Применение гидродинамической аналогии для моделирования анодного растворения при прецизионной электрохимической обработке

Ошмарина, Елена Михайловна

Применение гидродинамической аналогии для моделирования анодного растворения при прецизионной электрохимической обработке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Ошмарина, Елена Михайловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Уфа МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Применение гидродинамической аналогии для моделирования анодного растворения при прецизионной электрохимической обработке»

Автореферат диссертации на тему "Применение гидродинамической аналогии для моделирования анодного растворения при прецизионной электрохимической обработке"

На правах рукописи

ОШМАРИНА Елена Михайловна

ПРИМЕНЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ АНОДНОГО РАСТВОРЕНИЯ ПРИ ПРЕЦИЗИОННОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ

ОБРАБОТКЕ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 И ЮН 2011

Уфа —2011

4848320

Работа выполнена на кафедре компьютерной математики Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

ЖИТНИКОВ Владимир Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Спивак Семен Израилевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Миназетдинов Наиль Миргазиянович,

Ведущее предприятие Казанский (Приволжский) федеральный университет

Защита диссертации состоится 2011 г. в часов на

заседании диссертационного совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32, ауд. 216 физико-математического корпуса

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " 2011

года.

Ученый секретарь диссертационного совета, •— Л.А. Ковалева

д-р. техн. наук, проф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Решения задач Хеле-Шоу могут интерпретироваться как потоки в пористых средах (полагая, что они описываются законом Дарси), движение границы фазового перехода (с приложением в металлургии), процессы напыления металлов, анодного растворения при электрохимической обработке (ЭХО). Приложение в области ЭХО позволяет рассмотреть новые задачи, например, с переменным выходом по току, и этим дополнить теорию задач Хеле-Шоу. При решении задачи ЭХО векторное поле напряженностей можно получить из решения гидродинамической задачи о течении жидкости с размыванием границы (берега) путем поворота на л/2 вектора скорости жидкости.

При моделировании ЭХО необходимо учитывать физико-химические особенности процесса, а также распределение электрического поля в межэлектродном пространстве (МЭП). Помимо того, получение заданной формы поверхности детали связано с необходимостью растворения значительного припуска в ходе установления предельных конфигураций. Указанные факторы влияют на точность копирования и повторяемость результатов обработки.

Появившиеся и апробированные в последнее время новые технологические схемы ЭХО на импульсном биполярном токе, синхронизированном с вибрацией электрода-инструмента (ЭИ), позволяют увеличить локализацию процесса растворения и значительно увеличить точность ЭХО. Такие ЭХО применяется в прецизионных: субмикронной и нано- технологиях в авиационной, медицинской, инструментальной промышленности.

В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные факторы и особенности прецизионных технологий.

В данной работе для исследования процессов ЭХО применяются численно-аналитические методы на основе теории функций комплексного переменного (ТФКП). Предлагается видоизмененная постановка задачи электрохимического формообразования. Для моделирования прецизионного процесса анодного растворения используется скачкообразная функция выхода по току, определяющая скорость движения границы анода. Это приводит к возникновению на обрабатываемой поверхности участков трех типов: активного растворения, отсутствия растворения (при малой плотности тока) и переходного между ними участка, на котором плотность тока равна критическому значению.

Целью исследований является:

Разработка методов решения задач Хеле-Шоу с ограничениями на подвижность границ и исследование моделей прецизионной ЭХО для интерпретации экспериментальных данных.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать математическую модель, описывающую процесс прецизионной ЭХО на основе гидродинамической аналогии с использованием скачкообразной функции анодного выхода по току.

• На основе предложенной модели сформулировать задачи Хеле - Шоу в стационарной, нестационарной и квазистационарной постановках.

• Разработать методы решения поставленных задач.

• Исследование процессов формообразования на основе предложенной модели.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Построенная на основе гидродинамической аналогии математическая модель, позволяющая прогнозировать и контролировать процесс прецизионной ЭХО.

• Выделение на свободной границе участков с тремя типами краевых условий (стационарных, переходных и нерастворимых).

• Разработанные методы точного и численного решения задач Хеле-Шоу с ограничениями на подвижность границ.

• Результаты численного исследования решений задач Хеле-Шоу с различной конфигурацией твердой границы (ЭИ) и сопоставление с результатами эксперимента.

Научная новизна

• Разработанная математическая модель прецизионной ЭХО (аналога течения жидкости с размыванием границы), основанная на использовании скачкообразной функции анодного выхода по току, позволяет объяснить резкие очертания обработанной поверхности, не характерные для идеальной ЭХО.

• Разделение обрабатываемой поверхности на участки с разными условиями растворения позволяет объяснить природу реального явления.

• Разработанные методы дали возможность решения поставленных задач во всей области определения исходных параметров и оценить погрешность численного решения.

• Проведенные исследования позволили получить характеристики нестационарных процессов формообразования, играющих важную роль при разработке технологий ЭХО.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается корректным использованием математических и численно-аналитических методов, тестированием алгоритмов путем сравнения результатов, полученных разными способами, применением фильтрации для оценки погрешности численных данных. Практическая ценность

Автором поставлены и решены задачи моделирования прецизионной ЭХО, полученные результаты могут быть использованы при проектировании технологических процессов.

Работа проводилась по тематике госбюджетной НИР Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания». Значительная часть работы проводилась в содружестве с НИИ проблем теории и технологии электрохимической обработки. Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ.

Апробация работы

По основным результатам работы были сделаны доклады на межд. семин. «Компьютерные науки и информационные технологии» СЭГГ (Карлсруэ, 2006, Алталия, 2008); на Уфимской межд. матем. конф. (Уфа, 2007); на Всеросс. научных конф. «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2007-2011), на межд. научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2008); на Всеросс. зимних школах-семин. аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2008-2011); на межд. науч-но-техн. конф. «Образование и наука - производству» (Набережные Челны, 2010), на Росс. конф. «Многофазные системы: природа, человек, общество, технологии» (Уфа, 2010), на 9-ой молодежи, научн. школе - конф. «Лобачевские чтения - 2010» (Казань, 2010), на межд. конф. «Краевые задачи механики сплошных сред и их приложения» (Казань, 2010), на научном семин. «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование» (Чебоксары, 2011).

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в 19 публикациях, в том числе, в 3 статьях в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы

Диссертация (154 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (117 наименов.) и приложения, содержит 92 рисунка.

Во введении обоснованы цель и актуальность работы, кратко изложено содержание работы и сформулированы результаты, выносящиеся на защиту.

В главе 1 проведен обзор литературы и дана общая постановка задач с выводом краевых условий.

Процесс электрохимического растворения определяется законом Фарадея

где Уест - скорость электрохимического растворения; р - плотность обрабатываемого металла, ] - плотность тока; Еп - нормальная к границе анода составляющая напряженности электрического поля; т| - анодный выход по току; е — электрохимический эквивалент; к - электропроводность электролита.

В данной работе моделируются прецизионные технологии обработки, обладающие высокой степенью локализации процесса растворения. Локализация

при ЭХО характеризуется коэффициентом к[ос = ~ - -ж = (1 + ^ ).

У ест 4) \

Представление зависимости анодного выхода по току от напряженности в виде скачкообразной функции

согласуется с экспериментом, и как показано в данной работе, позволяет разработать новую математическую модель, характеризующуюся наличием на обра-

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

(1)

(2)

батываемой поверхности участков с разными типами краевых условий, описывающую процесс прецизионной ЭХО и объясняющую фактические результаты.

Для решения задач применяются методы теории функций комплексного переменного (ТФКП). Координаты точек границы определяются в параметрическом виде Да,/)=Да/)+Ща,<) (<з - действительный параметр, / - время). Проекции векторов скорости смещения точки <12!¿г и напряженности Е на нормаль к границе равны Уест = 1ш(е-'3 Еп = 1т(е~'Э£], где 9 - угол между касательной к границе и осью X. Напряженность Е = йШ/сН. - комплексный потенциал). Тогда в безразмерных переменных

и, 2 = 2/1, х-X/1, у = 7//, т = ¿пюСЛ/7\ч(ст) = г[кЕ„(а)]/ло , (3)

(где I/- напряжение на электродах; / - характерный размер), (1) примет вид

рической плоскости % на физическую), будем искать в классе аналитических функций. Тогда равенство (4) служит краевым условием для её определения на части границы, соответствующей поверхности анода.

При стационарном формообразовании обрабатываемая поверхность движется вместе с ЭИ со скоростью Уе,: 2(х,г)=£](х) + ^. Пусть / = £г|0(//|Ре<|, г = 2(1 = + тКеГ/|Ке(|. Тогда, если скорость ¥е1 направлена вертикально вниз, а 8 - угол наклона вектора напряженности к оси X, (4) принимает вид:

Согласно данному условию, на обрабатываемой поверхности могут иметь место зоны трех типов. В зоне первого типа напряженность за счет близости к ЭИ |£| >Ех= _/'[ /к. Согласно (2), при этом ?|(а) = 1, и образом соответствующей части границы на плоскости Лу/сЦ является часть окружности радиуса 1/2 с центром в точке (0,г/2). Образом второй зоны |Е| = Е^ на плоскости ¿Ау/^ является часть окружности с центром в начале координат (рис. 2,а). В третьей зоне < £[ растворения не происходит, так как ?|(сг) = 0, тогда в(а)=0 (или - к); этой зоне соответствует участок границы \mdwjdzi = 0.

В главе 2 решаются задачи стационарной и предельно-стационарной ЭХО со скачкообразной функцией выхода по току (2).

В разделе 2.1 приводится стационарное решение задачи ЭХО горизонтальным пластинчатым ЭИ (рис. 1 ,а), движущимся вертикально вниз с постоянной скоростью Уе1. Областью, соответствующей МЭП на плоскости комплексного потенциала, является полоса ширины II (рис. 1,6).

Производную &/Эт(х,т), (как и конформное отображение т) парамет-

£т|(а)»-тв(а).

(5)

У В ®

В' Iй С / я

А'

А 5

б А'

-и

Рис. 1. Формы области МЭП: а -на физической плоскости; б - на плоскости комплексного потенциала

Форма области на плоскости годографа напряжешюсти (рис. 2,а) Е = (¡'(¥¡¿2 = определена выше. Введем параметрические плоскости

¡1=Е()/Е и С,, области изменения которых показаны на рис. 2,б,в.

Функция /|(0 представляется в виде суммы известных функций с заданными особенностями, учитывающими свойства решения, и ряда Лорана

(6)

В'

Рис. 2. Формы областей: а-на плоскости годографа напряженности;

б, в - на параметрических плоскостях Согласно рис. 2,6,8, ^ -£0/£] ~ . Тогда *{(/?)= О, ¡¡{р) = 0. Отсюда

можно выразить с, и £>1. Производная с1\У!с1С> имеет вид

1 оо „2 т~\ [ \

• А у Р_[г2т-1 _к-2т+1)

У 7т-1 —7т-и v» ^ i '

с11У

ли

»-2 1 с _2т-1 -7т+\ С, -1 Чт=\Р ~Р

Поскольку Е = сШ'1с12 = £0/г,, то, с учетом (6) и (7), йЪ = — ^-с/ц.

(7)

(8)

Задача сводится к определению коэффициентов ряда Лорана (6) методом коллокаций по условию Ц - а - Е0 ¡Щ при С, ~ рею, 0 < ст < л и численному интегрированию (8) для расчета формы обрабатываемой поверхности.

При расчетах геометрические параметры относились к асимптотической

величине торцевого зазора 5 = и/Е0. Кривые 1-6 на рис. 3 ,а соответствуют а=1.0; 1.5; 2; 3; 5; ао. Из рис. 3,а видно, что при а—решение приближается к известному стационарному решению. При а->1 в пределе возникает режим, который далее будем называть предельно-стационарным

-Г

8 . -Ди-\ и

« Н--г= 1п —г=--31п-

л/3 л/Зы+1 и +1

-X

Г'

и = -1-

. V] - 4е"™ +1

2е

)Пм/!2

л/3-^1П2 + 31П(2 + Л/з)

-0.2

Рис. 3. Формы обрабатываемой поверхности: а - при обработке пластинчатым ЭИ; б - при обработке точечным ЭИ

В разделе 2.2 решена стационарная задача формообразования обрабатываемой поверхности при резке проволочным ЭИ (в сечении представляющимся точечным источником С), движущимся вертикально вниз (рис. 3,6).

Форма образа правой половины МЭП на плоскости годографа напряженности Е не отличается от изображенной на рис. 2,а. В связи с этим остается справедливой формула (6) для отображения полукольца С, на плоскость Областью, соответствующей МЭП на плоскости комплексного потенциала, является полуполоса. Производная

с№ = . 1 <К, як

БШСТо

„т , -т

Р +Р

(9)

К? -гСсОБОо +1 Си=1 где £ = еш° - образ точки С. Функция 2(0 определяется с помощью (8).

Из рис. 3,6 видно, что при <х-»оо решение приближается к обычному стационарному решению. При ст.—Я возникает предельно-стационарный режим

г = —

бЛл/З

З^-е2™)

/Г. „2ш/ , 4т> , , 2ш тД+е +е +1—е

+1п

2^1+е2т/ + е4т>1 ■

■1+е

2лш

/1 . 2тач . 4тм . 1 „2ту

\1 + е +е +1—е

3 , „

+—+1п2 2

кш к£0 / Т10А/

где г = —-2,-= —--пшринаразреза.

1 I кЕй кКе,

В разделе 2.3 решена стационарная задача об ЭХО плоским вертикальным

ЭИ А 'СВ', который движется вертикально вниз со скоростью Уе,. (рис. 4,а).

А А'

В' В

В'

А'

■V

О Ф

Еу

у Я.

\в С

0 Е, Е 1 X

Рис. 4. Формы межэлектродного пространства на плоскостях: а - физической; б - комплексного потенциала; в - годографа напряженности

Форма образа правой половины МЭП на плоскости годографа напряженности Е показана на рис. 4,в. Формула для отображения полукольца С, на плоскость = Е0/Е примет вид ц =-—1п£ + - С,''").

(10)

т-\

Областью, соответствующей МЭП на плоскости комплексного потенциала, является полоса (рис. 4,5). Тогда производная

1 1 00

2т

РС-1 2С с,п%рт +

(И)

. /

1 23 4 5 6 ¡7

Щ/

Х б -4 -2 0 2 x4

Рис, 5. Стационарные формы обрабатываемой поверхности: а — при обработке вертикальным пластинчатым ЭИ; б - при обработке угловым ЭИ

1{С) вычисляется с помощью (8). На рис. 5,а кривые 0-6 соответствуют ос=1.0; 1.1; 1.3; 1.5; 2; 3; со. Масштабной единицей является и/Е^ .

В разделе 2.4 решена стационарная задача об ЭХО с помощью ЭИ в виде клина А'СВ'с углом раствора равным л/2, движущимся вертикально вниз с по-

стоянной скоростью Уе, (рис. 5,6). Форма образа правой половины МЭП на плоскости Е не отличается от изображенной на рис. 4,е.

В связи с этим остается справедливой формула (10) для отображения полукольца С, на плоскость ц = Я0 / Е. Для построения отображения (рис. 4,6) удобно использовать область промежуточной плоскости х в виде полосы

Тогда производная dW = .4U е-л(х"р) <К 1 я l-iT^-P)

1 00

„2/71—1

S "I <=m=lJ? -р

2m—1 _ ^-2m+l

(12)

На рис. 5,6 кривые 7-7 соответствуют а=1; 1.2; 1.5; 2; 2.5; 3; со.

В третьей главе диссертации приведена постановка квазистационарной задачи ЭХО на основе использования скачкообразной функции выхода по току и решен ряд задач для ЭИ различной формы. Движение ЭИ имитируется изменением положения (сдвигом) ЭИ в направлении заготовки.

В р. 3.1 решена задача формообразования при обработке точечным ЭИ.

В разделе 3.2 решена задача формообразования обрабатываемой поверхности при обработке плоским полубесконечным ЭИ АТС', движущимся вертикально вниз с постоянной скоростью Ve, (рис. 6,а).

Рис. 6. Меридиональное сечение межэлектродного пространства: а -обработка пластинчатым ЭИ; 6 - обработка угловым ЭИ

Областью МЭП на плоскости комплексного потенциала является полоса (рис. 4,6). Образ правой половины МЭП на плоскости Е показан на рис. 7,д.

Введем параметрические плоскости ^ = Е0/ Е и С,, области изменения которых показаны на рис. 7,6,е. Конформное отображение проще искать с помощью численного интегрирования производной <*, 1

поскольку на участках границы йН, ОС и Ж? производная имеет чисто действительные значения, на участке ВС - чисто мнимые. Функция

Sc2mC

(13)

с2+СГ2)+-

Функция 2(0) получается численным интегрированием

А с СЁ)

Б С'

'¿с

С в

0 1°

/ ^ Н/М

-1

е'

(15)

Рис. 7. Форма области на плоскостях: а —годографа; б, в - параметрических Задача решается методом коллокаций, т.е. в сумме (13) сохраняется Мслагаемых, а коэффициенты ст определяются по условто |^(ег0| = а, заданному в

дискретном множестве узловых точек ат =/ятс/(27У). При этом функция ) вычисляется с помощью численного интегрирования (13) с условиями 0,

/1(0) = -г, Ке?](;)=0.

7 8 -1/6 У' 5

// / ^— 4

1 / / 3

V '

/У 1

-2

-4

1/ п

^У/)

^ у]

Рис. 8. Формы обрабатываемой поверхности: а — в системе координат, связанной с кромкой ЭИ; б - в неподвижной системе координат

Обозначим и/Еа^Б, г ~2(5, х = Поскольку/, то безраз-

мерное время т = ¿/5. На рис. 8,а изображены формы границы для а=2 в системе координат, связанной с движущимся ЭИ (кривые 1-8 соответствуют т=3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; со). Это позволяет наблюдать при увеличении х установление

стационарной формы, полученной в р. 2.3 (кривая 8). На рис. 8,6 те же формы приведены в неподвижной системе координат. Видно, что вблизи нерастворяе-мой зоны GB формируется предельная форма, соответствующая решению задачи об истечении из-под щита (кривая 8).

В разделе 3.3 решена задача формообразования обрабатываемой поверхности при обработке ЭИ в виде клина А 'СВ' с углом раствора равным тс/2, движущимся вертикально вниз с постоянной скоростью Ve, (рис. 6,6). Область, соответствующая МЭП на плоскости Е, совпадает с изображенной на рис. 7,а. Поэтому для отображения четверти круга £ на ^-Eq/e (рис. 1,6,в) можно использовать интегрирование производной (13).

Функция

(PtO-i^ti+eV

(16)

Функция 2(С) получается численным интегрированием (15) с учетом (16). Кривые 1-8 на рис. 9,я соответствуют формам для а=2, т=2.5; 3; 4; 5; 6; 7; 8, оо. Кривая 8 соответствует решению задачи об истечении из-под щита. На рис. 9,6 видно установление стационарного решения (кривая 8), см. р. 2.4.

У -2

-1П

1 __

2 УД

6 8

0 1 2 3 х

Рис. 9. Формы обрабатываемой поверхности: а- в неподвижной системе координат; б- в системе координат, связанной с кромкой ЭИ

В разделах 3.4, 3.5 поставлены и решены точно задачи предельно-квазистационарного формообразования (при Ео~Е]). Рассматривается обработка вертикальным пластинчатым и угловым ЭИ. Полученные решения:

для пластины

zfe)-

и_

71Е,

+ /(1 + Р)Ш фрН -^fzl - 2/ - , 1±Ё In bg"

т/гРл/С+Т + л/ПЗД+Р 2 1+р

(17)

для клина

С+р Д/с+Р+л/Г+^Р.

+iS

2Р С2-1

£] п к \2

2 , ф = arcsm

1±э

2 С-Р

тс \1{;2-р2

(18)

Исследование асимптотического поведения зависимостей параметров, характеризующих форму, при х—но показало, что процесс устанавливается по экспоненциальному закону .

В четвертой главе диссертации получены численные решения нестационарных задач ЭХО.

В разделе 4.1 приводится решение задачи нестационарной обработки горизонтальным плоским подвижным и неподвижным ЭИ с частично изолированной поверхностью (рис. 10,я).

Перейдем к безразмерным величинам г,х,у,х и» (3), где I = 50 (началь-

ному зазору). При этом ve,

<Ь>А _ Л10 So

1, s(x) < а,

dx rio S(t) s{t) [0, s{x)< а, где 5(í) - асимптотическая величина зазора на бесконечности слева и справа; неподвижного

51 4

я(е)= . Для неподвижного ЭИ vecm = ds/dx = l/s(x), $(х)=-№л + 1,

5'(т)< а. Отсюда следует, что время окончания процесса на периферии

. = (а2 -1)/2, величина максимального зазора smax = а.

F C G ®_

А L В'

А мн D Е в

0 X

Рис. 10. Задача об ЭХО плоским ЭИ с изолированным участком: а - схема МЭП; б - результаты эксперимента Задача решается в параметрическом виде т), где х = + -

параметрическая переменная (рис. 11,6). Тогда согласно рис. 11 ,а

2 V 2 2

¿X

2 V.

.(19)

Представим функцию, конформно отображающую полосу плоскости % на область МЭП физической плоскости в неподвижной системе координат, свят J

занной с телом заготовки, в виде z(%,т) = -i [—¡—^h, + s(x)% + zд (%,т), (20)

<№)

где лд(х,т) - аналитическая по % функция. При Rex -> 1шгд(х,т) —> 0.

в' В Y © 0 ®

F с G

G С D Ф A i 1 ! В'

F -и 0

А 1 D ! В

А А б 0 У а

Рис. 11. Формы образа МЭП на плоскостях: а - комплексного потенциала; б -параметрического переменного %

Величина у(т) (образ точки G) должна удовлетворять уравнению

L/(250) = «(т)у(т)+ 2д(7(т)+ i,t). (21)

Функция гд("/,х) вычисляется по значениям lmz&(am,'Cjc) = ут в узловых точках границы y~am(m=Q,...,n). Значения 1ш2Д(а,т) в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна.

Для восстановления функции 2Д(х,х) используем формулу Шварца

dzh[ \ sh 71G

(22)

Производная

m——(ст,т)

да chna-chnx

da.

Нестационарная задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно параметровут (т=0,...,п). Для этого на каждом временном шаге т* решается краевая задача: найти частную производную дгА/дг(%,хк) как аналитическую функцию комплексного параметра %, удовлетворяющую краевому условию (4). Для вычисления производной Й2Д/5т("/,хк) применяется способ, аналогичный применяемому для определения конформного отображения гд (х, ). После определения частных производных цт — дуд/Эт производится шаг по времени методом Эйлера.

На рис. 12,а приведены формы обрабатываемой поверхности для Ь/Б'0=4, а=4, кривые 1-10 соответствуют х=0.5; 1; 1.5; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Видно, что вначале на определенном участке поверхности растворения не происходит и образуется выступ с горизонтальной «полкой». Но при продолжении процесса не-растворенный участок уменьшается и исчезает. Высота выступа при этом продолжает увеличиваться, но затем «замирает» и уменьшается. Процесс заканчивается образованием предельной конфигурации (см. приложение).

При 1/(а50)>1.28 на обрабатываемой поверхности сохраняется нераство-ренный (плоский) участок (рис. 12,6, шаг Дт между кривыми 1-8 равен 0,2).

Расчет показывает, что значения угла между касательной к обрабатываемой поверхности и осью х может достигать значений, превышающих л/4 (см. рис. 10,6), если выступ превышает половину межэлектродного зазора.

Рис. 12. Формы обрабатываемой поверхности при L/So=4: а - а=4; б - а=2

В разделе 4.2 дается решение задачи нестационарной обработки точечным ЭИ (рис. 13,6). При переходе к безразмерным величинам z, х, у, т и w, в качестве характерного размера в (3) вместо 50 принимается величина 1-кх]^1/(кУе,). При этом vel~\, w = Wk/I .

Образом МЭП на плоскости комплексного потенциала является полуполоса. В качестве области на плоскости параметрического переменного % выберем

полосу ширины Vi. Тогда w(%) = - Inj th -Ч % - l-11, ~ (x) = ~~~ ■ (23)

л (, 2V 2JJ d% ch7ix

Функция z(x,r) определяется в виде суммы г(х, г) = g(t)sh + (х, т), (24) где гд(х,х) - аналитическая функция, определяющая отличие формы обрабатываемой поверхности от прямолинейной (при этом Im z(со, т) = 0).

Ордината точечного ЭИ и ее производная определяются из выражений

В остальном алгоритм совпадает с рассмотренным в р. 4.1.

_— Г 3 У 2 1 ОО г •

2 ( '

3 ( ' 1

h^ 05 Х 1 6°

Рис. 13. Формы обрабатываемой поверхности для Дт=1: а - в неподвижной системе координат; б-в системе координат, связанной с ЭИ

На рис. 13 приведены формы обрабатываемой поверхности при 50=1, а=2, Дт=1, (кривые 1-4). Видно установление стационарного процесса в окрестности

ЭИ (кривая со на рис. 13,6, построена по результатам р. 3.2).

В разделе 4.3 дано решение задачи нестационарной ЭХО плоским вертикальным ЭИ (рис. 6,а). Образом области МЭП на плоскости комплексного потенциала является полоса (рис. 4,6). Тогда = И.

На рис. 14,а приведены формы нестационарной поверхности в неподвижной системе координат (Лт=1). Видно, что вблизи нерастворяемой зоны йВ формируется предельная форма, соответствующая решению задачи об истечении нз-под щита (кривая со). На рис. 14,6 те же формы обрабатываемой поверхности приведены в системе координат, связанной с кромкой ЭИ. Видно форми-

а бе

Рис. 14. Формы обрабатываемой поверхности для Дт=1: а - в неподвижной системе координат; б - в системе координат, связанной с ЭИ; е - на плоскости годографа напряженности

На рис. 14,в приведены образы этих кривых на плоскости годографа напряженности (Дт = 0.5). Нетрудно заметить, что при приближении т к значению 3 форма границ на плоскости сЬ>/с1г приближается к границам фигуры, показанной на рис. 7,а, т.е. видно формирование квазистационарного режима, рассмотренного в р. 3.2. Сравнение полученных нестационарных и квазистационарных форм при т>3 (см. рис. 14 и 8) показало отсутствие различий, превышающих погрешность решения нестационарной задачи (порядка 0.1 %).

В приложении решен ряд вспомогательных задач стационарной и предельной ЭХО, решения которых используются в диссертации в качестве предельных конфигураций исследуемых процессов.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

условия применения квазистационарной модели. Сравнение полученных нестационарных и квазистационарных форм показало отсутствие различий, превышающих погрешность решения нестационарной задачи (около 0.1%).

2. С помощью гидродинамической аналогии и использования скачкообразной зависимости анодного выхода по току от плотности тока разработана математическая модель прецизионной электрохимической обработки, позволяющая объяснить резкие очертания обработанной поверхности (не характерные для идеального формообразования) высокой локализацией процесса растворения.

4. Результаты численных исследований позволили получить характеристики нестационарных процессов формообразования. Показано, что изменение характерных размеров, например, торцевого и бокового зазоров, нестационарного решения происходит по экспоненциальному закону. Найдены конкретные зависимости этих параметров от времени, играющие важную роль при разработке технологий прецизионной электрохимической обработки.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ

В журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ

1. Шерыхалина Н.М., ОшмаринА.А., ОшмаринаЕ.М. Применимость «принципа максимального расхода» при исследовании течений в центробежной форсунке // Вестник УГАТУ, 2007. Т. 9, №1 (19). -С. 47-51.

2. Житников В. П., Зиннатуллина О. Р., Ошмарина Е. М., Федорова Г. И. Моделирование электрохимического формообразования при ограничениях на растворение // Научно-техн. ведомости СПбПТУ. -2009, №4(82) - С. 221-224.

3. Житников В.П., Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Использование разрывных функций для моделирования растворения при стационарном электрохимическом формообразовании // Изв. Вузов. Математика. - 2010, № 10. - С. 77-81.

В других изданиях

4. Ошмарин A.A., Ошмарина Е.М. Численное исследование задач о течении весомой жидкости в технических устройствах // Межд. Уфимская математическая конф.: сб. матер. Т. 1. Уфа: ИМВЦ, - 2007. - С. 67-68.

5. Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Применение гипергеометрических функций при решении задач электрохимической обработки // Мавлютовские чтения: матер. Всеросс. молодежи, научн. конф., т. 5. - Уфа: УГАТУ, - 2007. - С. 34-35.

6. Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Исследование стационарных, автомодельных и предельных решений плоских задач Хеле-Шоу с помощью гипергеометрических функций // X межд. науч. школы Гидродинамика больших скоростей и межд. науч. конф. Гидродинамика. Механика. Энергетические установки: сб. трудов. - Чебоксары, - 2008. - С. 295-302.

7. Ошмарина Е.М., Ошмарин A.A. О моделях анализа устойчивости свободно-

го вихря // X межд. науч. школы Гидродинамика больших скоростей: сб. трудов. - Чебоксары, - 2008. - С. 471-474.

8. Ошмарина Е.М. Математическое моделирование некоторых режимов электрохимической обработки. // 3-я всеросс. зимняя школа-семинар аспирантов и молодых ученых. Технические науки и моделирование: сб. статей,. Том 2. -Уфа,-2008.-С. 210-215.

9. Ошмарина Е.М. Моделирование электрохимического формообразования при скачкообразной функции выхода по току // Мавлютовские чтения: матер. Всерос. молодежи, научн. конф.. Т.5. - Уфа: УГАТУ, - 2009. - С. 35-37.

10. Ошмарина Е.М. Стационарная электрохимическая обработка пластинчатым катодом при ступенчатой функции выхода по току // Образование и наука -производству: сб. трудов межд. научно-технической и образовательной конф. -- ч. 1. кн.1. - Набережные Челны, - 2010. - С. 127-130.

11. Ошмарина Е.М., Ураков А.Р., Федорова Г.И. Квазистационарная задача электрохимической обработки угловым электродом-инструментом // Лобачевские чтения: сб. трудов 9-й молодежи, научн. школы - конф. Т. 40. - Казань: Казанское математическое общество, 2010. - С. 256-261.

12. Житников В.П., Ошмарина Е.М. Предельная модель процесса электрохимической обработки // Многофазные системы: природа, человек, общество, технологии: сб. матер. Росс. конф. —Уфа, -2010. - С. 146-148.

13. Федорова Г.И., Ошмарина Е.М., Зиннатуллина О.Р., Мустафин А.Г. Решение задачи Хеле-Шоу о течении в зазоре между непроницаемыми пластинами // Компьютерные науки и информационные технологии: сб. трудов межд. конф.С81Т'2006, т.1. - С. 138 -142. (ст. на англ. яз.)

14. Федорова Г.И., Житникова Н.И., Ошмарина Е.М. Тестирование программ расчета нестационарного формообразования детали // Компьютерные науки и информационные технологии: сб. трудов межд. конф.С8ГГ'2008, т.2. -С. 221 -223. (ст. на англ. яз.)

15. Житников В.П., Муксимова Р.Р., Ошмарина Е.М. Моделирование процессов нестационарного электрохимического формообразования применительно к прецизионным технологиям // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского: сб. трудов 9-й молодежи, научн. школы - конф. т. 42. Казань: Казанское математическое общество, 2010.-С. 99-122.

16. Ошмарина Е.М., Салимьянов А.Р. Квазистационарное электрохимическое формообразование точечным электрод-инструментом // Принятие решений в условиях неопределенности. Вып. 7. - Уфа: УГАТУ,-2010. - С. 44-48.

17. Ошмарина Е.М. Квазистационарное приближение в задачах электрохимического формообразования // VI Всероссийск. зимн. шк.-семинар аспирантов и молодых ученых:, сб. ст. Уфа: УГАТУ, - 2011. Том 2. - С. 332-336.

18. Житников В.П., Ошмарина Е.М. Исследование нестационарной электрохимической обработки деталей ГТД // Мавлютовские чтения: сб. трудов Всерос. научн.-техн. конф. Уфа: УГАТУ, - 2011. Т.5. - С. 91-95.

19. Житников В.П., Ошмарина Е.М. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ РФ № 20100616831 от 13.10.2010г. Программа для численно-аналитического решения задачи квазистационарной электрохимической обработки.

ОШМАРИНА Елена Михайловна

ПРИМЕНЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ АНОДНОГО РАСТВОРЕНИЯ ПРИ ПРЕЦИЗИОННОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 10.05.2011. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Уч. - изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 160

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул.К. Маркса, 12

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ошмарина, Елена Михайловна

Введение

Глава 1. Обзор литературы и общая постановка задачи

1.1. Факторы, влияющие на скорость и точность электрохимического растворения

1.2. Моделирование величины анодного выхода по току

1.3. Постановка плоских задач

1.4. Стационарные решения

Глава 2. Решение задач стационарного электрохимического формообразования различными ЭИ при разрывной функции выхода по току

2.1. Стационарное электрохимическое формообразование плоским

ЭИ при разрывной функции выхода по току

2.2. Стационарная ЭХО точечным катодом при ступенчатой функции выхода по току

2.3. Стационарная ЭХО пластинчатым катодом при ступенчатой функции выхода по току

2.4. Стационарная ЭХО клиновидным ЭР! при ступенчатой функции выхода по току

Глава 3. Квазистационарное электрохимическое формообразование

3.1. Квазистационарная ЭХО точечным ЭИ

3.2. Квазистационарное электрохимическое формообразование плоским полубесконечным ЭИ

3.3. Квазистационарное электрохимическое формообразование клиновидным ЭИ

3.4. Предельно-квазистационарная ЭХО пластинчатым ЭИ

3.5. Предельно-квазистационарная ЭХО угловым ЭИ

Глава 4. Решение нестационарных задач прецизионной ЭХО

4.1. Нестационарная обработка плоским полубесконечным ЭИ, неподвижным или движущимся с постоянной скоростью к заготовке

4.2. Нестационарная обработка точечным ЭИ

4.3. Нестационарная обработка пластинчатым ЭИ

Введение диссертация по механике, на тему "Применение гидродинамической аналогии для моделирования анодного растворения при прецизионной электрохимической обработке"

Решения задач Хеле-Шоу могут интерпретироваться как потоки' в пористых средах (полагая^ что они описываются законом Дарси),, движение границы фазового перехода (с, приложением в; металлургии), процессы напыления металлов, анодного растворения; в электрохимической- обработке (ЭХО): Это приложение позволяет рассмотреть новые задачи, например, задачи с переменным выходом по току, и этим дополнить теорию задач'Хеле-Шоу. При этом решение задачи ЭХО (векторное поле напряженностей) можно» получить из решения аналогичной гидродинамической задачи путем поворота на тг/2 вектора скорости жидкости;

Исследование электрохимического формообразования представляет большой интерес в связи с широким* использованием технологий электрохимической размерной^ обработки (ЭХО) в различных отраслях промышленности.

Развитие современного машиностроения и приборостроения приводит к появлению новых высокопрочных материалов, усложнению конструкций изделий, повышению технических требований к точности и качеству обрабатываемых поверхностей. Механическая обработка обладает целым рядом недостатков, в частности приводит к быстрому износу рабочего инструмента, что затрудняет формирование сложнофасонных поверхностей, оказывает негативное силовое и температурное воздействие на обрабатываемую деталь в зоне обработки. Технологические показатели при механической обработке в значительной степени зависят от физико-механических свойств обрабатываемого материала.

Применение методик импульсной электрохимической обработки (ЭХО) является наиболее рациональным способом избежать этих недостатков. Основные преимущества импульсной ЭХО формулируются следующим образом: отсутствие поверхностного изменённого слоя, долговечность инструмента, низкие значения параметров шероховатости при работе на высоких амплитудных плотностях тока и высокая точность копирования формы и повторяемость процесса при работе на достаточно малых межэлектродных зазорах (МЭЗ) (1.20 мкм) по схеме с вибрацией электрода-инструмента (ЭИ).

Впервые ЭХО была предложена в 1928 году отечественными учеными В.Н. Гусевым и Л.А. Рожковым. Первые задачи расчета границ электродов при размерной ЭХО были рассмотрены сразу же после начала внедрения метода в машиностроении. Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Ф.В. Седыкин, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, В.Д. Кащеев, Г.И. Корчагин, А.Х. Каримов, Ю.С. Волков, А.И. Дикуссар, В.В. Клоков, JI.M. Котляр, Е.И. Филатов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, Г.А. Алексеев, JI.M. Щербаков, В.П. Смоленцев, A.JI. Крылов, B.C. Крылов, Г.Р. Энгельгарт, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, В.П. Житников, J.A. McGeogh, J. Kozak и другие ученые.

При ЭХО межэлектродное - пространство (МЭП) заполняется электролитом, к электродам подключается источник тока и происходит растворение материала анода со скоростью, зависящей от плотности тока (и напряженности электрического поля) в данной точке анодной поверхности. Деталь необходимой формы можно получить при выборе соответствующей формы ЭИ и определении параметров процесса. Проточность электролита необходима для эвакуации загрязняющих продуктов реакции и выделяющегося вследствие электролиза воды газа.

Появившиеся и апробированные в последнее время новые технологические схемы ЭХО на импульсном токе, синхронизированном с вибрацией электродов, позволяют улучшить обмен электролита, эвакуацию продуктов реакции и значительно увеличить точность ЭХО.

Прецизионная ЭХО применяется в авиационной, медицинской, инструментальной промышленности, а также находит свое применение в нанотехнологиях.

В то же время возникает проблема расчета форм обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО. Это связано с тем, что в отличие от механического процесс ЭХО происходит в бесконтактном режиме и скорость съема материала заготовки в каждой точке поверхности определяется плотностью тока. Поэтому форма следа на заготовке при ЭХО не повторяет полностью профиль ЭИ. Для расчета формы необходимо учитывать различные факторы, связанные с физико-химическими особенностями процесса, а также распределение электрического поля в пространстве между электродами. Помимо того, существенно осложняет исследование формообразования свободной поверхности необходимость проведения сложных расчетов длительного процесса установления предельных конфигураций.

В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные факторы, но при этом не требующих больших затрат машинного времени на расчет формообразования.

Расчет электрических полей при допущении их потенциальности аналогичен расчету полей потенциальных течений жидкости. Гидродинамическая аналогия уравнений и граничных условий для решения этих уравнений облегчает формулировку краевых задач для различных схем ЭХО. Данное обстоятельство позволяет разработать эффективные методы расчета электрохимического формообразования посредством применения мощных гидродинамических методов расчета, основы которых заложены в работах М.А. Лаврентьева [43, 44], М.И. Гуревича [9], П.Я. Полубариновой-Кочиной [61] и др.

Краевые задачи для уравнения Лапласа с подвижными границами, когда скорость движения границы пропорциональна градиенту потенциала принято называть задачами Хеле-Шоу со свободными границами. Решения этих задач могут интерпретироваться как течения вязкой жидкости, процессы растворения металлов при электрохимической обработке и другие процессы.

Известны решения задач Хеле-Шоу, полученные на основе методов конечных разностей и конечных элементов, граничных элементов. Необходимо отметить, что разработанные ранее методы не обладают достаточной устойчивостью к накоплению погрешности, при расчете длительных переходных процессов.

На сегодняшний день имеется также целый пласт нерешенных задач научного плана, ограничивающих использование преимуществ импульсной ЭХО.

Одной из основных проблем математического моделирования в любой области является оценка погрешностей и обоснования достоверности полученных оценок. Увеличение количества арифметических операций для решения сложных задач приводит к накоплению погрешности округления, что требует разработки методов ее контроля. В данной работе для этих целей применяются методы фильтрации численных результатов [19, 113], основанные на одновременном использовании данных, полученных при различном числе узловых точек сетки.

Целью исследований является:

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать методы решения поставленных задач.

• Исследование процессов формообразования на основе предложенной модели.

Диссертация (154 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (117) и приложения, содержит 92 рисунка.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Выводы

Таким образом, в данной главе проведена модификация численно-аналитического метода и решены три нестационарные задачи ЭХО со скачкообразной функцией выхода по току.

Полученные результаты дали возможность провести исследование форм обрабатываемой поверхности, получающихся при различных соотношениях геометрических и физических параметров.

Полученные численные результаты позволяют сравнить решения нестационарных задач со стационарными и квазистационарными решениями. Это, во-первых, упрощает оценку погрешности и увеличивает достоверность численных результатов. Во-вторых, в результате сравнения решений найдены диапазоны применимости упрощенных методов исследования нестационарных процессов: квазистационарного и предельно-квазистационарного.

Условием формирования квазистационарного процесса является монотонное увеличение (неуменьшение) напряженности в точках обрабатываемой поверхности. Например, это справедливо при обработке вертикальным пластинчатым и угловым ЭИ и несправедливо при обработке точечным и горизонтальным пластинчатым ЭИ. В этих двух и подобных им случаях на части обрабатываемой поверхности, граничащей с нерастворяемой зоной, формируется финальный режим, в котором растворение отсутствует, а форма остается неизменной.

В тех случаях, в которых формируется квазистационарный режим, как показывают численные исследования, быстро формируется предельная зона обрабатываемой поверхности, которая затем изменяется, оставаясь предельной (т.е. в ней выполняется условие равенства модуля напряженности критическому значению). Стационарная зона образуется более медленно, поэтому квазистационарное решение возможно при т>т0, где то=то(а).

Сравнение полученных нестационарных и квазистационарных форм (в диапазоне существования непротиворечивых решений квазистационарных задач) показало отсутствие различий, превышающих погрешность решения нестационарной задачи (порядка 10").

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации с помощью гидродинамической аналогии было проведено моделирование процессов электрохимического формообразования с помощью ЭИ различной формы при предельных значениях коэффициента локализации. Для исследования таких процессов было предложено использовать скачкообразную зависимость выхода по току от плотности тока.

В качестве основных выводов по диссертационной работе можно выделить следующее:

1. Разработаны методы точного и численного решения стационарных, нестационарных и квазистационарных задач Хеле-Шоу с ограничениями на подвижность границ, которые дали возможность решить поставленные задачи во всей области определения отношения максимального и критического значений скорости/напряженности и оценить погрешность численного решения. Найдены условия применения квазистационарной модели. Сравнение полученных нестационарных и квазистационарных форм показало отсутствие различий, превышающих погрешность решения нестационарной задачи (около 0.1%).

3. Использование предложенной модели привело к выделению на свободной границе участков с тремя типами краевых условий (стационарных, переходных и нерастворимых). Это позволило объяснить природу реального явления путем сопоставления формы обрабатываемой поверхности на переходных участках с формой свободной поверхности гидродинамической задачи истечения из-под щита (в частности, бесконечной кривизной поверхности в точке отрыва). 4. Результаты численных исследований позволили получить характеристики нестационарных процессов формообразования. Показано, что изменение характерных размеров, например, торцевого и бокового зазоров, нестационарного решения происходит по экспоненциальному закону. Найдены конкретные зависимости этих параметров от времени, играющие важную роль при разработке технологий прецизионной электрохимической обработки.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Ошмарина, Елена Михайловна, Уфа

1. Бенерджи П.К., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984. - 494 с.

2. Бреббия К., Теллес Ж, Вроубел Л. Метод граничных элементов. — М.: Мир, 1987.

3. Волков Ю.С., Мороз И.И. Математическая постановка простейших стационарных задач электрохимической обработки металлов // Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца, 1965. - № 5-6.-С. 59-65.

4. Воронкова А.И. Влияние кавитации и переменности выхода по току на стационарное электрохимическое формообразование: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1997. - 18 с.

5. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования двугранным катодом для произвольной зависимости выхода по току // Теория и практика электрофизикохимических методов обработки деталей в авиастроении. -Казань: КАИ, 1994.-С.32-35.

6. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования катодом-инструментом с криволинейной границей для произвольной зависимости выхода по току. // Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чебоксары: Чув. Ун-т, 1993. -С.70-74.

7. Галин Л.А. Нестационарная фильтрация со свободными границами // ДАН СССР. Т. 47, 1945. - С. 246-249.

8. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. -М.: Наука, 1979. -536 с.

9. Давыдов А. Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. М.: Наука, 1990. - 272 с.

10. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функции комплексного переменного: Учебное пособие. Уфа: УГАТУ, 1994. - 106 с.

11. Житников В.П., Зайцев А.Н. Импульсная электрохимическая размерная обработка. -М.: Машиностроение, 2007. -407 с.

12. Житников В.П., Зайцев А.Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки. Уфа: УГАТУ, 1996. - 221 с.

13. Житников В.П., Ошмарина Е.М. Предельная модель процесса электрохимической обработки // Тезисы докладов Российской конф. -Многофазные системы: природа, человек, общество, технологии- Уфа: Нефтегазовое дело, 2010. С. 146-148.

14. Житников В.П., Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Использование разрывных функций для моделирования растворения при стационарном электрохимическом формообразовании // Изв. Вузов. Математика. 2010, № 10. - С. 77-81.

15. Житников В.П., Ошмарина Е.М. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ РФ № 20100616831 от 13.10.2010г. Программа для численно-аналитического решения задачи квазистационарной электрохимической обработки.

16. Житников В.П., Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической размерной обработки // Электронная обработка материалов. 1999. - №2(196). -С. 4-9.

17. Житников В. П., Зиннатуллина О. Р., Ошмарина Е. М., Федорова Г. И. Моделирование электрохимического формообразования приограничениях на растворение // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2009. - №4(82), СПб. - С. 221-224.

18. Житников В. П., Шерыхалина Н.М. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа. -Уфа: Гилем, 2009. 336 с.

19. Житников В.П., Федорова Г.И., Зиннатуллина O.P. Почти аналитический метод решения задач нестационарного электрохимического формообразования // Гидродинамика больших скоростей: тез. докл. 2-й междунар. науч. школы-сем. —.— Чебоксары: 2004.-С. 158-160.

20. Зайдман Г.Н., Петров Ю.Н. Формообразование при электрохимической размерной обработке металлов. — Кишинев: Штиинца, 1990. -205 с.

21. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

22. Зиннатуллина O.P. Методы решения осесимметричных стационарных задач электрохимического формообразования // Вузовская наука -России: матер, науч. практ. конф. Набережные Челны, 2005. - Часть 1.-С. 108-111.

23. Зиннатуллина O.P. Решение осесимметричных задач нестационарного электрохимического формообразования // Матер, науч. практ. конф. -Вузовская наука — России. Набережные Челны: 2005. — Часть 1. - С. 158-160.

24. Зиннатуллина O.P. Численно-аналитические методы решения осесимметричных задач Хеле-Шоу: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Уфа: 2006. - 149 с.

25. Идрисов Т.Р. Влияние дополнительной поляризации электродов на точность и качество поверхности при электрохимической обработке микросекундными импульсами тока: Дисс. канд. техн. наук. Уфа: 2003.

26. Идрисов Т.Р., Зайцев А.Н., Амирханова H.A. Исследование электродных потенциалов в нестационарных условиях при электрохимической обработке // Электронная обработка материалов.2001.-№ 1.-С.4-8.

27. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования. Казань: КГУ, 1990. - 387 с.

28. Клоков В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование И Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1979. - Вып. 16. - С. 94-102.

29. Клоков В.В. Об одном методе расчета стационарного электрохимического формообразования // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1975. - Вып. 12. — С. 93-101.

30. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование двугранным катод инструментом. Казань: Казанск. ун-т, 1989. - 28 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 03.07.89. -№188.

31. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казань: Казанск. ун-т, 1984. - 80 с.

32. Клоков В.В., Салихов А.Н. Стационарное электрохимическое формообразование и гидродинамика в окрестности датчика зазора. — Казань: Казанск. ун-т, 1989. 30 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 24.07.89. -№209.

33. Клоков В.В., Шишкин С.Е. Стационарное анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т, 1985. — Вып.22. — С. 117-124.

34. Коннор Дж., Бребия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. -М.: Мир, 1981.

35. Котляр Л.М. Миназетдинов Н.М. Об одном методе расчета газожидкостного слоя при стационарной электрохимической обработке// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во КГУ, 1993.-Вып. 28.-С. 51-58.

36. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. — М.: Academia, 2005. -200 с.

37. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Определение формы анода с учетом свойств электролита в задачах электрохимической размерной обработки металлов // ПМТФ. 2003. - Т. 44, №3. - С. 179-184.

38. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: 2004. - Т. 45, №4, - С. 7-12.

39. Котляр, Л. М., Миназетдинов, Н. М Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. — М.: Academia, 2005. -200 с.

40. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

41. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики И' их математические модели. М.: Наука, 1977. - 408 с.

42. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. мат.: фундам. направление. 1988. - Т. 27. - С. 131-228.

43. Маклаков Д.В., Шишкин С.Е. Метод возмущений в задачах стационарной электрохимической обработки // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Казанск. ун-т, 1987. — Вып. 23. С. 164-168.

44. Маннапов А.Р., Зайцев А.Н. Технологические показатели электрохимического формирования вставок щёточных уплотнений //Вестник УГАТУ, 2008. № 11. - С. 23-28.

45. Миназетдинов Н.М. Гидродинамическая интерпретация одной задачи теории размерной электрохимической обработки металлов // ПММ, 2009. Т. 73, № 1.-С. 60-68.

46. Миназетдинов Н.М. Об одной задаче размерной электрохимической обработки // ПМТФ. 2009, т. 50, №3. С. 214-220.

47. Миназетдинов Н.М. Об одной схеме электрохимической обработки металлов катодом-инструментом с криволинейным участком границы // ПММ. 2009. Т. 73, № 5. С. 824-832.

48. Миназетдинов Н.М. Учет кавитации при стационарном электрохимическом формообразовании: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань: 1994. - 15 с.

49. Мороз И.И., Алексеев Г.А., Водяницкий O.A. и др. Электрохимическая обработка металлов. М.: Машиностроение, 1969. 208 с.

50. Ошмарин A.A., Ошмарина Е.М. Численное исследование задач о течении весомой жидкости в технических устройствах // Уфимская межд. математическая конф.: сб. матер., т. 1. Уфа. ИМВЦ, 2007. С. 67-68.

51. Ошмарина Е.М. Моделирование электрохимического формообразования при скачкообразной функции выхода по току // Всерос. молодежи, научн. конф. Мавлютовские чтения —: сб. тез. докл., Т.5. - Уфа: УГАТУ, 2009. - С. 35-37.

52. Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Применение гипергеометрических функций при решении задач электрохимической обработки // Матер. Всеросс. молодежи, научн. конф. — Мавлютовские чтения —, 2007, т. 5. Уфа: УГАТУ.- С. 34-35.

53. Полубаринова-Кочина П.Я. Нестационарное движение в теории фильтрации. // ПММ. 1945. Т. 9. - С. 79-90.

54. Поречный С. С. Гидродинамическое и геометрическое моделирование формообразования выступов при электрохимической обработке. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Уфа: 2009. - 129 с.

55. Прудников А.П., Бычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука. - 1981.-800 с.

56. Седыкин Ф.В. Размерная электрохимическая обработка деталей машин. М.: Машиностроение, 1976. 301 с.

57. Седыкин Ф.В., Орлов Б.П., Матасов В.Ф. Исследование анодного тока при электрохимической обработке при постоянном и импульсном напряжении. Технология машиностроения, Тула, 1975, Т. 39. С.3-10.

58. Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Метод численно-аналитического решения задач нестационарной размерной ЭХО // Труды Междунар. науч. конф. — Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности 2000. Уфа: УГАТУ, 2000. - С. 251-254.

59. Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Расчет формы поверхности при нестационарной электрохимической обработке проволочным электродом // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001.-Т. 8, вып. 2.-С. 700-701.

60. Федорова Г.И. Методы расчета формообразования поверхности при нестационарной электрохимической обработке: Дисс. . канд. физ.-мат. наук.-Уфа: 2004.- 158 с.

61. Филатов Е.И. Расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита // Электрохим. и элсктрофиз. методы обработки материалов в авиастроении. Казань: Казанск. авиац. ин-т, 1990. - С. 64-68.

62. Шерыхалина Н. М., Ошмарин A.A., Ошмарина Е.М. Определение параметров гравитационных волн, близких к предельным, с помощью численной фильтрации и экстраполяции // Труды инст-та механики. -Уфа: Нефтегазовое дело. 2008. С. 217-222.

63. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A., Ошмарина Е.М. Применимость принципа максимального расхода при исследовании течений в центробежной форсунке // Вестник УГАТУ (сер. Машиностроение), 2007. Т. 9, №1 (19).-С. 47-51.

64. Щербак М.В., Толстая М.А., Анисимов А.П. и др. Основы теории и практики электрохимической обработки металлов и сплавов. М.: Машиностроение, 1981.-263 с.

65. Ястребов В.Н., Каримов А.Х. Математическое моделирование нестационарного процесса электрохимического скругления кромок деталей ГТД // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов. Казань: КАИ, 1989. - Вып. 1. - С.23 - 34.

66. Bortels L., Purcar M., Bart Van den Bossehe, Deconinck J. A user-friendly simulation software tool for 3D ECM. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. - V. 3. - PP. 486 - 492.

67. Christiansen S., Rasmussen H. Numerical solutions for two-dimensional annular electrochemical machining problems // J. Inst. Maths. Applies. -1976. № 18, - PP. 295 - 307.

68. Craster R.V. Two related free boundary problems. IMA J. Appl. Math. -1994. №52. - PP. 253 - 270.

69. Cummings L. J. Howison, S. D., King J. R. Two-dimensional Stokes and Hele-Shaw flows with free surfaces // European J. Appl. Math. 10, 1999. -PP. 635 680.

70. Elliott C. M., Ockendon J. R. Weak and variational methods for moving boundary problem // Pitman, London, 1992.

71. Fedorova G.I., Zhitnikov V.P., Zinnatullina O.R. Simulation of Non-Stationary Processes of Electrochemical Machining //Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. - V. 149. - PP. 398 - 403.

72. Fedorova G.I., Zhitnikova N.I., Oshmarina E.M. Programs testing of nonstationary work-piece shaping computation. Proceedings of 10-th Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT -2008), Vol. 2. Antalya, Turkey, 2008, pp. 221-223.

73. Gustafsson B., Vasil'ev A. Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells. // Stockholm-Valparaiso, 2004. 189 p. www.math.kth.se/~gbjorn/

74. Hele-Shaw H. S. On the motion of a viscous fluid between two parallel plates. // London: Trans. Royal Inst. Nav. Archit. 40 (1898) 21.

75. Howison S.D., Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems. // Eur. J. Appl. Math. 3 (1992) PP. 209 - 224.

76. Howison S.D., King J.R. Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion. // IMA J. Appl. Math 42, 1989. PP. 155 - 175.

77. Howison S.D., Ockendon J.R. and Lacey A.A. Singularity development in moving boundary problems. // Q. J. Mech. Appl. Math. 38 (1985). PP 343 -360.

78. King J. R., Development of singularities in some moving boundary problems // Euro. J. Appl. Math. 6 (1995). No. 5. - PP. 491 - 507.

79. Konig W., Humbus H.-J. Mathematical Model for the Calculation of the Contour of the Anode in electrochemical Machining // Cirp. Annals, 1977. -V. 25,No l.-PP. 83-87.

80. McGeough J.A., Principles of Electrochemical Machining. // London: Chapman and Hall, 1974. 290 p.

81. McGeough, J. A., Rasmussen, H. On the derivation of the quasi-steady^ model in electrochemical machining // J. Inst. Maths Applies, 1974. Vol. 13.pp. 13-21.

82. Novak P., Rousaz I., Kimla A. etc. Mathematical simulation of electrochemical machining // Материалы междунар. шк. ЭХОМ-88, Любневицы (ПНР), 1988. - С. 100 - 115.

83. Ockendon J. R., Howison S. D. Kochina and Hele-Shaw in modern mathematics, natural sciences, and technology // J. Appl. Math. Mech. 2002. Vol. 66, No. 3. - PP. 505 - 512.

84. Pandey J. Finite Element Approach to the two-dimensional Analysis of ECM // Precis. Eng. 1980. V. 2, No 1. - PP. 23-28.

85. Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of Groundwater Movement. // Princeton: Princeton Univ. Press. 1962. 350 p.

86. Purcar M., Bortels L., Bart Van den Bossche, Deconinck J. 3D electrochemical machining computer simulations. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, 2004. V. 3. - PP. 472 - 478.

87. Richardson S. Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel. // J. Fluid Mech., 56 (1972). No. 4.-PP. 609-618.

88. Richardson S. On the classification of solutions to the zero surface tension model for Hele-Shaw free boundary flows. // Quart. Appl. Math., 55 (1997). -No. 2.-PP.313-319.

89. Saffman P. G. Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. // Proc. Royal Soc. London, Ser. A, 245 (1958). PP. 281, 312 - 329.

90. Saffman P. G., Taylor G. I. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 17 (1959). No. 3. -PP. 265-279.

91. Urakov A.R., Gutsunaev A.V. Numerical method of on nonstationary electrochemical machining problems solution // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT -2003. Ufa, Russia, 2003. Vol. 2 - PP. 43.

92. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK, 2004. -V. 3.-PP. 466-471.

93. West A., Madore C., Moltosz M., Landolt D. Shape changes during through-mask electrochemical micromachining of thin metal films. // J. Electrochem. Soc., 1992. №2, 139. PP. 499 - 506

94. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. Simulation of non-stationary processes of electrochemical machining // Journal of Materials Processing Tech., Elsevier, 2004. Vol. 149/1-3. - PP. 398 - 403.

95. Ямке E., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука. 1977. -344 С.

96. Житников В. П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2009. - №3(80), СПб. - С. 105-110.

97. Житников В.П., Муксимова P.P., Ошмарина Е.М. Моделирование процессов нестационарного электрохимического формообразования применительно к прецизионным технологиям // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. 2010, т. 42. С. 99122.

98. Ошмарина Е.М., Салимьянов А.Р. Квазистационарное электрохимическое формообразование точечным электродинструментом // Принятие решений в условиях неопределенности. Вып. 7. Уфа: УГАТУ. 2010. - С. 44-48.

99. Ошмарина Е. М. Квазистационарное приближение в задачах электрохимического формообразования // Сб. ст. шестой Всероссийск. зимн. шк.-семинара аспирантов и молодых ученых, Уфа: УГАТУ, 2011. Том 2.-С. 332-336.

100. Житников В.П., Ошмарина Е.М. Исследование нестационарной электрохимической обработки деталей ГТД // Всерос. научн.-техн. конф. «Мавлютовские чтения»: сб. трудов. Уфа: УГАТУ, 2011. Т.5. С. 91-95.