Развитие гидродинамических методов расчета размерного электрохимического формообразования тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Р Г 5 ОД

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТИХОНОВ АЛЕКСАНДР СТАНИСЛАВОВИЧ

РАЗВИТИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА РАЗМЕРНОГО ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОГО ФОРМООБРАЗОВАНИЯ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ-1998

Работа выполнена на кафедре аэрогидромеханики Казанского государственного университета.

Научный руководитель: Лауреат Государственной премии

Республики Татарстан, доктор физико-математических наук, профессор В.В. Клоков.

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки

Республики Татарстан, доктор физико-математических наук, профессор ^.М. Котляр. Доктор физико-математических наук, профессор Д.В. Маклаков.

Ведущая организация: Уфимский государственный

авиационно-технический университет

Защита состоится 29 октября 1998 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного Совета Д053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете (420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан сентября 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физико-математических наук, доцент

А.А. Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Электрохимическая размерная обработка металлов (ЭХРО, ЭХО) - важный прогрессивный технологический процесс в современном машиностроительном производстве. Она основана на принципе локального анодного растворения при высокой плотности тока в проточном электролите. Широкое применение процесса обусловлено использованием в авиастроении, двигателестроении, приборостроении деталей из новых жаропрочных, высокопрочных и вязких конструкционных материалов, новых сплавов с повышенными физико-химическими свойствами, обработка которых обычными способами сильно затруднена.

Внедрение электрохимических процессов в машиностроение, опережая теоретические исследования ЭХО деталей сложной формы, потребовало углубленного его изучения, создания и совершенствования моделей и методов его расчета. Значительный вклад в изучение процесса ЭХО внесли В.Н.Гусев, Ф.В.Седьжин, И.И.Мороз, Ю.Н.Петров, Л.М.Щербаков, В.П.Смоленцев, А.Х.Каримов, Г.Н.Корчагин, Ю.С.Волков, А.Л.Крылов, Л.Б.Дмитриев, В.И.Филин, В.В.Любимов, А.И.Дикусар, Г.Н.Зайдман, В.Д.Кащеев, А.Д.Давыдов, Г.Р.Энгельгардт, В.П.Житников, А.Н.Зайцев, Л.М.Котляр, З.Б.Садыков, В.В.Клоков, Е.И.Филатов, Н.Т1р1оп, Мс вео^И 1.А., 1.Когак, 11.С.Не\Узоп-Вго\упе, К.Н.№1боп, У.О.ТБиеь Н.Яазшизяеп, М.В.Ыапауакага, У.К.Мп, Р.С.Рапёеу, Ь.БаЬгочл'зкл и другие.

Определяющей составляющей ЭХРО является электрическое поле в межэлектродном промежутке (МЭП). Согласно модели идеальной ЭХО потенциал электрического поля удовлетворяет уравнению Лапласа, удельная электропроводность электролита, выход металла по току, поляризация электродов постоянны. Эта модель расширяется введением функциональной зависимости выхода металла по току и поляризации от плотности тока в данной точке анода.

Расчет электрических полей при допущении их потенциальности аналогичен расчету полей потенциальных течений жидкости. Гидродинамическая аналогия уравнений и граничных условий для решения этих уравнений облегчает формулировку краевых задач для различных схем ЭХРО. Это позволяет разработать эффективные методы расчета электрохимического формообразования посредством применения мощных гидродинамических методов расчета, основы которых заложены в работах Н.Е. Жуковского, М.А. Лаврентьева, Л.И. Седова, М.И. Гуревича, П.Я. Полуба-риновой-Кочиной, Г.Ю. Степанова, Г.Г. Тумашева, М.Т. Нужина и других.

Математические модели ЭХО можно разделить на одно-, двух- и трехмерные согласно допущениям об одно- и двухмерности электрическо-

го поля в МЭП. Расчет анодных сложнопрофильных поверхностей, в отличие от начала исследований, в настоящее время, в особенности с увеличением производительности и доступности вычислительной техники, производится по двумерным и трехмерным моделям. Одномерные модели не дают сколько-нибудь удовлетворительных результатов для сложнопрофильных деталей, особенно в местах резкого изменения их границ. Трехмерные модели пока еще сложно применять, анализировать и выполнять серийные технологические расчеты. Двумерные модели дают более точное описание ЭХО, чем одномерные, и являются разумной альтернативой по материальным и трудовым затратам трехмерным моделям при расчетах сложных деталей по их сечениям.

Цель диссертационной работы состоит в развитии гидродинамических методов расчета анодной поверхности с учетом двухмерности электрического поля в МЭП по модели или расширению модели идеальной ЭХО, расчете и анализе на этой основе практически важных случаев анодного формообразования.

На защиту выносятся:

1. Развитие метода годографа скорости при решении задачи двумерной стационарной ЭХО с учетом многолистности годографа.

2. Методика непосредственного интегрирования в комплексных переменных в методе годографа скорости при решении задач ЭХРО.

3. Разработка метода учета влияния тепловых полей на двумерное стационарное электрохимическое формообразование.

4. Алгоритм численной реализации и программа для метода решения некорректной задачи проектирования электрода-инструмента на основе интегрального преобразования Фурье.

5. Применение гидродинамического метода панелей при решении нестационарной задачи ЭХО.

6. Алгоритмы решения задач, числовые расчеты и анализ, точные решения ЭХРО, решения ряда прикладных задач ЭХРО.

Научная новизна проведенных в диссертации исследований состоит в следующем.

Предложен полный алгоритм и составлена замкнутая система уравнений для констант, входящих в решение задачи двумерной стационарной ЭХО полигональным катодом-инструментом с многолистным годографом скорости для симметричного и несимметричного случая односвязного МЭП.

Поставлена и решена задача двумерной стационарной ЭХРО анода со щелями. Поставлено граничное условие для анодной поверхности в щели.

Предложена методика непосредственного интегрирования в комплексных переменных в методе годографа скорости при решении задач размерной электрохимической обработки.

Поставлено граничное условие стационарности с учетом теплового поля и определены условия для получения решения о влиянии тепловых полей на двумерную стационарную ЭХО в аналитическом виде.

Разработаны алгоритм численной реализации и программа для метода решения некорректной задачи проектирования электрода-инструмента на основе интегрального преобразования Фурье.

Предложена методика применения гидродинамического метода панелей для решения нестационарной задачи ЭХО с учетом выхода по току и поляризации.

Получен ряд точных решений ЭХРО непрофилированными катодами-инструментами.

Получены решения прикладных задач ЭХРО: задачи электрохимического сопряжения, обработки анодных щелей, теплового нагрева электрода-инструмента, проектирования катода-инструмента при ЭХО шестерни, нестационарной задачи скругления кромки турбинной лопатки.

Достоверность научных положений диссертации обеспечивается использованием математически обоснованной методики решения и применением надежных высокоточных численных методов при реализации решений. Обоснованность полученных результатов подтверждается их физической правдоподобностью и совпадением результатов решения частных и предельных задач с известными теоретическими и экспериментальными данными.

Практическая ценность. Полученные алгоритмы построения решений и применения методов расчетов важны для осуществления их программной реализации. Точные аналитические решения задач ЭХО могут служить тестовыми для расчетов численными методами, их суперпозицией можно приближенно описать формообразование сложными катодными устройствами. Разработанные программные комплексы по проектированию инструмента для ЭХРО и моделированию нестационарного ЭХРО могут быть использованы в соответствующих конструкторских бюро и научно-исследовательских организациях при получении сложнопрофильных деталей. Полученные результаты используются в расчетной практике Кузнечного завода АО КАМАЗ и ОАО КМПО. Тема диссертации связана с выполнением плановой темы «Краевые задачи теории электрохимической размерной обработки» № Гос. регистрации 01910049980, 01960002006; гранта по фундаментальным исследованиям в области машиностроения (головная организация МГТУ им. Баумана) на тему: «Разработка про-

граммного обеспечения проектирования катода-инструмента и расчета формообразования при размерной электрохимической обработке деталей» (1995 г.); грантов по фундаментальным исследованиям технологических проблем производства авиакосмической техники (головная организация МГАТУ им. Циолковского) на тему: «Разработка программного обеспечения проектирования катода-инструмента для размерной электрохимической обработки деталей двигателей летательных аппаратов» (1994-95 гг.) и «Развитие системы программного обеспечения проектирования катода-инструмента и расчета формообразования для размерной электрохимической обработки деталей» (1996-97 гг.); гранта АН Республики Татарстан №01-18 на тему: «Математическая модель процесса размерной электрохимической обработки (ЭХО) металлов» (1998 г.); а также ряда хоздоговоров, в частности с ОАО КМПО: «Исследование процесса формообразования кромок лопаток изделия НК-38СТ методом ВИЭХО и разработка методики профилирования электрода-инструмента для лопаток с радиусами кромок до 0.08 мм» (1995-1998 гг.).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1993-1997 гг.); на Республиканской научно-технической конференции молодежи (г. Казань, 1991 г.); на Республиканской научно-технической конференции "Электрофизические и электрохимические методы обработки материалов" (г. Казань, 1992 г.); на Городской научно-технической конференции "Электрофизические и электрохимические методы обработки материалов" (г. Казань, 1994 г.); на Городском научно-методическом семинаре по теоретической механике (г. Казань, 1994 г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей" (г. Казань, 1994 г.); на Международной научно-технической конференции "Механика машиностроения" (г. Набережные Челны, 1995 г.); на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (г. Казань, 1995 г.); на Российской научно-технической конференции "Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей" (г. Казань, 1995 г.); на Российской научно-технической конференции "Теория и технология электрохимической обработки" (г. Уфа, 1996 г.); на Международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию" (г. Набережные Челны, 1996 г.); на 3-rd Inter. Tech.-Sci. Conf. Influence of Production Engineering on State of the Surface Layer -SL'96 (Gorzow WLKP, Poland, 1996); на 5 Konferencja Naukowo-Techniczna EM'97. (Bydgoszcz-Golub

Dobrzyn, Poland, 1997); на Всероссийской научно-технической конферен- \ ции "Современная электротехнология в машиностроении" (г. Тула, 1997 г.); на Inter. Conf. on Advances in Production Engineering APE'98 (Warsaw, Poland, 1998).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка литературы, включающего 120 наименований. Объем диссертации составляет 150 страниц, на которых размещено 52 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы работы, дан обзор литературы. Здесь же излагается краткое содержание диссертации, сформулированы выносимые на защиту положения.

В первом разделе диссертации рассматривается известный алгоритм решения задач двумерного стационарного электрохимического формообразования методом конформных отображений годографа скорости.

В первом пупкте данного раздела излагается вывод граничного условия стационарности анодной границы = Cos{d),

где V - вектор скорости фиктивного потока идеальной несжимаемой жидкости, 0 - угол наклона касательной к анодной границе к оси X. Дан общий алгоритм решения задач ЭХО методом конформных отображений годографа скорости. Указывается гидродинамическая аналогия задач ЭХО.

Во втором пункте излагается метод использования непосредственного интегрирования в комплексных переменных в рамках метода конформных отображений годографа скорости. До представляемой работы нахождение анодной границы с помощью квадратур в методе конформных отображений в общем случае производилось путем разделения вещественной и мнимой частей подынтегральных выражений. Этот способ требует работы по выделению этих частей, осложняемой необходимостью слежения за ветвями входящих в подынтегральное выражение функций, обхода сильных особенностей в подынтегральной функции (чаще всего по полуокружностям после перехода к полярной системе координат или через бесконечно удаленную точку). Предложено находить анодную границу путем программной реализации операций и действий с комплексными числами. Роль исследователя, согласно этой методике, состоит в выборе пути интегрирования с учетом характера подынтегральной функции. После введения операций и процедур над комплексными числами остается только использовать библиотеки подпрограмм для счета одинарных и

двойных интегралов. Показано применение методики на примере четырехгранного несимметричного катода, моделирующего зоны в области отсоса или подачи электролита из тела катода-инструмента, впадин на катоде.

В третьем пункте содержатся новые точные решения задач электрохимического формообразования с однолистным годографом скорости для анодов без щелей и кромок. Решены задачи для получения выступа профиля детали между двумя плоскими параллельными участками профиля или плавного сопряжения между ними непрофилированным катодом-инструментом. Для этой цели предложены три конфигурации катода-инструмента: из двух несимметричных пластинок, перпендикулярных направлению подачи; из симметрично расположенных относительно оси подачи катодов-пластинок с находящейся над ними плоскостью, параллельной пластинкам; из катода-пластинки с находящейся над нею параллельной плоскостью.

В четвертом пункте поставлена и решена задача для электрохимического формообразования деталей со щелями. В начале пункта приведено обсуждение постановки и решения известных задач с кромками на аноде. Далее приведено граничное условие на анодной поверхности для щели. Такие щели могут являться как специально спроектированными в аноде, так и существовать на стыках между составными анодами-деталями, обрабатываемыми совместно. Аналогично кромкам анода ставятся условия на

угол наклона стенок щели: на левой стенке щели при бесконечном У этот угол -п 12, на правой стенке щели угол при бесконечном У равен п/2. В отличие от кромок анода, которым соответствует бесконечное значение координаты X и У, щель имеет конечные координаты X и левой и правой стенки. В этом же пункте показаны примеры расчета анода со ще-

Рис. 1

лями и кромками, приводящие к точному решению, необходимые при проектировании катодных устройств.

Подробно разобран случай ЭХО симметричной детали с кромкой и щелью ширины Ь катодом-плоскостью, перпендикулярной подаче (рис.1) (К - математический параметр кромки). Показано, что убывание координаты У анода в районе щели имеет логарифмический характер, а в районе кромки - экспоненциальный. Даны расчетные формулы и графики анодных кривых для: катода-плоскости, перпендикулярного подаче, причем в симметричном аноде имеется две щели; катода-плоскости, под углом к направлению подачи и анода с кромками; катода-плоскости, под углом к направлению подачи и анода со щелью; катода-пластинки, параллельного подаче, в случае наличия в аноде щели; катода-пластинки, параллельного подаче и симметричного анода с двумя щелями.

Во втором разделе диссертации рассматривается решение задач двумерного стационарного электрохимического формообразования методом конформных отображений годографа скорости с многолистным годографом скорости для симметричного и несимметричного случая межэлектродного промежутка при неизолированных электродах и односвязной области межэлектродного промежутка.

В первом пункте дан полный алгоритм решения таких задач и составлена замкнутая система уравнений для параметров, входящих в решение для симметричных задач (рис.2).

С

Рис.2

Пусть количество граней катода q+l, количество щелей на аноде (щель на линии симметрии не учитываем) равно q2. Линию симметрии

обозначим АБ, анод: АКь-.К^С, катод: БР,...РЧС. Кь ..., К^ - в этих точках расположены пазы. .....Рч- вершины катода. Решение основывается

на факте односвязности, при дополнительных предположениях, получающегося многолистного годографа скорости и, как следствие из этого, имеющейся возможности применения при конформных отображениях обычного интеграла Шварца-Кристоффеля. Дополнительное предположение: граница катода имеет бесконечный периметр; нет частей катода в виде ограниченного многоугольника, считая участки оси симметрии за сторону. Рассматривая гидродинамическую аналогию ЭХО, в этом случае нет точек ветвления фиктивного потока жидкости в физической плоскости течения. Это, как показано методом математической индукции, влечет за собой то, что сумма углов многоугольника во вспомогательной области, являющейся инверсированной областью годографа скорости, есть я(N-2), где N - число углов многоугольника. Также обсуждается, какие дополнительные точки и углы в них имеются в области годографа скорости: точки минимума и максимума скорости фиктивного потока и точки перегиба анодной границы.

При построении алгоритма предложена промежуточная область отображения (рис.3) для вспомогательной области и области комплексного потенциала (рис.4).

Б А К, К,2 С Гт Р, Б

--1-1-Р-1-1-1-1-►

0 к, кЧ2 1 Ъ & ^

Рис. 3

1 Б С

А С

О Ф

Рис.4

Тогда решение задачи определяется формулами:

№ I („ЛИ> Л ^

Л

е +1,

(2.1)

где согласно общей теории построения интеграла Шварца-Кристоффеля имеем

at . (2.2)

;=i p=I

Здесь S - постоянный параметр; ЬА - образ дополнительной точки в D, в результате / * 0, bA>0; Ьс - образ дополнительной точки в D, в результате наличия кромки ¿с < 1 ; fj - образы в D, точек Fj; kp - образы в D, точек Кр; ij - образы в D, дополнительных точек из-за наличия граней катода; bip и Ьгр - образы в D, дополнительных точек из-за наличия щелей.

Математический параметр кромки анода Ьс задается произвольно. Для составления замкнутой системы уравнений для параметров (констант), входящих в решение, использован аппарат разложения подынтегральной функции в ряд Лорана и дальнейшего интегрирования главной его части. Путем рассмотрения геометрии вспомогательной области и геометрии анодной кривой в точках щелей кР получены условия на вычеты этой функции и параметры bip и Ьгр , отвечающие щелям на аноде:

' (еи*-1)2

u-ZTj.k Р= -а— . у-1 \е +V

Аналогично, раскладывая — в ряд Лорана в окрестности t=0, выделяя его

dt

регулярную часть, два раза интегрируя и рассматривая приращение в точке А в физической плоскости при наличии щели, получим уравнение для определения ЬА: il С_, = / .

Константа S определяется из уравнения для анодной границы

R<0=1 •

Параметры ij определяются по условиям на положение точек, соответствующих вершинам катода в области Dç и углы наклона сторон ограничивающего область многоугольника, что приводит к нелинейным уравнениям с коэффициентами в виде реальных и мнимых частей комплексных интегралов.

Значения координат точек § в промежуточной области, отвечающие за вершины катода, находятся с помощью условий на координаты каждой второй из этих вершин.

Содержание пункта 2 аналогично предыдущему пункту за тем исключением, что здесь рассматривается несимметричный случай межэлектродного промежутка. По сравнению с симметричным случаем изменяется система определяющих уравнений из-за изменения физической области течения (рис.5), области комплексного потенциала (рис.6), промежуточной области отображения (рис.7).

Уравнения (2.1)-(2.2) преобразуются к виду:

В формуле (2.3) параметр ЬА £-1 теперь является математическим параметром кромки анода в точке А и поэтому выбирается произвольно. Из системы условий на константы решения выпадает условие, связанное со щелью на оси симметрии анода.

(2.3)

х

V*

с

Рис. 5

V

А 1 С

А с

О Ф

Рис.6

Рг Р' К., А К| Кд2 с

Рги -4

Иг-! -1 к,

кЧ2 1 Рис.7

&+1 +со

В пункте 3 показана возможность решения задач ЭХО с многолист-ным годографом скорости на примере получения точных решений для ряда конфигураций катодов и анодов. Решение задачи формообразования двумя симметричными относительно оси, параллельной подаче, полубесконечными катодами-пластинками с расстоянием от оси Ь для анода с симметричной щелью ширины / и симметричными кромками (Ь2 - математический параметр кромки) представлено подробно (рис.8).

Для двух симметричных полубесконечных катодов-пластинок, расположенных перпендикулярно направлению подачи при той же конфигурации анода и для анода без щелей и кромок, обрабатываемого двумя несимметричными полубесконечными пластинками, параллельными подаче, даны конечные расчетные формулы и результаты.

Рис. 8

Третий раздел диссертации посвящен постановке и решению задачи о влиянии тепловых полей на двумерное стационарное электрохимическое формообразование.

В первом пункте указана постановка задачи и основные предположения, позволяющие получить аналитическое решение задачи. Требуется найти форму анодной границы при учете температурного поля в межэлектродном промежутке для двумерного стационарного электрохимического формообразования. Предполагается, что течение рабочей среды в МЭП установившееся, прокачка электролита, моделируемого идеальной однофазной жидкостью, осуществляется перпендикулярно плоскости сечения межэлектродного промежутка, джоулево тепловыделение и диссипация не учитываются, коэффициент теплопроводности принят постоянным. Тогда поле температур удовлетворяет уравнению Лапласа. При указанных предположениях распределение температуры внутри МЭП полностью определяется распределением температур на стенках канала и их теплоизо-лированностью.

В пункте 2 обосновано граничное условие стационарности анодной границы с учетом влияния теплового поля: дц/

(1 + аТ)

Зг

= соз£. (3.1)

анод

Здесь Т - отклонение температуры на аноде от некоторого фиксированного значения. Коэффициент а в этом граничном условии при равенстве нулю описывает теперь уже частный случай идеальной ЭХО. Отличное от нуля значение а приводит к сложной взаимосвязи двух потенциальных полей - теплового и электрического. Линейный вид связи (3.1) в условии стационарности выбран исходя из первых членов разложения в ряд Тейлора функции характеристики режима ЭХО и обрабатываемого материала. Для теплового поля использованы граничные условия 1-го рода при задании значения температуры электролита на отдельных частях катода Тст = /(/) и 2-го рода - условие теплоизолированное™ для анода и части катода

^ = 0. (3.2)

Эп '

Функция /(/) есть постоянная функция на каждом из участков катода (значения на разных участках различны). Технически это может быть осуществлено путем нагрева или охлаждения соответствующих участков катода. Условие (3.2) означает отсутствие подвода и отвода тепла от участка, на котором оно выполняется. В этом случае распределение темпера-

туры на этих участках получается в результате решения задачи об определении неизвестной анодной границы.

В пункте 3 предложен путь решения задачи, которая сводится к краевой задаче Гильберта. Решение задачи Гильберта строится посредством перехода к неоднородной задаче Римана. В этом случае координаты анодной границы представляются через сингулярные интегралы, существующие в смысле главного значения по Коши. В частных случаях конфигураций катодов возможно также применение более простых решений, основанных на использовании либо формулы Синьорини, либо формулы Шварца.

Наконец, в пункте 4 решение задачи проиллюстрировано примером формообразования катодом-пластинкой с теплоизоляцией на части границы при изготовлении пазов или резке. Полагается, что анод и часть катода теплоизолированы, на участке между кромкой катода и его теплоизолированным участком поддерживается некоторое постоянное значение температуры, а за теплоизолированным участком - другое постоянное значение температуры.

Изложено подробное решение с использованием формулы Шварца для полуплоскости. Построены зависимости формы анодной границы от коэффициента а в граничном условии (3.1) при различных режимах нагрева и охлаждения катода и длины теплоизоляции (рис.9). Рассчи-

Рис 9

тано распределение температуры по анодной границе.

Четвертый раздел диссертации посвящен проектированию катода-инструмента на основе интегрального преобразования Фурье при двумерном стационарном электрохимическом формообразовании.

В первом пункте изложена постановка задачи для модели идеального процесса ЭХО с учетом переменности выхода металла анода по току.

Второй пункт содержит решение задачи в безразмерных переменных. Вспомогательная функция решения % выбирается в виде

х=1п(Ю = г+ю •

где г = -1п(У), V - величина скорости фиктивного потока. Анодная

граница тогда определяется формулами: к

2к0 = - |ехр(х(з))¿б , гк = гК() + -}ехр(х(р + ¿р.

ТСл ТСлчх^Уу

о

Функция х(^) на нижней границе полосы вспомогательной области Д, I = § + 1т|, полученной по следующей формуле из области комплексного потенциала фиктивного течения 2

\у = — I, я

известна по граничным условиям :

еА(х)=апл8(г(х(4)))=еА(5),

гА(х) = -/«(у(еА(х(^)))) = гА(^).

Полученная смешанная краевая задача по определению аналитической функции в полосе по формуле Вудса сводится к интегральному уравнению первого рода, ранее полученному Д.В.Маклаковым:

1+"Гк(5)сЬ 17еА(5)ё5

Последнее уравнение решается методом регуляризации, основанным на использовании интегрального преобразования Фурье. В качестве регу-ляризующей взята функция

£(а,а) = ех/т(-аа2) , а>0.

Идея и формулы решения двух первых пунктов раздела 4 принадлежат А.В .Кузнецову.

В пункте 3 предложен алгоритм реализации решения, обсуждаются трудности реализации решения и пути их преодоления, описана программа расчетов.

Осуществлено приведение задачи к безразмерному виду и получение уравнения для нахождения выхода металла по току г|:

где ] - плотность тока на аноде, Ук - скорость подачи, р - плотность металла, б - электрохимический эквивалент металла.

Построен корректный алгоритм численных расчетов на основе аппарата аппроксимации кубическими сплайнами

Для расчета начальной точки катода предложено применять одномерную модель ЭХО для боковых граней анода, что позволило избавиться от необходимости ее вычисления с помощью интегралов с особенностями.

Параметр регуляризации некорректной математической задачи проектирования катода-инструмента предложено находить посредством применения реализованного автором непрямого метода граничных элементов по минимуму суммарной ошибки в скорости съема стационарной анодной границы в N контрольных точках:

Для придания большей гибкости процедуре проектирования предложено применять процедуру корректировки катода-инструмента.

Четвертый пункт содержит результаты расчетов, как тестовых, так и необходимых практически. Дано сравнение с результатами предшественников. В качестве тестового примера использовано проектирование катода при образцовом катоде - симметричном угле с раствором 90° и с раствором 270° соответственно при постоянном единичном выходе по току. Решение для катода-пластинки, параллельного подаче, выполнено как с помощью автоматического подбора параметра регуляризации, так и с последующим корректированием полученного катода. В заключение просчитана форма катода, профилирующего внутреннюю стенку шестерни внутреннего зацепления (рис.10).

Пятый раздел диссертации посвящен расчету нестационарного двумерного электрохимического формообразования методом граничных элементов.

где V* - фактический съем в данной контрольной точке на аноде.

В первом

6-

4-

^— а=0.29, Ср.ошибка=0.032

— Коррекция (Ср.ошибка=0.026) ----- Ср.ошибка=0.178

пункте содержится постановка задачи. Модель идеального формообразования дополнена учетом выхода металла по току и поляризации.

Во втором

2-

0 П П л П П 5&

пункте изложено решении задачи путем применения модификации непрямого метода граничных эле-

1 ' I 1 I 1 I 1 I 1 I X ментов, осно--1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 ванного на су-

решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих граничным условиям. Здесь расчетная область практически лишь поверхность, а не вся область, лежащая вне поверхности. Наиболее простым и удобным является непрямой вариант в методе панелей, когда граница области аппроксимируется прямолинейными отрезками (панелями) и интенсивность источников (функция плотности) постоянна на отрезке, причем требуется удовлетворение граничным условиям в середине отрезков. Под границей области для задач ЭХО понимаются границы анода и катода в окрестности искомого участка анодной границы и линии-замыкания, соединяющие анод и катод, которые имитируют силовые линии электрического поля. С учетом этого имеем представление решения уравнения Лапласа:

11

где N - число панелей; с^ - интенсивность источника на ^й панели; расстояние между точкой наблюдения в середине к-й панели (хк,ук) (контрольной точкой) и точкой (х,у) на .¡-й панели равно

Рис. 10

перпозиции простых точных

(5.1)

= л1(хк -х)2 +{у>к - у)2 ; Ф(хк,ук) - значение потенциала в контрольной точке. Проекция вектора напряженности электрического поля в кон—>

трольной точке на внешнюю нормаль п к к-й панели равна

Ея{хк.Ук)=^Хк'Ук)-±Ъ*Л^*, ■ (5-2)

Уравнения (5.1) и (5.2) образуют 2Ы уравнений относительно Cтj, ] = 1,И. На каждой из N панелей ставится одно граничное условие. Если принять потенциал анода равным нулю, то Ф=0 на панелях, аппроксимирующих анод; Ф = и - и„ (Л - подаваемое на электроды напряжение; и„ - потери напряжения) на панелях, аппроксимирующих катод. На изоляции Еп =0; на линиях-замыканиях полагается, что Ф имеет линейное распределение. Соответственно поставленным граничным условиям по уравнениям (5.1), (5.2) формируется матрица А размерности N х N, столбец граничных условий К размерности N и решается матричное уравнение

Аст = Л , (5.3)

где су - столбец неизвестных с^. После нахождения ст из (5.3) по оставшимся неиспользованными уравнениям из (5.1) и (5.2) можно восстановить неизвестные граничные условия на панелях, а формально, заменяя в (5.1) и (5.2) (хк,ук) на точку (х0,у0), лежащую вне границы внутри рассматриваемой области, найти в ней значения потенциала и производной по направлению для этой области. Далее находится съем по анодной границе за время 81 согласно закону Фарадея

1 = , (5.4)

Р

где е - электрохимический эквивалент металла; к - удельная электропроводность электролита; т| - выход металла по току, определяемый из зависимости для конкретного электролита т| от плотности тока к Е„; р - плотность металла анода.

Учет поляризации анода в первом приближении можно сделать в том случае, если известна экспериментальная зависимость поляризации от плотности тока для материала анода и данного электролита. В этом случае можно после расчета выхода по току для вычисленного Е„ изменить Еп согласно величине поляризации анода иР по пропорции (5.5) и уже после этого подставить полученное Е[п вместо Еп в формулу (5.4). Предложенная формула (5.5) основана на допущении прямой зависимости между напряженностью электрического поля в данной точке, создаваемом электри-

ческим полем во всей области, и эффективным напряжением V - и„ - иР в данной точке

, и-и„-иР

Е"-Е" и-п

(5.5)

Эта формула должна удовлетворительно работать для областей, отстоящих на величину нескольких межэлектродных зазоров от областей с резким изменением кривизны границ электродов.

На следующем шаге квазистационарного процесса решение повторяется. В качестве вводного примера применения метода показаны результаты проектирования паза шестерни внутреннего зацепления.

Третий пункт содержит алгоритм и результаты решения задачи по расчету электрода-инструмента методом обратного копирования (рис.11) и расчету формообразования кромки лопатки газотурбинного двигателя (рис.12).

На рисунке 11 цифрой 1 обозначена «образцовая» лопатка; цифра 2 обозначает электрод-

инструмент, полученный «образцовой» лопаткой и анод-деталь, полученную таким электродом-инструментом; цифра 3 обозначает «корректированную» лопатку и изготовленный «корректированный» катод-инструмент, который при обработке заготовки дает «образцовую» лопатку.

Технологические параметры при этом выбраны следующие: межэлектродный зазор после "ощупывания" составляет 0.2 мм; период времени между "ощупываниями" равен 6 с; и = 20 В; 1_ГП = 0 В; р = 8 г/см3; к = 0.11 См/см; 8 = 0.0174 г/(А*мин); выход по току считался постоянным и равным т) = 0.55. Математические параметры: 51 = 1 с; заготовка лопатки -полоса прямоугольного сечения толщиной Н = 2 мм.

Рис.11

При расчетах формообразования кромки лопатки газотурбинного двигателя, представленных на рисунке 12, применен следующий режим обработки: периодическое ощупывание инструментом заготовки; межэлектродный зазор 0.2 мм; период ощупывания 1с; эффективное напряжение 18 В; удельная электропроводность электролита 0.11 1/(Ом*см); электрохимический эквивалент материала лопатки 0.0174 г/(А*мин); плотность материала анода 8 г/куб.см. Математические параметры при этом принимались следующие: максимальное начальное расстояние между расчетными точками области 0.1 мм; шаг расчета по времени 0.2 с.

4.0

2.0

-10

Профилированный катод, электролит N81403 10%, зазор 0.2 мм, период ощупывания 1 с

-9-

Деталь

Верхний инструмент Нижний инструмент Образец Заготовка

-8

-6

X

—I -4

Рис. 12

Описаны программы расчетов. Проведено сравнение расчетов с экспериментом. Предложены рекомендации по получению электродов-

инструментов и применению технологических условий обработки.

В заключении подводятся краткие итоги проделанной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) Развит метод годографа скорости для решения задач двумерного стационарного электрохимического формообразования полигональным катодом-инструментом с многолистным годографом скорости, найдены точные аналитические решения задач для частных случаев. Поставлена и решена задача электрохимического формообразования деталей со щелями.

2) Разработана методика эффективного непосредственного интегрирования в комплексных переменных в методе годографа скорости при решении задач ЭХО.

3) Решена задача о влиянии тепловых полей на двумерное стационарное электрохимическое формообразование, поставлено граничное условие стационарности с учетом теплового поля и сформулирована система предположений, позволяющая получить решение в аналитическом виде.

4) Построен алгоритм численной реализации и программно осуществлено проектирование катода-инструмента для двумерного стационарного электрохимического формообразования с учетом выхода по току на основе интегрального преобразования Фурье. Рассчитаны практические примеры, показавшие эффективность реализации предложенного метода.

5) Построен алгоритм решения, реализованный программно при расчете нестационарного двумерного электрохимического формообразования с учетом выхода по току и поляризации непрямым методом граничных элементов. Решение применено для практических задач ЭХО.

Автор благодарит сотрудников кафедр механики КГУ, профессора A.B. Кузнецова, сотрудников ОАО КМПО H.A. Боговеева, А.Г. Фирсова за участие в совместных исследованиях.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Тихонов A.C. Влияние несимметричности щели на характер течения электролита в зазоре // Тез. докл. Республиканской научн.-техн. конф. молодежи.-Казань, 1991.-С.22-23.

2. Тихонов A.C. Расчет макронеровности при стационарном режиме ЭХО // Городская научн.-техн. конф. Электрофизические и электрохимические методы обработки материалов. -Казань, 1994. -С.23-24.

3. Тихонов A.C. Стационарное электрохимическое формообразование несимметричным четырехгранным катодом // Тез. докл. Всероссийской научн.-техн. конф. Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей. -Казань, 1994. -С.45.

4. Тихонов A.C. О плоских задачах стационарного электрохимического формообразования двухгранным катодом // Тез. докл. Международной научн.-техн. конф. Механика машиностроения. -Набережные Челны, 1995.-С. 6-7.

5. Тихонов A.C. Моделирование электрохимической размерной обработки металлов полигональными катодами-инструментами с учетом влияния тепловых полей // Тез. докл. Международной научн.-техн. конф.

Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении. -Казань, 1995. -С.128-130.

6. Ахметгалеев А.Х., Лебедков Ю.А., Тихонов A.C., Каримов А.Х. Математическая модель и методика расчета технологических параметров процесса электрохимической размерной обработки пера лопаток ГТД в воздушно-электролитных смесях // Тез. докл. Российской научн.-техн. конф. Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей. -Казань, 1995. -С.З.

7. Клоков В.В., Насибулин В.Г., Тихонов A.C., Филатов Е.И. Разработка методов и программного обеспечения для расчета эволюции контура детали при ЭХО в нестационарном режиме // Тез. докл. Российской на-учн.-техн. конф. Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей. -Казань, 1995. -С. 17.

8. Тихонов A.C. Применение метода панелей для расчета формообразования кромки лопатки ГТД при ЭХО II Ж. Известия ВУЗов. Авиационная техника. -1995. -№ 4. -С.47-51.

9. Тихонов A.C. Влияние тепловых полей на двумерное стационарное электрохимическое формообразование // Тез. докл. Российской научн.-техн. конф. Теория и технология электрохимической обработки. -Уфа, 1996.-С.13.

10. Кузнецов A.B., Тихонов A.C. Проектирование катода-инструмента для ЭХО на основе интегрального преобразования Фурье // Тез. докл. Международной научн.-техн. конф. Молодая наука - новому тысячелетию. -Набережные Челны, 1996. —4.1. -С.11-12.

11. Тихонов A.C. Стационарное электрохимическое формообразование поверхности детали со щелями // 3-rd Inter. Tech.-Sci. Conf. Influence of Production Engineering on State of the Surface Layer -SL'96. -Gorzow WLKP, Poland, 1996. -C.236-239.

12. Боговеев H.A., Фирсов А.Г., Тихонов A.C., Филатов Е.И. Электрохимическая обработка участков большой кривизны // 3-rd Inter. Tech.-Sci. Conf. Influence of Production Engineering on State of the Surface Layer -SL'96. -Gorzow WLKP, Poland, 1996. -C.279-281.

13. Bogoveev N.A., Firsov A.G., Filatov E.I., Tikhonov A.S. Computer simulation of the ECM formation process for turbin blade edges // 5 Konfer-encja Naukowo-Techniczna EM'97 (Electromachining). -Bydgoszcz-Golub Dobrzyn, Poland, 1997.-C. 102-106.

14. Tikhonov A.S. The exact analytical solutions for the "IDEAL" steady ECM // 5 Konferencja Naukowo-Techniczna EM'97 (Electromachining). -Bydgoszcz-Golub Dobrzyn, Poland, 1997. -C.349-355.

15. Боговеев Н.А., Фирсов А.Г., Филатов Е.И., Тихонов А.С. Изучение влияния вариации технологических параметров процесса ЭХО на формирование кромок турбинных лопаток // Сб. тр. Всероссийской научн,-техн. конф. Современная электротехнология в машиностроении. -Тула, 1997. —С. 142-143.

16. Тихонов А.С. ЭХО деталей с пазами и кромками непрофилиро-ванным катодом-инструментом // Сб. тр. Всероссийской научн.-техн. конф. Современная электротехнология в машиностроении. -Тула, 1997. -С.142-143.

17. Bogoveev N.A., Firsov A.G., Filatov E.I., Tikhonov A.S. Computer support for «all-round» ECM processing of blades // Int. Conf. On Advances in Production Engineering -APE'98. -Warsaw, Poland, 1998. -P. 2. -C.208-212.

Подписано в печать 22.09.98 г. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Отпечатано в издательском комплексе Управления международных связей КГУ