Гибридные интегральные преобразования (Фурье, Лежандра, Бесселя) с применением к задачам математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ.ІО. ФЕДЬКОВИЧА

На правах рукопису

Лнопі Ірина Зіновіївна

ГІБРИДНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ' (ФУР’Є, ЛЕЖАНДРА, БЕССЕЛЯ) ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ ДО ЗАДАЧ

математично! фізики.

Спеціальність 01.01.03 - математична, фішка

Автореферат

дисертації на «здобуття наукового ступеня кандидата фіоик» -математичних наук

Чернівці -1996

Дисертацією % рукопис. •

Роботу виконано на кафедрі диференціальних рівшпь Чернівецько« державного університету 'ш. ІО. Федькавича

Науковий керівник - доктор фізико - математичних цаук

- . професор Лепюк М.П.

Офіційні опонента - доктор фіоико - математичних наук

ерофссор Поділену* Ю.М.

. ' - кг.ндвца*г фіаько - мат еиатип іпіх цаук

’ . доцент Шипкарик МД.

Проііідна установа - Хархівг.ьхиіі державний університет

йакасї індбудеті.са "31” жовтня 1996 р. о 15Ь0 год на иасідаиц ¿икціаліоовацої вченої ради К 07.01.04 в Чернівецькому державпом; університеті ім. Ю. Фсді,коняча оа адресою: 274012, м. Чернівці, вуд Ушв^рсятатська, 28, математичний факультет.

0 дпсерз ацісю можаа оонаіомитись у бібліотеці Чернівецького держав іісіго університету ім. Ю. Феділашічд на адресою: 274000, и. Чериілці пул. Л. Українки, 23

Автореферат розіслано ” 1990 р

Вчепив секретар .

Ш«\і;ічіоси«іііої вченої ради К (¡7.01.04 »аядидат фкікїо-иатеиататких наук,

доплат }\ А.М. Садов'я

' /

8.->.ї2мт5>ка хэраагерйс'ггг-*» рогЗстк

Актуальність темн. Рскзвитож та. вдосконалення виробництва па сучасному стані лсв’яналий пширошм використанням композиційних матеріалів в різного роду технологічних процесах, будівництві, радіотехніці та радіоелектроніці, оварочному виробництві, атемпій енергетиці й кокдачній техніці. Прн роораяунках аа міцність та надійність конструкційних елементів мйпши та механізмів, нагріваючих пристроїв, будов та споруд, а також серед багаточпелггшнх технічних задач, що ввпккають при конструюванні маяген та проектувати інженерних споруд, виникав необхідність у вивченні температурних полів та виклпха--ижх ними напружень в кусково-однорідних тілах, складених о декількох иатеріаліп, що мають ріопі фюяш-механічні характера гтгасн, а тайме в дослід жеш.: напруженого сталу та міцності <мїємєнтів, працюючих на кручення. ОсташіЕ потребу« математичного апарату для роов’звання лінійних диференціальних рівнянь а частинних похідних о рооріяннмн (кусково-стаявмп) ¡коефіцієнтами. При цьо^у повніша бутве вказана логічна схема побудоги роов’отзку в оамкпеній: формі, о ручній для використання п інженерних рпорахунках (оа допомогою ПЕОМ).

Одним Із ефективних методів роов’жаншг о здач математичної фінній є метод інтегральних перетворень. Якщо для роов’япання оадач иатема-тнчр^7 фіанкя однорідних сг педовгац в арсеналі інтегральних перетворень С достатня: кількість (інтегральні перетворення Фур’е, Лапласа., _Мея-яіна, Мелера-Фока, Гільберта та ін.), то для розв'язання оадач матома-гіршої фіоикі; неоднорідних (кускопо-одЕорідшг ) серсдовиїц. інтегральні перетворення (так овалі гібридні) опаходя іься в стадії овпровадження (рообудови). • .

Проблемі по будови відсутніх в математичній літературі гібридних інтегральних перетворень (Фур’е, Лежандра, Бесселя) на обмеженій справа дежартовій піьосі о двома точками спряження та гібридних інтегральних перетворень (Фур’е, Лежандра, Вяссеяк) на декартовій осі о двома точками спряження і присвячена дала дисертаційна робота.

Мета роботи. Метою даної роботи е: ,

а) побудова та математичне обгрунтування гібридних інтегральних перетвореН^ХФур’Є) Лежандра, Бесселя) па. обмеженій спр ва д&к&ртояіп півосі о двойа точками спряження та гібридних інтегральних перетворень (Фур'є, Лежайдра, Бесгеля) яа деяартовіл о сі о доійма точками спрх&ення при найбільш загальних припущеннях йа структурі! операторів ЛейсанД-ра, Бессеия та озераторін спрдж^аня;

б) аастосушщыа одержаних гібридних штеїраіьнавс перетворень оа розробленою логічно»» схемою до роев’сваиня оадал цатеыатично? <£і-аі« в неоднорідних структур на пржавадга оадал про хручевня кусково-однорідних стержнів, про коливання кусково-однорідної струни, про структуру нестаціонарного теиературного поля в кусюво-однорідвш пластині в результаті дії оосередж-єного на одній а ділянок тешювого джерела, а тагож о а дачі обчислення вначень поліпараметринних невласних інтегралів. ■

Матодиаа дослідження. Основним методом побудови гібридних інтегральних перетворені служить метод деньтув&тих послідовностей, в явості їгїих вастуае або ядро Коші або ядро Діріхле. При цыжу в процесі дослідження були використані елементи теорії жра “тових оадат для о вичавних диференціальних рівнянь, теорія розвинення оа власними функціями самоспряженнк операторів,операційний метод та основні положення тео-т уоагаяьиенжх функцій. .

Наукова новиона ^ясертаційної роботи полягає в наступному:

- побудовані методом дельтуватих послідовностей, в яшзсті жих служит ь ядро Коші, гібридні інтегральні перетвореня Фур’с - Фур’е - Лежандра 2-го роду, Фур’є - Ганкеяа 2-го роду - Лежандра 2-го роду, Фур’є -Лежацдра2-го роду - Яежапдра2-го роду па обмеженій справа дежартовій півосі та гібридні інтегральні- перетворення (Фур’е., Лежандра, Бесселя) на декартовїй осі;

- побудовані методом дельту вати;; послідовностей, в якості яких слухать ядро Дірімо, гібридні інтегральні перетворена Фур’є - Лежандра 2-го роду - Фур’є, Фур’є - Лежандра 2-го раду - Ганкеля 2-го роду на обмеженій справа дехартоаій півосі ;

■ - доведені теореми про наявність основної тотожності іитеграль-ийго перетворення гібридного диферетщіальното оператора, яха доовоаяє оастасуватл оалроааджслі гібридні інтегральні перетворення до роеш'я-ааіііш відповідних «шгулярішх оадач математичної фіакхії неоднорідних структур; .

- сформульовано та доведено теореми про роокдад »уоюво-вшерервних, аЙссшотло-сумаишшг (в точно виплаченою ваговою фуккцією) функцій обмеженої варіації -черео ядра гібридних інтегральних перетворень:

- сформульовано та доведено теорема про розв'язок сингулярної спектральної оадачі Штурма - Ліувілля, породженої гібридним диференціальним оператором на декартовін осі о двома точками спряження;

- &а ¡««роблено» Еотічпою сяймо» ванроваджепі гібрндю іктсгралі.аі паротеорокия (Фур’с, Лежандра, Бесселя) ааст-осоаадо для обчисленая

помшцммгтхкппкх !г;'П.іг:.с:їях «ггегршгії» та р«э*>лавд»я за.-чч мах-еші-титїгсї фіпикк пеидпорідпих структур; ■ .

а) вадячі гро структуру нестапіспарішх температурних поліп, що випікають в Еусгово-одггорідшії ш?скіігтеіішй пластит п реоультаті дії оосе-реджепого па )диій із ділянок теплового джерела;

б) о а дачі про структуру хвиль, пір виникать при їояиванпі кз'сково-однорідної струпи в результаті дії на кожній ділянці струші обурених с(т;

и) задачі про структуру пружллх полів, що шгаихиоть лрп ьручслпі кусково-однорідного стержня в результаті силової дії;

Па оазснст виносяться такі положення;

1. Побудотат годом делътуватпх послідовностей, иролі пінх слузтті. ядро Копії, гібридних інтегральних перетворень Фур’с - Фур’е - Лежандра 2-го роду, Фур’е - Ганкеля 2-го роду - Лежандра 2-го роду, Фур’е -Лежандра 2-го роду - Лежандра 2-го роду на обг ^еженій справа декартовій пікою та (Фур’е, Лежапдра, Бесселя) на дежар.товій осі о двома точками спряження.

2. Побудова методом дельтуватнх: послідовностей, в ролі яких служить ядро Діріх гібрядюах іитегр~-іьних перетворень Фур’« - Лежандра 2-го роду - Фур’є, Фур’е - Леткалдра 2-го роду - ІЬнхеля 2-го роду на обмеженій справа декартопіл діпосі в. двома точками спряження.

3. Теоремн про інтегральні зображення кусково-неперервних, абсолютно -сумовних (о точно виоязченою ваговою функцією) функцій обме-женіл варіації.

4. Теореми про наявність основної тотожності інтегрального перетворення гібридних .диферйщіальїшх операторів.

5. Теорема про роов’иошстьсяшулярияхснекгралгышхойдач Штірма-

Ліувіяля та породженої цими перевилпаченої алгебраїчної системи о двадцяти одного рівнянім. '

0. Логічна схема застосування гібридних інтегральних перетворень для роой’яоупміня відпозідпгос сингулярних (задач математпчпої фіопіи неоднорідних структур:

а) вадача про структуру пружного поля, що виникає пря крученні кусково одпорідпого стержня в реоультаті спжшої дії;

б) оадача про структуру тастаціоііа; ного температурного поля, гцо

вкігткас в кусково-однорідній: нйскіячентя пластині в результаті дії оосе-редженого аа одній о ділянок тешгово» о джерела; .

в) задача яро структуру хваль, що виникають- пряг втваатті кусхопо-однорідної струни в результаті дії на кожній о ділянок струни обурених

сил,

7. Обчислення нолшараметри'шаї сімї невласних інтегралів, нідінтег-ральна функцій яких: виражепаи'черео тригонометричні функції, функції Бесселя та Лежандра, методом гібридного інтегрального перетворення Фур’є - Пип?ля 2-го роду - Лежандра на декартовій осі.

Практична цінність. Одержані в дисертації гібридні інтегральні перетворення поряд іо задачами теплопровідності та кручення: циліндричних,об’єктів можуть бути застосовані для роов’явання аналогічних оадач теорії пружності, іідромйхаиіяи, елкжтростатзшз і т.д. Зокрема, воли можуть бути використані в технічних додатках для роарахунку циліндричних стержнів на міцність при їх крученні та. вилив степені неоднорідності на напружений стан три товструкжаяпі сснсгаїих блоків ііашин, технологічних установах та будівельних конструкцій.

Апробація роботи. Матеріали дисертаційної роботи допояідались

- наукових семінарах іафедри диференціальних рівнянь ЧДУ;

- міському «мінарі о диференціальних рівнянь м. Києва (керівник -

професор Вірченко II .О.); ,

- науково-молодіжній конференції ім. акад. М. Кравчука (м. Київ, КПІ, 1993 р);

- міжнародній конференції "Нелішіші граничні задачі математичної фі-.

оиїн та їх огхтосуванаяг’ (м. Чернівці,'ЧДУ, 1995 р); .

- всеукраїнській конференції "Диференціально- функціональні рівняння

та їх застосування” (м. Чернівці, ЧДУ, 1906 р); •

- науковому семінарі кафедри диференціальних рівнянь Львівського

держуніверситету ім. 1 .Франка; '

- всеукраїнському науіівому семінарі "Сучасні проблеми:математики”

(її. Чернівці) '

Публікації. 53а темою дисертації опубліковано 10 робіт, о них сумісно о науковий керівником 3. Науковому керівникові належить постановка задач та обговорення одержаних результатів. .

Структура та обсяг роботи . Дисертація гкладається іа вступу, трьох розділі її, висновків та списку використаної літератури. Повний обсяг складає ХЗД С і’орінжи иаплшопясу. Біоліографічаїш шкгок містить 63 исоеи. .

' Зміст Та основні реоуяьтатд роботи.

У вступі до дисертації обгрунтовано актуальність теми, дано короткий огляд літератури аа тематикою дисертації н вроблено опис одержаних результатів оа р<юділами.

в

У ттгшуьлу р;.сдш истодом дельтуватах впаАцовиост&к, з рояі !•* »ж виступає ядро Діріхшз, собудовапо па оомексеиш справа ^еквртовій пінасІ о двома точками спряження гібридні інтегральні перетворення Фур’ч -Лежандра 2-го роду - Фур'є, Фур’є - Лежандра 2-го роду - Гагіксяя 2-го роду, а методам деяьтуватшс послідопеюстои, в ролі яких впстуае лдро Копії, - гібридні інтегральні перетворення Фур’с - Фур’с - Лежандра 2-го роду, Фур’е - Лежандра 2-го роду - Лежандра. 2-го роду, Фур’є - Гамеля 2го роду - Лежандра 2-го роду. В усіх випадках умови спряження в точках стикування інтервалів мають вигляд: ,

{{<&£ і- ДЙЖ* - (<*&£ ч- 4№+.]|г-т - о, і,к = 1,2 (і)

К > 0, Щ > 0„ - <хЩ = Сік ф О, Си х С» > 0)

При цьому під ядром Коші розуміється і|у пдамеїгіальна матриця розв'язків задачі Коші для відповідної сепарагцпї системи рівнянь тендя-провідності параболічного, Л - паряболтгого та В - параболічного типу другого порядку, породженої даням гібридним диференціальним оператором. • ' .

У кожному параграфі сформульовано теореми про ізтеграиЬне ообра-жганя купїово-иеперерпаах, абсолготно-суиовних (з точно визначеною ваговою функцією) функцій обмеженої варіації черео ядра побудованих гібридна^ інтегральних операторів та теоремш про основну тотожність іпте.ральною перетвореній гібридного диференціального оператора.

Оскільки счііст параграфів першого, третього та четвертого Ідентичний, то наведемо результати четвертого параграфу!

Роогяянемо гібридний диференціальний оператор

М*. = ар<Пі-г)-^а\в{г-Лі)в(П1-г)В^+4в{ґ-ЛіЩ1Ь-г)А,і. (2)

Тут - диференціальний оператор. Бесселя: ' .

„ & 2а +1 9 Vі - а? _ -1

а' = 9Я + -Г-* + -7Г-','г<,і-2і

- диференціальний оператор Лежандра:

. , <Р 1 ¡і1 1

Л* = — +■ сшг— + - - —г-, ¡і >

* {*!•’ 4г 4 аЬ г .. 2

Він породжує сепаратну систему рівнянь тешюпрі .іідності 2-го Порядку:

г) = о, г € (ЛиЪ), t > o' (3)

j ^ 2 ,

(jjsfgj ^ д* — ^/')17з(^>т') = Ь, г є (йз,і£з)> 1 > 0. .

Обмежений в області £>г = {(i,r): і > 0, г Є h = (-оо, Лі)и(Лі,Л2)и(Л2,Лз); Л2 > 0, Д3 < со} роов’ж>о£ системы {3) оа початковими умовами

= яДг), г Є Ло - -оо, і = 375 (4)

ЕраЙОБПМЕ умовами

~[г=-к> = 0, т = 0,1; (о*,- -V ^3)рз(г,А))г=;да = 0 (5)

та умопи спрягхшшз

К«*1^; ■+ Pji)Mr>*)- <“я^: 4 ^Л)°‘(г> А)1І’-Д* - °; i.fc = 1,2 (G)

будується методом інтегрального перетворення Лапласа по часовій смішній t й інас структуру

з ^ , ____

■ ■' »»(<.»’) =53 ]K,a-j< (t,r,p)3k(p)'Mp)dP> І = 1,3 (7)

‘"‘л/ч •

(Ro = -00, tfil - 1, tfi2 = p5“*'1, i£>3 = slip» Rs < cw).

Визначимо Фуеецы:

. V*,{r, X) « V£;I(r, X)S(Я, - r) -І- V£.3(r, АЖг - Rl)0(R2 - r)+

+»С(з(’-,Л)0(г - Л2)Є(Д2 - г); (8)

of* f \\ =_____________-_______________.

*V 1 МА)(Кч^)|Ч[<;3(1)Р)’ ■

tr(r) — <jyQ(R\ — r) -f <r2r2a't‘1&{r — Ri)6(Ri — r) + <rsshrtf(r — &2ЖЛ3 — r).

Нпяяпістьспектральноїфункції V^_(r, X), ваговоїфункціїс(г) таспектральної густини дає можливість написати на. мнижипі інтег-

ральне вображення міра Дірака:

ОО '

= - [ V^(r,A)l^(p,A)«^(X)dA, (9)

a{p) к J * ’ ’

яке цородасус ¡ірішо Н%а.г(!(г)) та обернене Я“^.2(/(Л)) гібридні іатеї--ральпі перетворення Фур’е - Гаїїкеля 2-го ролу - Леждидра 2-го роду па обмеженій справа декартовііі півссі о двома точками спряжешм:

Ъ

В^Щт)] = / Г(г)\%г.,(г,Х)а(г)<Іг = /(Уі, (10)

‘ -02 со

н*£ііЯх)} ~-Ц тк^(г,\) п’‘а;2(\)<ї\=до- (і?)

о

Звідси ВііііСііІДОК ЕЯаСТИВОСТІ Дельту ВО.ТОІ ПОСЛІДОШШСТІ ОД€рЖуС}.і<) твердження.

Теорема 4.1. Якщо функції

ф) = Дг)[Ь/?(Я, - г)+ Г.1%- яг)4 сг/’0(.— Д,ЖЛ»- г)!

визначена, кусково-неперервна, абсолютно гухіовна А .нас. обмежену варіацію на (—ос,і?з), пг<? для г & Із справедливе інтегральна зображення

оо Ло .

І[/(г4-0) + /(г-0)]1?іу ^и(г,А)П£іС1(А)(іА І Т{р)У*,{р%\)о{р)Лр. (32)

1 О -ОО

Э метою иастосування побудованих гібридних ітітсгралміпх перетворень до рда видання відповідних сингулярних оада^ математичної фі-опкп неоднорідних структур будуємо алгебру гібридного диференціального оператора М£а.

Теорема 4.2. Ятца функції /(г) і)ві-чі неперервно Зиференціпоппа на множині Із, задовольняє умови спряженні (в) та крайові умови

jj.it |г=-со =0, к = 0, 1; + ^22)/(г)Іг~Пз — О,

то справедлива основна тотожність інте грального перетворення гібридного диференціального оператори М£ч :

н,

^’МЦ/ПН н а? І АМ*+

—ОО '

Л2

+4і В^Пг)]У^{г/Л)а2т2^^т+ . .

. Ді

Лз . '

+°з I &ЛЛГ)] К^цз(т > Х)тзаЬг <іг —

' і ^ _ '

= ->?/(>) + ^Г'ЛЛ^і Д3, А) х а

Х(“|га22 + ДО$2)1г=й5 - Щ ( /(г)У^а.у(г, Л)сг^,(г)(іг. (13)

•/=І Ці-,

Оскільки югічн?. схема побучови гібрпдвч* інтегральних церетворень Фур’е - Лежандра. 2-го роду - Фур’е (§2) та Фур’е - Лежандра 2-го роду -Еанкеля 2-го роду (§5) черео ядро Діріхле однакова, то коротю опишемо аміст другрго параграфа.

Визначимо спектральну фушецію

УДг,Л) = Гь,(г,Л)в(Лі - г) + У^(г^)9(г - ЯМИ* - г)+

+Уг,л)й(г-Я!)Рз-г), сяеатральну пильність

, г> / л ї ~_____________________________________________^_

ьлт^,т2.

та вагову функцій . .

іт(г) =• іГ\6{ІІ\ — г) + и3зЬгв(г — Мх)0(Щ — г) + оз0(г — Йі)б(Й3 — т).

Сираведдиві твердження. . ■

Теорема 2.1. Якщо функція

д{г) - /(г')[1 -0{Ді - г) + еТ*Я(іг2 - г)в(г - ДО +1 - г)Й(г - Дї)] <14)

вшиачеш, неперервна, абсолютно сумсвш й має обмежену варіацію на (—ос,Я;), та іая т £ /з €«ргее5лиег ік^еср&дьис осбргтсга^г

во Кі

/(г) = І / У)Лг’ А>ГМЛ)^ І /ШМ (15)

О ' —со

Доведенні. Фуггкцїї V„-lr,A) і V(1¿(r,/3) с роаа’шакаии диференціальних рівнянь: г

J2 \ 2 _1_ .

í^ + _^rL)v^(riA) = 0> (lñ)

в2 + 7?

(Ap+£££)Vrt(r,\)=Q, (17)

.<1.2

4* J-гЛ

{^L.pi)Vlí^fi) = ü.

2

Стандартны способом отримуємо рівності:

V^WÁrJi) =

І-1.3 (18)

^A)V,*,(r,;6)Sbr = ^±^±Ш{Ук2{т, A)-^’^--

* -V^(r,ja)^^]. (19)

Задамо досить ведяіе від'ємне число Я. Пошіожішо рівність (18) на ffjdr (j =s 1,3) і проінтегруємо від j* = R до г = Лі при j — 1 та від r = Ііг до т = Яз при j = 3, а рівність (19) помножимо ва a^dr і прогатегруємо від г = Лі до r = Ji¡. У реоультаті сумувалла одержаних ічтегралів jjaojo:

я> .

/ ^(»-,А)^(г^Мг)йг = ^^1^1 (Д, -

В

’ (20)

Віаьмемо неперервну, абсолютно іптегравну а обмеженою в&ріадією на (0,оо) фуніцію д(Х). Обчислимо подвійний інтеграл

я» t

/=иУ?(А)^(г,А)ПДА)сіА7Дг^Иг)*. (21)

—СО с

Б&ісдідо5 >казшсїг (23) иодашинй іліетрал (21) аерсшшска так

І=ЙІ/

Є

■ хП,дА)<ІА. (22)

Внюпуючи елементарні перетворення, одержуємо: .

WM- у„1{и,0)Щ*і&У] = М*)-чтх

, x{wajÍA)waj(^) - wAl(A)ajÍIil(jS)}8mlf(gi(X) + щ(р))+

+ífli(А) -г g¡(P)¡{u>tl,i(X)u}/ítl(fi) + b¡ll?{\)w¡^fi)} sinR(g,(A) ~ g¡ W))+

-H«i(A) -eiW)]{wftj('')wft3ÍJt<) •i-u)Mj(A)^f^)}cos/J(f¿j(A)-í ?j(j3))-K

+[<Zi(A) + <ji{fi)\{(¿t! і(А)а>^ї(/І) — wíl.2(A)it){1>i(^)}cosR{qi(\) ~ qiífí))-Нехай тепер функція

CO

№)=;/s(W,%(jma. (23)

. ' _ o '

Поишшнио рівність (23) na y(l(r,/2}<,(r)dr, де /? - довільне додатне чнс-г.;ї, і [іроін'іегрусіїо по г від г = —ос y,s г ■— R-j. Внаслідок рівності

R* оо

М&ШО

ж'I Js{X)V,l{-r'W*Á*)¿*vÁr>PMr)¿r =-

fiti 0,оо) {24)

j f(r)v„(r, p)o(r)dr - g(0). t (25)

. f ffífl'h P Є (0,ao)

U

—co

TTmrrrpaтгюптст fftvTnfTTÍv»

•Ні

5(A)= J J(p)Vli{p,X)a[p)dfi

j ¡piBucicTb (23), одержуеио інтегральне оображення (12),

Рітшіси, (1:.) породжує npaue

n,

IhM03= j X)a(r)dr = f[k), ' (28)

—oo

й обернене

CO

■ if,\[}W\ = § / /(A)V,(r,X)ii,(A)dX = /(r), (27)

о

гібридне інтегральне перетвореній Фур’с -• Лежандра 2-го роду“- Фур’є па обмеженій справа декартовій півосі о двома точками спряжения.

Теорема 2.2. Якщо функції /(r) dem неперервна диферснційовпа па множині І2, зчдоаоАьтс умови спряжсннл « точках т = Ri (k — 1,2), крайову умову '

(а22^~ + вз

і разом із своего пмссУиою першого порядку прімус до куля при г —> —со, то справедлива основин тотожність інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора М(1:

Я,(Мм(Я»]] = -Аа/(Л) + оЫау-1 V^(!h, А) х

з п>

х(^~«22 + f(r)ßb)\r=n, - ¿Л/ f i{r)V^{r,\)üypj{r)dr. (28)

J==1 . ¡4-х

Доведення теорсии одержується беопосереднъо методом інтегрування частинами о урахуванням властивостей функції f{r), структури й р.лаг-тцеостєн спектральної функції Vp,(г, А) та вагової функції &{'<’).

Другой рсоділ присвячена побудові методом дельтуватих нослідовпос-тей, в ролі яких виступає ядро Коші ка декартовій осі о двома точками спряження гібридних інтегральних перетворень Фур'є - Лежандра 2-го роду - Фур’с (§ö), Фур’е - Фур’с - Лежандра (§7), Фур’с - Лежалдра 2-го роду - Лежандра (SS), Фур’с - Лежандра 2-го роду - Вебера (§9), Фур’с -Гапжеля 2-го роду - Лежандра (§10).

Внаслідок ідентичності логічної схеми побудови вшце перелічених гібридних інтегральних перетворень викладемо результат восьмого параграфу. ,

Розглянемо гібридний диференціальний оператор . '

М, = а\Є(П,-r)—+ap{r-R1)$(R2-r)Alit+ap(r-R3)Ali}, Ц = {/із,Рз}-

із

Він иородікує сепаратну «.негоду рівнянь тсшгопроаідності иараболіч-ного й Л-иарабодічного типу другого порядку -

ІщІї + Ц ~ іЬ= °* Г Є (~00’Лі>’ 1 > 0

Й 55 + І - А»)»а(*і-Г) = г е №. л*). і > 0 (29)

д3 С/і Я2 .

~ {Л^ + %-Л„)М<,г)=0, г€{Л2,оо),<>0.

Од С*1 (*2 -

Обмежений в області '

Пг = {0,0: 1 > 0, г Є /з = (-оо.Ді) и (Ли Д2)и (іга>оо), Да > Яі > 0} розв'язок системи (29) оа початковіші угірвани

®Д<» г)|»-0 = 9,•(»■), • €<Д,-_1,Ду),і--І^,Во = -оо>Ди=4оо, <30) га умовами спряжешся .

>*(<,’•) - іа%§; + ^)%і{і.г))І№«і = і»* = 1>2- (31)

{здується методом інтегрального перетворення Лапааса по -часовій »мінній і в має структуру

V^t,r) = / (-] €-<?+** Щ У^{г, А)^1(р,А)]П/Д)ІЛ^ д1(р)оі<ір+

I \Ч . 1

; " \ .

| J е^^ЛІу^-Сг, Л)Ул,(АЛ)І%(Л)<гЛ | дг{р)0&Ьрі?+ (32)

Л со \

11Х)\^(р, к)}%(\)¿А І д^озїЬрсІр,} = ЇД « /

¡Внааіідої аочатювих умов (30) в розумінні теорії уоагальаеяих функ-цір цасііо інтеградьЕ« вабраямння дельта-функції (міри Дірака):

' 00 ‘ .

Ит ~ I е-^^ЛеМ (г, А)ї>^)]ОДА)<ІА = (*>>

0 *

я;:е породжує гібридне інтегральне перетворення Фур’с • Лежандра 2-го роду - ІІехсаидра на. деіартовіи осі о двома точяаия спражециз:

Ой

j»jf/(r)l= f nr)VJrtXMr)dr5 ДХ), (34)

—00

. 00

H'il/(A)i = \ f = /(,•). (35)

0 •

Якщо пшшачнтн спектральну функцію '

V„(r, А) = V^ir, А)в(Яі - г) •)- V^fr, А)Є(г - Я,)Є(Н2 - г)+ +^з(гїА)^(г-^(йз-г)ї

ііїіехтральну щільність

1Л(А) =

тарагову функцію ' .

. <r(r) — axe(Ri ~ r)4 <r-2shrö(r — R\)Q(R-b — r) 4 <x3shrö(r — Л2)0(Д3 - r),

то о інтегральних «зображень (33) вші-швас твердження.

Теорема в.З. Якщо функція

д(г) - /(г)(1 • і?(Л] -- г) 4 Vshr(?(r - И;)в(ІІ2 — r) 4 exp(^r)0(r - Ä2)]

визначена, кусково-неперервна, абсолютно сумоьна іі мас обмежену варіацію на (—оо,4оо), по для г є /2 справедливе інтегральне зображеним

' ОО СЮ

0)4 f(r4 0)| =1 jІЦЩА) / /<Р)ША)х

0 —<»

1 х<т(р)сг/ї]ам(А)<іА. (зб)

Власгяворті гомпопвшв Vpj(r, А) спеЕтраяьної функції V^(r,A) описують наступні теореми.

Тиорема 0.1. Фум,ції Урі;(т,Х) с ролв’л^колг сітгрлауної спеюп-ральїшї задачі Штурма-Ліуьіл,и: ' .

' ' (^а4^~Кч2(г,А)=0, (37)

аі .

■ А2 к?

А) =

з

((«^¿М")*«»(г.Л)-К"|:+^1)»;і™+ї<'гІА-))ил. = 0,1т - 1,2. (38)

Доведення пшшг.іє в перевірці шій'оііаїшя умов шряжеіша та рівнянь

(37) безпосередньо аідегановкш функцій У^,; 1'^; Ул= в ріянгсті (37) та

(38).

Оскільки фуяйцІ) У'^іг, А), ех гомплеісзоонсяні функції дійсних аргументів г, А будуються оа правилом

1^(г,А) =Л//^(»-,А)+ 2?/ї;>,А) + ¿{С/І^Сг, А)+ 0^[г,Х)),І — 1,3,

то операційшій метод для сшах^триення дваваддяти

хеефіціштів _ дас нереюгояачену алге&рдїчлу систему

п даадцяти одного рівнашія. Дослідження останньої приводить до твердження. ■

Теорема 8.2. Якщо ь системі з сіиидцлпи одного ріанянна відносно сталих {А^, В;, покласти С; = І) І1 ,і перших одинадцяти

рівнянь визначиш а дані сталі .іа віожшіднгми формулами, то решта ріеиікь алгебраічноі системи перетворюється е тотожність.

Доведения проводиться беогссер^циюю иідстаповіиш онамдених сталих {Л,,Я;,С7;, в ріг.пшлія даної алгебраїчної системи.

В кінці параграфа наводиться теорема нро основну тотожність інтог-рііамюго перетворення гібридкого диф^реіщіаньнога оператора.

ЇЬорека 8.4. Нехай функція }'{г) двічі неперервно дьферепцЫовпа ли лнажині Ґі, задаеольмє учави спціяженнг, а яри г —> —сс зникає раэл,« із своем першою похідною, а мри г —» +со вираз

!«И^Ч.,(г, А) - ¡(г)-»ф-Ь]

пряму* до »¡/.лі.

п

Тсді спрімедлпяа основна тпетогкпість ікгяегрядьковр псуетзорскпх гібриднеє/) д^'іерскцімьиаго оператора :

. л,

Нг~\М,1!(г)]] = -\*т~Ц І Г(г)Уп1(г,\)^г-

—ск>

і Ні оо '

~Н J f\r)V1¡i2(т,\)uld\rdr - кі! /(г)У,,.з(г,А)і73з1іг(іг. (39)

Кт а,

У третьому рооділі розглянуто птаові задачі, точний аналітичний уіоов’яооі яких може бути поБудовалий методом паіфога;(жеггах гібридних інтегральних перетворень.

- Задача обчислення ояачсиь пслшарам<ггріг«іої сімТ иевяашпх іпісг-ралів, лідінтєгральна функція в яхпх виражається черео тригонометричні фунігш", фулкпД Лежаядра га фуїш 7Бесселя (§11, метод гібридних інтегральних перетворень Фур’є - І^нкеля 2-го р^чу - Лежалдра па дежартопій осі); .

- оадгеча про структуру лружшя еонів, що вішихадоть при крученні

к у сх ово-одн орі дпог о стержня в результаті сконцентрованої на одній і і ділянок стержня силової дії (§12, метод гібридних інтегральних перетворень Фур’« - Лежаядра 2-го роду - Фу р’с иа о<Чвеженіи справа дехартояій півосі); .

- падала лра структуру нестап.іоітпргшх температурних полів, тцо юшпка-

ють у реоультчті дії ооссредженого па одній із ділянок теплового джерела (§13, метод гібридних інтегральних перетворень Фур’с- Фур’с- Лежандра на деяартовій осі); . ■

- задана п4 а структуру хвиль, що виникають при коливанні кугхопо-однорідної струни у результаті дії п~ кожній іо діляво« сгрупи обурених сил (§14, метод гібридних інтегральних перетворень Фур’с - Лежапдра

2-го роду - Гонтам 2-го роду на обмеже-ій справа дежартовій півосі).

У висновках наведено основні результати дисертаційної роботи.

Основні реоультатіг та висновки роботи.

1. Методом дельтуватих послідовностей, в ролі яких виступає ядро Копгі, оапроваджеао гібридні інтегральні перетворенні Фур’є - Фур’е -Лежандра 2-го роду, Фур’є - Лежандра 2-го роду - Лежандра 2-го роду; Фур’є - Ганіета 2-го роду - Лежандра 2-го роду на .. Зиеженій справа десертові я півосі о двома точками спряження та (Фур’с, Лежандра, Бесселя) на деіартовій осі о двома точьамк спряження. •

і. Методом. Д'еиь'їу'ла'гкх досяі^овшсіча, а ролі кгжх зисгуигл ядро Ді'ріхлї.о&проваджено гібридні інтегральні неретвореяюгфур'с- Лекіапд-ра 2-го роду - Фур’є, Фур’е - Ле&аядрі 2-го роду - Гапкеля 2-го роду па о6ьйз>е:сшё справа декартовіа півосі о ць.ша. точко.мп спряжешш.

3. Одержало теореми про інтегральні оображення сусЕово-неперервних, абсолютно-сумовних (о точно визначеною ваговою функцією) функцій обмеженої варіації черга ядра шщрсшаджиіих гібридних інтегральних перетворень.

4. Одержано теореми про наявність основної тотожності інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора, що дозволяє (застосовувати (запроваджені гібридні інтегральні перетворення для побудови в оамкиеній формі алгоритмічного характеру розв'язків відповідних сингулярних оадач математичної фіоики неоднорідних структур.

5. Одержано теореми про ропв’яігаість сингулярно? спєктральлої оа,-дзлі Штурма-.їіувілля талароджеаш нею лєрєвипначеної алгеЬраГ'шоі снстеии о двадцяти одного рівняная.

6. В якості «застосування одержаних інтегральних перетворень (Фур’є, Лєхшлдра, Бесселя) наведено:

а) задача про структуру яружних долів, що гияикакт. при крученні

гускоао-одиорідпого стержня в результаті снлсаої дії, <ас':рщшхю1 на одній із діаднох стержня; .

б) задача про структуру нестаціонарних температурних попів, що виникають в кусково-одчоріднія весі " ¡легшій пластині в результаті дії оог.е-реджепого на одній в ділянок теплового джерела ;

в) оадача про структуру хвиль, що винт лють при коливанні кусково однорідної счрукн в ресуяьтаті дії на кожній ділянці струни обурених сип;'

г) оадача обчислити значень поліпараметрйчних невласних інтегралів, *

Роботи автора оа темою дисертації: ' .

1. Леннж М.ТІ., Япгата 1.3. Гібридні інтеграігьтпі перетворенні: Фур’є

- Лежандра 2-го роду - Фур'є на днкартовій осі // Інтегральні перетворення та їх Застосування до краиозих. ізадач: ІЗб. наук.пп. - Київ: І;і-т математика Н АН України,' 1936.. - Вин. 12. - С. 12Я-146.

2. іієеюе М.П., Лнош 1.3. Гібридні іятеграяьтні перетворення Фур’є -Лсжайдра 2-го роду - Вебера па декартовій осі // Математичні методи в науково-технічних дослідженнях: 36. вауі.пр. - Київ: Ія-т ігатеиатявп НАН Уіраїнн, 1996. - С. 176-191.

3. ЯнояіІ.З. Гібридні інтегральні перстзорнчня Фур’с - Лежандра 2- ги роду - Лежандра на обмежені« справа деїартовін півосі // Інтегральні перетворення та 7х оастосуватія до крайових оадач: 136. я.туг. ар. - Київ : Ін-т математики АН України, 1992. - Вип.І С. 244 - 254

4. Япопі І.!?.. Гібридні іягеграямгі перетворення Фур’г. - Фур’е - Ле-

жандра на обмеженій справа декартовіп піїюсі в иадачах математично? фіаики. Ц Нелинейные хрлевые оадачя математической фпоикя и их приложения: Сб. науч. тр. - Киев : Ин-т математики НАН Украины, 1994.-С. 220 .

5. Янош 1.3. Г ібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Лежандра) на дскартовій осі // інтегральні перетворення їа їх застосували» до врайо-ішх задачі: 36. наук. пр. - Київ : Іа-т Математики НАН України, 1996. -Вин,12 - О. 220 - 243.

0. Янош 1.3. Обчислення вевлпених інтегралів методом гібридного інтегрального перетвореная Фур'є - Ткшсешг 2-го роду - Лежандра па де-картовій осі (! Інтегральні перетворення та їх оастосуваапя : 36. наук, пр. - Київ : Ін-т математики ІІАН України. 199Є. - 4.1 С.268-279.

7. Яншг 1.3. Коливання кусг 'Во-одкорідпої струни //Нелінійні враиоы оадачі математичної фзаиїн та к оастосування: 36. наук. пр. - Київ : ін-'і.' математихп 11 АН України, 2996. - 4.2. - С.91-100.

8. Якові 1.3. Гібридні інтегральні перетворенім Фур'є * Сішкеля 2-го роду --Лежандра на дек&ртовій осі // Інтегюальїгі перетворення та їх застосування до крайових «адач: 36. наук. пр. - Київ : Іп-т математики НАП України, іЯі'в. - Внп.13 - С.220-233.

9. Ленюк М.П., Янош 1:3. Гібридні інтегральні перетворення {Ф} р'с, Лежандра, Бесселя) на обмеженій справа рткартовій півосі. - Київ, ¿993.

- 52 с. (Препр. / АН України, Іп-т математики; 93 9). ■

10. Яноіг 1.3. Гібридні інтегральні перетворення Фур’е - Фур’с - Лежандра на деЕаі»товій осі а двома точками спряжение //. Всеукраїнська конференція ’’Диференціально - функціональні рівняння та їх о голосування*: Теои доповідей. - Київ : Ін-т математики НАЯ України, 1996.

- С. ,208. • . . '

Yauosh I.Z. The hybrid integral transformation (Pune, Legendres, Bessel) and applying to tie problems os matberoaijcaJ physics. Manuscript. The dissertation to the obtaining of the scientific degree of the candidate of physics-mathematics sciences on the speciality 01.01.03 - mathematical physics; Ctier-liivtay State University named afte Y. Fedlovicii, Clieruivtsy, 1936.

Tire hybrid integral transformations are constructed by the method of 8

- image sequences. Tliese transformations are created by all kinds of combinations of the Fiirie, Bessel aa-d Legendres ■differential operators on Dekart’s oxis and right - bouiuled Dekarl’a half-axis with two points of . The logical scheme of using is described on typical problems.

Я кот И.З. Гкбрвдиые интегральные преобразования (Фурье, Лежандра, Бгссегш) с применением к задачам математической фиовки. Рукопись. Диссертация на соискание учений степени кандидата фавиао-ыатсМатичссЕКх наук со специальности 01.01.03. - математитасягл фи-онса, 'Чераовапдпй государствегоши университет нм. Ю.Федькойияа, Черновцы, 1908.

Методом деяьтаобраэных последовательностей построены гибридные интегральные преобразования, порожденные вооможным сочетанием дифференцгальяьсс операторов Фурье, Бесселд а Лежандра на дегартск »ой оси и ограниченной справа декартовой полуоси с двумя точками сопряжения. Логическая схема применения докапана ка типичных Задачах.

Кшочові слова: гібридний диференціальний оператор, гібридні інтегральні пере гБорелйя, метод дельтуватюс послідовностей, інтегральне зображення, спектральна •функція, вагова функція, спектральна густкна, основна тотохшість.

і/