Гиперболические модели в механике многофазных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Степаненко, Евгений Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Челябинск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Степаненко Евгений Николаевич
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД
01.02.05 — «Механика жидкости, газа и плазмы»
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
5 /-и? 2012
Челябинск - 2012
005020319
Работа выполнена на кафедре общей и прикладной физики Челябинского государственного университета.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор, Суров Виктор Сергеевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор, Яловец Александр Павлович
кандидат физико-математических наук, Данилов Илья Михайлович
Ведущая организация: ОАО «Государственный ракетный центр
имени академика В.П. Макеева», г. Миасс
Защита состоится «19» апреля 2012г. в 10:00 на заседании совета Д212.296.02 в Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Челябинского государственного университета.
Автореферат разослан 45 " марта 2012 года.
Ученый секретарь диссертационного совета ГК
кандидат физико-математических наук, доцент С.Ф.Долбеева
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В современной промышленности при создании и отработке определенных технологий важно проведение качественных и количественных расчетов по протеканию различных физических процессов и явлений в динамических многокомпонентных средах. Примерами таких исследований могут являться: поглощение пористыми структурами ударных волн (экраны из пузырьковых жидкостей, пенные взвеси, аэрозоли и т. д.), исследование течения неоднородных жидкостей и газов, движение грунтовых вод, распространение ударных волн и т.п. Подобные вычисления могут либо позволить успешно провести необходимые работы, либо минимизировать расходы на их проведение. Необходимо отметить, что существующие модели, даже самые простые, чрезвычайно сложны для аналитического решения либо вообще не имеют такового. Универсальность применения каждой из созданных моделей на практике часто ограничена свойствами самой модели.
Как показал анализ соответствующей литературы, указанной проблеме - проблеме создания новых моделей гетерогенной среды - и в отечественной литературе [31-36] и за рубежом [1-30] уделяется серьезное внимание, особенно актуальна разработка гиперболических моделей для описания динамических многофазных сред с произвольным числом компонент смеси. Так, например, в работе [13] проведено исследование трех систем уравнений разных моделей на гиперболичность. Авторами показаны существующие области комплексных решений корней характеристических уравнений для двух систем уравнений моделей и отсутствие таковых для строго гиперболической модели. Похожий анализ встречается и в других работах, например в [27].
Также отметим, что наряду с многоскоростными моделями, учитывающими скорость движения каждой фракции, создаются и успешно применяются односкоростные модели с обобщенной скоростью движения среды для таких реальных сред как, например, пенные взвеси, пузырьковые жидкости и т.д., т.е. для сред, где применение обобщенной скорости физически обосновано.
Указанные выше модели, как и большинство опубликованных в литературе, могут работать только с двухкомпонентной средой. Причем дифференциальные уравнения моделей записаны в виде, не позволяющем провести обобщение на случай среды состоящей из произвольного числа компонент. Отдельно отметим модели, работающие с л-компонентной средой - Lallemand М.-Н. и др., [17], Куропатенко В.Ф. [33] и Сурова B.C.
[39-40]. Так, в работах Сурова В.С. предлагается «обобщенно-равновесная модель» (ОР модель), лежащая в основе настоящего исследования.
Цель работы: на основе ОР модели гетерогенной среды получить математически корректные и физически обоснованные следующие строго гиперболические модели:
1. модификацию ОР модели с учетом теплопроводности среды;
2. модификацию ОР модели с учетом вязкости среды;
3. многоскоростную модель среды на базе ОР модели;
4. разработать гиперболичную модель течения грунтовых вод с модифицированным законом Дарси.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
• Модификация и-компонентной обобщенно-равновесной модели с учетом теплопроводности среды;
• Разработка модели односкоростной многокомпонентной среды, учитывающая наличие релаксационных сил вязкости в смеси;
• Разработка модели многоскоростной многокомпонентной среды;
• Разработка гиперболичной модели течения грунтовых вод с модифицированным законом Дарси.
• Разработка программных комплексов, реализующих указанные модели. Проведение численных расчетов волновых процессов, сравнение с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.
Личный вклад автора.
Участие в разработке модели многоскоростной гетерогенной среды и ОР моделей с учетом теплопроводности и вязкости гетерогенных сред. Разработка программных комплексов, реализующих указанные модели. Поиск численных решений и сравнение с экспериментальными данными полученных результатов. Анализ полученных результатов.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Модель теплопроводной многокомпонентной среды для расчета течений в односкоростных средах. Численные методы расчета для данной модели.
2. Модель вязкой многокомпонентной среды для расчета течений в односкоростных средах. Численные методы расчета для данной модели.
3. Модель многоскоростной многокомпонентной гетерогенной среды. Численные методы расчета для данной модели.
4. Модель течения грунтовых вод с модифицированным законом Дарси.
5. Модификация метода характеристик, предназначенного для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированной пространственной сетке.
6. Модификация метода Годунова С.К., предназначенная для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной адиабатической смеси.
7. Обобщение соотношений Ренкина - Гюгонио на участках терпящих разрыв в случае многоскоростной многокомпонентной смеси.
Научная новизна и практическая ценность.
1. Разработана модель односкоростной вязкой многокомпонентной среды лишенная нефизичных эффектов, связанных с наличием в смеси волн, распространяющихся с бесконечно большими скоростями. Показано, что применение релаксационного уравнения для расчета вязких напряжений вместо обычно используемого соотношения обеспечивает гиперболичность уравнений многокомпонентной среды, что в свою очередь дает возможность получить физически непротиворечивую картину течения и, кроме того, позволяет использовать хорошо зарекомендовавшие себя численные методы решения гиперболических систем уравнений.
2. Представлена модификация теплопроводной модели односкоростной многокомпонентной среды, в которой исключена искусственно введенная несущая фракция, описанная в работе [38].
3. Разработана гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды для произвольного числа фракций в смеси.
4. Представлена гиперболическая модель течения грунтовых вод, в которой применяется модифицированный закон Дарси.
5. Представлен вариант метода характеристик, предназначенный для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированной пространственной сетке.
6. Разработан модифицированный метод Годунова С.К., предназначенный для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной адиабатической смеси, теплопроводной и вязкой ОР моделей.
7. Обобщены соотношения Ренкина-Гюгонио в рамках ОР модели среды.
8. Получены практические результаты моделирования волновых процессов для разработанных моделей.
Апробация работы. Результаты исследований, вошедшие в диссертацию, докладывались:
- на X Международной конференции «Забабахинские научные чтения» 1519 марта 2010 года. - г. Снежинск;
- на VII Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» посвященной 110-летию со дня рождения академика М.А.Лаврентьева. 23-27 августа, г. Новосибирск, 2010;
- на VII Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 12-14 апреля 2011;
- на XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным и программным системам 25-31 мая 2011 года,
- г. Алушта;
- на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики 23-30 августа 2011. г. Нижний Новгород.
На семинаре под руководством д.ф.-м.н. А.П.-Яловца в ФБГОУ ВПО «ЮУрГУ» НОУ (сентябрь 2011г.);
На семинаре под руководством д.ф.-м.н. О.Н. Дементьева в ФГБОУ ВПО "ЧелГУ" (октябрь 2011 г., ноябрь 2011 г.).
На семинаре под руководством д.ф.-м.н. чл.-корр. РАН, профессор Э.Е. Сон в ФГАОУ ВПО «МФТИ (ГУ)» (февраль 2012г.).
Опубликованность результатов.
По теме диссертации опубликованы 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК. Из 5 публикаций 4 статьи в сборниках трудов конференций, в том числе 3 - в международных.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения. Общий объем работы составляет 155 страниц, включая 35 рисунков и список цитируемой литературы из наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность исследования математического моделирования волновых процессов в рамках обобщенно-равновесной модели для многокомпонентных неоднородных сред. Сформулированы цели и задачи данной работы, перечислены основные положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.
В первой главе представлен обзор разработанных гиперболических моделей для гетерогенных сред с 2005 года по настоящее время. В список наименований проанализированных ведущих зарубежных и отечественных журналов вошло более 21 источника, также монографии и труды конференций. На основании анализа публикаций, начиная с 1977 года, получены следующие выводы:
- большинство встретившихся нам гиперболических моделей работают с двухфазной средой;
- дифференциальные уравнения моделей записаны в виде, не позволяющем произвести обобщение на случай п-компонентной среды.
Также можно выделить следующие направления разработанных моделей - модели с обобщенными давлением р1/или скоростями; модели, учитывающие давление и скорость каждой фракции; дивергентного и не дивергентного вида. По составу смеси модели могут работать с пузырьковой жидкостью, туманом, запыленным газом, рассматривают стратифицированное неравновесное течение сред, плотно упакованные гранулированные твердые частички в газовой или жидкостной среде и т.д. Область применения большей части моделей ограничена физическими свойствами моделируемой среды.
Во второй главе приведен материал, являющийся фактически продолжением ■ первой главы, но потребовавший выделения в самостоятельную главу, поскольку все предлагаемые новые модели являются логическим развитием представленного подхода к моделированию гетерогенных неравновесных сред. Таким образом, в этой главе кратко сформулирована уточненная ОР модель многокомпонентной среды. Рассмотрен вариант ОР модели среды в адиабатическом приближении, показана его строгая гиперболичность. Уточнены некоторые свойства ОР модели.
Дифференциальные уравнения односкоростной модели гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром представлены системой
—+ (и-У)р + р<Нуи = 0
81
—+(и-У)и+—§гас1р = 0 й р
—+(и-У)р + рс2<иуи = 0
М + (и.у)р° + р°С(с31уи = 0
^ + (и • V) а, + а,- (Г- в,.) сНу и = 0 да,
81
О)
+ ау<Нуи = 0
где
г _ 1 ( де,
Р 2 де,
р/ ф
, I = 1,..., т - ] = т +1,..., п , п - число
фракций в рассматриваемой модели. Скорость распространения возмущений в среде описывается формулой
с-
р ф к р де ( де; ^ де / -Г У V"1 де j-m+\ 1
р де ^Зе,ГЗе,ЛУа, Зе де
(2)
Также, впервые обобщены соотношения Ренкина-Гюгонио на участках терпящих разрыв в случае односкоростной многокомпонентной смеси в виде векторного соотношения
М = Л[и], (3)
обобщающим соотношения Ренкина-Гюгонио на односкоростные многокомпонентные смеси и которые выражают законы сохранения массы, импульса и энергии через поверхность разрыва.
В выражении (3) приняты следующие обозначения:
и = (р,р«,ре,а1р°,...>а„р°,а,р°и,...,атр°«,а1р|)е1,...,а„р°е|„,а„+1,...,а„)Т) Р = (ри,р + р«2,(р + ре)и,а,р°и,...атр°и,а1(р+р°е1),...,аЛ1(р + р°е„), а, (р+Р?е,)",- ■ •, а„ (Р + Р° ет )и, а„+1и,... ,а„и)Т.
Здесь Т - оператор транспонирования, символ [•••] обозначает скачок соответствующей величины при переходе через поверхность разрыва, например, [ри] = РА - Ро"о •
Р,° , р, =т1/У , а,. = У,/У , и - истинная (физическая) плотность, приведенная физическая плотность, объемная доля (пористость) ¡-го компонента смеси и вектор скорости.
е - удельная внутренняя энергия смеси, определяемая из
выражения
В третьей главе представлены новые гиперболические модели: односкоростная многокомпонентная модель с учетом теплопроводности среды; односкоростная многокомпонентная модель среды с учетом вязкости среды; модель многоскоростной многокомпонентной среды; модель течения грунтовых вод с модифицированным законом Царей. Также приведены некоторые модельные расчеты.
В первом параграфе третьей главы рассматривается модификация ОР модели с учетом теплопроводности [А1]. Дифференциальные уравнения модели представлены системой:
а '( 1. р е + - и + <иу
& Л 2 1 )_
—+сИу(ри) = 0
а
+ (и-У)и
+%ггЛр = ¥
р|Е + 1|и|г+£|и + \У
= Ги
х|£^+(и.у^+5С8гас1Г + \У = 0 &х,р°
(4)
81
*=1 а,Р
к* 1 Г/ 1=1
гдеЕ| =Б,(ЛР?)« Г, = ТХр,рЧ), с =
По сравнению с работой [38] в данной модификации удалось избавиться от искусственно вводимой несущей фракции. Дополнительное слагаемое, входящее в четвертое уравнение системы (4), представляющее собой модифицированный закон теплопередачи Фурье и учитывающую релаксационные процессы в смеси, позволяет получить гиперболическую систему уравнений. В решении отсутствуют волны, распространяющиеся с бесконечно большими скоростями. Так модель показывает, что возмущения в смеси распространяются со скоростями:
где с; - скорость звуковых волн в среде, с2 - скорость тепловых волн.
Систему дифференциальных уравнений (4) можно записать в векторно-матричном виде:
—+А—= 81 дх
где и = (р. "> р, р|° а,,.. 0 ' Рт-\ > > в = (0,..
и р 0 0 0 0 0 0 0 0 ~
0 и 1/Р 0 0 0 0 0 0 0
0 рсг и 0 0 0 0 0 0 н
0 0 и 0 0 0 0 0 0
0 а, (1-0,) 0 0 и 0 0 0 0 0
А = 0 0 0 0 и 0 0 0 0
0 ) о 0 0 0 и 0 0 0-
0 0 0 0 0 0 и 0 0
0 а» 0 0 0 0 0 0 и 0
л 0 К к, К К к„ р-ч ... ка_
Данная система будет гиперболичной, так как корни характеристического уравнения (4) - действительные числа ( и-су,и-с2,и,...,и,и+с2,и+су ). и собственные векторы матрицы А, соответствующие корням характеристического уравнения, линейно независимы, поскольку матрицу А можно представить в виде а = ПЛП"1.
Модельный расчет методом КИР для задачи распада разрыва в одномерном случае дает следующие результаты (рис. 1).
Начальные условия для данной задачи сведены в таблицу 1. Все величины приведены в системе СИ.
Таблица 1
Ро
Х<0 0.15* 106 ЛХ) 0.1*10*
\
а0
0.073 0.1
То
313° 293°
Л)
А о 1.67 1.19
Ут
1.4 1.4
&
1000 1000
X,
2.58*10" 2.58*10"'
Х2
60.2*10"' 60.2*10"'
Г
т
100 100
Рис.1. Зависимость параметров течения при распаде произвольного разрыва к моменту времени 1=0,4 мс в водно-воздушной смеси (штриховые кривые); при отсутствии теплопроводности (сплошные); с удвоенным значением % (штрихпункгирные).
Во втором параграфе третьей главы рассматривается модификация ОР модели с учетом релаксационных сил вязкости в смеси [А4]. Дифференциальные уравнения модели представлены системой. др дри
+— = 0 81 дх
ди Зи 1 д(р-а)
—+и — +---- = 0
Ы дх р дх
. да да} ои х —+и— \-и—+а = 0 1 Ы дх) дх
Г( «21 д ( г > и р-<7
р Е+ — +— р Е Н— +-- и
Л 2 дх 1 2 Р >
(6)
дар? 5а,.|
81
т
-=о
дх
ЭеЛ р(да$ д1 +и дх) д1
да А;'
1_аГ
= 0
дГ дх
Данную систему (6) также можно представить в векторно-матричном виде (5), где
в = (0,0,0,-а/т, 0, ...,0)т>
а =
(7)
и = (р,и ,Р> а,,.. )т>
/ и р 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 и 1/Р -1/Р 0 0 0 0 0 0 0
0 рс2 и 0 0 0 0 0 0 0 0
0 ~Ф 0 V 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 и 0 0 0 0 0 0
0 а, (1-С,) 0 0 0 и 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 и 0 0 0 0
0 <*-, 0-<?„_,) 0 0 0 0 0 и 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 и 0 0
1° 0 0 0 0 0 0 0 0 и
Здесь ^ _ 1 | 5е,
Р ^
-Т-рс
де,
р; дР
Для общего случая матрицу А тоже удается записать в виде А = ПЛП"1. Собственные значения матрицы (7) - действительные числа: и-С,и,...,и,и+С, где с= I - скорость звука в среде.
V Рт
В рамках данной модели приведены модельные расчеты двух
задач.
Задача 1. Задача распада произвольного разрыва в газожидкостной смеси с двумя сжимаемыми фракциями для случая, когда две одинаковые справа и слева среды движутся в разные стороны. Начальные данные приведены в системе СИ в таблице 2.
Таблица 2
Ра "о «0 Рю Г(.) Рт м, Рг Рг г
Х<0 1*106 -10 0.1 1000 1.4 1,19 100 1000 5000 0,01
А">0 1*106 .10 0.1 1000 1.4 1,19 100 1000 5000 0,01
-40 -30
Рис 2. Зависимости к моменту I = 0.4 мс для режима течения с двумя волнами разрежения при ц= 100 кг/(м-с) (кривые 1); 1000 (2); 5000 (3).
Задача 2. Течение вязкой смеси при наличии в ней ударных волн. Здесь рассматривается задача распада произвольного разрыва в газожидкостной смеси с двумя сжимаемыми фракциями для случая, когда две одинаковые справа и слева среды при разных давлениях, разделены диафрагмой, мгновенно убираемой в начальный момент времени /=0.
Начальные данные задачи приведены в системе СИ в таблице 3.
Таблица 3
Ро "о а0 А°о У(„ А°о М т Х<0 0,15*106 0 0.09 1000 1.4 1,19 1000 0,01 Х>0 0,1*106 0 0.09 1000 1.4 1,19 1000 0,01
■ 0.88 I-■-■-1--■-.->-
. _, -40 -20 0 20 40 I
-40 -20 0 20 40 Л
Рис. 3. Зависимости искомых параметров к моменту I = 0.6 мс дня режима течения с ударной волной и волной разрежения при д = 1000 кг/(м с) (кривые 1); для невязкой среды (2).
В третьем параграфе третьей главы представлена модификация ОР модели с учетом собственной скорости каждой фракции, т.е.
многоскоростная модель [А2,А5]. Дифференциальные уравнения модели представлены в виде системы дифференциальных уравнений.
Ф | аР" - о
д( дх
ди ди 1 др . — + и— + -^г-=0 й дх р ах
& дх \ 81 дх)
о і ди, ди,- ^ , да.р , , .
дх) дх
да,Р° , да.Р.Ч _ о
Э/ дх д_ ді
да,. да,и.
(8)
а,.р>° (є,
дх
да.ри. . .
дх
ді
аЛ
Эх
= 0
'5м,.
5м,
- + и<
а ' & \ /
Р = Еа,Р,°
(=1
где А, - модельный коэффициент, структура которого может быть расписана по аналогии [13]:
Систему уравнений (8) можно представить в векторно-матричном виде (5), где
\Т
и = (р, и, р, а0, щ,а„. ..,р°.„ а„+1,..., и„,а„) >
0,0,0,0,
\(»-».) о о д п 0....."„У—
и р 0 0 0 0 .. 0 0 0 0 0 .. 0 0
0 и 1 р 0 0 0 .. 0 0 0 0 0 ... 0 0
0 рс> и 0 0 0 .. 0 0 0 0 0 ... 0 0
0 "Я, -К, ы, -к 0 . . 0 0 0 0 0 .. 0 0
0 0 1 рГ 0 "і О, .. 0 0 0 0 0 .. 0 0
0 а,Я, Р.° о-А р? 0 ч2 О, • .. 0 0 0 0 0 .. 0 0
0 -К„А 0 0 0 . -4м 0 0 0 .. 0 0
0 0 1 Рі, 0 0 0 .. 0 0 0 .. 0 0
0 РІ-, Р1-, - 0 0 0 ... 0 «v, "л-1 0 0 ... 0 0
0 0 1 рі. 0 0 0 . . 0 0 0 Ч..1 ... 0 0
0 0 0 0 0 0 . . 0 0 0 .. 0 0
0 0 1 р! 0 0 0 . . 0 0 0 0 0 .. ыи
0 0 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 0 • а„ ы
Собственными значениями матрицы А, являются:
и±с, и, Мі±С), «„..., ит_,±ст^, ..., «т+1±ст+1, ..., и„±с„, где
Р Ф Аи р 8г ( дгЛ дг іїЩдії) +а'да, ( г \-Л V-1 де 2-Лэа,.
р де Vі! де, ( де, (а, де де "ї
для і'= 1, ..., т- 1 , с = I р^
' V«
для/ = т+ 1, ... ,и, [У.
Матрицу Л можно представить в виде А=Ш£2~' - следовательно, наша модель строго гиперболична.
В рамках многоскоростной модели была рассчитана задача распада произвольного разрыва в трехкомпонентной смеси с двумя несжимаемыми фракциями (рис.4) с начальными условиями из таблицы 4.
Таблица 4
Х<0 0.12*10 Х>0 0.1 10:
Р " Щ 5 О О
О о
Щ Р"е й РГ а? а, а2 О 1.19 1000 500 0.8 0.1 0.1 О 1.19 1000 500 0.8 0.1 0.1
1.20 1,15 1.10 1.05 1.00
Л_
-40 -20 0 20 40 х
-40 -20 0 20 40 х
ги
Рис. 4. Распад разрыва в трехкомпонентной смеси при А;=0 (1), Зкг/(м3-с)(2)
В четвертом параграфе третьей главы рассматривается ударная адиабата смеси без привлечения гипотезы об аддитивном ударном сжатии компонентов смеси. Получены уравнения, представляющие собой общую форму соотношений, связывающие параметры по обе стороны от поверхности разрыва. Эти соотношения обобщают известные соотношения Ренкина - Гюгонио на многоскоростные многокомпонентные смеси и выражают законы сохранения потоков массы, импульса и энергии через поверхность разрыва: рI (а, -£)) = РЬ(«0 - П). ид (и, - О) + р, = ад(и0 - О) + ра. р5 (и, - О) (с, + и* ¡2) + р,и, = д, К - О) (е0 + «„72) + р0и0 > рй (иа -£>) = $„ (и10 - £>) > « = 1.....т~1'
Р,,«„(«„ + а»Р. = йоЧо(Чо+ аюРо' ^
а р(и„ - В) = а,0(иу0 -О), ] = т+\,...,п,
а*Р/Ч ("у " + = «.оР/Чо (";0 - + "уоРо •
Рассчитана задача о движении ударной волны в пузырьковой жидкости (рис 5.). Ударная волна перемещается по неподвижной (щ = О, р0 = Ю5 Па, ао/=0.98) водно-воздушной смеси. Коэффициенты уравнения состояния (3.4.1) для воды равны: д=5.59, р.¿=1000 кг/м3, сч =1515 м/с. Для газовой составляющей - ус=1.4, р.<~=1.24 кг/м3, с.а =0.
Рис. 5. Зависимости параметров течения р5, , Л, а,5 за ударным фронтом от шгтенсивности ударной волны р /р0
В пятом параграфе третьей главы представлена модель течения грунтовых вод в пористой среде [А2], описываемая следующей системой уравнений:
dh.Su дИ . —+й— + и— = 0 д1 дх дх
ди ди 1 др т\ —+и— \ = -и—-и 51 дх) дх
р = р£Ь->гсо№1
(10)
В диссертации показано, что система уравнений (10) строго гиперболична. Если же использовать оригинальный закон Дарси с г=0, то скорости перемещения и возмущения становятся бесконечно большими. Коэффициент т является модельным коэффициентом, но в реальных условиях его можно связать с такими физическим характеристиками грунта, как пористость, влагоемкость и т.д., характеризующими свойства конкретных грунтов. Указанная проблема является одним из дальнейших направлений нашей работы.
В четвертой главе рассмотрены численные методы расчета течений для обобщенно-равновесной модели среды [АЗ].
Представлен метод характеристик на фиксированной пространственной решетке, приведен расчет двумерных установившихся течений смеси, также рассмотрен метод характеристик, предназначенный для интегрирования одномерных уравнений односкоростной
многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированных пространственных сетках со «сквозным» расчетом ударных скачков.
Необходимо отметить что, рассмотренные подходы могут быть непосредственно распространены на задачи с несколькими пространственными переменными.
На примере многоскоростной модели проведены расчеты и сравнение с экспериментальными данными [35]. Так было рассмотрено обтекание клина с различными углами (1-42-10°, 3-14°) пузырьковой жидкостью со скоростью, превышающей скорость звука. Результаты представлены на рис.6.
10
К
Рис. 6. Сравнение расчетных данных и Рис. 7. Зависимость скорости ударной волны экспериментальных при обтекании от давления за ее фронтом, пузырьковой жидкости около клина. 1- ОР модель в адиабатическом приближении.
2- многоскоростная модель.
3- экспериментальные значения.
Применяя соотношения (9) полученные для многоскоростной среды, рассчитана скорость прохождения УВ по покоящейся однородной газо-жидкостной смеси. На рис. 7 приведены расчетные и экспериментальные [8] зависимости скорости распространения УВ в водно-глицериновом растворе с пузырьками воздуха от давления за ее фронтом при различной концентрации газа в смеси (ро=10 Па).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
^ Представлена новая гиперболичная модель многоскоростной многокомпонентной среды, основанная на законах сохранения. Показано, что уравнения модели среды относятся к гиперболическому типу. С использованием численного метода Куранта - Изаксона - Риса рассчитан ряд задач о распаде произвольного разрыва в запыленном газе; ^ Разработана модель односкоростной многокомпонентной среды, учитывающая наличие релаксационных сил вязкости в смеси. Показано, что уравнения модели среды относятся к гиперболическому типу. С использованием численного метода Куранта - Изаксона - Риса рассчитан ряд модельных задач;
^ Получена модификация модели односкоростной многокомпонентной среды с учетом теплопроводности. Доказана гиперболичность этой модели. В рамках данной модели приведено решение ряда задач. В модели отсутствуют нефизические эффекты, связанные с бесконечно большими скоростями распространения тепловых возмущений, свойственные моделям, использующим классический закон Фурье;
^ На базе ОР модели разработаны и уточнены соотношения Ренкина-Гюгонио для многоскоростной, многокомпонентной среды; ^ Созданы модификации метода Годунова для работы с моделями на базе систем дифференциальных уравнений недивергентного вида. Необходимо отметить, что в рамках предложенных моделей хорошо зарекомендовал себя и метод Куранта - Изаксона - Риса; ^ Модифицирован закон Дарси, что позволило получить гиперболическую модель течения грунтовых вод.
Все новые модели, предложенные в данной диссертации строго гиперболичны, основаны на физических законах, лишены нефизичных явлений, связанных с бесконечно большими скоростями распространения возмущений в среде.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:
Список публикаций из списка ВАК: А1. Степаненко Е.Н. Сеточный метод характеристик для расчета течений односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды / Е.Н. Степаненко, B.C. Суров // Вестник Челябинского государственного университета. 2010. №24 (205) Физика. Вып. 8. С. 15-22. А2. Степаненко Е.Н. Новые гиперболические модели в механике многофазных сред / Е.Н. Степаненко, B.C. Суров // Вестник Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского. - 2011. - Вып.4(5). - С.2518-2519.
Статьи в иных журналах и сборниках трудов конференций: A3. Степаненко Е.Н. Модификация метода Годунова для расчета течений односкоростных многокомпонентных адиабатических смесей / Е.Н. Степаненко, B.C. Суров // Тезисы докладов. Международная конференция. Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Новосибирск. 2010. С.231-232. А4. Степаненко Е.Н. Новые гиперболические модели в механике сплошных сред. Разработка и численная реализация / Е.Н. Степаненко, B.C. Суров // Забабахинские научные чтения: Сборник тезисов докладов X Международной конференции, 15-19 марта 2010 года. -РФЯЦ - ВНИИТФ, г. Снежинск. С. 259. А5. Степаненко Е.Н. Динамика многофазных сред. Новый подход / Е.Н.Степаненко, B.C. Суров // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным и программным системам, 25-31 мая 2011 года. - г. Алушта. С.618-620.
СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
1 Abgrall R., Kami S. Computations of compressible multifluids / J. Сотр. Phys. 2001. V.169. P. 594-623.
2 Allaire G., Clerc S., Kokh S. A five-equation model for the simulation of interfaces between compressible fluids / J. Сотр. Phys. 2002. V.181. P. 577-616.
3 Andrianov N., Saurel R., Warnecke G. A simple method for compressible multiphase mixtures and interfaces, Int. J. Numer. Meth. Fluids 2003; 41:109-131.
4 Baer M., Nunziato J. Two-phase mixture theory for the deflagration to
detonation transition (DDT) in reactive granular materials. International journal Multiphase Flows.l2:861-889,1986.
5 Chung M.S., Lee S.J. A modified semi-implicit method for a hyperbolic two-fluid model, Applied Numerical Mathematics 59 (2009) 2475-2488
6 Cook T.L., Harlow F.H. Vortices in bubbly two-phase flow, Int. J. Multiphase Flow Vol.12, № l,pp.35-61,1986.
7 Drew D. A., Mathematical modeling of two-phase flow, Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. 15:261-91.
8 Eddington R. B. Investigation of supersonic phenomena in a two-phase (liquid - gas) tunnel / AIAA J. 1970. V. 8, N. 1. P. 65-74.
9 Embid P., Baer M. Mathematical analysis of two-phase continuum mixture theory, Continuum Mech. Thermodyn. 4 (1992) 279-312.
10 Fedkiw R.P., Marquina A., Merriman B. An Isobaric Fix for the Overheating Problem in Multimaterial Compressible Flows, Journal of Computational Physics 148, 545-578 (1999).
11 Gavrilyuk S.L. Acoustic properties of a two-fluid compressible mixture with micro-inertia, European Journal of Mechanics B/Fluids 24 (2005) 397-406
12 Herard J.-M. A three-phase flow model//Mathematical and computer modeling. 2007. V. 45. P. 732 - 755.
13 Hudson J., Harris D. A high resolution scheme for Eulerian gas-solid two-phase isentropic flow, Journal of Computational Physics 216 (2006) 494525.
14 Ivings M.J., Causon D.M., Toro E.F. On Riemann solvers for compressible liquids, Int. J. Numer. Meth. Fluids 28: 395-418 (1998).
15 Jayanti S., Valette M., Prediction of dryout and post-dryout heat transferat high pressures using a one-dimensional three-fluid model, International Journal of Heat and Mass Transfer 47 (2004) 4895-4910.
16 Kapila A. K., Son S.F., Bdzil J.B., Menikoff R., Stewart D. S, Two-phase modeling of DDT: Structure of the velocity-relaxation zone. Phys. Fluids 9 (12), December (1997), 3885-3897.
17 Lallemand M.-H., Chinnayya A., Metayer O. Le, Pressure relaxation procedures for multiphase compressible flows, Int. J. Numer. Meth. Fluids 2005;49:1-56.
18 Leea S.J., Chang K.S., Kim K. Pressure wave speeds from the characteristics of two Fuids, two-phase hyperbolic equation system, International Journal of Multiphase Flow 24 (1998) 855-866.
19 Lowe C.A., Two-phase shock-tube problems and numerical methods of solution, Journal of Computational Physics 204 (2005) 598-632.
20 Murrone A., Guillard H. A five-equation reduced model for compressible two phase flow problems / J. Comp. Phys. 2005. V.202. P. 664-698.
21 Ndjinga M., Kumbaro A., Vuyst F., Laurent-Gengoux P., Numerical simulation of hyperbolic two-phase flow models using a Roe-type solver, Nuclear Engineering and Design 238 (2008) 2075-2083.
22 Pokharna H.,Mori M., Ransom V.H., Regularization of Two-Phase Flow Models: A Comparison of Numerical and Differential Approaches. Journal of computational physics,№ 134,282-295 (1997).
23 Ransom V. H.,Hyperbolic Two-Pressure Models for Two-Phase Flow, Journal of computational physics,№ 53,124-151 (1984).
24 Romenski E., Того E.F., Hyperbolicity and one-dimensional waves in compressible two-phase flow models, Shock Waves (2004) 13:473-487.
25 Romenski E., Drikakis D., Того E. Conservative Models and Numerical Methods for Compressible Two-Phase Flow, J Sci Comput (2010) 42: 68-95
26 Saurel R., Métayer О., Massoni J., Gavrilyuk S. Shock jump relations for multiphase mixtures with stiff mechanical relaxation, Shock Waves (2007) 16:209-232
27 Thanh M.D. On a two-fluid model of two-phase compressible flows and its numerical approximation, Commun Nonlinear Sci Numer Simulât 17 (2012) 195-211
28 Trapp J. A., Welch S. W. J. An interface constitutive modeling problem for compressible flows with mass transfer/Ant. J. Eng. Sci. 2010. V. 48. P. 1896 -1906.
29 Wackers J., Koren В., A folly conservative model for compressible two-fluid flow, Int. J. Numer. Meth. Fluids 2005; 47:1337-1343
30 Zein A., Hantke M., Warnecke G. Modeling phase transition for compressible two-phase flows applied to metastable liquids//J. Comput. Phys. 2010. V. 229. P. 2964-2998.
31 Волосевич П. П., Леванов Е. И., Северина Е. В. Решения типа бегущих волн с учетом гиперболического переноса / ИФЖ. 2008. Т. 81. № 2. С. 290-302.
32 Годунов С.К., Роменский Е.И., Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. - Новосибирск: Научная книга,1998. - 280 е., ил. (Университетская серия. Т. 4)
33 Куропатенко В.Ф., Новые модели механики сплошных сред. // Инженерно-физический журнал. 2011. Т. 84, №1. С. 74-92.
34 Ляхов Г. М. Ударные волны в многокомпонентных средах / Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1959. №1. С. 46-49.
35 Наноряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. И др., Экспериментальное исследование ударных волн в жидкости с пузырьками газа // Волновые процессы в двухфазных системах . Новосибирск. 1975. С. 54-97.
36 Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука. 1987. 4.1. 464 с.
37 Рахматулин X. А. О распространении волн в многокомпонентных средах /ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.4. С. 598-601.
39 Суров В. С. О локализации контактных поверхностей в многожидкостной гидродинамике. // ИФЖ. 2010. Т.83. №3. С. 518-527.
46 Суров B.C. Гиперболическая модель односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды. // ТВТ. 2009. Т.47. №6. С. 905-913.
47 Суров B.C. Задача Римана для односкоростной модели многокомпонентной смеси // ТВТ. 2009. Т.47. №2. С. 283-291.
48 Суров B.C. Односкоростная модель гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2008, том 48, №6, 1111-1125.
38 Суров B.C. Односкоростная модель многокомпонентной теплопроводной среды // ИФЖ. 2010. Т.83. №1. С. 132-141.
40 Суров B.C. Ударная адиабата односкоростной гетерогенной среды. // ИФЖ. 2006. Т. 79. №5. с. 46-52.
Подписано к печати 6.03.2012 г. Формат 60x84 1/16 Объем 1,0 уч.издл. Тираж 100 экз. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе в типографии МБОУ лицей №31 города Челябинска. 454080, г. Челябинск, ул. Володарского, 18.
61 12-1/1028
ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
СТЕПАНЕНКО ЕВГЕНИЙ НИКОЛАЕВИЧ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД
(Специальность 01.02.05 - «Механика жидкости, газа и плазмы»)
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор,
Суров Виктор Сергеевич
Челябинск 2012 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................................3
ГЛАВА I ОБЗОР МОДЕЛЕЙ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД
1.1. Обзор моделей многокомпонентных сред.....................................................................12
ГЛАВА II ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ОБОБЩЕННО-РАВНОВЕСНОЙ МОДЕЛИ СРЕДЫ
2.1. Дифференциальные и интегральные уравнения модели.............................................34
2.2. Интегральные уравнения для одномерного плоского течения смеси........................42
2.3. Разрывные решения обобщенно-равновесной модели среды.....................................44
2.4. Дифференциальные уравнения модели в адиабатическом приближении.................49
2.4.1. Многомерные течения смеси ......................................................................................55
2.4.2. Характеристики и условия совместности.......................... ........................................61
2.4.3. Корректность задачи Коши..........................................................................................68
2.4.4. Распад произвольного разрыва в многокомпонентной смеси.................................70
ГЛАВА III НОВЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД
3.1. Односкоростная многокомпонентная модель теплопроводной смеси.......................78
3.2. Гиперболичная модель вязкой смеси............................... ..............................................83
3.3. Гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды...............................91
3.4. Ударная адиабата многоскоростной гетерогенной среды.........................................101
3.5. Течение грунтовых вод в пористой среде........................... ........................................106
ГЛАВА IV ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
4.1. Метод характеристик на фиксированной пространственной сетке..........................107
4.1.1. Расчеты двумерных установившихся течений смеси..............................................111
4.1.2. Метод характеристик для теплопроводной смеси...................................................119
4.2. Модификация метода Годунова С.К. для течений односкоростной многокомпонентной смеси...................................................................................................130
4.3. Сравнение некоторых расчетов с экспериментальными данными...........................141
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................................143
ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................................................144
Введение
Как показывает анализ современной отечественной и зарубежной литературы, в настоящее время для проведения вычислений по протеканию различных физических явлений в динамических гетерогенных средах важна разработка гиперболических, математически и физически корректных моделей многокомпонентных смесей. Подобные вычисления могут быть весьма актуальны в ряде отраслей современной промышленности, медицине и т.п. Примерами таких расчетов могут являться - защита пористыми структурами от ударных волн (экраны из разнородных пузырьковых жидкостей, пенные взвеси и т.д.); исследование течения неоднородных жидкостей и газов (распространение волн в запыленных воздушных средах, течение грунтовых вод, течение многокомпонентных вязких жидкостей) и т.п.
Требование получения гиперболических моделей весьма актуально, так, например, в модели, обозначенной в работе [93], оказалось, что для смесей, содержащих две или более сжимаемые фракции, задача Коши корректна лишь в ограниченном диапазоне скоростей. В частности, при течении газопарокапельной смеси задача Коши корректна при скорости движения смеси не превосходящей 55 м/с. В работе [32] проведено исследование трех систем уравнений разных моделей на гиперболичность. Так авторами показаны существующие области комплексных решений для двух систем и отсутствие таковых для гиперболической модели. Но данные модели могут работать только с двухкомпонентной средой, как и большая часть гиперболических моделей, встретившихся нам в научной литературе.
Поэтому, существует необходимость создания моделей работающих с произвольным числом фракций многокомпонентной среды. Данной проблеме посвящено большое число работ Куропатенко В.Ф.[79-90]. Так, в обзорной статье «Новые модели механики сплошных сред» рассматриваются «пути перехода от традиционных моделей механики сплошных сред к моделям нового поколения на примере модели многокомпонентной среды» [90,С.74.]. В ней автором
предлагается фундаментальный подход, основанный на переходе от микро к макропараметрам, описывающих состояние вещества. В настоящей диссертации предлагается более общий подход в решении этой задачи - мы смотрим на моделируемую среду в целом, записывая для нее законы сохранения в общем виде, а недостающие для замыкания системы уравнений выражения рассматриваются отдельно для каждой из фракций, также основанные на законах сохранения. Суть такого подхода более подробно изложена в работах Сурова В.С.[104-117].
Отметим, что в зарубежной литературе созданию гиперболических моделей уделяется большое внимание. Так ключевой отправной точкой создания гиперболических моделей можно считать статью «Two-phase mixture theory for the deflagration to detonation transition (DDT) in reactive granular materials » (1986 г.) M. Baer и J. Nunziato [6]. Но, однако, в современной зарубежной научной литературе нам не встретилось, ни одной публикации о гиперболичных моделях п-компонентных сред с учетом вязкости и теплопроводности.
За основу разработки предлагаемых нами односкоростных, с общим давлением моделей учитывающих вязкость и теплопроводность, была взята ОР модель. В ОР модели движение каждой фракции описывается уравнением газодинамического типа, поэтому число уравнений пропорционально количеству фракций в смеси. Где подразумевается, что в конечном, достаточно малом объеме пространства одновременно находятся п различных фракций среды с учетом сил межфракционного взаимодействия, причем т из них - сжимаемые. Дифференциальные уравнения, описывающие поведение гетерогенной среды основаны на представлении о том, что в достаточно малом объеме разнородные фракции вещества двигаются с равновесной скоростью при неком общем давлении, что и обуславливает название модели. При выводе дифференциальных уравнений ОР модели заложена возможность дальнейшего учета таких физических процессов, как теплообмен между фракциями, взаимодействие между ними. Дальнейшая разработка ОР модели позволяет получить качественно новые результаты.
Таким образом, в материале данной диссертации обозначен подход, направленный на разработку гиперболических моделей для описания динамических многофазных сред с учетом таких физических явлений как теплопроводность и вязкость. Также в данной диссертации представлена гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды, в которой скорости отдельных фракций полагаются разными.
В ранних моделях в качестве основных уравнений использовались газодинамические, которые замыкались достаточно сложными уравнениями состояния, призванные хорошо описывать поведение гетерогенных смесей. Например, в [91] приведено одно из таких уравнений состояния, которое было получено из условия изэнтропичности каждой из составляющих смесь фракций. Поскольку это же уравнение состояния использовалось и для расчета ударных скачков, в [94] для последних было предложено применять ударную адиабату гетерогенной смеси. Отметим также [118], в которой сложные свойства гетерогенных систем, описываемые газодинамическими уравнениями, предлагалось аппроксимировать с использованием переменного показателя адиабаты смеси. В указанных случаях системы дифференциальных уравнений имеют вид, не позволяющий их дальнейшее распространение на смесь, состоящую из произвольного числа п фракций. А ряде случаев, для достижения гиперболичности системы, в моделях применяются физически мало обоснованные выражения.
Во всех предложенных нами многокомпонентных моделях гетерогенных сред применяются дифференциальные уравнения являющиеся следствиями физических законов сохранения массы, энергии, импульса и т.д.
Вышеперечисленное обуславливает актуальность работы, и предопределяет цель работы:
На основе ОР модели гетерогенных сред получение математически корректных и физически обоснованных гиперболических моделей гетерогенных сред с учетом теплопроводности и вязкости среды. Разработка гиперболичной многоскоростной модели среды.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
• Уточнение некоторых свойств ОР модели среды;
• Разработка гиперболической многокомпонентной ОР модели с учетом теплопроводности среды;
• Разработка гиперболической многокомпонентной ОР модели с учетом вязкости среды;
• Разработка на базе ОР модели многоскоростной многокомпонентной гиперболической модели среды;
• Расширение области применения метода характеристик, метода Годунова С.К. на системы уравнений недивергентного вида;
• Получение численных результатов на основе разработанных численных методик волновых процессов в рамках разработанных моделей.
Научная новизна и практическая ценность.
Впервые представлена модель односкоростной вязкой многокомпонентной среды лишенная нефизичных эффектов, связанных с наличием в смеси волн, распространяющихся с бесконечно большими скоростями. Показано, что применение релаксационного уравнения для расчета вязких напряжений (теплопроводности) вместо обычно используемого соотношения обеспечивает гиперболичность уравнений многокомпонентной среды, что в свою очередь дает возможность получить физически непротиворечивую картину течения и, кроме того, позволяет использовать хорошо зарекомендовавшие себя численные методы решения гиперболических систем уравнений.
Представлен вариант метода характеристик, предназначенный для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированной пространственной сетке.
Разработан модифицированный метод Годунова С.К., предназначенный для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной адиабатической смеси.
Обобщены соотношения Ренкина-Гюгонио в рамках ОР модели среды.
Личный вклад автора.
Участие в разработке модели многоскоростной гетерогенной среды и ОР
моделей с учетом теплопроводности и вязкости гетерогенных сред. Разработка
б
программных комплексов реализующих указанные модели. Поиск численных решений и сравнение с точными решениями полученных результатов. Анализ полученных результатов.
Апробация работы. Результаты исследований, вошедшие в диссертацию, докладывались на:
- X Международной конференции «Забабахинские научные чтения» 15-19 марта 2010 года. - г. Снежинск;
- VII Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» посвященной 110-летию со дня рождения выдающегося русского математика и механика, организатора Сибирского отделения Российской академии наук, академика М.А.Лаврентьева. 23-27 августа, г. Новосибирск, 2010;
- VII Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 12-14 апреля 2011;
- XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным и программным системам 25-31 мая 2011 года, - г. Алушта;
- X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики 23-30 августа 2011. г. Нижний Новгород.
Опубликованность результатов.
По теме диссертации опубликованы 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованными ВАК, 5 статей в сборниках трудов конференций, в том числе 3 международных.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем работы составляет 155 страниц, включая 35 рисунков и список цитируемой литературы из 119 наименований.
В первой главе представлен обзор разработанных гиперболических моделей для гетерогенных сред с 2005 года по настоящее время. В список наименований проанализированных ведущих зарубежных и отечественных журналов вошло более 21 источника, также монографии и труды конференций.
Во второй главе рассмотрена модель односкоростной обобщенно-равновесной п-компонентной смеси. В ее рамках показан вывод уравнений,
выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии для отдельных фракций и для смеси в целом в интегральном и дифференциальном виде.
При формулировании модели в общем виде были учтены: различные процессы теплообмена внутри смеси и для отдельных ее компонентов, возможность фазовых переходов, химических превращений, силы межфракционных взаимодействий, вязкость среды.
На примере одномерного плоского течения смеси осуществлен вывод интегральных уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии для компонентов смеси в общем виде и для всей смеси в целом.
Обобщены соотношения Ренкина-Гюгонио на участках терпящих разрыв в случае односкоростной многокомпонентной смеси.
Отдельно рассмотрен адиабатический вариант обобщенно-равновесной модели. Получены уравнения модели в интегральной и дифференциальной формах, удобные для их анализа и численного интегрирования в дальнейшей работе с ними. Показано, что уравнения модели гиперболичны.
Приведен анализ уравнений модели для адиабатического приближения для одномерных, двумерных и многомерных нестационарных течений смеси. Показана корректность задачи Коши для обобщенно-равновесной модели, в ее рамках проведена проверка устойчивости решений по отношению к малым возмущениям в начальных данных.
В адиабатическом приближения обобщенно-равновесной модели среды получены характеристические уравнения, соотношения и условия совместности, справедливые вдоль траекторной характеристики для одномерного нестационарного и двумерного стационарного течений смеси.
Необходимо отметить, что материал второй главы фактически носит обзорный характер, и приведен на основании того, что разработанные новые модели, представленные в третьей главе, являются логическим продолжением рассмотренной здесь ОР модели.
В третьей главе построена гиперболическая модель односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды, в которой использован закон Фурье с тепловой релаксацией для осредненного потока тепла.
Представлена модель односкоростной многокомпонентной среды, учитывающая наличие релаксационных сил вязкости в смеси. Показано, что уравнения модели среды относятся к гиперболическому типу. С использованием численного метода Куранта - Изаксона - Риса рассчитан ряд модельных задач.
Предложена модель многоскоростной многокомпонентной среды, основанная на законах сохранения. Показано, что уравнения модели многоскоростной среды относятся к гиперболическому типу, что дает возможность получить физически непротиворечивую картину течения и, кроме того, позволяет использовать хорошо зарекомендовавшие себя численные методы решения гиперболических систем уравнений.
Приведены соотношения Ренкина - Гюгонио для многоскоростной многокомпонентной смеси. Рассчитана ударная адиабата для газожидкостной смеси, согласованная с уравнениями модели. Результаты расчетов сопоставлены с обычно используемым уравнением ударной адиабаты, основанным на предположении об аддитивном ударном сжатии компонентов смеси.
В четвертой главе рассмотрены численные методы расчета течений для обобщенно-равновесной модели среды.
Представлен метод характеристик на фиксированной пространственной сетке. Также рассмотрен метод характеристик, предназначенный для интегрирования одномерных уравнений односкоростной многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированных пространственных сетках со «сквозным» расчетом ударных скачков.
Сопоставлены различные варианты метода С. К. Годунова для недивергентных систем, описывающие течение односкоростной многокомпонентной смеси. При расчете задач Римана использован приближенный, основанный на характеристических соотношениях, способ вычислений.
Рассмотренные подходы могут быть непосредственно распространены на задачи с несколькими пространственными переменными.
На защиту выдвигаются следующие результаты:
1. Модель теплопроводной многокомпонентной среды для расчета течений в односкоростных средах. Численные методы расчета для данной модели.
2. Модель вязкой многокомпонентной среды для расчета течений в односкоростных средах. Численные методы расчета для данной модели.
3. Модель многоскоростной многокомпонентной гетерогенной среды. Численные методы расчета для данной модели.
4. Модель течения грунтовых вод с модифицированным законом Дарси.
5. Модификация метода характеристик, предназначенного для инт
