт.

удовлетворяющий условию ч(Х)= 0. Классификацию полных односвяз-ных многообразий Сасаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны произвел Танно [9]. Мя многообразий Сасаки доказано, что выполнение аксиомы -^-голоморфных плоскостей равносильно постоянству их ^голоморфной секционной кривизны il 0,1 il.

В.Ф.Кириченко [12.13,14^ рассматривал обобщенные почти .. контактные метрические структуры. Доказано,что обобщенные почти сасакиевы многообразия весьма общего вида включающие классические почти сасакиевы многообразия.удовлетворяющие (обобщенной) аксиоме Ф-голоморфных ^-плоскостей,являются многооб-. разиями Сасаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны или их гиперболическими аналогами. Получена полная классификация таких многообразий.существенно обобщающая и уточняющая найденную Танно [91 классификацию полных односвязных многообразий Сасаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Получена также полная классификация обобщенных слабо косимп-лектических,обобщенных приближенно сасакиевых и обобщенных почти косимплектических многообразий.удовлетворяющих (обобщенной ) аксиоме Ф-голоморфных м -плоскостей 1121.

Из вышесказанного видно.что настоящая работа.в которой изучаются квазисасакиевы многообразия: точечно постоянной Ф^ i-голоморфной секционной кривизны;удовлетворяющие аксиоме Ф-го-ломорфных плоскостей} некоторые классы квазисаеакяевых многообразия, удовлетворявших соответствующим тождествам кривизны, является актуальной.

. Методы исследования. В работе 'но мере надобности используется метод инвариантного исчисления Кошуля и метод внешних форм Картана'Э.

- - 5 -

Пели диссертационного исследования!

1. Получить структурные уравнения квазисасакиевих многообразий, изучить строение спектра тензора Римана-Кристо^ля в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной й -структуры.

2. Получить тождества в терминах структурных тензоров,которым»'« удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля квазисасакиевих многообразий и на их основе выделить и изучить наиболее интересные классы таких 'многообразий. ,

3. Получить необходимые и достаточные условия точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны.

4. Изучить квазисасакиевя многообразия.удовлетворяющие аксиоме Ф-голоморфных плоскостей и исследовать их связь с квазисаеаки-евыми многообразиями точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. ' .,

Новизна результатов. Основные результаты.полученные в диссертации.являются новыми.Выделим вакнейшие из ям:

1. Получена структурные уравнения квазисасакиевих структур;вычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля,тензора Риччи на пространстве присоединенной б -структуры в терминах структурных тензоров.

2. Найдены 4 ключевых тождества,которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля квазисасакиевих многообразий,и с их помощью выделены 3 класса квазисасакиевих многообразий,оказавшихся весьма содержательными с геометрической точки зрения.

3. Изучено строение квазисасакиевих многообразий каждого из выделенных классов.

4. Выделен тензор Ф-голоморфной секционной кривизны квазисасакиевих многообразий й получен критерий точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны таких многообразий,

5. Найден критерий выполнимости аксиомы Ф-голоморфных плоскостей для квазисасакиевых многообразий.Исследована связь этой аксиомы с точечным постоянством Ф-голоморфной секционной кривизны.

Теоретическое и практическое значение.

Работа носит теоретический характер.Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения почти контакт-

ных структур на многообразиях,в соответствующих разделах дифференциальной геометрии,а также ври чтении спецкурсов в высших учебных заведениях,где проводятся исследования по сходной тематике.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на заседании научного Семинара кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета им. В.И.Ленина (руководитель - доктор физико-математических наук,профессор Кириченко В.Ф.),на конференции "Некоммутативные структуры в математической физике" в 1993' г. .Тольятти.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в • пяти публикациях.Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,трех глав и списка литературы. Она изложена на страницах машинописного текста. Список литературы содержит 41 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении излагается предыстория вопроса,обосновывается актуальность темы,формулируются цели и задачи диссертационной работы,излагаются основные результаты,полученные в работе.

Глава 1. Почти контактные метрические многообразия.

В параграфе 1 даются определения контактной,почти контактной метрической структур и многообразий;строится адаптированный структуре репер;в построенном А-репере записаны матрицы структурного оператора и метрического тензора.

Во втором параграфе приводится первая группа структурных уравнений почти контактной метрической структуры:

1 . А Ц>в= I ц>"л оА I ф;о 63 ф< (0 иЛ

2. с1и>я = и;п, л<хв * си." ли)с+ (Iф"^ - £ ф? 0)и//\ «А

ахи уравнения были получены В.Ф.Кириченко [12] .Здесь же вычислены компоненты тензора Нейенхейса оператора Ф в А-реперэ.вычислены компоненты фундаментальной '2-формы почти контактной метрической структуры в А-репере.

В параграфе 3 приведена первая группа структурных уравнений нормальных почти контактных метрических структур в А-репере:

1. с1«Л ифа0д + фё0|а)шали;г,

Глава 2. Кваэисасакиевы многообразия. В параграфе 1 дается определение квазисасакиевой структуры и получены структурные уравнения квазисасакиевой структуры на пространстве присоединенной в -структуры в терминах структур» ных тензоров:

2. аиЛ^лиЛй^лю«;

3. <Ы0 -.-О)' А и>( «5 ли>4;

5. а * -е>сви>* г е «Л ва€еи>е.

Во мором параграфе рассматриваются случаи,когда квазиса-сакиево многообразие является оасакиевым либо косимплектичес-кш.

В параграфе 3 вычисляется спектр тензора Римана-Кристоф-феля.вычислены компоненты тензора Риччи.а также скалярная кривизна квазисасакиева многообразия в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной б -структуры.Здесь же доказано,что полное квазисасакиево многообразие Эйнштейна накрывается произведением вещественной прямой на Рнччи плоское ке-лврово многообразие,либо компактно я имеет конечную фундаментальную группу.

В параграфе 4 вводится а рассмотрение тензор Н Ф-голоморф-ной секционной кривизны,получен критерий точечного постоянства

- в -

Ф-голоморфной секционной кривизны квазисасакиевых многообразий, обобщающий соответствующий результат Тайно для многообразий Сасаки.Доказана теорема:

Теорема. Квазисасакиево многообразие является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны тогда и только тогда,когда мае* с а(1 "бс-л^ве '

В параграфе 5 вводится в рассмотрение линейный оператор "ЗЬ (X) = .X £ ЭС(М^.Вычислены в А-репере компоненты матрицы

оперетора ЗЬ и компоненты тензора .Получены такие резуяьта-

ты:

остальные компоненты равны нулл.Изучены некоторые свойства оператора .

Изучении квазисасакиевых многообразий,удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей посвящен параграф б.Доказано,что квазисасакиево многообразие удовлетворяет аксиоме Ф-голоморфных плоскостей тогда и только тогда,когда

Исследована связь выполнимости этой аксиомы с точечным постоянством Ф-голоморфной секционной кривизны.В частности доказано, что квазисасакиево многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны удовлетворяет аксиоме Ф-голоморфных плоскостей тогда и только тогда,когда о точностью до гомотетичного преобразования структуры многообразие либо косимплектическое. либо сасакиево многообразие.

¿тот результат является далеко идущим обобщением известной теоремы Исихары [1 (Л .утверждающей, что сасакиево многообразие точечно постоянной Ф-секционной кривизны тогда'и только тогда, когда многообразие удовлетворяет аксиоме ф-голоморфных плоское-, тей.

Глава Э.Тождества кривизны для квазисасакиевых многообразий.

В параграфе 1 на основе тождества = выделяются кваэжсасакневы многообразия класса Я,. .Вводится определение.

Определение. Скажем,что квазисасакиево многообразие является многообразием класса .если

(?,ФХ)ФУ= Я(?,Ф*Х)ФЧ-Вводится ранг квазисасакиева многообразия как ранг оператора Л. ,

Переход от метрики к метрике С(Х,У)=-0?>Х,фу>+

+ называется ЗЪ -преобразованием метрики квазисаса-

киевой структуры максимального ранга,Доказано,что квазисасакиева структура максимального ранга о помощью Л -преобразования метрики переводится в сасакиеву структуру ¿возможно,с индефинитной метрикой).Класс явазисасакиевых многообразий класса совпадает с классом почти контактных метрических многообразий ло-;-кально эквивалентных произведению келерова многообразия й квазисасакиева многообразия класса (?ч -эквивалентного многообразию Сасаки.

В параграфе 2 на основе тождества = выделя-

ются квазисасакиевы многообразия класса Й4 .Доказано,что квази-сасакиево многообразие является многообразием класса тогда и,

только тогда,когда оно является косимолектическим многообразием. На основе тождества ^¿-^гс^ в. параграфе 3 выделяются •

квазисасакиевы многообразия класса «для которых

Доказано,что квазисасакиево многообразие является многообразием ■ класса /?} тогда и только тогда,когда оно либо косимплектичес-кое.либо имеет ранг 2.

В последнем параграфе рассматривается четвертое тождество

кривизны .получено строение тензора Ф-голо-

морфной секционной кривизны И(Х,У,2)= Цй(ФУ.Ф**)4>Х~

Доказано,что квазисасакиево многообразие является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда

и только тогда,когда

М(х.кулу- £ f <\4>г>Фх-<Ф>Ф\-кх,Фг>Фу-- * Фх,Ф2 > Ф*У J; х, у, г е эе см)

Используя теорему.доказанную В.Ф.Кириченко [127.полученные результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема. Пусть М - квазисасакиево многообразие,удовлетво-•ртцее акоиоме Ф-голоморфных плоскостей.Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1.М- многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны;

2. Тензор Н Ф-голоморфной секционной кривизны имеет строение

и (х = § fс Ч $г > $х-у.-Ф г > Ф*:* <х,Ф? > Фу■ -< Фх, Ф2 > ; X, V, i € 9С(М).

3. М локально эквивалентно одному из. следующих Многообразий:

а) Нечетномерной сфере,снабженной канонической сасакиевой структурой или структурой.полученной из канонической преобразованием Х> -гомотетии;

б) Нечетномерной сфере.снабженной сасакиевой структурой, полученной из канонической преобразованием £>-ияверсии|

в) Нечетномерному аффинному пространству,снабженному канонической сасакиевой структурой постоянной Ф-голоморф-ной секционной кривизны -3j

г) ой^ЯК^Р", Э)Й*ГТ>"; V)ft>/vi4",

• снабженных канонической косимшгекгической структурой.

литература

1. Q%a4fJ.Hr., Л tluwXij t>f pUuda^ioLtpS iviik OfjJ^ta-Llc^ii^

towiaci pfuudusui// Mu-iii ( ^ioo» foa.it tUUv., /9Sf. 2loUKLC*1 (Lfovt ON R. .

2. GlayJ-Ut, Hi frupbvlitt 0-J. ootUcttd tinicJuui// ■ : CUvn. <ГПаЛк ., {9S4, 69, л/.«Ч

3. Qluyj-ltf, S-inicjtMlt-)// ¿Uti. JJiett Ivdmncd: Саыуъси, Wat It. ¿Mni^h td<* ¿илу 4

. UvUir. ■СеЬъкьгрб, (9М,//3

4. W-, Ufa*.*/ JЧ СOn ылЛиЛ лпал^/о/чк// CUiH . mM ., 19S-J, £<f. л-'.' J, ПЧ.

5 .ЗМаЛъ 2) Зкл Ы-иоту о/ виаМ- ¡Ху-^^и**-}//

у. вьем., ме?, I, 33>-

6. ¿ , о/ *// /■ 5Ы-41 йбом. 5, Ш- ЗШ

7.Кириченко В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной геометрии//Иэв. АН СССР,Сер.мат.,1983,48,4.с.711-734.

8. ЗЫахч. Сси-Ха-сЛ ¿<>£¿¿4 /¿¿¿т• дген^и^ ■ ¿Полк 5~с>9, /</(/>

$ , ЗаА^а-ч. «ши'/Р(М ыИЬ. схн^-^сс-и^ ^-беСо-'ухоХрЬлс- //■

Л, 50(~:ГС?-

.10. £ои1-■иагсиии^б *>/- ^¡аМ^ч, ^

11. 7£ ■, С7*- -тсии/е^! а^нм-ЦСи?

(¿¿¿■Чу// /¡к?,

12.Кириченко В.Ф. Методы обобщенной почти эрмитовой геометрии

в теории почти контактных многообразий//Итоги Науки и техники.Проблемы геометрии.М.,ВИНИТИ.г.18.1986.с.25-71.

13.Кириченко В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в обобщенной . эрмитовой геометрии//Цоклады АН СССР, 1981 .т.260.4.795-799.

H.Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств// Итоги Науки и техники.Проблемы геометрии,М..ВИНИТИ,т.8,1977, с.139-161. ■ _

•Публикации автора по теме диссертации:

I. Цси^ои^аг & ■ Я-, Он- а/.Тя^л^«*-« мхи-и'/е^// . . и/Ж I фмхнуи«^, (993, /3 -9*.

2.Рустанов А.Р. 0 геометрии квазисасакиевых многообразий//Успе-хи мат. наук,1 994.1,221-222.

3.Рустанов А.Р. Некоторые тождества' кривизны для квазисасакиевых многообразий//Труды конференции "Некоммутативные структуры в мат.физике",Тольятти,1994.с.33-41.

4.Рустанов А.Р. Аксиома Ф-гЪлом'орфных' плоскостей для квазисасакиевых многообразий//Научные труды МПГУ им.В.И.Ленина, . М..1894.0.39-45.

б.Рустанов А.Р. О геометрии квазисасакиевых многообразий//Деп. ВИНИТИ РАН. 962-В94.-29С. :