Гидродинамическое и геометрическое моделирование формообразования выступов при электрохимической обработке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОРЕЧНЫЙ Сергей Сергеевич

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ВЫСТУПОВ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

05.13Л 8 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 о ДЕН 2009

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа —2009

003487516

Работа выполнена на кафедре компьютерной математики Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент

ШЕРЫХАЛИНА Наталия Михайловна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Спивак Семен Йзраилевич, зав. кафедрой математического моделирования, «Башкирский государственный университет» кандидат физико-математических наук, Карабцев Сергей Николаевич, ст. преподаватель, «Кемеровский государственный университет» Ведущее предприятие ГОУ ВПО «Камская государственная

инженерно-экономическая академия», г. Набережные Челны

Защита диссертации состоится "ЯЧ " 2009 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32, ауд. Х/£> физико-математического корпуса

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " " 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, д-р. техн. наук, проф.

Л. А. Ковалева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Размерная электрохимическая обработка (ЭХО) основана на анодном растворении металлов в проточном электролите с помощью специального электрода-инструмента (ЭИ). Межэлектродное пространство (МЭП) заполняется электролитом, к электродам подключается источник импульсного тока и происходит растворение материала анода со скоростью, пропорциональной плотности тока в данной точке анодной поверхности. Деталь необходимой формы можно получить, выбирая соответствующую форму ЭИ и задавая траекторию его движения. Проточность электролита необходима в связи с его загрязнением продуктами реакции и выделением газа вследствие электролиза воды. Неполная замена электролита в МЭП в течении паузы между импульсами может привести к возникновению дефектов на обрабатываемой поверхности, а также к пробою МЭП, влекущему порчу ЭИ.

Прецизионная ЭХО применяется в авиационной, медицинской, инструментальной промышленности, в нанотехнологиях.

Исследование формообразования свободной поверхности существенно осложняется необходимостью проведения длительных расчетов процесса установления предельных конфигураций.

Процессы формообразования при ЭХО при допущении об однородности электролита моделируются задачами Хеле-Шоу со свободными границами, решения которых могут также интерпретироваться как течения вязкой жидкости. Известны решения задач Хеле-Шоу, с помощью методов конечных разностей, конечных и граничных элементов. Тем не менее разработанные ранее методы не обладают достаточной устойчивостью к накоплению погрешности при расчете длительных переходных процессов.

Одной из основных проблем математического моделирования является разработка методов оценки погрешности и обоснования достоверности этих оценок. В данной работе для этих целей применяются методы фильтрации численных результатов, основанные на использовании данных, полученных при различном числе узловых точек сетки.

Целью исследований является:

Определение закономерностей формообразования выступов на границах в нестационарных задачах Хеле-Шоу при длительных переходных процессах, приводящих к формированию предельных конфигураций.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать приближенную математическую модель, описывающую течение электролита в МЭП, которое возникает при импульсной ЭХО неподвижным и колеблющимся ЭИ. Полученная модель должна учитывать газовыделение и нагрев электролита в МЭП. Найти параметры, позволяющие проводить исследования формообразования на основе модели обработки на постоянном токе.

• Решить задачи стационарной обработки ЭИ со щелью с изоляцией и без изоляции на тыльной стороне ЭИ, описывающие предельные конфигурации.

• Модифицировать численно-аналитические методы решения нестационарных задач и решить нестационарные задачи обработки ЭИ со щелью,

• Оценить погрешности полученных численных значений.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Одномерная математическая модель течения электролита в МЭП, возникающего в процессе импульсной ЭХО при неподвижном и колеблющимся ЭИ, учитывающая газовыделение и нагрев электролита в МЭП, и позволяющая определить как изменение электропроводности в течение импульса, так и полноту замены электролита в паузе.

• Точные решения задач стационарной обработки ЭИ со щелыо с изоляцией и без изоляции на тыльной стороне ЭИ.

• Видоизмененные численно-аналитические методы решения нестационарных задач и результаты решения нестационарных задач обработки ЭИ со щелью, методы и результаты оценки погрешностей.

Научная новизна

• Разработанная математическая модель течения электролита в МЭП и предложенные на ее основе схемы вычислений, в отличие от известных, позволяют описать режимы с возвратным течением, учесть газовыделение и переменность МЭЗ, возникающих при импульсной ЭХО при колеблющемся ЭИ.

• Впервые решены задачи стационарной обработки ЭИ со щелью с изоляцией и без изоляции на тыльной стороне ЭИ. Показано, что в задаче с изоляцией в зависимости от соотношения геометрических размеров возможны два типа решений: конечной высоты или с вертикальной асимптотой.

• Разработанные численно-аналитические методы и алгоритмы решения нестационарных задач позволяют на каждом временном шаге определять положение особых точек и скорости их движения, что дает возможность исследовать задачи с более сложной геометрией ЭИ.

• Применение разработанных методов фильтрации численных результатов дало возможность найти закономерности и временные параметры при установлении стационарных и финальных форм обрабатываемой поверхности.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается корректным использованием математических и численно-аналитических методов, тестированием методов путем сравнения результатов, полученных разными способами, применением фильтрации для оценки погрешности численных данных.

Практическая ценность

Автором модифицированы численные методы, разработаны алгоритмы и программы решения нестационарных задач, получены результаты, которые могут быть использованы при проектировании технологических процессов.

Работа проводилась по тематике госбюджетной НИР Уфимского государ-

ственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания». Значительная часть работы проводилась в содружестве с НИИ проблем теории и технологии электрохимической обработки. Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ.

Апробация работы

По основным результатам работы были сделаны доклады на международных семинарах «Компьютерные науки и информационные технологии» СБГГ (Карлсруэ, 2006, Уфа, 2007, Анталия, 2008); на Всероссийских научных конференциях «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2007-2009), на Всероссийской научной конференции «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2007), на научно-практической конференции «Обратные задачи в приложениях» (Бирск, 2008), на международной молодежной научной конференции «XXXIV Гагаринские чтения» (Москва, 2008), на Международной научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2008), на Всероссийских зимних школах-семинарах аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2008,2009).

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в 16 публикациях, в том числе в 5 статьях в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация (128 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснованы цель и актуальность работы, кратко изложено содержание работы и сформулированы результаты, выносящиеся на защиту.

В главе1 проведен обзор литературы и дана общая постановка задач с выводом краевых условий.

Процесс растворения определяется законом Фарадея с1т = Ш^Л/пР, где т - масса растворенного материала; М,п- молярная масса и валентность материала детали, < - время; / -ток; т\ - анодный выход по току; Р-МЛе- число Фарадея. Согласно закону Ома плотность тока у = кЕ, где к - электропроводность электролита, Е - напряженность электрического поля. Тогда

Уест Л^ест^п > ^ест ~ п К'

Л ртпЕ

где Уест - скорость электрохимического растворения; рт - плотность обрабатываемого металла, А - толщина растворенного припуска; Е„ - нормальная к анодной поверхности составляющая напряженности.

Для решения задач применяются методы теории функций комплексного переменного (ТФКП). Координаты точек границы определяются в параметрическом виде 2(ст,/)=Да,0+»У(сг,г). Проекции векторов смещения точки ¿2 и на-

1т

дЖ_ дУ

естЛ 'т _ ~ кестЦ . да да

(2)

пряженности Е на нормаль к поверхности вычисляются по формулам Уест = 1т(е~'9 сйГДЛ), Еп - 1т(е~'°£], где 9 - угол между касательной к границе и осью X. Тогда (1) эквивалентно равенству

За

Введем безразмерные переменные

м> = Ш/ и, г = 211, х = Х/1, у-У¡1, -х = кестт\1л/12, (3)

где 1! - напряжение; / - характерный размер (не зависящий от времени), т) считается постоянной. В безразмерных переменных равенство (2) примет вид

ускда] да

Производную &/<Зг(х,х), как и конформное отображение г(х,т) параметрической плоскости х на физическую, будем искать в классе аналитических функций. Тогда равенство (4) служит краевым условием для её определения на части границы, соответствующей поверхности анода.

При стационарном формообразовании обрабатываемая поверхность движется вместе с ЭИ со скоростью Уе1: 2(х,1)= 21(%)+Уе11. Пусть I ~кестг\и ¡\Уе1\. Тогда г = 2/1 = + • Тогда, если скорость Уе1 направлена вертикально

вниз выражение. (4) принимает следующий вид:

(4)

1т

= -1 или

еЫ

ск.

= -511Н

(5)

В главе 2 строятся одномерные модели течения электролита в МЭП, т.е. в каждой точке сечений х=хк (рис. 1) свойства среды считаются одинаковыми.

ч

Ьх+Ь

Рис. 1. Схема МЭП

и

В одномерном приближении у'(х,/) =—а{х,г),

(6)

где и - разность потенциалов между анодом и катодом; 5 - величина зазора; ст(х,/) - электропроводность электролита; Ь - ширина МЭП.

Для определения электропроводности в каждом сечении используется известная полуэмпирическая зависимость от температуры и газонаполнения

О(х,<)=О0[1+а(Т(хд)-Г0)^-Сг(х,0]3/2. (7)

Пренебрежем диффузией и теплопроводностью, тогда

йт

Л

Е//Л-

¿С™ с!т

Л

_ г

Л К

общ

¡А í

(8)

где - масса газа, выделившегося на участке МЭП; С™ = 6щ - массовая концентрация водорода; е.ц - электрохимический эквивалент водорода; А, Уобщ - площадь и объем участка МЭГГ; 1Х - ток, протекающий на участке МЭП. Объемное относительное газонаполнение:

_ уе = тг ВТ = стКГ

Уобщ Уобщ V* ?

(9)

где Я -газовая постоянная; ц - молярная масса водорода; Р,Т- давление и температура в МЭП; Уг - объем газовой фазы. Согласно закону Джоуля-Ленца

¿д=се1те1лт = и]АЛ, -(Ю)

А Се/ре/5(1-Сг)

где Се1 - удельная теплоемкость электролита; тие/ - масса электролита; ре1, Уе[ - плотность и объем электролита. Согласно уравнению неразрьгености

Ф .»• « J• ^ 1 ас

— + р (11У V = 0, dlvv = — =--(И)

А дх 1 -Ск А К '

где р=ре/(1-Сг), V - средняя плотность и скорость газожидкостной смеси. Отсюда и из уравнения Навье-Стокса в квазистационарном приближении

д1р - 12г|ду_ Щ 1 асг 8х~ х2 У' дх2 ~ Р- 5х~ *2 1 -Сх А ' где т| - динамическая вязкость электролита.

В р. 2.1 рассматривается ЭИ с одним плоским участком. Для решения задачи в (8), (10), (11) следует перейти в Эйлерову систему координат (х,/). Тогда приходим к следующей задаче: найти функции Се(х,1), Дх,г) и Р(х,/), удовлетворяющие системе уравнений с частными производными

52 ЗР ВС™ дС; £н .

у =---, —+ у—= = А(х,П, (12)

12ц Зх д1 дх в * к ' к }

з2,

дТ дТ и . „/ ч д2Р 12л 1 ^ \ „„„

т,^%лсЛ-сгГв(хА (13)

со следующими краевыми и начальными условиями

С™(0,/)=0, Г(0,() = Т0, Р(0,1) = Ри {>0, (14)

С*(х,0) = 0, Г(х,0) = Г0, 0<х<1; (15)

начальное условие по давлению Р(х,0) определяется из решения дифференци-

пд2Р 12т\ Я7ея . ального уравнения Р—=--г--—- } .

дх2 ^ Ц Задача решается методом конечных разностей по схеме

Tk,l+1=11-

Vi:J

Ax

| TkJ +vkJ^Tk_lJ + BkJMP^ ~ (1?)

1 Лх /дс\2

Результаты расчетов приведены на рис. 2 для 5=28 мкм, Р0=Ю5 Па, Р,=5 105 Па; продолжительность импульса i„=1,2 мс. Видно, что при увеличении t зависимость давления от координаты имеет экстремум в некоторой точке %-х*. При этом для х<х* возникает обратное течение.

д Р.

10'Па

■faSe;

"Ч, 6

Ч!

ч

S,

\

ÖJ 1,0 1.5 2,0 1S 3,0 3.5 J,0 Т. М

IM 2.5 3.0 3,5 4.0 4JS

Рис. 2. Распределение избыточного давления в МЭП в различные моменты времени (кривые 0-6 соответствуют ¿=0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2 мс): а - при импульсе тока 300А; б - при импульсе напряжения 3,5В

Отметим, что граничные условия (14) для С™ (0,/),Г(0,г) справедливы только при г(0,/)>0. При возникновении обратного течения постановка задачи должна быть изменена. Заполнение /+1-го временного слоя на участке [0, х*] проводится от точки х=х*, в которой 0.

При решении задачи для канала, содержащего точки скачкообразного изменения зазора х=1 (р. 2.2), должны соблюдаться условия согласования Сг(/-0,/)=Сг(/+0,г),7(/-а/)=Г(/+0^),/</-0,/)=/}(/+0,/), +

Результаты расчетов приведены на рис. 3 для $1=100 мкм, 5г=20 мкм, ¿„=1 мс. Видно, что в паузе после импульса происходит медленная промывка МЭП.

и

ж Л

7Я >11

V

■VI А12

А ¡й

Л

X1 i

дг.к

8

i iv id 11

LS (V Л

L b

Г i V

у

Ks у

10 15 20 25 30 35 J0 -15 т мы

15 20 25 30 35 « .Т.1Ш

Рис. 3. Распределение: а - относительного газонаполнения: б - температуры (кривые 0-12 соответствуют /=0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 3; 5; 7; 9, И, 13,15 мс) Допустим, ЭИ совершает колебания так что величина зазора изменяется от до 5тах. В момент приближения ЭИ к заготовке подается импульс тока (рис. 4) или напряжения.

' Рис. 4. Схема подачи импульса тока

Используем известное приближенное решение для ЭИ, движущегося вниз со скоростью и. Учтем, что дивергенция скорости не равна нулю. Поток считается плоско-параллельным квазистационарным, т.е. положим в уравнении На-вье-Стокса Эу/З/ = 0, кроме того пренебрежем инерционным членом (уУ)у . Тогда это уравнение примет вид т} Ду -§га<1 Р = 0. (18)

Далее предположим, что ввиду тонкости слоя жидкости движение в основном направлено горизонтально (|уг| <<|ух|), причем ¡ду^/ет] «|5ух/&|. Поэтому с учетом (11) уравнения (18) и неразрывности принимают вид

л-

¿4

дг1

= - ^ = О ~ ' & '

дР дх

—+ —-йх йг

1 ^ 1-С, Л

со следующими краевыми условиями

г = 0:у;[ =у2 =0; г = =0,у2 =-и; х = 0:Р = Рц х = 1:Р = Р0.

1 яр

Из (19), (20) ^^-^(г-*), 2т) сЬс

д2Р

12ци 12т] 1 ^

г

'г

/ 1-С„ А В соответствии с (21) средняя по зазору скорость 1 ЭР1'

52 ЗР

у* =----¡г(к - = -

2ц дх я ^ 12ц дх

(19)

(20) (21)

(22)

Для проверки выполнения допущений о квазистационарности и линейно-

сти рассмотрен случай и = ~<Ь\йХ, Л^/сй = 0. При

зано, приближение (22) может быть использовано в расчетах.

Результаты расчетов приведены на рис. 5 (<в=50-2я)

/, А[

400

«1, как было пока-

100 200

¿V

У у V

1-

0,96 I, ЫС ^ О 0.24 0.4! 0.72 0.М /,МО

Рис. 5. Зависимости от времени: а - напряжения при импульсе тока ЗООА; б -тока при импульсе напряжения 3,5В (кривые 1-4 соотв. ут;„=28; 30; 35; 40 мкм) При решении нестационарных задач полученные результаты учитываются путем усреднения значения тока, протекающего в МЭП за время импульса и паузы между импульсами, в виде коэффициента

к,=

1 со

> где /шах=к£тах =

к£/

(23)

7тах д "шп

что позволяет перейти к идеальной модели обработки на постоянным токе. В главе 3 исследованы стационарные решения.

Для моделирования процесса формообразования «гребешков» на обрабатываемой поверхности (рис.6,а) рассмотрим плоскую задачу ЭХО с помощью ЭИ, в виде фольги со щелью. ЭИ движется по вертикали вниз, сохраняя форму растворяемой поверхности заготовки неизменной (рис. 6,6). Необходимо найти аналитические функции ЩО,2{0), С, - параметрическая переменная.

а б

Рис. 6. а- образец уплотнения для турбоустановки; б- форма МЭП

В связи с тем, что оба электрода считаются эквипотенциальными, рассматриваемая поверхность на плоскости IV имеет вид полосы ширины С/, где и — разность потенциалов между катодом и анодом (рис. 7,а).

Условие стационарности (5) позволяет построить область на плоскости годографа напряженности Е = ЕХ- ¿Еу = (}№'1с12, (рис. 1,6).

В'

О С

I)

М А

Т,

Г

Ф

1Лу Е \ijZj

А

И м

'А /л

•> 1 /

г

V

с г

А М Р

в 0 о ®

с в

А' : ' : В'

А ! О \ в

-7 0 7 сг

Рис. 7. Формы образа МЭП на плоскостях: а - комплексного потенциала; б -годографа напряженности (для левой половины МЭП); в - на параметрической плоскости С,; г - на параметрической плоскости %

Поскольку имеются две плоскости Ш и сП¥/аИ с границами областей известной формы, задачу можно решить методом конформных отображений. Используя верхнюю полуплоскость С, (рис. 1,в), найдем

сН¥

-гЕг

1 +

С + 1 и 2

(24)

п к тг\ ш Юл 7С + 1-1 <т Ш 1 Отображение Шс): уу=——, — =--¡=.

IX л/С + 1+1 ¿С я ^ + 1

1 ( 1с ( чЛ

Из (24) выразим дифференциал ¿2 = —— 1 -1-0—- —

Ео

1 +

С + 1 И 2

Интегрируя данное выражение, получим

«ЯР.

2$ , 2 ПР•

-«=¿7 + —з1г —Л—-м. % 2 2

(26)

Формы области, соответствующие ст0=0; -л/8; -л/4; -Зл/8, показаны на рис. 8,а кривыми 1-4. На рис. 8,6 приведена зависимость /Л (а0).

В предельном случае //,у-»оо форма поверхности определяется формулой

1п| — + 1| + 1п- + 1

И ) 2

(27)

-------------------}/51

: 1

! \

; \

1.0

1 0.?

1 \

-».5 -1.0 -0.Л в 0.5 1С 1.5 Са

а б

Рис. <5. а - формы области; б - зависимость отношения полуширины щели к зазору от параметра ст0

В р. 3.2 рассматривается задача (рис. 6,6) с изолированной верхней поверхностью ЭИ CF и СС". Форма области МЭП на плоскости £ отличается от изображенной на рис. 1,6 тем, что на изолированной части поверхности ЭИ СГ угол наклона вектора напряженности равен л (рис. 9,а). Выберем в качестве области на параметрической плоскости С, полукольцо (рис. 9,6). Тогда

= ~ + £ -^^(С-Г'КафЙ) . (28)

№ 1 + а

ф(С)=

оо т-1

2р"

С-1 ^"-р'

Г(ст-С)

р -р

(-1

А \ > т

-1

т=1

где ¿4 - коэффициенты разложения функции (3.2.1) в степенной ряд.

/

Fl IA D\ 1С

-1 -P 0 P 1

B' ч (И

В 41

G с D Ф

F ■и 0

в * А

Рис. 9. Формы образа МЭП на плоскостях: а -годографа напряженности; б -параметрического переменного С;, в -комплексного потенциала

Образом МЭП на плоскости комплексного потенциала является полоса с разрезом (рис. 9,в). Найдём конформное отображение на

К Формула отображения имеет вид

.217

1 -"„V

'о+22

1

2m+l / <

Я _[>-2т+\ , /—2т-1

+Ь1 )

"С1+1 2 ' -¿¿¡Ъп+^Ы+д-В силу (28) Е0 ¿12/(1(2 = ¡1 сП¥/с1С,. Конформное отображение получается с помощью численного интегрирования. На рис. 10,а приведены формы стационарной поверхности дляр-ОД; 0,2; 0,3; 1 (кривые 1,2,3,4). На рис. 10,6 показана зависимость Ця от р. При обработке ЭИ с изоляцией стационарный выступ имеет конечную высоту только при ограниченных значениях //л.

й-

0,4 0,6 0.8 Р

Рис. 10. а - формы области; б - зависимость отношения l/s от параметра р

Для определения критического значения l/s и формы обрабатываемой поверхности для l/s превышающих это значение необходимо рассмотреть предельный случай А/-*С(рис. И,а).

Комплексный потенциал ах) (рис. 11,6,в) и производная dZ/dW

dz 2- ...-ja-i+lch^eh-^.

4 л 2 2

z(l)

W = iUX, h=E0 — = — lnth dW %

Конформное отображение Z(%)

00 со ( -Л* »

у £--iY У l>

t=o {2k+1f k=o{2k+lf

(30)

-is

sh-^ + i

(31)

У D ®

C,D' \ F

А' I У х

f cd

А'

Ч'

®

Ф

©

и ^

ä f 1 а

а с 0

Рис. 11. Области, соответствующие МЭП на плоскостях: а - физической, 6 - комплексного потенциала; в - на параметрической плоскости %

Вертикальная асимптота определяется соотношением lim Re Z/s - (2/%f{2G +1) и 1.1477384800, где G - постоянная Каталана.

ст->0-0

Этим числом определяется критическое значение l/s перехода от стационарной формы конечной высоты к бесконечной, (рис. 10,а, кривая 4).

Решение задач Z(Q удобно представлять в виде суммы известной функции с особенностями Zq(Q и неизвестной функции без особенностей Z&(Q, которая находится численно. В связи с этим в р. 3.3 рассмотрены решения задач начального формообразования, используемые далее в качестве функций с известными особенностями.

В главе 4 решены нестационарные задачи формообразования гребешков. В р.4.1 полубесконечный ЭИ А FC' заглубляется в заготовку вертикально со скоростью Vet (рис. 12,а). Начальный зазор равен S0.

С' С v © F о ®

F <р А 1 С

-и 0 п

А А А 0 с

а б в

Рис. 12. Форма образа МЭП: а- на физической плоскости; б — на плоскости комплексного потенциала; в - на параметрической плоскости х

В результате растворения происходит сдвиг точек анодной границы со скоростью ¥ест ~ с!\У/с12 (согласно (1)). Величина зазора Б на бесконечности влево приближается к стационарной величине = кестк]Х\11 /Уе1, где ¿/-коэффициент (23), учитывающий средний ток за период. При этом Уе, = Уест = кк^и/Б^ . Перейдем к безразмерным величинам

у=:

s = -

h

ч2

¿st

и

При этом согласно (1), = = ^ = ~ (33)

Необходимо найти три аналитические функции >у(С,т), йг/3т(х,т). Комплексный потенциал (рис. 12,6,в): м> = ср + /у = г'%, ¿Ц^х =' • (34)

Представим функцию г(х,т) в виде г(х, т) = -¿й(т) + г0 (х, т) + г д (х, т) (35)

где г0(х,т) = -и(т)+5(т)х—— '——1п---+ А(т)—-—, (36)

71 2 4

2д (Х>т) _ функция без особенностей. При Ие х ±оо 1т гА (%, т) -» 0.

При х = 0 +1 (образ точки /•) производная сЬ^х должна равняться нулю.

Отсюда = + (37)

я я За

Т Т ^

Приэтом й = -50+т, л = 50-т+

о о5«)

( 1 \

_2+ 1 ] + 1^(о + /1т). (38)

А ' <к з(т) ск л ^ л(т)) к дадг

Будем искать решение гд(х,т) на границе у=а в узловых точках ст„ (т=0,...,/?). Искомыми будут значения Ттгд^Ду)^,,,. Значения 1тгд(ст,т) в промежуточных точках найдем с помощью кубического сплайна.

Для восстановления функции гд(х,т) используем формулу Шварца с учетом того, что 1т гд (а + ¿0, т) = О

1 00 тс & °° с^ 71

гдЫ=- / 1тгд(о,т)са1-(о-х)Лт, 1(ст,т)сШ-(ст-хУа. (39)

2-оо 2 да За 2

При решении нестационарной задачи этом на каждом временном шаге у значения переменных ут(ху) являются известными и подставляются в сплайн и интеграл Шварца (39), т.е. определяется конформное отображение По-

сле этого остается решить краевую задачу: найти аналитическую функцию дгА/дг(%,Ту) параметра х, удовлетворяющую краевому условию (4).

При вычислении производной дгА/дт(х,Ту) искомыми параметрами на каждом временном шаге ^=/Ат будут значения 1тдгА/дг[ат,Ху)=дт. Значения 1тЭгд/Зх(ст,Ту) в промежуточных точках найдем с помощью кубического сплайна /?(оуг). Для определения &д/3т(х,т^) используем формулу Шварца.

Значение смешанной производной в (38) получим аналогично (39)

^(0+ /,*) = ] 1т(с;,т)Л—ас!а, где =

ЗсЭг ' ЗтЗо 2 ЗтЗст ' дах '

Значения дт определяются методом коллокаций по краевому условию (4). Условие 1т(г(а+/)+г7г(т)=0 выполняется за счет выбора вида искомой функции.

После определения частных производных производится шаг по времени

по методу предиктор-корректор второго порядка точности. Далее снова повторяется процесс вычисления огд/Зст, дгА/дт. и т.д.

В р. 4.2 рассмотрена плоская нестационарная задача ЭХО с помощью ЭИ, представляющего собой фольгу со щелью ширины 21 (рис.6,б). Конформное отображение >у(х) осуществляется формулой (34).

Функцию г(х) представим в виде суммы типа (35)

2(х>х) = + + пМЛ^ + гд(х,т). (40)

Здесь т](т) - искомый параметр. Геометрическое уравнение

/ = 5(т)у(т) ++ гд(у(т)+ /,т), (41)

где у(т) - образ точки С на плоскости % (рис. 7,г), определяемый уравнением

£ = ,(т) - т,(т£»1Г2 + ^(у(г)+ /,,)« 0. (42)

ост 2 2 За

Параметры г)(т) и у(т) определяются на каждом временном шаге путем решения системы уравнений (41), (42).

Численно задача решается аналогично предыдущей с использованием сплайна, интеграла Шварца и метода предиктор-корректор.

На рис. 13 показаны формы обрабатываемой поверхности при различном времени обработки при 1-2.

а б

Рис. 13. Формы обрабатываемой поверхности: а - в системе координат, связанной с поверхностью анода; б - в неподвижной системе координат (Лт=5)

Исследование показало, что зависимость логарифма безразмерной скорости растворения = ~\^8у/5т\ в верхней точке выступа от т близка к линейной. Тем самым, стационарная форма формируется по экспоненциальному закону у{х) м у51 -Се~^х. Определим параметр X по разностной формуле численного дифференцирования рассмотренной зависимости. Полученное для 1=2 значение л=0,444145±КГб, для 1=3 Х.=0,10б487±10"6.

В р. 4.3 рассмотрена нестационарная обработка плоским ЭИ с изолированной тыльной поверхностью. Отображение н>(х) (рис. 9,в, 7,г):

2/.

>у = —1п п

( \-У2

(а + Ю,1)=/сЬ^ + .(43)

Зет ' ' 2 I, 2 2

При решении задачи с изоляцией изменение метода заключается в замене правой части уравнения (4) - ду/да на выражение (43).

Нестационарное решение 1-го типа, устанавливающееся к стационарной форме конечной высоты, иллюстрируется на рис. 14,а для /=1. Нестационарные решения 2-го типа показаны на рис. 14,6 для 1=2.

а б

Рис. 14. Формы обрабатываемой поверхности: а - при /=1; б- при 1=2 (Ат=5)

При заглублении ЭИ в материал заготовки растворение в верхней части гребешка прекращается и образуется финальная форма. На рис. 15,а представлены зависимости величины Ду(/) растворенного материала (в отсчете от исходной поверхности заготовки) в верхней части формы.

В р. 4.4 для приближенного вычисления предельных значений, уточнения полученных результатов и оценки их погрешности применяется фильтрация

численных данных, полученных при различном количестве узловых точек.

Рис. 15. а - зависимость параметра финальной формы от 1)6- результаты фильтрации и оценки погрешности параметра А, для 1=2;

Результаты фильтрации приведены на рис. 15,6 в виде зависимостей - = )ДШ|, (где - предельные значения, определяемые для

каждого 1 приближенно при фильтрации) от безразмерного времени т. Номером О обозначены результаты прямого вычисления, номерами 1-3 результаты первой, второй и третьей фильтрации. В результате фильтрации значение % удается уточнить до 6 значащих цифр.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны одномерная математическая модель течения электролита в МЭП, возникающего при импульсной ЭХО при неподвижном и колеблющимся ЭИ, учитывающая газовыделение и нагрев электролита в МЭП, и позволяющая определить как изменение электропроводности в течение импульса, так и иол-ноту замены электролита в паузе, а также предсказать возможность пробоя МЭП и оценить погрешность формообразования.

2. Решены задачи стационарной обработки ЭИ со щелью с изоляцией и без изоляции на тыльной стороне ЭИ. Показано, что в задаче с изоляцией в зависимости от соотношения геометрических размеров возможны два типа решений: конечной высоты или с вертикальной асимптотой. Найдено критическое значение ширины щелевого зазора на ЭИ.

3. Найдены усредненные по времени и пространству параметры потока электролита, дающие возможность проводить исследования формообразования на основе идеальной модели обработки на постоянном токе. Разработаны видоизмененные численно-аналитические методы решения нестационарных задач, позволяющие на каждом временном шаге определять положение особых точек. Решены нестационарные задачи обработки ЭИ со щелью (с изоляцией и без нее), найдены временные зависимости установления стационарных и финальных форм.

4. С помощью методов фильтрации численных результатов найдены закономерности и временные параметры, характеризующие скорость установления при установлении стационарных и финальных форм обрабатываемой поверхности.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ

В журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК

1. Розенман A.A., Поречный С.С. Численное моделирование гидродинамики весомой жидкости с помощью программно-исследовательского комплекса // Вестник УГАТУ (сер. Управление, вычислительная техника и информатика). -Уфа: УГАТУ, 2007. - Т. 9, №5 (23). - С. 108-113.

2. Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Моделирование погрешности и численная фильтрация при решении краевых и смешанных задач // Вестник УГАТУ (сер. Управление, вычислительная техника и информатика), 2008. Т. 11, №1 (28).-С. 181-188.

3. Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Применение методов многокомпонентного анализа для решения некорректных задач // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2008. - №6(69). - С. 89-96.

4. Житников В. П., Зиннатуллина O.P., Поречный С.С., Шерыхалина Н.М. Особенности установления предельных решений нестационарных осесимметричных задач Хеле-Шоу. // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. - Т. 50. -№4. - С. 87-99.

5. Житников В. П. , Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Об одном подходе к

практической оценке погрешностей численных результатов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2009. - №3(80). - С. 105-110.

В других изданиях

6. Поречный С.С., Муксимова P.P. Механизм возникновения струйности на поверхности детали при импульсной электрохимической обработке вибрирующим электрод-инструментом // Гидродинамика больших скоростей: сб. труд. X Междунар. научн. школы. - Чебоксары: ЧПИ МГОУ, 2008. - С. 295-302.

7. Житникова Н.И., Поречный С.С., Федоров В.А. Моделирование электрохимического растворения слоя металла на изоляторе // Компьютерные науки и информационные технологии: матер. 8 Междунар. конф. CSIT'2006. Карлсруэ, Германия, 2006. Том 2. - С. 135-137. (опубл. на англ. яз.)

8. Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Различные методы ускорения сходимости рядов и способы их контроля // Компьютерные науки и информационные технологии: матер. 9 Междунар. конф. CSIT'2007. Уфа, 2007. - Том 4. - С. 8689. (опубл. на англ. яз.)

9. Шерыхалина Н.М., Поречный С.С., Маннапов А..Р., Гордеев A.A. Моделирование электрического поля в пространстве между пластиной и плоскостью // Компьютерные науки и информационные технологии: матер. 9 Междунар. конф. CSIT'2007. Уфа, 2007. - Том 3. - С. 245-249. (опубл. на англ. яз.)

10. Шерыхалина Н.М., Поречный С.С., Маннапов А.Р., Житникова Н.И. Моделирование электрохимической обработки сегментным электродом-инструментом // Компьютерные науки и информационные технологии: матер. 9 Междунар. конф. CSIT2007. Уфа, 2007. - Том 3. - С. 250-252.(опубл. на англ. яз.)

11. Ураков А.Р., Гордеев A.A., Поречный С.С. Решение задач об автомодельной ЭХО с помощью гидродинамической аналогии // Труды Института механики УНЦ РАН - Уфа: Нефтегазовое дело, 2008. - Вып. 6. - С. 150-155.

12. Житникова Н.И., Гордеев A.A., Поречный С.С. Моделирование электрохимического растворения слоя металла на изоляторе // Принятие решений в условиях неопределенности: межвуз. науч. сб. - Уфа: УГАТУ, 2008. - Вып. 4. - С. 65-69.

13. Поречный С.С. Методы повышения надежности оценки погрешности численных результатов // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Математика: сб. стат. Всерос. молодежи, школа-конф. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2008. - Т.2. - С. 257-266.

14. Поречный С.С., Маннапов А.Р. Применение методов ТФКП для решения инженерных задач ii Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Математика: сб. стат. Всерос. молодежи, конф. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2008. - Т.2. - С. 249-257.

15. Поречный С.С., Муксимова P.P. Компьютерное моделирование образования макродефектов при электрохимической обработке. // Компьютерные науки и информационные технологии: матер. 10 Междунар. конф. CSIT'2008, Анталия, 2008. - Том 2. - С. 218-220 (опубл. на англ. яз.).

16. Свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ РФ № 614474. Программа идентификации математической модели погрешностей численных результатов методом фильтрации / В.П.Житников, Н.М. Шерыхалина, С.С. Поречный.

ПОРЕЧНЫЙ Сергей Сергеевич

ГИДРОД ИНАМИЧЕСКОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ВЫСТУПОВ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 19.11.2009. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр. - отг. 1,0. Уч. - изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 577

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул.К. Маркса, 12

Введение

Глава 1. Обзор литературы и общая постановка задачи

1.1. Подходы к моделированию ЭХО

1.2. Постановка плоской задачи

1.3. Стационарные решения

Глава 2. Решение задачи об импульсной электрохимической обработке в одномерном приближении

2.1. Обработка плоским неподвижным ЭИ

2.2. Обработка плоским неподвижным ЭИ с прямоугольным выступом

2.3. Обработка плоским подвижным ЭИ

Глава 3. Решения задач стационарной и начальной ЭХО

3.1. Стационарное решение задачи ЭХО плоским ЭИ со щелью

3.2. Стационарное решение задачи ЭХО плоским ЭИ со щелью с изолированной верхней поверхностью

3.3. Задачи начального формообразования

Глава 4. Решение задач нестационарной ЭХО

4.1. Нестационарная обработка плоским полубесконечным ЭИ

4.2. Нестационарная обработка плоским ЭИ со щелью

4.3. Нестационарная обработка плоским ЭИ с изолированной тыльной поверхностью

4.4. Уточнение и оценка погрешности полученных результатов 105 Заключение 114 Литература

Развитие современного машиностроения и приборостроения приводи т непоявлению новых высокопрочных материалов, усложнению конструкций изделий, повышению технических требований к точности и качеству обрабатываемых поверхностей. Механическая обработка обладает целым рядом недостатков, в частности приводит к быстрому износу рабочего инструмента, что затрудняет формирование сложнофасонных поверхностей, оказывает негативное силовое и температурное воздействие на обрабатываемую деталь в зоне обработки. Технологические показатели при механической обработке в значительной степени зависят от физико-механических свойств обрабатываемого материала.

В качестве одного из способов повышения эффективности газотурбинной техники может применяться установка уплотнений газовоздушного тракта, которые позволяют существенно сократить утечки рабочей среды между разделяемыми полостями.

Наиболее рациональным способом изготовления уплотнений следует признать применение методик импульсной электрохимической обработки (ЭХО), основные преимущества которой формулируются следующим образом: отсутствие поверхностного изменённого слоя, долговечность инструмента, низкие значения параметров шероховатости при работе на высоких амплитудных плотностях тока и высокая точность копирования формы и повторяемость процесса при работе на достаточно малых межэлектродных зазорах (МЭЗ) (1. .20 мкм) по схеме с вибрацией электрода-инструмента (ЭИ).

Впервые ЭХО была предложена в 1928 году отечественными учеными В.Н. Гусевым и JI.A. Рожковым. Первые задачи расчета границ электродов при размерной ЭХО были рассмотрены сразу же после начала внедрения метода в машиностроении. Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Ф.В. Седыкин, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, В.Д. Кащеев, Г.И.

Корчагин, А.Х. Каримов, Ю.С. Волков, А.И. Дикуссар, В.В. Клоков, JLM. Котляр, Е.И. Филатов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, Г.А. Алексеев, JI.M. Щербаков, В.П. Смоленцев, A.JI. Крылов, B.C. Крылов, Г.Р. Энгельгарт, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, В.П. Житников, J.A. McGeogh, J. Kozak и другие ученые.

При ЭХО межэлектродное пространство (МЭП) заполняется электролитом, к электродам подключается источник тока и происходит растворение материала анода со скоростью, пропорциональной плотности тока (и напряженности электрического поля) в данной точке анодной поверхности. Деталь необходимой формы можно получить при выборе соответствующей формы ЭИ и определении траектории его движения. Проточность электролита необходима для эвакуации загрязняющих продуктов реакции и выделяющегося вследствие электролиза воды газа. Для использования технологии импульсной ЭХО для изготовления уплотнений необходимо иметь ЭИ, имеющий форму тонкой перфорированной пластины с отверстиями различных размеров и форм.

Прецизионная ЭХО применяется в авиационной, медицинской, инструментальной промышленности а также находит свое применение в нанотехнологиях.

Расчет электрических полей при допущении их потенциальности аналогичен расчету полей потенциальных течений жидкости. Гидродинамическая аналогия уравнений и граничных условий для решения этих уравнений облегчает формулировку краевых задач для различных схем ЭХО. Данное обстоятельство позволяет разработать эффективные методы расчета электрохимического формообразования посредством применения мощных гидродинамических методов расчета, основы которых заложены в работах М.А. Лаврентьева [51,52], М.И. Гуревича [10], П.Я. Полубариновой-Кочиной [59] и др.

Однако на сегодняшний день имеется целый пласт нерешенных задач научного и технологического плана, ограничивающих использование технологических преимуществ импульсной ЭХО при изготовлении высокоэффективных газовоздушных уплотнений.

Учитывая необходимость моделирования нового поколения газовоздушных уплотнений, тема работы является новой и актуальной.

Появившиеся и апробированные в последние десятилетия новые технологические схемы ЭХО на импульсном токе, синхронизированном с вибрацией электродов, позволяют улучшить обмен электролита, эвакуацию продуктов реакции и значительно увеличить точность ЭХО. В то же время возникает проблема расчета форм обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО. Это связано с тем, что в отличие от механического процесс ЭХО происходит в бесконтактном режиме и скорость съема материала заготовки в каждой точке поверхности определяется плотностью тока. Поэтому форма следа на заготовке при ЭХО не повторяет полностью профиль ЭИ. Для расчета формы необходимо учитывать различные факторы, связанные с физико-химическими особенностями процесса, а также распределение электрического поля в пространстве между электродами. Помимо того, исследование формообразования свободной поверхности существенно осложняется необходимостью проведения сложных расчетов процесса установления предельных конфигураций.

В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные факторы, но при этом не требующих больших затрат машинного времени на расчет формообразования.

Краевые задачи для уравнения Лапласа с подвижными границами, когда скорость движения границы пропорциональна градиенту потенциала принято называть задачами Хеле-Шоу со свободными границами. Решения этих задач могут интерпретироваться как течения вязкой жидкости, процессы растворения металлов при электрохимической обработке и другие процессы.

Известны решения задач Хеле-Шоу, полученные на основе методов конечных разностей и конечных элементов, граничных элементов. Необходимо отметить, что разработанные ранее методы не обладают достаточной устойчивостью к накоплению погрешности при расчете длительных переходных процессов. В данной работе для исследования временных характеристик процессов установления стационарной и финальной конфигураций применяются и адаптируются численно-аналитических методы на основе теории функций комплексного переменного (ТФКП).

Одной из основных проблем математического моделирования является разработка методов оценки погрешности и обоснования достоверности полученных оценок. Увеличение количества арифметических операций для решения сложных задач приводит к накоплению погрешности округления, что требует разработки методов ее контроля. В данной работе для этих целей применяются методы фильтрации численных результатов, основанные на одновременном использовании данных, полученных при различном числе узловых точек сетки. Целью исследований является:

Определение закономерностей формообразования выступов на границах в нестационарных задачах Хеле-Шоу при длительных переходных процессах, приводящих к формированию предельных конфигураций.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать приближенную математическую модель, описывающую течение электролита в МЭП, которое возникает при импульсной ЭХО неподвижным и колеблющимся ЭИ. Полученная модель должна учитывать газовыделение и нагрев электролита в МЭП. Найти параметры, позволяющие проводить исследования формообразования на основе модели обработки на постоянном токе.

• Решить задачи стационарной обработки ЭИ со щелью с изоляцией и без изоляции на тыльной стороне ЭИ, описывающие предельные конфигурации.

• Модифицировать численно-аналитические методы решения нестационарных задач и решить нестационарные задачи обработки ЭИ со щелью.

• Оценить погрешности полученных численных значений.

Диссертация (130 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (127), содержит 61 рисунок.

Выводы

Таким образом в данной главе проведена модификация численно-аналитического метода и решены три нестационарные задачи ЭХО с плоским ЭИ со щелью.

Полученные результаты дали возможность провести исследование форм выступов, получающихся при различных соотношениях геометрических и физических параметров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации были рассмотрены задачи электрохимического формообразования выступов на обрабатываемой поверхности, моделирующие процессы изготовления уплотнений газотурбинных двигателей.

В качестве основных выводов по диссертационной работе можно выделить следующее:

1. Разработана одномерная математическая модель течения электролита в МЭП, возникающего при импульсной ЭХО при неподвижном и колеблющимся ЭИ, учитывающая газовыделение и нагрев электролита в МЭП, и позволяющая определить как изменение электропроводности в течение импульса, так и полноту замены электролита в паузе, а также предсказать возможность пробоя МЭП и оценить погрешность формообразования.

2. Методами ТФКП решены задачи стационарной обработки ЭИ со щелью с изоляцией и без изоляции на тыльной стороне ЭИ, найдены формы выступов, возникающих на обрабатываемой поверхности. Показано, что в задаче с изоляцией в зависимости от соотношения геометрических размеров возможны два типа решений: конечной высоты или с вертикальной асимптотой. Найдено выражение критического значения отношения ширины щелевого зазора на ЭИ к величине торцевого зазора.

3. Найдены усредненные по времени и пространству параметры потока электролита, дающие возможность проводить исследования формообразования на основе идеальной модели обработки на постоянном токе. Разработаны видоизмененные численно-аналитические методы решения нестационарных задач, позволяющие на каждом временном шаге определять положение особых точек. Решены нестационарные задачи обработки ЭИ со щелью (с изоляцией и без нее), найдены временные зависимости в процессах установления стационарных и финальных форм.

4. С помощью методов фильтрации численных результатов найдены закономерности и временные параметры, характеризующие скорость установления стационарных и финальных форм обрабатываемой поверхности. Найдены оценки погрешности полученных численных значений, показавшие, что для получения параметров стационарных и финальных форм с заданной точностью искомые при решении величины (координаты обрабатываемой поверхности в узловых точках) должны иметь удвоенную точность (количество точных значащих цифр).

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для исследования нестационарных процессов электрохимического растворения, позволяют существенно расширить класс ^ исследуемых процессов формообразования границ в задачах Хеле-Шоу.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987.-598 с.

2. Бенерджи П.К., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. — 494 с.

3. Бреббия К., Теллес Ж, Вроубел JI. Метод граничных элементов. — М.: Мир, 19.87.

4. Волков Ю.С., Мороз И.И. Математическая постановка простейших стационарных задач электрохимической обработки металлов // Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца, 1965. — № 5-6. -С. 59-65.

5. Воронкова А.И. Влияние кавитации и переменности выхода по току на стационарное электрохимическое формообразование: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1997. — 18 с.

6. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования двугранным катодом для произвольной зависимости выхода по току // Теория и практика электрофизикохимических методов обработки деталей в авиастроении. Казань: КАИ, 1994. — С.32—35.

7. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования катодом-инструментом с криволинейной границей для произвольной зависимости выхода по току. // Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чебоксары: Чув. Ун-т, 1993. - С.70-74.

8. Галин JI.A. Нестационарная фильтрация со свободными границами // ДАН СССР. Т. 47, 1945. - С. 246-249.

9. Ю.Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. — 536 ' с.

10. П.Давыдов А. Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. М.: Наука, 1990. - 272 с.

11. Дикуссар, А. И., Энгельгарт, Г. Р., Петренко, В. И., и др. Электродные процессы и процессы переноса при электрохимической размерной обработке металлов. Кишинев: Штиинца, 1983. - 207 с.

12. Евдокимов В.В., Евдокимова Е.Ю., Клоков В.В., Филатов Е.И. Численный расчет эволюции анодной поверхности и гидродинамического поля при ЭХО // Электрохимические и электрофизические методы обработки' материалов в авиастроении. Казань, 1994. - С.44-48.

13. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функции комплексного переменного: Учебное пособие. — Уфа: УГАТУ, 1994. 106 с.

14. Житников В.П., Зайцев А.Н. Импульсная электрохимическая размерная обработка. М.: Машиностроение, 2007. - 407 с.

15. Житников В.П., Зайцев А.Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки. — Уфа: УГАТУ, 1996. — 221 с.

16. Житников В.П., Зиннатулина О.Р., Поречный С.С., Шерыхалина Н.М.' Особенности установления предельных решений нестационарных осесимметричных задач Хеле-Шоу // ПМТФ. 2009. - Т. 50, №4. - С. 8799.

17. Житников В.П., Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической размерной обработки // Электронная обработка материалов. 1999. - №2(196). - С. 4-9.

18. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. СПб.: 2009. - №3(80). - С. 105-110.

19. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ РФ № 614474. Программа идентификации математической модели погрешностей численных результатов методом фильтрации.

20. Житников В. П., Шерыхалина Н.М. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа. — Уфа: Гилем, 2009. 336 с.

21. Житников В.П., Федорова Г.И., Зиннатуллина О.Р. Почти аналитический метод решения задач нестационарного электрохимического формообразования // Тез. докл. 2-й междунар. науч. школы-сем. «Гидродинамика больших скоростей» Чебоксары: 2004. - С. 158-160.

22. Зайцев А.Н. и др. Высокоскоростное анодное растворение в условиях нестационарности электродных потенциалов. — Уфа: Гилем, 2005. 219 с.

23. Зайцев А.Н., Житников В.П., Файфер H.JI. К вопросу о расчете параметров электрохимического формообразования сложнофасонных деталей непрофилированными электрод-инструментами // Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца, 1989. — №5. — С. 3-6.

24. Зиннатуллина О.Р. Методы решения осесимметричных стационарных задач электрохимического формообразования // Матер, науч. практ. конф.

25. Вузовская наука — России». — Набережные Челны: 2005. — Часть 1. — С. 108-111.

26. Идрисов Т.Р. Влияние дополнительной поляризации электродов на точность и качество поверхности при электрохимической обработке" микросекундными импульсами тока: Дисс. канд. техн. наук. — Уфа: 2003.

27. Идрисов Т.Р., Зайцев А.Н., Амирханова Н.А. Исследование электродных потенциалов в нестационарных условиях при электрохимической обработке // Электронная обработка материалов. 2001. № 1. - С. 4-8.

28. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования (монография). — Казань: КГУ, 1990.-387 с.

29. Клоков В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1979. - Вып. 16. - С. 94-102.

30. Клоков В.В. Метод гидродинамического расчета течения в зазоре при электрохимической обработке // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Казанск. ун-т, 1987.-Вып.23. С. 130-137.

31. Клоков В.В. Об одном методе расчета стационарного электрохимического формообразования // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1975. - Вып.12. - С. 93-101.

32. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование двугранным катод-инструментом. Казань: Казанск. ун-т, 1989. - 28 с. — Деп. в ВНИИТЭМР 03.07.89.-№188.

33. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казань: Казанск. ун-т, 1984. - 80 с.

34. Клоков В.В., Рябчиков М.Е., Шкарбан А.Ю. Модели гидродинамического поля в межэлектродном зазоре. // Сборник трудов Всерос. науч.-техн. конф. «Современная электротехнология в машиностроении». — Тула: 1997. С.52-53.

35. Клоков В.В., Салихов А.Н. Стационарное электрохимическое формообразование и гидродинамика в окрестности датчика зазора. — Казань: Казанск. ун-т, 1989. 30 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 24.07.89. - №209.

36. Клоков В.В., Шишкин С.Е. Стационарное анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Казанск. ун-т, 1985. — Вып.22. С. 117-124.

37. Коннор Дж., Бребия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. -М.: Мир, 1981.

38. Котляр JI.M. Миназетдинов Н.М. Об одном методе расчета газожидкостного слоя при стационарной электрохимической обработке// Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во КГУ, 1993. Вып. 28. -С. 51-58.

39. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. — М.: Academia, 2005. — 200 с.

40. Котляр JI.M., Миназетдинов Н.М. Определение формы анода с учетом свойств электролита в задачах электрохимической размерной обработки металлов // ПМТФ. 2003. - Т. 44, №3. - С. 179-184.

41. Котляр JI.M., Миназетдинов Н.М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: 2004. — Т. 45, №4, - С. 7— 12.

42. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

43. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. - 408 с.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. -М.: Наука, 1988.-733 с.

45. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1978. — 736 с.

46. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. мат.: фундам. направление. — 1988. Т. 27. - С. 131-228.

47. Маклаков Д.В., Шишкин С.Е. Метод возмущений в задачах стационарной электрохимической обработки // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Казанск. ун-т, 1987. Вып. 23. - С. 164-168.

48. Миназетдинов Н.М. Учет кавитации при стационарном электрохимическом формообразовании.: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань: 1994. - 15 с.

49. Полубаринова-Кочина П.Я. Нестационарное движение в теории фильтрации. // ПММ. 1945. Т. 9. - С. 79-90.

50. Поречный С.С. Методы повышения надежности оценки погрешности численных результатов // Всерос. молодежи. школа-конф. «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Математика». Уфа: РЩ БашГУ, 2008. -Т.2. - С. 257-266.

51. Поречный С.С. Моделирование электрохимического формообразования элементов уплотнения // Научные труды Междунар. молодежи, научной конф. «XXXIV Гагаринские чтения». М.: МАТИ, 2008. - Т.1. - С. 182184.

52. Поречный С.С., Маннапов А.Р. Математическое моделирование операции электрохимического прошивания круглого отверстия // Сб. тез. докл. Всерос. молодежи, научн. конф. «Мавлютовские чтения». — Уфа: УГАТУ, 2008.-Т.5.-С. 61-62.

53. Поречный С.С., Маннапов А.Р. Моделирование электрохимической обработки сплайн-электродом-инструментом // Сб. тез. докл. Всерос. молодежи, научи, конф. «Мавлютовские чтения». — Уфа: УГАТУ, 2007. — Т.5.-С. 30-31.

54. Поречный С.С., Маннапов А.Р. Применение методов ТФКП для решения инженерных задач // Сб. стат. Всерос. молодежи, конф. «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Математика». Уфа: РИЦ БашГУ, 2008. - Т.2. - С. 249-257.

55. Поречный С.С., Маннапов А.Р. Электрохимическая обработка' электродом-инструментом с изоляцией// Сб. тез. докл. Всерос. молодежи, научн. конф. «Мавлютовские чтения». Уфа: УГАТУ, 2007. - Т.5. — С. 3233.

56. Прудников А.П., Бычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука. - 1981.-800 с.

57. Суворова Г.С., Энгельгарт Г.Р., Зайдман Н.Г. Одномерное приближение в задачах электрохимического формообразования деталей машин // Электронная обработка материалов. — 1982. — №6. — С.17—23.

58. Ураков .А.Р., Гордеев А.А., Поречный С.С. // Труды Института механики УНЦ РАН.- Уфа: Нефтегазовое дело, 2008. Вып. 6. - С. 150-155.

59. Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Метод численно-аналитического решения задач нестационарной размерной ЭХО // Труды Междунар. науч. конф. «Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности 2000». - Уфа: УГАТУ, 2000. - С. 251-254.

60. Ураков А.Р., Гуцунаев А.В. Расчет формы поверхности при нестационарной электрохимической обработке проволочным электродом // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. — Т. 8, вып. 2.-С. 700-701.

61. Федорова Г.И. Методы л расчета формообразования поверхности при нестационарной электрохимической обработке: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Уфа: 2004. - 158 с.

62. Филатов Е.И. Расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита // Электрохим. и электрофиз. методы обработки материалов в авиастроении. Казань: Казанск. авиац. ин-т, 1990. — С. 64— 68.

63. Филатов Е.И. Учет влияния неравномерности поляризации электродов на формообразование при ЭХО // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1987. -Вып.23. - С. 221-225.

64. Шерыхалина Н.М., Зиннатуллина О.Р., Поречный С.С. Многокомпонентный анализ результатов численного решения задач Хеле

65. Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Применение методов многокомпонентного анализа для решения некорректных задач // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. СПб: 2008. - №6(69) - С. 89-96.

66. Шкарбан А.Ю. Гидродинамика в ячейке при электрохимической размерной обработке // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Унипресс, 1999. С.190-191.

67. Шкарбан А.Ю. Разработка методов расчета электрохимического формообразования и гидродинамики течения электролита в зазоре: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казань: 2000. — 24 с.

68. Ястребов В.Н., Каримов А.Х. Математическое моделирование нестационарного процесса электрохимического скругления кромок деталей ГТД // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов. Казань: КАИ, 1989. - Вып. 1. - С.23-34.

69. Bortels L., Purcar М., Bart Van den Bossche, Deconinck J. A user-friendly simulation software tool for 3D ECM. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. - V. 3. - PP. 486^192.

70. Christiansen S., Rasmussen H. Numerical solutions for two-dimensional annular electrochemical machining problems // J. Inst. Maths. Applies. 1976. -№18,-PP. 295-307.

71. Craster R.V. Two related free boundary problems. IMA J. Appl. Math. 1994. -№52.-PP. 253-270.

72. Cummings L. J. Howison, S. D., King J. R. Two-dimensional Stokes and Hele-Shaw flows with free surfaces // European J. Appl. Math. 10, 1999. PP. 635680.

73. Elliott С. M., Ockendon J. R. Weak and variational methods for moving boundary problem // Pitman, London, 1992.

74. Fedorova G.I., Zhitnikov V.P., Zinnatullina O.R. Simulation of Non-Stationary Processes of Electrochemical Machining //Journal of Materials Processing / Technology. Elsevier, UK, 2004. - V. 149. - PP. 398^103.

75. Gustafsson В., Vasil'ev A. Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells. // Stockholm-Valparaiso, 2004. — 189 p. www.math.kth.se/~gbjorn/

76. Hele-Shaw H. S. On the motion of a viscous fluid between two parallel plates. // London: Trans. Royal Inst. Nav. Archit. 40 (1898) 21.

77. Howison S.D., Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems. // Eur. J. Appl. Math. 3 (1992) PP. 209-224.

78. Howison S.D., King J.R. Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion. // IMA J. Appl. Math 42, 1989. PP. 155-175.

79. Howison S.D., Ockendon J.R. and Lacey A.A. Singularity development in. moving boundary problems. // Q. J. Mech. Appl. Math. 38 (1985). PP 343360.

80. Kenney, J. A., Hwang, G. S. Electrochemical machining with ultrashort voltage pulses: modelling of charging dynamics and feature profile evolution // Nanotechnology, 16(2005). Inst. Phys. Publ., UK. PP. 309-313.

81. King J. R., Development of singularities in some moving boundary problems // Euro. J. Appl. Math. 6 (1995). No. 5. - PP. 491-507.

82. Konig W., Humbus H.-J. Mathematical Model for the Calculation of the Contour of the Anode in electrochemical Machining // Cirp. Annals, 1977. — V. 25, No l.-PP. 83-87.

83. Kozak J., Bodzinski A., Engelgart G.R., Davidov A.D. Mathematical Moddeling of Electrochemical Machining // Proceedings of International Symposium for Electromachining (ISEM-9). -Nagoya, 1989. PP. 135-138.

84. McGeough J.A., Principles of Electrochemical Machining. // London: Chapman and Hall, 1974. 290 p.

85. McGeough, J. A., Rasmussen, H. On the derivation of the quasi-steady model in electrochemical machining // J. Inst. Maths Applies, 1974. Vol. 13. pp. 13-21.

86. Novak P., Rousaz I., Kimla A. etc. Mathematical simulation of electrochemical machining // Материалы междунар. шк. «ЭХОМ-88»,. Любневицы (ПНР), 1988.-С. 100-115.

87. Ockendon J. R., Howison S. D. Kochina and Hele-Shaw in modern mathematics, natural sciences, and technology // J. Appl. Math. Mech. 2002. — Vol. 66, No. 3.-PP. 505-512.

88. Pandey J. Finite Element Approach to the two-dimensional Analysis of ECM//Precis. Eng. 1980.-V. 2, No l.-PP. 23-28.

89. Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of Groundwater Movement. // Princeton: Princeton Univ. Press. 1962. — 350 p.

90. Porechny S.S., Mulcsimova R.R. Computer modeling of macrodefects. formation during electrochemical machining. // Proceedings of 10-th Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT'2008), Antalya, Turkey, 2008. Vol. 2. - PP. 218-220.

91. Purcar M., Bortels L., Bart Van den Bossche, Deconinck J. 3D electrochemical machining computer simulations. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, 2004. V. 3. - PP. 472-478.

92. Richardson S. Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel. // J. Fluid Mech., 56 (1972). No. 4. -PP. 609-618.

93. Richardson S. On the classification of solutions to the zero surface tension model for Hele-Shaw free boundary flows. // Quart. Appl. Math., 55 (1997). -No. 2.-PP.313-319.

94. Saffman P. G. Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. // Proc. Royal Soc. • London, Ser. A, 245 (1958). PP. 281, 312-329.

95. Saffman P. G., Taylor G. I. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 17 (1959). No. 3. -PP. 265-279.

96. Urakov A.R., Gutsunaev A.V. Numerical method of on nonstationary electrochemical machining problems solution // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2003. Ufa, Russia, 2003. Vol. 2 - PP. 43.

97. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. — V. 3.-PP. 466-471.

98. West A., Madore C., Moltosz M., Landolt D. Shape changes during through-mask electrochemical micromachining of thin metal films. // J. Electrochem. Soc., 1992. №2, 139. PP. 499-506

99. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. Simulation of non-stationary processes of electrochemical machining // Journal of Materials Processing Tech., Elsevier, 2004. Vol. 149/1-3. - PP. 398-403.